Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

15Vectoren en rechten in het vlak

Vectoren leggen verplaatsingen vast; rechten zijn hun banen. Het belangrijke nieuwe gereedschap van dit hoofdstuk is de determinant, één getal dat beslist of twee vectoren collineair zijn — en dat van daaruit vergelijkingen van rechten voortbrengt en vragen over collineariteit en evenwijdigheid met zuiver rekenwerk beslecht. Dezelfde ideeën gaan in Hoofdstuk 31 naar de ruimte.

15.1 Vectoren: een opfrissing

Definitie 15.1 (Vector, coördinaten)

Een vector $\vec u$ stelt een verplaatsing voor: alle pijlen met dezelfde richting, zin en lengte stellen dezelfde vector voor. In een assenstelsel noteert $\vec u\,(x, y)$ de verplaatsing ( $x$ horizontaal, $y$ verticaal); voor punten $A(x_A, y_A)$ en $B(x_B, y_B)$ is

\vect{AB}\,\bigl(x_B - x_A,\ y_B - y_A\bigr).

Vectoren tellen coördinaat per coördinaat op, en $\lambda\vec u$ heeft coördinaten $(\lambda x, \lambda y)$ .

Propositie 15.2 (Midden)

Het midden $M$ van het lijnstuk $[AB]$ heeft coördinaten $\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ .

Bewijs. $M$ wordt gekenmerkt door $\vect{AM} = \frac12\vect{AB}$ : coördinaat per coördinaat geeft dat $x_M - x_A = \frac12(x_B - x_A)$ , dus $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ , en net zo voor $y_M$ . ∎

15.2 Collineariteit en de determinant

Definitie 15.3 (Collineaire vectoren)

Twee vectoren heten collineair wanneer de ene een scalair veelvoud van de andere is: $\vec v = \lambda \vec u$ voor een zekere $\lambda \in \R$ (of $\vec u = \vec 0$ ). Meetkundig: ze hebben dezelfde richting, of een van beide is nul.

Definitie 15.4 (Determinant)

De determinant van $\vec u\,(x, y)$ en $\vec v\,(x', y')$ is

\det(\vec u, \vec v) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = x y' - x' y .

Stelling 15.5 (Criterium voor collineariteit)

Twee vectoren $\vec u$ en $\vec v$ zijn collineair dan en slechts dan als $\det(\vec u, \vec v) = 0$ .

Bewijs. ( $\Rightarrow$ ) Is $\vec v = \lambda\vec u$ , dan is $x' = \lambda x$ en $y' = \lambda y$ , dus $\det(\vec u, \vec v) = x(\lambda y) - (\lambda x)y = 0$ ; is $\vec u = \vec 0$ , dan is de determinant vanzelf $0$ .

( $\Leftarrow$ ) Stel $xy' - x'y = 0$ en $\vec u \neq \vec 0$ , zeg $x \neq 0$ (het geval $y \neq 0$ verloopt symmetrisch). Stel $\lambda = \frac{x'}{x}$ . Dan is $x' = \lambda x$ per constructie, en de betrekking $xy' = x'y = \lambda x y$ geeft na deling door $x \neq 0$ dat $y' = \lambda y$ . Bijgevolg is $\vec v = \lambda \vec u$ . ∎

Voorbeeld 15.6

$\vec u\,(3, -2)$ en $\vec v\,(-6, 4)$ : $\det = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$ , dus collineair (en inderdaad is $\vec v = -2\vec u$ ). $\vec u\,(3, -2)$ en $\vec w\,(2, 1)$ : $\det = 3 + 4 = 7 \neq 0$ , dus niet collineair.

Methode 15.7 (Drie punten op één rechte)

$A$ , $B$ , $C$ liggen op één rechte dan en slechts dan als $\vect{AB}$ en $\vect{AC}$ collineair zijn: bereken beide vectoren en ga $\det\bigl(\vect{AB}, \vect{AC}\bigr) = 0$ na.

15.3 Cartesische vergelijkingen van rechten

Definitie 15.8 (Richtingsvector)

Een richtingsvector van een rechte $d$ is elke vector $\vec u \neq \vec 0$ waarvoor $\vect{AB}$ collineair is met $\vec u$ voor alle punten $A, B$ van $d$ .

Stelling 15.9 (Cartesische vergelijking)

Een rechte met richtingsvector $\vec u\,(-b, a)$ heeft een vergelijking van de vorm

ax + by + c = 0 \qquad (a, b) \neq (0, 0).

Omgekeerd beschrijft elke zulke vergelijking een rechte met richtingsvector $\vec u\,(-b, a)$ .

Bewijs. Zij $d$ de rechte door $A(x_A, y_A)$ met richting $\vec u\,(-b, a)$ . Een punt $M(x, y)$ ligt op $d$ precies wanneer $\vect{AM}$ collineair is met $\vec u$ , dus (Stelling 15.5) wanneer

0 = \det\bigl(\vect{AM}, \vec u\bigr) = (x - x_A)\,a - (-b)(y - y_A) = ax + by - (a x_A + b y_A),

een vergelijking van de aangekondigde vorm, met $c = -(a x_A + b y_A)$ . Omgekeerd zijn de oplossingen van $ax + by + c = 0$ , met bijvoorbeeld $b \neq 0$ , de punten $\left(x, -\frac{a x + c}{b}\right)$ : twee ervan van elkaar aftrekken toont dat elke koorde collineair is met $(-b, a)$ , en er bestaat altijd minstens één oplossing — het gaat dus om de rechte door dat punt met richting $(-b, a)$ . ∎

Methode 15.10 (Rechte door twee punten)

Om een vergelijking van de rechte $(AB)$ te vinden: bereken de richtingsvector $\vect{AB}\,(x_B - x_A, y_B - y_A)$ ; leg hem naast $(-b, a)$ , dus neem $a = y_B - y_A$ en $b = -(x_B - x_A)$ ; bepaal $c$ door de coördinaten van $A$ in te vullen.

Voorbeeld 15.11

De rechte door $A(1, 2)$ en $B(4, 3)$ : $\vect{AB}\,(3, 1)$ , dus $a = 1$ , $b = -3$ , en de vergelijking is $x - 3y + c = 0$ . $A$ invullen geeft $1 - 6 + c = 0$ , dus $c = 5$ . Vergelijking: $x - 3y + 5 = 0$ . Controle met $B$ : $4 - 9 + 5 = 0$ .

Opmerking 15.12

Is $b \neq 0$ , dan kun je de vergelijking naar $y$ oplossen: $y = mx + p$ met richtingscoëfficiënt $m = -\frac ab$ . De cartesische vorm $ax + by + c = 0$ is algemener: ze dekt ook de verticale rechten ( $b = 0$ ), die geen richtingscoëfficiënt hebben.

De rechte x - 3y + 5 = 0 van , haar richtingsvector u = AB (rood, hier met 1/2 geschaald), en de twee punten waarmee de vergelijking gebouwd werd. — De rechte $x - 3y + 5 = 0$ van Voorbeeld 15.11, haar richtingsvector $\vec u = \vect{AB}$ (rood, hier met $\frac12$ geschaald), en de twee punten waarmee de vergelijking gebouwd werd.

15.4 Parametervoorstelling

Definitie 15.13 (Parametervoorstelling)

De rechte door $A(x_A, y_A)$ met richting $\vec u\,(\alpha, \beta)$ is de verzameling van de punten

M\bigl(x_A + t\alpha,\ y_A + t\beta\bigr), \qquad t \in \R .

Het getal $t$ is de parameter: elke waarde van $t$ levert één punt van de rechte op, alsof je haar met constante snelheid $\vec u$ doorloopt.

Voorbeeld 15.14

De rechte van Voorbeeld 15.11 is ook $\{(1 + 3t,\ 2 + t) : t \in \R\}$ : $t = 0$ geeft $A$ , $t = 1$ geeft $B$ . De parameter wegwerken ( $t = y - 2$ , dus $x = 1 + 3(y-2)$ ) levert $x - 3y + 5 = 0$ terug.

15.5 Onderlinge ligging van twee rechten

Propositie 15.15 (Evenwijdig of snijdend)

Twee rechten met richtingsvectoren $\vec u$ en $\vec v$ zijn evenwijdig dan en slechts dan als $\det(\vec u, \vec v) = 0$ . In vergelijkingsvorm: $d : ax + by + c = 0$ en $d' : a'x + b'y + c' = 0$ zijn evenwijdig dan en slechts dan als $ab' - a'b = 0$ . Niet-evenwijdige rechten ontmoeten elkaar in precies één punt.

Bewijs. Evenwijdigheid betekent collineaire richtingen, en dat is Stelling 15.5; met $\vec u\,(-b, a)$ en $\vec v\,(-b', a')$ is de determinant $(-b)a' - (-b')a = ab' - a'b$ . Zijn de rechten niet evenwijdig, dan leidt het gelijktijdig oplossen van de twee vergelijkingen (met substitutie of combinatie) tot precies één oplossing: het stelsel gedraagt zich als een $2 \times 2$ -stelsel met determinant verschillend van nul. ∎

Methode 15.16 (Snijpunt van twee rechten)

Los het stelsel van de twee vergelijkingen op: maak in de ene vergelijking één onbekende vrij en vul ze in de andere in, of combineer de vergelijkingen om één onbekende weg te werken. Controleer het gevonden punt altijd in beide vergelijkingen.

Voorbeeld 15.17

Snijd $d: x - 3y + 5 = 0$ met $d': 2x + y - 4 = 0$ . Uit $d'$ volgt $y = 4 - 2x$ . Invullen in $d$ geeft

x - 3(4 - 2x) + 5 = 0 \iff x - 12 + 6x + 5 = 0 \iff 7x = 7 \iff x = 1,

en dan $y = 2$ . De rechten ontmoeten elkaar in $(1, 2)$ . Controle in $d$ : $1 - 6 + 5 = 0$ .

15.6 Oefeningen

Oefening 15.1 ★

Bereken bij $A(2, -1)$ , $B(5, 3)$ en $C(-1, 1)$ de coördinaten van $\vect{AB}$ , $\vect{AC}$ , $\vect{AB} + \vect{AC}$ en $2\vect{AB} - 3\vect{AC}$ , en het midden van $[BC]$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.1.

$\vect{AB}\,(3, 4)$ , $\vect{AC}\,(-3, 2)$ , $\vect{AB} + \vect{AC}\,(0, 6)$ , $2\vect{AB} - 3\vect{AC}\,(6 + 9,\ 8 - 6) = (15, 2)$ . Het midden van $[BC]$ is $\left(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ .

Oefening 15.2 ★

Zijn de vectoren collineair?

\vec u\,(4, -6) \text{ en } \vec v\,(-2, 3); \qquad \vec u\,(2, 5) \text{ en } \vec v\,(3, 7); \qquad \vec u\,(0, 3) \text{ en } \vec v\,(0, -8).

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.2.

$\det = 4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$ : collineair (en inderdaad is $\vec v = -\frac12 \vec u$ ).

$\det = 2 \times 7 - 3 \times 5 = -1 \neq 0$ : niet collineair.

$\det = 0 \times (-8) - 0 \times 3 = 0$ : collineair (allebei verticaal).

Oefening 15.3 ★

Zoek een cartesische vergelijking van de rechte door $A(2, 1)$ met richtingsvector $\vec u\,(3, -1)$ , en daarna van de rechte door $B(0, 4)$ en $C(2, 0)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.3.

Door $A(2,1)$ met richting $(3, -1)$ : uit $(-b, a) = (3, -1)$ volgt $a = -1$ en $b = -3$ , dus $-x - 3y + c = 0$ ; $A$ invullen geeft $-2 - 3 + c = 0$ , dus $c = 5$ . Vermenigvuldigd met $-1$ : $x + 3y - 5 = 0$ .

Door $B(0,4)$ en $C(2,0)$ : $\vect{BC}\,(2, -4)$ , dus $a = -4$ en $b = -2$ : $-4x - 2y + c = 0$ ; $B$ invullen geeft $-8 + c = 0$ , dus $c = 8$ . Vereenvoudigd door $-2$ : $2x + y - 4 = 0$ . Controle met $C$ : $4 + 0 - 4 = 0$ .

Oefening 15.4 ★

Geef voor de rechte $d: 3x - 2y + 6 = 0$ een richtingsvector en de snijpunten met de twee coördinaatassen, en beslis of de punten $P(2, 6)$ en $Q(1, 4)$ tot $d$ behoren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.4.

Een richtingsvector is $(-b, a) = (2, 3)$ . Snijpunten: $x = 0$ geeft $y = 3$ , het punt $(0, 3)$ ; $y = 0$ geeft $x = -2$ , het punt $(-2, 0)$ . Voor $P(2,6)$ : $3 \times 2 - 2 \times 6 + 6 = 0$ , dus $P \in d$ . Voor $Q(1,4)$ : $3 - 8 + 6 = 1 \neq 0$ , dus $Q \notin d$ .

Oefening 15.5 ★★

Liggen de punten $A(1, 2)$ , $B(4, 8)$ , $C(-2, -4)$ op één rechte? Dezelfde vraag voor $D(0, 1)$ , $E(2, 4)$ , $F(5, 9)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.5.

$\vect{AB}\,(3, 6)$ en $\vect{AC}\,(-3, -6)$ : $\det = 3 \times (-6) - (-3) \times 6 = 0$ , dus liggen $A$ , $B$ en $C$ op één rechte.

$\vect{DE}\,(2, 3)$ en $\vect{DF}\,(5, 8)$ : $\det = 2 \times 8 - 5 \times 3 = 1 \neq 0$ : $D$ , $E$ en $F$ liggen niet op één rechte.

Oefening 15.6 ★★

Bepaal het eventuele snijpunt:

d: 2x + y - 7 = 0 \ \text{ en }\ d': x - y + 1 = 0; \qquad e: x - 2y + 3 = 0 \ \text{ en }\ e': -2x + 4y + 1 = 0 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.6.

Eerste paar: de twee vergelijkingen optellen geeft $(2x + y - 7) + (x - y + 1) = 3x - 6 = 0$ , dus $x = 2$ en daarna $y = x + 1 = 3$ : ze ontmoeten elkaar in $(2, 3)$ (controle: $4 + 3 - 7 = 0$ ).

Tweede paar: $ab' - a'b = 1 \times 4 - (-2) \times (-2) = 0$ , dus zijn de rechten evenwijdig; $e$ met $-2$ vermenigvuldigen geeft $-2x + 4y - 6 = 0$ , wat van $e'$ verschilt ( $-6 \neq 1$ ): strikt evenwijdig, geen snijpunt.

Oefening 15.7 ★★

Geef een parametervoorstelling van de rechte $d: 2x - y + 3 = 0$ , en een cartesische vergelijking van de rechte $\bigl\{(1 + 2t,\ -3 + t) : t \in \R\bigr\}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.7.

Voor $d: 2x - y + 3 = 0$ : richting $(-b, a) = (1, 2)$ , en het punt $(0, 3)$ ligt op $d$ , dus $d = \{(t,\ 3 + 2t) : t \in \R\}$ .

Voor de parametrische rechte door $(1, -3)$ met richting $(2, 1)$ : $a = 1$ en $b = -2$ , dus $x - 2y + c = 0$ ; $(1, -3)$ invullen geeft $1 + 6 + c = 0$ , dus $c = -7$ . Vergelijking: $x - 2y - 7 = 0$ (controle met $t = 1$ , het punt $(3, -2)$ : $3 + 4 - 7 = 0$ ).

Oefening 15.8 ★★

Zoek de vergelijking van de rechte door $P(1, -2)$ die evenwijdig is met $d: 4x - 3y + 2 = 0$ , en de waarde van $m$ waarvoor de rechte $mx + 2y - 5 = 0$ evenwijdig is met $d$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.8.

Een evenwijdige rechte heeft dezelfde $(a, b)$ : $4x - 3y + c = 0$ ; door $P(1, -2)$ : $4 + 6 + c = 0$ , dus $c = -10$ en de rechte is $4x - 3y - 10 = 0$ .

Evenwijdigheid van $mx + 2y - 5 = 0$ met $d$ vereist $ab' - a'b = 4 \times 2 - m \times (-3) = 8 + 3m = 0$ , dus $m = -\frac83$ .

Oefening 15.9 ★★

Zij $A(-1, 0)$ , $B(3, 2)$ en $C(1, -4)$ . Zoek een cartesische vergelijking van de zwaartelijn van de driehoek $ABC$ uit $C$ (de rechte die $C$ met het midden van $[AB]$ verbindt).

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.9.

Het midden van $[AB]$ is $M\!\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (1, 1)$ . De zwaartelijn is de rechte $(CM)$ met $C(1, -4)$ : beide punten hebben abscis $1$ , dus is de zwaartelijn de verticale rechte

x - 1 = 0 .

Oefening 15.10 ★★

Voor welke waarde of waarden van de parameter $m$ zijn de vectoren $\vec u\,(m, 2)$ en $\vec v\,(3, m - 1)$ collineair?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.10.

$\det(\vec u, \vec v) = m(m - 1) - 3 \times 2 = m^2 - m - 6$ . Die verdwijnt wanneer $m^2 - m - 6 = 0$ : $\Delta = 1 + 24 = 25$ , met wortels $m = \frac{1 \pm 5}{2}$ , dus $m = 3$ of $m = -2$ .

Oefening 15.11 ★★★

Zij $ABCD$ een parallellogram, $I$ het midden van $[AB]$ , en $J$ het punt bepaald door $\vect{DJ} = \frac23 \vect{DI}$ . Werk in het assenstelsel waarin $A(0,0)$ , $B(1,0)$ , $D(0,1)$ (zodat $C(1,1)$ ):

Bereken de coördinaten van $I$ en $J$ .
Toon aan dat $A$ , $J$ en $C$ op één rechte liggen. (Een mooi feit: de rechte $(DI)$ snijdt de diagonaal $(AC)$ op een derde van haar lengte.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.11.

1. $I = \left(\frac12, 0\right)$ . Dan is $\vect{DI} = \left(\frac12 - 0,\ 0 - 1\right) = \left(\frac12, -1\right)$ en $\vect{DJ} = \frac23\vect{DI} = \left(\frac13, -\frac23\right)$ , dus

J = D + \vect{DJ} = \left(\frac13,\ \frac13\right).

2. $\vect{AJ}\left(\frac13, \frac13\right)$ en $\vect{AC}\,(1, 1)$ : $\det = \frac13 \times 1 - 1 \times \frac13 = 0$ , dus liggen $A$ , $J$ en $C$ op één rechte — er geldt zelfs $\vect{AJ} = \frac13\vect{AC}$ : de rechte $(DI)$ snijdt de diagonaal $(AC)$ op precies een derde van haar lengte vanaf $A$ .

15.7 Opgave: aanvaringskoersen en slim gekozen coördinaten

Probleem 15.1

Weekendopgave — kruisende banen zijn nog geen aanvaring: de kleinste nadering op zee, en stellingen bewezen door het juiste assenstelsel te kiezen

De rechte koersen van twee schepen kruisen elkaar — moeten de schepen dan botsen? Alleen wanneer ze het kruispunt op hetzelfde ogenblik bereiken: banen zijn verzamelingen punten, bewegingen zijn parametrisch, en die twee verwarren heeft echte schepen doen zinken. Deze opgave houdt een kleine scheepvaartbegeleiding op parametrische rechten (Definitie 15.13), en wendt zich daarna tot zuivere meetkunde met de andere superkracht van coördinaten: ze slim kiezen, zoals in Oefening 15.11, zodat klassieke stellingen zichzelf uitrekenen.

Deel I — Rechten, op drie manieren.

Geef een parametervoorstelling van de rechte door $A(1, 2)$ met richtingsvector $\vec u(3, -1)$ , en werk daarna de parameter weg om een cartesische vergelijking te krijgen.
Lees voor de rechte $2x - 5y + 3 = 0$ een richtingsvector af (Stelling 15.9), zoek één punt, en schrijf een parametervoorstelling.
Bereken het snijpunt van de twee rechten uit de vragen 1 en 2 (Methode 15.16).
Bevestig met de determinant (Stelling 15.5) dat die twee rechten elkaar wel moesten snijden; toon daarna aan dat $2x - 5y + 3 = 0$ en $-4x + 10y + 1 = 0$ strikt evenwijdig zijn.
Liggen $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(11, 7)$ op één rechte (Methode 15.7)?

Deel II — De scheepvaartbegeleiding. Op tijdstip $t$ (in uren) bevindt schip $P$ zich in $(2t,\ 3 + t)$ en schip $Q$ in $(10 - t,\ 2t - 1)$ (afstanden in zeemijl).

Zoek de cartesische vergelijkingen van de twee banen, en bereken waar de banen elkaar kruisen.
Op welk tijdstip passeert elk schip het kruispunt? Botsen de schepen? Formuleer de algemene waarschuwing in één zin: kruisende banen tegenover samenvallende bewegingen.
Bereken het kwadraat $D^2(t)$ van de afstand tussen de schepen op tijdstip $t$ , en herleid het tot een kwadratische uitdrukking in $t$ . Op welk tijdstip zijn de schepen het dichtst bij elkaar, en hoe dicht komen ze (de toptechniek van Probleem 10.1)?
De reglementen eisen een tussenafstand van minstens $1$ mijl. Wordt ze geschonden? Zo ja, los $D^2(t) < 1$ op en geef de duur van de overtreding.
Leg uit waarom $D^2(t)$ voor elke twee schepen op rechte koersen met constante snelheid altijd een kwadratische functie van $t$ is — zodat de “kleinste nadering” altijd een topberekening is.
Onderschepping: een patrouilleboot vertrekt in $t = 0$ vanuit de oorsprong met constante snelheid $(a, b)$ en moet schip $P$ precies in $t = 3$ ontmoeten. Bereken de vereiste $(a, b)$ en de snelheid van de patrouilleboot.

Deel III — Slim gekozen coördinaten. Werk in het assenstelsel van Oefening 15.11: het parallellogram $ABCD$ wordt $A(0,0)$ , $B(1,0)$ , $C(1,1)$ , $D(0,1)$ ; zij $I$ het midden van $[AB]$ en $K$ het midden van $[CD]$ .

Bereken een cartesische vergelijking van de rechte $(DI)$ .
Snijd $(DI)$ met de diagonaal $(AC)$ : haal het feit van Oefening 15.11 terug — de snede ligt precies op een derde van de diagonaal.
En nu de rechte $(BK)$ : zoek haar vergelijking, snijd met $(AC)$ , en besluit tot de volledige klassieke stelling: de hoektransversalen $(DI)$ en $(BK)$ verdelen de diagonaal $(AC)$ in drie gelijke stukken.
Waarom was het geoorloofd de stelling in dit ene bijzondere assenstelsel te bewijzen? (Wat behoudt de keuze van de coördinaten, en waarover gaat de uitspraak?) Antwoord in twee of drie zinnen.
Nog een verdeling in drieën ter oefening: zij $E$ het midden van $[BC]$ . Waar snijdt de rechte $(AE)$ de andere diagonaal $(DB)$ ?

Deel IV — Plaatsbepalingspuzzels.

Gaan de drie rechten $x + y = 4$ , $2x - y = 2$ , $x - 2y = -2$ door één punt? (Snijd er twee en toets de derde.)
Zij $d_m$ voor elke reële $m$ de rechte $mx - y + 2 - 3m = 0$ . Toon aan dat elke $d_m$ door één vast punt gaat. (Groepeer de termen in $m$ .)
In de familie $(d_m)$ : welk lid is evenwijdig met $y = 2x + 7$ ? En welk gaat door de oorsprong?
Slotstuk — de drie kostuums van een rechte: cartesisch (een test op lidmaatschap met één invulling), herleid (richtingscoëfficiënt en grafiek in één oogopslag), parametrisch (beweging, timing, onderschepping); de determinant als orakel voor evenwijdigheid; en het goed gekozen assenstelsel als stellingenfabriek. Telkens één zin.

Oplossing

Oplossing van Probleem 15.1.

1. $x = 1 + 3t$ , $y = 2 - t$ . Uit de tweede volgt $t = 2 - y$ ; invullen geeft $x = 1 + 3(2 - y) = 7 - 3y$ : de cartesische vergelijking $x + 3y - 7 = 0$ .

2. Voor $ax + by + c = 0$ is $(-b, a)$ een richtingsvector: hier $(5, 2)$ . Een punt: $y = 1$ geeft $x = 1$ , dus $(1, 1)$ . Parametervoorstelling: $x = 1 + 5t$ , $y = 1 + 2t$ .

3. $x = 7 - 3y$ invullen in $2x - 5y + 3 = 0$ geeft $14 - 6y - 5y + 3 = 0$ , dus $y = \frac{17}{11}$ en $x = 7 - \frac{51}{11} = \frac{26}{11}$ : het punt $\left(\frac{26}{11}, \frac{17}{11}\right)$ .

4. Richtingen $(5, 2)$ en $(3, -1)$ : $\det = 5 \times (-1) - 2 \times 3 = -11 \neq 0$ : snijdend, zoals gevonden. Voor het tweede paar: de richtingen $(5, 2)$ en $(10, 4)$ hebben $\det = 0$ (evenwijdig), en $2x - 5y + 3 = 0$ verdubbelen geeft $-4x + 10y - 6 = 0 \neq -4x + 10y + 1 = 0$ : strikt evenwijdig.

5. $\vect{AB}(3, 2)$ , $\vect{AC}(9, 6)$ : $\det = 18 - 18 = 0$ : op één rechte.

6. $P$ : uit $x = 2t$ en $y = 3 + t$ volgt $y = 3 + \frac x2$ . $Q$ : uit $x = 10 - t$ volgt $t = 10 - x$ , dus $y = 2(10 - x) - 1 = 19 - 2x$ . Kruising: $3 + \frac x2 = 19 - 2x$ geeft $x = 6.4$ en $y = 6.2$ : de banen kruisen elkaar in $(6.4,\ 6.2)$ .

7. $P$ passeert daar wanneer $2t = 6.4$ : $t = 3.2$ u. $Q$ wanneer $10 - t = 6.4$ : $t = 3.6$ u. Vierentwintig minuten uit elkaar: geen aanvaring. Waarschuwing: een kaart toont banen; alleen de parametrische klokken zeggen of twee bewegingen op hetzelfde ogenblik hetzelfde punt bezetten.

8. $D^2(t) = (3t - 10)^2 + (4 - t)^2 = 10t^2 - 68t + 116$ : top in $t = \frac{68}{20} = 3.4$ u, waar $D^2 = 0.4$ : de kleinste nadering is $D = \sqrt{0.4} \approx 0.63$ mijl, in $t = 3.4$ .

9. Geschonden: $0.63 < 1$ . $D^2(t) < 1$ luidt $10t^2 - 68t + 115 < 0$ : $\Delta = 4624 - 4600 = 24$ , met wortels $\frac{68 \pm \sqrt{24}}{20} = 3.4 \pm 0.245$ : de schepen zitten te dicht bij elkaar van $t \approx 3.16$ tot $t \approx 3.64$ — ongeveer $29$ minuten inbreuk. Een van beide moet van koers veranderen.

10. Elke coördinaat van elk schip is een affiene functie van $t$ , dus is elk verschil van coördinaten affien, en is $D^2$ — een som van twee gekwadrateerde affiene functies — kwadratisch (met niet-negatieve kopcoëfficiënt). De kleinste nadering lees je dus altijd van een top af.

11. $P$ ontmoeten in $t = 3$ , dus in $(6, 6)$ : $(3a, 3b) = (6, 6)$ geeft $(a, b) = (2, 2)$ , met snelheid $\sqrt{8} \approx 2.8$ knopen.

12. $D(0, 1)$ en $I\left(\frac12, 0\right)$ : richting $\left(\frac12, -1\right)$ , dus $(1, -2)$ : vergelijking $2x + y = 1$ .

13. $(AC)$ : $y = x$ . Dan geeft $2x + x = 1$ dat $x = \frac13$ : het punt $\left(\frac13, \frac13\right)$ , op een derde van de weg van $A$ naar $C$ .

14. $B(1, 0)$ en $K\left(\frac12, 1\right)$ : richting $\left(-\frac12, 1\right)$ , vergelijking $2x + y = 2$ . Met $y = x$ : $x = \frac23$ : het punt $\left(\frac23, \frac23\right)$ . De twee hoektransversalen snijden $(AC)$ in haar twee derdepunten: de stelling is bewezen, twee keer drie regels rekenwerk.

15. Elk parallellogram wordt op het eenheidsvierkant afgebeeld door $A$ als oorsprong en $\vect{AB}$ en $\vect{AD}$ als de eenheden van de twee assen te kiezen. Die keuze behoudt alles waarover de stelling spreekt — middens, het op één rechte liggen, en verhoudingen langs een gegeven rechte (alle uit te drukken met vectoren en scalairen) — zodat de uitspraak in het vierkant bewijzen ze voor elk parallellogram bewijst. (Lengten of hoeken zou ze niet overdragen: die vervormt het assenstelsel.)

16. $E\left(1, \frac12\right)$ : de rechte $(AE)$ is $y = \frac x2$ . De diagonaal $(DB)$ loopt van $(0,1)$ naar $(1,0)$ : $y = 1 - x$ . Snijpunt: $\frac x2 = 1 - x$ geeft $x = \frac23$ : het punt $\left(\frac23, \frac13\right)$ — opnieuw een derdepunt, nu van de andere diagonaal. Hoektransversalen naar middens houden van derden.

17. De eerste twee: $x + y = 4$ en $2x - y = 2$ geven $3x = 6$ : $(2, 2)$ . De derde: $2 - 4 = -2$ : voldaan. Ze gaan alle drie door $(2, 2)$ .

18. $mx - y + 2 - 3m = m(x - 3) + (2 - y) = 0$ : opdat de vergelijking voor elke $m$ zou gelden, neem je $x = 3$ en $y = 2$ — en inderdaad bevat elke $d_m$ het punt $(3, 2)$ . Een bundel rechten door één punt, één rechte per richtingscoëfficiënt $m$ .

19. Evenwijdig met $y = 2x + 7$ : richtingscoëfficiënt $m = 2$ , dus de rechte $2x - y - 4 = 0$ . Door de oorsprong: $2 - 3m = 0$ , dus $m = \frac23$ .

20. Cartesisch: vul een punt in, en het lidmaatschap is beslecht. Herleid: richtingscoëfficiënt en $y$ -afsnede zichtbaar, grafiek meteen. Parametrisch: de klok zit ingebouwd — aanvaringen, kleinste nadering, onderschepping. De determinant: één kruisvermenigvuldiging, en de evenwijdigheid staat vast. Het gekozen assenstelsel: een parallellogram wordt een eenheidsvierkant, en een klassieke stelling over verdeling in drieën wordt het snijden van drie rechten.