Mathematics · Boek 2 · Grades 10–12

Wiskunde bovenbouw

Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

16Het scalair product in het vlak

Het scalair product hangt een getal aan een paar vectoren, en dat getal ziet meetkunde: het verdwijnt precies bij loodrechte richtingen, en het meet hoeken en lengten. Het is de motor achter de cosinusregel, achter vergelijkingen van cirkels en achter berekeningen met loodrechte stand. Hetzelfde gereedschap, in de ruimte, is het onderwerp van Hoofdstuk 31.

16.1 Definitie en eerste berekeningen

Definitie 16.1 (Scalair product)

Het scalair product van twee vectoren u⃗\vec u en v⃗\vec v is het getal

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

waarbij ∥u⃗∥\norm{\vec u} de lengte (de norm) van u⃗\vec u aanduidt.

Stelling 16.2 (De vier gezichten van het scalair product)

Zij u⃗ (x,y)\vec u\,(x, y) en v⃗ (x′,y′)\vec v\,(x', y') vectoren verschillend van 0⃗\vec 0, en θ\theta de hoek ertussen. Dan geldt

  1. (coördinaten) u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u \cdot \vec v = xx' + yy';
  2. (cosinus) u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta;
  3. (projectie) u⃗⋅v⃗=u⃗⋅v⃗′\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec v', waarbij v⃗′\vec v' de orthogonale projectie van v⃗\vec v op de richting van u⃗\vec u is; is u⃗=OA→\vec u = \vect{OA} en v⃗=OB→\vec v = \vect{OB}, dan is u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, een product van getekende lengten, waarbij HH de voet is van de loodlijn uit BB op de rechte (OA)(OA);
  4. (normen) de definiërende formule van Definitie 16.1.

Bewijs van 1 en 2. 1. In coördinaten is ∥u⃗∥2=x2+y2\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2 (Pythagoras) en heeft u⃗+v⃗\vec u + \vec v coördinaten (x+x′,y+y′)(x + x', y + y'), dus

2 u⃗⋅v⃗=(x+x′)2+(y+y′)2−(x2+y2)−(x′2+y′2)=2xx′+2yy′,\begin{align*} 2\,\vec u \cdot \vec v &= (x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\\ &= 2xx' + 2yy', \end{align*}

na de kwadraten uit te werken en weg te strepen.

2. Kies het assenstelsel zo dat u⃗\vec u langs de positieve xx-as wijst: u⃗ (∥u⃗∥,0)\vec u\,(\norm{\vec u}, 0) en v⃗ (∥v⃗∥cos⁡θ, ∥v⃗∥sin⁡θ)\vec v\,(\norm{\vec v}\cos\theta,\ \norm{\vec v}\sin\theta) (Hoofdstuk 14). Formule 1 geeft dan u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ+0\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta + 0. Formule 3 leest dezelfde berekening af: de projectie van v⃗\vec v op de xx-as heeft getekende lengte ∥v⃗∥cos⁡θ=OH‾\norm{\vec v}\cos\theta = \overline{OH}. ∎

Het beeld van de projectie: u v = OA × OH, waarbij H de voet is van de loodlijn uit de punt van v. Het oranje lijnstuk OH heeft getekende lengte v.
Het beeld van de projectie: u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, waarbij HH de voet is van de loodlijn uit de punt van v⃗\vec v. Het oranje lijnstuk OHOH heeft getekende lengte ∥v⃗∥cos⁡θ\norm{\vec v}\cos\theta.

Voorbeeld 16.3

u⃗ (3,1)\vec u\,(3, 1) en v⃗ (2,−4)\vec v\,(2, -4): u⃗⋅v⃗=6−4=2\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2. De normen zijn ∥u⃗∥=10\norm{\vec u} = \sqrt{10} en ∥v⃗∥=20\norm{\vec v} = \sqrt{20}, dus cos⁡θ=21020=2102=210\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{10}: de hoek is iets minder dan 82∘82^\circ.

Propositie 16.4 (Rekenregels)

Voor alle vectoren en alle λ∈R\lambda \in \R geldt

u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗,u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗,(λu⃗)⋅v⃗=λ (u⃗⋅v⃗),\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad \vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w, \qquad (\lambda \vec u)\cdot \vec v = \lambda\,(\vec u \cdot \vec v),
u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2,∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2.\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2, \qquad \norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 .

Bewijs. Alles volgt uit de formule in coördinaten: zo is u⃗⋅(v⃗+w⃗)=x(x′+x′′)+y(y′+y′′)=(xx′+yy′)+(xx′′+yy′′)\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = x(x' + x'') + y(y' + y'') = (xx' + yy') + (xx'' + yy''). De laatste identiteit werkt ∥u⃗+v⃗∥2=(u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)\norm{\vec u + \vec v}^2 = (\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v) uit met de eerste drie regels — het scalair product gedraagt zich precies als een gewoon product, zodat de gebruikelijke merkwaardige producten ook op vectoren van toepassing zijn. ∎

16.2 Loodrechte stand

Definitie 16.5 (Orthogonale vectoren)

Twee vectoren heten orthogonaal, geschreven u⃗⊥v⃗\vec u \perp \vec v, wanneer u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0.

Opmerking 16.6

Voor vectoren verschillend van 0⃗\vec 0 toont formule 2 van Stelling 16.2 dat u⃗⋅v⃗=0  ⟺  cos⁡θ=0  ⟺  \vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0 \iff de richtingen staan loodrecht op elkaar. De nulvector is orthogonaal met alles.

Voorbeeld 16.7

u⃗ (3,2)\vec u\,(3, 2) en v⃗ (−4,6)\vec v\,(-4, 6): u⃗⋅v⃗=−12+12=0\vec u \cdot \vec v = -12 + 12 = 0: orthogonaal. Algemeen is u⃗ (a,b)\vec u\,(a, b) altijd orthogonaal met v⃗ (−b,a)\vec v\,(-b, a) — een kwartdraai.

16.3 De cosinusregel

Stelling 16.8 (Cosinusregel)

In een driehoek ABCABC met zijden a=BCa = BC, b=CAb = CA, c=ABc = AB en hoek A^\widehat A in het hoekpunt AA geldt

a2=b2+c2−2bc cos⁡A^.a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A .

Bewijs. Schrijf BC→=BA→+AC→=AC→−AB→\vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB} en werk uit met Propositie 16.4:

a2=∥BC→∥2=∥AC→∥2−2 AC→⋅AB→+∥AB→∥2=b2+c2−2 AB→⋅AC→.a^2 = \norm{\vect{BC}}^2 = \norm{\vect{AC}}^2 - 2\,\vect{AC}\cdot\vect{AB} + \norm{\vect{AB}}^2 = b^2 + c^2 - 2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}.

Volgens de cosinusformule is AB→⋅AC→=c b cos⁡A^\vect{AB}\cdot\vect{AC} = c\,b\,\cos\widehat A. ∎

Opmerking 16.9

Is A^\widehat A een rechte hoek, dan is cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 en herleidt de cosinusregel zich tot de stelling van Pythagoras a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2: het is Pythagoras met een correctieterm voor niet-rechte hoeken.

De cosinusregel: twee zijden b, c en de hoek ertussen leggen de derde zijde a vast.
De cosinusregel: twee zijden bb, cc en de hoek ertussen leggen de derde zijde aa vast.

Voorbeeld 16.10

Twee zijden van een driehoek meten b=5b = 5 en c=8c = 8 en sluiten een hoek A^=π3\widehat A = \frac\pi3 in. Dan is

a2=25+64−2×5×8×12=89−40=49,a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac12 = 89 - 40 = 49,

dus a=7a = 7.

16.4 Toepassingen: cirkels en loodrechte rechten

Propositie 16.11 (Cirkel met gegeven middellijn)

Een punt MM ligt op de cirkel met middellijn [AB][AB] dan en slechts dan als

MA→⋅MB→=0.\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 .

Bewijs. Is M≠A,BM \neq A, B, dan zegt de voorwaarde dat de hoek in MM in de driehoek AMBAMB recht is, en de punten die een lijnstuk onder een rechte hoek zien zijn precies die van de cirkel met dat lijnstuk als middellijn. Hier is een rechtstreeks bewijs: zij OO het midden van [AB][AB] en r=AB2r = \frac{AB}{2}. Dan is MA→=MO→+OA→\vect{MA} = \vect{MO} + \vect{OA} en MB→=MO→+OB→=MO→−OA→\vect{MB} = \vect{MO} + \vect{OB} = \vect{MO} - \vect{OA}, dus

MA→⋅MB→=∥MO→∥2−∥OA→∥2=MO2−r2,\vect{MA}\cdot\vect{MB} = \norm{\vect{MO}}^2 - \norm{\vect{OA}}^2 = MO^2 - r^2,

wat precies verdwijnt wanneer MO=rMO = r, dus wanneer MM op de cirkel met middelpunt OO en straal rr ligt. ∎

Propositie 16.12 (Normaalvector van een rechte)

De vector n⃗ (a,b)\vec n\,(a, b) is orthogonaal met elke richtingsvector van de rechte d:ax+by+c=0d : ax + by + c = 0; men noemt n⃗\vec n een normaalvector van dd. Twee rechten staan loodrecht op elkaar precies wanneer hun normaalvectoren (of hun richtingsvectoren) orthogonaal zijn.

Bewijs. Een richtingsvector van dd is u⃗ (−b,a)\vec u\,(-b, a) (Stelling 15.9), en n⃗⋅u⃗=a(−b)+b(a)=0\vec n \cdot \vec u = a(-b) + b(a) = 0. ∎

Methode 16.13 (Werken met normaalvectoren)

  • Rechte door AA met normaalvector n⃗ (a,b)\vec n\,(a,b): schrijf AM→⋅n⃗=0\vect{AM} \cdot \vec n = 0, wat uitwerkt tot ax+by+c=0ax + by + c = 0, waarbij AA de waarde van cc bepaalt.
  • Loodrechte stand van d:ax+by+c=0d: ax+by+c = 0 en d′:a′x+b′y+c′=0d': a'x+b'y+c' = 0: ga aa′+bb′=0aa' + bb' = 0 na.

Voorbeeld 16.14

De rechte door P(2,−1)P(2, -1) loodrecht op d:3x−y+4=0d : 3x - y + 4 = 0: een richtingsvector van dd is (1,3)(1, 3), en die dient als normaalvector van de loodlijn. Vergelijking: x+3y+c=0x + 3y + c = 0 met 2−3+c=02 - 3 + c = 0, dus c=1c = 1: de rechte is x+3y+1=0x + 3y + 1 = 0.

Voorbeeld 16.15 (Vergelijking van een cirkel)

De cirkel met middelpunt Ω(1,2)\Omega(1, 2) en straal 33 is de verzameling van de punten M(x,y)M(x,y) met ΩM2=9\Omega M^2 = 9:

(x−1)2+(y−2)2=9.(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 .

Omgekeerd herschrijft x2+y2−2x−4y−4=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0 zich, door de kwadraten aan te vullen (Hoofdstuk 10), tot (x−1)2+(y−2)2=9(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9: dezelfde cirkel.

16.5 Oefeningen

Oefening 16.1 ★

Bereken u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v voor

u⃗ (2,5), v⃗ (3,−1);u⃗ (1,−4), v⃗ (8,2);∥u⃗∥=3, ∥v⃗∥=4, θ=π3.\vec u\,(2, 5),\ \vec v\,(3, -1); \qquad \vec u\,(1, -4),\ \vec v\,(8, 2); \qquad \norm{\vec u} = 3,\ \norm{\vec v} = 4,\ \theta = \frac{\pi}{3} .
Oplossing

Oplossing van Oefening 16.1.

(2,5)⋅(3,−1)=6−5=1(2,5)\cdot(3,-1) = 6 - 5 = 1.

(1,−4)⋅(8,2)=8−8=0(1,-4)\cdot(8,2) = 8 - 8 = 0 (orthogonale vectoren).

u⃗⋅v⃗=3×4×cos⁡π3=12×12=6\vec u\cdot\vec v = 3 \times 4 \times \cos\frac\pi3 = 12 \times \frac12 = 6.

Oefening 16.2 ★

ABCABC is een gelijkzijdige driehoek met zijde 66. Bereken AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC} en AB→⋅BC→\vect{AB} \cdot \vect{BC}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.2.

AB→⋅AC→=6×6×cos⁡60∘=18\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18.

De vectoren AB→\vect{AB} en BC→\vect{BC} maken een hoek van 180∘−60∘=120∘180^\circ - 60^\circ = 120^\circ (zet ze staart aan staart in BB), dus is AB→⋅BC→=36cos⁡120∘=−18\vect{AB}\cdot\vect{BC} = 36 \cos 120^\circ = -18.

Oefening 16.3 ★

Voor welke waarde van tt zijn u⃗ (3,t)\vec u\,(3, t) en v⃗ (t−8,1)\vec v\,(t - 8, 1) orthogonaal? En voor welke waarde of waarden van tt is u⃗ (t,2)\vec u\,(t, 2) orthogonaal met zichzelf min v⃗ (4,2)\vec v\,(4, 2), dus u⃗⊥(u⃗−v⃗)\vec u \perp (\vec u - \vec v)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.3.

u⃗⋅v⃗=3(t−8)+t=4t−24=0\vec u \cdot \vec v = 3(t - 8) + t = 4t - 24 = 0 geeft t=6t = 6.

u⃗−v⃗=(t−4, 0)\vec u - \vec v = (t - 4,\ 0), dus u⃗⋅(u⃗−v⃗)=t(t−4)+0=t2−4t\vec u \cdot (\vec u - \vec v) = t(t-4) + 0 = t^2 - 4t, wat verdwijnt voor t=0t = 0 of t=4t = 4.

Oefening 16.4 ★

Bereken de hoek θ\theta tussen u⃗ (1,2)\vec u\,(1, 2) en v⃗ (3,1)\vec v\,(3, 1) (geef cos⁡θ\cos\theta exact, en daarna θ\theta op de graad nauwkeurig).

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.4.

u⃗⋅v⃗=3+2=5\vec u \cdot \vec v = 3 + 2 = 5, ∥u⃗∥=5\norm{\vec u} = \sqrt5 en ∥v⃗∥=10\norm{\vec v} = \sqrt{10}, dus

cos⁡θ=55 10=552=22,\cos\theta = \frac{5}{\sqrt5\,\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2},

en bijgevolg is θ=45∘\theta = 45^\circ exact.

Oefening 16.5 ★★

Een driehoek heeft zijden b=4b = 4 en c=6c = 6 met daartussen de hoek A^=2π3\widehat A = \frac{2\pi}{3}. Bereken de derde zijde aa. Bereken daarna in een driehoek met zijden a=7a = 7, b=5b = 5, c=4c = 4 de waarde van cos⁡A^\cos\widehat A en beslis of A^\widehat A scherp of stomp is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.5.

a2=16+36−2×4×6×cos⁡2π3=52−48×(−12)=76a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\frac{2\pi}{3} = 52 - 48 \times \left(-\frac12\right) = 76, dus a=76=219≈8.7a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8.7.

Voor de tweede driehoek geeft de cosinusregel, opgelost naar de hoek,

cos⁡A^=b2+c2−a22bc=25+16−492×5×4=−840=−15,\cos\widehat A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 16 - 49}{2 \times 5 \times 4} = -\frac{8}{40} = -\frac15,

negatief: A^\widehat A is stomp.

Oefening 16.6 ★★

Zij A(1,1)A(1, 1), B(5,−1)B(5, -1) en C(3,5)C(3, 5). Bereken AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC}; is de hoek A^\widehat A recht? Bereken de drie zijdelengten en toets je antwoord met de cosinusregel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.6.

AB→ (4,−2)\vect{AB}\,(4, -2) en AC→ (2,4)\vect{AC}\,(2, 4): AB→⋅AC→=8−8=0\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 8 - 8 = 0, dus is de hoek in AA recht. Zijden: AB=16+4=20AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}, AC=4+16=20AC = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, en BC→ (−2,6)\vect{BC}\,(-2, 6) geeft BC=40BC = \sqrt{40}. Consistentie: BC2=40=20+20=AB2+AC2BC^2 = 40 = 20 + 20 = AB^2 + AC^2, de cosinusregel met cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 (Pythagoras).

Oefening 16.7 ★★

Geef een vergelijking van de cirkel met middelpunt Ω(−2,3)\Omega(-2, 3) en straal 55. Bepaal daarna het middelpunt en de straal van de cirkel

x2+y2−6x+2y−6=0.x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 .
Oplossing

Oplossing van Oefening 16.7.

In middelpunt-straalvorm: (x+2)2+(y−3)2=25(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25.

Voor de tweede cirkel vul je de kwadraten aan:

x2−6x+y2+2y=6  ⟺  (x−3)2−9+(y+1)2−1=6  ⟺  (x−3)2+(y+1)2=16:x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6 \iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6 \iff (x-3)^2 + (y+1)^2 = 16 :

middelpunt (3,−1)(3, -1), straal 44.

Oefening 16.8 ★★

Zij A(−3,0)A(-3, 0) en B(0,2)B(0, 2). Zoek met Propositie 16.11 een vergelijking van de cirkel met middellijn [AB][AB], en ga na dat de oorsprong O(0,0)O(0,0) erop ligt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.8.

M(x,y)M(x,y) ligt op de cirkel wanneer MA→⋅MB→=0\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 0 met MA→ (−3−x, −y)\vect{MA}\,(-3 - x,\ -y) en MB→ (−x, 2−y)\vect{MB}\,(-x,\ 2 - y):

(−3−x)(−x)+(−y)(2−y)=x2+3x+y2−2y=0.(-3 - x)(-x) + (-y)(2 - y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = 0 .

Voor de oorsprong: 0+0+0−0=00 + 0 + 0 - 0 = 0, dus ligt OO op de cirkel — meetkundig zijn OA→ (−3,0)\vect{OA}\,(-3,0) en OB→ (0,2)\vect{OB}\,(0,2) orthogonaal, zodat OO het lijnstuk [AB][AB] onder een rechte hoek ziet. (Kwadraten aanvullen geeft middelpunt (−32,1)\left(-\frac32, 1\right) en straal 132\frac{\sqrt{13}}{2}.)

Oefening 16.9 ★★

Zoek een vergelijking van de rechte door P(1,3)P(1, 3) loodrecht op d:2x+y−7=0d : 2x + y - 7 = 0, en de coördinaten van de voet HH van de loodlijn (het snijpunt van de twee rechten). Leid de afstand van PP tot dd af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.9.

De loodlijn door PP heeft de richtingsvector van dd, namelijk (−1,2)(-1, 2), als normaalvector: vergelijking −x+2y+c=0-x + 2y + c = 0; door P(1,3)P(1,3): −1+6+c=0-1 + 6 + c = 0, dus c=−5c = -5, en de rechte is x−2y+5=0x - 2y + 5 = 0.

Snijpunt met dd: uit 2x+y=72x + y = 7 volgt y=7−2xy = 7 - 2x; invullen geeft x−2(7−2x)+5=5x−9=0x - 2(7 - 2x) + 5 = 5x - 9 = 0, dus x=95x = \frac95 en y=175y = \frac{17}5: H(95,175)H\left(\frac95, \frac{17}5\right). Dan is PH→(45,25)\vect{PH}\left(\frac45, \frac25\right) en

PH=1625+425=205=255≈0.89.PH = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{5} = \frac{2\sqrt5}{5} \approx 0.89 .

Oefening 16.10 ★★

Bewijs met ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 en het analogon voor u⃗−v⃗\vec u - \vec v de parallellogramidentiteit:

∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2,\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2 ,

en duid ze in een parallellogram (diagonalen tegenover zijden).

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.10.

Optellen van

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2en∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 \quad\text{en}\quad \norm{\vec u - \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 - 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2

laat de gemengde termen wegvallen en geeft ∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2. In een parallellogram met zijden u⃗\vec u en v⃗\vec v zijn de diagonalen u⃗+v⃗\vec u + \vec v en u⃗−v⃗\vec u - \vec v: de som van de kwadraten van de twee diagonalen is gelijk aan de som van de kwadraten van de vier zijden.

Oefening 16.11 ★★★

Zij AA en BB twee punten met AB=4AB = 4, en II het midden van [AB][AB].

  1. Toon aan dat voor elk punt MM geldt: MA→⋅MB→=MI2−4\vect{MA}\cdot\vect{MB} = MI^2 - 4. (Schuif II ertussen: MA→=MI→+IA→\vect{MA} = \vect{MI} + \vect{IA}.)
  2. Leid de verzameling af van de punten MM met MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12.
Oplossing

Oplossing van Oefening 16.11.

1. Omdat II het midden is, geldt IB→=−IA→\vect{IB} = -\vect{IA} en IA=2IA = 2. Dan is

MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→−IA→)=∥MI→∥2−∥IA→∥2=MI2−4.\vect{MA}\cdot\vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA})\cdot(\vect{MI} - \vect{IA}) = \norm{\vect{MI}}^2 - \norm{\vect{IA}}^2 = MI^2 - 4 .

2. De voorwaarde MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12 wordt MI2=16MI^2 = 16, dus MI=4MI = 4: de verzameling is de cirkel met middelpunt II en straal 44.

16.6 Opgave: twee geschenken van het scalair product

Probleem 16.1

Weekendopgave — de somformules vallen uit één scalair product, de afstand tot een rechte uit een ander, en de drie hoogtelijnen ontmoeten elkaar als toegift

Het scalair product lijkt boekhouding — vermenigvuldig, tel op — en toch levert het bijna gratis twee schatten op waaraan eeuwen hoekenjagen zich stukbeten: de somformules van de goniometrie (bereken cos⁡15∘\cos 15^\circ exact!) en de afstand van een punt tot een rechte in één nette breuk. Als afscheidscadeau bewijst het dat de drie hoogtelijnen van elke driehoek door één punt gaan. Alle vier de gezichten van Stelling 16.2 melden zich voor dienst.

Deel I — Vlot rekenen.

  1. Bereken voor u⃗(3,4)\vec u(3, 4) en v⃗(−1,2)\vec v(-1, 2) het scalair product u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v, de twee normen, en de hoek tussen de vectoren (op een tiende graad).
  2. Zoek kk zodat (2,k)(2, k) en (3,−4)(3, -4) orthogonaal zijn (Definitie 16.5).
  3. Het gezicht van de natuurkunde: een slee wordt 1010 m ver getrokken door een kracht van 5050 N onder 60∘60^\circ met de grond. Bereken de arbeid W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d.
  4. Cosinusregel (Stelling 16.8): twee zijden van 55 en 77 sluiten een hoek van 60∘60^\circ in; zoek de derde zijde exact.
  5. Omgekeerd: een driehoek heeft zijden 44, 66, 88. Bereken de cosinus van de hoek tegenover de zijde 88, bepaal het soort hoek, en geef hem op een tiende graad.

Deel II — Eerste geschenk: de somformules. Zij u⃗=(cos⁡a,sin⁡a)\vec u = (\cos a, \sin a) en v⃗=(cos⁡b,sin⁡b)\vec v = (\cos b, \sin b): twee vectoren van lengte 11 onder de hoeken aa en bb.

  1. Bereken u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v twee keer — één keer met coördinaten, één keer met de normen en de hoek tussen de vectoren — en besluit tot de moederformule:

    cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b.\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b .
  2. Vervang bb door −b-b (denk aan de pariteit van sinus en cosinus!) om cos⁡(a+b)\cos(a + b) te krijgen.
  3. Verkrijg sin⁡(a+b)\sin(a + b) uit de complementaire identiteit sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right), toegepast op x=a+bx = a + b.
  4. Eindelijk exacte waarden: bereken cos⁡15∘\cos 15^\circ (als cos⁡(45∘−30∘)\cos(45^\circ - 30^\circ)) en sin⁡75∘\sin 75^\circ. Ga beide numeriek na.
  5. Stel b=ab = a om de formules voor de dubbele hoek af te leiden: cos⁡2a\cos 2a (in haar drie vormen) en sin⁡2a\sin 2a.
  6. Bereken uit cos⁡2a=1−2sin⁡2a\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a de waarde van sin⁡215∘\sin^2 15^\circ, en daarna sin⁡15∘\sin 15^\circ als een geneste wortel — en ga na dat haar kwadraat overeenstemt met de waarde 6−24\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} die de methode van vraag 9 oplevert.

Deel III — Tweede geschenk: de afstand tot een rechte.

  1. Zij dd de rechte ax+by+c=0ax + by + c = 0, met normaalvector n⃗(a,b)\vec n(a, b) (Propositie 16.12), en P(x0,y0)P(x_0, y_0) een punt. Leg uit waarom, met een willekeurig punt AA op dd, de afstand van PP tot dd gelijk is aan ∣AP→⋅n⃗∣∥n⃗∥\dfrac{\abs{\vect{AP} \cdot \vec n}}{\norm{\vec n}}, en leid de formule af

    dist⁡(P,d)=∣ax0+by0+c∣a2+b2.\operatorname{dist}(P, d) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .

    Bereken de afstand van P(5,6)P(5, 6) tot 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0.

  2. Schrijf de vergelijking op van de cirkel met middelpunt (5,6)(5, 6) die die rechte raakt.
  3. Toets de formule: bereken de afstand van de oorsprong tot 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0, en ga ze na door de voet van de loodlijn uit de oorsprong expliciet te berekenen.
  4. Driehoek A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0), C(2,5)C(2,5): bereken zijn oppervlakte met [AB][AB] als basis; bereken daarna de afstand van BB tot de rechte (AC)(AC) en ga na dat ze dezelfde oppervlakte oplevert.
  5. De cirkel met middelpunt (2,1)(2, 1) en straal 22, tegenover de rechte x+y−6=0x + y - 6 = 0: bereken de afstand van het middelpunt tot de rechte en bepaal hun onderlinge ligging (snijdend, rakend, of zonder gemeenschappelijk punt).

Deel IV — De toegift: de hoogtelijnen gaan door één punt.

  1. Veralgemeen Oefening 16.11: bewijs voor elke twee punten AA en BB met midden II dat

    MA→⋅MB→=MI2−AB24voor elk punt M.\vect{MA} \cdot \vect{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4} \quad\text{voor elk punt } M .
  2. Leid Propositie 16.11 in één regel af: de verzameling van de punten MM met MA→⋅MB→=0\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 is de cirkel met middellijn [AB][AB].

  3. De hoogtelijnen: zij HH het snijpunt van de hoogtelijnen uit AA en uit BB in een driehoek ABCABC (dus HA→⋅BC→=0\vect{HA} \cdot \vect{BC} = 0 en HB→⋅CA→=0\vect{HB} \cdot \vect{CA} = 0). Bewijs de identiteit

    HA→⋅BC→+HB→⋅CA→+HC→⋅AB→=0\vect{HA} \cdot \vect{BC} + \vect{HB} \cdot \vect{CA} + \vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0

    — werk alles vanuit HH uit met Chasles — en besluit dat HH ook op de hoogtelijn uit CC ligt: de drie hoogtelijnen gaan door één punt (het hoogtepunt).

  4. Slotstuk: vier gezichten, drie trofeeën. Welk gezicht van Stelling 16.2 droeg de somformules, welk de afstandsformule, welk het hoogtepunt — en waarom is “bereken dezelfde grootheid twee keer” het motto van het hele hoofdstuk?
Oplossing

Oplossing van Probleem 16.1.

1. u⃗⋅v⃗=−3+8=5\vec u \cdot \vec v = -3 + 8 = 5; ∥u⃗∥=5\norm{\vec u} = 5, ∥v⃗∥=5\norm{\vec v} = \sqrt5; cos⁡θ=555=15\cos\theta = \frac{5}{5\sqrt5} = \frac{1}{\sqrt5}: θ≈63.4∘\theta \approx 63.4^\circ.

2. 6−4k=06 - 4k = 0: k=32k = \frac32.

3. W=50×10×cos⁡60∘=250W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ = 250 joule: alleen de component langs de beweging levert arbeid.

4. c2=25+49−2×35×12=39c^2 = 25 + 49 - 2 \times 35 \times \frac12 = 39: c=39c = \sqrt{39}.

5. cos⁡γ=16+36−642×4×6=−14\cos\gamma = \frac{16 + 36 - 64}{2 \times 4 \times 6} = -\frac14: negatief, dus is de hoek stomp: γ≈104.5∘\gamma \approx 104.5^\circ.

6. Coördinaten: u⃗⋅v⃗=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\vec u \cdot \vec v = \cos a \cos b + \sin a \sin b. Meetkunde: twee vectoren van lengte 11, dus u⃗⋅v⃗=1×1×cos⁡(a−b)\vec u \cdot \vec v = 1 \times 1 \times \cos(a - b). De twee berekeningen van hetzelfde getal gelijkstellen geeft cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b.

7. cos⁡(a+b)=cos⁡(a−(−b))=cos⁡acos⁡(−b)+sin⁡asin⁡(−b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a + b) = \cos(a - (-b)) = \cos a \cos(-b) + \sin a \sin(-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b.

8. sin⁡(a+b)=cos⁡(π2−a−b)=cos⁡((π2−a)−b)=cos⁡(π2−a)cos⁡b+sin⁡(π2−a)sin⁡b=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a + b) = \cos\left(\frac\pi2 - a - b\right) = \cos\left(\left(\frac\pi2 - a\right) - b\right) = \cos\left(\frac\pi2 - a\right)\cos b + \sin\left(\frac\pi2 - a\right)\sin b = \sin a \cos b + \cos a \sin b.

9. cos⁡15∘=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12=6+24≈0.966\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.966. En sin⁡75∘=cos⁡15∘\sin 75^\circ = \cos 15^\circ: dezelfde waarde.

10. b=ab = a in de vragen 7 en 8: cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a (met cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1), en sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2 \sin a \cos a.

11. sin⁡215∘=1−cos⁡30∘2=2−34\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2} = \frac{2 - \sqrt3}{4}, dus sin⁡15∘=2−32\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}. Het kwadraat van 6−24\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} is 6−212+216=8−4316=2−34\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt3}{16} = \frac{2 - \sqrt3}{4}: hetzelfde getal in twee kostuums.

12. AP→\vect{AP} valt uiteen in een deel langs dd (onzichtbaar voor n⃗\vec n) en een deel loodrecht op dd, waarvan de lengte de gezochte afstand is; het scalair product met de eenheidsnormaal n⃗∥n⃗∥\frac{\vec n}{\norm{\vec n}} doodt het eerste deel en meet het tweede. Met AA op dd: AP→⋅n⃗=ax0+by0−(axA+byA)=ax0+by0+c\vect{AP} \cdot \vec n = a x_0 + b y_0 - (a x_A + b y_A) = a x_0 + b y_0 + c, waaruit de formule volgt. Voorbeeld: ∣15+24−12∣5=275=5.4\frac{\abs{15 + 24 - 12}}{5} = \frac{27}{5} = 5.4.

13. Straal =5.4= 5.4: (x−5)2+(y−6)2=29.16(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 29.16.

14. Afstand =∣−12∣5=2.4= \frac{\abs{-12}}{5} = 2.4. De voet: de loodlijn door de oorsprong is (3t,4t)(3t, 4t); op de rechte geldt 9t+16t=129t + 16t = 12, dus t=1225t = \frac{12}{25}: de voet is (3625,4825)\left(\frac{36}{25}, \frac{48}{25}\right), op afstand 5t=6025=2.45t = \frac{60}{25} = 2.4. De formule en de eerlijke berekening stemmen overeen.

15. Basis AB=6AB = 6, hoogte == de afstand van CC tot (AB)(AB) (de as y=0y = 0): 55; oppervlakte 1515. De rechte (AC)(AC) is 5x−2y=05x - 2y = 0, en dist⁡(B,(AC))=∣30∣29\operatorname{dist}(B, (AC)) = \frac{\abs{30}}{\sqrt{29}}; dan is 12×AC×3029=12×29×3029=15\frac12 \times AC \times \frac{30}{\sqrt{29}} = \frac12 \times \sqrt{29} \times \frac{30}{\sqrt{29}} = 15: dezelfde oppervlakte, welke hoogtelijn je ook neemt.

16. dist⁡=∣2+1−6∣2=32≈2.12>2\operatorname{dist} = \frac{\abs{2 + 1 - 6}}{\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2} \approx 2.12 > 2: de rechte loopt vrij langs de cirkel — zonder gemeenschappelijk punt.

17. Schuif II ertussen: MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→+IB→)=MI2+MI→⋅(IA→+IB→)+IA→⋅IB→\vect{MA} \cdot \vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA}) \cdot (\vect{MI} + \vect{IB}) = MI^2 + \vect{MI} \cdot (\vect{IA} + \vect{IB}) + \vect{IA} \cdot \vect{IB}. De middelste term sterft (IA→+IB→=0⃗\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0), en IA→⋅IB→=−IA2=−AB24\vect{IA} \cdot \vect{IB} = -IA^2 = -\frac{AB^2}{4} (tegengestelde vectoren van lengte AB2\frac{AB}2).

18. MA→⋅MB→=0  ⟺  MI2=AB24  ⟺  MI=AB2\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 \iff MI^2 = \frac{AB^2}{4} \iff MI = \frac{AB}{2}: de cirkel met middelpunt II en straal AB2\frac{AB}2 — de cirkel met middellijn [AB][AB].

19. Werk elk paar vanuit HH uit (BC→=HC→−HB→\vect{BC} = \vect{HC} - \vect{HB}, enzovoort):

HA→⋅HC→−HA→⋅HB→+HB→⋅HA→−HB→⋅HC→+HC→⋅HB→−HC→⋅HA→=0:\vect{HA} \cdot \vect{HC} - \vect{HA} \cdot \vect{HB} + \vect{HB} \cdot \vect{HA} - \vect{HB} \cdot \vect{HC} + \vect{HC} \cdot \vect{HB} - \vect{HC} \cdot \vect{HA} = 0 :

alles valt paarsgewijs weg — de identiteit geldt voor elke vier punten. Voor onze HH verdwijnen de eerste twee scalaire producten volgens de veronderstelling, zodat HC→⋅AB→=0\vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0: HH ligt op de hoogtelijn uit CC. Drie hoogtelijnen, één punt.

20. De somformules kwamen uit één scalair product, berekend met het gezicht van de coördinaten en dat van de normen en de hoek; de afstandsformule uit het gezicht van de projectie; het hoogtepunt uit het gezicht van de bilineariteit (Chasles en uitwerken). Bereken dezelfde grootheid twee keer, stel gelijk, en er valt een stelling uit — de hele stiel van het scalair product.