Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

7Vergelijkingen van rechten en lineaire stelsels

Een rechte in het coördinatenvlak wordt door een vergelijking beschreven, en twee rechten samen vormen een stelsel van vergelijkingen waarvan de oplossingen hun snijpunten zijn. Dit hoofdstuk verbindt drie talen — de meetkundige (rechten), de algebraïsche (vergelijkingen) en de functionele (affiene functies uit Hoofdstuk 4) — en leert de twee gebruikelijke manieren om een lineair stelsel op te lossen.

7.1 De vergelijking van een rechte

Stelling 7.1 (Herleide vergelijking)

In een assenstelsel geldt:

elke niet-verticale rechte heeft een vergelijking van de vorm

$y = mx + p ,$

met $m$ (de richtingscoëfficiënt) en $p$ (de $y$ -afsnede) ondubbelzinnig bepaald — dit is de herleide vergelijking van de rechte;
elke verticale rechte heeft een vergelijking $x = c$ ;
een punt ligt op de rechte precies wanneer zijn coördinaten aan de vergelijking voldoen.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Propositie 7.2 (Richtingscoëfficiënt uit twee punten)

De richtingscoëfficiënt van de (niet-verticale) rechte door $A(x_A, y_A)$ en $B(x_B, y_B)$ , met $x_A \neq x_B$ , is

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \qquad \text{(``verandering van $y$ gedeeld door verandering van $x$'').}

Bewijs. Beide punten voldoen aan $y = mx + p$ , dus is $y_B - y_A = (mx_B + p) - (mx_A + p) = m(x_B - x_A)$ ; deel door $x_B - x_A \neq 0$ . ∎

Drie soorten rechten: schuin (m ≠ 0), horizontaal (m = 0) en verticaal (geen herleide vergelijking — de vergelijking is x = c). — Drie soorten rechten: schuin ( $m \neq 0$ ), horizontaal ( $m = 0$ ) en verticaal (geen herleide vergelijking — de vergelijking is $x = c$ ).

Methode 7.3 (De vergelijking van een rechte door twee punten)

Gegeven $A$ en $B$ met $x_A \neq x_B$ :

bereken de richtingscoëfficiënt $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ;
schrijf $y = mx + p$ en vul de coördinaten van $A$ (of $B$ ) in om $p$ te vinden;
controleer de gevonden vergelijking met het andere punt.

Is $x_A = x_B$ , dan is de rechte verticaal: haar vergelijking is $x = x_A$ .

Voorbeeld 7.4

De rechte door $A(1, 5)$ en $B(3, 1)$ . Richtingscoëfficiënt: $m = \frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$ . Dan is $y = -2x + p$ ; het punt $A$ geeft $5 = -2 \times 1 + p$ , dus $p = 7$ . Vergelijking: $y = -2x + 7$ . Controle met $B$ : $-2 \times 3 + 7 = 1$ .

Propositie 7.5 (Evenwijdige rechten)

Twee niet-verticale rechten zijn evenwijdig dan en slechts dan als ze dezelfde richtingscoëfficiënt hebben. Twee verschillende evenwijdige rechten hebben geen gemeenschappelijk punt; twee rechten met verschillende richtingscoëfficiënten hebben er precies één.

Bewijs. Zij $y = mx + p$ en $y = m'x + p'$ de twee rechten. Een gemeenschappelijk punt lost $mx + p = m'x + p'$ op, dus $(m - m')x = p' - p$ . Is $m \neq m'$ , dan heeft dat precies één oplossing $x = \frac{p' - p}{m - m'}$ : één snijpunt. Is $m = m'$ , dan luidt de vergelijking $0 = p' - p$ : geen oplossing wanneer $p \neq p'$ (verschillende evenwijdige rechten), en elke $x$ wanneer $p = p'$ (dezelfde rechte). Evenwijdigheid (geen snijpunt hebben, of samenvallen) is dus gelijkwaardig met $m = m'$ . ∎

Opmerking 7.6 (Richtingsvector)

De rechte $y = mx + p$ klimt $m$ eenheden per eenheid naar rechts, zodat de vector $\vec u\,(1, m)$ een richtingsvector van de rechte is: de rechte is evenwijdig met $\vec u$ . Twee rechten zijn evenwijdig precies wanneer hun richtingsvectoren collineair zijn (Stelling 6.13).

7.2 Lineaire stelsels

Definitie 7.7 (Lineair stelsel)

Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in de onbekenden $x$ en $y$ is een paar vergelijkingen

\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}

waaraan tegelijk voldaan moet zijn. Een oplossing is een paar $(x, y)$ dat aan beide voldoet. Elke vergelijking beschrijft een rechte, dus het stelsel oplossen betekent de doorsnede van twee rechten bepalen.

Methode 7.8 (Substitutie)

Los één vergelijking op naar één onbekende — kies de gemakkelijkste, bijvoorbeeld $y$ in functie van $x$ ;
vul die uitdrukking in de andere vergelijking in, die nu alleen nog $x$ bevat;
los op naar $x$ en bereken daarna $y$ uit stap 1;
controleer het paar in beide oorspronkelijke vergelijkingen.

Voorbeeld 7.9

Los $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$ op met substitutie. De tweede vergelijking geeft $y = 3x - 3$ . Invullen in de eerste:

x + 2(3x - 3) = 8 \ \Longleftrightarrow\ x + 6x - 6 = 8 \ \Longleftrightarrow\ 7x = 14 \ \Longleftrightarrow\ x = 2 ,

en dan $y = 3 \times 2 - 3 = 3$ . De oplossing is het paar $(2, 3)$ . Controle: $2 + 2 \times 3 = 8$ en $3 \times 2 - 3 = 3$ .

Methode 7.10 (Eliminatie)

Vermenigvuldig elke vergelijking met een goed gekozen getal, zodat één onbekende in de twee vergelijkingen tegengestelde coëfficiënten krijgt;
tel de vergelijkingen op: die onbekende verdwijnt;
los de overblijvende vergelijking met één onbekende op en vul terug in om de andere onbekende te vinden;
controleer het paar in beide oorspronkelijke vergelijkingen.

Voorbeeld 7.11

Los $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$ op met eliminatie. Om $y$ weg te werken, vermenigvuldig je de eerste vergelijking met $2$ en de tweede met $3$ :

\begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 15x - 6y = 24 \end{cases}

Optellen geeft $19x = 38$ , dus $x = 2$ . Invullen in $2x + 3y = 7$ : $4 + 3y = 7$ , dus $y = 1$ . Oplossing: $(2, 1)$ . Controle in de tweede vergelijking: $5 \times 2 - 2 \times 1 = 8$ .

Een lineair stelsel meetkundig gezien: elke vergelijking is een rechte, en de oplossing (2,1) van is hun snijpunt. — Een lineair stelsel meetkundig gezien: elke vergelijking is een rechte, en de oplossing $(2,1)$ van Voorbeeld 7.11 is hun snijpunt.

Opmerking 7.12 (Hoeveel oplossingen?)

Net als twee rechten heeft een lineair stelsel in het algemeen precies één oplossing (niet-evenwijdige rechten), en bij uitzondering geen enkele (verschillende evenwijdige rechten) of oneindig veel (twee keer dezelfde rechte). Het criterium van Stelling 6.13 beslist: het stelsel heeft precies dan één oplossing wanneer $ab' - a'b \neq 0$ .

Voorbeeld 7.13 (Een stelsel opstellen)

Drie schriften en twee pennen kosten $8$ ; één schrift en vier pennen kosten $6$ . Zij $x$ de prijs van een schrift en $y$ die van een pen:

\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x + 4y = 6 . \end{cases}

Uit de tweede vergelijking volgt $x = 6 - 4y$ ; invullen geeft $3(6 - 4y) + 2y = 8$ , dus $18 - 10y = 8$ , waaruit $y = 1$ en daarna $x = 2$ . Een schrift kost $2$ en een pen kost $1$ .

7.3 Oefeningen

Oefening 7.1 ★

Lees voor elke rechte de richtingscoëfficiënt en de $y$ -afsnede af, en schets haar:

y = 2x - 3, \qquad y = -\tfrac13 x + 1, \qquad y = 4, \qquad x = -2 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.1.

$y = 2x - 3$ : richtingscoëfficiënt $2$ , $y$ -afsnede $-3$ . $y = -\frac13 x + 1$ : richtingscoëfficiënt $-\frac13$ , $y$ -afsnede $1$ . $y = 4$ : richtingscoëfficiënt $0$ , $y$ -afsnede $4$ (horizontale rechte). $x = -2$ : verticale rechte, geen richtingscoëfficiënt en geen herleide vergelijking.

Oefening 7.2 ★

Ligt het punt $A(2, 7)$ op de rechte $y = 3x + 1$ ? En $B(-1, -1)$ ? En het punt $C(4, 13)$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.2.

$3 \times 2 + 1 = 7$ : ja, $A$ ligt op de rechte. $3 \times (-1) + 1 = -2 \neq -1$ : $B$ niet. $3 \times 4 + 1 = 13$ : ja, $C$ ligt op de rechte.

Oefening 7.3 ★

Zoek de herleide vergelijking van de rechte door:

\text{(a) } A(0, 2) \text{ en } B(3, 8); \qquad \text{(b) } A(-1, 5) \text{ en } B(2, -4); \qquad \text{(c) } A(4, 1) \text{ en } B(4, 6).

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.3.

(a) $m = \frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$ en $p = y_A = 2$ (het punt $A$ ligt op de $y$ -as): $y = 2x + 2$ .

(b) $m = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$ ; daarna geeft $5 = -3 \times (-1) + p$ dat $p = 2$ : $y = -3x + 2$ .

Oefening 7.4 ★

Welke van de rechten $y = 3x - 1$ , $y = -3x + 2$ , $y = 3x + 5$ , $y = \frac{6x + 2}{2}$ zijn onderling evenwijdig? Welke vallen in werkelijkheid samen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.4.

$y = \frac{6x+2}{2} = 3x + 1$ . De rechten met richtingscoëfficiënt $3$ zijn $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 5$ en $y = 3x + 1$ : die drie zijn onderling evenwijdig; geen twee ervan vallen samen (verschillende $y$ -afsneden), en geen enkele is evenwijdig met $y = -3x + 2$ .

Oefening 7.5 ★

Los op met substitutie:

\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases} \qquad\text{en daarna}\qquad \begin{cases} x - y = 4 \\ 2x + 3y = 3 . \end{cases}

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.5.

Eerste stelsel: vul $y = 2x - 1$ in $3x + y = 9$ in: $3x + 2x - 1 = 9$ , dus $5x = 10$ , $x = 2$ , en dan $y = 3$ . Oplossing: $(2, 3)$ .

Tweede stelsel: uit $x - y = 4$ volgt $x = y + 4$ . Dan is $2(y + 4) + 3y = 3$ , dus $5y = -5$ , $y = -1$ , en dan $x = 3$ . Oplossing: $(3, -1)$ .

Oefening 7.6 ★

Los op met eliminatie:

\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases} \qquad\text{en daarna}\qquad \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x + 5y = 8 . \end{cases}

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.6.

Eerste stelsel: de vergelijkingen optellen werkt $y$ weg: $2x = 14$ , $x = 7$ ; daarna geeft $7 + y = 10$ dat $y = 3$ . Oplossing: $(7, 3)$ .

Tweede stelsel: vermenigvuldig de eerste vergelijking met $5$ en de tweede met $-2$ :

\begin{cases} 15x + 10y = 60 \\ -4x - 10y = -16 \end{cases}

Optellen: $11x = 44$ , dus $x = 4$ ; daarna geeft $3 \times 4 + 2y = 12$ dat $y = 0$ . Oplossing: $(4, 0)$ .

Oefening 7.7 ★★

Bepaal, zonder ze op te lossen, hoeveel oplossingen elk stelsel heeft:

\begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = -6 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = 1 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 0 . \end{cases}

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.7.

Bereken telkens $ab' - a'b$ .

Eerste: $2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 4 - 4 = 0$ , en de tweede vergelijking is $-2$ keer de eerste: twee keer dezelfde rechte, oneindig veel oplossingen.

Tweede: opnieuw $ab' - a'b = 0$ , maar de rechterleden staan niet in de verhouding $-2$ ( $1 \neq -6$ ): twee verschillende evenwijdige rechten, geen oplossing.

Derde: $2 \times 1 - 1 \times (-1) = 3 \neq 0$ : precies één oplossing.

Oefening 7.8 ★★

Voor een schooltoneel werden tweehonderd kaartjes verkocht, sommige aan $5$ (kinderen) en sommige aan $9$ (volwassenen), voor een totaal van $1352$ . Hoeveel kaartjes van elke soort zijn er verkocht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.8.

Zij $x$ het aantal kinderkaartjes en $y$ het aantal volwassenenkaartjes:

\begin{cases} x + y = 200 \\ 5x + 9y = 1352 . \end{cases}

Uit de eerste vergelijking volgt $x = 200 - y$ ; invullen geeft $5(200 - y) + 9y = 1352$ , dus $1000 + 4y = 1352$ , $y = 88$ , en dan $x = 112$ . Dus $112$ kinderkaartjes en $88$ volwassenenkaartjes. Controle: $5 \times 112 + 9 \times 88 = 560 + 792 = 1352$ .

Oefening 7.9 ★★

Zij $d$ de rechte $y = 2x - 3$ en $A(1, 4)$ .

Geef de vergelijking van de rechte $d'$ die evenwijdig is met $d$ en door $A$ gaat.
Bereken het snijpunt van $d'$ met de $x$ -as.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.9.

1. Evenwijdig betekent dezelfde richtingscoëfficiënt $2$ : $y = 2x + p$ met $4 = 2 \times 1 + p$ , dus $p = 2$ : $d'\colon y = 2x + 2$ .

2. Op de $x$ -as is $y = 0$ : $2x + 2 = 0$ geeft $x = -1$ . Het snijpunt is $(-1, 0)$ .

Oefening 7.10 ★★★

Zij $A(0, 0)$ , $B(6, 2)$ en $C(2, 4)$ .

Zoek de vergelijkingen van de zwaartelijnen van de driehoek $ABC$ uit $A$ en uit $B$ (een zwaartelijn verbindt een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde).
Bereken hun snijpunt $G$ , en ga na dat $G$ ook op de derde zwaartelijn ligt. (Je zou moeten vinden dat de coördinaten van $G$ de gemiddelden zijn van die van $A$ , $B$ , $C$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.10.

1. Midden van $[BC]$ : $A' = \left(\frac{6+2}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (4, 3)$ . De zwaartelijn uit $A(0,0)$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac34$ : vergelijking $y = \frac34 x$ .

Midden van $[AC]$ : $B' = (1, 2)$ . De zwaartelijn uit $B(6, 2)$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{2 - 2}{1 - 6} = 0$ : het is de horizontale rechte $y = 2$ .

2. Snijpunt: $\frac34 x = 2$ geeft $x = \frac83$ , dus $G\left(\frac83, 2\right)$ . De derde zwaartelijn verbindt $C(2,4)$ met het midden van $[AB]$ , $C' = (3, 1)$ ; haar richtingscoëfficiënt is $\frac{1 - 4}{3 - 2} = -3$ , vergelijking $y = -3x + 10$ . In $x = \frac83$ : $y = -8 + 10 = 2$ : $G$ ligt erop. En inderdaad is $G = \left(\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 2 + 4}{3}\right)$ : het zwaartepunt middelt de coördinaten van de hoekpunten.

7.4 Opgave: één oplossing, geen, of oneindig veel

Probleem 7.1

Weekendopgave — twee rechten hebben drie mogelijke lotsbestemmingen, een determinant beslist ertussen, en het oudste leerboek ter wereld wist het al

Twee lineaire vergelijkingen, twee onbekenden: het paar rechten dat ze tekenen kan elkaar één keer snijden, nooit, of één en dezelfde rechte zijn — en elk lineair stelsel erft een van die drie lotsbestemmingen. Deze opgave brengt ze in kaart, ontmoet het getal dat beslist (een oude bekende uit het hoofdstuk over vectoren), lost de tweeduizend jaar oude fazanten en konijnen van de Chinese Negen Hoofdstukken op, en eindigt bij de hoekpunten van gebieden — de eerste stap van de optimalisatie die vandaag elke luchtvaartmaatschappij en elke fabriek gebruikt.

Deel I — De rechte, vlot.

Zoek de herleide vergelijking van de rechte door $(1, 2)$ en $(3, 8)$ (Methode 7.3).
Welke twee van $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 4$ en $y = -x + 7$ zijn evenwijdig (Propositie 7.5), en waar ontmoeten de niet-evenwijdige paren elkaar? (Bereken één snijpunt.)
De rechte door $(2, 1)$ en $(2, 5)$ : waarom heeft ze geen herleide vergelijking $y = mx + p$ , en wat is haar vergelijking?
Ligt het punt $(4, 11)$ op de rechte $y = 3x - 1$ ? En $(-1, -5)$ ?
De rechte door $(0, 3)$ met richtingscoëfficiënt $-2$ : geef haar vergelijking, haar twee snijpunten met de assen, en de oppervlakte van de driehoek die ze uit het eerste kwadrant snijdt.

Deel II — Drie lotsbestemmingen.

Los op met substitutie (Methode 7.8): $\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + y = 7 \end{cases}$
Los op met eliminatie (Methode 7.10): $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = -1 \end{cases}$
Bepaal — en duid met rechten — het lot van de twee stelsels

$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases} \qquad\text{en}\qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 1 . \end{cases}$

Formuleer de volledige driedeling: snijdend, evenwijdig, samenvallend — één oplossing, geen, oneindig veel.
Voor het algemene stelsel $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ is $ad - bc$ het beslissende getal — dezelfde determinant als in de toets op collineariteit uit Probleem 6.1. Verklaar het toeval (welke twee vectoren zijn collineair precies wanneer de rechten evenwijdig zijn of samenvallen?), en bereken $ad - bc$ voor de drie stelsels van de vragen 7 en 8.
Voor welke waarde van $m$ heeft $\begin{cases} x + my = 3 \\ 2x + 6y = 7 \end{cases}$ geen oplossing? Los het stelsel op voor alle andere waarden van $m$ … of leg minstens uit hoe je dat zou doen.

Deel III — De Negen Hoofdstukken.

Uit de Negen Hoofdstukken over de Rekenkunst (China, zo’n 2000 jaar geleden): in een kooi zitten fazanten en konijnen — samen $35$ koppen en $94$ poten. Hoeveel van elk?
Een sapkraam mengt een siroop met $60\,\%$ fruit met een drank met $20\,\%$ fruit om $30$ L met $35\,\%$ fruit te krijgen. Hoeveel liter van elk?
Een getal van twee cijfers heeft cijfersom $12$ ; de cijfers verwisselen verlaagt het met $18$ . Zoek het, en gebruik de cijferalgebra uit de weekendopgave daarover in het onderbouwvolume om het stelsel op te stellen.
In de bakkerij kosten $3$ koffies en $2$ croissants $9.10$ euro; $2$ koffies en $3$ croissants kosten $8.90$ euro. Los het elegant op: wat vertellen het optellen en het aftrekken van de twee vergelijkingen je elk rechtstreeks?
Een marktkraam beweert: $2$ appels $+ 1$ peer voor $5$ euro, en $4$ appels $+ 2$ peren voor $9$ euro. Los op — of liever: leg uit wat het lot van dit stelsel over de rekenkunde van de kraam onthult.

Deel IV — De hoekpunten beslissen.

De rechte $y = 3x - 1$ verdeelt het vlak in twee. Aan welke kant ligt de oorsprong? Beschrijf de verzameling $y > 3x - 1$ en hoe je een punt eraan toetst.
Teken het gebied bepaald door de vier voorwaarden

$x \geq 0, \qquad y \geq 0, \qquad x + y \leq 4, \qquad y \leq 2x + 1,$

en bereken zijn vier hoekpunten.
De winst van een atelier is $P = 3x + 2y$ op het gebied van vraag 17. Bereken $P$ in de vier hoekpunten. Neem aan dat het maximum van zo’n lineaire grootheid op zo’n gebied altijd in een hoekpunt bereikt wordt (stel je de rechten $3x + 2y =$ constant voor die over het gebied strijken), en geef het optimale productieplan.
De twee taxi’s uit de weekendopgave over de twee thermometers in het onderbouwvolume, nu als stelsel: schrijf $\begin{cases} y = 1.5x + 3 \\ y = 2x \end{cases}$ op, los het op en duid de oplossing.
Slotstuk, het woordenboek: één vergelijking $\leftrightarrow$ één rechte; één stelsel $\leftrightarrow$ twee rechten met drie lotsbestemmingen, beslist door $ad - bc$ ; veel ongelijkheden $\leftrightarrow$ een gebied waarvan de hoekpunten het optimum dragen. Zeg het in drie zinnen — je hebt zojuist de inkomhal bezocht van de lineaire algebra en het lineair programmeren, allebei in de universitaire volumes volledig opgebouwd.

Oplossing

Oplossing van Probleem 7.1.

1. Richtingscoëfficiënt $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ ; door $(1, 2)$ : $y = 3x - 1$ .

2. $y = 3x - 1$ en $y = 3x + 4$ : dezelfde richtingscoëfficiënt, dus evenwijdig (en verschillend). $y = 3x - 1$ snijden met $y = -x + 7$ : $3x - 1 = -x + 7$ geeft $x = 2$ , $y = 5$ : het punt $(2, 5)$ .

3. Beide punten delen $x = 2$ : de rechte is verticaal, met vergelijking $x = 2$ . Een herleide vorm $y = mx + p$ beantwoordt de vraag “één $y$ per $x$ ”, en dat weigert een verticale rechte: haar richtingscoëfficiënt zou oneindig zijn.

4. $3 \times 4 - 1 = 11$ : ja, $(4, 11)$ ligt op de rechte. $3 \times (-1) - 1 = -4 \neq -5$ : nee.

5. $y = -2x + 3$ ; snijdt de assen in $(0, 3)$ en $\left(\frac32, 0\right)$ . Oppervlakte van de driehoek: $\frac12 \times \frac32 \times 3 = \frac94 = 2.25$ .

6. Invullen: $3x + 2x - 3 = 7$ , dus $x = 2$ en $y = 1$ : oplossing $(2, 1)$ .

7. Optellen: $7x = 7$ , dus $x = 1$ ; daarna $3y = 6$ , $y = 2$ : oplossing $(1, 2)$ .

8. Eerste stelsel: de tweede vergelijking is het dubbele van de eerste: één rechte die twee keer geteld wordt — oneindig veel oplossingen (alle punten van $2x - y = 3$ ). Tweede stelsel: dezelfde evenredige linkerleden, maar niet-evenredige rechterleden ( $2 \times 3 = 6 \neq 1$ ): twee evenwijdige rechten — geen oplossing. Driedeling: verschillende richtingscoëfficiënten $\to$ één snijpunt; gelijke richtingscoëfficiënten met verschillende $y$ -afsneden $\to$ evenwijdig, geen oplossing; alles gelijk $\to$ dezelfde rechte, oneindig veel.

9. De richtingsvectoren van de rechten zijn $(-b, a)$ en $(-d, c)$ (of: de richtingscoëfficiënten $-\frac ab$ en $-\frac cd$ ), en ze zijn collineair precies wanneer $ad - bc = 0$ — de determinant van Probleem 6.1 in een nieuwe betrekking. Waarden: vraag 7: $2 \times (-3) - 3 \times 5 = -21 \neq 0$ : één oplossing. Vraag 8: $2 \times (-2) - (-1) \times 4 = 0$ voor beide: evenwijdig of samenvallend, en de constanten scheiden de twee gevallen.

10. $ad - bc = 6 - 2m$ : nul voor $m = 3$ . Daar staat $x + 3y = 3$ tegenover $2x + 6y = 7$ : het dubbele van de eerste geeft $2x + 6y = 6 \neq 7$ : evenwijdig, dus geen oplossing. Voor $m \neq 3$ levert eliminatie de enige oplossing $y = \frac{1}{6 - 2m}$ , en daarna $x = 3 - \frac{m}{6 - 2m}$ .

11. $f + k = 35$ , $2f + 4k = 94$ : halveren geeft $f + 2k = 47$ , dus $k = 12$ en $f = 23$ : drieëntwintig fazanten en twaalf konijnen — het antwoord van de Negen Hoofdstukken zelf.

12. $x + y = 30$ en $0.6x + 0.2y = 0.35 \times 30 = 10.5$ ; $0.2$ keer de eerste ervan aftrekken geeft $0.4x = 4.5$ : $x = 11.25$ L siroop en $y = 18.75$ L drank.

13. Cijfers $a$ , $b$ : $a + b = 12$ en $(10a + b) - (10b + a) = 9(a - b) = 18$ , dus $a - b = 2$ : $a = 7$ , $b = 5$ : het getal is $75$ .

14. Optellen: $5k + 5c = 18$ , dus $k + c = 3.60$ — één koffie plus één croissant. Aftrekken: $k - c = 0.20$ . Bijgevolg is $k = 1.90$ en $c = 1.70$ euro: de symmetrische kortere weg loste het op zonder één substitutie.

15. Het dubbele van de eerste bewering geeft $4$ appels $+ 2$ peren $= 10$ euro, terwijl de kraam $9$ vraagt: het stelsel is strijdig — evenwijdige rechten, lege oplossingsverzameling. Oordeel: de twee prijsbeweringen kunnen niet allebei kloppen; ofwel zit er een korting verborgen, ofwel de rekenfout.

16. In de oorsprong: $0 > 3 \times 0 - 1 = -1$ : waar, dus ligt $(0,0)$ in het gebied $y > 3x - 1$ (boven de rechte). Toets een willekeurig punt door het in te vullen: boven of onder, naargelang de ongelijkheid waar is of niet.

17. Hoekpunten: $(0, 0)$ ; $(4, 0)$ (assen en $x + y = 4$ ); $(0, 1)$ (as en $y = 2x + 1$ ); en $x + y = 4$ met $y = 2x + 1$ : $x = 1$ , $y = 3$ : $(1, 3)$ .

18. $P(0,0) = 0$ ; $P(4, 0) = 12$ ; $P(0, 1) = 2$ ; $P(1, 3) = 9$ . Maximum in het hoekpunt $(4, 0)$ : het plan $x = 4$ , $y = 0$ levert $12$ op — de hoekpunten beslissen, zoals de strijkende evenwijdige rechten $3x + 2y = c$ zichtbaar maken.

19. $1.5x + 3 = 2x$ geeft $x = 6$ , $y = 12$ : bij zes kilometer rekenen beide taxi’s twaalf euro — het omslagpunt uit de weekendopgave over de twee thermometers in het onderbouwvolume, nu de enige oplossing van een stelsel.

20. De oplossingen van een lineaire vergelijking tekenen een rechte; een stelsel legt twee rechten over elkaar, en $ad - bc$ zegt in één oogopslag of ze elkaar één keer snijden (niet nul) dan wel in de gevallen evenwijdig-of-samenvallend belanden (nul). Stapel in plaats daarvan ongelijkheden op, en de oplossingen vormen een veelhoekig gebied waarvan de hoekpunten elk lineair optimum dragen. De lineaire algebra veralgemeent de determinant naar willekeurig veel onbekenden; het lineair programmeren maakt industrie van de hoekpunten.