Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

13Rijen: een eerste kennismaking

Een rij is een lijst getallen die door een voorschrift wordt voortgebracht: de opeenvolgende saldi van een spaarrekening, de omvang van een populatie jaar na jaar. Dit hoofdstuk bestudeert de twee families die de toepassingen beheersen — rekenkundige rijen, die met gelijke stappen groeien, en meetkundige rijen, die met gelijke verhoudingen groeien. De strenge theorie van de limieten wordt in Hoofdstuk 20 opgebouwd.

13.1 Een rij vastleggen

Definitie 13.1 (Rij)

Een rij $(u_n)$ kent aan elk geheel getal $n \geq 0$ (of $n \geq 1$ ) een reëel getal $u_n$ toe, haar term met index $n$ . Een rij kan gegeven worden

expliciet, door een formule voor $u_n$ in functie van $n$ : bijvoorbeeld $u_n = n^2 + 1$ ;
recursief, door haar eerste term en een voorschrift om van elke term naar de volgende te gaan: bijvoorbeeld $u_0 = 3$ en $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

Voorbeeld 13.2

Voor $u_n = n^2 + 1$ : $u_0 = 1$ , $u_1 = 2$ , $u_2 = 5$ , en rechtstreeks $u_{10} = 101$ . Voor $u_0 = 3$ , $u_{n+1} = 2u_n - 1$ : $u_1 = 5$ , $u_2 = 9$ , $u_3 = 17$ — elke term heeft de vorige nodig; tot bij $u_{10}$ geraken kost tien stappen (of een algemene formule, zie Oefening 13.11).

13.2 Rekenkundige rijen

Definitie 13.3 (Rekenkundige rij)

Een rij heet rekenkundig met verschil $d$ wanneer elke term uit de vorige ontstaat door er $d$ bij op te tellen:

u_{n+1} = u_n + d \quad \text{voor alle } n.

Gelijkwaardig: het verschil $u_{n+1} - u_n$ is constant en gelijk aan $d$ .

Stelling 13.4 (Algemene term)

Is $(u_n)$ rekenkundig met eerste term $u_0$ en verschil $d$ , dan geldt

u_n = u_0 + n\,d \quad \text{voor alle } n \geq 0, \qquad\text{en algemener } u_n = u_p + (n - p)\,d .

Bewijs. Om van $u_0$ tot $u_n$ te komen wordt het voorschrift “tel $d$ op” $n$ keer toegepast: één stap geeft $u_1 = u_0 + d$ , twee stappen geven $u_2 = u_0 + 2d$ , en na $n$ stappen heeft elke toepassing één $d$ bijgedragen, dus $u_n = u_0 + nd$ . (Dat “enzovoort” wordt in Hoofdstuk 20 met inductie streng gemaakt.) De algemene formule volgt door de $n - p$ stappen van $u_p$ naar $u_n$ te tellen. ∎

Stelling 13.5 (Som van opeenvolgende gehele getallen)

Voor elk geheel getal $n \geq 1$ geldt

1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.

Algemener is een som van opeenvolgende termen van een rekenkundige rij gelijk aan

(\text{aantal termen}) \times \frac{\text{eerste term} + \text{laatste term}}{2}.

Bewijs. Schrijf de som $S$ twee keer op, de tweede keer in omgekeerde volgorde, en tel kolom per kolom op:

\begin{array}{ccccccccc} S & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n\\ S & = & n & + & (n-1) & + & \dots & + & 1\\ \hline 2S & = & (n+1) & + & (n+1) & + & \dots & + & (n+1) \end{array}

Er zijn $n$ kolommen, elk met som $n + 1$ , dus $2S = n(n+1)$ . Voor een algemene rekenkundige rij werkt dezelfde koppeling: eerste $+$ laatste $=$ tweede $+$ voorlaatste $= \dots$ , want één stap vooruit aan de linkerkant ( $+d$ ) wordt gecompenseerd door één stap achteruit aan de rechterkant ( $-d$ ). ∎

Voorbeeld 13.6

$1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$ . De som van de oneven getallen $1 + 3 + \dots + 99$ ( $50$ termen) is $50 \times \frac{1 + 99}{2} = 2500$ .

13.3 Meetkundige rijen

Definitie 13.7 (Meetkundige rij)

Een rij heet meetkundig met reden $q \neq 0$ wanneer elke term uit de vorige ontstaat door met $q$ te vermenigvuldigen:

u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{voor alle } n.

Gelijkwaardig, wanneer geen enkele term nul is: de verhouding $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ is constant en gelijk aan $q$ .

Stelling 13.8 (Algemene term)

Is $(u_n)$ meetkundig met eerste term $u_0$ en reden $q$ , dan geldt

u_n = u_0\, q^n \quad \text{voor alle } n \geq 0, \qquad\text{en algemener } u_n = u_p\, q^{\,n-p} .

Bewijs. Hetzelfde stappen tellen als in Stelling 13.4: van $u_0$ tot $u_n$ wordt het voorschrift “vermenigvuldig met $q$ ” $n$ keer toegepast, wat een factor $q^n$ bijdraagt. ∎

Stelling 13.9 (Meetkundige som)

Voor elke reële $q \neq 1$ en elk geheel getal $n \geq 0$ geldt

1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.

Bewijs. Zij $S = 1 + q + \dots + q^n$ . Vermenigvuldig met $q$ : $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$ . Aftrekken geeft

S - qS = \bigl(1 + q + \dots + q^n\bigr) - \bigl(q + q^2 + \dots + q^{n+1}\bigr) = 1 - q^{\,n+1},

want elke tussenliggende term komt in beide sommen één keer voor en valt weg. Bijgevolg is $(1 - q)S = 1 - q^{\,n+1}$ , en delen door $1 - q \neq 0$ geeft de formule. ∎

Voorbeeld 13.10

$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2047$ : rijstkorrels verdubbelen op de velden van een schaakbord overspoelt elke graanschuur ruim vóór het $64$ ste veld, waar het totaal $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ bedraagt.

Gelijke stappen tegenover gelijke verhoudingen: een rekenkundige rij (u_n+1 = u_n + 0.9, blauw) volgt een rechte, een meetkundige rij (u_n+1 = 1.2\,u_n, rood) volgt een exponentiële kromme die haar uiteindelijk voorbijgroeit. — Gelijke stappen tegenover gelijke verhoudingen: een rekenkundige rij ( $u_{n+1} = u_n + 0.9$ , blauw) volgt een rechte, een meetkundige rij ( $u_{n+1} = 1.2\,u_n$ , rood) volgt een exponentiële kromme die haar uiteindelijk voorbijgroeit.

Methode 13.11 (Het type van een rij herkennen)

Bereken $u_{n+1} - u_n$ en vereenvoudig. Is het resultaat een constante $d$ , dan is de rij rekenkundig. Bereken anders $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (met termen verschillend van nul) en vereenvoudig: een constante $q$ betekent meetkundig. Is geen van beide constant, dan behoort de rij tot geen van beide types — besluit nooit uit alleen de eerste paar termen.

Voorbeeld 13.12

Voor $u_n = 3 \times 5^n$ is $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \times 5^{n+1}}{3 \times 5^n} = 5$ voor alle $n$ : meetkundig met reden $5$ . Voor $u_n = n^2$ is $u_1 - u_0 = 1$ maar $u_2 - u_1 = 3$ , en $\frac{u_1}{u_0}$ is niet eens gedefinieerd — noch rekenkundig, noch meetkundig.

13.4 Monotonie

Definitie 13.13 (Monotone rij)

Een rij $(u_n)$ heet stijgend wanneer $u_{n+1} \geq u_n$ voor alle $n$ , en dalend wanneer $u_{n+1} \leq u_n$ voor alle $n$ .

Methode 13.14 (Monotonie bestuderen)

Bestudeer het teken van $u_{n+1} - u_n$ . Voor rijen met positieve termen mag je in de plaats $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ met $1$ vergelijken.

Voorbeeld 13.15

Een rekenkundige rij is stijgend wanneer $d \geq 0$ ( $u_{n+1} - u_n = d$ ) en dalend wanneer $d \leq 0$ . Een meetkundige rij met $u_0 > 0$ en $q > 1$ is stijgend: $u_{n+1} - u_n = u_0 q^n (q - 1) > 0$ ; met $u_0 > 0$ en $0 < q < 1$ is ze dalend.

13.5 Gedrag op lange termijn, informeel

Wat gebeurt er met $u_n$ wanneer $n$ heel groot wordt? Voor een rekenkundige rij met $d > 0$ overtreffen de termen $u_0 + nd$ uiteindelijk elk vast getal. Voor een meetkundige rij met $0 < q < 1$ krimpen de termen $u_0 q^n$ naar $0$ : herhaaldelijk met bijvoorbeeld $0.9$ vermenigvuldigen knaagt elke beginwaarde weg. En voor $q > 1$ ontploffen de termen, zoals in Voorbeeld 13.10.

Opmerking 13.16

Die uitspraken laten zich volkomen precies maken — “de termen blijven uiteindelijk binnen elke gegeven afstand van $0$ ” — en bewijzen. Dat is de theorie van de limieten, het openingsthema van Hoofdstuk 20.

13.6 Oefeningen

Oefening 13.1 ★

Bereken voor elke rij $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ :

u_n = \frac{n}{n+1}; \qquad u_0 = 5,\ u_{n+1} = 3u_n - 2; \qquad u_n = (-1)^n\,n .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.1.

$u_n = \frac{n}{n+1}$ : $u_1 = \frac12$ , $u_2 = \frac23$ , $u_3 = \frac34$ .

$u_0 = 5$ , $u_{n+1} = 3u_n - 2$ : $u_1 = 13$ , $u_2 = 37$ , $u_3 = 109$ .

$u_n = (-1)^n n$ : $u_1 = -1$ , $u_2 = 2$ , $u_3 = -3$ .

Oefening 13.2 ★

$(u_n)$ is rekenkundig met $u_0 = 7$ en $d = -3$ . Bereken $u_{10}$ en $u_{25}$ . $(v_n)$ is rekenkundig met $v_3 = 11$ en $v_8 = 26$ . Zoek het verschil en $v_0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.2.

$u_{10} = 7 + 10 \times (-3) = -23$ en $u_{25} = 7 - 75 = -68$ .

Voor $(v_n)$ : $v_8 = v_3 + 5d$ geeft $26 = 11 + 5d$ , dus $d = 3$ ; daarna is $v_0 = v_3 - 3d = 11 - 9 = 2$ .

Oefening 13.3 ★

$(u_n)$ is meetkundig met $u_0 = 5$ en $q = 2$ . Bereken $u_8$ . $(v_n)$ is meetkundig met positieve termen, $v_2 = 12$ en $v_4 = 48$ . Zoek de reden en $v_0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.3.

$u_8 = 5 \times 2^8 = 1280$ .

Voor $(v_n)$ : $v_4 = v_2\, q^2$ geeft $48 = 12 q^2$ , dus $q^2 = 4$ en $q = 2$ (de termen zijn positief). Daarna is $v_0 = \frac{v_2}{q^2} = \frac{12}{4} = 3$ .

Oefening 13.4 ★

Bereken

1 + 2 + 3 + \dots + 500, \qquad 4 + 7 + 10 + \dots + 61, \qquad 1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^{10}} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.4.

$1 + \dots + 500 = \frac{500 \times 501}{2} = 125\,250$ .

$4 + 7 + \dots + 61$ is rekenkundig met $d = 3$ en $\frac{61 - 4}{3} + 1 = 20$ termen: som $20 \times \frac{4 + 61}{2} = 650$ .

$1 + \frac12 + \dots + \frac{1}{2^{10}}$ is meetkundig met $q = \frac12$ en $11$ termen: $\frac{1 - (1/2)^{11}}{1 - 1/2} = 2\left(1 - \frac{1}{2048}\right) = \frac{2047}{1024}$ .

Oefening 13.5 ★

Bepaal of elke rij rekenkundig is, meetkundig, of geen van beide:

u_n = 4n - 1; \qquad v_n = \frac{2^n}{3^{n+1}}; \qquad w_n = n^2 + n .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.5.

$u_{n+1} - u_n = 4(n+1) - 1 - 4n + 1 = 4$ : rekenkundig met $d = 4$ .

$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{2^n} = \frac23$ : meetkundig met $q = \frac23$ .

$w_0 = 0$ , $w_1 = 2$ , $w_2 = 6$ : de verschillen $2$ en $4$ zijn ongelijk, dus niet rekenkundig; $\frac{w_1}{w_0}$ is niet eens gedefinieerd, en de verhoudingen $\frac{w_2}{w_1} = 3 \neq \frac{w_3}{w_2} = 2$ : geen van beide.

Oefening 13.6 ★★

Een theater telt $20$ rijen stoelen: $16$ stoelen in de eerste rij, en elke rij heeft $2$ stoelen meer dan de vorige. Hoeveel stoelen staan er in de laatste rij? En in het hele theater?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.6.

De aantallen stoelen per rij vormen een rekenkundige rij: eerste term $16$ , verschil $2$ . De laatste (twintigste) rij telt $16 + 19 \times 2 = 54$ stoelen. Het totaal is $20 \times \frac{16 + 54}{2} = 700$ stoelen.

Oefening 13.7 ★★

Een bacteriepopulatie verdubbelt elk uur; om 12 uur ’s middags zijn er $500$ bacteriën. Hoeveel zijn er om 20 uur? Na hoeveel volle uren overtreft de populatie voor het eerst één miljoen? (Los op door opeenvolgende machten van $2$ te proberen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.7.

Na $n$ uur telt de populatie $500 \times 2^n$ . Om 20 uur is $n = 8$ : $500 \times 256 = 128\,000$ bacteriën. We hebben $500 \times 2^n > 10^6$ nodig, dus $2^n > 2000$ : omdat $2^{10} = 1024$ en $2^{11} = 2048$ , overtreft de populatie één miljoen voor het eerst na $11$ volle uren, om 23 uur.

Oefening 13.8 ★★

Elke maand stort een spaarder $100$ euro op een rekening die $0.2\%$ rente per maand geeft op het bestaande saldo (de rente wordt vlak vóór de storting bijgeschreven). Zij $c_n$ het saldo vlak na de $n$ -de storting, dus $c_1 = 100$ en $c_{n+1} = 1.002\,c_n + 100$ . Bereken $c_2$ en $c_3$ , en leg uit waarom $(c_n)$ noch rekenkundig noch meetkundig is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.8.

$c_2 = 1.002 \times 100 + 100 = 200.20$ en $c_3 = 1.002 \times 200.20 + 100 \approx 300.60$ . De verschillen $c_2 - c_1 = 100.20$ en $c_3 - c_2 \approx 100.40$ zijn niet gelijk, dus is $(c_n)$ niet rekenkundig; de verhoudingen $\frac{c_2}{c_1} = 2.002$ en $\frac{c_3}{c_2} \approx 1.50$ zijn evenmin gelijk, dus is ze ook niet meetkundig. (Gemengde recursies van het type “vermenigvuldig en tel dan op” los je op met de hulprijtruc van Oefening 13.11.)

Oefening 13.9 ★★

Bestudeer de monotonie van de rijen

u_n = n^2 - 8n \ (n \geq 0), \qquad v_n = \frac{3^n}{n!}\ (n \geq 1),

waarbij $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ . (Vergelijk voor $(v_n)$ $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ met $1$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.9.

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) - n^2 + 8n = 2n - 7$ : negatief voor $n \leq 3$ , positief voor $n \geq 4$ . Dus daalt $(u_n)$ tot $u_4 = 16 - 32 = -16$ en stijgt ze daarna: ze is niet monotoon.

$(v_n)$ heeft positieve termen en

\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1},

wat $> 1$ is voor $n \leq 1$ , $= 1$ voor $n = 2$ en $< 1$ voor $n \geq 3$ : de rij stijgt tot $v_2 = v_3 = \frac92$ en daalt daarna.

Oefening 13.10 ★★

De som van de eerste $n$ termen van een rekenkundige rij met $u_0 = 3$ en $d = 4$ is gelijk aan $903$ . Zoek $n$ . (Stel een kwadratische vergelijking in $n$ op en gebruik Hoofdstuk 10.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.10.

De eerste $n$ termen zijn $u_0, \dots, u_{n-1}$ , met $u_0 = 3$ en $u_{n-1} = 3 + 4(n-1) = 4n - 1$ . Hun som is

n \times \frac{3 + (4n-1)}{2} = n(2n + 1) = 903,

dus $2n^2 + n - 903 = 0$ . Hier is $\Delta = 1 + 4 \times 2 \times 903 = 7225 = 85^2$ , en $n = \frac{-1 + 85}{4} = 21$ (de negatieve wortel valt weg). Controle: $21 \times 43 = 903$ .

Oefening 13.11 ★★★

Zij $u_0 = 3$ en $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

Bereken $u_1, u_2, u_3$ en vermoed een formule voor $u_n$ .
Zij $v_n = u_n - 1$ . Toon aan dat $(v_n)$ meetkundig is, en geef haar reden en haar eerste term.
Leid een expliciete formule voor $u_n$ af en ga je vermoeden na.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.11.

1. $u_1 = 5$ , $u_2 = 9$ , $u_3 = 17$ : elke term is één meer dan $4$ , $8$ , $16$ , wat $u_n = 2^{n+1} + 1$ doet vermoeden.

2. Met $v_n = u_n - 1$ :

v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = 2u_n - 1 - 1 = 2(u_n - 1) = 2v_n,

dus is $(v_n)$ meetkundig met reden $2$ en eerste term $v_0 = u_0 - 1 = 2$ .

3. Bijgevolg is $v_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$ en $u_n = v_n + 1 = 2^{n+1} + 1$ , wat het vermoeden bevestigt. (Het getal $1$ dat in $v_n$ wordt afgetrokken is het vaste punt van $x \mapsto 2x - 1$ ; hetzelfde idee duikt voor $u_{n+1} = au_n + b$ opnieuw op in Hoofdstuk 20.)

13.7 Opgave: de toren van Brahma en de konijnen van Fibonacci

Probleem 13.1

Weekendopgave — twee legendarische recursies: de toren die de wereld beëindigt, de rij die als goud groeit, en de hulptruc die leningen temt

Twee rijen beheersen de folklore van de wiskunde. De ene telt de zetten van de toren van Brahma — vierenzestig gouden schijven waarvan de verhuizing, zo zegt de legende, het einde van de wereld inluidt. De andere telt de konijnen van Fibonacci en verbergt de gulden snede. Geen van beide is rekenkundig, geen van beide is meetkundig — en allebei geven ze zich over aan de wapens van dit hoofdstuk: recursies, meetkundige sommen (Stelling 13.9), en de hulprijtruc van Oefening 13.11, die ook je hypotheek berekent.

Deel I — De toren van Brahma. De puzzel: $n$ schijven van afnemende grootte liggen op stapel op pen A; verplaats de hele stapel naar pen C, één schijf per keer, zonder ooit een grotere schijf op een kleinere te leggen (pen B mag helpen). Zij $h_n$ het kleinste aantal zetten.

Speel het na (met munten) en noteer $h_1$ , $h_2$ , $h_3$ .
Leg de strategie achter de recursie $h_{n+1} = 2h_n + 1$ uit: wat moet er gebeuren vóór en na de verplaatsing van de grootste schijf?
Los de recursie op met de truc van Oefening 13.11: stel $v_n = h_n + 1$ , toon aan dat $(v_n)$ meetkundig is, en besluit dat $h_n = 2^n - 1$ .
De toren uit de legende heeft $64$ schijven, en de monniken verplaatsen één schijf per seconde. Schat met $2^{10} = 1024 \approx 10^3$ de verhuistijd in jaren (een jaar telt ongeveer $3 \times 10^7$ seconden; vergelijk Voorbeeld 13.10, dezelfde reus in een ander verhaal). Moeten we ons zorgen maken?
Waarom kan geen enkele strategie het onder $2^n - 1$ zetten doen? Beargumenteer dat elke oplossing voldoet aan $h_{n+1} \geq 2 h_n + 1$ : wat moet er waar zijn voor de bovenste $n$ schijven vlak vóór en vlak na de zet van de onderste schijf?

Deel II — Fibonacci. Definieer $F_1 = F_2 = 1$ en $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ (elke term de som van de twee ervoor — het voorschrift voor het tellen van ritmes uit het onderbouwvolume, nu met zijn Europese naam).

Noem $F_1$ tot en met $F_{12}$ .
Toon aan dat $(F_n)$ noch rekenkundig noch meetkundig is, maar wel strikt stijgend vanaf $n = 2$ (Methode 13.14 en de recursie).
Bewijs de somidentiteit

$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$

door te telescoperen: schrijf elke $F_k$ als $F_{k+2} - F_{k+1}$ en kijk hoe de som ineenschuift. Ga ze na voor $n = 6$ .
Bewijs de kwadratenidentiteit $F_1^2 + F_2^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$ , telescoperend met $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k^2$ . Ga ze na voor $n = 4$ . (Beeld: vierkanten met zijden $1, 1, 2, 3, 5, \dots$ betegelen een rechthoek — het skelet van de beroemde spiraal van Fibonacci.)
De identiteit van Cassini luidt $F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ . Ga ze na voor $n = 4, 5, 6$ — en herken de motor van de truc met het verdwijnende vierkant uit de oppervlakteopgave in het onderbouwvolume.
Toon uit de recursie aan dat $F_{n+2} \geq 2 F_n$ : Fibonacci verdubbelt minstens om de twee stappen — ze groeit minstens zo snel als een meetkundige rij met reden $\sqrt2$ .
Bereken de verhoudingen $r_n = \frac{F_{n+1}}{F_n}$ voor $n = 3$ tot $10$ (drie decimalen). Neem aan dat ze zich op een limiet $L$ vastzetten, laat de betrekking $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ naar de limiet overgaan en los op: welk getal uit Probleem 2.1 aanbidden de konijnen?

Deel III — De hulptruc, aan het bankloket.

Veralgemeen Oefening 13.11: stel voor $u_{n+1} = a\,u_n + b$ met $a \neq 1$ het vaste punt $\ell = \frac{b}{1 - a}$ . Toon aan dat $v_n = u_n - \ell$ meetkundig is met reden $a$ , en besluit dat $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ .
Een lening: $10\,000$ euro tegen $1\,\%$ rente per maand, met $300$ euro aflossing per maand, zodat de schuld voldoet aan $d_{n+1} = 1.01\,d_n - 300$ . Pas vraag 13 toe (eerst het vaste punt!) om een expliciete formule voor $d_n$ te krijgen.
Zoek met een rekenmachine de eerste maand waarin de schuld afbetaald is, en het totaal terugbetaalde bedrag. Hoeveel kostte het lenen zelf?
Een stad met $50\,000$ inwoners groeit met $2\,\%$ per jaar en verwelkomt daarnaast $1\,000$ nieuwkomers: $p_{n+1} = 1.02\,p_n + 1000$ . Geef de expliciete formule en de bevolking na $10$ jaar.

Deel IV — De twee koninklijke families.

Bereken $1 + 2 + 3 + \dots + 1000$ (Stelling 13.5 — de som van de kleine Gauss uit het onderbouwvolume, nu officieel), en $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{19}$ (Stelling 13.9).
Bereken de som van de rekenkundige rij $7, 12, 17, \dots, 502$ (hoeveel termen?).
Spaarplan: elke maand wordt $100$ euro gestort, met $0.5\,\%$ rente per maand; na de $n$ -de storting is het saldo $100\left(1.005^{n-1} + \dots + 1.005 + 1\right)$ . Bereken het saldo na $5$ jaar ( $n = 60$ ).
Slotstuk — de gereedschapskist van de rijentemmer: expliciete tegenover recursieve beschrijvingen; de twee koninklijke families en hun somformules; de hulprij die affiene recursies in meetkundige omzet; en Fibonacci, eerste burger buiten beide families, vandaag getemd met identiteiten en wachtend op matrices (jaar 12) en limieten om volledig gevangen te worden. Telkens één zin.

Oplossing

Oplossing van Probleem 13.1.

1. $h_1 = 1$ , $h_2 = 3$ , $h_3 = 7$ .

2. Om de grootste schijf te verplaatsen moeten de $n$ schijven erboven eerst naar de reservepen verhuizen ( $h_n$ zetten); de grote schijf steekt over ( $1$ zet); en de $n$ schijven moeten er daarna weer bovenop klimmen ( $h_n$ zetten): $h_{n+1} = 2h_n + 1$ .

3. $v_{n+1} = h_{n+1} + 1 = 2h_n + 2 = 2v_n$ : meetkundig met reden $2$ en $v_1 = 2$ , dus $v_n = 2^n$ en $h_n = 2^n - 1$ .

4. $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ seconden; gedeeld door $3 \times 10^7$ seconden per jaar geeft dat ongeveer $6 \times 10^{11}$ jaar — zeshonderd miljard jaar, veertig keer de ouderdom van het heelal. De monniken mogen gerust koffiepauzes nemen.

5. Bekijk in elke geldige oplossing de eerste zet van de onderste schijf: op dat ogenblik moeten de andere $n$ schijven alle op de ene overblijvende pen liggen (minstens $h_n$ zetten om ze daar te krijgen), en na de laatste zet van de onderste schijf moeten ze er alle weer bovenop komen (minstens $h_n$ zetten meer): elke oplossing heeft dus minstens $2h_n + 1$ zetten nodig. De recursie is een ondergrens én een bovengrens: $2^n - 1$ is optimaal.

6. $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144$ .

7. Niet rekenkundig ( $2 - 1 = 1$ en $3 - 2 = 1$ , maar $5 - 3 = 2$ : de verschillen veranderen); niet meetkundig ( $\frac21 = 2$ maar $\frac32 = 1.5$ ). Stijgend: voor $n \geq 2$ is $F_{n+1} - F_n = F_{n-1} > 0$ .

8. $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$ , dus

\sum_{k=1}^{n} F_k = (F_3 - F_2) + (F_4 - F_3) + \dots + (F_{n+2} - F_{n+1}) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .

Voor $n = 6$ : $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F_8 - 1 = 21 - 1$ .

9. $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k (F_{k+1} - F_{k-1}) = F_k \cdot F_k = F_k^2$ ; optellen telescopeert tot $F_n F_{n+1} - F_1 F_0$ (met $F_0 = 0$ ): de som van de kwadraten is $F_n F_{n+1}$ . Voor $n = 4$ : $1 + 1 + 4 + 9 = 15 = F_4 F_5 = 3 \times 5$ .

10. $F_5 F_3 - F_4^2 = 5 \times 2 - 9 = 1$ ; $F_6 F_4 - F_5^2 = 8 \times 3 - 25 = -1$ ; $F_7 F_5 - F_6^2 = 13 \times 5 - 64 = 1$ : afwisselend $\pm 1$ . Dat verschil van één tussen $F_{n+1} F_{n-1}$ en $F_n^2$ is precies de gewonnen of verloren vierkante eenheid van de goochelaar: een vierkant $F_n \times F_n$ in stukken snijden en tot een rechthoek $F_{n+1} \times F_{n-1}$ hersamenstellen moet één eenheid scheppen of opslokken — de spleet.

11. $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \geq F_n + F_n = 2F_n$ (de rij stijgt): om de twee indices minstens een verdubbeling — groei die minstens meetkundig is met reden $\sqrt2$ per index.

12. $1.5$ ; $1.667$ ; $1.6$ ; $1.625$ ; $1.615$ ; $1.619$ ; $1.618$ ; $1.618$ . Als $r_n \to L$ : deel $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ door $F_{n+1}$ , wat $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ geeft, dus $L = 1 + \frac1L$ , dus $L^2 = L + 1$ : $L = \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$ , de gulden snede van Probleem 2.1. De konijnen vermenigvuldigen zich in goud.

13. $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a u_n + b - \ell$ ; omdat $\ell = a\ell + b$ , is dat $a(u_n - \ell) = a v_n$ : meetkundig met reden $a$ . Bijgevolg is $v_n = a^n v_0$ en $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ .

14. Vast punt: $\ell = 1.01\ell - 300$ geeft $\ell = 30\,000$ . Dus $d_n = 1.01^n (10\,000 - 30\,000) + 30\,000 = 30\,000 - 20\,000 \times 1.01^n$ .

15. $d_n \leq 0$ vereist $1.01^n \geq 1.5$ : $1.01^{40} \approx 1.489$ en $1.01^{41} \approx 1.504$ : de $41$ ste aflossing wist de schuld uit (en is iets kleiner dan $300$ ). Totaal terugbetaald: net onder $41 \times 300 = 12\,300$ euro — de geleende $10\,000$ kostte ongeveer $2\,300$ euro rente.

16. Vast punt $\ell = \frac{1000}{1 - 1.02} = -50\,000$ , dus $p_n = 1.02^n \times 100\,000 - 50\,000$ . Na $10$ jaar is $1.02^{10} \approx 1.219$ : $p_{10} \approx 71\,900$ inwoners.

17. $\frac{1000 \times 1001}{2} = 500\,500$ ; en $2^{20} - 1 = 1\,048\,575$ .

18. Van $7$ tot $502$ met stappen van $5$ : $\frac{502 - 7}{5} + 1 = 100$ termen; som $= 100 \times \frac{7 + 502}{2} = 25\,450$ .

19. Saldo $= 100 \times \frac{1.005^{60} - 1}{1.005 - 1} \approx 100 \times \frac{0.3489}{0.005} \approx 6\,977$ euro — waarvan $6\,000$ gestort en ongeveer $977$ verdiend: meetkundige sommen zijn de moedertaal van de bank.

20. Expliciete formules beantwoorden “wat is $u_{1000}$ ” meteen; recursies beschrijven hoe systemen werkelijk evolueren — de kunst bestaat erin het tweede in het eerste om te zetten. Rekenkundige rijen tellen op, meetkundige vermenigvuldigen, en elke familie heeft haar eigen somformule (de koppeling van Gauss; de verdubbelingstruc). De truc met het vaste punt en de hulprij zet elke affiene recursie om in een meetkundige — leningen, bevolkingen en de toren bezweken er alle voor. Fibonacci gehoorzaamt aan geen van beide families, en toch vingen telescoperende identiteiten haar sommen en kwadraten; haar volledige portret (een exacte formule, de gulden limiet) wacht op sterker gereedschap.