Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

25Integreren

Integreren beantwoordt twee vragen tegelijk: wat is de oppervlakte onder een kromme, en hoe haal je een functie terug uit haar veranderingssnelheid? De hoofdstelling van de integraalrekening zegt dat dat dezelfde vraag is — de diepste en nuttigste ontdekking van de zeventiende-eeuwse wiskunde.

25.1 De integraal van een continue functie

Definitie 25.1 (Integraal van een positieve functie)

Zij $f$ continu en positief op $\intcc{a}{b}$ . De integraal

\int_a^b f(x)\,\dd x

is de oppervlakte, in oppervlakte-eenheden, van het gebied begrensd door de kromme van $f$ , de $x$ -as en de verticale rechten $x = a$ en $x = b$ .

Voor een functie met willekeurig teken tellen de oppervlakten onder de $x$ -as negatief mee; en men stelt $\int_b^a f(x)\,\dd x = -\int_a^b f(x)\,\dd x$ .

Getekende oppervlakten: ∈t_02π x\, x = 0, want het gebied onder de as (rood) heft dat erboven (blauw) op. — Getekende oppervlakten: $\int_0^{2\pi} \sin x\,\dd x = 0$ , want het gebied onder de as (rood) heft dat erboven (blauw) op.

Propositie 25.2 (Eigenschappen van de integraal)

Zij $f, g$ continu op een interval dat $a, b, c$ bevat, en $\lambda \in \R$ .

Lineariteit: $\displaystyle\int_a^b (f + \lambda g) = \int_a^b f + \lambda \int_a^b g$ .
Relatie van Chasles: $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ .
Positiviteit: is $a \leq b$ en $f \geq 0$ op $\intcc{a}{b}$ , dan is $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ ; is $f \leq g$ , dan is $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ .

Bewijs. Chasles en de positiviteit volgen uit de duiding als oppervlakte (oppervlakten tellen op wanneer gebieden naast elkaar liggen). De ongelijkheid volgt door de positiviteit op $g - f$ toe te passen. De lineariteit is intuïtief duidelijk (stapel de oppervlakten) en wordt aan de universiteit streng bewezen; hier wordt ze aangenomen. ∎

25.2 De hoofdstelling van de integraalrekening

Definitie 25.3 (Primitieve functie)

Een primitieve functie van $f$ op een interval $I$ is een differentieerbare functie $F$ op $I$ waarvoor $F' = f$ .

Propositie 25.4

Is $F$ een primitieve functie van $f$ op een interval $I$ , dan zijn de primitieve functies van $f$ op $I$ precies de functies $F + c$ met $c \in \R$ . Bij gegeven $x_0 \in I$ en $y_0 \in \R$ is er precies één primitieve functie met $F(x_0) = y_0$ .

Bewijs. Is $G' = F' = f$ , dan is $(G - F)' = 0$ op het interval $I$ , dus is $G - F$ constant.¹ Omgekeerd is elke $F + c$ een primitieve functie. De voorwaarde $F(x_0) = y_0$ legt de constante vast. ∎

Stelling 25.5 (Hoofdstelling van de integraalrekening)

Zij $f$ continu op een interval $I$ en $a \in I$ . De functie

F \colon x \longmapsto \int_a^x f(t)\,\dd t

is de primitieve functie van $f$ op $I$ die in $a$ verdwijnt. Bijgevolg geldt voor elke primitieve functie $G$ van $f$ en alle $a, b \in I$ :

\int_a^b f(t)\,\dd t = \bigl[G(t)\bigr]_a^b = G(b) - G(a).

Het idee van het bewijs: de aangroei F(x+h) - F(x) is de oppervlakte van de smalle oranje strook, ingeklemd tussen rechthoeken met hoogten f(x) en f(x+h) op basis h. — Het idee van het bewijs: de aangroei $F(x+h) - F(x)$ is de oppervlakte van de smalle oranje strook, ingeklemd tussen rechthoeken met hoogten $f(x)$ en $f(x+h)$ op basis $h$ .

Bewijs voor stijgende $f$ . Kies $x \in I$ en $h > 0$ met $x + h \in I$ . Volgens Chasles is

F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\dd t .

Omdat $f$ stijgend is, geldt $f(x) \leq f(t) \leq f(x+h)$ voor $t \in \intcc{x}{x+h}$ , en door integralen te vergelijken (de integraal van een constante $c$ over een interval van lengte $h$ is $ch$ ):

h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h),

dus

f(x) \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h).

Voor $h \to 0^+$ is $f(x+h) \to f(x)$ door de continuïteit, en de insluitstelling geeft dat het differentiequotiënt naar $f(x)$ streeft; het geval $h < 0$ verloopt symmetrisch. Bijgevolg is $F' = f$ en $F(a) = 0$ . Het algemene (niet-monotone) continue geval wordt aan de universiteit bewezen.

Ten slotte: is $G$ een willekeurige primitieve functie, dan is $G = F + c$ (Propositie 25.4), zodat $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$ . ∎

Voorbeeld 25.6

$\displaystyle\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : de oppervlakte onder de parabool is een derde van het eenheidsvierkant, zoals Archimedes wist.

De tabel van primitieve functies lees je af van de tabel van afgeleiden ( $u$ is een differentieerbare functie, $c$ een willekeurige constante):

$f(x)$	primitieve	$f$	primitieve
$x^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$	$u'u^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1} + c$
$\dfrac1x \ (x > 0)$	$\ln x + c$	$\dfrac{u'}{u} \ (u > 0)$	$\ln u + c$
$\eu^x$	$\eu^x + c$	$u'\eu^u$	$\eu^u + c$
$\cos x$	$\sin x + c$	$\dfrac{u'}{\sqrt u} \ (u>0)$	$2\sqrt u + c$
$\sin x$	$-\cos x + c$

Methode 25.7 (De vorm $u' \times (\text{iets in } u)$ herkennen)

Zoek bij het integreren van een product naar een factor die, op een vermenigvuldigende constante na, de afgeleide van een binnenfunctie $u$ is. Zo is in $\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ de factor $x$ gelijk aan $\frac12 (x^2)'$ :

\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x = \frac12\left[\eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}.

Stelling 25.8 (Partiële integratie)

Zij $u, v$ differentieerbaar op $\intcc{a}{b}$ met continue afgeleiden. Dan geldt

\int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \bigl[u(t)\,v(t)\bigr]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t .

Bewijs. De productregel geeft $(uv)' = u'v + uv'$ ; beide leden over $\intcc{a}{b}$ integreren en de hoofdstelling op het linkerlid toepassen levert $\bigl[uv\bigr]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'$ . ∎

Voorbeeld 25.9

$\displaystyle\int_0^1 t\,\eu^{t}\,\dd t$ : neem $u' = \eu^t$ en $v = t$ , dus $u = \eu^t$ en $v' = 1$ :

\int_0^1 t\,\eu^t\,\dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

25.3 Toepassingen

Definitie 25.10 (Gemiddelde waarde)

De gemiddelde waarde van een continue functie $f$ op $\intcc{a}{b}$ ( $a<b$ ) is

\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\dd t .

Propositie 25.11

Is $m \leq f \leq M$ op $\intcc{a}{b}$ , dan is $m \leq \mu \leq M$ .

Bewijs. Integreer de ongelijkheden $m \leq f(t) \leq M$ over $\intcc{a}{b}$ en deel door $b - a > 0$ . ∎

Methode 25.12 (Oppervlakte tussen twee krommen)

Is $f \geq g$ op $\intcc{a}{b}$ , dan is de oppervlakte tussen de twee krommen gelijk aan $\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\dd x$ . Kruisen de krommen elkaar, splits het interval dan in de snijpunten en integreer $\abs{f - g}$ stuk voor stuk.

De oppervlakte tussen de rechte y = x + 1 (rood) en de parabool y = x2 - 1 (blauw) is ∈t_-12 ((x+1) - (x2-1) ) x = 9/2. — De oppervlakte tussen de rechte $y = x + 1$ (rood) en de parabool $y = x^2 - 1$ (blauw) is $\int_{-1}^{2} \bigl((x+1) - (x^2-1)\bigr)\dd x = \frac92$ .

25.4 Oefeningen

Oefening 25.1 ★

Bereken

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x, \qquad \int_0^{\pi/2} \cos t \,\dd t, \qquad \int_0^{1} \frac{\dd t}{2t+1} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.1.

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x = \left[x^3 + \frac1x\right]_1^2 = \left(8 + \tfrac12\right) - 2 = \frac{13}{2}.

\int_0^{\pi/2} \cos t\,\dd t = \bigl[\sin t\bigr]_0^{\pi/2} = 1 .

Met $u = 2t+1$ is $\frac{1}{2t+1} = \frac12\,\frac{u'}{u}$ :

\int_0^1 \frac{\dd t}{2t+1} = \frac12\bigl[\ln(2t+1)\bigr]_0^1 = \frac{\ln 3}{2}.

Oefening 25.2 ★

Zoek de primitieve functie $F$ van $f(x) = x\eu^{x^2}$ op $\R$ waarvoor $F(0) = 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.2.

$x\,\eu^{x^2} = \frac12\,(x^2)'\,\eu^{x^2}$ heeft als primitieve functies $\frac12\eu^{x^2} + c$ . De voorwaarde $F(0) = 1$ geeft $\frac12 + c = 1$ , dus

F(x) = \frac{\eu^{x^2} + 1}{2}.

Oefening 25.3 ★

Bereken de gemiddelde waarde van $f(t) = \sin t$ op $\intcc{0}{\pi}$ , en duid het resultaat op een grafiek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.3.

\mu = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 .

Grafisch heeft de rechthoek met basis $\intcc{0}{\pi}$ en hoogte $\frac{2}{\pi}$ dezelfde oppervlakte als de boog van de sinuskromme.

Oefening 25.4 ★★

Bereken met partiële integratie

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t \qquad\text{en}\qquad \int_0^{\pi} t \sin t\,\dd t .

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.4.

Neem $u' = 1$ en $v = \ln t$ , dus $u = t$ en $v' = \frac1t$ :

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

Neem $u' = \sin t$ en $v = t$ , dus $u = -\cos t$ en $v' = 1$ :

\int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi .

Oefening 25.5 ★★

Bereken de oppervlakte van het gebied tussen de parabool $y = x^2$ en de rechte $y = x + 2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.5.

De krommen snijden elkaar waar $x^2 = x + 2$ , dus in $x \in \{-1, 2\}$ , en op $\intcc{-1}{2}$ ligt de rechte boven de parabool. De oppervlakte is

\int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^2\bigr)\dd x = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}.

Oefening 25.6 ★★

Zij $I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{1 + t}$ .

Bereken $I$ .
Zij voor $n \in \N$ het getal $I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$ . Toon aan dat $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ en dat $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$ .
Leid af dat $1 - \frac12 + \frac13 - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ln 2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.6.

1. $I = \bigl[\ln(1+t)\bigr]_0^1 = \ln 2$ .

I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{t^n(1 + t)}{1+t}\,\dd t = \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1}.

Op $\intcc{0}{1}$ is $0 \leq \dfrac{t^n}{1+t} \leq t^n$ , dus door vergelijking $0 \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}$ .

3. Uit de recursie volgt, met een telescoperende inductie,

I_n = (-1)^n\left(I_0 - \left(1 - \frac12 + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)\right),

dus $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 - (-1)^n I_n$ (met $I_0 = \ln 2$ ). Omdat $\abs{I_n} \leq \frac{1}{n+1} \to 0$ , streeft de alternerende harmonische som naar $\ln 2$ .

Oefening 25.7 ★★

De snelheid van een trein (in m/s) gedurende de eerste $100$ seconden na het vertrek wordt gemodelleerd door $v(t) = 30\bigl(1 - \eu^{-t/50}\bigr)$ . Bereken de afgelegde afstand tijdens die $100$ seconden, en de gemiddelde snelheid van de trein over dat interval.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.7.

Afstand:

d = \int_0^{100} 30\left(1 - \eu^{-t/50}\right)\dd t = 30\left[t + 50\,\eu^{-t/50}\right]_0^{100} = 30\left(100 + 50\eu^{-2} - 50\right) = 1500 + 1500\,\eu^{-2}.

In getallen is $d \approx 1500 + 203 = 1703$ m. Gemiddelde snelheid: $\frac{d}{100} = 15\bigl(1 + \eu^{-2}\bigr) \approx 17.0$ m/s.

Oefening 25.8 ★★★

Zij voor $n \geq 1$ de som $S_n = \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n}$ .

Duid $S_n$ als een oppervlakte van rechthoeken die een gebied onder de kromme van $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ op $\intcc{0}{1}$ benaderen.
Toon met de monotonie van $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ aan dat

$S_n \leq \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t} \leq S_n + \frac1n\left(1 - \frac12\right),$

en leid $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \ln 2$ af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.8.

1. $S_n$ is de totale oppervlakte van $n$ rechthoeken met breedte $\frac1n$ en hoogten $f\left(\frac kn\right)$ voor $k = 1, \dots, n$ , waarbij $f(t) = \frac{1}{1+t}$ : het is de rechthoekbenadering “met het rechteruiteinde” van de oppervlakte onder $f$ op $\intcc{0}{1}$ .

2. $f$ is dalend, dus geldt op elk interval $\intcc{\frac{k-1}{n}}{\frac kn}$ dat $f\left(\frac kn\right) \leq f(t) \leq f\left(\frac{k-1}{n}\right)$ ; integreren en over $k$ sommeren geeft

S_n \leq \int_0^1 f(t)\,\dd t \leq S_n + \frac1n\bigl(f(0) - f(1)\bigr) = S_n + \frac{1}{2n}.

(De middelste term uit de opgave, met $f(0) - f(1) = 1 - \frac12$ , is precies die grens.) Bijgevolg is $0 \leq \ln 2 - S_n \leq \frac{1}{2n} \to 0$ , dus $S_n \to \ln 2$ .

Oefening 25.9 ★★★

(Integralen van Wallis.) Zij voor $n \in \N$ het getal $W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$ .

Bereken $W_0$ en $W_1$ .
Toon, door $\sin^{n+2}t = \sin t \cdot \sin^{n+1} t$ te schrijven en partieel te integreren, aan dat $W_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}\,W_n$ .
Leid $W_2$ , $W_3$ en $W_4$ af, en toon aan dat $(W_n)$ dalend en positief is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.9.

1. $W_0 = \int_0^{\pi/2} \dd t = \frac{\pi}{2}$ en $W_1 = \bigl[-\cos t\bigr]_0^{\pi/2} = 1$ .

2. Integreer partieel met $u' = \sin t$ en $v = \sin^{n+1} t$ , dus $u = -\cos t$ en $v' = (n+1)\sin^n t \cos t$ :

W_{n+2} = \bigl[-\cos t \sin^{n+1} t\bigr]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^n t\,\dd t = (n+1)\int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\sin^n t\,\dd t,

want de haak verdwijnt in beide uiteinden. Bijgevolg is $W_{n+2} = (n+1)(W_n - W_{n+2})$ , dus $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n$ .

3. $W_2 = \frac12 W_0 = \frac{\pi}{4}$ , $W_3 = \frac23 W_1 = \frac23$ , $W_4 = \frac34 W_2 = \frac{3\pi}{16}$ . Op $\intoo{0}{\frac\pi2}$ is $0 < \sin t < 1$ , dus $\sin^{n+1} t \leq \sin^n t$ , met strikte ongelijkheid binnenin; integreren geeft $0 < W_{n+1} \leq W_n$ (zelfs $<$ ): $(W_n)$ is dalend en positief.

25.5 Opgave: Archimedes tegen de machine

Probleem 25.1

Weekendopgave — de oppervlakte onder de parabool, op drie manieren berekend over tweeëntwintig eeuwen, en de geheime identiteit van de logaritme als oppervlakte

Rond 240 v.Chr. berekende Archimedes de exacte oppervlakte van een parabolisch segment — zonder coördinaten, zonder limieten, zonder algebra. Negentien eeuwen later deden de rechthoeken van Riemann het over met brute insluiting; en de hoofdstelling van de integraalrekening (Stelling 25.5) doet het vandaag in één regel. Deze opgave speelt alle drie de wedstrijden, en gebruikt daarna dezelfde machine om te onthullen wat de logaritme werkelijk is: een oppervlakte met een schaalsymmetrie.

Deel I — Vlot rekenen.

Bereken $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)\,\dd x$ , $\displaystyle\int_1^{\eu} \frac{\dd x}{x}$ en $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\dd x$ .
Spot de vormen $u'u$ (Methode 25.7): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ en $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,\dd x$ .
Met partiële integratie (Stelling 25.8): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^x \dd x$ en $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln x\,\dd x$ .
Bereken de gemiddelde waarde (Definitie 25.10) van $\sin$ over $\intcc{0}{\pi}$ — en merk op dat ze niet $\frac12$ is.
Bereken de oppervlakte tussen de rechte $y = x$ en de parabool $y = x^2$ over $\intcc{0}{1}$ (Methode 25.12).

Deel II — De parabool, op drie manieren.

De opzet van Riemann voor de oppervlakte onder $y = x^2$ op $\intcc{0}{1}$ : schrijf de ondersom $L_n$ en de bovensom $U_n$ over $n$ gelijke rechthoeken op (zoals in Oefening 25.8).
Bewijs met inductie (de machine van Probleem 20.1) de formule voor de som van de kwadraten:

$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} .$
Leid gesloten uitdrukkingen voor $U_n$ en $L_n$ af, bereken hun gemeenschappelijke limiet, en besluit: de oppervlakte is $\frac13$ .
En nu de machine: bereken $\int_0^1 x^2\,\dd x$ met de hoofdstelling, in één regel. Vergelijk de inspanningen.
Archimedes formuleerde het anders: een parabolisch segment is $\frac43$ van zijn ingeschreven driehoek. Bereken voor het segment dat de koorde van $(-1, 1)$ naar $(1, 1)$ uit $y = x^2$ snijdt: de oppervlakte van het segment met een integraal, de oppervlakte van de ingeschreven driehoek (met top in $(0, 0)$ ), en ga de verhouding van de meester na.
De eigen methode van Archimedes: vul het segment met de grote driehoek $T$ , daarna met twee driehoeken die samen $\frac T4$ meten, daarna met vier die samen $\frac{T}{16}$ meten, enzovoort. Sommeer de meetkundige reeks en haal $\frac43 T$ terug — de eindeloos afgebeten chocoladereep uit het onderbouwvolume, opgegeten door een Griekse meetkundige.
Telkens één zin: uitputting (Archimedes), insluiting (Riemann), terugafleiden (Newton en Leibniz) — wat heeft elk nodig, en wat geeft elk?

Deel III — De logaritme is een oppervlakte. Stel voor $x > 0$ : $A(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{\dd t}{t}$ .

Geef $A(1)$ en $A'(x)$ (Stelling 25.5), en besluit dat $A$ precies de natuurlijke logaritme van Definitie 23.5 is.
Het schaalwonder: kies $a > 0$ vast en bestudeer $g(x) = A(ax) - A(x)$ . Bereken $g'$ (kettingregel), leid af dat $g$ constant is, bepaal die constante — en besluit tot de functionaalvergelijking

$\ln(ab) = \ln a + \ln b ,$

bewezen met zuivere analyse: de oppervlakte van $1$ tot $ab$ valt uiteen in geschaalde kopieën.
Leid uit vraag 14 af: $\ln(a^n) = n\ln a$ en $\ln\frac1a = -\ln a$ .
Oefening 25.8 leest $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$ als rechthoeken onder $\frac{1}{1 + t}$ : bereken die som voor $n = 10$ (drie decimalen) en vergelijk met $\ln 2$ . Welke sommen met een harmonische smaak, term voor term divergent, convergeren hier naar een oppervlakte?

Deel IV — Opstapelen.

Een auto versnelt met snelheid $v(t) = 3t^2$ m/s voor $t \in \intcc{0}{10}$ . Bereken de afgelegde afstand, de gemiddelde snelheid, en het ogenblik waarop de ogenblikkelijke snelheid gelijk is aan de gemiddelde snelheid.
Een staaf van $4$ meter heeft lineaire dichtheid $\rho(x) = 2 + x$ kg/m. Bereken haar totale massa en haar massamiddelpunt $\dfrac{\int_0^4 x\,\rho(x)\,\dd x}{\int_0^4 \rho(x)\,\dd x}$ — het evenwichtspunt van de kartonnen driehoek uit het onderbouwvolume, eindelijk berekend met gewichten die variëren.
De integralen van Wallis (Oefening 25.9): bereken $W_0$ , $W_1$ en $W_2 = \int_0^{\pi/2} \sin^2 t\,\dd t$ met de linearisatie uit Probleem 24.1. (Hun oneindige ladder klimt in de universitaire volumes naar een productformule voor $\pi$ en naar de normalisatie van de klokkromme.)
Slotstuk — de drie gezichten van het integreren: een oppervlakte per definitie, een opstapeling in de wereld (afstand, massa), en een primitieve functie volgens de hoofdstelling; en de geschiedenis ervan in drie namen. Sluit af met de parel van dit hoofdstuk: welke alledaagse toets op de rekenmachine is in het geheim de oppervlakte onder $\frac1t$ — en welke identiteit bewees die oppervlakte?

Oplossing

Oplossing van Probleem 25.1.

1. $\left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = 1$ ; $\left[\ln x\right]_1^{\eu} = 1$ ; $\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1$ .

2. $\left[\frac12 \eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}$ ; $\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2$ .

3. $\int_0^1 x\eu^x = \left[x\eu^x\right]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$ . En $\int_1^{\eu} \ln x = \left[x\ln x\right]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1 = \eu - (\eu - 1) = 1$ .

4. $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,\dd x = \frac{2}{\pi} \approx 0.64$ : de gemiddelde hoogte van de sinusboog is $\frac2\pi$ , merkbaar meer dan een half — de boog is dik bij haar top.

5. $\int_0^1 (x - x^2)\,\dd x = \frac12 - \frac13 = \frac16$ .

6. $L_n = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac kn\right)^2$ en $U_n = \frac1n \sum_{k=1}^{n} \left(\frac kn\right)^2$ : rechthoeken met breedte $\frac1n$ waarvan de hoogte in het linkeruiteinde (onder de kromme) of het rechteruiteinde (erboven) wordt afgelezen.

7. Waar voor $n = 1$ ( $1 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}$ ). Geldt ze voor $n$ , dan geeft $(n+1)^2$ erbij optellen

\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\left(2n^2 + n + 6n + 6\right)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},

de formule voor $n + 1$ : erfelijkheid, klaar.

8. $U_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(1 + \frac1n)(2 + \frac1n)}{6} \to \frac26 = \frac13$ , en $L_n = U_n - \frac1n \to \frac13$ : ingeklemd tussen haar trappen is de oppervlakte precies $\frac13$ .

9. $\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : één regel. De hoofdstelling zet een oneindige insluiting om in het invullen van één primitieve functie — en daarom heet ze de hoofdstelling.

10. Segment: $\int_{-1}^{1}(1 - x^2)\,\dd x = 2 - \frac23 = \frac43$ . Driehoek met als basis de koorde (lengte $2$ , op hoogte $1$ ) en top $(0,0)$ : oppervlakte $\frac12 \times 2 \times 1 = 1$ . Verhouding: $\frac43$ — precies de stelling van Archimedes, nagegaan met de machine die hij niet had.

11. $T\left(1 + \frac14 + \frac{1}{16} + \dots\right) = T \cdot \frac{1}{1 - \frac14} = \frac43 T$ (meetkundige reeks met reden $\frac14$ ): met $T = 1$ opnieuw de oppervlakte $\frac43$ van het segment. Archimedes sommeerde de reeks met een zuiver meetkundig argument — de kwarthappen van het chocoladereeptype, twee millennia voordat limieten woorden waren.

12. De uitputting vraagt een vernuftige meetkundige gelijkvormigheid en geeft geval per geval exacte oppervlakten; Riemann vraagt alleen monotonie en geeft een universele definitie, tegen de prijs van sommen berekenen; en de hoofdstelling vraagt het hele bouwwerk van de afgeleiden en betaalt dat terug door oppervlakten tot berekeningen van één regel te maken.

13. $A(1) = 0$ en $A'(x) = \frac1x$ (hoofdstelling): $A$ is de primitieve functie van $\frac1x$ op $\intoo{0}{+\infty}$ die in $1$ verdwijnt — en dat is precies de natuurlijke logaritme.

14. $g'(x) = \frac{a}{ax} - \frac1x = 0$ : $g$ is constant; in $x = 1$ is $g(1) = A(a) - A(1) = A(a)$ . Bijgevolg is $A(ax) = A(a) + A(x)$ voor alle $x$ , en met $x = b$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ . De oppervlakte onder de hyperbool trekt zich niets aan van de horizontale schaal: $t$ met $a$ uitrekken drukt $\frac1t$ met $a$ samen, en de oppervlakte overleeft — logaritmen optellen is een schaalsymmetrie.

15. Herhalen geeft $\ln(a^n) = n\ln a$ (inductie op $n$ ). En $0 = \ln 1 = \ln\left(a \cdot \frac1a\right) = \ln a + \ln\frac1a$ , dus $\ln\frac1a = -\ln a$ .

16. $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{20} \approx 0.669$ , tegenover $\ln 2 \approx 0.693$ : tien rechthoeken onder $\frac{1}{1+t}$ , en al dichtbij. De harmonische reeks divergeert, maar haar plakken van $n$ tot $2n$ zetten zich vast op $\ln 2$ : divergentie op slakkentempo, gemeten door een oppervlakte.

17. Afstand: $\int_0^{10} 3t^2\,\dd t = 1000$ m. Gemiddelde snelheid: $100$ m/s. Het ogenblik met $v = 100$ : $3t^2 = 100$ , dus $t = \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5.77$ s.

18. Massa: $\int_0^4 (2 + x)\,\dd x = 8 + 8 = 16$ kg. Moment: $\int_0^4 (2x + x^2)\,\dd x = 16 + \frac{64}{3} = \frac{112}{3}$ . Massamiddelpunt: $\frac{112/3}{16} = \frac73 \approx 2.33$ m — voorbij het midden geduwd door het zwaardere rechteruiteinde, zoals de intuïtie eist.

19. $W_0 = \frac\pi2$ ; $W_1 = \left[-\cos t\right]_0^{\pi/2} = 1$ ; en $W_2 = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2t}{2}\,\dd t = \frac\pi4$ .

20. Oppervlakte: de definitie, ingeklemd door trappen. Opstapeling: afstanden uit snelheden, massa’s uit dichtheden — de integraal als lopend totaal. Primitieve functie: de hoofdstelling, de sluipweg van Newton en Leibniz door het geduld van Archimedes heen. De parel: de toets $\ln$ is de oppervlakte onder $\frac1t$ , en de schaalsymmetrie van die oppervlakte is de identiteit $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ .

Dat een functie met afgeleide nul op een interval constant is, volgt uit Stelling 22.7: ze is zowel stijgend als dalend. ↩