Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

2Geometrische optica: stralen, reflectie, breking

Een rietje in een glas water lijkt aan het wateroppervlak gebroken; een zwemmer die vanaf de bodem van een zwembad omhoogkijkt ziet de hele hemel samengeperst in een heldere schijf, omringd door een spiegelbeeld van de bodem; een glasvezel zo dun als een haar draagt een telefoongesprek over een oceaan met minder verlies dan een koperdraad over een straat lijdt. Drie wetten — licht loopt recht, kaatst terug onder gelijke hoeken, buigt af volgens de wet van Snellius — verklaren dat alles, en dit hoofdstuk formuleert ze nauwkeurig, geeft aan waar ze ophouden te gelden, en zet ze aan het werk.

Een prisma buigt een witte bundel naar zijn basis toe en spreidt hem: de index van glas hangt af van de golflengte, en violet wordt het sterkst afgebogen.

2.1 Het model van de geometrische optica

Definitie 2.1 (Lichtstraal; homogeen medium)

In het model van de geometrische optica plant licht zich voort langs lichtstralen: georiënteerde krommen die in een homogeen medium (overal dezelfde eigenschappen) rechte lijnen zijn en die onafhankelijk van elkaar energie dragen. Een bundel is een bos stralen; een puntbron zendt stralen uit in alle richtingen.

Definitie 2.2 (Brekingsindex)

Een doorzichtig medium laat licht door; het licht loopt daarin met een snelheid $v < c$ . Zijn brekingsindex is

n = \frac{c}{v} \geq 1 .

Vacuüm: $n = 1$ ; lucht: $1.0003$ ; water: $1.33$ ; gewoon glas: $1.5$ tot $1.6$ ; diamant: $2.42$ . Een golf met frequentie $\nu$ behoudt haar frequentie bij het binnentreden van een medium, zodat haar golflengte krimpt van $\lambda_0 = c/\nu$ in vacuüm tot $\lambda = \lambda_0/n$ .

Opmerking 2.3 (Dispersie)

In materie hangt de index licht af van de golflengte — het medium is dispersief. Voor glas in het zichtbare gebied past de empirische wet van Cauchy $n(\lambda) = A + B/\lambda^2$ goed: $n$ is voor blauw ongeveer $0.01$ tot $0.02$ groter dan voor rood. Het prisma en de regenboog, aan het eind van dit hoofdstuk, leven van dat verschil.

Opmerking 2.4 (Grenzen van het model)

Licht is een golf, en een golf die door een opening met breedte $a$ gaat, spreidt zich over een hoek van de orde $\lambda/a$ (diffractie, Hoofdstuk 5). Stralen zijn een goede beschrijving zolang elke opening, lens en hindernis veel groter is dan de golflengte ( $0.4\,$ tot $0.8\,\text{µ}\mathrm{m}$ voor zichtbaar licht): een gaatje van $1\,\mathrm{mm}$ spreidt een bundel over $10^{-3}$ radialen, verwaarloosbaar op een optische bank; een gaatje van $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ spreidt hem over de hele halfruimte, en geen stralenbeeld overleeft dat. De kern van $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ van een monomode telecomvezel ligt al buiten het model.

Propositie 2.5 (Omkeerbaarheid van de lichtweg)

De weg van een straal hangt niet af van de richting waarin het licht hem aflegt: gaat licht van $A$ naar $B$ langs een weg, dan volgt licht vanuit $B$ diezelfde weg naar $A$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

2.2 Reflectie en breking

Definitie 2.6 (Inval)

Een straal die het scheidingsvlak tussen twee media (een brekend vlak) in een punt $I$ treft, maakt met de normaal op dat vlak in $I$ de invalshoek $i_1$ . Het invalsvlak bevat de invallende straal en de normaal.

Stelling 2.7 (Wetten van reflectie en breking (Snellius–Descartes))

Aan het scheidingsvlak tussen media met indices $n_1$ (kant van inval) en $n_2$ geldt:

de gereflecteerde en de gebroken straal liggen in het invalsvlak;
de gereflecteerde straal maakt met de normaal de hoek $i_1' = i_1$ , aan de andere kant van de normaal;
de gebroken straal maakt met de normaal een hoek $i_2$ zodanig dat

$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2 .$

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 2.8 (Waar de wetten vandaan komen)

Beide wetten volgen uit het beginsel van Fermat: tussen twee punten volgt licht de weg met de kortste looptijd. Reflectie onder gelijke hoeken is de kortste geknikte weg die de spiegel raakt; de wet van Snellius is de weg die een langere route in het snelle medium inruilt tegen een kortere in het trage (Oefening 2.12). In het volume van jaar 2 worden beide wetten afgeleid uit het golfkarakter van licht aan een grensvlak.

Reflectie en breking aan het scheidingsvlak tussen twee media. De gebroken straal buigt naar de normaal toe wanneer n_2 > n_1; alle drie de stralen en de normaal liggen in één vlak, het vlak van de figuur. — Reflectie en breking aan het scheidingsvlak tussen twee media. De gebroken straal buigt naar de normaal toe wanneer $n_2 > n_1$ ; alle drie de stralen en de normaal liggen in één vlak, het vlak van de figuur.

Propositie 2.9 (Welke kant de straal op buigt)

Bij het binnengaan van een sterker brekend medium ( $n_2 > n_1$ ) buigt een straal naar de normaal toe ( $i_2 < i_1$ ); bij het binnengaan van een zwakker brekend medium van de normaal af ( $i_2 > i_1$ ). Een straal langs de normaal gaat onafgebogen door.

Bewijs. $\sin i_2 = (n_1/n_2)\sin i_1$ , met $\sin$ stijgend op $[0, \pi/2]$ . ∎

Voorbeeld 2.10 (Schijnbare diepte)

Een muntstuk ligt op diepte $h$ onder water ( $n = 1.33$ ) en wordt bijna loodrecht van boven bekeken. Een straal vanaf de munt die het oppervlak onder een kleine hoek $i_2$ (in het water) bereikt, verlaat het onder $i_1$ met $\sin i_1 = n\sin i_2$ ; voor kleine hoeken is $i_1 \approx n\,i_2$ . Het oog verlengt de uittredende straal naar achteren: zij lijkt van een diepte $h'$ te komen, met $\tan i_1 \approx x/h'$ en $\tan i_2 \approx x/h$ voor hetzelfde oppervlaktepunt op afstand $x$ van de verticaal, dus $h' = h\,i_2/i_1 = h/n$ . Een bad van $2.0\,\mathrm{m}$ diep lijkt $1.5\,\mathrm{m}$ diep; een vis ziet de visser $1.33$ keer hoger dan hij is.

Stelling 2.11 (Totale interne reflectie)

Licht dat vanuit een medium met index $n_1$ naar een zwakker brekend medium gaat ( $n_2 < n_1$ ), wordt alleen gebroken als $i_1 \leq i_c$ , waarin de grenshoek voldoet aan

\sin i_c = \frac{n_2}{n_1} .

Voor $i_1 > i_c$ is er geen gebroken straal: het vlak kaatst al het licht terug — totale interne reflectie.

Bewijs. De wet van Snellius vraagt $\sin i_2 = (n_1/n_2)\sin i_1 > \sin i_1$ ; dat overschrijdt $1$ zodra $\sin i_1 > n_2/n_1$ , en dan bestaat er geen hoek $i_2$ . Bij $i_1 = i_c$ scheert de gebroken straal langs het oppervlak ( $i_2 = 90^\circ$ ). Dat dan alle energie wordt gereflecteerd, is een uitspraak over intensiteiten, waarmee de geometrische optica niets kan; de golfbehandeling in het volume van jaar 2 bevestigt haar. ∎

Stralen vanuit een bron S onder water. Onder de grenshoek (i_c = 48.8 voor water–lucht) treedt een deel van het licht uit; bij i_c scheert de gebroken straal langs het oppervlak; daarboven is het oppervlak een volmaakte spiegel — de heldere hemelschijf van de zwemmer wordt door die hoek begrensd. — Stralen vanuit een bron $S$ onder water. Onder de grenshoek ( $i_c = 48.8^\circ$ voor water–lucht) treedt een deel van het licht uit; bij $i_c$ scheert de gebroken straal langs het oppervlak; daarboven is het oppervlak een volmaakte spiegel — de heldere hemelschijf van de zwemmer wordt door die hoek begrensd.

Voorbeeld 2.12 (Diamanten en zwemmers)

Glas–lucht: $\sin i_c = 1/1.5$ , $i_c = 41.8^\circ$ , en daarom kaatst een prisma van $45^\circ$ totaal terug en vervangt het een spiegel in een verrekijker. Diamant–lucht: $i_c = 24.4^\circ$ ; een geslepen diamant vangt licht dat door zijn bovenkant binnenkomt en stuurt het er bijna volledig weer uit — de schittering is totale reflectie, het vuur is dispersie. Water–lucht: $i_c = 48.8^\circ$ ; wie omhoogkijkt onder water ziet de hele hemel binnen een kegel met halve tophoek $48.8^\circ$ (“het venster van Snellius”) en daarbuiten de weerspiegelde bodem.

2.3 De glasvezel

Definitie 2.13 (Stapindexvezel)

Een glasvezel met stapindex is een cilindrische glazen kern met index $n_1$ , omhuld door een mantel met een iets lagere index $n_2$ . Licht dat de kern binnenkomt binnen een kegel met halve tophoek $\theta_a$ rond de as, wordt geleid door opeenvolgende totale interne reflecties aan het scheidingsvlak kern–mantel. De numerieke apertuur is $\mathrm{NA} = \sin\theta_a$ .

Propositie 2.14 (Acceptatiekegel en intermodale spreiding)

Voor een vezel waarvan het intreevlak zich in lucht bevindt geldt

\sin\theta_a = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} .

Over een lengte $L$ komen de geleide straal langs de as en de steilste geleide straal aan met een onderling tijdsverschil

\Delta t = \frac{L\,n_1}{c}\left(\frac{n_1}{n_2} - 1\right)

(intermodale dispersie).

Bewijs. Een straal die onder een hoek $\theta$ met de as binnenkomt, wordt gebroken tot $\theta'$ met $\sin\theta = n_1\sin\theta'$ en treft de mantel onder inval $i = 90^\circ - \theta'$ . Geleiding vereist $\sin i \geq n_2/n_1$ , dus $\cos\theta' \geq n_2/n_1$ , dus $\sin\theta' \leq \sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ ; vermenigvuldig met $n_1$ . De straal langs de as legt $L$ af met snelheid $c/n_1$ : $t_0 = Ln_1/c$ . De steilste straal zigzagt onder hoek $\theta'_{\max}$ met $\cos\theta'_{\max} = n_2/n_1$ ; haar weg is $L/\cos\theta'_{\max} = L n_1/n_2$ , dus $t_1 = L n_1^2/(n_2 c)$ , en $\Delta t = t_1 - t_0$ . ∎

Een stapindexvezel. Een straal die binnen de acceptatiekegel met halve tophoek _a binnenkomt, treft de mantel onder inval i ≥ i_c en wordt geleid door totale reflecties; de straal langs de as neemt de kortste route, de steilste geleide straal de langste — een puls spreidt uit in de tijd. — Een stapindexvezel. Een straal die binnen de acceptatiekegel met halve tophoek $\theta_a$ binnenkomt, treft de mantel onder inval $i \geq i_c$ en wordt geleid door totale reflecties; de straal langs de as neemt de kortste route, de steilste geleide straal de langste — een puls spreidt uit in de tijd.

Voorbeeld 2.15 (Getallen van een telecomvezel)

$n_1 = 1.480$ , $n_2 = 1.465$ : $\mathrm{NA} = \sqrt{2.190 - 2.146} = 0.21$ , $\theta_a = 12^\circ$ ; $i_c = 81.8^\circ$ , zodat geleide stralen binnen $8.2^\circ$ van de as blijven. Intermodale spreiding: $\Delta t/L = (1.48/c)(1.48/1.465 - 1) = 51\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ . Over $2\,\mathrm{km}$ spreidt een puls $0.1\,\text{µ}\mathrm{s}$ uit, wat de bitsnelheid begrenst rond $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ : de weekendopgave volgt deze beperking tot haar remedie, de monomodevezel.

2.4 De vlakke spiegel

Propositie 2.16 (Beeld in een vlakke spiegel)

Alle stralen vanuit een punt $A$ die door een vlakke spiegel worden gereflecteerd, lijken te komen uit het punt $A'$ dat symmetrisch met $A$ ligt ten opzichte van het spiegelvlak: $A'$ is het beeld van $A$ . Het is virtueel (er gaat geen licht doorheen) en de spiegel is streng stigmatisch: elk punt heeft een scherp puntbeeld.

Bewijs. Een straal vanuit $A$ die de spiegel in $I$ treft onder inval $i$ , vertrekt onder $i$ aan de andere kant van de normaal. De gereflecteerde lijn en de normaal in $I$ maken de hoek $i$ , net als de lijn $IA$ ; door spiegeling in het spiegelvlak is de gereflecteerde lijn het spiegelbeeld van de lijn $IA$ en gaat zij dus door het symmetrische punt $A'$ — voor elke $I$ . ∎

Propositie 2.17 (Een spiegel draaien)

Een vlakke spiegel over een hoek $\alpha$ draaien om een as in zijn vlak, loodrecht op het invalsvlak, draait de gereflecteerde straal over $2\alpha$ .

Bewijs. De normaal draait over $\alpha$ , zodat de inval verandert van $i$ in $i + \alpha$ ; de gereflecteerde straal, onder $i + \alpha$ aan de andere kant van de nieuwe normaal, is over $\alpha$ (normaal) $+ \alpha$ (hoek) $= 2\alpha$ ten opzichte van haar oude richting verdraaid. ∎

Voorbeeld 2.18 (De hefboom van de galvanometer)

Een spiegeltje op de spoel van een galvanometer, beschenen door een lamp en een lichtvlek werpend op een schaal $2\,\mathrm{m}$ verderop: een draaiing van $1\,\mathrm{mrad}$ van de spoel verplaatst de vlek over $2 \times 10^{-3} \times 2\,\mathrm{m} = 4\,\mathrm{mm}$ — een optische hefboom die vergroot zonder wrijving, het beginsel van de spiegelgalvanometer en van de laserscanner.

2.5 Het prisma

Propositie 2.19 (Prismaformules)

Een straal die in lucht een prisma met tophoek $A$ en index $n$ doorloopt, in het vlak loodrecht op de ribbe, met hoeken $i$ (intrede), $r$ , $r'$ (binnenin) en $i'$ (uittrede) gemeten vanaf de normalen, voldoet aan

\sin i = n \sin r, \qquad r + r' = A, \qquad \sin i' = n \sin r',

en wordt afgebogen over $D = i + i' - A$ . De deviatie is minimaal wanneer de weg symmetrisch is, $i = i'$ , $r = r' = A/2$ ; dan geldt

n = \frac{\sin\frac{A + D_{\min}}{2}}{\sin\frac{A}{2}} .

Bewijs. De wet van Snellius aan elk vlak; $r + r' = A$ omdat de twee normalen de hoek $A$ maken (de vierhoek gevormd door de tophoek, de twee invalspunten en het snijpunt van de normalen). De totale deviatie is $(i - r) + (i' - r') = i + i' - A$ . Door de omkeerbaarheid van de lichtweg is de deviatie dezelfde functie van $i$ als van $i'$ ; lag het minimum bij $i_0 \neq i_0'$ , dan lag het ook bij de omgekeerde inval $i_0'$ , wat twee minima zou geven — en dat verbiedt het monotone gedrag van $D(i)$ aan weerszijden van haar minimum: het minimum ligt bij $i = i'$ . Dan is $r = r' = A/2$ en $D_{\min} = 2i - A$ ; invullen van $i = (A + D_{\min})/2$ in $\sin i = n\sin(A/2)$ geeft de formule. ∎

Een straal door een prisma met tophoek A: bij intrede en opnieuw bij uittrede naar de basis toe gebroken, wordt hij over D = i + i' - A afgebogen ten opzichte van zijn oorspronkelijke richting (streepjes). Getekend bij minimale deviatie, waar de weg symmetrisch is. — Een straal door een prisma met tophoek $A$ : bij intrede en opnieuw bij uittrede naar de basis toe gebroken, wordt hij over $D = i + i' - A$ afgebogen ten opzichte van zijn oorspronkelijke richting (streepjes). Getekend bij minimale deviatie, waar de weg symmetrisch is.

Voorbeeld 2.20 (Een index meten)

Een prisma van $60^\circ$ wordt gedraaid tot de deviatie van een gele bundel het kleinst is: $D_{\min} = 38.9^\circ$ . Dan is $n = \sin 49.45^\circ/\sin 30^\circ = 0.760/0.500 = 1.52$ . Minimale deviatie is de standaardmanier om de index van een glassoort te meten — het scherpe minimum, gevonden door het prisma heen en weer te draaien, is ongevoelig voor kleine instelfouten.

Opmerking 2.21 (Dunne prisma’s en spectroscopen)

Voor kleine $A$ en kleine inval zijn de sinussen gelijk aan de hoeken en is $D \approx (n - 1)A$ , onafhankelijk van $i$ : een dun prisma buigt elke straal over dezelfde hoek af — een glazen wig is een “prisma” dat licht afbuigt, en een lens zal een stapel van zulke wiggen blijken te zijn. Omdat $n$ van $\lambda$ afhangt, doet de deviatie dat ook: een prisma spreidt wit licht tot een spectrum (blauw het sterkst afgebogen), het hart van de prismaspectroscoop.

2.6 De regenboog

Voorbeeld 2.22 (De regenboog van Descartes)

Een zonnestraal treedt onder inval $i$ een bolvormige regendruppel binnen, wordt gebroken ( $\sin i = n\sin r$ ), kaatst één keer terug tegen de achterwand en treedt na een tweede breking weer uit. Elke breking buigt hem over $i - r$ af, de interne reflectie over $\pi - 2r$ : totale deviatie $D(i) = \pi + 2i - 4r$ . Stralen vullen de druppel bij elke $i$ ; de waarnemer ziet het helderste licht daar waar veel stralen in vrijwel dezelfde richting vertrekken, dus waar $D$ stationair is: $\dd D/\dd i = 2 - 4\,\dd r/\dd i = 0$ . Differentiëren van de wet van Snellius geeft $\cos i = n\cos r\,\dd r/\dd i$ , zodat de voorwaarde luidt $2\cos i = n\cos r$ ; kwadrateren en gebruik van $n^2\cos^2 r = n^2 - \sin^2 i = n^2 - 1 + \cos^2 i$ geeft

\cos^2 i = \frac{n^2 - 1}{3} .

Voor water, $n = 1.333$ : $i = 59.4^\circ$ , $r = 40.2^\circ$ , $D_{\min} = 137.9^\circ$ . Het licht komt terug naar de kant van de zon onder $180^\circ - 137.9^\circ = 42^\circ$ vanaf de richting tegenover de zon: de regenboog is een kegel met halve tophoek $42^\circ$ rond de schaduw van het hoofd van de waarnemer. Rood ( $n = 1.331$ ) ligt op $42.4^\circ$ , violet ( $n = 1.343$ ) op $40.6^\circ$ — rood buiten, violet binnen.

De straal van Descartes door een regendruppel: twee brekingen en één interne reflectie. Rond i = 59 is de deviatie D stationair bij 138, zodat de stralen zich daar opstapelen: de primaire regenboog, 42 vanaf het punt tegenover de zon. — De straal van Descartes door een regendruppel: twee brekingen en één interne reflectie. Rond $i = 59^\circ$ is de deviatie $D$ stationair bij $138^\circ$ , zodat de stralen zich daar opstapelen: de primaire regenboog, $42^\circ$ vanaf het punt tegenover de zon.

2.7 Oefeningen

Oefening 2.1 ★

Bereken de lichtsnelheid in water ( $n = 1.33$ ), in glas ( $1.50$ ) en in diamant ( $2.42$ ). Hoe lang doet licht erover om $1.0\,\mathrm{km}$ vezel met index $1.48$ te doorlopen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.1.

$v = c/n$ : water $2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , glas $2.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , diamant $1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Vezel: $t = nL/c = 1.48 \times 10^3/3.00\times10^8 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Oefening 2.2 ★

Een straal in lucht treft water ( $n = 1.33$ ) onder $30^\circ$ , daarna onder $60^\circ$ met de normaal: bepaal de brekingshoeken. Een straal in water treft het oppervlak onder $50^\circ$ : wat gebeurt er?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.2.

$\sin i_2 = \sin i_1/1.33$ : $30^\circ \to 22.1^\circ$ ; $60^\circ \to 40.6^\circ$ . Vanuit water onder $50^\circ$ : $1.33\sin 50^\circ = 1.02 > 1$ , geen gebroken straal — totale reflectie ( $i_c = 48.8^\circ$ ).

Oefening 2.3 ★

Bereken de grenshoek voor glas–lucht ( $n = 1.50$ ), diamant–lucht ( $2.42$ ) en water–lucht ( $1.33$ ). Hoe groot is de hoekdiameter van de hemelschijf die een duiker ziet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.3.

$i_c = \arcsin(1/n)$ : glas $41.8^\circ$ , diamant $24.4^\circ$ , water $48.8^\circ$ . De hemelschijf beslaat $2 \times 48.8^\circ = 97.5^\circ$ .

Oefening 2.4 ★

Iemand van $1.70\,\mathrm{m}$ lang, met de ogen $10\,\mathrm{cm}$ onder de kruin, staat voor een verticale wandspiegel. Bepaal de kleinste spiegel (hoogte, en de plaats van haar randen boven de vloer) waarin het hele lichaam zichtbaar is. Hangt het antwoord af van de afstand tot de spiegel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.4.

De ogen op $1.60\,\mathrm{m}$ . De straal vanaf de voeten bereikt het oog na reflectie op de halve ooghoogte, $0.80\,\mathrm{m}$ ; de straal vanaf de kruin kaatst halverwege kruin en ogen, op $1.65\,\mathrm{m}$ . Spiegel van $0.80\,\mathrm{m}$ tot $1.65\,\mathrm{m}$ : hoogte $0.85\,\mathrm{m}$ , de helft van de lichaamslengte — onafhankelijk van de afstand (de middenregel geldt op elke afstand).

Oefening 2.5 ★★

Een muntstuk ligt $1.2\,\mathrm{m}$ diep in een zwembad; op welke diepte lijkt het te liggen voor wie van boven kijkt? De ogen van een visser bevinden zich $1.8\,\mathrm{m}$ boven het water: hoe hoog lijken ze voor een vis die omhoogkijkt? Verantwoord beide met stralen onder kleine hoeken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.5.

Kleine hoeken: de schijnbare plaats is $h' = h/n$ bij kijken vanuit het ijlere medium en $h' = nh$ vanuit het dichtere. Munt: $1.2/1.33 = 0.90\,\mathrm{m}$ . Visser: $1.33 \times 1.8 = 2.4\,\mathrm{m}$ . Verantwoording: voor een oppervlaktepunt op horizontale afstand $x$ is $\tan i_2 \approx i_2 = x/h$ en $\tan i_1 \approx i_1 = x/h'$ met $i_1 = n i_2$ .

Oefening 2.6 ★★

Een prisma heeft $A = 60^\circ$ en $n = 1.52$ . Bereken de minimale deviatie. Toon aan dat een straal alleen uit het tweede vlak kan treden als $A \leq 2 i_c$ , en ga na dat dit prisma daaraan voldoet.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.6.

$\sin\frac{A + D_{\min}}{2} = 1.52\sin 30^\circ = 0.760$ , dus $\frac{A + D_{\min}}{2} = 49.5^\circ$ , $D_{\min} = 38.9^\circ$ . Uittreden vereist $r' \leq i_c$ ; ook geeft $\sin r = \sin i/n \leq 1/n$ dat $r \leq i_c$ ; dus $A = r + r' \leq 2i_c$ . Hier is $i_c = \arcsin(1/1.52) = 41.1^\circ$ , $2i_c = 82.3^\circ > 60^\circ$ : in orde.

Oefening 2.7 ★★

Een stapindexvezel heeft $n_1 = 1.50$ , $n_2 = 1.48$ . Bereken haar numerieke apertuur, haar acceptatiehoek, het intermodale tijdsverschil per kilometer en de daaruit volgende maximale bitsnelheid over $1\,\mathrm{km}$ (neem $B_{\max} \approx 1/(2\Delta t)$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.7.

$\mathrm{NA} = \sqrt{1.50^2 - 1.48^2} = \sqrt{0.0596} = 0.244$ , $\theta_a = 14.1^\circ$ . $\Delta t/L = (1.50/c)(1.50/1.48 - 1) = 5.0\times10^{-9} \times 0.0135 = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ . Over $1\,\mathrm{km}$ : $B_{\max} \approx 1/(2 \times 68\,\mathrm{ns}) = 7.4\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

Oefening 2.8 ★★

Een dun prisma met tophoek $10^\circ$ heeft $n = 1.510$ voor rood en $1.530$ voor blauw. Bereken de deviatie van elke kleur en de hoekbreedte van het spectrum dat het levert.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.8.

$D \approx (n - 1)A$ : rood $0.510 \times 10^\circ = 5.10^\circ$ , blauw $5.30^\circ$ ; spectrumbreedte $0.20^\circ$ .

Oefening 2.9 ★★

Een straal treft een glazen plaat met evenwijdige vlakken ( $n = 1.50$ , dikte $e = 2.0\,\mathrm{cm}$ ) onder $45^\circ$ . Toon aan dat hij evenwijdig aan zijn invalsrichting uittreedt, zijdelings verschoven over $d = e\,\sin(i - r)/\cos r$ , en bereken $d$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.9.

Intrede: $\sin r = \sin 45^\circ/1.5 = 0.471$ , $r = 28.1^\circ$ . De twee vlakken zijn evenwijdig, dus is de inval op het tweede vlak $r$ en $\sin i' = n\sin r = \sin i$ : $i' = i$ , de uittredende straal is evenwijdig aan de invallende. Langs de inwendige weg met lengte $e/\cos r$ is de loodrechte verschuiving $(e/\cos r)\sin(i - r)$ : $d = 2.0 \times \sin 16.9^\circ/\cos 28.1^\circ = 0.66\,\mathrm{cm}$ .

Oefening 2.10 ★★★

De secundaire regenboog komt van stralen die twee keer binnen de druppel worden gereflecteerd. Toon aan dat $D = 2\pi + 2i - 6r$ , dat de stationaire deviatie voldoet aan $\cos^2 i = (n^2 - 1)/8$ , en bereken de hoek van de secundaire boog vanaf de richting tegenover de zon voor $n = 1.333$ . Waar ligt hij ten opzichte van de primaire, en in welke volgorde staan zijn kleuren?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.10.

Twee brekingen ( $2(i - r)$ ) en twee reflecties ( $2(\pi - 2r)$ ): $D = 2\pi + 2i - 6r$ . $\dd D/\dd i = 2 - 6\cos i/(n\cos r) = 0$ geeft $3\cos i = n\cos r$ , $9\cos^2 i = n^2 - 1 + \cos^2 i$ , $\cos^2 i = (n^2 - 1)/8$ . Voor $n = 1.333$ : $\cos^2 i = 0.0971$ , $i = 71.8^\circ$ , $\sin r = 0.950/1.333$ , $r = 45.5^\circ$ , $D = 360^\circ + 143.7^\circ - 272.8^\circ = 230.9^\circ$ : de boog ligt op $230.9^\circ - 180^\circ = 51^\circ$ vanaf het punt tegenover de zon, buiten de primaire ( $42^\circ$ ). Rood ( $n = 1.331$ ) op $50.4^\circ$ , violet ( $1.343$ ) op $53.6^\circ$ : de kleuren staan omgekeerd, violet buiten.

Oefening 2.11 ★★★

Op een heet wegdek heeft de lucht vlak boven het asfalt index $n_{\text{heet}} = 1.00026$ , de koelere lucht erboven $n_{\text{koel}} = 1.00029$ . Modelleer de lagen als één scherp grensvlak: bepaal de kritieke scherende hoek (gemeten vanaf de weg) waaronder een straal uit de hemel volledig omhoog wordt gereflecteerd. Het oog van een bestuurder zit $1.2\,\mathrm{m}$ boven de weg: vanaf welke afstand lijkt de weg op water?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.11.

$\sin i_c = 1.00026/1.00029 = 0.99997$ , $i_c = 89.56^\circ$ : stralen binnen $0.44^\circ = 7.7\,\mathrm{mrad}$ van het wegdek worden volledig gereflecteerd (in het algemeen is de scherende hoek $\approx \sqrt{2\Delta n/n}$ ). Vanaf $1.2\,\mathrm{m}$ hoogte scheert de kijklijn onder die hoek voorbij $1.2/0.0077 \approx 160\,\mathrm{m}$ : de weg weerspiegelt daar de hemel — de “plas”.

Oefening 2.12 ★★★

De punten $A$ (op hoogte $a$ boven een grensvlak) en $B$ (op diepte $b$ eronder) liggen horizontaal $d$ uit elkaar; licht loopt met $v_1$ erboven en $v_2$ eronder. Schrijf de looptijd op van de geknikte weg door het grensvlakpunt op horizontale positie $x$ , en toon aan dat de tijd precies dan stationair is wanneer $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ — de wet van Snellius.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.12.

$t(x) = \dfrac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \dfrac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$ ; $t'(x) = \dfrac{x}{v_1\sqrt{a^2 + x^2}} - \dfrac{d - x}{v_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}} = \dfrac{\sin i_1}{v_1} - \dfrac{\sin i_2}{v_2}$ , precies nul wanneer $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ , dat wil zeggen $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ met $n = c/v$ .

Een dubbele regenboog: de primaire boog op 42 met rood aan de buitenkant, de zwakkere secundaire op 51 met omgekeerde kleuren, en de donkere band van Alexander ertussen — breking, reflectie en dispersie in elke druppel. — Een dubbele regenboog: de primaire boog op $42{}^{\circ}$ met rood aan de buitenkant, de zwakkere secundaire op $51{}^{\circ}$ met omgekeerde kleuren, en de donkere band van Alexander ertussen — breking, reflectie en dispersie in elke druppel.

2.8 Probleem: De glasvezelverbinding

Probleem 2.1

Weekendopgave — een glazen draad onder zee: hoe ver en hoe snel kan een lichtpuls een bit dragen voordat meetkunde, glas en dispersie hem uitsmeren

Een verbinding gebruikt een stapindexvezel met kern $n_1 = 1.480$ , mantel $n_2 = 1.465$ , kernstraal $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ , bij de golflengte $\lambda_0 = 1550\,\mathrm{nm}$ . Gegeven: $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Deel I — Licht in glas.

Definieer de index en bereken de lichtsnelheid in de kern.
Hoe lang doet een puls erover om $50\,\mathrm{km}$ langs de as af te leggen?
Bereken de frequentie van het licht en zijn golflengte binnen de kern.
Waarom wordt de kern in glas met lagere index gehuld in plaats van bloot in lucht gelaten, wat een grotere indexsprong zou geven?

Deel II — Geleiding.

Bereken de grenshoek aan het scheidingsvlak kern–mantel.
Leid daaruit de grootste hoek af die een geleide straal met de as kan maken.
Een straal komt vanuit lucht het vlakke eindvlak binnen onder een hoek $\theta$ met de as. Toon aan dat hij geleid wordt als $\sin\theta \leq \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ , en bereken de acceptatiehoek $\theta_a$ .
Geef de numerieke apertuur. Waarom is een vezel met een grotere indexsprong gemakkelijker met licht te voeden?
De vezel wordt gebogen langs een cirkel met straal $R_b$ . Beschouw een straal die evenwijdig aan de as langs de binnenrand van de kern loopt: toon aan dat hij de buitenwand treft onder inval $i$ met $\sin i = R_b/(R_b + 2a)$ , en bepaal de kleinste $R_b$ waarvoor hij nog geleid wordt.

Deel III — Intermodale dispersie.

Druk de looptijden uit van de straal langs de as en van de steilste geleide straal over een lengte $L$ .
Leid de spreiding $\Delta t$ per kilometer af, en haar waarde over $L = 2\,\mathrm{km}$ .
Een bit is een korte puls; twee opeenvolgende pulsen moeten minstens $2\Delta t$ uit elkaar blijven om te onderscheiden zijn. Schat de maximale bitsnelheid over $2\,\mathrm{km}$ .
Toon aan dat het product (bitsnelheid) $\times$ (lengte) voor deze vezel constant is, en bereken het in $\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ .
In een gradiëntindexvezel neemt de index vanaf de as geleidelijk af naar buiten toe. Leg kwalitatief uit waarom dit de intermodale spreiding verkleint.
Een monomodevezel heeft een kerndiameter van ongeveer $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Vergelijk met $\lambda_0$ en leg uit waarom het stralenmodel haar niet kan beschrijven; wat wordt er gewonnen?

Deel IV — Demping en chromatische dispersie. De vezel verzwakt het vermogen met $\alpha = 0.20\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ bij $1550\,\mathrm{nm}$ : $P(L) = P_0\,10^{-\alpha L/10}$ . De zender zendt $P_0 = 1.0\,\mathrm{mW}$ uit; de ontvanger heeft minstens $P_{\min} = 1.0\,\text{µ}\mathrm{W}$ nodig. Omdat $n$ van $\lambda$ afhangt, lopen twee golflengtes met licht verschillende snelheden: een bron met spectrale breedte $\Delta\lambda$ geeft een pulsspreiding $\Delta t_c = D\,\Delta\lambda\,L$ met $D = 17\,\mathrm{ps}/(\mathrm{nm}\,\mathrm{km})$ .

Welk deel van het vermogen overleeft $100\,\mathrm{km}$ ?
Bepaal de maximale lengte voordat een versterker nodig is.
Er staan versterkers om de $100\,\mathrm{km}$ : welke marge, in dB en als vermogensverhouding, laat dat voor connectoren en lassen?
Bereken $\Delta t_c$ over $100\,\mathrm{km}$ voor een ledbron ( $\Delta\lambda = 40\,\mathrm{nm}$ ) en voor een laser ( $\Delta\lambda = 0.10\,\mathrm{nm}$ ); leid de maximale bitsnelheid van elk over die lengte af (hetzelfde criterium als hierboven).
Bij $850\,\mathrm{nm}$ verzwakt kwartsglas $2.0\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ . Welke afstand zou hetzelfde vermogensbudget daar toelaten? Waarom is $1550\,\mathrm{nm}$ de telecomgolflengte?
Coaxiale koperkabel verzwakt ongeveer $30\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ bij de frequenties die $1\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ vereist. Vergelijk de afstand tussen versterkers met die van de vezel.

Deel V — De hele verbinding.

Wat begrenst voor de stapindexvezel over $2\,\mathrm{km}$ de bitsnelheid: de intermodale spreiding, de chromatische spreiding (laserbron) of de demping? Geef de begrenzende bitsnelheid.
Wat begrenst voor een monomodevezel over $100\,\mathrm{km}$ met de laserbron, en bij welke bitsnelheid?
De monomodeverbinding draagt $80$ lasers met golflengtes $0.8\,\mathrm{nm}$ uit elkaar (golflengtemultiplexing), elk op de bitsnelheid van de vorige vraag. Totale capaciteit?
Vorm het product bitsnelheid maal lengte van de stapindexverbinding en van één monomodekanaal; met welke factor wint de monomodevezel, en welk enkel natuurkundig feit is daarvoor verantwoordelijk?

Oplossing

Oplossing van Probleem 2.1.

1. $n = c/v$ ; $v_1 = 3.00\times10^8/1.480 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. $t = Ln_1/c = 5.0\times10^4 \times 1.48/3.00\times10^8 = 247\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

3. $\nu = c/\lambda_0 = 1.94 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , onveranderd in glas; $\lambda = \lambda_0/n_1 = 1047\,\mathrm{nm}$ .

4. Een blote kern geleidt alleen zolang haar oppervlak volmaakt schoon en onaangeraakt is: stof, water of een greep vervangt de lucht plaatselijk door een hogere index en het licht ontsnapt, en krassen verstrooien het. De mantel is een afgesloten, beheerst grensvlak met een opzettelijk gekozen indexsprong.

5. $\sin i_c = 1.465/1.480 = 0.9899$ , $i_c = 81.8^\circ$ .

6. $90^\circ - 81.8^\circ = 8.2^\circ$ .

7. $\sin\theta = n_1\sin\theta'$ ; geleid precies dan als $\cos\theta' \geq n_2/n_1$ , dus $\sin\theta' \leq \sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ , dus $\sin\theta \leq \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \sqrt{2.1904 - 2.1462} = 0.210$ : $\theta_a = 12.1^\circ$ .

8. $\mathrm{NA} = 0.210$ . Een grotere sprong verwijdt de kegel, zodat meer licht van een divergerende bron (een led) wordt opgevangen.

9. De straal raakt de cirkel met straal $R_b$ (binnenrand) en treft de cirkel met straal $R_b + 2a$ (buitenrand); in de rechthoekige driehoek middelpunt–raakpunt–trefpunt voldoet de hoek in het trefpunt tussen de straal en de radius (de normaal) aan $\sin i = R_b/(R_b + 2a)$ . Geleid dan en slechts dan als $\sin i \geq n_2/n_1$ : $R_b \geq 2a\,\dfrac{n_2/n_1}{1 - n_2/n_1} = 50\,\text{µ}\mathrm{m} \times 97.6 = 4.9\,\mathrm{mm}$ . Strakkere bochten lekken.

10. $t_0 = Ln_1/c$ ; weg van de steilste straal $L/\cos\theta'_{\max} = Ln_1/n_2$ , dus $t_1 = Ln_1^2/(n_2 c)$ .

11. $\Delta t/L = (n_1/c)(n_1/n_2 - 1) = 4.93\times10^{-9} \times 0.01024 = 50.5\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; over $2\,\mathrm{km}$ : $101\,\mathrm{ns}$ .

12. $B_{\max} \approx 1/(2\Delta t) = 1/202\,\mathrm{ns} \approx 5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

13. $B_{\max} L = 1/(2\,\Delta t/L) = 1/(2 \times 50.5\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}) \approx 10\,\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ .

14. Stralen ver van de as leggen langere wegen af, maar in een lagere index en dus sneller; met een goed gekozen profiel heffen de twee effecten elkaar op en komen alle stralen tegelijk aan.

15. $9\,\text{µ}\mathrm{m} \approx 6\lambda_0$ : de kern is niet groot vergeleken met de golflengte, zodat diffractie overheerst en stralen geen betekenis hebben. De golfbehandeling toont één enkel geleid patroon: helemaal geen intermodale spreiding; alleen chromatische dispersie en demping blijven over.

16. $100\,\mathrm{km}$ $\times$ $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ $= 20\,\mathrm{dB}$ : $P/P_0 = 10^{-2}$ , één procent.

17. $10\log(P_0/P_{\min}) = 30\,\mathrm{dB}$ , dus $L_{\max} = 30/0.20 = 150\,\mathrm{km}$ .

18. $100\,\mathrm{km}$ kost $20\,\mathrm{dB}$ : marge $10\,\mathrm{dB}$ , een factor $10$ in vermogen.

19. Led: $\Delta t_c = 17 \times 40 \times 100 = 68\,000\,\mathrm{ps} = 68\,\mathrm{ns}$ , $B \approx 1/136\,\mathrm{ns} = 7\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ . Laser: $\Delta t_c = 170\,\mathrm{ps}$ , $B \approx 1/340\,\mathrm{ps} = 2.9\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

20. $30/2.0 = 15\,\mathrm{km}$ , tien keer minder. Kwartsglas is het doorzichtigst rond $1550\,\mathrm{nm}$ (zijn dempingsminimum), en daar bestaan optische versterkers.

21. $30/30 = 1\,\mathrm{km}$ tussen versterkers, tegen $150\,\mathrm{km}$ : de vezel wint met een factor $150$ .

22. Intermodaal: $101\,\mathrm{ns}$ ( $\to$ $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ); chromatisch (laser): $17 \times 0.1 \times 2 = 3.4\,\mathrm{ps}$ ; demping $0.4\,\mathrm{dB}$ , verwaarloosbaar. De intermodale spreiding begrenst: $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

23. Geen intermodale spreiding; chromatisch $170\,\mathrm{ps}$ $\to$ $2.9\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ ; demping $20\,\mathrm{dB}$ , binnen het budget. De chromatische dispersie begrenst, bij ongeveer $3\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

24. $80 \times 2.9 \approx 230\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

25. Stapindex: $10\,\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ ; monomodekanaal: $2.9 \times 100 = 290\,\mathrm{Gbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ — een factor van ongeveer $3\times10^4$ . Eén feit: één enkele geleide weg, en dus geen meetkundige (intermodale) spreiding van de aankomsttijden.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst