Mathematics · Boek 2 · Grades 10–12

Wiskunde bovenbouw

Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

24Goniometrische functies

De functies cos⁡\cos en sin⁡\sin zetten de meetkunde van de cirkel om in analyse. Gedefinieerd door de reële lijn om de eenheidscirkel te rollen, zijn ze het oerbeeld van de periodieke functies, en hun afgeleiden maken hen tot oplossingen van de vergelijking van de trillingen y′′=−yy'' = -y.

24.1 De eenheidscirkel

Definitie 24.1 (Cosinus en sinus)

Zij C\mathcal{C} de cirkel met straal 1 en middelpunt de oorsprong van een orthonormaal assenstelsel. Koppel aan elke reële tt het punt M(t)M(t) dat je krijgt door vanaf het punt I(1,0)I(1,0) een lengte ∣t∣\abs{t} langs C\mathcal{C} op te rollen, tegen de wijzers van de klok in wanneer t≥0t \geq 0 en met de wijzers mee anders. Dan zijn cos⁡t\cos t en sin⁡t\sin t de coördinaten van M(t)M(t):

M(t)=(cos⁡t,sin⁡t).M(t) = (\cos t, \sin t).

Omdat de cirkel omtrek 2π2\pi heeft, blijft het punt M(t)M(t) ongewijzigd wanneer tt met 2π2\pi toeneemt; en omdat M(t)M(t) op de eenheidscirkel ligt:

Propositie 24.2 (Fundamentele identiteiten)

Voor alle t∈Rt \in \R en k∈Zk \in \Z geldt

cos⁡2t+sin⁡2t=1,cos⁡(t+2kπ)=cos⁡t,sin⁡(t+2kπ)=sin⁡t,\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad \cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t,
cos⁡(−t)=cos⁡t,sin⁡(−t)=−sin⁡t,\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,
cos⁡(π−t)=−cos⁡t,sin⁡(π−t)=sin⁡t,cos⁡(π2−t)=sin⁡t,sin⁡(π2−t)=cos⁡t.\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .

Bewijs. De eerste identiteit is de vergelijking van de eenheidscirkel; de andere drukken de symmetrieën van de cirkel uit: M(−t)M(-t) is het spiegelbeeld van M(t)M(t) om de xx-as, M(π−t)M(\pi - t) om de yy-as, en M(π2−t)M(\frac\pi2 - t) om de rechte y=xy = x. ∎

De waarden die je uit het hoofd moet kennen:

tt00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
[6pt] cos⁡t\cos t1132\dfrac{\sqrt3}{2}22\dfrac{\sqrt2}{2}12\dfrac1200
[6pt] sin⁡t\sin t0012\dfrac1222\dfrac{\sqrt2}{2}32\dfrac{\sqrt3}{2}11

Propositie 24.3 (Somformules)

Voor alle a,b∈Ra, b \in \R geldt

cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b,sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b,cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b,sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b.\begin{align*} \cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, & \sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\ \cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, & \sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b. \end{align*}

In het bijzonder is cos⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a en sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2 \sin a \cos a.

Bewijs. De vectoren u→=(cos⁡a,sin⁡a)\vect{u} = (\cos a, \sin a) en v→=(cos⁡b,sin⁡b)\vect{v} = (\cos b, \sin b) hebben lengte 11 en maken een hoek a−ba - b; hun scalair product is zowel cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos a\cos b + \sin a \sin b (coördinaten) als ∥u→∥ ∥v→∥cos⁡(a−b)=cos⁡(a−b)\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b) (meetkunde), en dat is de derde formule. bb door −b-b vervangen geeft de eerste; de formules voor de sinus volgen met sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x = \cos(\frac\pi2 - x). De formules voor de dubbele hoek zijn het geval b=ab = a, gecombineerd met cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1. ∎

24.2 Analytische studie

Lemma 24.4 (Fundamentele limiet)

lim⁡t→0sin⁡tt=1enlim⁡t→0cos⁡t−1t=0.\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \qquad\text{en}\qquad \lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .

Bewijs. Vergelijk voor 0<t<π20 < t < \frac{\pi}{2} drie oppervlakten in de eenheidscirkel: de driehoek OIM(t)OIM(t), de cirkelsector OIM(t)OIM(t), en de rechthoekige driehoek met basis OIOI en hoogte tan⁡t\tan t:

sin⁡t2≤t2≤tan⁡t2.\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.
De drie geneste oppervlakten: de driehoek OIM (blauw, oppervlakte t/2), de cirkelsector (begrensd door de rode boog, oppervlakte t/2) en de rechthoekige driehoek met hoogte t (oranje, oppervlakte t/2).
De drie geneste oppervlakten: de driehoek OIMOIM (blauw, oppervlakte sin⁡t2\frac{\sin t}{2}), de cirkelsector (begrensd door de rode boog, oppervlakte t2\frac{t}{2}) en de rechthoekige driehoek met hoogte tan⁡t\tan t (oranje, oppervlakte tan⁡t2\frac{\tan t}{2}).

De eerste ongelijkheid geeft sin⁡tt≤1\frac{\sin t}{t} \leq 1; de tweede geeft cos⁡t≤sin⁡tt\cos t \leq \frac{\sin t}{t}. Voor t→0+t \to 0^+ is cos⁡t→1\cos t \to 1 (continuïteit), en de insluitstelling levert sin⁡tt→1\frac{\sin t}{t} \to 1; de pariteit breidt dat uit tot t→0t \to 0. Voor de tweede limiet:

cos⁡t−1t=cos⁡2t−1t(cos⁡t+1)=−sin⁡tt⋅sin⁡tcos⁡t+1→t→0−1⋅02=0.\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)} = -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1} \xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere

∎

Stelling 24.5 (Afgeleiden van sinus en cosinus)

De functies sin⁡\sin en cos⁡\cos zijn differentieerbaar op R\R, met

(sin⁡)′=cos⁡,(cos⁡)′=−sin⁡.(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .

Algemener geldt (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b) en (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b).

Bewijs. Met de somformules is

sin⁡(x+h)−sin⁡xh=sin⁡x cos⁡h−1h+cos⁡x sin⁡hh→h→0sin⁡x⋅0+cos⁡x⋅1=cos⁡x,\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h} \xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,

met Lemma 24.4. De berekening voor cos⁡\cos verloopt identiek, en de algemene vorm volgt uit de kettingregel. ∎

Propositie 24.6 (Verloop)

Op [0, π]\intcc{0}{\pi} daalt cos⁡\cos van 11 naar −1-1. Op [−π2, π2]\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2} stijgt sin⁡\sin van −1-1 naar 11. Beide functies zijn 2π2\pi-periodiek met beeld [−1, 1]\intcc{-1}{1}; cos⁡\cos is even, sin⁡\sin is oneven.

Bewijs. Op (0, π)\intoo{0}{\pi} is (cos⁡)′=−sin⁡<0(\cos)' = -\sin < 0, want het punt M(t)M(t) heeft daar een positieve ordinaat; net zo is (sin⁡)′=cos⁡>0(\sin)' = \cos > 0 op (−π2, π2)\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}. De periodiciteit en de pariteit komen uit Propositie 24.2. ∎

De krommen van (blauw) en (rood).
De krommen van cos⁡\cos (blauw) en sin⁡\sin (rood).

Methode 24.7 (cos⁡x=a\cos x = a en sin⁡x=a\sin x = a oplossen)

Zoek voor a∈[−1, 1]a \in \intcc{-1}{1} één bijzondere oplossing α\alpha (uit de tabel met waarden of met een rekenmachine). Dan zijn alle oplossingen:

cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=α+2kπ of x=−α+2kπ,k∈Z;\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ of } x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z;
sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+2kπ of x=π−α+2kπ,k∈Z.\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ of } x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z.

Voor ongelijkheden lokaliseer je de oplossingsbogen op de eenheidscirkel en lees je de intervallen binnen één periode af.

Voorbeeld 24.8

Los cos⁡x=12\cos x = \frac12 op in (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}: een bijzondere oplossing is π3\frac\pi3, dus zijn de oplossingen x=π3x = \frac\pi3 en x=−π3x = -\frac\pi3. Op heel R\R: x=±π3+2kπx = \pm\frac\pi3 + 2k\pi, k∈Zk \in \Z.

24.3 Oefeningen

Oefening 24.1 ★

Bereken cos⁡2π3\cos\frac{2\pi}{3}, sin⁡5π6\sin\frac{5\pi}{6}, cos⁡7π4\cos\frac{7\pi}{4} en sin⁡(−π3)\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) met de identiteiten van Propositie 24.2.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.1.

cos⁡2π3=cos⁡(π−π3)=−cos⁡π3=−12\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12.

sin⁡5π6=sin⁡(π−π6)=sin⁡π6=12\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12.

cos⁡7π4=cos⁡(2π−π4)=cos⁡(−π4)=22\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}.

sin⁡(−π3)=−sin⁡π3=−32\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}.

Oefening 24.2 ★

Leid f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin^2 x, g(x)=cos⁡(3x)+xsin⁡xg(x) = \cos(3x) + x\sin x en h(x)=sin⁡x2+cos⁡xh(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x} af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.2.

f′(x)=2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2xf'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x (kettingregel).

g′(x)=−3sin⁡(3x)+sin⁡x+xcos⁡xg'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x (ketting- en productregel).

Quotiëntregel:

h′(x)=cos⁡x (2+cos⁡x)−sin⁡x (−sin⁡x)(2+cos⁡x)2=2cos⁡x+cos⁡2x+sin⁡2x(2+cos⁡x)2=2cos⁡x+1(2+cos⁡x)2.h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.

Oefening 24.3 ★

Los op in (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}, en daarna in R\R:

(a) sin⁡x=32;(b) cos⁡(2x)=22.\text{(a) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2}; \qquad \text{(b) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .
Oplossing

Oplossing van Oefening 24.3.

(a) Een bijzondere oplossing van sin⁡x=32\sin x = \frac{\sqrt3}{2} is π3\frac\pi3. Algemene oplossingen: x=π3+2kπx = \frac\pi3 + 2k\pi of x=π−π3+2kπ=2π3+2kπx = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi. In (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}: x∈{π3,2π3}x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}.

(b) cos⁡2x=22=cos⁡π4\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4 geeft 2x=±π4+2kπ2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi, dus x=±π8+kπx = \pm\frac\pi8 + k\pi. In (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}: x∈{−7π8,−π8,π8,7π8}x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8, \frac{7\pi}{8}\right\}.

Oefening 24.4 ★★

Bereken met de somformules de exacte waarde van cos⁡π12\cos\frac{\pi}{12} en sin⁡π12\sin\frac{\pi}{12}. (Tip: π12=π3−π4\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.4.

Met a=π3a = \frac\pi3 en b=π4b = \frac\pi4:

cos⁡π12=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b=12⋅22+32⋅22=2+64,\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b = \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},
sin⁡π12=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b=32⋅22−12⋅22=6−24.\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.

Oefening 24.5 ★★

Los in [0, 2π]\intcc{0}{2\pi} de ongelijkheid 2sin⁡2x−sin⁡x−1≥02\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0 op. (Tip: ontbind de kwadratische uitdrukking in sin⁡x\sin x.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.5.

Stel s=sin⁡xs = \sin x: 2s2−s−1=(2s+1)(s−1)≥02s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0 precies wanneer s≤−12s \leq -\frac12 of s=1s = 1.

sin⁡x=1\sin x = 1 geeft x=π2x = \frac\pi2. sin⁡x≤−12\sin x \leq -\frac12: op de eenheidscirkel is dat de boog onder de horizontale rechte y=−12y = -\frac12, wat in [0, 2π]\intcc{0}{2\pi} overeenkomt met x∈[7π6, 11π6]x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}. Bijgevolg is

S={π2}∪[7π6, 11π6].S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .

Oefening 24.6 ★★

Bereken de limieten

lim⁡x→0sin⁡3xx,lim⁡x→01−cos⁡xx2,lim⁡x→+∞xsin⁡1x.\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.
Oplossing

Oplossing van Oefening 24.6.

sin⁡3xx=3 sin⁡3x3x→3⋅1=3\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3 (samenstelling met u=3x→0u = 3x \to 0).

Met 1−cos⁡x=sin⁡2x1+cos⁡x1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}:

1−cos⁡xx2=(sin⁡xx) ⁣211+cos⁡x→x→01⋅12=12.\frac{1 - \cos x}{x^2} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x} \xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .

Met de substitutie u=1x→0+u = \frac1x \to 0^+: xsin⁡1x=sin⁡uu→1x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1.

Oefening 24.7 ★★

Bestudeer de functie f(x)=x+cos⁡xf(x) = x + \cos x op [0, 2π]\intcc{0}{2\pi}: verloop en extrema. Toon aan dat ff stijgend is op R\R hoewel f′f' in oneindig veel punten verdwijnt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.7.

f′(x)=1−sin⁡x≥0f'(x) = 1 - \sin x \geq 0 voor alle xx, met gelijkheid precies wanneer sin⁡x=1\sin x = 1, dus x=π2+2kπx = \frac\pi2 + 2k\pi. Op [0, 2π]\intcc{0}{2\pi} stijgt ff van f(0)=1f(0) = 1 tot f(2π)=2π+1f(2\pi) = 2\pi + 1 (het nulpunt van f′f' in π2\frac{\pi}{2} is geïsoleerd, zodat de stijging zelfs strikt is); minimum 11 in 00, maximum 2π+12\pi + 1 in 2π2\pi. Op R\R is f′≥0f' \geq 0 overal met alleen geïsoleerde nulpunten, dus is ff (strikt) stijgend volgens Stelling 22.7, hoewel f′f' in elke π2+2kπ\frac\pi2 + 2k\pi verdwijnt.

Oefening 24.8 ★★★

Zij f(x)=Acos⁡x+Bsin⁡xf(x) = A\cos x + B \sin x met (A,B)≠(0,0)(A,B) \neq (0,0).

  1. Toon aan dat ff te schrijven is als f(x)=Rcos⁡(x−φ)f(x) = R\cos(x - \varphi) met R=A2+B2R = \sqrt{A^2 + B^2} en een geschikte φ\varphi.
  2. Leid het maximum en het minimum van ff af, en los cos⁡x+sin⁡x=1\cos x + \sin x = 1 op in (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}.
Oplossing

Oplossing van Oefening 24.8.

1. Zij R=A2+B2>0R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0. Het punt (AR,BR)\left(\frac AR, \frac BR\right) ligt op de eenheidscirkel, dus bestaat er een φ\varphi met cos⁡φ=AR\cos\varphi = \frac AR en sin⁡φ=BR\sin\varphi = \frac BR. Dan is

Rcos⁡(x−φ)=R(cos⁡xcos⁡φ+sin⁡xsin⁡φ)=Acos⁡x+Bsin⁡x=f(x).R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr) = A\cos x + B\sin x = f(x).

2. Omdat cos⁡\cos het beeld [−1, 1]\intcc{-1}{1} heeft, heeft ff maximum RR en minimum −R-R. Voor cos⁡x+sin⁡x\cos x + \sin x: A=B=1A = B = 1, R=2R = \sqrt2 en φ=π4\varphi = \frac\pi4, zodat de vergelijking 2cos⁡(x−π4)=1\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1 wordt, dus cos⁡(x−π4)=22\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}, waaruit x−π4=±π4+2kπx - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi: in (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi} is x∈{0,π2}x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}.

Oefening 24.9 ★★★

Toon aan dat sin⁡\sin en cos⁡\cos allebei aan de differentiaalvergelijking y′′=−yy'' = -y voldoen. Toon omgekeerd aan, voor een oplossing yy van y′′=−yy'' = -y met y(0)=ay(0) = a en y′(0)=by'(0) = b, dat y=acos⁡+bsin⁡y = a\cos + b\sin. (Tip: bekijk g=(y−acos⁡−bsin⁡)g = (y - a\cos - b\sin) en de “energie” E=g2+(g′)2E = g^2 + (g')^2.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.9.

(sin⁡)′′=(cos⁡)′=−sin⁡(\sin)'' = (\cos)' = -\sin en (cos⁡)′′=(−sin⁡)′=−cos⁡(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos: allebei lossen ze y′′=−yy'' = -y op.

Zij g=y−acos⁡−bsin⁡g = y - a\cos - b\sin. Dan is g′′=−gg'' = -g (lineariteit van het afleiden), g(0)=y(0)−a=0g(0) = y(0) - a = 0 en g′(0)=y′(0)−b=0g'(0) = y'(0) - b = 0. Stel E=g2+(g′)2E = g^2 + (g')^2. Dan is

E′=2gg′+2g′g′′=2gg′−2g′g=0,E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,

dus is EE constant en gelijk aan E(0)=0E(0) = 0. Een som van twee kwadraten die identiek verdwijnt, dwingt g=0g = 0 af, dus y=acos⁡+bsin⁡y = a\cos + b\sin.

24.4 Opgave: het geheim van de slinger

Probleem 24.1

Weekendopgave — één meetkundige limiet drijft de afgeleiden van sinus en cosinus aan, en van daaruit alle trillingen: veren, slingers, zwevingen en de meter die het bijna werd

Elke klok die ooit tikte en elke snaar die ooit klonk, gehoorzaamt aan dezelfde wiskunde: een terugdrijvende kracht evenredig met de uitwijking, dus de vergelijking y′′=−ω2yy'' = -\omega^2 y, dus cosinussen. Aan de basis van dat alles ligt één onschuldig ogende limiet, sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1 — in jaar 9 beloofd, door Stelling 24.5 gebruikt, en hier met een tekening bewezen. Deze opgave klimt van die limiet naar de slag van een slinger van één meter, en legt uit waarom de meter er op een haar na niet mee gedefinieerd is.

Deel I — De fundamentele limiet.

  1. Warm op met getallen: bereken sin⁡xx\frac{\sin x}{x} voor x=0.1x = 0.1 en x=0.01x = 0.01 (in radialen!).
  2. De insluiting, op de eenheidscirkel met 0<x<π20 < x < \frac\pi2: druk met elementaire meetkunde de oppervlakten uit van (i) de driehoek met hoekpunten OO, A(1,0)A(1,0) en het cirkelpunt M(cos⁡x,sin⁡x)M(\cos x, \sin x); (ii) de cirkelsector OAMOAM; (iii) de rechthoekige driehoek OATOAT met T(1,tan⁡x)T(1, \tan x).
  3. Leid uit de insluiting van de oppervlakten af dat sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x, daarna dat cos⁡x<sin⁡xx<1\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1, en besluit met de insluitstelling dat lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 (de pariteit regelt x<0x < 0).
  4. Leid lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12 af (vermenigvuldig met de toegevoegde uitdrukking).
  5. Leg uit waarom die limiet de motor van Stelling 24.5 is (wat is sin⁡′(0)\sin'(0)?), en waarom ze ook een oude schuld vereffent: in welke zin zijn radialen de enige hoekeenheid waarvoor sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos zonder constante geldt?

Deel II — Harmonische beweging.

  1. Ga met de kettingregel na dat y(t)=Rcos⁡(ωt−φ)y(t) = R\cos(\omega t - \varphi) voldoet aan y′′=−ω2yy'' = -\omega^2 y.
  2. Een massa aan een veer voldoet aan y′′=−4yy'' = -4y, met y(0)=3y(0) = 3 en y′(0)=8y'(0) = 8. Neem (uit Oefening 24.9) aan dat alle oplossingen van de vorm Acos⁡2t+Bsin⁡2tA\cos 2t + B\sin 2t zijn, en bepaal AA en BB.
  3. Herschrijf de oplossing als Rcos⁡(2t−φ)R\cos(2t - \varphi) (Oefening 24.8): geef de amplitude RR, de periode en de fase φ\varphi (drie decimalen).
  4. Op welk tijdstip passeert de massa voor het eerst de evenwichtsstand y=0y = 0?
  5. De slinger: een bol aan een koord met lengte LL voldoet exact aan θ′′=−gLsin⁡θ\theta'' = -\frac gL \sin\theta — niet oplosbaar met elementaire functies. Vervang voor kleine uitslagen sin⁡θ\sin\theta door θ\theta (deel I verantwoordt dat!) en leid de periode T=2πLgT = 2\pi\sqrt{\frac Lg} af. Bereken TT voor L=1L = 1 m (g=9.81g = 9.81): de beroemde ontdekking van Galilei — waarvan hangt de formule niet af?
  6. De secondeslinger: welke lengte geeft precies T=2T = 2 s? De Franse Academie aarzelde in 1791 tussen die lengte en het tienmiljoenste van de kwartmeridiaan om de meter te definiëren — hoeveel millimeter verschillen de twee kandidaten?

Deel III — De somformules aan het werk.

  1. Toon met de somformules (Propositie 24.3) aan dat cos⁡(x+π2)=−sin⁡x\cos\left(x + \frac\pi2\right) = -\sin x en sin⁡(x+π2)=cos⁡x\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x: afleiden is op de cirkel een kwartdraai — ga de overeenstemming met Stelling 24.5 na.
  2. Leid de identiteit cos⁡acos⁡b=12(cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b))\cos a \cos b = \frac12\left(\cos(a - b) + \cos(a + b)\right) af, die producten in sommen omzet, en de linearisatie cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} (het hoofdstuk over integreren zal je dankbaar zijn).
  3. Zwevingen: leid sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p + q}{2} \cos\frac{p - q}{2} af, en pas het toe op twee stemvorken van 440440 en 444444 Hz: welke toon hoort het oor, en hoeveel zwevingen per seconde? (Zo stemmen orkesten.)
  4. Leid de identiteit voor de drievoudige hoek cos⁡3x=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x af (schrijf 3x=2x+x3x = 2x + x). Aan welke derdegraadsvergelijking moet cos⁡20∘\cos 20^\circ voldoen als je x=20∘x = 20^\circ stelt? (Dat die vergelijking niet met vierkantswortels alleen op te lossen is, is precies de reden waarom het driedelen van een hoek twee millennia lang aan passer en liniaal weerstond — het volledige verhaal staat in de universitaire volumes.)
  5. Een wisselstroom luidt I(t)=3cos⁡(100πt)+33sin⁡(100πt)I(t) = 3\cos(100\pi t) + 3\sqrt3 \sin(100\pi t). Herschrijf hem als Rcos⁡(100πt−φ)R\cos(100\pi t - \varphi): wat is de piekstroom en wat de fase?

Deel IV — De trillende wereld.

  1. Perioden: wat is de (kleinste) periode van sin⁡2t\sin^2 t (gebruik vraag 13)? En van sin⁡(2t)+sin⁡(3t)\sin(2t) + \sin(3t)?
  2. Een echte slinger dempt uit: y(t)=e−t/10cos⁡(2πt)y(t) = \eu^{-t/10}\cos(2\pi t). Beschrijf de beweging, bereken de waarde van de omhullende in t=10t = 10 (er duikt een oude bekende op, Probleem 23.1), en noem het hoofdstuk waarin vergelijkingen met zulke oplossingen opgelost worden.
  3. Waarom beheersen sinussen en cosinussen elke trilling? Geef het woordenboek van natuurkunde naar wiskunde in twee zinnen (terugdrijvende kracht evenredig met de uitwijking →\rightarrow welke vergelijking →\rightarrow welke oplossingen), en zeg wat Oefening 24.9 aan die bewering bijdraagt.
  4. Slotstuk: de boog van dit hoofdstuk in vier stappen — één meetkundige limiet, twee afgeleiden, één differentiaalvergelijking, en alle trillingen. En het eerlijke sterretje: bij grote uitslagen bevat de echte periode van de slinger een elliptische integraal, die bliksemsnel berekend wordt door … het rekenkundig-meetkundig gemiddelde van Gauss, het toetje van Probleem 20.1. De draden van de reeks knopen zichzelf aan elkaar.
Oplossing

Oplossing van Probleem 24.1.

1. 0.99833…0.99833\ldots en 0.99998…0.99998\ldots: kruipend naar 11.

2. Driehoek OAMOAM: basis 11, hoogte sin⁡x\sin x: oppervlakte sin⁡x2\frac{\sin x}{2}. Sector OAMOAM: het deel x2π\frac{x}{2\pi} van de eenheidsschijf: oppervlakte x2\frac x2. Driehoek OATOAT: basis 11, hoogte tan⁡x\tan x: oppervlakte tan⁡x2\frac{\tan x}{2}.

3. De driehoek ligt in de sector, en die in de grote driehoek: sin⁡x2<x2<tan⁡x2\frac{\sin x}{2} < \frac x2 < \frac{\tan x}{2}, dus sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x. Uit sin⁡x<x\sin x < x volgt sin⁡xx<1\frac{\sin x}{x} < 1; en uit x<tan⁡x=sin⁡xcos⁡xx < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} volgt, na vermenigvuldigen met cos⁡xx>0\frac{\cos x}{x} > 0, dat cos⁡x<sin⁡xx\cos x < \frac{\sin x}{x}. Voor x→0+x \to 0^+ is cos⁡x→1\cos x \to 1: ingesloten streeft sin⁡xx\frac{\sin x}{x} naar 11; en sin⁡xx\frac{\sin x}{x} is even, zodat de tweezijdige limiet 11 is.

4. 1−cos⁡xx2=1−cos⁡2xx2(1+cos⁡x)=(sin⁡xx)211+cos⁡x→1×12\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \times \frac12.

5. sin⁡′(0)=lim⁡h→0sin⁡h−0h=1\sin'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h - 0}{h} = 1: het hele afleiden van sinus en cosinus vloeit uit die ene limiet voort. In graden gemeten zou de limiet π180\frac{\pi}{180} zijn, en zou elke afgeleide die constante meeslepen: radialen zijn precies de eenheid die de analyse van de trilling zuiver houdt.

6. y′=−Rωsin⁡(ωt−φ)y' = -R\omega\sin(\omega t - \varphi) en y′′=−Rω2cos⁡(ωt−φ)=−ω2yy'' = -R\omega^2\cos(\omega t - \varphi) = -\omega^2 y.

7. ω=2\omega = 2. y(0)=A=3y(0) = A = 3; y′(0)=2B=8y'(0) = 2B = 8, dus B=4B = 4: y=3cos⁡2t+4sin⁡2ty = 3\cos 2t + 4\sin 2t.

8. R=9+16=5R = \sqrt{9 + 16} = 5; periode 2π2=π\frac{2\pi}{2} = \pi; fase φ=arctan⁡43≈0.927\varphi = \arctan\frac43 \approx 0.927: y=5cos⁡(2t−0.927)y = 5\cos(2t - 0.927).

9. 5cos⁡(2t−φ)=05\cos(2t - \varphi) = 0 voor het eerst wanneer 2t−φ=π22t - \varphi = \frac\pi2: t=π/2+0.9272≈1.25t = \frac{\pi/2 + 0.927}{2} \approx 1.25 s.

10. Met sin⁡θ≈θ\sin\theta \approx \theta wordt θ′′=−gLθ\theta'' = -\frac gL \theta: harmonisch met ω=gL\omega = \sqrt{\frac gL} en periode T=2πω=2πLgT = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac Lg}. Voor L=1L = 1 is T≈2.006T \approx 2.006 s. De periode hangt niet van de amplitude af (bij kleine uitslagen) — de isochronie van Galilei, het feit dat slingeruurwerken mogelijk maakt.

11. L=g(T2π)2=9.81π2≈0.994L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{9.81}{\pi^2} \approx 0.994 m: de secondeslinger komt ongeveer 66 mm tekort op de meridiaanmeter. De Academie koos de meridiaan (de zwaartekracht verschilt van plaats tot plaats en verraadt de slinger); was gg een haartje groter geweest, dan zou onze meter tikken.

12. cos⁡(x+π2)=cos⁡xcos⁡π2−sin⁡xsin⁡π2=−sin⁡x\cos\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x \cos\frac\pi2 - \sin x \sin\frac\pi2 = -\sin x; sin⁡(x+π2)=cos⁡x\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x. Dus geeft de sinus afleiden de sinus een kwartdraai verder (cos⁡\cos), en nog eens (−sin⁡-\sin), en nog eens, en na vier stappen ben je thuis: afleiden draait de cirkel rond.

13. De twee uitwerkingen van cos⁡(a∓b)\cos(a \mp b) optellen geeft cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b)=2cos⁡acos⁡b\cos(a-b) + \cos(a+b) = 2\cos a\cos b. Met a=b=xa = b = x: 1+cos⁡2x=2cos⁡2x1 + \cos 2x = 2\cos^2 x, dus cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}.

14. Met p=p+q2+p−q2p = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2} en qq als spiegelbeeld geeft uitwerken en optellen sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}. Voor 440440 en 444444 Hz: een toon van 442442 Hz waarvan de luidheid gemoduleerd wordt door cos⁡(2π⋅2t)\cos(2\pi \cdot 2t) — de luidheid piekt 44 keer per seconde (de absolute waarde van de omhullende): vier zwevingen per seconde, die verdwijnen zodra de stemvorken het eens zijn.

15. cos⁡3x=cos⁡2xcos⁡x−sin⁡2xsin⁡x=(2cos⁡2x−1)cos⁡x−2sin⁡2xcos⁡x=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x = (2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\sin^2 x\cos x = 4\cos^3 x - 3\cos x. In x=20∘x = 20^\circ is cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac12, dus voldoet c=cos⁡20∘c = \cos 20^\circ aan 8c3−6c−1=08c^3 - 6c - 1 = 0 — een derdegraadsvergelijking zonder oplossing in vierkantswortels: 20∘20^\circ construeren, dus 60∘60^\circ in drieën delen, ligt buiten het bereik van passer en liniaal.

16. R=9+27=6R = \sqrt{9 + 27} = 6; tan⁡φ=333=3\tan\varphi = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3: φ=π3\varphi = \frac\pi3: I(t)=6cos⁡(100πt−π3)I(t) = 6\cos\left(100\pi t - \frac\pi3\right): piek 66 ampère, met een faseachterstand van 60∘60^\circ.

17. sin⁡2t=1−cos⁡2t2\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}: periode π\pi. sin⁡2t\sin 2t heeft periode π\pi en sin⁡3t\sin 3t heeft 2π3\frac{2\pi}{3}: de som herhaalt zich na het kleinste gemeenschappelijke veelvoud, 2π2\pi.

18. Een trilling met periode 11 binnen de krimpende omhullende ±e−t/10\pm\eu^{-t/10}: elke slag ongeveer 10 %10\,\% lager. In t=10t = 10 is de omhullende e−1≈0.368\eu^{-1} \approx 0.368 — opnieuw de constante van Probleem 23.1. Vergelijkingen met zulke gedempte oplossingen (y′′+ay′+by=0y'' + a y' + b y = 0) worden opgelost in het hoofdstuk over differentiaalvergelijkingen.

19. Een kracht die evenredig met de uitwijking terugtrekt geeft y′′=−ω2yy'' = -\omega^2 y; en Oefening 24.9 toont dat de oplossingen van die vergelijking precies de combinaties van cos⁡\cos en sin⁡\sin zijn — bestaan door aanwijzing, uniciteit door de oefening: een trilling kan niet anders dan sinusvormig zijn.

20. Eén limiet (sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1, met ingesloten oppervlakten), twee afgeleiden (sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos, cos⁡′=−sin⁡\cos' = -\sin), één vergelijking (y′′=−ω2yy'' = -\omega^2 y), en een wereld van klokken, snaren, stromen en getijden. Het sterretje: voor grote uitslagen is T=4Lg⋅π/2M(1,cos⁡(θ0/2))T = 4\sqrt{\frac Lg} \cdot \frac{\pi/2}{M(1, \cos(\theta_0/2))} — het rekenkundig-meetkundig gemiddelde van Probleem 20.1 berekent de elliptische integraal in een handvol iteraties: de dagboeknotitie van Gauss en de slinger van Galilei, één formule van elkaar verwijderd.