Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

22De eerste hoofdwet van de thermodynamica

Pomp een fietsband op en de cilinder van de pomp wordt te heet om vast te houden. Een dieselmotor heeft geen bougie: hij perst zijn lucht twintig keer kleiner, en de lucht wordt heet genoeg om de brandstof vanzelf te ontsteken. Een fles samengeperst gas beslaat met rijp terwijl zij leegloopt. In elk geval verandert energie van vorm — arbeid wordt warmte, warmte wordt arbeid, beide worden inwendige energie — en de eerste hoofdwet van de thermodynamica is de boekhouding die de rekening laat kloppen. Dit hoofdstuk definieert arbeid en warmte voor een thermodynamisch systeem, formuleert de eerste hoofdwet, voert de inwendige energie en de enthalpie in als de grootheden die zij behoudt, en past haar toe op de toestandsveranderingen van een ideaal gas en op de calorimetrie.

Een fietspomp: de arbeid van de hand op de opgesloten lucht verhoogt haar inwendige energie, en de cilinder wordt warm — de eerste hoofdwet in de hand.

22.1 Toestandsveranderingen, arbeid en warmte

Definitie 22.1 (Systeem, toestandsverandering)

Een thermodynamisch systeem is de materie binnen een gekozen grens; al het overige is de omgeving. Een toestandsverandering brengt het van de ene evenwichtstoestand naar de andere. Zij is quasistatisch als het systeem een opeenvolging van evenwichtstoestanden doorloopt (traag genoeg opdat $P$ en $T$ overal gedefinieerd zijn), en omkeerbaar als bovendien het omkeren van de uitwendige omstandigheden de weg omkeert (geen wrijving, geen eindig temperatuur- of drukverschil met de omgeving). Namen naar wat constant blijft: isotherm ( $T$ ), isobaar ( $P$ ), isochoor ( $V$ ); adiabatisch als er geen warmte wordt uitgewisseld; monobaar (monotherm) als de uitwendige druk (temperatuur) constant is, wat er binnen ook gebeurt.

Propositie 22.2 (Arbeid van de drukkrachten)

Een systeem waarvan het volume met $\dd V$ verandert tegen een uitwendige druk $P_{\mathrm{ext}}$ ontvangt de arbeid

\delta W = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V, \qquad W = -\int_{V_1}^{V_2}P_{\mathrm{ext}}\,\dd V .

Bij een quasistatische toestandsverandering is $P_{\mathrm{ext}} = P$ (de eigen druk van het systeem) en is $W = -\int P\,\dd V$ min de oppervlakte onder de weg in het clapeyrondiagram: positief bij samendrukken, negatief bij uitzetten.

Bewijs. Een zuiger met oppervlak $S$ die door de omgeving met de kracht $P_{\mathrm{ext}}S$ wordt geduwd verplaatst zich $\dd x$ naar buiten: de omgeving verricht de arbeid $-P_{\mathrm{ext}}S\,\dd x = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$ op het systeem. Elke grens is een verzameling van zulke zuigers. Quasistatisch: de zuiger is in evenwicht, $P_{\mathrm{ext}} = P$ op een verwaarloosbaar verschil na. ∎

Definitie 22.3 (Warmte)

Warmte $Q$ is energie die anders dan door macroscopische arbeid aan het systeem wordt overgedragen — door moleculaire botsingen op een wand (geleiding), door de stroming van een fluïdum (convectie), door straling. Een warmtereservoir is een lichaam dat zo groot is dat zijn temperatuur niet verandert, hoeveel warmte het ook uitwisselt. Tekenafspraak overal: $W$ en $Q$ worden door het systeem ontvangen en zijn positief wanneer zij binnenkomen.

22.2 De eerste hoofdwet

Stelling 22.4 (Eerste hoofdwet van de thermodynamica)

Een gesloten systeem bezit een toestandsfunctie, zijn inwendige energie $U$ (extensief), zodanig dat voor elke toestandsverandering

\Delta U + \Delta E_{k} = W + Q ,

waarin $E_k$ de macroscopische kinetische energie is (nul voor een systeem in rust): de als arbeid en warmte ontvangen energie wordt als inwendige energie opgeslagen. $W$ en $Q$ hangen elk van de weg af; hun som niet.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 22.5 (Wat zij zegt)

Zij is het behoud van energie, met warmte erkend als een overdracht van energie (het schoepenradexperiment van Joule: een gemeten arbeid verhoogt de temperatuur van water altijd evenveel als een gemeten warmte). “ $U$ is een toestandsfunctie” betekent dat $\Delta U$ door begin- en eindtoestand vastligt — zodat een kringproces $\Delta U = 0$ en $W + Q = 0$ heeft: een motor die arbeid levert moet warmte ontvangen. De microscopische inhoud van $U$ is die van Definitie 20.10.

Definitie 22.6 (Enthalpie; warmtecapaciteiten)

De enthalpie $H = U + PV$ is een toestandsfunctie die past bij toestandsveranderingen bij constante druk. De warmtecapaciteiten bij constant volume en bij constante druk zijn

C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V, \qquad C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P ,

in $\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; per mol $C_{V,m}$ , $C_{P,m}$ ; per kilogram de soortelijke warmten $c_V$ , $c_P$ .

Propositie 22.7 (Warmte bij constant volume en bij constante druk)

Voor een systeem in rust dat alleen via drukkrachten arbeid uitwisselt:

isochore toestandsverandering: $W = 0$ en $Q_V = \Delta U$ ;
monobare toestandsverandering tussen twee toestanden bij de uitwendige druk $P_0$ : $Q_P = \Delta H$ .

Bewijs. Isochoor: $\dd V = 0$ . Monobaar: $W = -P_0(V_2 - V_1)$ , dus $Q = \Delta U + P_0\Delta V = \Delta(U + PV)$ omdat $P_1 = P_2 = P_0$ . ∎

Propositie 22.8 (Ideaal gas: $U$ , $H$ , de betrekking van Mayer)

Voor een ideaal gas hangen $U$ en $H$ alleen van $T$ af (de wetten van Joule): $\dd U = C_V\,\dd T$ , $\dd H = C_P\,\dd T$ , en

C_{P,m} - C_{V,m} = R, \qquad \gamma = \frac{C_P}{C_V}, \qquad C_{V,m} = \frac{R}{\gamma - 1}, \quad C_{P,m} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1} ;

$\gamma = 5/3$ voor eenatomige gassen, $7/5$ voor tweeatomige bij gewone temperaturen. Voor een gecondenseerde fase in het model van Propositie 20.13 geldt $C_P \approx C_V = C$ en $\dd U \approx \dd H = C\,\dd T$ .

Bewijs. $H = U + nRT$ ; differentieer naar $T$ . $C_{V,m} = \tfrac32 R$ of $\tfrac52 R$ volgens Propositie 20.11. ∎

22.3 Toestandsveranderingen van een ideaal gas

Propositie 22.9 (De vier standaardtoestandsveranderingen)

Voor $n$ mol ideaal gas:

isochoor: $W = 0$ , $Q = \Delta U = nC_{V,m}\Delta T$ ;
isobaar (quasistatisch): $W = -P\Delta V = -nR\Delta T$ , $Q = \Delta H = nC_{P,m}\Delta T$ ;
isotherm omkeerbaar: $\Delta U = 0$ , $W = -Q = -nRT\ln(V_2/V_1) = nRT\ln(P_2/P_1)$ ;
adiabatisch omkeerbaar: $Q = 0$ , $W = \Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$ , en langs de weg (de wet van Laplace)

$PV^\gamma = \text{const}, \qquad TV^{\gamma - 1} = \text{const}, \qquad T^\gamma P^{1 - \gamma} = \text{const} .$

Bewijs. Isochoor en isobaar: de vorige proposities. Isotherm: $W = -\int nRT\,\dd V/V$ . Adiabatisch: $\dd U = \delta W$ , dus $nC_{V,m}\dd T = -P\,\dd V = -nRT\,\dd V/V$ , zodat $\dd T/T = -(\gamma - 1)\dd V/V$ (met $R/C_{V,m} = \gamma - 1$ ); integreren geeft $TV^{\gamma - 1}$ constant; de andere vormen volgen uit $PV = nRT$ . ∎

Links: in het clapeyrondiagram is de bij een quasistatische compressie ontvangen arbeid de oppervlakte onder de weg; vanuit hetzelfde punt is een adiabaat steiler dan een isotherm (> 1): een gas dat zonder warmteverlies wordt samengedrukt wordt warmer en klimt naar een hogere isotherm. Rechts: de arbeid van de omgeving op een zuiger. — Links: in het clapeyrondiagram is de bij een quasistatische compressie ontvangen arbeid de oppervlakte onder de weg; vanuit hetzelfde punt is een adiabaat steiler dan een isotherm ( $\gamma > 1$ ): een gas dat zonder warmteverlies wordt samengedrukt wordt warmer en klimt naar een hogere isotherm. Rechts: de arbeid van de omgeving op een zuiger.

Voorbeeld 22.10 (Pomp en diesel)

Lucht ( $\gamma = 1.4$ ) adiabatisch samengedrukt van $1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ naar $7\,\mathrm{bar}$ (een fietspomp): $T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ — even $250{}^{\circ}\mathrm{C}$ , wat de cilinder voelt. Bij een compressieverhouding van $20$ in een diesel: $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$ , $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$ — boven de zelfontbrandingstemperatuur van de brandstof: de motor heeft geen vonk nodig (de weekendopgave doorloopt het hele kringproces).

Opmerking 22.11 (Onomkeerbare toestandsveranderingen)

Is de toestandsverandering niet quasistatisch, dan gelden de wet van Laplace en $W = -\int P\,\dd V$ niet; alleen $W = -\int P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$ en de eerste hoofdwet wel. Twee klassieke gevallen: een gas dat in vacuüm uitzet (expansie van Joule) ontvangt geen arbeid en, tussen adiabatische wanden, geen warmte — $\Delta U = 0$ , en een ideaal gas houdt zijn temperatuur; een gas dat plotseling wordt samengedrukt door een uitwendige druk die naar $P_2$ springt ontvangt $W = -P_2\Delta V$ , meer dan de omkeerbare arbeid naar dezelfde druk, en eindigt warmer (Oefening 22.11).

22.4 Calorimetrie

Methode 22.12 (Calorimetrische balans)

Lichamen die in een geïsoleerd vat bij constante (atmosferische) druk in thermisch contact worden gebracht wisselen alleen onderling warmte uit: in totaal $\Delta H = \sum Q_P = 0$ . Voor elk lichaam is $\Delta H = mc\,\Delta T$ (geen faseovergang) of $\pm mL$ bij een faseovergang op de bijbehorende temperatuur, met $L$ de latente warmte (smelt- of verdampingsenthalpie per massa-eenheid: water, $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ bij $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $L_v = 2260\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ bij $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ ). Schrijf de balans op, los op naar de eindtemperatuur, en ga na dat de aangenomen fase van elk lichaam daarmee verenigbaar is.

Voorbeeld 22.13 (IJs in water)

$50\,\mathrm{g}$ ijs van $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ in $200\,\mathrm{g}$ water van $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ : het smelten vergt $16.7\,\mathrm{kJ}$ ; het water kan $25.1\,\mathrm{kJ}$ afstaan door tot $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ af te koelen, dus smelt al het ijs en geeft de balans $0.250 \times 4180 \times (T_f - 0) = 25.1 - 16.7$ kJ $T_f = 8{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Was er $100\,\mathrm{g}$ ijs geweest, dan zou $33.4\,\mathrm{kJ}$ nodig zijn: er smelt maar een deel en $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$ — de controle doet ertoe.

Eén kilogram water verwarmen van ijs van -20 C tot stoom: de temperatuur pauzeert bij elke faseovergang terwijl de latente warmte wordt toegevoerd — 334\, kJ om te smelten, 2260\, kJ om te koken, veel meer dan de 418\, kJ die de vloeistof van 0\, naar 100 C brengt. — Eén kilogram water verwarmen van ijs van $-20{}^{\circ}\mathrm{C}$ tot stoom: de temperatuur pauzeert bij elke faseovergang terwijl de latente warmte wordt toegevoerd — $334\,\mathrm{kJ}$ om te smelten, $2260\,\mathrm{kJ}$ om te koken, veel meer dan de $418\,\mathrm{kJ}$ die de vloeistof van $0\,$ naar $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ brengt.

22.5 Oefeningen

Oefening 22.1 ★

Eén mol lucht ( $C_{P,m} = 29.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ) wordt bij constante druk van $300\,\mathrm{K}$ tot $400\,\mathrm{K}$ verwarmd. Ontvangen warmte, ontvangen arbeid en verandering van de inwendige energie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.1.

$Q = C_{P,m}\Delta T = 29.1 \times 100 = 2.91\,\mathrm{kJ}$ ; $W = -nR\Delta T = -0.83\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta U = Q + W = 2.08\,\mathrm{kJ} = C_{V,m}\Delta T$ .

Oefening 22.2 ★

Eén mol gas bij $300\,\mathrm{K}$ wordt isotherm en omkeerbaar samengedrukt van $2.0\,\mathrm{L}$ tot $0.50\,\mathrm{L}$ . Ontvangen arbeid, uitgewisselde warmte en $\Delta U$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.2.

$W = -nRT\ln(V_2/V_1) = -2494\ln(0.25) = +3.46\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta U = 0$ , dus $Q = -3.46\,\mathrm{kJ}$ (afgestaan aan het bad).

Oefening 22.3 ★

Lucht van $300\,\mathrm{K}$ en $1\,\mathrm{bar}$ wordt adiabatisch en omkeerbaar tot een tiende van haar volume samengedrukt. Eindtemperatuur en einddruk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.3.

$T_2 = T_1 \times 10^{\gamma - 1} = 300 \times 10^{0.4} = 754\,\mathrm{K}$ ; $P_2 = 10^{1.4} = 25\,\mathrm{bar}$ .

Oefening 22.4 ★

Geef $C_{V,m}$ , $C_{P,m}$ en $\gamma$ voor argon en voor stikstof. Waarom laat men voor vloeibaar water ( $c = 4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) het onderscheid tussen $c_P$ en $c_V$ vallen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.4.

Argon: $C_{V,m} = \tfrac32 R = 12.5$ , $C_{P,m} = \tfrac52 R = 20.8$ J/(mol K), $\gamma = 1.67$ ; stikstof: $20.8$ , $29.1$ , $\gamma = 1.40$ . Voor water is de uitzetting bij verwarming minuscuul, zodat de arbeid $P\,\dd V$ bij constante druk verwaarloosbaar is tegen de warmte: $c_P - c_V \approx 0$ .

Oefening 22.5 ★★

$200\,\mathrm{g}$ water van $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ wordt gemengd met $300\,\mathrm{g}$ van $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ in een geïsoleerde beker. Eindtemperatuur; wat verandert er als de beker zelf een warmtecapaciteit van $80\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ heeft en op $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ begint?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.5.

$T_f = (200 \times 80 + 300 \times 20)/500 = 44{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Met de beker: $(200 \times 4.18 \times 80 + (300 \times 4.18 + 80) \times 20)/(500 \times 4.18 + 80) = 43{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Oefening 22.6 ★★

$50\,\mathrm{g}$ ijs van $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $c_{\text{ijs}} = 2100\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) wordt in $200\,\mathrm{g}$ water van $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ gedaan. Eindtoestand en eindtemperatuur. Dezelfde vraag met $150\,\mathrm{g}$ ijs.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.6.

IJs: opwarmen tot $0$ : $0.050 \times 2100 \times 10 = 1.05\,\mathrm{kJ}$ ; smelten: $16.7\,\mathrm{kJ}$ ; samen $17.8\,\mathrm{kJ}$ . Het water kan $25.1\,\mathrm{kJ}$ afstaan tot $0$ : alles smelt; dan $0.250 \times 4180\,T_f = 25.1 - 17.8$ kJ: $T_f = 7{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Met $150\,\mathrm{g}$ : nodig $53.3\,\mathrm{kJ}$ $>$ $25.1\,\mathrm{kJ}$ : er smelt maar $(25.1 - 3.15)/334 = 66\,\mathrm{g}$ ijs, $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $84\,\mathrm{g}$ ijs blijft over.

Oefening 22.7 ★★

Een gas doorloopt een rechthoekig kringproces in het clapeyrondiagram: $(V_1, P_1) \to (V_2, P_1) \to (V_2, P_2) \to (V_1, P_2) \to (V_1, P_1)$ met $V_2 > V_1$ , $P_2 > P_1$ . Ontvangen arbeid over het kringproces, als functie van de oppervlakte; teken, en de betekenis van dat teken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.7.

$W = -P_1(V_2 - V_1) + 0 - P_2(V_1 - V_2) + 0 = (P_2 - P_1)(V_2 - V_1) > 0$ : het kringproces wordt tegen de klok in doorlopen (uitzetten bij lage druk, samendrukken bij hoge), dus ontvangt het gas netto arbeid, gelijk aan de ingesloten oppervlakte; met de klok mee zou het haar leveren — een motor.

Oefening 22.8 ★★

Een fietspomp perst lucht van $1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ naar $7\,\mathrm{bar}$ , snel genoeg om adiabatisch te zijn. Bereikte temperatuur; waarom de pomp warm wordt; en waarom de banddruk na het pompen iets zakt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.8.

$T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ . De hete samengeperste lucht verwarmt de cilinder bij elke slag door geleiding. In de band koelt de lucht bij vast volume tot de omgevingstemperatuur af: $P \propto T$ , de druk zakt met de verhouding van de temperaturen — even bijpompen.

Oefening 22.9 ★★

Een ideaal gas zet uit in een leeggepompt, geïsoleerd vat (expansie van Joule). Arbeid, warmte, $\Delta U$ , $\Delta T$ . Is de toestandsverandering omkeerbaar? Wat zou een echt gas doen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.9.

$W = 0$ (geen uitwendige druk om tegenin te duwen), $Q = 0$ : $\Delta U = 0$ , en dus $\Delta T = 0$ voor een ideaal gas. Onomkeerbaar: het gas stroomt nooit vanzelf terug. Een echt gas, waarvan de moleculen elkaar aantrekken, koelt licht af (een deel van de kinetische energie wordt potentiële energie als zij uit elkaar gaan).

Oefening 22.10 ★★★

$1.0\,\mathrm{kg}$ water koken bij $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $1\,\mathrm{atm}$ (stoomvolume $1.67\,\mathrm{m}^{3}$ ). Toegevoerde warmte, met de atmosfeer uitgewisselde arbeid, $\Delta U$ . Waar gaat het grootste deel van de latente warmte heen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.10.

$Q = L_v = 2.26\,\mathrm{MJ}$ ; $W = -P(V_g - V_l) = -1.013\times10^5 \times 1.67 = -0.17\,\mathrm{MJ}$ ; $\Delta U = 2.09\,\mathrm{MJ}$ : $93\%$ van de warmte gaat naar het uit elkaar halen van de moleculen (inwendige energie), $7\%$ naar het wegduwen van de atmosfeer.

Oefening 22.11 ★★★

Eén mol tweeatomig gas bij $300\,\mathrm{K}$ en $1\,\mathrm{bar}$ , in een geïsoleerde cilinder, wordt samengedrukt door de uitwendige druk plotseling op $5\,\mathrm{bar}$ te zetten en op evenwicht te wachten. Eindtemperatuur en eindvolume (eerste hoofdwet met $W = -P_{\mathrm{ext}}\Delta V$ ); vergelijk met de omkeerbare adiabatische compressie naar $5\,\mathrm{bar}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.11.

$W = -P_2(V_2 - V_1)$ , $\Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$ , $V_2 = nRT_2/P_2$ , $V_1 = nRT_1/P_1$ : $\tfrac52(T_2 - 300) = -T_2 + 300 \times 5$ , $3.5T_2 = 2250$ , $T_2 = 643\,\mathrm{K}$ , $V_2 = 10.7\,\mathrm{L}$ . Omkeerbaar: $T_2 = 300 \times 5^{0.286} = 475\,\mathrm{K}$ , $V_2 = 7.9\,\mathrm{L}$ . De plotselinge compressie verricht meer arbeid op het gas (de volle $5\,\mathrm{bar}$ werkt vanaf het begin) en eindigt warmer en minder samengedrukt.

Oefening 22.12 ★★★

Geluid is een snelle compressie en dus adiabatisch: zijn snelheid is $c = \sqrt{\gamma P/\rho}$ (de isotherme waarde $\sqrt{P/\rho}$ was de vergissing van Newton). Bereken beide voor lucht bij $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ en vergelijk met de gemeten $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Toon aan dat $c = \sqrt{\gamma RT/M}$ en vergelijk met de kwadratisch gemiddelde snelheid uit Hoofdstuk 20.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.12.

$\rho = PM/RT = 1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $\sqrt{\gamma P/\rho} = \sqrt{1.4 \times 1.013\times10^5/1.20} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\sqrt{P/\rho} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $15\%$ te laag. Met $P/\rho = RT/M$ : $c = \sqrt{\gamma RT/M}$ ; tegen $u = \sqrt{3RT/M}$ = $502\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $c/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$ .

22.6 Probleem: Van de fietspomp naar de dieselmotor

Probleem 22.1

Weekendopgave — een handpomp die de vingers verbrandt, een cilinder die zijn eigen brandstof ontsteekt, en een stalen kogel die op een luchtkussen stuitert: de eerste hoofdwet in drie compressies

Lucht: ideaal tweeatomig gas, $\gamma = 1.40$ , $C_{V,m} = \tfrac52 R$ , $C_{P,m} = \tfrac72 R$ , $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ . Begintoestand overal: $P_1 = 1.00\,\mathrm{bar}$ , $T_1 = 300\,\mathrm{K}$ .

Deel I — De fietspomp. De cilinder van de pomp heeft een volume $V_1 = 212\,\mathrm{cm}^{3}$ ; de lucht erin wordt omkeerbaar en adiabatisch samengedrukt tot zij de banddruk van $7.0\,\mathrm{bar}$ bereikt.

Hoeveelheid lucht in de cilinder.
Volume aan het eind van de compressie.
Temperatuur aan het eind van de compressie.
Arbeid die de lucht bij één slag ontvangt.
De band ( $2.0\,\mathrm{L}$ ) moet bij $300\,\mathrm{K}$ van $1\,\mathrm{bar}$ naar $7\,\mathrm{bar}$ worden gebracht: hoeveel slagen, en hoeveel arbeid in totaal (neem de arbeid per slag constant)?
De hete lucht koelt daarna in de band af tot $300\,\mathrm{K}$ : wat gebeurt er met de banddruk, en wat doet de fietser?
Vergelijk de adiabatische arbeid per slag met de arbeid van een isotherme compressie naar dezelfde $7\,\mathrm{bar}$ . Waarom is de isotherme arbeid groter, hoewel het gas kouder eindigt?

Deel II — De dieselcompressie. Een cilinder met $V_1 = 0.50\,\mathrm{L}$ drukt zijn lucht omkeerbaar en adiabatisch met een factor $20$ samen.

Hoeveelheid lucht, en temperatuur $T_2$ na de compressie.
Druk $P_2$ .
De brandstof ontbrandt vanzelf boven ongeveer $500\,\mathrm{K}$ : verklaar waarom een diesel geen bougie nodig heeft, en waarom een benzinemotor (verhouding $\approx 10$ , zie Oefening 22.3) niet vanzelf mag ontbranden.
Arbeid die de lucht tijdens de compressie ontvangt.
Bij $3000\,\mathrm{rpm}$ comprimeert één cilinder $25$ keer per seconde: vermogen dat de compressie opneemt (het wordt later in het kringproces teruggegeven).
Echte compressies zijn snel (onomkeerbaarheid) en verliezen warmte aan de wanden: welke kant op verschuift elk effect $T_2$ ?

Deel III — Verbranding en expansie. Boven in de slag verbrandt $20\,\mathrm{mg}$ brandstof (verbrandingswaarde $43\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ) terwijl de zuiger begint te dalen, bij constante druk $P_2$ ; daarna zet het gas omkeerbaar en adiabatisch weer uit tot $V_1$ . Behandel het gas overal als lucht.

Warmte die de brandstof vrijmaakt.
Temperatuur $T_3$ en volume $V_3$ aan het eind van de isobare verbranding.
Arbeid die tijdens de isobare fase wordt uitgewisseld (let op het teken!).
Temperatuur $T_4$ aan het eind van de adiabatische expansie, en de arbeid die daarbij wordt uitgewisseld.
Nettoarbeid die het gas over de vier slagen levert, en de verhouding tot de vrijgemaakte warmte (het ideale rendement).
Vergelijk dat rendement met $1 - T_1/T_3$ , de grens die Hoofdstuk 24 zal vaststellen voor elke motor die tussen deze uiterste temperaturen werkt.
Warmte die met de uitlaat wordt afgevoerd, met de eerste hoofdwet over het kringproces; controleer de balans.

Deel IV — $\gamma$ meten met een stuiterende kogel. Een stalen kogel met massa $m = 16.5\,\mathrm{g}$ past in een verticale glazen buis met doorsnede $S = 2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ die onderaan wordt afgesloten door een vat met $V = 10\,\mathrm{L}$ lucht bij $P = 1.0\,\mathrm{bar}$ ; over $x$ uit zijn evenwichtsstand verplaatst, gaat hij trillen.

Waarom mogen de compressies en expansies van de lucht als adiabatisch worden opgevat? Schrijf het verband op tussen een kleine verplaatsing $x$ en de drukverandering $\dd P$ (de wet van Laplace, gelineariseerd).
Leid daaruit de terugdrijvende kracht op de kogel af en toon aan dat zijn beweging harmonisch is, met $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$ .
Bereken de periode, en de waarde van $\gamma$ die men uit een gemeten periode van $1.10\,\mathrm{s}$ zou afleiden.
Waarom vertekenen wrijving tussen kogel en buis, en lekkende lucht, het resultaat, en welke kant op?
Vat de drie compressies samen: welke grootheid de eerste hoofdwet in elk ervan behield, en wat de adiabatische exponent $\gamma$ bepaalde.

Oplossing

Oplossing van Probleem 22.1.

1. $n = P_1V_1/RT_1 = 10^5 \times 2.12\times10^{-4}/2494 = 8.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}$ .

2. $PV^\gamma$ constant: $V_2 = V_1(P_1/P_2)^{1/\gamma} = 212 \times 7^{-0.714} = 53\,\mathrm{cm}^{3}$ .

3. $T_2 = T_1(P_2/P_1)^{(\gamma - 1)/\gamma} = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ .

4. $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 8.5\times10^{-3} \times 20.8 \times 223 = 39\,\mathrm{J}$ .

5. Toe te voegen lucht: $\Delta n = \Delta P\,V/RT = 6\times10^5 \times 2\times10^{-3}/ 2494 = 0.48\,\mathrm{mol}$ : $0.48/8.5\times10^{-3} = 57$ slagen, ongeveer $2.2\,\mathrm{kJ}$ — een minuut eerlijk werk.

6. Bij constant volume geldt $P \propto T$ : de druk zakt terwijl de lucht afkoelt (tot $300/523$ voor de lucht van de laatste slag); de fietser geeft na een pauze nog een paar slagen.

7. $W_{\text{iso}} = nRT\ln(P_2/P_1) = 8.5\times10^{-3} \times 2494 \times 1.95 = 41\,\mathrm{J} > 39\,\mathrm{J}$ : de isotherme weg drukt het gas verder samen (tot $30\,\mathrm{cm}^{3}$ in plaats van $53\,\mathrm{cm}^{3}$ ) om $7\,\mathrm{bar}$ te bereiken, omdat het koel blijft — meer volume doorlopen, meer arbeid.

8. $n = 10^5 \times 5\times10^{-4}/2494 = 0.020\,\mathrm{mol}$ ; $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$ .

9. $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$ .

10. $994\,\mathrm{K}$ ligt ver boven het zelfontbrandingspunt van de brandstof: de ingespoten brandstof ontsteekt bij aanraking. Een benzinemotor perst zijn lucht–brandstofmengsel maar tot ongeveer $750\,\mathrm{K}$ samen, zodat het niet vóór de vonk ontbrandt; een te hoge verhouding geeft “pingelen”.

11. $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 694 = 289\,\mathrm{J}$ .

12. $25 \times 289 = 7.2\,\mathrm{kW}$ per cilinder, opgeslagen in het hete gas en teruggegeven bij de expansie.

13. De onomkeerbaarheid (het gas volgt de quasistatische weg niet; er wordt extra arbeid gedissipeerd) verhoogt $T_2$ ; warmteverlies aan de wanden verlaagt haar. In een echte motor wint het tweede meestal: $T_2$ ligt iets onder de ideale waarde.

14. $Q = 20\times10^{-6} \times 43\times10^6 = 860\,\mathrm{J}$ .

15. Isobaar: $Q = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$ : $T_3 - T_2 = 860/(0.020 \times 29.1) = 1480\,\mathrm{K}$ , $T_3 = 2470\,\mathrm{K}$ ; $V_3 = V_2T_3/T_2 = 25 \times 2.48 = 62\,\mathrm{cm}^{3}$ .

16. $W = -P_2(V_3 - V_2) = -66\times10^5 \times 37\times10^{-6} = -244\,\mathrm{J}$ : door het gas geleverde arbeid.

17. $T_4 = T_3(V_3/V_1)^{\gamma - 1} = 2470 \times (0.124)^{0.4} = 1070\,\mathrm{K}$ ; $W = nC_{V,m}(T_4 - T_3) = 0.020 \times 20.8 \times (-1400) = -582\,\mathrm{J}$ .

18. Netto geleverde arbeid $= 244 + 582 - 289 = 537\,\mathrm{J}$ ; verhouding $537/860 = 62\%$ (het ideale dieselrendement bij deze instellingen; echte motoren halen ongeveer $40\%$ ).

19. $1 - 300/2470 = 88\%$ : het ideale dieselkringproces blijft ruim onder de grens van Carnot, omdat het zijn warmte over een reeks temperaturen ontvangt en niet bij de hoogste.

20. Over een kringproces is $\Delta U = 0$ : $Q_{\text{uit}} = -(860 - 537) = -323\,\mathrm{J}$ , dus $323\,\mathrm{J}$ verdwijnt met de uitlaat; controle: $nC_{V,m}(T_4 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 770 = 320\,\mathrm{J}$ .

21. De trilling is snel (een seconde) vergeleken met warmtegeleiding door $10\,\mathrm{L}$ lucht: adiabatisch. Linearisering van $PV^\gamma$ geeft $\dd P/P = -\gamma\,\dd V/V = -\gamma Sx/V$ .

22. Kracht op de kogel $S\,\dd P = -\gamma PS^2x/V$ : $m\ddot x = -(\gamma PS^2/V)x$ , harmonisch, $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$ .

23. $\omega_0^2 = 1.4 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}/(0.0165 \times 0.010) = 33.9\,\mathrm{s}^{-2}$ : $T = 2\pi/5.83 = 1.08\,\mathrm{s}$ . Uit $T = 1.10\,\mathrm{s}$ : $\gamma = 4\pi^2mV/(T^2PS^2) = 4\pi^2 \times 0.0165 \times 0.010/(1.21 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}) = 1.35$ .

24. Wrijving dempt de beweging en verschuift, als zij droog is, het evenwicht; lekkage langs de kogel laat lucht ontsnappen tijdens een compressie, wat de terugdrijvende kracht verkleint: beide verlengen de periode en drukken $\gamma$ omlaag — zoals de $1.35$ hierboven.

25. Pomp en diesel: $Q = 0$ , dus $\Delta U = W$ — arbeid werd inwendige energie en temperatuur, volgens de wet van Laplace met exponent $\gamma$ . Kogel: een snelle compressie is adiabatisch, en $\gamma$ bepaalt de stijfheid van een luchtveer.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst