Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

6Gelijkstroomkringen: de wetten van Kirchhoff en enkele stellingen

Draai de sleutel om op een koude ochtend: de startmotor kreunt, het dashboardlicht dooft een seconde lang en de auto hoest zich tot leven. De accu die zojuist nog een stabiele $12.6\,\mathrm{V}$ leverde, staat op elf terwijl de startmotor zijn honderdvijftig ampère trekt — en de koplampen, parallel aangesloten, betalen ervoor. Alles in die seconde wordt beheerst door twee behoudswetten en een handvol stellingen over lineaire netwerken, die dit hoofdstuk formuleert, bewijst en toepast: de wetten van Kirchhoff, de modellen van bronnen en weerstanden, delers, Thévenin en Norton, en de grafische kunst van het vinden van een werkpunt.

6.1 Stroom, spanning en het quasistationaire regime

Definitie 6.1 (Elektrische stroom)

De elektrische stroom door een oppervlak (de doorsnede van een draad) is de lading die er per tijdseenheid doorheen gaat, positief geteld in een gekozen oriëntatie:

i = \frac{\dd q}{\dd t} \qquad (\text{ampère: } 1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{s}).

De oriëntatie omkeren wisselt het teken van $i$ . In een metaal zijn de ladingsdragers elektronen, die tegen de conventionele stroomrichting in driften, met een fractie van een millimeter per seconde.

Definitie 6.2 (Potentiaal en spanning)

Elk punt van een kring heeft een elektrische potentiaal $V$ (volt), op een constante na vastgelegd door een massa te kiezen ( $V = 0$ ). De spanning tussen $A$ en $B$ is het potentiaalverschil $u_{AB} = V_A - V_B$ , getekend als een pijl van $B$ naar $A$ . De energie die een lading $q$ verliest op de weg van $A$ naar $B$ is $q\,u_{AB}$ (dit sluit aan bij de elektrostatische potentiaal van Hoofdstuk 27).

Definitie 6.3 (Quasistationair regime (ARQS))

Een kring met afmeting $\ell$ die met frequentie $f$ wordt aangedreven is in het quasistationaire regime wanneer de looptijd $\ell/c$ van elektrische signalen erdoorheen verwaarloosbaar is tegenover de periode $1/f$ : $\ell \ll c/f$ . De stroom is dan op elk moment overal in een onvertakte draad dezelfde, en de onderstaande wetten gelden op elk moment voor tijdafhankelijke stromen en spanningen (kleine letters $i$ , $u$ ) net zo goed als voor stationaire ( $I$ , $U$ ).

Voorbeeld 6.4 (Hoe quasi is quasi)

Bij $50\,\mathrm{Hz}$ is $c/f = 6000\,\mathrm{km}$ : een huis zit in het quasistationaire regime. Bij $1\,\mathrm{MHz}$ , $300\,\mathrm{m}$ : een radio nog steeds. Bij $2\,\mathrm{GHz}$ , $15\,\mathrm{cm}$ : de printplaat van een telefoon niet meer, en haar banen moeten als transmissielijnen worden behandeld — een onderwerp van het volume van jaar 2.

Stelling 6.5 (De wetten van Kirchhoff)

In het quasistationaire regime geldt:

Knooppuntregel: in een knooppunt waar meerdere draden samenkomen is de som van de aankomende stromen gelijk aan de som van de vertrekkende, $\sum_{\text{in}} i_k = \sum_{\text{uit}} i_k$ .
Maasregel: langs een gesloten maas tellen de spanningen op tot nul, geteld met het teken dat een gekozen omlooprichting oplegt: $\sum_{\text{lus}} \pm u_k = 0$ .

Bewijs. Lading blijft behouden en hoopt zich in het quasistationaire regime niet op in een knooppunt: wat er per seconde aankomt vertrekt per seconde. De maasregel is de uitspraak dat de potentiaal een functie van de plaats is: gaat men de maas rond en terug naar het beginpunt, dan is de som van de potentiaalverschillen $V_A - V_A = 0$ . ∎

Notatie 6.6 (Conventies en vermogen)

Voor een component met twee aansluitingen (een tweepool) tekent de verbruikersconventie de spanningspijl en de stroompijl in tegengestelde richtingen; de generatorconventie tekent ze in dezelfde richting. In de verbruikersconventie is het vermogen dat de tweepool ontvangt

p = u\,i \qquad (\text{watt}),

positief voor een weerstand die opwarmt, negatief voor een accu die levert. In de generatorconventie is $p = ui$ het vermogen dat zij levert.

De twee tekenconventies voor een tweepool: pijlen tegengesteld (verbruiker) of gelijkgericht (generator). De natuurkunde is dezelfde; alleen het teken van ui wordt anders gelezen. — De twee tekenconventies voor een tweepool: pijlen tegengesteld (verbruiker) of gelijkgericht (generator). De natuurkunde is dezelfde; alleen het teken van $ui$ wordt anders gelezen.

6.2 Tweepolen en hun modellen

Definitie 6.7 (Karakteristiek; weerstand; de wet van Ohm)

De karakteristiek van een tweepool is de kromme $i(u)$ (of $u(i)$ ) die zij oplegt. Een weerstand heeft een lineaire karakteristiek door de oorsprong, de wet van Ohm

u = R\,i \qquad (\text{verbruikersconventie}),

waarin $R$ haar weerstandswaarde is (ohm, $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ ) en $G = 1/R$ haar conductantie (siemens). Zij ontvangt $p = Ri^2 = u^2/R \geq 0$ , dat als warmte wordt afgevoerd (joule-effect). Een draad met lengte $\ell$ , doorsnede $S$ en soortelijke weerstand $\rho$ heeft $R = \rho\ell/S$ .

Definitie 6.8 (Ideale en werkelijke bronnen)

Een ideale spanningsbron legt $u = E$ op, wat de stroom ook is; $E$ is haar elektromotorische kracht (emk). Een ideale stroombron legt $i = I_N$ op, wat de spanning ook is. Een werkelijke bron (accu, generator, voeding) wordt in de generatorconventie gemodelleerd door

u = E - r\,i \quad (\text{model van Thévenin: ideale emk } E \text{ in serie met } r)

of, gelijkwaardig, door $i = I_N - u/r$ (model van Norton: ideale stroombron $I_N = E/r$ parallel aan $r$ ); $r$ is de inwendige weerstand. $E$ is de nullastspanning en $I_N = E/r$ de kortsluitstroom.

Propositie 6.9 (Vermogensbalans van een werkelijke bron)

Een werkelijke bron $(E, r)$ die een weerstand $R$ voedt levert $i = E/(R + r)$ en het vermogen

P_R = \frac{E^2 R}{(R + r)^2},

dat maximaal is en gelijk aan $E^2/4r$ wanneer $R = r$ (aanpassing), met rendement $P_R/(Ei) = R/(R + r)$ , bij dat maximum slechts $50\%$ .

Bewijs. Maasregel: $E = ri + Ri$ . $P_R = Ri^2$ ; differentieer $R/(R + r)^2$ : $\big[(R + r)^2 - 2R(R + r)\big]/(R + r)^4 = (r - R)/(R + r)^3$ , nul bij $R = r$ , positief ervóór en negatief erna. De bron levert $Ei = (R + r)i^2$ , waarvan $ri^2$ de bron zelf opwarmt. ∎

Links: de karakteristieken van een werkelijke bron (u = E - ri) en van een weerstandsbelasting (u = Ri) snijden elkaar in het werkpunt. Rechts: het vermogen dat de belasting ontvangt piekt bij R = r, waar de helft van het vermogen van de bron in haar eigen weerstand verloren gaat. — Links: de karakteristieken van een werkelijke bron ( $u = E - ri$ ) en van een weerstandsbelasting ( $u = Ri$ ) snijden elkaar in het werkpunt. Rechts: het vermogen dat de belasting ontvangt piekt bij $R = r$ , waar de helft van het vermogen van de bron in haar eigen weerstand verloren gaat.

Voorbeeld 6.10 (Een auto-accu onder belasting)

Nullast $12.6\,\mathrm{V}$ ; $11.4\,\mathrm{V}$ terwijl de startmotor $120\,\mathrm{A}$ trekt: $r = 1.2/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$ , $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ (vandaar het lasgevaar van een gevallen steeksleutel). Een aangepaste belasting $R = 10\,\mathrm{m}\Omega$ zou $E^2/4r = 4\,\mathrm{kW}$ opnemen gedurende enkele seconden — ongeveer wat een startmotor nodig heeft.

Opmerking 6.11 (Andere tweepolen)

Een diode geleidt maar in één richting: een geïdealiseerd model is een open keten voor $u < U_0$ en een vaste spanning $u = U_0$ (ongeveer $0.7\,\mathrm{V}$ voor silicium, $2\,$ tot $3\,\mathrm{V}$ voor een led) zodra zij geleidt. Een gloeilamp is een weerstand waarvan $R$ met de temperatuur groeit, en dus met $i$ — een gekromde karakteristiek. In de stationaire toestand is een condensator een open keten ( $i = C\,\dd u/\dd t = 0$ ) en een spoel een kortsluiting ( $u = L\,\dd i/\dd t = 0$ ); hun rol bij overgangsverschijnselen is Hoofdstuk 7.

6.3 Schakelingen en delers

Propositie 6.12 (Weerstanden in serie en parallel)

Weerstanden in serie (dezelfde stroom) tellen op: $R = R_1 + R_2 + \cdots$ . Weerstanden parallel (dezelfde spanning) tellen hun conductanties op: $1/R = 1/R_1 + 1/R_2 + \cdots$ ; voor twee is $R = R_1R_2/(R_1 + R_2)$ , genoteerd $R_1 \parallel R_2$ .

Bewijs. Serie: $u = u_1 + u_2 = (R_1 + R_2)i$ (maasregel). Parallel: $i = i_1 + i_2 = u/R_1 + u/R_2$ (knooppuntregel). ∎

Propositie 6.13 (Spanningsdeler en stroomdeler)

Twee weerstanden in serie over een spanning $u$ verdelen haar evenredig met hun weerstandswaarden:

u_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,u .

Twee weerstanden parallel, gevoed door een stroom $i$ , verdelen die omgekeerd evenredig:

i_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,i = \frac{G_2}{G_1 + G_2}\,i .

Bewijs. Serie: $i = u/(R_1 + R_2)$ en $u_2 = R_2 i$ . Parallel: $u = (R_1 \parallel R_2)\,i$ en $i_2 = u/R_2$ . ∎

Spanningsdeler (links): u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2). Stroomdeler (rechts): i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2) — de stroom verkiest de kleinste weerstand. — Spanningsdeler (links): $u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2)$ . Stroomdeler (rechts): $i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2)$ — de stroom verkiest de kleinste weerstand.

Opmerking 6.14 (Een deler belasten)

De formule voor de deler geldt alleen als er geen stroom uit het middelpunt wordt getrokken. Een belasting $R_L$ over $R_2$ vervangt $R_2$ door $R_2 \parallel R_L$ en verlaagt $u_2$ — het “belastingseffect”, en de reden dat een voltmeter een hoge weerstand moet hebben en een potentiometer een lage vergeleken met wat zij voedt (Oefening 6.4).

Methode 6.15 (Een netwerk vereenvoudigen)

Om één stroom of spanning te vinden in een netwerk van weerstanden met één bron:

vervang, ver van de bron beginnend, groepen in serie en parallel door hun equivalenten tot er nog één weerstand tegenover de bron staat;
bereken de bronstroom;
loop terug en splits de stromen met stroomdelers en de spanningen met spanningsdelers, tot aan de gezochte tak.

Bij meerdere bronnen, of voor een tak waarvan de buren veranderen, gebruik je de stellingen van de volgende paragraaf.

6.4 Stellingen voor lineaire netwerken

Definitie 6.16 (Lineaire tweepool, lineair netwerk)

Een tweepool heet lineair als haar karakteristiek een rechte is (weerstand, ideale en werkelijke bronnen); een kring die alleen uit lineaire tweepolen bestaat is een lineair netwerk. Zijn onbekenden voldoen aan een stelsel lineaire vergelijkingen (de wetten van Kirchhoff plus de karakteristieken), waarvan de oplossing uniek is.

Stelling 6.17 (Thévenin en Norton)

Gezien vanuit twee van zijn klemmen $A$ en $B$ is elk lineair netwerk gelijkwaardig met een werkelijke bron: een emk $E_{\mathrm{Th}}$ in serie met een weerstand $R_{\mathrm{Th}}$ (Thévenin), of een stroombron $I_N = E_{\mathrm{Th}}/R_{\mathrm{Th}}$ parallel aan $R_{\mathrm{Th}}$ (Norton), waarbij

$E_{\mathrm{Th}}$ de nullastspanning $u_{AB}$ is;
$I_N$ de kortsluitstroom van $A$ naar $B$ is;
$R_{\mathrm{Th}}$ de weerstand is die men tussen $A$ en $B$ ziet wanneer elke onafhankelijke bron is uitgeschakeld (ideale spanningsbronnen vervangen door draden, ideale stroombronnen door open ketens).

Gedeeltelijk bewijs. Door de lineariteit is het verband tussen de spanning $u_{AB}$ en de stroom $i$ die aan de klemmen wordt getrokken affien: $u_{AB} = a - b\,i$ . Met $i = 0$ volgt $a = E_{\mathrm{Th}}$ ; met $u_{AB} = 0$ volgt $b = E_{\mathrm{Th}}/I_N$ . Dat $b$ gelijk is aan de weerstand die men met uitgeschakelde bronnen ziet, volgt uit de superpositie (hieronder): het deel van $u_{AB}$ dat alleen van de uitwendige stroom komt is wat een passief netwerk met weerstand $R_{\mathrm{Th}}$ zou opleveren. Dat elk lineair stelsel een affien verband tussen in- en uitgang heeft, is de algebra van lineaire vergelijkingen. ∎

Stelling 6.18 (Superpositie)

In een lineair netwerk met meerdere onafhankelijke bronnen is elke stroom of spanning de som van de waarden die zij aanneemt wanneer elke bron alleen werkt en de overige zijn uitgeschakeld.

Bewijs. De vergelijkingen zijn lineair in de onbekenden, met de bronnen als rechterlid; de oplossing is een lineaire functie van dat rechterlid en dus de som van de oplossingen voor elke bron afzonderlijk. ∎

Propositie 6.19 (Stelling van Millman)

Een knooppunt $N$ dat met punten van potentiaal $V_1, \dots, V_n$ is verbonden via weerstanden $R_1, \dots, R_n$ (en met niets anders) heeft de potentiaal

V_N = \frac{\sum_k V_k/R_k}{\sum_k 1/R_k} = \frac{\sum_k G_k V_k}{\sum_k G_k},

het met de conductanties gewogen gemiddelde van de potentialen van zijn buren.

Bewijs. Knooppuntregel in $N$ : $\sum_k (V_k - V_N)/R_k = 0$ ; los op naar $V_N$ . ∎

Twee bronnen die een gemeenschappelijke belasting R_3 voeden. Gezien vanaf de klemmen van R_3 is de rest van de kring een Thévenin-bron (E_ Th, R_ Th); de stelling van Millman geeft de potentiaal van knooppunt N in één regel. — Twee bronnen die een gemeenschappelijke belasting $R_3$ voeden. Gezien vanaf de klemmen van $R_3$ is de rest van de kring een Thévenin-bron ( $E_{\mathrm{Th}}$ , $R_{\mathrm{Th}}$ ); de stelling van Millman geeft de potentiaal van knooppunt $N$ in één regel.

Voorbeeld 6.20 (Drie wegen naar hetzelfde antwoord)

In de figuur is $E_1 = 10\,\mathrm{V}$ , $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $E_2 = 5.0\,\mathrm{V}$ , $R_2 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_3 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ . Millman: $V_N = (10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 12.5/2 = 6.25\,\mathrm{V}$ . Superpositie: $E_1$ alleen ziet $R_2 \parallel R_3 = 1\,\mathrm{k}\Omega$ , dus $u = 10 \times 1/2 = 5\,\mathrm{V}$ ; $E_2$ alleen ziet $R_1 \parallel R_3 = 0.667\,\mathrm{k}\Omega$ , $u = 5 \times 0.667/2.667 = 1.25\,\mathrm{V}$ ; samen $6.25\,\mathrm{V}$ . Thévenin gezien vanaf $R_3$ : $E_{\mathrm{Th}}$ is de nullastspanning van de deler $(E_1, R_1, R_2, E_2)$ : $E_2 + (E_1 - E_2)R_2/(R_1 + R_2) = 5 + 5 \times 2/3 = 8.33\,\mathrm{V}$ ; $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 = 0.667\,\mathrm{k}\Omega$ ; dan is $u = 8.33 \times 2/2.667 = 6.25\,\mathrm{V}$ .

6.5 Het werkpunt; de brug van Wheatstone

Methode 6.21 (Grafisch werkpunt)

Een niet-lineaire tweepool (karakteristiek $i = g(u)$ ) gevoed door een Thévenin-bron $(E, R)$ komt tot rust waar beide betrekkingen gelden: teken de karakteristiek van de tweepool en de belastingslijn $u = E - Ri$ van de bron in dezelfde assen; hun snijpunt is het werkpunt. Het ontwerp van de serieweerstand van een led, van een zenerstabilisator of van de instelling van een transistor is precies deze constructie.

Een led (drempel rond 2\, V) gevoed door E = 5\, V via R = 200\,: de belastingslijn u = E - Ri snijdt de karakteristiek van de diode bij 2.0\, V, 15\, mA. R verhogen kantelt de lijn omlaag en dimt de led. — Een led (drempel rond $2\,\mathrm{V}$ ) gevoed door $E = 5\,\mathrm{V}$ via $R = 200\,\Omega$ : de belastingslijn $u = E - Ri$ snijdt de karakteristiek van de diode bij $2.0\,\mathrm{V}$ , $15\,\mathrm{mA}$ . $R$ verhogen kantelt de lijn omlaag en dimt de led.

Propositie 6.22 (Brug van Wheatstone)

Vier weerstanden $R_1, R_2$ (de ene tak) en $R_3, R_4$ (de andere) over een bron $E$ ; de uitgang van de brug is de spanning tussen de twee middelpunten:

u = E\left(\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}\right),

nul (de brug is in evenwicht) precies als $R_1R_4 = R_2R_3$ . Voor een brug in evenwicht met $R_4$ verstoord tot $R_4(1 + \epsilon)$ , $\epsilon \ll 1$ , en $R_3 = R_4$ geldt $u \approx -E\epsilon/4$ .

Bewijs. Twee spanningsdelers; trek af. Evenwicht: $R_2(R_3 + R_4) = R_4(R_1 + R_2)$ , dus $R_2R_3 = R_1R_4$ . Met $R_3 = R_4 = R$ en $R_1 = R_2$ : $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)] = E[(2 + \epsilon - 2 - 2\epsilon)/(2(2 + \epsilon))] \approx -E\epsilon/4$ . ∎

De brug van Wheatstone: twee delers naast elkaar. In evenwicht wanneer R_1R_4 = R_2R_3 zet zij een piepkleine verandering van één weerstand (rekstrookje, thermistor) om in een spanning rond nul, die veel eenvoudiger te versterken is dan een kleine verandering van een grote spanning. — De brug van Wheatstone: twee delers naast elkaar. In evenwicht wanneer $R_1R_4 = R_2R_3$ zet zij een piepkleine verandering van één weerstand (rekstrookje, thermistor) om in een spanning rond nul, die veel eenvoudiger te versterken is dan een kleine verandering van een grote spanning.

6.6 Oefeningen

Oefening 6.1 ★

Een telefoon laadt een uur lang met $1.5\,\mathrm{A}$ : welke lading stroomt er, hoeveel elektronen? Schat of het quasistationaire regime geldt voor de huisbedrading bij $50\,\mathrm{Hz}$ , voor een schakeling van $10\,\mathrm{cm}$ bij $1\,\mathrm{MHz}$ en voor diezelfde schakeling bij $1\,\mathrm{GHz}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.1.

$q = 1.5 \times 3600 = 5400\,\mathrm{C}$ , $N = 5400/1.6\times10^{-19} = 3.4 \times 10^{22}$ elektronen. $c/f$ : $6000\,\mathrm{km}$ bij $50\,\mathrm{Hz}$ (huis: ja); $300\,\mathrm{m}$ bij $1\,\mathrm{MHz}$ (schakeling van $10\,\mathrm{cm}$ : ja); $30\,\mathrm{cm}$ bij $1\,\mathrm{GHz}$ , vergelijkbaar met $10\,\mathrm{cm}$ : nee.

Oefening 6.2 ★

Een kachel van $2000\,\mathrm{W}$ op $230\,\mathrm{V}$ : stroom, weerstand, verbruikte energie in $3.0\,\mathrm{h}$ (in kWh en in joule). Zijn koperen snoer van $5.0\,\mathrm{m}$ heeft een doorsnede van $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ ( $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ ): vermogensverlies in het snoer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.2.

$I = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ ; $R = U^2/P = 26.5\,\Omega$ ; $E = 6.0\,\mathrm{kWh} = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ . Snoer: één geleider $R = 1.7\times10^{-8} \times 5.0/1.5\times10^{-6} = 57\,\mathrm{m}\Omega$ , twee geleiders $0.11\,\Omega$ : $P = 0.11 \times 8.7^2 = 8.6\,\mathrm{W}$ .

Oefening 6.3 ★

Bereken met $10\,\Omega$ , $20\,\Omega$ en $30\,\Omega$ de weerstand van de drie in serie, van de drie parallel, en van $(10 \parallel 20) + 30$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.3.

Serie $60\,\Omega$ ; parallel $1/(0.1 + 0.05 + 0.033) = 5.5\,\Omega$ ; $10 \parallel 20 = 6.7\,\Omega$ , plus $30$ : $36.7\,\Omega$ .

Oefening 6.4 ★

Een bron van $12\,\mathrm{V}$ voedt $4.7\,\mathrm{k}\Omega$ en $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ in serie. Bereken de spanning over de $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ . Er wordt vervolgens een apparaat met weerstand $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ overheen gezet: nieuwe spanning? Trek een conclusie over het belastingseffect.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.4.

$u_2 = 12 \times 2.2/6.9 = 3.83\,\mathrm{V}$ . Belast: $2.2 \parallel 2.2 = 1.1\,\mathrm{k}\Omega$ , $u_2 = 12 \times 1.1/5.8 = 2.28\,\mathrm{V}$ : de belasting trekt de deler $40\%$ omlaag — een deler “deelt” alleen als hij iets voedt met een veel hogere weerstand.

Oefening 6.5 ★★

Een accu wijst $12.6\,\mathrm{V}$ in nullast en $11.4\,\mathrm{V}$ bij $120\,\mathrm{A}$ . Bepaal haar inwendige weerstand en kortsluitstroom, het vermogen dat de startmotor ontvangt en het vermogen dat inwendig verloren gaat, en het rendement.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.5.

$r = (12.6 - 11.4)/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$ ; $I_N = 12.6/0.010 = 1260\,\mathrm{A}$ . Naar de startmotor $11.4 \times 120 = 1.37\,\mathrm{kW}$ ; verloren $0.010 \times 120^2 = 144\,\mathrm{W}$ ; rendement $1368/1512 = 90\%$ .

Oefening 6.6 ★★

Bepaal het Thévenin-equivalent, gezien vanaf de klemmen van de weerstand van $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ , van de deler uit Oefening 6.4 ( $E = 12\,\mathrm{V}$ , $R_1 = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 2.2\,\mathrm{k}\Omega$ ). Vind daarmee de belaste spanning van die oefening terug.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.6.

$E_{\mathrm{Th}} = 3.83\,\mathrm{V}$ (deler in nullast); $R_{\mathrm{Th}} = 4.7 \parallel 2.2 = 1.50\,\mathrm{k}\Omega$ (bron kortgesloten). Belast: $u = 3.83 \times 2.2/(1.50 + 2.2) = 2.28\,\mathrm{V}$ .

Oefening 6.7 ★★

Twee accu’s, $E_1 = 10\,\mathrm{V}$ ( $r_1 = 1.0\,\Omega$ ) en $E_2 = 5.0\,\mathrm{V}$ ( $r_2 = 2.0\,\Omega$ ), staan parallel (zelfde polariteit) over een belasting van $2.0\,\Omega$ . Bepaal de belastingsspanning met superpositie en daarna met Millman, en de stroom in elke accu. Wordt de zwakkere accu geladen of ontladen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.7.

Superpositie: $E_1$ alleen ziet $r_2 \parallel R = 1.0\,\Omega$ , $u = 10 \times 1/(1 + 1) = 5.0\,\mathrm{V}$ ; $E_2$ alleen ziet $r_1 \parallel R = 0.667\,\Omega$ , $u = 5 \times 0.667/2.667 = 1.25\,\mathrm{V}$ ; samen $6.25\,\mathrm{V}$ . Millman: $(10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 6.25\,\mathrm{V}$ . Accu 1: $(10 - 6.25)/1 = 3.75\,\mathrm{A}$ eruit; accu 2: $(5 - 6.25)/2 = -0.63\,\mathrm{A}$ , dus $0.63\,\mathrm{A}$ erin — zij wordt geladen door de sterkere; belasting $6.25/2 = 3.1\,\mathrm{A}$ .

Oefening 6.8 ★★

Een bron met $E = 9.0\,\mathrm{V}$ , $r = 3.0\,\Omega$ . Bereken het vermogen dat aan belastingen van $1.0\,\Omega$ , $3.0\,\Omega$ , $12\,\Omega$ wordt geleverd, en het rendement in elk geval. Welke belasting zou een ingenieur voor een apparaat op batterijen kiezen, en waarom niet de aangepaste?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.8.

$i = 9/(R + 3)$ , $P = Ri^2$ , $\eta = R/(R + 3)$ : $1\,\Omega$ : $5.1\,\mathrm{W}$ , $25\%$ ; $3\,\Omega$ : $6.75\,\mathrm{W}$ , $50\%$ ; $12\,\Omega$ : $4.3\,\mathrm{W}$ , $80\%$ . Een apparaat op batterijen wil rendement (levensduur), dus $R \gg r$ ; de aangepaste belasting verspilt de helft van de energie als warmte in de batterij.

Oefening 6.9 ★★

Een led geleidt bij $2.0\,\mathrm{V}$ en moet $15\,\mathrm{mA}$ voeren uit een voeding van $5.0\,\mathrm{V}$ . Kies de serieweerstand, geef de vermogens in de weerstand en in de led, en schets de constructie met de belastingslijn. Wat gebeurt er bij een voeding van $3.3\,\mathrm{V}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.9.

$R = (5.0 - 2.0)/0.015 = 200\,\Omega$ ; $P_R = 3.0 \times 0.015 = 45\,\mathrm{mW}$ , $P_{\mathrm{LED}} = 2.0 \times 0.015 = 30\,\mathrm{mW}$ . De belastingslijn van $(0, 25\,\mathrm{mA})$ naar $(5\,\mathrm{V}, 0)$ snijdt de verticale karakteristiek bij $2.0\,\mathrm{V}$ . Bij $3.3\,\mathrm{V}$ geeft dezelfde weerstand maar $6.5\,\mathrm{mA}$ ; voor $15\,\mathrm{mA}$ is $R = 1.3/0.015 = 87\,\Omega$ nodig.

Oefening 6.10 ★★★

Een rekstrookje $R_4 = R(1 + \epsilon)$ , $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , zit in een brug van Wheatstone met drie vaste weerstanden van $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ over $5.0\,\mathrm{V}$ . Leid de uitgangsspanning af tot op eerste orde in $\epsilon$ en bereken haar voor $\epsilon = 1.0 \times 10^{-3}$ . Waarom verdient de brug de voorkeur boven het meten van de spanning over het strookje in een gewone deler?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.10.

$u = E\left[\dfrac12 - \dfrac{1 + \epsilon}{2 + \epsilon}\right] = -E\dfrac{\epsilon}{2(2 + \epsilon)} \approx -\dfrac{E\epsilon}{4} = -1.25\,\mathrm{mV}$ . In een gewone deler ligt diezelfde verandering boven op een offset van $2.5\,\mathrm{V}$ ( $2.501\,25\,\mathrm{V}$ ); de brug levert de $1.25\,\mathrm{mV}$ rond nul, en die kan duizendvoudig worden versterkt zonder dat er iets in verzadiging raakt.

Oefening 6.11 ★★★

Twaalf gelijke weerstanden $R$ vormen de ribben van een kubus. Toon met symmetrie aan (welke knooppunten staan op dezelfde potentiaal wanneer een stroom $I$ in de ene hoek binnenkomt en in de tegenoverliggende vertrekt) dat de weerstand tussen twee tegenoverliggende hoeken $5R/6$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.11.

Door de symmetrie delen de drie buren van de intredehoek één potentiaal en de drie buren van de uittredehoek een andere. De stroom $I$ splitst zich in $I/3$ in de drie intredende ribben, elk daarna in twee keer $I/6$ langs de zes middelste ribben, die weer samenkomen tot $I/3$ in de drie uittredende ribben. Spanning: $RI/3 + RI/6 + RI/3 = 5RI/6$ , dus $R_{\mathrm{eq}} = 5R/6$ .

Oefening 6.12 ★★★

Een stroombron $I_N = 2.0\,\mathrm{A}$ parallel aan $4.0\,\Omega$ is via een weerstand van $2.0\,\Omega$ verbonden met een accu van $6.0\,\mathrm{V}$ (verwaarloosbare weerstand) waarvan de emk tegenwerkt. Zet de Norton-bron om naar Thévenin en bepaal de stroom door de weerstand van $2.0\,\Omega$ en het vermogen dat elke bron uitwisselt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.12.

Thévenin: $E = I_N r = 8.0\,\mathrm{V}$ met $4.0\,\Omega$ in serie. Maas: $8.0 - 6.0 = (4.0 + 2.0)i$ , $i = 0.33\,\mathrm{A}$ naar de accu toe. De accu ontvangt $6.0 \times 0.33 = 2.0\,\mathrm{W}$ (laden); de weerstand van $2\,\Omega$ dissipeert $0.22\,\mathrm{W}$ ; de klemspanning van het Norton-paar is $8.0 - 4.0 \times 0.33 = 6.67\,\mathrm{V}$ , zodat zijn $4\,\Omega$ $1.67\,\mathrm{A}$ voert en $11.1\,\mathrm{W}$ dissipeert, en de stroombron $2.0 \times 6.67 = 13.3\,\mathrm{W}$ levert — wat klopt.

Onder de motorkap: de accu van 12\, V, haar dikke kabels en de dynamo — het gelijkstroomnet van de weekendopgave, met honderden ampères bij het starten. — Onder de motorkap: de accu van $12\,\mathrm{V}$ , haar dikke kabels en de dynamo — het gelijkstroomnet van de weekendopgave, met honderden ampères bij het starten.

6.7 Probleem: Het elektrische systeem van een auto

Probleem 6.1

Weekendopgave — één accu, een startmotor, twee koplampen, een dynamo en een paar meter koper: wie de stroom krijgt, wie betaalt, en waarom de lampen doven wanneer de motor aanslaat

De accu is een werkelijke bron met emk $E = 12.6\,\mathrm{V}$ en inwendige weerstand $r = 10\,\mathrm{m}\Omega$ . Koper: $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ .

Deel I — De accu alleen.

Teken het Thévenin-model en schrijf $u(i)$ op in de generatorconventie.
Geef de nullastspanning en de kortsluitstroom. Waarom mag een gevallen sleutel de klemmen nooit overbruggen?
Schrijf het Norton-model van dezelfde accu op.
De accu voedt een weerstand $R$ : druk de stroom, de klemspanning, het geleverde vermogen $P_R$ en het vermogen dat in $r$ verloren gaat uit.
Toon aan dat $P_R$ maximaal is voor $R = r$ en bereken dat maximum. Wat is dan het rendement?
Een monteur meet $u = 12.48\,\mathrm{V}$ bij $12\,\mathrm{A}$ en $u = 11.40\,\mathrm{V}$ bij $120\,\mathrm{A}$ . Ga na dat beide punten op het model liggen en leg uit hoe een reeks van zulke punten $E$ en $r$ oplevert via een rechte lijn.
De accu slaat $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ op. Hoe lang zou zij de twee koplampen van $55\,\mathrm{W}$ alleen kunnen voeden (neem $12\,\mathrm{V}$ )? Hoeveel energie is dat in joule?

Deel II — Starten met de lampen aan. De startmotor is een weerstand $R_s = 80\,\mathrm{m}\Omega$ ; elke koplamp is opgegeven als $55\,\mathrm{W}$ bij $12.0\,\mathrm{V}$ en wordt als weerstand behandeld.

Bereken de weerstand van één koplamp en van de twee parallel.
Alleen de startmotor: stroom, klemspanning, vermogen in de startmotor, vermogensverlies in de accu.
Startmotor en beide koplampen samen: gelijkwaardige belastingsweerstand, totale stroom, klemspanning.
Gebruik de stroomdeler om de startmotorstroom en de koplampstroom te vinden.
Bereken het vermogen dat elke koplamp nu ontvangt en vergelijk met haar nominale waarde: met welke fractie doven de lampen?
Leg in twee zinnen met de maasregel uit waarom de lampen juist doven doordat de startmotor een grote stroom trekt.
Zouden dikkere accukabels de lampen helpen? Beargumenteer nu kwalitatief (deel IV maakt het kwantitatief).

Deel III — Motor draait: de dynamo. De dynamo is een tweede werkelijke bron, $E_a = 14.2\,\mathrm{V}$ , $r_a = 50\,\mathrm{m}\Omega$ , parallel aan de accu; de startmotor staat uit en beide koplampen branden.

Teken de kring: twee werkelijke bronnen en de koplampbelasting parallel tussen dezelfde twee knooppunten.
Pas de stelling van Millman toe om de gemeenschappelijke klemspanning te vinden.
Leid de dynamostroom, de accustroom (let op het teken!) en de koplampstroom af; controleer de knooppuntregel.
Wordt de accu geladen of ontladen? Welk vermogen ontvangt zij, en welk vermogen levert de dynamo?
Vind de klemspanning terug met superpositie (elke bron afzonderlijk, de andere vervangen door haar inwendige weerstand) en controleer.

Deel IV — Sensoren en draden.

De koelvloeistofsensor is een thermistor waarvan de weerstand daalt van $2.0\,\mathrm{k}\Omega$ bij $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ tot $300\,\Omega$ bij $90{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; hij is de onderste weerstand van een deler gevoed door $5.0\,\mathrm{V}$ , met $R_0$ als bovenste weerstand. Druk de uitgangsspanning uit en bereken haar bij beide temperaturen voor $R_0 = 775\,\Omega$ .
Toon aan dat het spanningsverschil tussen de twee temperaturen het grootst is wanneer $R_0$ het meetkundig gemiddelde van de twee sensorwaarden is, en controleer de waarde hierboven.
Dezelfde sensor wordt in een brug van Wheatstone met drie weerstanden van $775\,\Omega$ gezet: schrijf de bruguitgang op en zeg bij welke temperatuur zij in evenwicht is.
De startmotorkabel is $1.5\,\mathrm{m}$ lang per richting. Bereken de weerstand van één geleider met doorsnede $16\,\mathrm{mm}^{2}$ , het totale spanningsverlies bij $140\,\mathrm{A}$ en het vermogen dat in de kabels wordt gedissipeerd.
Idem met kabel van $4\,\mathrm{mm}^{2}$ : waarom is startmotorkabel zo dik?
Vat samen: geef de klemspanning tijdens het starten, de fractie van het vermogen die de startmotor bereikt, en de ene wet die het doven van de lampen verklaart.

Oplossing

Oplossing van Probleem 6.1.

1. Ideale emk $E$ in serie met $r$ : $u = E - ri$ .

2. $u(0) = 12.6\,\mathrm{V}$ ; $I_N = E/r = 1260\,\mathrm{A}$ . Een sleutel over de klemmen zou die voeren: $16\,\mathrm{kW}$ in een paar gram staal — hij smelt en spat uiteen.

3. Stroombron $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ parallel aan $10\,\mathrm{m}\Omega$ .

4. $i = E/(R + r)$ ; $u = ER/(R + r)$ ; $P_R = E^2R/(R + r)^2$ ; $P_r = E^2r/(R + r)^2$ .

5. $\dd P_R/\dd R \propto (r - R)$ : maximum bij $R = r$ , $P_{\max} = E^2/4r = 12.6^2/0.040 = 4.0\,\mathrm{kW}$ ; rendement $R/(R + r) = 50\%$ .

6. $12.6 - 0.010 \times 12 = 12.48\,\mathrm{V}$ ; $12.6 - 0.010 \times 120 = 11.40\,\mathrm{V}$ . $u$ tegen $i$ uitzetten geeft een rechte met snijpunt $E$ en richtingscoëfficiënt $-r$ (kleinste kwadraten, Hoofdstuk 1).

7. Twee lampen: $110\,\mathrm{W}$ bij $12\,\mathrm{V}$ , $9.2\,\mathrm{A}$ ; $60/9.2 = 6.5\,\mathrm{h}$ . Energie $60 \times 3600 \times 12 = 2.6\,\mathrm{MJ}$ .

8. $R_h = 12^2/55 = 2.62\,\Omega$ ; parallel $1.31\,\Omega$ .

9. $i = 12.6/0.090 = 140\,\mathrm{A}$ ; $u = 12.6 - 1.4 = 11.2\,\mathrm{V}$ ; $P_s = 0.080 \times 140^2 = 1.57\,\mathrm{kW}$ ; verloren $0.010 \times 140^2 = 196\,\mathrm{W}$ .

10. $R = 0.080 \parallel 1.31 = 75.4\,\mathrm{m}\Omega$ ; $i = 12.6/0.0854 = 148\,\mathrm{A}$ ; $u = 12.6 - 1.48 = 11.1\,\mathrm{V}$ .

11. $i_s = i \times 1.31/(1.31 + 0.080) = 139\,\mathrm{A}$ ; $i_h = 8.5\,\mathrm{A}$ voor de twee lampen.

12. Elke lamp: $u^2/R_h = 11.1^2/2.62 = 47\,\mathrm{W}$ tegen $55\,\mathrm{W}$ : $14\%$ minder.

13. Maasregel: de klemspanning is $u = E - ri$ ; de $140\,\mathrm{A}$ van de startmotor levert een verlies van $1.4\,\mathrm{V}$ binnen in de accu, en de lampen, parallel op dezelfde klemmen, ontvangen die verlaagde spanning.

14. Maar gedeeltelijk: dikkere kabels verkleinen het verlies in de kabels, niet in $r$ ; lampen die vanaf de accuklemmen worden gevoed zien nog altijd $E - ri$ .

15. Drie takken tussen dezelfde twee knooppunten: $(E, r)$ , $(E_a, r_a)$ en $R_h = 1.31\,\Omega$ .

16. $V = \dfrac{12.6/0.010 + 14.2/0.050 + 0/1.31}{100 + 20 + 0.763} = \dfrac{1544}{120.8} = 12.79\,\mathrm{V}$ .

17. Dynamo $(14.2 - 12.79)/0.050 = 28.3\,\mathrm{A}$ ; accu $(12.6 - 12.79)/0.010 = -18.6\,\mathrm{A}$ (die dus erin loopt); lampen $12.79/1.31 = 9.8\,\mathrm{A}$ ; $28.3 = 18.6 + 9.8$ .

18. Laden. Zij ontvangt $12.79 \times 18.6 = 238\,\mathrm{W}$ ( $234\,\mathrm{W}$ opgeslagen, $3.5\,\mathrm{W}$ warmte); de dynamo levert $12.79 \times 28.3 = 362\,\mathrm{W}$ aan haar klemmen.

19. Alleen de accu (dynamo $\to$ $50\,\mathrm{m}\Omega$ ): belasting $0.050 \parallel 1.31 = 48.2\,\mathrm{m}\Omega$ , $u_1 = 12.6 \times 48.2/58.2 = 10.44\,\mathrm{V}$ . Alleen de dynamo (accu $\to$ $10\,\mathrm{m}\Omega$ ): belasting $0.010 \parallel 1.31 = 9.92\,\mathrm{m}\Omega$ , $u_2 = 14.2 \times 9.92/59.9 = 2.35\,\mathrm{V}$ . Samen $12.79\,\mathrm{V}$ .

20. $u = 5.0\,R_s/(R_0 + R_s)$ : $3.60\,\mathrm{V}$ bij $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $1.40\,\mathrm{V}$ bij $90{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

21. $\Delta u = 5[R_a/(R_0 + R_a) - R_b/(R_0 + R_b)]$ ; $\dd\Delta u/\dd R_0 = 0 \Leftrightarrow R_a/(R_0 + R_a)^2 = R_b/(R_0 + R_b)^2 \Leftrightarrow R_0^2 = R_aR_b$ : $R_0 = \sqrt{2000 \times 300} = 775\,\Omega$ .

22. $u = 5[\tfrac12 - R_s/(775 + R_s)]$ , nul wanneer $R_s = 775\,\Omega$ , dus bij de temperatuur midden in het bereik waar de thermistor die waarde bereikt.

23. $R = 1.7\times10^{-8} \times 1.5/16\times10^{-6} = 1.6\,\mathrm{m}\Omega$ per geleider, $3.2\,\mathrm{m}\Omega$ in totaal; verlies $0.0032 \times 140 = 0.45\,\mathrm{V}$ ; vermogen $63\,\mathrm{W}$ .

24. $4\,\mathrm{mm}^{2}$ : $6.4\,\mathrm{m}\Omega$ elk, $12.8\,\mathrm{m}\Omega$ totaal: verlies $1.8\,\mathrm{V}$ , $250\,\mathrm{W}$ verspild — de startmotor zou een zesde van zijn spanning kwijtraken. Dikke kabel houdt $R_{\text{kabel}} \ll R_s$ .

25. Ongeveer $11.1\,\mathrm{V}$ aan de klemmen tijdens het starten; de startmotor ontvangt $1568/(1568 + 196) \approx 89\%$ van het vermogen van de accu; het doven is de maasregel, $u = E - ri$ .

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst