Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

14Mechanische oscillatoren: demping en resonantie

Duw een kinderschommel op het verkeerde moment aan en er gebeurt weinig; duw één keer per periode, zacht, en binnen een tiental slagen gilt het kind boven in de boog. Een wasmachine schudt hevig bij één bepaald toerental van haar centrifuge en is daarboven stil. Een wijnglas zingt wanneer een natte vinger met precies het juiste tempo langs de rand cirkelt, en springt aan scherven wanneer een zangeres diezelfde toon luid genoeg aanhoudt. Elk daarvan is een resonantie: een systeem met een eigen frequentie, aangedreven dicht bij die frequentie, hoopt cyclus na cyclus energie op tot de wrijving haar even snel afvoert als zij binnenkomt. Dit hoofdstuk neemt de mechanische oscillator — vrij, gedempt en dan gedwongen — en leidt de resonantiekrommen af waarvan de elektrische tweelingen in Hoofdstuk 8 verschenen.

14.1 De harmonische oscillator

Definitie 14.1 (Harmonische oscillator)

Een systeem waarvan de uitwijking $x$ uit een stabiel evenwicht voldoet aan

\ddot x + \omega_0^2\,x = 0

is een harmonische oscillator met eigenhoekfrequentie $\omega_0$ (periode $T_0 = 2\pi/\omega_0$ ). De oplossing $x = A\cos(\omega_0t + \varphi)$ heeft een amplitude en een fase die door de beginvoorwaarden zijn vastgelegd en een periode die niet van de amplitude afhangt (isochronie).

Propositie 14.2 (Waar harmonische oscillatoren vandaan komen)

Massa $m$ aan een veer $k$ : $\omega_0^2 = k/m$ (wet van Hooke).
Wiskundige slinger met lengte $\ell$ , kleine hoeken: $\omega_0^2 = g/\ell$ .
Elke puntmassa vlak bij een stabiel evenwicht van een potentiaal $E_p$ : $\omega_0^2 = E_p''(x_0)/m$ (Propositie 13.12).
LC-kring: $\omega_0^2 = 1/LC$ , met $q \leftrightarrow x$ , $L \leftrightarrow m$ , $1/C \leftrightarrow k$ .

De energie $E = \tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 m\omega_0^2x^2 = \tfrac12 m\omega_0^2A^2$ is constant en klotst twee keer per periode heen en weer tussen kinetische en potentiële vorm.

Bewijs. De tweede wet van Newton met $F = -kx$ ; de slingervergelijking $\ddot\theta + (g/\ell)\sin\theta = 0$ met $\sin\theta \approx \theta$ ; de formule van Taylor in het minimum van $E_p$ ; de maasregel van de LC-kring. Energie: afleiden en de vergelijking gebruiken. ∎

Voorbeeld 14.3 (Een dobberende cilinder)

Een verticale cilinder met doorsnede $S$ drijft met een diepte $h$ ondergedompeld ( $mg = \rho_wgSh$ , opwaartse kracht uit Hoofdstuk 21). Over $x$ omlaag geduwd ondervindt hij een extra opwaartse kracht $\rho_wgSx$ : $m\ddot x = -\rho_wgSx$ , dus $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ — hetzelfde als een slinger met lengte $h$ . Een boei die $1\,\mathrm{m}$ diep ligt dobbert met een periode van $2\,\mathrm{s}$ , wat haar massa ook is.

14.2 De gedempte oscillator

Propositie 14.4 (Gedempte oscillator)

Met een viskeuze wrijving $-\alpha\dot x$ wordt de vergelijking

\ddot x + \frac{\omega_0}{Q}\dot x + \omega_0^2x = 0, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} = \frac{m\omega_0}{\alpha},

de canonieke tweede-ordevorm van Hoofdstuk 7: voor $Q > \tfrac12$ een pseudoperiodieke uitdemping $x = A\eu^{-t/\tau}\cos(\omega t + \varphi)$ met $\tau = 2Q/\omega_0$ , $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ ; de energie neemt af als $\eu^{-2t/\tau}$ en

Q = 2\pi\,\frac{\text{opgeslagen energie}}{\text{energie verloren per periode}} \quad (Q \gg 1) .

Bewijs. Deel $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ door $m$ . Voor de energie: $E \propto A^2\eu^{-2t/\tau}$ verliest per periode de fractie $2T/\tau = 2\pi/Q$ wanneer die klein is. ∎

Voorbeeld 14.5 (Uitklinktijden)

Een stemvork van $440\,\mathrm{Hz}$ klinkt tien seconden na de aanslag nog: haar amplitude is tot ongeveer $5\%$ gezakt in $3\tau = 10\,\mathrm{s}$ , dus $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ en $Q = \omega_0\tau/2 \approx 4600$ . De vering van een auto ( $Q \approx 0.7$ ) komt binnen één periode tot rust; een kinderschommel ( $Q \approx 20$ ) verliest een derde van haar energie per slag en heeft elke keer een duw nodig.

14.3 Gedwongen trillingen en resonantie

Stelling 14.6 (Sinusvormig aangedreven oscillator)

Aangedreven door een kracht $F_0\cos\omega t$ komt de gedempte oscillator

m\ddot x + \alpha\dot x + kx = F_0\cos\omega t

na een overgang met duur $\sim\tau$ in het gedwongen regime $x = X\cos(\omega t + \varphi)$ terecht, met, schrijvend $x_r = \omega/\omega_0$ en $X_0 = F_0/k$ voor de statische uitwijking,

X = \frac{X_0}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad \tan\varphi = -\frac{x_r/Q}{1 - x_r^2}, \quad \varphi \in [-\pi, 0] .

De amplitude $X$ piekt, voor $Q > 1/\sqrt2$ , bij $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$ met $X_{\max} \approx QX_0$ ; de amplitude van de snelheid $V = \omega X$ piekt precies bij $\omega_0$ , waar $V_{\max} = F_0/\alpha$ , en haar resonantiekromme

\frac{V}{V_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}}

heeft bandbreedte $\Delta\omega = \omega_0/Q$ . Bij $\omega_0$ loopt de uitwijking $\pi/2$ achter op de kracht en is de snelheid ermee in fase.

Bewijs. Complexe methode (Hoofdstuk 8): $\underline X(-\omega^2 + j\omega\omega_0/Q + \omega_0^2) = F_0/m$ , dus $\underline X = (F_0/m)/(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q)$ ; deel teller en noemer door $\omega_0^2 = k/m$ . Modulus en argument volgen; het maximum van $X$ is bepaald in Propositie 8.10 (dezelfde functie). Snelheid: $\underline V = j\omega\underline X$ geeft $V = \omega X$ ; $(1 - x_r^2)/x_r = 1/x_r - x_r$ schrijven maakt van de noemer $\sqrt{1/Q^2 + (1/x_r - x_r)^2}$ , dus de RLC-vorm. Bij $x_r = 1$ is $\underline X = -jQX_0$ : een achterstand van $\pi/2$ . ∎

Amplitude (links) en fase (rechts) van de gedwongen oscillator tegen de aandrijffrequentie, voor verschillende kwaliteitsfactoren. Een scherpe piek rond _0 voor grote Q, geen piek onder Q = 1/√2; de uitwijking gaat van in fase (lage ) naar tegenfase (hoge ), via een achterstand van π/2 bij _0 — hoe scherper de resonantie, hoe abrupter de omslag. — Amplitude (links) en fase (rechts) van de gedwongen oscillator tegen de aandrijffrequentie, voor verschillende kwaliteitsfactoren. Een scherpe piek rond $\omega_0$ voor grote $Q$ , geen piek onder $Q = 1/\sqrt2$ ; de uitwijking gaat van in fase (lage $\omega$ ) naar tegenfase (hoge $\omega$ ), via een achterstand van $\pi/2$ bij $\omega_0$ — hoe scherper de resonantie, hoe abrupter de omslag.

Opmerking 14.7 (Twee resonanties, één kring)

De overeenkomst $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ , $F \leftrightarrow e$ beeldt de aangedreven oscillator af op de RLC in serie van Hoofdstuk 8: de snelheidsresonantie is de stroomresonantie (altijd bij $\omega_0$ , bandbreedte $\omega_0/Q$ ), de amplituderesonantie is de ladingsresonantie, dus die van de condensatorspanning (iets onder $\omega_0$ , afwezig bij lage $Q$ ). Het opgenomen vermogen, $\langle F\dot x\rangle = \tfrac12 F_0V\cos\varphi_v$ , piekt bij $\omega_0$ met de waarde $F_0^2/2\alpha$ , en de halfvermogenpunten zijn de bandbreedte van de snelheid — precies zoals bij de RLC.

Voorbeeld 14.8 (Resonantiesnelheden)

De vering van een auto heeft $f_0 \approx 1.3\,\mathrm{Hz}$ (Probleem 7.1). Op een weg met ribbels om de $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ is de aandrijffrequentie $v/\lambda$ : resonantie bij $v = \lambda f_0 = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , ongeveer $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — de snelheid waarbij een wasbordweg de auto het hardst schudt, en de reden dat er een demper met $Q \approx 0.7$ wordt gemonteerd: met $Q = 5$ zou de carrosserie met vijf keer de amplitude van de weg wippen. Boven de resonantie ( $x_r \gg 1$ ) daalt de amplitude als $X_0/x_r^2$ : de carrosserie “zweeft” over snelle hobbels — isolatie, de andere kant van de resonantie.

14.4 Voetpuntexcitatie: isolatie en de seismometer

Propositie 14.9 (Oscillator geschud door zijn steun)

Laat de steun van een stelsel massa–veer–demper over $x_g(t)$ bewegen (de weg onder een auto, de grond onder een seismometer), zij $u$ de uitwijking van de massa ten opzichte van de steun en $x = x_g + u$ haar absolute uitwijking (vanuit het evenwicht). Dan geldt

m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g ,

en voor $x_g = X_g\cos\omega t$ , met $x_r = \omega/\omega_0$ :

\frac{U}{X_g} = \frac{x_r^2}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad \frac{X}{X_g} = \sqrt{\frac{1 + x_r^2/Q^2}{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}} .

Voor $x_r \gg 1$ geldt $U \to X_g$ (de massa blijft in de ruimte stilstaan — een seismometer leest de uitwijking van de grond af) en $X \to 0$ (de massa is van het schudden geïsoleerd); voor $x_r \ll 1$ geldt $U \approx \ddot x_g/\omega_0^2$ (een versnellingsopnemer) en $X \approx X_g$ (de massa volgt de steun).

Bewijs. De veer en de demper werken op de relatieve beweging: $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ , en $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$ . In complexe vorm geldt $\underline U(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q) = \omega^2X_g$ , waaruit $U/X_g$ volgt; vervolgens $\underline X = \underline U + X_g = X_g(1 + jx_r/Q)/(1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ . ∎

Een massa geschud via haar steun. Links: de relatieve beweging U/X_g — een versnellingsopnemer onder _0 (helling 2 op logaritmische schalen), een seismometer erboven. Rechts: de absolute beweging X/X_g — de massa volgt de steun bij lage frequentie en is er ruim boven _0 van geïsoleerd; een hoge Q levert niets op behalve een gevaarlijke piek. — Een massa geschud via haar steun. Links: de relatieve beweging $U/X_g$ — een versnellingsopnemer onder $\omega_0$ (helling $2$ op logaritmische schalen), een seismometer erboven. Rechts: de absolute beweging $X/X_g$ — de massa volgt de steun bij lage frequentie en is er ruim boven $\omega_0$ van geïsoleerd; een hoge $Q$ levert niets op behalve een gevaarlijke piek.

Voorbeeld 14.10 (Waarom machines op zachte voetjes staan)

Een motor van $50\,\mathrm{Hz}$ op rubberen voetjes afgestemd op $f_0 = 10\,\mathrm{Hz}$ ( $x_r = 5$ , $Q \approx 2$ ): $X/X_g = \sqrt{(1 + 6.25)/(576 + 6.25)} = 0.11$ — negen tiende van de trilling blijft uit de vloer. De voetjes moeten zachter zijn dan de intuïtie ingeeft: ze verstijven verhoogt $f_0$ naar $50$ Hz toe en vernietigt de isolatie. Dezelfde formule, andersom gelezen, is de auto van Voorbeeld 14.8 op een wasbordweg.

14.5 Energie: hoe een resonantie opbouwt

Propositie 14.11 (Energiebalans in het gedwongen regime)

In het stationaire gedwongen regime is het gemiddelde vermogen dat de aandrijvende kracht levert gelijk aan het gemiddelde vermogen dat de wrijving dissipeert, $\tfrac12\alpha V^2$ . Bij resonantie is de opgeslagen energie $\tfrac12 mV_{\max}^2$ gelijk aan $Q/2\pi$ keer de per periode toegevoerde energie: de oscillator hoopt de arbeid van de aandrijving over ongeveer $Q$ cycli op voordat de verliezen de toevoer evenaren, en dat is ook het aantal cycli ( $\sim\tau/T$ ) dat de overgang duurt.

Bewijs. Middel de energiestelling over een periode: $\langle\dd E/\dd t\rangle = 0$ in de stationaire toestand, dus $\langle F\dot x\rangle = \langle\alpha\dot x^2\rangle = \tfrac12\alpha V^2$ . Bij resonantie is $V_{\max} = F_0/\alpha$ , de opgeslagen energie $\tfrac12 m(F_0/\alpha)^2$ en de per periode toegevoerde energie $\tfrac12\alpha(F_0/\alpha)^2T$ ; de verhouding is $m/(\alpha T) = Q/2\pi$ . ∎

Voorbeeld 14.12 (De schommel)

Een schommel met lengte $2.5\,\mathrm{m}$ ( $T_0 = 3.2\,\mathrm{s}$ , $Q \approx 20$ ) krijgt elke periode een duw van $50\,\mathrm{N}$ over $0.5\,\mathrm{m}$ : $25\,\mathrm{J}$ per cyclus. Zij groeit tot het verlies per periode, $2\pi E/Q$ , gelijk is aan $25\,\mathrm{J}$ : $E = 80\,\mathrm{J}$ ; bij een kind van $30\,\mathrm{kg}$ geeft $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80\,\mathrm{J}$ dat $\theta_{\max} \approx 27^\circ$ . Bij elk ander ritme zou de arbeid van de duwen van teken wisselen en gemiddeld niets opleveren.

Het aanslaan van een resonantie (Q = 5, aandrijving ingeschakeld op t = 0 bij _0): de amplitude groeit naar QX_0 met tijdconstante = 2Q/ _0, dus over ongeveer Q/π perioden — het overgangsverschijnsel van boven op het gedwongen regime. — Het aanslaan van een resonantie ( $Q = 5$ , aandrijving ingeschakeld op $t = 0$ bij $\omega_0$ ): de amplitude groeit naar $QX_0$ met tijdconstante $\tau = 2Q/\omega_0$ , dus over ongeveer $Q/\pi$ perioden — het overgangsverschijnsel van Hoofdstuk 7 boven op het gedwongen regime.

14.6 Oefeningen

Oefening 14.1 ★

Een massa van $0.20\,\mathrm{kg}$ aan een veer met veerconstante $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ trilt met amplitude $5.0\,\mathrm{cm}$ . Hoekfrequentie, frequentie, periode, grootste snelheid, totale energie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.1.

$\omega_0 = \sqrt{80/0.20} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 3.2\,\mathrm{Hz}$ , $T_0 = 0.31\,\mathrm{s}$ ; $v_{\max} = A\omega_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E = \tfrac12 kA^2 = 0.10\,\mathrm{J}$ .

Oefening 14.2 ★

Periode van een slinger van $1.0\,\mathrm{m}$ op aarde en op de maan ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Wat gebeurt er met de periode van massa en veer op de maan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.2.

$T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ : $2.0\,\mathrm{s}$ op aarde, $4.9\,\mathrm{s}$ op de maan. De periode van massa en veer, $2\pi\sqrt{m/k}$ , bevat geen $g$ : onveranderd.

Oefening 14.3 ★

Een oscillator heeft $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ en $Q = 50$ . Uitdooftijd $\tau$ van de amplitude; tijd waarin de energie halveert; aantal trillingen voordat de amplitude tot $5\%$ is gezakt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.3.

$\tau = 2Q/\omega_0 = 100/(4\pi) = 8.0\,\mathrm{s}$ ; de energie $\propto \eu^{-2t/\tau}$ halveert op $t = \tau\ln2/2 = 2.8\,\mathrm{s}$ ; $5\%$ na $3\tau = 24\,\mathrm{s}$ , ongeveer $48 \approx Q$ trillingen.

Oefening 14.4 ★

Een massa aan een veer ( $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , $Q = 10$ ) wordt aangedreven door een kracht met amplitude $1.0\,\mathrm{N}$ . Statische uitwijking; amplitude bij resonantie; amplitude bij $\omega = 3\omega_0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.4.

$X_0 = F_0/k = 1.0\,\mathrm{cm}$ ; bij resonantie $\approx QX_0 = 10\,\mathrm{cm}$ ; bij $3\omega_0$ : $X_0/\sqrt{64 + 0.09} = 0.13\,\mathrm{cm}$ .

Oefening 14.5 ★★

Een auto ( $f_0 = 1.3\,\mathrm{Hz}$ , $Q = 0.7$ ) rijdt over verkeersdrempels op $8.0\,\mathrm{m}$ van elkaar. Resonantiesnelheid? Welke fractie van de drempelamplitude voelt de carrosserie bij $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ? Becommentarieer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.5.

$v = Lf_0 = 8.0 \times 1.3 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $37\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Bij $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $f = 16.7/8.0 = 2.1\,\mathrm{Hz}$ , $x_r = 1.6$ : $X/X_g = \sqrt{(1 + 5.2)/(2.4 + 5.2)} = 0.90$ — nauwelijks geïsoleerd; isolatie vraagt $x_r \gg 1$ (bij $120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ is $x_r = 3.2$ : $0.45$ ).

Oefening 14.6 ★★

Leg met de energiebalans uit waarom een schommel op haar eigen periode moet worden geduwd; bepaal voor $Q = 20$ en een duw die $25\,\mathrm{J}$ per cyclus toevoegt de energie in de stationaire toestand, en de amplitude voor een kind van $30\,\mathrm{kg}$ op een schommel van $2.5\,\mathrm{m}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.6.

De arbeid van een duw is alleen positief wanneer die met de beweging mee werkt; elke periode geduwd tellen alle duwen op; bij elk ander ritme wisselen zij af. Stationair: $2\pi E/Q = 25\,\mathrm{J}$ , $E = 80\,\mathrm{J}$ ; uit $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80$ volgt $1 - \cos\theta_{\max} = 0.109$ , $\theta_{\max} = 27^\circ$ .

Oefening 14.7 ★★

Opeenvolgende maxima van een vrije trilling nemen per periode met $10\%$ af. Bepaal $Q$ en de bandbreedte (in hertz) van haar snelheidsresonantie als $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.7.

$\delta = \ln(1/0.9) = 0.105$ , $Q = \pi/\delta = 30$ ; $\Delta f = f_0/Q = 0.067\,\mathrm{Hz}$ .

Oefening 14.8 ★★

Geef de fase van de uitwijking ten opzichte van de kracht ruim onder de resonantie, bij resonantie en ruim erboven, en de fase van de snelheid bij resonantie. Waarom is de snelheidsresonantie degene die telt voor het vermogen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.8.

Uitwijking: in fase ( $\varphi = 0$ ) ruim eronder, $-\pi/2$ bij resonantie, $-\pi$ (tegenfase) ruim erboven. De snelheid bij resonantie: in fase met de kracht. Het vermogen is $\vect F\cdot\vect v$ : het is de fase van de snelheid, niet die van de uitwijking, die bepaalt hoeveel arbeid de aandrijving verricht.

Oefening 14.9 ★★

Toon aan dat de snelheidsamplitude $V = \omega X$ precies bij $\omega_0$ maximaal is, met $V_{\max} = F_0/\alpha$ , en dat $V/V_{\max}$ de vorm $1/\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}$ heeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.9.

$V = \omega X = \omega(F_0/m)/\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega\omega_0/Q)^2}$ ; deel teller en noemer door $\omega\omega_0/Q$ :

V = \frac{F_0Q/m\omega_0}{\sqrt{1 + Q^2(\omega_0/\omega - \omega/\omega_0)^2}},

en $F_0Q/m\omega_0 = F_0/\alpha$ . De wortel is $\geq 1$ en precies gelijk aan $1$ bij $\omega = \omega_0$ .

Oefening 14.10 ★★★

Bereken het gemiddelde opgenomen vermogen bij resonantie voor $F_0 = 1.0\,\mathrm{N}$ , $\alpha = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ , en de opgeslagen energie als $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ ; ga na dat hun verhouding $Q/\omega_0$ is met $\omega_0 = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.10.

$P = F_0^2/2\alpha = 10\,\mathrm{W}$ ; $V_{\max} = F_0/\alpha = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E = \tfrac12 mV_{\max}^2 = 40\,\mathrm{J}$ ; $E/P = 4.0\,\mathrm{s}$ en $Q/\omega_0 = m/\alpha = 4.0\,\mathrm{s}$ .

Oefening 14.11 ★★★

Een stemvork van $440\,\mathrm{Hz}$ is $10\,\mathrm{s}$ lang hoorbaar (amplitude gezakt tot $5\%$ ). Schat $\tau$ en $Q$ , de bandbreedte van haar resonantie, en zeg waarom zij een goede frequentiestandaard is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.11.

$3\tau = 10\,\mathrm{s}$ : $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ , $Q = \omega_0\tau/2 = 2\pi \times 440 \times 3.3/2 \approx 4600$ ; $\Delta f = f_0/Q = 0.1\,\mathrm{Hz}$ . Zij reageert op, en zendt uit, in wezen één frequentie: een standaard die tot op enkele delen in $10^4$ klopt.

Oefening 14.12 ★★★

Leid de dobberfrequentie van een drijvende cilinder (Voorbeeld 14.3) af uit de wet van Newton en de kracht van Archimedes $\rho_wgS(h + x)$ ; toon aan dat $\omega_0^2 = g/h$ ; bereken de periode voor $h = 10\,\mathrm{cm}$ . Waarom is het resultaat onafhankelijk van de massa en van de vloeistof?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.12.

$m\ddot x = mg - \rho_wgS(h + x) = -\rho_wgSx$ (want $mg = \rho_wgSh$ ): $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ ; $T = 2\pi\sqrt{0.10/9.81} = 0.63\,\mathrm{s}$ . Zowel de massa als de dichtheid van de vloeistof komt alleen via de evenwichtsdiepte $h$ binnen.

Een seismograaf: een zware massa aan een slappe ophanging blijft stilstaan terwijl de grond beweegt, en de pen schrijft het verschil op — de door zijn voetpunt aangedreven oscillator van de weekendopgave.

14.7 Probleem: De seismograaf

Probleem 14.1

Weekendopgave — een massa hangt aan een veer in een kast die aan de grond is verankerd; de grond schudt: wat schrijft de pen op, waarom hetzelfde instrument bij hoge frequentie uitwijking en bij lage frequentie versnelling meet, en waarom een seismometer voor lange perioden niet gewoon een lange veer kan zijn

Een massa $m = 1.0\,\mathrm{kg}$ hangt aan een veer met veerconstante $k$ binnen een star frame dat aan de grond is bevestigd; een demper oefent $-\alpha\dot u$ uit, waarin $u$ de uitwijking van de massa ten opzichte van het frame is, gemeten vanaf haar evenwichtsstand. De grond, en dus het frame, beweegt verticaal over $x_g(t)$ . Het stelsel van de verre sterren is inertiaal.

Deel I — De vergelijking.

Schrijf de absolute plaats van de massa als $x = x_g + u + \text{const}$ , som de krachten op de massa op (in het inertiaalstelsel) en toon aan dat

$m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g .$
Breng haar in canonieke vorm; benoem $\omega_0$ en $Q$ .
Het instrument wordt gebouwd met $f_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ en $Q = 0.70$ : bereken $k$ en $\alpha$ .
Een constante grondversnelling $a_g$ (bijvoorbeeld doordat het frame kantelt) geeft welke stationaire $u$ ? Duid dat.
Wat registreert de pen die aan de massa vastzit en op een trommel schrijft die aan het frame vastzit?

Deel II — Harmonische grondbeweging. De grond beweegt als $x_g = X_g\cos\omega t$ ; schrijf $x_r = \omega/\omega_0$ .

Toon met complexe amplitudes aan dat $\underline U = X_g\,x_r^2/ (1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ .
Leid $U/X_g$ af als functie van $x_r$ en $Q$ .
Limiet $x_r \gg 1$ : toon aan dat $U \to X_g$ en leg fysisch uit wat de massa doet (wat meet het instrument?).
Limiet $x_r \ll 1$ : toon aan dat $U \approx x_r^2X_g = a_g/\omega_0^2$ met $a_g$ de amplitude van de grondversnelling: wat is het instrument nu?
Waarde bij $x_r = 1$ ; waarom is $Q \approx 0.7$ een verstandige keuze?
Schets $U/X_g$ tegen $x_r$ (logaritmische schalen) voor $Q = 0.7$ en $Q = 5$ .
Fase van $u$ ten opzichte van $x_g$ bij hoge frequentie; duid dat.

Deel III — Ontwerpen voor aardbevingen. Verre aardbevingen leveren oppervlaktegolven van $0.05\,$ tot $0.1\,\mathrm{Hz}$ met amplitudes van millimeters; plaatselijke trillingen halen $5\,$ tot $10\,\mathrm{Hz}$ .

Om golven van $0.05\,\mathrm{Hz}$ als uitwijkingen te registreren wil men $f_0 \ll 0.05\,\mathrm{Hz}$ , zeg $0.02\,\mathrm{Hz}$ . Welke statische uitrekking zou de veer onder het gewicht van de massa hebben? Becommentarieer.
Een wiskundige slinger met dezelfde frequentie: welke lengte?
Werkelijke instrumenten voor lange perioden gebruiken een bijna horizontale “tuinhekslinger”, of elektronische krachtterugkoppeling. Leg in één zin uit wat elk bereikt.
Bereken voor het instrument van $0.50\,\mathrm{Hz}$ de statische uitrekking: haalbaar?
Welke $U$ geeft daarmee een golf van $0.10\,\mathrm{Hz}$ met amplitude $1.0\,\mathrm{mm}$ ? In welk regime zit het instrument?
Een plaatselijke trilling van $5.0\,\mathrm{Hz}$ met amplitude $1.0\,\mathrm{mm}$ : $U$ ? Regime?

Deel IV — De versnellingsopnemer in een telefoon. Een microbewerkte massa op siliciumveren heeft $f_0 = 1.0\,\mathrm{kHz}$ en $Q = 0.7$ .

Een schudding van $10\,\mathrm{Hz}$ met versnellingsamplitude $g$ : bereken $U$ . Hoe wordt zo’n uitwijking uitgelezen?
Tot welke frequentie blijft de aflezing binnen $10\%$ van $a_g/\omega_0^2$ ?
Welke tijdconstante $\tau = 2Q/\omega_0$ beheerst haar reactie op een schok, en waarom telt dat voor het opmerken van een val?
De $\tau$ van de seismometer: waarde en gevolg na een plotselinge stap van de grond.
Waarom wordt voor beide instrumenten kritische (of bijna kritische) demping gekozen in plaats van een hoge $Q$ ?
De telefoon wordt precies op $1.0\,\mathrm{kHz}$ geschud: met welke factor zit de aflezing ernaast?
Vat samen: één apparaat, twee regimes, bepaald door welke ene vergelijking.

Oplossing

Oplossing van Probleem 14.1.

1. Krachten: het gewicht (in evenwicht met de statische uitrekking), de veer $-ku$ , de demper $-\alpha\dot u$ ; $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ met $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$ .

2. $\ddot u + (\omega_0/Q)\dot u + \omega_0^2u = -\ddot x_g$ , $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $Q = \sqrt{km}/\alpha$ .

3. $k = m\omega_0^2 = \pi^2 = 9.9\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $\alpha = m\omega_0/Q = 3.14/0.70 = 4.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

4. $u = -a_g/\omega_0^2$ : de massa zakt over een vaste afstand — het instrument is bij frequentie nul een versnellingsopnemer (en een hellingmeter).

5. De relatieve uitwijking $u(t)$ .

6. $-\omega^2\underline U + j\omega(\omega_0/Q)\underline U + \omega_0^2\underline U = \omega^2X_g$ ; deel door $\omega_0^2$ .

7. $U/X_g = x_r^2/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$ .

8. $U \to X_g$ : de massa beweegt niet in het inertiaalstelsel (haar traagheid houdt haar stil terwijl de veer te slap is om haar mee te trekken); het frame beweegt om haar heen, en de pen registreert de uitwijking van de grond — een seismometer.

9. $U \approx x_r^2X_g = \omega^2X_g/\omega_0^2 = a_g/\omega_0^2$ : een versnellingsopnemer.

10. $U = QX_g = 0.7X_g$ : geen piek; de twee regimes sluiten vloeiend op elkaar aan en het instrument galmt niet na.

11. Voor $Q = 0.7$ : een lijn met helling $2$ die naar $1$ stijgt rond $x_r = 1$ en daarna vlak op $1$ blijft; voor $Q = 5$ : hetzelfde met een piek van hoogte $5$ bij $x_r = 1$ .

12. $\underline U \to -X_g$ : $u = -x_g$ , de massa stil terwijl het frame beweegt.

13. $\Delta\ell = g/\omega_0^2 = 9.81/(2\pi \times 0.02)^2 = 620\,\mathrm{m}$ : absurd.

14. $\ell = g/\omega_0^2 = 620\,\mathrm{m}$ .

15. Tuinhek: de slinger zwaait om een bijna verticale as, zodat maar een klein deel van $g$ haar terugdrijft en een korte arm een lange periode geeft. Krachtterugkoppeling: een spoel houdt de massa vast, en de stroom die daarvoor nodig is, is evenredig met de grondversnelling — de stijfheid is elektronisch en instelbaar.

16. $\Delta\ell = 9.81/\pi^2 = 0.99\,\mathrm{m}$ : haalbaar.

17. $x_r = 0.2$ : $U/X_g = 0.04/\sqrt{0.92 + 0.08} = 0.040$ : $40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — het regime van de versnellingsopnemer, dat versterking vraagt (optische hefboom of elektronica).

18. $x_r = 10$ : $100/\sqrt{9801 + 204} \approx 1.00$ : $1.0\,\mathrm{mm}$ , een getrouwe registratie van de uitwijking.

19. $\omega_0 = 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $U = g/\omega_0^2 = 2.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ — uitgelezen als de verandering van een condensatorspleet.

20. $U/(a_g/\omega_0^2) = 1/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$ ; met $Q = 0.7$ daalt zij monotoon en blijft zij boven $0.9$ tot $x_r \approx 0.7$ : ongeveer $700\,\mathrm{Hz}$ .

21. $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.22\,\mathrm{ms}$ : hij volgt een val (tientallen milliseconden) zonder achterstand.

22. $\tau = 1.4/3.14 = 0.45\,\mathrm{s}$ : na een stap van de grond komt de registratie in een halve seconde tot rust, zonder nagalm.

23. Een hoge $Q$ zou het instrument na elke schok op $f_0$ laten nagalmen (het zou zichzelf registreren in plaats van de grond) en rond $f_0$ pieken; $Q \approx 0.7$ is vlak en snel.

24. $U = QX_g = 0.7X_g$ tegen het ideale $X_g$ (of $a_g/\omega_0^2 = X_g$ ): $30\%$ te laag.

25. Vergelijk de signaalfrequentie met $f_0$ : ruim erboven is de massa een vast referentiepunt en is $u$ de uitwijking; ruim eronder is $u$ de versnelling gedeeld door $\omega_0^2$ .

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Harmonische oscillator

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst