Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

1Getallen en getallenverzamelingen

De wiskunde begint bij de getallen, en niet alle getallen zijn van dezelfde soort: telgetallen, negatieve getallen, breuken, en getallen als $\sqrt 2$ of $\pi$ die geen enkele breuk kan uitdrukken. Dit hoofdstuk ordent ze in geneste families, voert intervallen in om stukken van de getallenlijn te beschrijven, en gebruikt de absolute waarde om afstanden tussen getallen te meten.

1.1 De families van getallen

Definitie 1.1 (Getallenverzamelingen)

$\N$ is de verzameling van de natuurlijke getallen: $0, 1, 2, 3, \dots$
$\Z$ is de verzameling van de gehele getallen: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
$\Q$ is de verzameling van de rationale getallen: alle quotiënten $\frac{p}{q}$ met $p \in \Z$ , $q \in \N$ en $q \neq 0$ .
$\R$ is de verzameling van de reële getallen: alle getallen die je op de getallenlijn kunt plaatsen.

Notatie 1.2

Het symbool $\in$ lees je als “behoort tot”: $3 \in \N$ , $-5 \in \Z$ , $\frac23 \in \Q$ . Het symbool $\subset$ lees je als “is bevat in”: elk natuurlijk getal is een geheel getal, elk geheel getal is een rationaal getal (bijvoorbeeld $-5 = \frac{-5}{1}$ ), en elk rationaal getal is reëel, dus

\N \subset \Z \subset \Q \subset \R .

Een streep door een symbool ontkent het: $\frac12 \notin \Z$ .

De geneste families van getallen: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Elke ring bevat getallen die niet tot de kleinere behoren. — De geneste families van getallen: $\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$ . Elke ring bevat getallen die niet tot de kleinere behoren.

Voorbeeld 1.3

We plaatsen een paar getallen in de kleinste familie die ze bevat.

$\frac{28}{4} = 7$ , dus $\frac{28}{4} \in \N$ hoewel het als breuk geschreven staat: vereenvoudig altijd eerst.
$-3.5 = -\frac{35}{10} = -\frac72$ is rationaal maar niet geheel.
$0.333\dots$ (het cijfer $3$ dat eindeloos herhaalt) is gelijk aan $\frac13$ , een rationaal getal.
$\sqrt 2$ en $\pi$ zijn reëel maar niet rationaal, zoals we voor $\sqrt 2$ meteen zullen zien; zulke getallen heten irrationaal.

Stelling 1.4 (Irrationaliteit van $\sqrt 2$ )

Het getal $\sqrt 2$ is niet rationaal: geen enkele breuk van gehele getallen heeft kwadraat $2$ .

Bewijs. We redeneren uit het ongerijmde, in kleine stappen.

Stel dat $\sqrt 2 = \frac{p}{q}$ met $p$ en $q$ positieve gehele getallen, en dat de breuk volledig vereenvoudigd is, zodat $p$ en $q$ niet allebei even zijn.
Kwadrateren van beide leden geeft $2 = \frac{p^2}{q^2}$ , dus $p^2 = 2q^2$ . Bijgevolg is $p^2$ even.
Was $p$ oneven, zeg $p = 2k+1$ , dan zou $p^2 = 4k^2 + 4k + 1$ oneven zijn. Omdat $p^2$ even is, moet $p$ even zijn: $p = 2k$ voor een zeker geheel getal $k$ .
Invullen geeft $(2k)^2 = 2q^2$ , dus $4k^2 = 2q^2$ , dus $q^2 = 2k^2$ . Met hetzelfde argument als in stap 3 is $q$ even.
Nu zijn $p$ en $q$ allebei even, in tegenspraak met stap 1. De veronderstelling was onmogelijk: $\sqrt 2$ is irrationaal.

∎

Opmerking 1.5

De rationale getallen zijn precies de getallen waarvan de decimale schrijfwijze ofwel afbreekt (zoals $\frac72 = 3.5$ ) ofwel vanaf een zeker punt eindeloos hetzelfde blok herhaalt (zoals $\frac13 = 0.333\dots$ of $\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\dots$ ). Irrationale getallen als $\sqrt2 = 1.41421356\dots$ hebben decimalen die nooit in een repeterend patroon vervallen. Die karakterisering nemen we op dit niveau aan.

1.2 De getallenlijn en de intervallen

De reële getallen vullen een lijn: kies je een oorsprong $0$ en een lengte-eenheid, dan hoort bij elk reëel getal precies één punt.

Definitie 1.6 (Interval)

Zij $a$ en $b$ reële getallen met $a < b$ . Een interval is de verzameling van alle reële getallen tussen twee grenzen. Een vierkante haak betekent dat de grens meetelt, een ronde haak dat ze wegvalt:

notatie	beschrijving
$\intcc{a}{b}$	$a \leq x \leq b$ (beide grenzen meegerekend)
$\intoo{a}{b}$	$a < x < b$ (beide grenzen uitgesloten)
$\intco{a}{b}$	$a \leq x < b$
$\intoc{a}{b}$	$a < x \leq b$
$\intco{a}{+\infty}$	$x \geq a$
$\intoo{-\infty}{b}$	$x < b$

De symbolen $-\infty$ en $+\infty$ (“oneindig”) zijn geen getallen, alleen een manier om te zeggen dat het interval eindeloos doorloopt; de haak ernaast is altijd een ronde haak. De hele lijn $\R$ is het interval $\intoo{-\infty}{+\infty}$ .

Intervallen op de getallenlijn: een volle stip voor een grens die meetelt, een open stip voor een grens die wegvalt.

Definitie 1.7 (Doorsnede en vereniging)

Zij $I$ en $J$ twee verzamelingen van reële getallen. De doorsnede $I \cap J$ (“ $I$ en $J$ ”) is de verzameling van de getallen die tot beide behoren; de vereniging $I \cup J$ (“ $I$ of $J$ ”) is de verzameling van de getallen die tot minstens één van beide behoren.

Voorbeeld 1.8

Neem $I = \intcc{-1}{3}$ en $J = \intoo{1}{5}$ . Teken beide op dezelfde lijn: ze overlappen tussen $1$ en $3$ . Bijgevolg is

I \cap J = \intoc{1}{3}, \qquad I \cup J = \intco{-1}{5}.

Let op de haken: $1 \notin J$ , dus $1 \notin I \cap J$ ; maar $3 \in I$ en $3 \in J$ , dus $3 \in I \cap J$ .

Methode 1.9 (Rekenen met intervallen)

Om de doorsnede of de vereniging van twee intervallen te bepalen:

teken de getallenlijn en zet de vier grenzen erop;
arceer het eerste interval boven de lijn en het tweede eronder;
de doorsnede is waar de arceringen overlappen, de vereniging is waar minstens één arcering staat;
beslis elke haak door na te gaan of de grens zelf tot beide verzamelingen behoort (doorsnede) dan wel tot minstens één (vereniging).

1.3 Absolute waarde en afstand

Definitie 1.10 (Absolute waarde)

De absolute waarde van een reëel getal $x$ is

\abs{x} = \begin{cases} x & \text{als } x \geq 0, \\ -x & \text{als } x < 0. \end{cases}

Zo is $\abs{7} = 7$ en $\abs{-4} = 4$ . In alle gevallen is $\abs{x} \geq 0$ .

Propositie 1.11 (Afstand op de lijn)

Voor alle reële getallen $a$ en $b$ is de afstand tussen de punten $a$ en $b$ op de getallenlijn gelijk aan $\abs{b - a}$ . In het bijzonder is $\abs{x}$ de afstand van $x$ tot $0$ .

Bewijs. Is $b \geq a$ , dan is de afstand van $a$ tot $b$ gelijk aan $b - a \geq 0$ , en dat is $\abs{b-a}$ . Is $b < a$ , dan is de afstand $a - b = -(b - a) > 0$ , en dat is opnieuw $\abs{b - a}$ volgens de definitie van de absolute waarde. ∎

Propositie 1.12 (Absolute waarde en intervallen)

Zij $a$ een reëel getal en $r > 0$ . Dan geldt

\abs{x - a} \leq r \quad\text{precies dan als}\quad x \in \intcc{a - r}{a + r}.

Bewijs. $\abs{x-a} \leq r$ zegt dat de afstand van $x$ tot $a$ hoogstens $r$ is, dus dat $x$ aan geen van beide kanten verder dan $r$ van $a$ ligt. De getallen die daaraan voldoen zijn precies die tussen $a - r$ en $a + r$ , grenzen meegerekend. ∎

De ongelijkheid |x - a| ≤ r beschrijft het interval van de getallen op afstand hoogstens r van a. — De ongelijkheid $\abs{x - a} \leq r$ beschrijft het interval van de getallen op afstand hoogstens $r$ van $a$ .

Voorbeeld 1.13

Los $\abs{x - 3} \leq 2$ op. De oplossingen zijn de getallen op afstand hoogstens $2$ van $3$ : het interval $\intcc{1}{5}$ . Omgekeerd heeft het interval $\intcc{-1}{7}$ als middelpunt $\frac{-1+7}{2} = 3$ en als straal $\frac{7-(-1)}{2} = 4$ , zodat het beschreven wordt door $\abs{x - 3} \leq 4$ .

1.4 Benaderingen

Irrationale getallen, en zelfs de meeste breuken, laten zich niet exact met eindig veel decimalen schrijven; in de praktijk benaderen we ze dus.

Definitie 1.14 (Benadering op een gegeven nauwkeurigheid)

Een getal $d$ is een benadering van $x$ op $10^{-n}$ na wanneer $\abs{x - d} \leq 10^{-n}$ . Zowel afkappen als afronden van de decimale schrijfwijze na het $n$ -de cijfer levert zo’n benadering.

Voorbeeld 1.15

Uit $\pi = 3.14159\,26\dots$ : de afkapping $3.141$ en de afronding $3.142$ zijn allebei benaderingen van $\pi$ op $10^{-3}$ na. De afronding ligt op afstand kleiner dan $\frac12 \times 10^{-3}$ , de afkapping garandeert enkel $10^{-3}$ . Schrijf je $3.141 \leq \pi \leq 3.142$ , dan klem je $\pi$ tussen twee decimale grenzen.

1.5 Oefeningen

Oefening 1.1 ★

Geef voor elk getal de kleinste van de verzamelingen $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ waartoe het behoort:

\frac{15}{3}, \qquad -7, \qquad \frac{22}{7}, \qquad \sqrt{9}, \qquad \sqrt{10}, \qquad -2.4, \qquad 0 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.1.

$\frac{15}{3} = 5 \in \N$ . $-7 \in \Z$ . $\frac{22}{7} \in \Q$ (het is geen geheel getal: $22 = 7 \times 3 + 1$ ). $\sqrt 9 = 3 \in \N$ . $\sqrt{10} \in \R$ (irrationaal, want $10$ is het kwadraat van geen enkel rationaal getal — hier aangenomen, in de geest van Stelling 1.4). $-2.4 = -\frac{24}{10} \in \Q$ . $0 \in \N$ .

Oefening 1.2 ★

Schrijf elke uitspraak met intervalnotatie en teken ze daarna op een getallenlijn: (a) $-2 \leq x < 5$ ; (b) $x > 3$ ; (c) $x \leq -1$ ; (d) de afstand van $x$ tot $2$ is hoogstens $3$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.2.

(a) $\intco{-2}{5}$ : volle stip in $-2$ , open stip in $5$ . (b) $\intoo{3}{+\infty}$ : open stip in $3$ , arcering naar rechts. (c) $\intoc{-\infty}{-1}$ : arcering van links tot een volle stip in $-1$ . (d) “afstand van $x$ tot $2$ hoogstens $3$ ” betekent $\abs{x - 2} \leq 3$ , dus $x \in \intcc{-1}{5}$ : volle stippen in $-1$ en $5$ .

Oefening 1.3 ★

Bereken $I \cap J$ en $I \cup J$ voor

\text{(a) } I = \intcc{-3}{2},\ J = \intco{0}{4}; \qquad \text{(b) } I = \intoo{-\infty}{1},\ J = \intco{-2}{+\infty}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.3.

(a) De twee intervallen overlappen tussen $0$ en $2$ : $I \cap J = \intcc{0}{2}$ ( $0 \in J$ en $2 \in I$ , en beide behoren ook tot de andere verzameling), en $I \cup J = \intco{-3}{4}$ .

(b) $I \cap J$ is de verzameling van de $x$ met $-2 \leq x$ en $x < 1$ : $\intco{-2}{1}$ . De vereniging bedekt alles: $I \cup J = \R$ .

Oefening 1.4 ★

Bereken zonder rekenmachine:

\abs{-6}, \qquad \abs{4 - 9}, \qquad \abs{-3 - 5}, \qquad \abs{\sqrt 2 - 1}, \qquad \abs{1 - \sqrt 2}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.4.

$\abs{-6} = 6$ ; $\abs{4 - 9} = \abs{-5} = 5$ ; $\abs{-3 - 5} = \abs{-8} = 8$ ; $\sqrt 2 > 1$ , dus $\abs{\sqrt2 - 1} = \sqrt2 - 1$ ; $1 - \sqrt2 < 0$ , dus ook $\abs{1 - \sqrt2} = \sqrt2 - 1$ (een getal en zijn tegengestelde hebben dezelfde absolute waarde).

Oefening 1.5 ★

Los de vergelijkingen en ongelijkheden op en geef de oplossingsverzamelingen:

\abs{x} = 5, \qquad \abs{x - 1} = 3, \qquad \abs{x - 4} \leq 1, \qquad \abs{x + 2} < 3 .

(Merk op dat $\abs{x+2} = \abs{x - (-2)}$ een afstand tot $-2$ is.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.5.

$\abs{x} = 5$ : afstand $5$ tot $0$ , dus $x = 5$ of $x = -5$ .

$\abs{x - 1} = 3$ : afstand $3$ tot $1$ , dus $x = 4$ of $x = -2$ .

$\abs{x - 4} \leq 1$ : afstand hoogstens $1$ tot $4$ , dus $x \in \intcc{3}{5}$ .

$\abs{x + 2} < 3$ : afstand strikt kleiner dan $3$ tot $-2$ , dus $x \in \intoo{-5}{1}$ .

Oefening 1.6 ★★

Beschrijf elk interval door een ongelijkheid van de vorm $\abs{x - a} \leq r$ of $\abs{x - a} < r$ :

\intcc{2}{8}, \qquad \intoo{-5}{1}, \qquad \intcc{-7}{-3}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.6.

Elk interval wordt beschreven door zijn middelpunt $a$ (het midden van de grenzen) en zijn straal $r$ (de halve lengte).

$\intcc{2}{8}$ : $a = 5$ , $r = 3$ , dus $\abs{x - 5} \leq 3$ .

$\intoo{-5}{1}$ : $a = -2$ , $r = 3$ , open grenzen, dus $\abs{x + 2} < 3$ .

$\intcc{-7}{-3}$ : $a = -5$ , $r = 2$ , dus $\abs{x + 5} \leq 2$ .

Oefening 1.7 ★★

Toon aan dat $0.272727\dots$ (het blok $27$ dat eindeloos herhaalt) rationaal is. (Tip: noem het $x$ en bereken $100x - x$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.7.

Zij $x = 0.272727\dots$ Dan is $100x = 27.2727\dots$ , en aftrekken geeft

100x - x = 27.2727\dots - 0.2727\dots = 27,

dus $99x = 27$ en $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ , een quotiënt van gehele getallen: $x$ is rationaal.

Oefening 1.8 ★★

Waar of niet waar? Verantwoord elk antwoord met een argument of een tegenvoorbeeld.

De som van twee gehele getallen is geheel.
Het quotiënt van twee gehele getallen is geheel.
De som van twee rationale getallen is rationaal.
De som van een rationaal en een irrationaal getal is irrationaal.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.8.

1. Waar: gehele getallen (positieve of negatieve hele getallen) optellen levert altijd een geheel getal.

2. Niet waar: $\frac{1}{2}$ is het quotiënt van de gehele getallen $1$ en $2$ en is zelf niet geheel.

3. Waar: $\frac pq + \frac{p'}{q'} = \frac{pq' + p'q}{qq'}$ is opnieuw een quotiënt van gehele getallen (met noemer verschillend van nul).

4. Waar: stel dat $r$ rationaal is, $t$ irrationaal, en dat $r + t = s$ rationaal zou zijn. Dan zou $t = s - r$ een verschil van twee rationale getallen zijn, en dus rationaal (volgens 3, toegepast met $-r$ ) — tegenspraak. Bijgevolg is $r + t$ irrationaal.

Oefening 1.9 ★★

Klem met behulp van $1.414 \leq \sqrt 2 \leq 1.415$ de getallen $2\sqrt2$ , $\sqrt2 + 3$ en $-\sqrt2$ tussen twee decimale grenzen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.9.

Vermenigvuldigen van $1.414 \leq \sqrt2 \leq 1.415$ met $2 > 0$ : $2.828 \leq 2\sqrt2 \leq 2.830$ .

$3$ optellen: $4.414 \leq \sqrt2 + 3 \leq 4.415$ .

Vermenigvuldigen met $-1 < 0$ keert de ongelijkheden om: $-1.415 \leq -\sqrt2 \leq -1.414$ .

Oefening 1.10 ★★★

Pas het bewijs van Stelling 1.4 aan om aan te tonen dat $\sqrt 3$ irrationaal is. (Vervang “even” door “veelvoud van $3$ ”: ga eerst na dat $p$ een veelvoud van $3$ is zodra $p^2$ dat is, door de resten $0$ , $1$ , $2$ van $p$ bij deling door $3$ te bekijken.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.10.

Eerst het hulpfeit. Deel $p$ door $3$ : de rest is $0$ , $1$ of $2$ , dus $p = 3k$ , $p = 3k+1$ of $p = 3k+2$ . Kwadrateren geeft

(3k)^2 = 3(3k^2), \quad (3k+1)^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1, \quad (3k+2)^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 .

Alleen het eerste is een veelvoud van $3$ : is $p^2$ een veelvoud van $3$ , dan is $p$ dat ook.

Stel nu dat $\sqrt3 = \frac pq$ volledig vereenvoudigd. Kwadrateren geeft $p^2 = 3q^2$ , dus is $p^2$ een veelvoud van $3$ , dus $p = 3k$ . Dan is $9k^2 = 3q^2$ , dus $q^2 = 3k^2$ en is ook $q$ een veelvoud van $3$ — maar dan stond de breuk $\frac pq$ niet volledig vereenvoudigd: tegenspraak. Bijgevolg is $\sqrt3$ irrationaal.

1.6 Opgave: tussen elke twee getallen

Probleem 1.1

Weekendopgave — rationale en irrationale getallen verstrengelen zich: elk interval, hoe klein ook, bevat er oneindig veel van elke soort, en geen enkele meting kan ze ooit uit elkaar houden

De rationale getallen lijken een menigte (al die breuken!) en de irrationale getallen exotische uitzonderingen ( $\sqrt2$ , $\pi$ ). Deze opgave onthult het ware beeld: de twee families verstrengelen zich zo fijn dat elk interval van de getallenlijn, hoe microscopisch ook, er oneindig veel van elke soort bevat — met vreemde gevolgen, zoals dit: geen enkele fysische meting, hoe nauwkeurig ook, kan ooit beslissen of een lengte rationaal is.

Deel I — De vier koninkrijken.

Noem voor elk getal de kleinste van de verzamelingen $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ die het bevat (Definitie 1.1): $-7$ ; $\frac{13}{4}$ ; $\sqrt{16}$ ; $0.121212\ldots$ (denk aan de weekendopgave over repeterende decimalen uit het onderbouwvolume); $\sqrt8$ ; $\pi$ (neem zijn irrationaliteit aan — ze wordt pas in de universitaire volumes bewezen).
Bewijs dat $\Q$ stabiel is onder optelling en vermenigvuldiging: zijn $x = \frac pq$ en $y = \frac rs$ rationaal, schrijf $x + y$ en $xy$ dan elk als één breuk.
Leid uit het ongerijmde af: (a) de som van een rationaal en een irrationaal getal is irrationaal; (b) het product van een niet-nul rationaal getal en een irrationaal getal is irrationaal.
Toon aan dat de verzameling van de irrationale getallen onder geen van beide bewerkingen stabiel is: geef twee irrationale getallen met een rationale som, en twee met een rationaal product.
Plaats $\sqrt2 + \sqrt8$ en $\sqrt2 \times \sqrt8$ in de vier koninkrijken (vereenvoudig eerst $\sqrt8$ , met de methode uit het onderbouwvolume).

Deel II — De rationale getallen liggen dicht.

Zoek een rationaal getal strikt tussen $3.47$ en $3.48$ ; daarna een tweede; beschrijf ten slotte hoe je er zo veel kunt maken als je wilt (de inzoombeweging uit de weekendopgave over het ontbreken van een volgend getal in het onderbouwvolume, nu met een bewijs in zicht).
De algemene stelling. Zij $a < b$ twee willekeurige reële getallen, met afstand $g = b - a > 0$ . Kies $n$ met $10^{-n} < g$ en bekijk de veelvouden van $10^{-n}$ (het decimale rooster met stap $10^{-n}$ ). Leg uit waarom minstens één roosterpunt strikt tussen $a$ en $b$ valt, en besluit: elk interval van positieve lengte bevat een rationaal getal.
Versterk het besluit: elk zulk interval bevat oneindig veel rationale getallen. (Pas vraag 7 opnieuw toe, binnen een kleiner interval.)
Nu de irrationale getallen: neem bij $a < b$ een rationaal getal $r$ strikt ertussen (vraag 7) en bekijk de getallen $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ . Toon met vraag 3 aan dat ze irrationaal zijn, en dat ze voor $k$ groot genoeg nog steeds in het interval liggen: elk interval bevat ook oneindig veel irrationale getallen.
Twee klassieke raadsels beslecht: bestaat er een kleinste positief reëel getal? En een reëel getal “vlak na $3$ ”? Beantwoord beide met de stelling van vraag 7, en groet de kinderversie ervan (de weekendopgave over het ontbreken van een volgend getal in het onderbouwvolume).

Deel III — De absolute waarde, de meetkunde van $\R$ .

Los op, en druk de oplossingen uit als intervallen of verenigingen (Propositie 1.12): $\abs{x - 5} = 2$ ; $\abs{x - 5} < 2$ ; $\abs{x + 1} \geq 3$ .
Een zuiger moet op $80$ mm gemaakt worden, met een tolerantie van $0.05$ mm. Schrijf de eis met een absolute waarde, en daarna als een interval. Twee zuigers meten $79.97$ en $80.06$ mm: welk oordeel krijgen ze?
De driehoeksongelijkheid op de lijn: $\abs{a + b} \leq \abs a + \abs b$ . Ga ze na op $(a, b) = (3, -5)$ en $(-2, -7)$ , bewijs ze wanneer $a$ en $b$ hetzelfde teken hebben en wanneer ze een tegengesteld teken hebben, en zeg precies wanneer de gelijkheid optreedt.
Los $\abs{x - 2} = \abs{x + 4}$ op door het te lezen als een gelijkheid van afstanden op de lijn. Welk punt uit de weekendopgave over de twee spiegels in het onderbouwvolume heb je zojuist berekend, één dimensie lager?
Vereenvoudig $\sqrt{x^2}$ — voorzichtig. Toets je formule op $x = 3$ en $x = -3$ , en los er daarna $x^2 < 9$ mee op met een absolute waarde.

Deel IV — Wat geen enkele meting kan beslissen.

Een fysicus meet een staaf: $1.41421 \pm 0.00001$ m. Kan zo’n meting — deze of een toekomstige, nauwkeurigere — ooit bewijzen dat de lengte van de staaf irrationaal is? Of dat ze rationaal is? Gebruik de vragen 7 en 9 op het tolerantie-interval, en leg uit waarom alleen een bewijs (zoals voor de diagonaal, in de weekendopgave over irrationaliteit in het onderbouwvolume) over irrationaliteit kan beslissen.
De afkappingen $1.4$ , $1.41$ , $1.414$ , $1.4142,\dots$ van $\sqrt2$ zijn allemaal rationaal. Wat tonen ze over hoe dicht $\Q$ tegen elk irrationaal getal aandringt? Formuleer het algemene feit.
Rekenen met intervallen: gemeten waarden $a = 2.5 \pm 0.1$ en $b = 1.2 \pm 0.1$ . Klem $a + b$ en $a \times b$ tussen zekere grenzen. Welke bewerking tast de nauwkeurigheid het sterkst aan?
Een vuistregel van ingenieurs zegt dat de fouten van onafhankelijke metingen bij sommen “optellen”: druk met de driehoeksongelijkheid (vraag 13) uit waarom de fout op $a + b$ hoogstens de som van de fouten is — de ongelijkheid is de vuistregel.
Slotstuk, in een korte alinea: breng het beeld van de reële lijn samen dat deze opgave en haar voorgangers hebben opgebouwd — geen volgend getal (de weekendopgave daarover in het onderbouwvolume), rationaal $=$ repeterende decimalen (de weekendopgave daarover in het onderbouwvolume), beide families dicht (vragen 8 en 9), meting voor altijd besluiteloos (vraag 16). Eindig met de vooruitblik die dit hoofdstuk nog niet kan bewijzen: in een precieze zin zijn er veel meer irrationale dan rationale getallen — de universitaire volumes tellen de oneindigheden.

Oplossing

Oplossing van Probleem 1.1.

1. $-7 \in \Z$ ; $\frac{13}{4} \in \Q$ ; $\sqrt{16} = 4 \in \N$ ; $0.121212\ldots = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} \in \Q$ (de weekendopgave over repeterende decimalen in het onderbouwvolume); $\sqrt8 = 2\sqrt2$ is irrationaal: kleinste verzameling $\R$ ; $\pi$ : $\R$ .

2. $\frac pq + \frac rs = \frac{ps + qr}{qs}$ en $\frac pq \times \frac rs = \frac{pr}{qs}$ : quotiënten van gehele getallen met noemer verschillend van nul — rationaal.

3. (a) Is $r$ rationaal, $x$ irrationaal, en zou $r + x = q$ rationaal zijn, dan was $x = q - r$ een verschil van rationale getallen, en dus rationaal (vraag 2): tegenspraak. (b) Is $r \neq 0$ en $r x = q$ rationaal, dan is $x = \frac qr$ rationaal: tegenspraak.

4. $\sqrt2$ en $-\sqrt2$ zijn irrationaal met som $0$ ; $\sqrt2$ en $\sqrt2$ hebben product $2$ . Rationale uitkomsten uit irrationale ingrediënten: de irrationale getallen vormen geen stabiel koninkrijk.

5. $\sqrt8 = 2\sqrt2$ , dus $\sqrt2 + \sqrt8 = 3\sqrt2$ : irrationaal (vraag 3b, met factor $3$ ). En $\sqrt2 \times \sqrt8 = \sqrt{16} = 4 \in \N$ : het product van twee irrationale getallen belandt in het allerkleinste koninkrijk.

6. $3.475$ , daarna $3.471$ (of $3.4701$ , $3.47001$ , …): door decimalen aan te plakken maak je eindeloos nieuwe rationale getallen tussen de twee.

7. De veelvouden van $10^{-n}$ marcheren over de lijn met stappen van $10^{-n} < g$ . Het eerste veelvoud strikt groter dan $a$ — het bestaat, want de veelvouden overtreffen $a$ uiteindelijk — ligt hoogstens één stap voorbij $a$ , dus vóór $a + g = b$ : strikt tussen $a$ en $b$ . Een roosterpunt is een decimaal getal en dus rationaal: elk interval van positieve lengte bevat er een.

8. Tussen $a$ en het rationale getal $r_1$ uit vraag 7 ligt (opnieuw vraag 7) een rationaal getal $r_2$ ; tussen $a$ en $r_2$ een rationaal getal $r_3$ ; enzovoort: oneindig veel, alle verschillend, alle in het oorspronkelijke interval.

9. $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ is de som van een rationaal en een irrationaal getal ( $\frac{\sqrt2}{10^k}$ is irrationaal volgens vraag 3b), en dus irrationaal. Omdat $\frac{\sqrt2}{10^k} < \frac{2}{10^k}$ onder elke grens zakt, ligt $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ voor $k$ groot genoeg nog steeds vóór $b$ : een irrationaal getal binnen het interval — en $k$ laten variëren geeft er oneindig veel.

10. Er is geen kleinste positief reëel getal: was $s > 0$ dat wel, dan zou het interval $(0, s)$ nog altijd een rationaal getal bevatten (vraag 7), positief en kleiner dan $s$ . Er is ook geen getal vlak na $3$ : elke kandidaat $c > 3$ laat het interval $(3, c)$ over, en dat is niet leeg — het spel uit de weekendopgave over het ontbreken van een volgend getal in het onderbouwvolume, nu een stelling over $\R$ .

11. $\abs{x - 5} = 2$ : $x = 3$ of $x = 7$ . $\abs{x - 5} < 2$ : $x \in \intoo{3}{7}$ . $\abs{x + 1} \geq 3$ : afstand tot $-1$ minstens $3$ , dus $x \in \intoc{-\infty}{-4} \cup \intco{2}{+\infty}$ .

12. $\abs{d - 80} \leq 0.05$ , dus $d \in \intcc{79.95}{80.05}$ . De zuiger van $79.97$ wordt goedgekeurd; die van $80.06$ valt af, met een honderdste millimeter.

13. $(3, -5)$ : $\abs{-2} = 2 \leq 8$ . $(-2, -7)$ : $\abs{-9} = 9 = 2 + 7$ : gelijkheid. Zelfde teken: $\abs{a + b}$ is de som van de afstanden, gelijk aan $\abs a + \abs b$ . Tegengesteld teken: de wandeling keert terug, $\abs{a + b}$ is het verschil van de afstanden, strikt kleiner dan hun som (tenzij een van beide $0$ is). Gelijkheid precies dan als $a$ en $b$ hetzelfde teken hebben of een van beide nul is.

14. De oplossingen zijn de punten op gelijke afstand van $2$ en $-4$ : het midden, $x = -1$ . Het is de middelloodlijn uit de weekendopgave over de twee spiegels in het onderbouwvolume, ineengeschoven tot één dimensie: een enkel punt.

15. $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ , niet $x$ : voor $x = -3$ is $\sqrt{9} = 3 = \abs{-3} \neq -3$ . Dan leest $x^2 < 9$ als $\sqrt{x^2} < 3$ , dus $\abs x < 3$ : $x \in \intoo{-3}{3}$ .

16. De meting beweert alleen dat de lengte in het interval $\intcc{1.41420}{1.41422}$ ligt — en volgens de vragen 7 en 9 bevat dat interval oneindig veel rationale en oneindig veel irrationale getallen. Hetzelfde geldt voor elke toekomstige tolerantie, hoe klein ook. Geen enkele meting kan de twee families ooit scheiden; alleen een bewijs over de exacte lengte kan dat — zoals dat voor de diagonaal van het eenheidsvierkant (de weekendopgave over irrationaliteit in het onderbouwvolume).

17. Ze naderen $\sqrt2$ met fouten onder $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, \dots$ : rationale getallen dringen op elke schaal tegen $\sqrt2$ aan. Het algemene feit: elk reëel getal wordt zo dicht als je wilt benaderd door rationale getallen (zijn decimale afkappingen) — opnieuw dichtheid, nu gezien vanuit het doel.

18. $a + b \in \intcc{2.4 + 1.1}{2.6 + 1.3} = \intcc{3.5}{3.9}$ : onzekerheid $\pm 0.2$ (de fouten tellen op). $a \times b \in \intcc{2.4 \times 1.1}{2.6 \times 1.3} = \intcc{2.64}{3.38}$ : een onzekerheid van ongeveer $\pm 0.37$ rond $3$ — bij producten tellen de relatieve fouten op, zodat de nauwkeurigheid sneller verslechtert.

19. Schrijf de ware waarden als $a = 2.5 + e_1$ en $b = 1.2 + e_2$ met $\abs{e_1}, \abs{e_2} \leq 0.1$ . Dan is de fout op de som $\abs{e_1 + e_2} \leq \abs{e_1} + \abs{e_2} \leq 0.2$ : de vuistregel van de ingenieur is de driehoeksongelijkheid van vraag 13.

20. De reële lijn heeft geen gaten en geen buren: na een getal komt geen “volgend” getal (vraag 10). Haar punten vallen uiteen in de rationale getallen — precies de afbrekende of repeterende decimale getallen (de weekendopgave daarover in het onderbouwvolume) — en de irrationale getallen, en de twee families zijn zo strak verweven dat elk interval er oneindig veel van elke soort bevat (vragen 8 en 9); daarom kan geen meting, maar alleen een bewijs, ze uit elkaar houden (vraag 16). En de laatste verrassing, als belofte achtergelaten: er zijn meer irrationale dan rationale getallen — niet door één voor één te tellen, maar in de precieze zin van het vergelijken van oneindigheden, een theorie die in de universitaire volumes wordt opgebouwd.