Mathematics · Boek 2 · Grades 10–12

Wiskunde bovenbouw

Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

14Goniometrie: de eenheidscirkel

De goniometrie begint in rechthoekige driehoeken, maar haar echte thuis is de eenheidscirkel, waar cosinus en sinus functies van een willekeurig reëel getal worden. Dit hoofdstuk installeert de radiaal, het oprollen van de reële lijn om de cirkel, de exacte waarden die je uit het hoofd moet kennen, en de symmetrieën die alle klassieke identiteiten voortbrengen. De studie van cos⁡\cos en sin⁡\sin als functies — verloop, afgeleiden — gebeurt in Hoofdstuk 24.

14.1 Radialen en het oprollen

Definitie 14.1 (Radiaal)

Zij C\mathcal C de cirkel met straal 11 en middelpunt de oorsprong OO, en I(1,0)I(1, 0). De maat in radialen van een middelpuntshoek van C\mathcal C is de lengte van de boog die hij op C\mathcal C afsnijdt. Omdat de volledige cirkel omtrek 2π2\pi heeft, geldt

360∘=2π rad,180∘=π rad,1 rad=180∘π≈57.3∘.360^\circ = 2\pi \text{ rad}, \qquad 180^\circ = \pi \text{ rad}, \qquad 1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ .

Methode 14.2 (Omrekenen)

Graden en radialen zijn evenredig: vermenigvuldig met π180\frac{\pi}{180} om van graden naar radialen te gaan, en met 180π\frac{180}{\pi} in de andere richting. Zo is 60∘=60×π180=π360^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} en 3π4=3×180∘4=135∘\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ.

Definitie 14.3 (De lijn om de cirkel oprollen)

Koppel aan elk reëel getal tt het punt M(t)M(t) van C\mathcal C dat je bereikt door vanaf II een afstand ∣t∣\abs t langs de cirkel af te leggen, tegen de wijzers van de klok in wanneer t≥0t \geq 0 en met de wijzers mee wanneer t<0t < 0. Omdat de omtrek 2π2\pi is, bereiken de getallen tt en t+2kπt + 2k\pi (k∈Zk \in \Z) hetzelfde punt: M(t+2kπ)=M(t)M(t + 2k\pi) = M(t).

Voorbeeld 14.4

M(0)=IM(0) = I; M ⁣(π2)=(0,1)M\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 1), de top van de cirkel; M(π)=(−1,0)M(\pi) = (-1, 0); M ⁣(−π2)=(0,−1)M\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = (0, -1); en M ⁣(9π4)=M ⁣(π4+2π)=M ⁣(π4)M\!\left(\frac{9\pi}{4}\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4}\right).

14.2 Cosinus en sinus

Definitie 14.5 (Cosinus en sinus)

Voor elke reële tt zijn de cosinus en de sinus van tt de coördinaten van het punt M(t)M(t) van de eenheidscirkel:

M(t)=(cos⁡t, sin⁡t).M(t) = (\cos t,\ \sin t).
De eenheidscirkel: het reële getal t, vanaf I tegen de wijzers van de klok in opgerold, komt uit in het punt M(t), waarvan de coördinaten t en t definiëren.
De eenheidscirkel: het reële getal tt, vanaf II tegen de wijzers van de klok in opgerold, komt uit in het punt M(t)M(t), waarvan de coördinaten cos⁡t\cos t en sin⁡t\sin t definiëren.

Propositie 14.6 (Eerste eigenschappen)

Voor alle t∈Rt \in \R en k∈Zk \in \Z geldt

−1≤cos⁡t≤1,−1≤sin⁡t≤1,cos⁡2t+sin⁡2t=1,-1 \leq \cos t \leq 1, \qquad -1 \leq \sin t \leq 1, \qquad \cos^2 t + \sin^2 t = 1,
cos⁡(t+2kπ)=cos⁡t,sin⁡(t+2kπ)=sin⁡t.\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t .

Bewijs. M(t)M(t) ligt op de eenheidscirkel, dus liggen zijn coördinaten tussen −1-1 en 11, en voldoen ze aan de vergelijking x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 van de cirkel, wat de identiteit cos⁡2t+sin⁡2t=1\cos^2 t + \sin^2 t = 1 is. De periodiciteit herhaalt M(t+2kπ)=M(t)M(t + 2k\pi) = M(t) (Definitie 14.3). ∎

Voorbeeld 14.7

Is sin⁡t=35\sin t = \frac35 en t∈[π2, π]t \in \intcc{\frac\pi2}{\pi} (tweede kwadrant), dan is cos⁡2t=1−925=1625\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}, dus cos⁡t=±45\cos t = \pm\frac45; in het tweede kwadrant is de abscis negatief, en dus is cos⁡t=−45\cos t = -\frac45.

De waarden die je uit het hoofd moet kennen:

tt00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
[6pt] cos⁡t\cos t1132\dfrac{\sqrt3}{2}22\dfrac{\sqrt2}{2}12\dfrac1200
[6pt] sin⁡t\sin t0012\dfrac1222\dfrac{\sqrt2}{2}32\dfrac{\sqrt3}{2}11

Opmerking 14.8

Een ezelsbruggetje: de sinussen lezen 02,12,22,32,42\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2}, en de cosinussen zijn dezelfde lijst omgekeerd.

14.3 Verwante hoeken

Propositie 14.9 (Verwante hoeken)

Voor alle t∈Rt \in \R geldt

cos⁡(−t)=cos⁡t,sin⁡(−t)=−sin⁡t,cos⁡(π−t)=−cos⁡t,sin⁡(π−t)=sin⁡t,cos⁡(π+t)=−cos⁡t,sin⁡(π+t)=−sin⁡t,cos⁡(π2−t)=sin⁡t,sin⁡(π2−t)=cos⁡t.\begin{aligned} \cos(-t) &= \cos t, & \sin(-t) &= -\sin t,\\ \cos(\pi - t) &= -\cos t, & \sin(\pi - t) &= \sin t,\\ \cos(\pi + t) &= -\cos t, & \sin(\pi + t) &= -\sin t,\\ \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \sin t, & \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \cos t . \end{aligned}

Bewijs. Elke regel drukt een symmetrie van de cirkel uit.

M(−t)M(-t) is het spiegelbeeld van M(t)M(t) om de xx-as: de abscis blijft, de ordinaat wisselt van teken.

M(π−t)M(\pi - t) is het spiegelbeeld van M(t)M(t) om de yy-as: vanaf π\pi over tt terugwandelen komt horizontaal tegenover vanaf 00 over tt vooruitwandelen uit. De abscis wisselt van teken, de ordinaat blijft.

M(π+t)M(\pi + t) ligt diametraal tegenover M(t)M(t) (een halve draai): beide coördinaten wisselen van teken.

M ⁣(π2−t)M\!\left(\frac\pi2 - t\right) is het spiegelbeeld van M(t)M(t) om de diagonale rechte y=xy = x, die de twee coördinaten verwisselt. ∎

De vier verwante punten: M(-t) spiegelt M(t) om de x-as, M(π - t) om de y-as, en M(π + t) ligt diametraal tegenover. Elke identiteit van lees je van deze tekening af.
De vier verwante punten: M(−t)M(-t) spiegelt M(t)M(t) om de xx-as, M(π−t)M(\pi - t) om de yy-as, en M(π+t)M(\pi + t) ligt diametraal tegenover. Elke identiteit van Propositie 14.9 lees je van deze tekening af.

Voorbeeld 14.10

cos⁡2π3=cos⁡(π−π3)=−cos⁡π3=−12\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12, en sin⁡7π6=sin⁡(π+π6)=−sin⁡π6=−12\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac\pi6\right) = -\sin\frac\pi6 = -\frac12. De tabel met vijf waarden, uitgebreid met de symmetrieën, bestrijkt de hele cirkel.

14.4 Goniometrische vergelijkingen oplossen

Stelling 14.11 (De vergelijkingen cos⁡t=cos⁡a\cos t = \cos a en sin⁡t=sin⁡a\sin t = \sin a)

Voor reële getallen tt en aa geldt

cos⁡t=cos⁡a  ⟺  t=a+2kπ of t=−a+2kπ(k∈Z),\cos t = \cos a \iff t = a + 2k\pi \ \text{of}\ t = -a + 2k\pi \quad (k \in \Z),
sin⁡t=sin⁡a  ⟺  t=a+2kπ of t=π−a+2kπ(k∈Z).\sin t = \sin a \iff t = a + 2k\pi \ \text{of}\ t = \pi - a + 2k\pi \quad (k \in \Z).

Bewijs. Twee punten van de eenheidscirkel hebben precies dan dezelfde abscis wanneer ze gelijk zijn of elkaars spiegelbeeld om de xx-as; volgens Propositie 14.9 is het spiegelbeeld van M(a)M(a) het punt M(−a)M(-a). Dus betekent cos⁡t=cos⁡a\cos t = \cos a dat M(t)=M(a)M(t) = M(a) of M(t)=M(−a)M(t) = M(-a), dus t=±at = \pm a op een veelvoud van 2π2\pi na. Net zo betekenen gelijke ordinaten gelijke punten of spiegelbeelden om de yy-as, en het spiegelbeeld van M(a)M(a) is M(π−a)M(\pi - a). ∎

Methode 14.12 (cos⁡t=c\cos t = c oplossen op een interval)

  1. Zoek één hoek aa met cos⁡a=c\cos a = c, uit de tabel van bekende waarden.
  2. Schrijf de algemene oplossingen t=±a+2kπt = \pm a + 2k\pi op (Stelling 14.11).
  3. Kies de gehele getallen kk die in het gevraagde interval belanden, en noem de oplossingen.

Ga voor sin⁡t=c\sin t = c op dezelfde manier te werk, met t=a+2kπt = a + 2k\pi of t=π−a+2kπt = \pi - a + 2k\pi.

Voorbeeld 14.13

Los cos⁡t=12\cos t = \frac12 op op (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}. Eén oplossing van cos⁡a=12\cos a = \frac12 is a=π3a = \frac{\pi}{3}. De algemene oplossingen zijn t=π3+2kπt = \frac\pi3 + 2k\pi en t=−π3+2kπt = -\frac\pi3 + 2k\pi. Binnen (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi} draagt alleen k=0k = 0 bij: t∈{−π3, π3}t \in \left\{-\frac\pi3,\ \frac\pi3\right\}.

Los sin⁡t=−22\sin t = -\frac{\sqrt2}{2} op op [0, 2π)\intco{0}{2\pi}. Eén hoek is a=−π4a = -\frac\pi4; de oplossingen zijn t=−π4+2kπt = -\frac\pi4 + 2k\pi en t=π+π4+2kπ=5π4+2kπt = \pi + \frac\pi4 + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi. In [0, 2π)\intco{0}{2\pi}: t=7π4t = \frac{7\pi}{4} (uit k=1k = 1) en t=5π4t = \frac{5\pi}{4}.

t = 1/2 oplossen: de verticale rechte x = 1/2 (oranje) snijdt de eenheidscirkel in twee punten die symmetrisch liggen om de x-as — vandaar de twee families oplossingen t = ± π3 + 2kπ.
cos⁡t=12\cos t = \frac12 oplossen: de verticale rechte x=12x = \frac12 (oranje) snijdt de eenheidscirkel in twee punten die symmetrisch liggen om de xx-as — vandaar de twee families oplossingen t=±π3+2kπt = \pm\frac\pi3 + 2k\pi.

14.5 Oefeningen

Oefening 14.1 ★

Zet om naar radialen: 30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 120∘120^\circ, 270∘270^\circ. Zet om naar graden: π5\frac{\pi}{5}, 5π6\frac{5\pi}{6}, 7π4\frac{7\pi}{4}, 2π9\frac{2\pi}{9}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.1.

Naar radialen: 30∘=π630^\circ = \frac{\pi}{6}, 45∘=π445^\circ = \frac{\pi}{4}, 120∘=2π3120^\circ = \frac{2\pi}{3}, 270∘=3π2270^\circ = \frac{3\pi}{2}.

Naar graden: π5=36∘\frac{\pi}{5} = 36^\circ, 5π6=150∘\frac{5\pi}{6} = 150^\circ, 7π4=315∘\frac{7\pi}{4} = 315^\circ, 2π9=40∘\frac{2\pi}{9} = 40^\circ.

Oefening 14.2 ★

Zet op de eenheidscirkel de punten M(t)M(t) uit voor

t=2π3,t=−π4,t=17π6,t=−7π2,t = \frac{2\pi}{3},\quad t = -\frac{\pi}{4},\quad t = \frac{17\pi}{6},\quad t = -\frac{7\pi}{2},

nadat je elke waarde modulo 2π2\pi tot een waarde in (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi} hebt herleid.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.2.

2π3\frac{2\pi}{3} en −π4-\frac{\pi}{4} liggen al in (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}: respectievelijk in het tweede en in het vierde kwadrant.

17π6−2π=5π6\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}: tweede kwadrant, dicht bij de negatieve xx-as.

−7π2+4π=π2-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}: de top van de cirkel, (0,1)(0, 1).

Oefening 14.3 ★

Geef met de tabel en de verwante hoeken de exacte waarden van

cos⁡3π4,sin⁡5π6,cos⁡(−π3),sin⁡4π3,cos⁡11π6.\cos\frac{3\pi}{4}, \quad \sin\frac{5\pi}{6}, \quad \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad \sin\frac{4\pi}{3}, \quad \cos\frac{11\pi}{6} .
Oplossing

Oplossing van Oefening 14.3.

cos⁡3π4=cos⁡(π−π4)=−cos⁡π4=−22\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac\pi4\right) = -\cos\frac\pi4 = -\frac{\sqrt2}{2}.

sin⁡5π6=sin⁡(π−π6)=sin⁡π6=12\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12.

cos⁡(−π3)=cos⁡π3=12\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12.

sin⁡4π3=sin⁡(π+π3)=−sin⁡π3=−32\sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}.

cos⁡11π6=cos⁡(−π6+2π)=cos⁡π6=32\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\left(-\frac\pi6 + 2\pi\right) = \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}.

Oefening 14.4 ★

Gegeven cos⁡t=513\cos t = \frac{5}{13} met t∈(−π2, 0)t \in \intoo{-\frac\pi2}{0}, bereken sin⁡t\sin t exact.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.4.

sin⁡2t=1−cos⁡2t=1−25169=144169\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}, dus sin⁡t=±1213\sin t = \pm\frac{12}{13}. Op (−π2, 0)\intoo{-\frac\pi2}{0} (vierde kwadrant) is de ordinaat negatief: sin⁡t=−1213\sin t = -\frac{12}{13}.

Oefening 14.5 ★★

Vereenvoudig, voor elke reële xx:

A=cos⁡(π+x)+cos⁡(−x)+sin⁡(π2−x)−cos⁡x,B=sin⁡(π−x)+sin⁡(π+x)+sin⁡(−x).A = \cos(\pi + x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac\pi2 - x\right) - \cos x, \qquad B = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(-x) .
Oplossing

Oplossing van Oefening 14.5.

Met Propositie 14.9:

A=(−cos⁡x)+cos⁡x+cos⁡x−cos⁡x=0,A = (-\cos x) + \cos x + \cos x - \cos x = 0 ,
B=sin⁡x+(−sin⁡x)+(−sin⁡x)=−sin⁡x.B = \sin x + (-\sin x) + (-\sin x) = -\sin x .

Oefening 14.6 ★★

Los op op (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}:

cos⁡t=32,sin⁡t=12,cos⁡t=−1.\cos t = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin t = \frac12, \qquad \cos t = -1 .
Oplossing

Oplossing van Oefening 14.6.

cos⁡t=32\cos t = \frac{\sqrt3}{2}: één oplossing is π6\frac\pi6, dus t=±π6t = \pm\frac\pi6 (de verschuivingen over 2kπ2k\pi verlaten het interval).

sin⁡t=12\sin t = \frac12: t=π6t = \frac\pi6 of t=π−π6=5π6t = \pi - \frac\pi6 = \frac{5\pi}{6}.

cos⁡t=−1\cos t = -1: het enige punt met abscis −1-1 is M(π)M(\pi), dus t=πt = \pi.

Oefening 14.7 ★★

Los op op [0, 2π)\intco{0}{2\pi}:

sin⁡t=−32,cos⁡t=0,2sin⁡t+1=0.\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos t = 0, \qquad 2\sin t + 1 = 0 .
Oplossing

Oplossing van Oefening 14.7.

sin⁡t=−32\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}: vanuit a=−π3a = -\frac\pi3 zijn de families −π3+2kπ-\frac\pi3 + 2k\pi en π+π3+2kπ\pi + \frac\pi3 + 2k\pi; in [0, 2π)\intco{0}{2\pi}: t=4π3t = \frac{4\pi}{3} en t=5π3t = \frac{5\pi}{3}.

cos⁡t=0\cos t = 0: t=π2t = \frac\pi2 en t=3π2t = \frac{3\pi}{2}.

2sin⁡t+1=02\sin t + 1 = 0 betekent sin⁡t=−12\sin t = -\frac12: vanuit a=−π6a = -\frac\pi6, in [0, 2π)\intco{0}{2\pi}: t=7π6t = \frac{7\pi}{6} en t=11π6t = \frac{11\pi}{6}.

Oefening 14.8 ★★

Los op R\R de vergelijking cos⁡2t=cos⁡t\cos 2t = \cos t op. (Gebruik Stelling 14.11 met a=ta = t, en bespreek de twee families oplossingen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.8.

Volgens Stelling 14.11 betekent cos⁡2t=cos⁡t\cos 2t = \cos t dat 2t=t+2kπ2t = t + 2k\pi of 2t=−t+2kπ2t = -t + 2k\pi, dus t=2kπt = 2k\pi of t=2kπ3t = \frac{2k\pi}{3} (k∈Zk \in \Z). De eerste familie zit in de tweede vervat (neem kk een veelvoud van 33), zodat de oplossingsverzameling

S={2kπ3:k∈Z}S = \left\{\frac{2k\pi}{3} : k \in \Z\right\}

is — op de cirkel de drie punten M(0)M(0), M ⁣(2π3)M\!\left(\frac{2\pi}{3}\right) en M ⁣(4π3)M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right).

Oefening 14.9 ★★

Toon aan dat voor elke reële xx geldt:

(cos⁡x+sin⁡x)2+(cos⁡x−sin⁡x)2=2.\bigl(\cos x + \sin x\bigr)^2 + \bigl(\cos x - \sin x\bigr)^2 = 2 .
Oplossing

Oplossing van Oefening 14.9.

Beide kwadraten uitwerken en cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 gebruiken:

(cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x)+(cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x)=1+1=2.(\cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x) + (\cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x) = 1 + 1 = 2 .

Oefening 14.10 ★★

Een wiel met straal 3030 cm rolt zonder te slippen. Over welke hoek (in radialen, en daarna in graden) draait het wanneer de fiets 1.51.5 m vooruitgaat? Hoever gaat de fiets vooruit bij één volledige omwenteling van het wiel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.10.

Rollen zonder slippen betekent dat de booglengte gelijk is aan de afgelegde afstand: rθ=150r\theta = 150 cm geeft θ=15030=5\theta = \frac{150}{30} = 5 rad =5×180π≈286.5∘= 5 \times \frac{180}{\pi} \approx 286.5^\circ. Eén volledige omwenteling brengt de fiets de omtrek vooruit: 2π×30=60π≈188.52\pi \times 30 = 60\pi \approx 188.5 cm, ongeveer 1.881.88 m.

Oefening 14.11 ★★★

Los op (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi} de ongelijkheid cos⁡t≤12\cos t \leq \frac12 op. (Schets de eenheidscirkel, markeer het gebied waar de abscis hoogstens 12\frac12 is, en lees het interval van waarden van tt af.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.11.

Op de eenheidscirkel zijn de punten met abscis precies 12\frac12 de punten M ⁣(±π3)M\!\left(\pm\frac\pi3\right). De punten met abscis hoogstens 12\frac12 vormen de boog links van de verticale rechte x=12x = \frac12, die je doorloopt terwijl tt van π3\frac\pi3 tot π\pi gaat, of van −π-\pi tot −π3-\frac\pi3. Bijgevolg is op (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}

S=(−π, −π3]∪[π3, π].S = \intoc{-\pi}{-\frac{\pi}{3}} \cup \intcc{\frac{\pi}{3}}{\pi}.

(De randpunten ±π3\pm\frac\pi3 tellen mee, want de ongelijkheid is ruim.)

14.6 Opgave: het reuzenrad en het getij

Probleem 14.1

Weekendopgave — radialen als afgerolde afstand, en de eenheidscirkel als hoofdklok van elk periodiek verschijnsel

Een reuzenrad draagt je rond een cirkel; het getij draagt het water van de haven op en neer langs dezelfde wiskundige cirkel. Elk periodiek verschijnsel — wielen, getijden, geluid, seizoenen — leest zijn dienstregeling af van de eenheidscirkel uit dit hoofdstuk (Definitie 14.5), en de vergelijkingen van Methode 14.12 geven de exacte tijdstippen. Deze opgave rekent om, rolt op, modelleert en lost op — en beslecht onderweg waarom wiskundigen hoeken in radialen meten.

Deel I — Radialen, de afgerolde afstand.

  1. Zet om naar radialen: 30∘30^\circ, 135∘135^\circ, 300∘300^\circ; en naar graden: 3π4\frac{3\pi}{4}, 5π6\frac{5\pi}{6} (Methode 14.2).
  2. Waar het bij radialen om draait: een boog met hoek tt (in radialen) op een cirkel met straal rr heeft lengte precies r tr\,t. Welke boog snijdt een hoek van 22 radialen af op een cirkel met straal 33 m? (Nergens een π\pi — daar gaat het om.)
  3. Een wiel met straal 3030 cm rolt 11 km zonder te slippen. Over hoeveel radialen is het gedraaid, en hoeveel volledige omwentelingen is dat?
  4. Zet uit op de eenheidscirkel en bereken exact: cos⁡2π3\cos\frac{2\pi}{3}, sin⁡(−π4)\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) en cos⁡19π6\cos\frac{19\pi}{6} (herleid eerst modulo 2π2\pi; Propositie 14.9).
  5. Een hoek t∈(π2, π)t \in \intoo{\frac\pi2}{\pi} voldoet aan sin⁡t=35\sin t = \frac35. Zoek met cos⁡2t+sin⁡2t=1\cos^2 t + \sin^2 t = 1 en het kwadrant de waarden van cos⁡t\cos t en tan⁡t\tan t.

Deel II — Het reuzenrad. Een reuzenrad heeft straal 6060 m, zijn as hangt 6565 m boven de grond, en het draait één keer rond per 3030 minuten. Je stapt op het laagste punt in op tijdstip t=0t = 0 (in minuten), zodat je hoogte voldoet aan

h(t)=65−60cos⁡ ⁣(πt15).h(t) = 65 - 60 \cos\!\left(\frac{\pi t}{15}\right).
  1. Verantwoord de formule: ga de hoek na waarover na tt minuten gedraaid is, de hoogte in t=0t = 0, en verklaar het minteken.
  2. Bereken je hoogte in t=7.5t = 7.5, t=15t = 15 en t=20t = 20 minuten (exacte waarden).
  3. Op welk tijdstip bevind je je voor het eerst op 9595 m? (Los h(t)=95h(t) = 95 op met Methode 14.12.)
  4. Op welk tijdsinterval van de rit bevind je je op minstens 9595 m hoogte — en hoe lang in totaal? (Vergelijk Oefening 14.11.)
  5. Waar verandert de hoogte het snelst? Vergelijk de klim tijdens de eerste minuut (h(1)−h(0)h(1) - h(0)) met de klim tussen minuut 77 en minuut 88, en formuleer de waarneming (het gereedschap dat haar exact maakt — de afgeleide van de sinusoïde — komt in jaar 12).
  6. De ingenieur aan zet: ontwerp de hoogteformule van een rad met een grootste hoogte van 4040 m, een kleinste hoogte van 44 m en een periode van 1212 minuten, waarbij je onderaan instapt in t=0t = 0.

Deel III — Het getij en de symmetrieën van de cirkel. In een haven bedraagt de waterdiepte in meter, tt uur na middernacht,

d(t)=7+3sin⁡ ⁣(πt6).d(t) = 7 + 3 \sin\!\left(\frac{\pi t}{6}\right).
  1. Geef de grootste en de kleinste diepte, de tijdstippen waarop ze zich voor het eerst voordoen, en de periode van het getij.
  2. Een vrachtschip heeft 8.58.5 m water nodig. Los d(t)≥8.5d(t) \geq 8.5 op op [0, 12)\intco{0}{12}: tijdens welk venster kan het binnenvaren, en hoe lang duurt dat venster? Wanneer opent het volgende?
  3. Leid twee identiteiten voor verwante hoeken rechtstreeks uit de symmetrieën van de cirkel af — sin⁡(π−t)=sin⁡t\sin(\pi - t) = \sin t (spiegeling om de verticale as) en cos⁡(π+t)=−cos⁡t\cos(\pi + t) = -\cos t (halve draai) — en formuleer de complementaire identiteit cos⁡(π2−t)=sin⁡t\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t.
  4. Pariteit (met de woordenschat van Probleem 11.1): bepaal of sin⁡\sin, cos⁡\cos en t↦sin⁡t+t3t \mapsto \sin t + t^3 even of oneven zijn, met bewijzen van één regel vanuit de cirkel.
  5. Los op op [0, 2π)\intco{0}{2\pi}: 2sin⁡2t−sin⁡t−1=02\sin^2 t - \sin t - 1 = 0. (Een kwadratische vergelijking in vermomming: ontbind ze zoals in Probleem 10.1, en lees daarna de cirkel af.)

Deel IV — De hoek van de wiskundige.

  1. Hoeveel graden is 11 radiaal? En dan een valstrik met de rekenmachine: wat is groter, sin⁡(1)\sin(1) (in radialen) of sin⁡(1∘)\sin(1^\circ) — en ruwweg met welke factor? Welke moraal voor de instellingen van je rekenmachine?
  2. Los cos⁡t=sin⁡t\cos t = \sin t op op [0, 2π)\intco{0}{2\pi}, met de cirkel (waar zijn abscis en ordinaat gelijk?).
  3. Voor kleine hoeken vallen de boog en zijn sinus bijna samen: vergelijk sin⁡(0.1)\sin(0.1) met 0.10.1 (vijf decimalen), en geef de relatieve fout. Die “kleinehoekbenadering” stuurt schepen en slingers aan; de stelling erachter (sin⁡tt→1\frac{\sin t}{t} \to 1) is een ster van het limietenhoofdstuk in jaar 12.
  4. Slotstuk — de eenheidscirkel als hoofdklok, telkens één zin: radialen maken van hoeken eerlijke getallen (boog == straal ×\times hoek); cosinus en sinus zijn de schaduw en de hoogte van de wijzer; de symmetrieën van de cirkel zijn de identiteiten; cos⁡t=c\cos t = c oplossen leest de tijdstippen van de klok af; en elk periodiek verschijnsel — rad, getij, geluid — is deze klok in een kostuum.
Oplossing

Oplossing van Probleem 14.1.

1. 30∘=π630^\circ = \frac{\pi}{6}; 135∘=3π4135^\circ = \frac{3\pi}{4}; 300∘=5π3300^\circ = \frac{5\pi}{3}. En 3π4=135∘\frac{3\pi}{4} = 135^\circ; 5π6=150∘\frac{5\pi}{6} = 150^\circ.

2. Lengte r t=3×2=6r\,t = 3 \times 2 = 6 m. Radialen maken van de booglengte een gewoon product — graden zouden in elke formule een π180\frac{\pi}{180} meeslepen.

3. Aantal radialen =afstandstraal=10000.30≈3 333= \frac{\text{afstand}}{\text{straal}} = \frac{1000}{0.30} \approx 3\,333 rad; gedeeld door 2π2\pi: ongeveer 530530 volledige omwentelingen.

4. cos⁡2π3=−12\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12; sin⁡(−π4)=−22\sin\left(-\frac\pi4\right) = -\frac{\sqrt2}{2}; 19π6−2π=7π6\frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6}, dus cos⁡19π6=cos⁡7π6=−32\cos\frac{19\pi}{6} = \cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}.

5. cos⁡2t=1−925=1625\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}; in het tweede kwadrant is de cosinus negatief: cos⁡t=−45\cos t = -\frac45, en tan⁡t=3/5−4/5=−34\tan t = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac34.

6. In tt minuten draait het rad over t30×2π=πt15\frac{t}{30} \times 2\pi = \frac{\pi t}{15}. In t=0t = 0 is h=65−60=5h = 65 - 60 = 5 m — het instapperron onderaan (ashoogte min straal). Het minteken zet je onder de as wanneer de gedraaide hoek 00 is.

7. h(7.5)=65−60cos⁡π2=65h(7.5) = 65 - 60\cos\frac{\pi}{2} = 65 m (ashoogte); h(15)=65+60=125h(15) = 65 + 60 = 125 m (de top); h(20)=65−60cos⁡4π3=65+30=95h(20) = 65 - 60\cos\frac{4\pi}{3} = 65 + 30 = 95 m.

8. 65−60cos⁡πt15=9565 - 60\cos\frac{\pi t}{15} = 95 geeft cos⁡πt15=−12\cos\frac{\pi t}{15} = -\frac12: de eerste oplossing is πt15=2π3\frac{\pi t}{15} = \frac{2\pi}{3}, dus t=10t = 10 minuten.

9. cos⁡πt15≤−12\cos\frac{\pi t}{15} \leq -\frac12 voor πt15∈[2π3, 4π3]\frac{\pi t}{15} \in \intcc{\frac{2\pi}{3}}{\frac{4\pi}{3}}, dus t∈[10, 20]t \in \intcc{10}{20}: tien minuten van de rit boven 9595 m, symmetrisch rond de top in t=15t = 15.

10. Eerste minuut:

h(1)−h(0)=60(1−cos⁡π15)≈1.3 m.h(1) - h(0) = 60\left(1 - \cos\frac{\pi}{15}\right) \approx 1.3 \text{ m}.

Tussen minuut 77 en minuut 88:

60(cos⁡7π15−cos⁡8π15)≈12.5 m60\left(\cos\frac{7\pi}{15} - \cos\frac{8\pi}{15}\right) \approx 12.5 \text{ m}

— bijna tien keer meer. De hoogte verandert het snelst ter hoogte van de as en staat bijna stil bij de bodem en de top: de sinusoïde is steil in haar midden en vlak in haar uitersten.

11. Straal =40−42=18= \frac{40 - 4}{2} = 18 m, as op 4+18=224 + 18 = 22 m, periode 1212 min: h(t)=22−18cos⁡(πt6)h(t) = 22 - 18\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right).

12. Maximum 7+3=107 + 3 = 10 m wanneer sin⁡πt6=1\sin\frac{\pi t}{6} = 1: voor het eerst in t=3t = 3 (3 uur ’s nachts); minimum 44 m voor het eerst in t=9t = 9; periode 2ππ/6=12\frac{2\pi}{\pi/6} = 12 uur.

13. sin⁡πt6≥12\sin\frac{\pi t}{6} \geq \frac12 voor πt6∈[π6, 5π6]\frac{\pi t}{6} \in \intcc{\frac\pi6}{\frac{5\pi}{6}}: t∈[1, 5]t \in \intcc{1}{5} — een venster van vier uur, van 1 tot 5 uur, dat één periode later opnieuw opengaat, t∈[13, 17]t \in \intcc{13}{17} (van 13 tot 17 uur).

14. De spiegeling om de verticale as stuurt het punt met hoek tt naar het punt met hoek π−t\pi - t en behoudt de ordinaat: sin⁡(π−t)=sin⁡t\sin(\pi - t) = \sin t. De halve draai om het middelpunt stuurt tt naar π+t\pi + t en keert beide coördinaten om: cos⁡(π+t)=−cos⁡t\cos(\pi + t) = -\cos t. En de spiegeling om de diagonaal verwisselt abscis en ordinaat: cos⁡(π2−t)=sin⁡t\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t — de “co” van de complementaire hoeken.

15. sin⁡(−t)=−sin⁡t\sin(-t) = -\sin t: oneven (haar grafiek is symmetrisch onder een halve draai); cos⁡(−t)=cos⁡t\cos(-t) = \cos t: even (spiegeling). En sin⁡t+t3\sin t + t^3 is een som van twee oneven functies: oneven.

16. Ontbinden: (2sin⁡t+1)(sin⁡t−1)=0(2\sin t + 1)(\sin t - 1) = 0: sin⁡t=1\sin t = 1 geeft t=π2t = \frac\pi2; sin⁡t=−12\sin t = -\frac12 geeft t=7π6t = \frac{7\pi}{6} en t=11π6t = \frac{11\pi}{6}. Drie oplossingen op de cirkel.

17. 11 rad =180π≈57.3∘= \frac{180}{\pi} \approx 57.3^\circ. Dus is sin⁡(1)≈0.841\sin(1) \approx 0.841 terwijl sin⁡(1∘)≈0.0175\sin(1^\circ) \approx 0.0175: een factor van bijna 5050. Moraal: kijk naar het lampje van de modus voordat je een goniometrische uitkomst vertrouwt.

18. Abscis en ordinaat zijn gelijk op de diagonaal: t=π4t = \frac\pi4 en t=5π4t = \frac{5\pi}{4}.

19. sin⁡(0.1)=0.09983…\sin(0.1) = 0.09983\ldots tegenover 0.10.1: een relatieve fout van ongeveer 0.17 %0.17\,\%. Voor kleine hoeken vlijt de koorde zich tegen de boog aan — en de limiet sin⁡tt→1\frac{\sin t}{t} \to 1 uit jaar 12 is precies deze waarneming, tot stelling verheven.

20. Radialen: hoek == boog op de eenheidscirkel, zodat je met hoeken rekent als met lengten. Cosinus en sinus: de coördinaten van de wijzer — schaduw op de grond, hoogte tegen de muur. Symmetrieën van de cirkel: de hele catalogus van identiteiten, afgelezen van spiegelingen en halve draaien. De vergelijkingen cos⁡t=c\cos t = c: de dienstregeling van de klok, met de cirkel die alle oplossingen tegelijk toont. Kostuums: het rad droeg 65−60cos⁡65 - 60\cos, het getij droeg 7+3sin⁡7 + 3\sin — dezelfde klok, dezelfde wiskunde.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst