Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

21Hydrostatica

Een onderzeeër op driehonderd meter draagt op elke vierkante meter van zijn romp het gewicht van een volgeladen vrachtwagen. Een stuwdam houdt een meer tegen met een muur die onderaan dik is en bovenaan dun, om een reden die niets te maken heeft met de lengte van het meer. Een schip van honderdduizend ton drijft omdat het honderdduizend ton water opzijduwt, en het zakt een handbreedte dieper wanneer het van zee een rivier op vaart. Elk hiervan is een gevolg van één enkele betrekking — in een fluïdum in rust neemt de druk naar beneden toe met $\rho g$ — en dit hoofdstuk leidt haar af, past haar toe op vloeistoffen en op de atmosfeer, en leidt eruit de kracht op een wand en de wet van Archimedes af.

Een onderzeeër bij een noodopstijgingsoefening (US Navy): met leeggeblazen ballasttanks is hij lichter dan het water dat hij verdringt en komt hij omhoog — de wet van Archimedes bij 7000\, t. — Een onderzeeër bij een noodopstijgingsoefening (US Navy): met leeggeblazen ballasttanks is hij lichter dan het water dat hij verdringt en komt hij omhoog — de wet van Archimedes bij $7000\,\mathrm{t}$ .

21.1 Druk in een fluïdum in rust

Propositie 21.1 (Isotropie van de druk)

In een fluïdum in rust is de kracht die het fluïdum uitoefent op een klein oppervlak $\dd S$ in een punt $M$ gelijk aan $\dd\vect F = P(M)\,\dd S\,\vect n$ , loodrecht op het oppervlak en ernaartoe gericht, met een druk $P(M)$ die van het punt afhangt maar niet van de oriëntatie van het oppervlak.

Gedeeltelijk bewijs. Een fluïdum in rust draagt geen tangentiële kracht over (anders zou het stromen): de kracht staat loodrecht. Beschouw een piepklein driehoekig prisma fluïdum in $M$ met vlakken van verschillende oriëntatie: het is in evenwicht onder de drukkrachten op zijn vlakken en zijn gewicht; het gewicht schaalt met het volume (derde macht van de afmeting), de drukkrachten met oppervlakken (tweede macht), zodat voor een klein genoeg prisma alleen de drukkrachten tellen, en hun evenwicht in elke richting dezelfde $P$ op elk vlak vereist. ∎

Stelling 21.2 (Grondbetrekking van de hydrostatica)

In een fluïdum in rust in het homogene zwaartekrachtveld $\vect g = -g\vect e_z$ ( $z$ naar boven) hangt de druk alleen van $z$ af en geldt

\frac{\dd P}{\dd z} = -\rho g ,

waarin $\rho$ de dichtheid van het fluïdum op dat niveau is. De druk neemt naar beneden toe; vlakken van gelijke druk (isobaren) zijn horizontaal, en het vrije oppervlak van een vloeistof dus ook.

Bewijs. Neem een horizontale schijf fluïdum met oppervlak $S$ tussen $z$ en $z + \dd z$ : zij wordt van onderen omhoog geduwd door $P(z)S$ , van boven omlaag door $P(z + \dd z)S$ , en omlaag getrokken door haar gewicht $\rho gS\,\dd z$ . In rust: $P(z)S - P(z + \dd z)S - \rho gS\,\dd z = 0$ . Horizontale schijven fluïdum ondervinden geen horizontale zwaartekracht, dus is $P$ horizontaal uniform. ∎

Links: het evenwicht van een horizontale schijf fluïdum — de druk eronder moet die erboven overtreffen met het gewicht van de schijf per oppervlakte-eenheid. Rechts: communicerende vaten — een horizontale lijn ontmoet overal in een samenhangende vloeistof dezelfde druk, zodat de vrije oppervlakken op één niveau staan, wat de vormen ook zijn.

Gevolg 21.3 (Onsamendrukbaar fluïdum)

In een vloeistof met uniforme dichtheid $\rho$ is de druk op diepte $h$ onder een punt waar zij $P_0$ is

P = P_0 + \rho gh .

Water: $1\,\mathrm{bar}$ meer per $10\,\mathrm{m}$ . Twee punten van een samenhangende vloeistof op hetzelfde niveau staan onder dezelfde druk; de vrije oppervlakken van communicerende vaten staan op één niveau; een druk die ergens op een afgesloten vloeistof wordt uitgeoefend plant zich onverzwakt naar elk punt voort (het beginsel van Pascal).

Bewijs. Integreer $\dd P/\dd z = -\rho g$ met constante $\rho$ ; de rest volgt uit de horizontaliteit van de isobaren en de eenduidigheid van $P$ op een niveau. ∎

Voorbeeld 21.4 (Manometers en persen)

Een U-buis met kwik ( $\rho = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) waarvan de kolommen $h = 760\,\mathrm{mm}$ verschillen meet een drukverschil $\rho gh = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ — de atmosfeer, die een waterkolom van $10.3\,\mathrm{m}$ draagt. Een hydraulische pers: een kracht $F_1$ op een zuiger met oppervlak $S_1$ verhoogt de druk overal met $F_1/S_1$ ; op de grote zuiger $S_2$ levert dat $F_2 = F_1S_2/S_1$ — vijftig keer meer bij vijftig keer het oppervlak, tegen de prijs van vijftig keer minder slag (de energie blijft behouden: $F_1d_1 = F_2d_2$ ).

21.2 De atmosfeer

Propositie 21.5 (Isotherme atmosfeer)

Voor een ideaal gas met molaire massa $M$ bij uniforme temperatuur $T$ in een homogeen zwaartekrachtveld geldt

P(z) = P_0\,\eu^{-z/H}, \qquad H = \frac{RT}{Mg} ,

de schaalhoogte: ongeveer $8\,\mathrm{km}$ voor lucht; de druk halveert elke $H\ln2 \approx 5.5\,\mathrm{km}$ .

Bewijs. $\rho = PM/RT$ (toestandsvergelijking), dus $\dd P/\dd z = -(Mg/RT)P$ : een lineaire eerste-ordevergelijking, $P = P_0\eu^{-Mgz/RT}$ . ∎

Voorbeeld 21.6 (IJle lucht)

Met $T = 260\,\mathrm{K}$ (een gemiddelde over de onderste atmosfeer) is $H = 7.6\,\mathrm{km}$ : $P = 0.52P_0$ op $5000\,\mathrm{m}$ , $0.31P_0$ op de top van de Everest — dicht bij de gemeten $0.54$ en $0.33$ ; de werkelijke atmosfeer koelt af met de hoogte, waarmee het volume van jaar 2 rekening houdt. Het model zegt ook waarom de zee anders is: water is achthonderd keer dichter en vrijwel onsamendrukbaar, zodat zijn druk lineair stijgt, een bar per tien meter, zonder schaalhoogte.

De isotherme atmosfeer: druk (en dichtheid) dalen exponentieel met de hoogte en halveren elke 5.5\, km. Negen tiende van de lucht ligt onder 17\, km. — De isotherme atmosfeer: druk (en dichtheid) dalen exponentieel met de hoogte en halveren elke $5.5\,\mathrm{km}$ . Negen tiende van de lucht ligt onder $17\,\mathrm{km}$ .

21.3 Krachten op wanden

Propositie 21.7 (Kracht op een verticale wand)

Een vloeistof met diepte $h$ tegen een verticale rechthoekige wand met breedte $L$ (de atmosferische druk werkt op beide zijden en valt weg) oefent de horizontale kracht

F = \tfrac12\rho gh^2L ,

uit, gelijkwaardig aan één kracht die aangrijpt in het drukmiddelpunt, op diepte $2h/3$ — de resultante grijpt laag aan, waar de druk het grootst is.

Bewijs. Op diepte $x$ is de overdruk $\rho gx$ ; op de strook met hoogte $\dd x$ is de kracht $\rho gxL\,\dd x$ ; integreer van $0$ tot $h$ . Haar moment om de lijn van het oppervlak is $\int_0^h\rho gx^2L\,\dd x = \tfrac13\rho gh^3L$ ; deling door $F$ geeft de arm $2h/3$ . ∎

De druk op een stuwdam groeit lineair met de diepte (pijlen), dus grijpt de resultante op twee derde van de diepte aan: de muur moet onderaan het dikst zijn. De kracht hangt af van h en L, niet van hoeveel water erachter ligt. — De druk op een stuwdam groeit lineair met de diepte (pijlen), dus grijpt de resultante op twee derde van de diepte aan: de muur moet onderaan het dikst zijn. De kracht hangt af van $h$ en $L$ , niet van hoeveel water erachter ligt.

Voorbeeld 21.8 (Een stuwdam)

$h = 20\,\mathrm{m}$ , $L = 100\,\mathrm{m}$ : $F = \tfrac12 \times 1000 \times 9.81 \times 400 \times 100 = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ — twintigduizend ton, aangrijpend $13\,\mathrm{m}$ onder het oppervlak, en even groot of het meer erachter nu een vijver of een fjord is: de hydrostatische paradox.

21.4 De wet van Archimedes

Stelling 21.9 (Archimedes)

Een lichaam dat in een fluïdum in rust is ondergedompeld ondervindt van de drukkrachten een resultante — de opwaartse kracht — die even groot is als en tegengesteld aan het gewicht van het fluïdum dat het verdringt,

\vect\Pi = -\rho_{\text{fluïdum}}V_{\text{ondergedompeld}}\,\vect g ,

aangrijpend in het massamiddelpunt van het verdrongen fluïdum (het drukkingspunt).

Bewijs. De drukkrachten op het oppervlak van het lichaam hangen alleen af van de vorm van dat oppervlak en van het fluïdum eromheen. Vervang het lichaam in gedachten door fluïdum in rust dat hetzelfde volume vult: dat fluïdum is in evenwicht onder zijn gewicht en dezelfde drukkrachten, dus houden de drukkrachten zijn gewicht in evenwicht — zij tellen op tot $-\rho V\vect g$ , aangrijpend door zijn massamiddelpunt. Haal het gedachte-experiment weg; de drukkrachten zijn onveranderd. ∎

Gevolg 21.10 (Drijven)

Een lichaam met dichtheid $\rho_b$ drijft in een fluïdum met dichtheid $\rho_f > \rho_b$ met het deel $\rho_b/\rho_f$ van zijn volume ondergedompeld; is $\rho_b > \rho_f$ , dan zinkt het, met een schijnbaar gewicht $(\rho_b - \rho_f)Vg$ .

Bewijs. Gewicht $\rho_bVg$ gelijk aan de opwaartse kracht $\rho_fV_{\text{ond}}g$ . ∎

Een drijvend lichaam: zijn gewicht, aangrijpend in zijn massamiddelpunt G, houdt de opwaartse kracht in evenwicht, die aangrijpt in het drukkingspunt C (het midden van het ondergedompelde volume). IJs (= 917\, kg/ m3) in zeewater (1025\, kg/ m3): 89\% onder het oppervlak. — Een drijvend lichaam: zijn gewicht, aangrijpend in zijn massamiddelpunt $G$ , houdt de opwaartse kracht in evenwicht, die aangrijpt in het drukkingspunt $C$ (het midden van het ondergedompelde volume). IJs ( $\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) in zeewater ( $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): $89\%$ onder het oppervlak.

Voorbeeld 21.11 (Drie opwaartse krachten)

Een areometer is een verzwaarde buis die zakt tot zij haar eigen gewicht verdringt: hoe dichter de vloeistof, hoe minder zij zakt — een dichtheidsmeter die men op de steel afleest. Een heteluchtballon van $2800\,\mathrm{m}^{3}$ bij $373\,\mathrm{K}$ verdringt $3.4\,\mathrm{t}$ koude lucht en weegt $2.6\,\mathrm{t}$ hete lucht: $0.7\,\mathrm{t}$ draagkracht (Probleem 20.1). Een schip van $100\,000\,\mathrm{t}$ verdringt $97\,600\,\mathrm{m}^{3}$ zeewater; in zoet water ( $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) moet het $2.5\%$ meer verdringen en zakt het dieper — vandaar de lastlijnmerken op zijn romp.

Opmerking 21.12 (Stabiliteit)

Een drijvend lichaam dat over een kleine hoek kantelt richt zich weer op als de opwaartse kracht, die nu aangrijpt in het verschoven midden van het nieuwe ondergedompelde volume, een oprichtend moment geeft — wat gebeurt wanneer het metacentrum (het punt waar de werklijn van de opwaartse kracht de as van het lichaam snijdt) boven $G$ ligt. Ballast laag in de romp verlaagt $G$ en maakt het schip stabiel; een topzware boot slaat om.

21.5 Oefeningen

Oefening 21.1 ★

Absolute druk op $10\,\mathrm{m}$ , $100\,\mathrm{m}$ en $1\,\mathrm{km}$ onder zee ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); kracht op een patrijspoort van $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ op $300\,\mathrm{m}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.1.

$P = P_0 + \rho gh$ : $2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ( $2.0\,\mathrm{bar}$ ), $1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$ ( $11\,\mathrm{bar}$ ), $1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}$ ( $101\,\mathrm{bar}$ ). Op $300\,\mathrm{m}$ : $P = 3.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$ , kracht $3.1\,\mathrm{MN}$ op $1\,\mathrm{m}^{2}$ (netto, tegen $1\,\mathrm{atm}$ binnen: $3.0\,\mathrm{MN}$ ).

Oefening 21.2 ★

Hoogte van een kwikkolom die $1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ in evenwicht houdt; van een waterkolom. Waarom kan een zuigpomp water niet meer dan ongeveer $10\,\mathrm{m}$ optillen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.2.

$h = P/\rho g$ : kwik $0.760\,\mathrm{m}$ ; water $10.3\,\mathrm{m}$ . Een pomp kan hoogstens een vacuüm boven het water maken: de atmosfeer duwt de kolom dan $10.3\,\mathrm{m}$ omhoog, niet meer.

Oefening 21.3 ★

Een hydraulische krik: $100\,\mathrm{N}$ op een zuiger van $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ , last op een zuiger van $200\,\mathrm{cm}^{2}$ ; afstanden die elk aflegt als de kleine zuiger $20\,\mathrm{cm}$ beweegt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.3.

$F_2 = F_1S_2/S_1 = 10\,\mathrm{kN}$ (één ton); $d_2 = d_1S_1/S_2 = 2.0\,\mathrm{mm}$ (hetzelfde verdrongen volume, dezelfde arbeid).

Oefening 21.4 ★

Een U-buis bevat water; in één arm wordt olie ( $\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) gegoten, die een kolom van $12\,\mathrm{cm}$ vormt. Hoogteverschil tussen de twee vrije oppervlakken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.4.

Dezelfde druk op het niveau van het grensvlak olie–water in beide armen: $\rho_og h_o = \rho_wgh_w$ , $h_w = 0.85 \times 12 = 10.2\,\mathrm{cm}$ water boven dat niveau in de andere arm; het olieoppervlak staat $12 - 10.2 = 1.8\,\mathrm{cm}$ hoger.

Oefening 21.5 ★★

Schaalhoogte van de atmosfeer bij $273\,\mathrm{K}$ ; druk op $5000\,\mathrm{m}$ en op $8848\,\mathrm{m}$ ; hoogte waarop $P = P_0/2$ . Vergelijk met de waarden uit Hoofdstuk 20.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.5.

$H = RT/Mg = 8.314 \times 273/(0.029 \times 9.81) = 8.0\,\mathrm{km}$ ; $P/P_0 = \eu^{-z/H}$ : $0.54$ op $5\,\mathrm{km}$ , $0.33$ op $8848\,\mathrm{m}$ ; de helft bij $H\ln2 = 5.5\,\mathrm{km}$ — de getallen uit Hoofdstuk 20.

Oefening 21.6 ★★

Een rechthoekige stuwdam van $100\,\mathrm{m}$ breed houdt $20\,\mathrm{m}$ water tegen. Totale kracht, diepte van het drukmiddelpunt en het moment van het water om de voet van de dam. Waarom is een stuwdam naar het water toe gekromd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.6.

$F = \tfrac12\rho gh^2L = 1.96 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ ; drukmiddelpunt op $13.3\,\mathrm{m}$ diepte, dat wil zeggen $6.7\,\mathrm{m}$ boven de voet; moment om de voet $F \times 6.7 = 1.3 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . De dam naar het water toe krommen zet de stuwkracht om in druk in de boog, die naar de dalwanden wordt afgevoerd.

Oefening 21.7 ★★

Welk deel van een ijsberg ligt onder het oppervlak (ijs $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , zeewater $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ )? En van een boomstam met dichtheid $600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ in zoet water? Hoeveel mensen van $75\,\mathrm{kg}$ kan een vlot van $2.0\,\mathrm{m}^{3}$ van dat hout dragen voordat het dek onder water staat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.7.

$917/1025 = 89\%$ ; boomstam $60\%$ . Vlot: opwaartse kracht bij volledige onderdompeling $1000 \times 2.0 \times 9.81 = 19.6\,\mathrm{kN}$ , eigen gewicht $11.8\,\mathrm{kN}$ : $7.8\,\mathrm{kN}$ over, tien mensen… de tiende met natte voeten: negen om droog te blijven ( $800\,\mathrm{kg}$ ).

Oefening 21.8 ★★

Een areometer met massa $20\,\mathrm{g}$ en een steel met doorsnede $0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ drijft in water met $4.0\,\mathrm{cm}$ steel boven water. Hoeveel steel steekt er in pekel met dichtheid $1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ boven uit? Gevoeligheid (cm per eenheid relatieve dichtheid)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.8.

Ondergedompeld volume $m/\rho$ : water $20\,\mathrm{cm}^{3}$ ; pekel $20/1.1 = 18.2\,\mathrm{cm}^{3}$ , $1.8\,\mathrm{cm}^{3}$ minder, dus $1.8/0.50 = 3.6\,\mathrm{cm}$ meer steel: $7.6\,\mathrm{cm}$ steekt boven water uit. Gevoeligheid $\approx m/(\rho^2S) \approx 40\,\mathrm{cm}$ per eenheid relatieve dichtheid ( $3.6\,\mathrm{cm}$ per $0.1$ ).

Oefening 21.9 ★★

Een onderzeeër met volume $3000\,\mathrm{m}^{3}$ heeft met lege ballasttanks een massa van $2800\,\mathrm{t}$ . Welk deel steekt aan de oppervlakte boven het zeewater uit? Hoeveel water moet hij innemen om te zweven, en wat gebeurt er als hij daarna een zoetwaterestuarium binnenvaart?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.9.

Verdrongen volume $2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$ : $268\,\mathrm{m}^{3}$ ( $9\%$ ) steekt boven water uit. Zwevend: massa $1025 \times 3000 = 3075\,\mathrm{t}$ : neem $275\,\mathrm{t}$ in. Zoet water: de opwaartse kracht zakt tot $3000\,\mathrm{t}$ : $75\,\mathrm{t}$ te zwaar — hij zinkt tenzij $75\,\mathrm{t}$ wordt weggepompt.

Oefening 21.10 ★★★

Een kinderballon bevat $10\,\mathrm{L}$ helium ( $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) bij $1\,\mathrm{bar}$ en $293\,\mathrm{K}$ ; het rubber weegt $3.0\,\mathrm{g}$ . Nettodraagkracht; massa touw die hij kan dragen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.10.

Verdrongen lucht: $10^{-2} \times 1.20 = 12.0\,\mathrm{g}$ ; helium binnenin $12.0 \times 4/29 = 1.7\,\mathrm{g}$ ; rubber $3.0\,\mathrm{g}$ : nettodraagkracht $7.3\,\mathrm{g}$ — zeven meter licht touw.

Oefening 21.11 ★★★

Bewijs dat het drukmiddelpunt op een verticale rechthoekige wand op $2h/3$ ligt door het moment van de drukkrachten om de lijn van het oppervlak te berekenen. Waar ligt het voor een wand die slechts gedeeltelijk onder water staat, zeg van diepte $h_1$ tot $h_2$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.11.

Moment $\int_0^h\rho gx\cdot xL\,\dd x = \rho gLh^3/3$ , kracht $\rho gLh^2/2$ : arm $2h/3$ . Van $h_1$ tot $h_2$ : moment $\rho gL(h_2^3 - h_1^3)/3$ , kracht $\rho gL(h_2^2 - h_1^2)/2$ : diepte $\frac23(h_2^3 - h_1^3)/(h_2^2 - h_1^2)$ .

Oefening 21.12 ★★★

Een cilindrische areometer (massa $m$ , doorsnede $S$ ) die in een vloeistof met dichtheid $\rho$ drijft wordt over $x$ omlaag geduwd en losgelaten. Toon aan dat zij harmonisch trilt en geef de periode; bereken die voor $m = 20\,\mathrm{g}$ , $S = 0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ , water. (Voorbeeld 14.3 opnieuw bekeken.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.12.

Een extra onderdompeling $x$ voegt de opwaartse kracht $\rho gSx$ toe: $m\ddot x = -\rho gSx$ , $\omega_0^2 = \rho gS/m$ , $T = 2\pi\sqrt{m/\rho gS} = 2\pi\sqrt{0.020/(1000 \times 9.81 \times 5\times10^{-5})} = 1.3\,\mathrm{s}$ .

Het opblazen van een heteluchtballon: verwarmde lucht is minder dicht dan de koude lucht eromheen, en de opwaartse kracht van Archimedes op het omhulsel overtreft zijn gewicht.

21.6 Probleem: De onderzeeër

Probleem 21.1

Weekendopgave — een stalen romp op driehonderd meter diepte: de druk op zijn platen, het water dat hij moet slikken om te zakken en uitspugen om te stijgen, de duikster die hem verlaat, en de tanker die overvaart

Zeewater: $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; zoet water $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P_0 = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . De romp van de onderzeeër omsluit $V = 3000\,\mathrm{m}^{3}$ ; met lege ballasttanks is zijn massa $m_0 = 2800\,\mathrm{t}$ .

Deel I — Druk op de romp.

Absolute druk op $300\,\mathrm{m}$ , in pascal en in bar.
Kracht op een rond luik met diameter $0.80\,\mathrm{m}$ op die diepte; vergelijk met het gewicht van een vrachtwagen.
Kracht op één vierkante meter romp bij de kiel als de romp $10\,\mathrm{m}$ hoog is en de bovenkant op $300\,\mathrm{m}$ ligt: hoeveel verschilt dat van de bovenkant?
Water is licht samendrukbaar ( $\chi_T = 4.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ ): met welk deel is zeewater op $300\,\mathrm{m}$ dichter dan aan het oppervlak? Maakt dat iets uit voor de hierboven berekende druk?
De bemanning binnen ademt lucht van $1\,\mathrm{atm}$ : waarom moet de romp een dikke cilinder zijn, en waarom weerstaat een cilinder de druk beter dan een platte doos?
Een dunne cilindrische schaal met straal $R$ en wanddikte $e$ onder een uitwendige overdruk $\Delta P$ draagt in haar wand een drukspanning $\Delta P\,R/e$ . Bereken die voor $R = 5.0\,\mathrm{m}$ en $e = 3.0\,\mathrm{cm}$ op $300\,\mathrm{m}$ en vergelijk met de vloeigrens van het staal, ongeveer $600\,\mathrm{MPa}$ .

Deel II — Zinken en drijven.

Welk volume van de romp steekt aan de oppervlakte met lege tanks boven water uit?
Welke massa zeewater moeten de ballasttanks innemen om de onderzeeër te laten zweven (neutraal drijfvermogen)?
Eenmaal zwevend op $300\,\mathrm{m}$ wordt de romp door de druk met $0.1\%$ samengedrukt. Bereken de resulterende nettokracht en zeg of het evenwicht stabiel is ten opzichte van de diepte.
De boot vaart zwevend van zee een zoetwaterestuarium binnen. Nettokracht? Welke kant gaat hij op, en wat moet de bemanning doen?
Er wordt een torpedo van $20\,\mathrm{t}$ afgevuurd. Wat moet het ballastsysteem onmiddellijk doen, en met hoeveel?
Waarom gebruikt een onderzeeër perslucht om zijn tanks leeg te blazen, en waarom begrenst de druk van die lucht de diepte waarop dat nog kan?
Schat het volume lucht van $1\,\mathrm{atm}$ dat nodig is om $275\,\mathrm{m}^{3}$ tanks op $300\,\mathrm{m}$ leeg te blazen (de wet van Boyle, $PV$ constant).

Deel III — De duikster. Een duikster verlaat het oppervlak met $6.0\,\mathrm{L}$ lucht in haar longen.

Absolute druk op $10\,\mathrm{m}$ en $30\,\mathrm{m}$ .
Daalt zij met ingehouden adem, wat is dan haar longvolume op $30\,\mathrm{m}$ ?
Een duikster met persluchtfles ademt op $30\,\mathrm{m}$ lucht van de omgevingsdruk en stijgt met ingehouden adem: welk volume zouden haar longen aan het oppervlak nodig hebben, en wat is de les?
Een snorkel van $1.0\,\mathrm{m}$ : drukverschil tussen het water op de borst van de duikster en de lucht in haar longen; kracht op een borstkas van $0.05\,\mathrm{m}^{2}$ ; kan zij inademen?
De duikfles bevat $12\,\mathrm{L}$ bij $200\,\mathrm{bar}$ : hoeveel liter lucht levert dat op $30\,\mathrm{m}$ , en hoe lang duurt dat bij $20\,\mathrm{L}$ per minuut?

Deel IV — De tanker erboven.

Een tanker van $100\,000\,\mathrm{t}$ drijft in zeewater: volume verdrongen water.
Zijn waterlijnoppervlak is $8000\,\mathrm{m}^{2}$ : hoeveel rijst of zakt hij wanneer hij zoet water binnenvaart?
Er wordt $10\,000\,\mathrm{t}$ olie geladen: verandering van de diepgang.
De lege tanker heeft een hoog massamiddelpunt; leeg neemt hij zeewater als ballast in. Waarom, in termen van het metacentrum?
De romp van de tanker bij de kiel (diepgang $20\,\mathrm{m}$ ): druk en kracht per vierkante meter, vergeleken met de onderzeeër op $300\,\mathrm{m}$ .
De tanker vaart recht over de onderzeeër heen. Voelt de onderzeeër zijn $100\,000\,\mathrm{t}$ ? Verklaar dat met het drukveld.
Vat samen: de ene betrekking die elk getal in deze opgave heeft vastgelegd, en de stelling die eruit volgde.

Oplossing

Oplossing van Probleem 21.1.

1. $P = 1.013\times10^5 + 1025 \times 9.81 \times 300 = 3.12 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} = 31\,\mathrm{bar}$ .

2. $S = \pi(0.40)^2 = 0.503\,\mathrm{m}^{2}$ : nettokracht $(P - P_0)S = 1.52 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — 155 ton, een volgeladen vrachtwagen op een luik.

3. De kiel $10\,\mathrm{m}$ dieper: $+\rho g \times 10 = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ meer, $3\%$ : de romp wordt vrijwel gelijkmatig belast.

4. $\Delta\rho/\rho = \chi_T\Delta P = 4.6\times10^{-10} \times 3.0\times10^6 = 0.14\%$ : verwaarloosbaar voor de druk (enkele kilopascal op drie miljoen).

5. Dertig bar buiten, één binnen: de romp is een drukvat dat naar binnen wordt belast; een cilinder (of bol) zet de druk om in druk langs zijn wand, waar staal goed tegen kan, terwijl een vlakke plaat zou doorbuigen.

6. $\Delta P\,R/e = 3.0\times10^6 \times 5.0/0.030 = 5.0 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 500\,\mathrm{MPa}$ : dicht bij de vloeigrens — $300\,\mathrm{m}$ ligt bij de grens van deze romp, en diepere boten hebben dikker of sterker staal nodig (of titaan).

7. Verdrongen volume $m_0/\rho = 2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$ : $268\,\mathrm{m}^{3}$ steekt boven water uit ( $9\%$ ).

8. Zwevend: $m = \rho V = 3075\,\mathrm{t}$ : neem $275\,\mathrm{t}$ in.

9. De opwaartse kracht daalt met $0.1\%$ van $\rho Vg$ : $0.001 \times 3075 \times 9.81 \times10^3 = 30\,\mathrm{kN}$ omlaag (drie ton). Dieper $\Rightarrow$ meer samendrukking $\Rightarrow$ zwaarder: instabiel — een onderzeeër moet voortdurend trimmen (en een stalen romp drukt minder in dan water, wat helpt; een te soepele romp zou zonder terugkeer zinken).

10. Opwaartse kracht $1000 \times 3000 \times 9.81 = 29.4\,\mathrm{MN}$ tegen gewicht $3075 \times 9.81 \times 10^3 = 30.2\,\mathrm{MN}$ : $0.74\,\mathrm{MN}$ omlaag ( $75\,\mathrm{t}$ ); pomp $75\,\mathrm{t}$ weg.

11. Meteen $20\,\mathrm{t}$ te licht: neem $20\,\mathrm{t}$ water ( $19.5\,\mathrm{m}^{3}$ ) in de compensatietanks.

12. Water kan alleen worden verdreven door iets met een hogere druk dan de zee buiten; perslucht in flessen duwt het naar buiten — alleen zolang de flesdruk de omgevingsdruk op die diepte overtreft.

13. $PV$ constant: $275\,\mathrm{m}^{3}$ bij $31\,\mathrm{bar}$ vergt $275 \times 31 = 8500\,\mathrm{m}^{3}$ lucht van $1\,\mathrm{atm}$ — opgeslagen bij $200\,\mathrm{bar}$ in $43\,\mathrm{m}^{3}$ aan flessen.

14. $2.0\,\mathrm{bar}$ bij $10\,\mathrm{m}$ ; $4.0\,\mathrm{bar}$ bij $30\,\mathrm{m}$ .

15. $PV$ constant: $6.0/4.0 = 1.5\,\mathrm{L}$ — de ribbenkast wordt ingedrukt; vrijduikers voelen het.

16. Lucht die bij $4\,\mathrm{bar}$ is ingeademd zet viervoudig uit: $24\,\mathrm{L}$ in longen die $6\,\mathrm{L}$ bevatten: scheuring. Houd bij het stijgen nooit je adem in; adem voortdurend uit.

17. $\Delta P = \rho g \times 1.0 = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$ ; kracht $1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa} \times 0.05 = 500\,\mathrm{N}$ op de borstkas: de ademhalingsspieren kunnen geen vijftig kilogram tillen — een snorkel werkt alleen in de eerste decimeters.

18. $12 \times 200 = 2400\,\mathrm{L}$ bij $1\,\mathrm{bar}$ , dus $600\,\mathrm{L}$ bij $4\,\mathrm{bar}$ : $30\,\mathrm{min}$ .

19. $V = 10^8/1025 = 97\,600\,\mathrm{m}^{3}$ .

20. In zoet water moet hij $10^5\ \mathrm{m}^{3}$ verdringen: $2400\,\mathrm{m}^{3}$ meer, dus $2400/8000 = 0.30\,\mathrm{m}$ dieper.

21. $10^4/1.025 = 9756\,\mathrm{m}^{3}$ meer: $1.2\,\mathrm{m}$ dieper.

22. Leeg ligt de $G$ van het schip hoog en is er weinig romp ondergedompeld: het metacentrum kan onder $G$ zakken en het schip kan in een deining omslaan. Zeewater laag in de romp verlaagt $G$ en vergroot de diepgang.

23. $\rho gh = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , $0.2\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$ : vijftien keer minder dan de $3\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$ van de onderzeeër.

24. Nee: de druk op de diepte van de onderzeeër is $P_0 + \rho gh$ , alleen door de diepte bepaald. Het gewicht van de tanker wordt gedragen door het water dat hij verdringt, wat het zeeniveau overal met een onmeetbaar kleine hoeveelheid verhoogt; er komt geen extra last bij de onderzeeër aan.

25. $\dd P/\dd z = -\rho g$ — dus $P = P_0 + \rho gh$ voor elke diepte, kracht en elk longvolume hier — en de wet van Archimedes, die diezelfde betrekking is, geïntegreerd over een gesloten oppervlak.