Physics · Boek 3 · Bachelor Year 1

Universitaire natuurkunde — jaar 1

Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

3Spiegels en dunne lenzen

Een make-upspiegel toont een gezicht op dubbele grootte; de achterkant van een lepel toont het klein en rechtop, de holte klein en op zijn kop; een vergrootglas op armlengte zet de kamer ondersteboven, dichtbij gehouden vergroot het een postzegel; een telefoonlens ter grootte van een linze schildert de hele straat op een sensor. Eén algebraïsche betrekking tussen drie afstanden beheerst al deze beelden, en dit hoofdstuk leidt haar af — eerst voor gekromde spiegels, daarna voor de dunne lens waaruit vrijwel elk optisch instrument is opgebouwd.

Een convergerende lens vormt op een scherm het reële, omgekeerde beeld van een kaarsvlam: voorwerps- en beeldafstand voldoen aan de conjugatiebetrekking van dit hoofdstuk.
Een convergerende lens vormt op een scherm het reële, omgekeerde beeld van een kaarsvlam: voorwerps- en beeldafstand voldoen aan de conjugatiebetrekking van dit hoofdstuk.

3.1 Beelden en de voorwaarden van Gauss

Definitie 3.1 (Voorwerp, beeld, stigmatisme)

Een optisch systeem ontvangt stralen vanuit een punt AA (het voorwerpspunt). Gaan alle uittredende stralen door één punt A′A', of lijken zij alle uit één punt A′A' te komen, dan is het systeem stigmatisch voor AA en is A′A' het beeld van AA. Het beeld is reëel als de uittredende stralen elkaar werkelijk in A′A' snijden (het is op een scherm op te vangen), virtueel als alleen hun achterwaartse verlengden dat doen (het wordt door het systeem heen gezien, niet geprojecteerd). Evenzo is het voorwerp reëel als de invallende stralen vanuit AA divergeren, virtueel als zij naar AA achter de ingang van het systeem convergeren. Het paar (A,A′)(A, A') heet geconjugeerd.

Definitie 3.2 (Gecentreerd systeem; voorwaarden van Gauss)

Een gecentreerd systeem heeft een as van draaisymmetrie, de optische as. Stralen die dicht bij de as blijven en er kleine hoeken mee maken heten paraxiaal; van een systeem dat uitsluitend met paraxiale stralen wordt gebruikt zegt men dat het onder de voorwaarden van Gauss werkt. Onder die voorwaarden is een gecentreerd systeem bij benadering stigmatisch voor elk punt, en heeft een voorwerpsvlak loodrecht op de as een beeldvlak loodrecht op de as (aplanatisme).

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 3.3 (Waarom kleine hoeken)

De vlakke spiegel is het enige eenvoudige systeem dat streng stigmatisch is voor elk punt. Een sferische spiegel of lens is alleen stigmatisch in de mate waarin sin⁡θ≈tan⁡θ≈θ\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta geldt: die benadering maakt van de wet van Snellius lineaire betrekkingen tussen afstanden. Daarbuiten is het beeld van een punt een vlek (aberraties), en de taak van de ontwerper — diafragma’s, combinaties van lenzen, asferische vlakken — is die vlek kleiner te maken dan wat het oog of de sensor kan oplossen.

Notatie 3.4 (Algebraïsche maten en vergroting)

De optische as wordt georiënteerd in de richting van het invallende licht; de dwarsrichting wijst naar boven. Voor punten PP, QQ op de as noteert PQ‾\overline{PQ} de algebraïsche maat (PQ‾>0\overline{PQ} > 0 als QQ stroomafwaarts van PP ligt); voor een voorwerp ABAB loodrecht op de as en zijn beeld A′B′A'B' is de transversale vergroting

γ=A′B′‾AB‾,\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} ,

negatief voor een omgekeerd beeld, in absolute waarde groter dan 11 voor een vergroot beeld.

3.2 Sferische spiegels

Definitie 3.5 (Sferische spiegel)

Een sferische spiegel is een spiegelende bolkap met middelpunt CC en top SS (haar snijpunt met de as). Zij is hol als het licht op de holle kant valt (CC aan de kant van het invallende licht), en bol in het andere geval. Haar brandpunt FF is het beeld van een punt op oneindig op de as; haar brandpuntsafstand is f=SF‾f = \overline{SF}.

Propositie 3.6 (Brandpunt van een sferische spiegel)

Onder de voorwaarden van Gauss is het brandpunt het midden van SCSC: SF‾=SC‾/2\overline{SF} = \overline{SC}/2. Een holle spiegel heeft f<0f < 0 (reëel brandpunt, ervóór); een bolle heeft f>0f > 0 (virtueel brandpunt, erachter).

Bewijs. Een straal evenwijdig aan de as op hoogte hh treft de spiegel in II; de normaal in II is de straal CICI, die een hoek α\alpha met de as maakt, sin⁡α=h/R\sin\alpha = h/R. Onder dezelfde hoek α\alpha met de normaal gereflecteerd snijdt de straal de as in FF; driehoek CIFCIF heeft gelijke hoeken α\alpha in CC en in II, dus CF=IFCF = IF en, na projectie, CF=R/(2cos⁡α)CF = R/(2\cos\alpha). Voor paraxiale stralen gaat cos⁡α→1\cos\alpha \to 1 en CF=R/2CF = R/2: al die stralen snijden de as in hetzelfde punt, het midden van SCSC. Teken: voor een holle spiegel liggen CC en FF ervóór (stroomopwaarts), SC‾<0\overline{SC} < 0. ∎

Stelling 3.7 (Conjugatie voor een sferische spiegel)

Onder de voorwaarden van Gauss voldoet het beeld A′A' van een punt AA op de as aan

1SA′‾+1SA‾=2SC‾=1SF‾,γ=−SA′‾SA‾.\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}} = \frac{1}{\overline{SF}}, \qquad \gamma = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} .

Bewijs. Neem een holle spiegel en een reëel voorwerp AA voorbij CC; de algebraïsche vorm dekt dan elk geval. Een straal vanuit AA treft de spiegel in II (hoogte hh) en keert terug naar A′A' op de as. Noem uu, u′u', ω\omega de hoeken van AIAI, A′IA'I en CICI met de as; paraxiaal is u=h/ASu = h/AS, u′=h/A′Su' = h/A'S, ω=h/CS\omega = h/CS (afstanden). De wet van de reflectie zegt dat de normaal CICI de hoek tussen AIAI en A′IA'I middendoor deelt: ω−u=u′−ω\omega - u = u' - \omega, dus u+u′=2ωu + u' = 2\omega, dus 1/AS+1/A′S=2/CS1/AS + 1/A'S = 2/CS; met SA‾\overline{SA}, SA′‾\overline{SA'}, SC‾\overline{SC} alle negatief is dat de getoonde betrekking. Voor de vergroting maakt de straal B→S→B′B \to S \to B', gereflecteerd in de top, gelijke hoeken met de as: A′B′/SA′=AB/SAA'B'/SA' = AB/SA in lengtes, en het beeld is omgekeerd, γ=−SA′‾/SA‾\gamma = -\overline{SA'}/\overline{SA}. ∎

Methode 3.8 (Een beeld in een spiegel construeren)

Teken voor een voorwerpspunt BB buiten de as twee van de vier bijzondere stralen; hun snijpunt (of dat van hun verlengden) is B′B':

  1. evenwijdig aan de as →\to gereflecteerd door FF;
  2. door FF →\to gereflecteerd evenwijdig aan de as;
  3. door CC →\to langs zichzelf teruggekaatst;
  4. naar de top SS →\to symmetrisch ten opzichte van de as gereflecteerd.

Dan is A′A' de voet van de loodlijn uit B′B' op de as.

Een holle spiegel (C, brandpunt F op de halve straal). Voor een voorwerp AB voorbij C keert de straal evenwijdig aan de as terug door F en keert de straal door F evenwijdig terug: zij snijden elkaar in B' — een reëel, omgekeerd, verkleind beeld tussen F en C.
Een holle spiegel (CC, brandpunt FF op de halve straal). Voor een voorwerp ABAB voorbij CC keert de straal evenwijdig aan de as terug door FF en keert de straal door FF evenwijdig terug: zij snijden elkaar in B′B' — een reëel, omgekeerd, verkleind beeld tussen FF en CC.

Voorbeeld 3.9 (Scheerspiegel, buitenspiegel)

Een holle spiegel met straal 60 cm60\,\mathrm{cm} (f=−30 cmf = -30\,\mathrm{cm}) met een gezicht op 20 cm20\,\mathrm{cm}: 1/SA′‾=−1/30+1/20=1/601/\overline{SA'} = -1/30 + 1/20 = 1/60, SA′‾=+60 cm\overline{SA'} = +60\,\mathrm{cm} — achter de spiegel, virtueel — en γ=−60/(−20)=+3\gamma = -60/(-20) = +3: rechtop, drie keer groter, de scheerspiegel. Een bolle spiegel met straal 2.0 m2.0\,\mathrm{m} (f=+1.0 mf = +1.0\,\mathrm{m}) met een auto 20 m20\,\mathrm{m} erachter: 1/SA′‾=1+1/201/\overline{SA'} = 1 + 1/20, SA′‾=0.95 m\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m} (virtueel, erachter), γ=+0.048\gamma = +0.048: rechtop, twintig keer kleiner, en daarom een breed gezichtsveld — de buitenspiegel, met haar waarschuwing dat voorwerpen dichterbij zijn dan zij lijken.

3.3 Dunne lenzen

Definitie 3.10 (Dunne lens)

Een lens is een doorzichtig medium begrensd door twee bolvormige (of vlakke) oppervlakken; zij heet dun wanneer haar dikte verwaarloosbaar is tegenover de stralen en de afstanden in het spel, zodat de twee toppen samenvallen in één punt, het optisch middelpunt OO. Een straal door OO wordt niet afgebogen. Het beeldbrandpunt F′F' is het beeld van een punt op oneindig op de as; het voorwerpsbrandpunt FF is het punt waarvan het beeld op oneindig ligt; beide liggen op dezelfde afstand van OO: OF′‾=−OF‾=f′\overline{OF'} = -\overline{OF} = f', de brandpuntsafstand. De lens is convergerend als f′>0f' > 0 (F′F' reëel, stroomafwaarts; randen dunner dan het midden), divergerend als f′<0f' < 0. Haar vergentie V=1/f′V = 1/f' wordt gemeten in dioptrieën (1 δ=1 m−11\,\delta = 1\,\mathrm{m}^{-1}).

Stelling 3.11 (Conjugatie voor een dunne lens)

Onder de voorwaarden van Gauss voldoet het beeld A′A' van een punt AA op de as aan de betrekking van Descartes

1OA′‾−1OA‾=1f′,γ=OA′‾OA‾,\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}, \qquad \gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}},

en, gelijkwaardig, aan de betrekking van Newton

FA‾⋅F′A′‾=−f′2,γ=f′FA‾=−F′A′‾f′.\overline{FA}\cdot\overline{F'A'} = -f'^2, \qquad \gamma = \frac{f'}{\overline{FA}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'} .

Gedeeltelijk bewijs. Het kernfeit is dat een dunne lens een straal die haar op hoogte hh kruist over de hoek h/f′h/f' naar de as toe afbuigt, wat de richting van de straal ook is — elke zone van de lens werkt als een dun prisma (Opmerking 2.21) waarvan de tophoek voor bolvormige vlakken lineair met hh groeit; die lineariteit, exact voor paraxiale stralen, wordt hier aangenomen en in het volume van jaar 2 afgeleid uit de wet van Snellius aan twee bolvormige vlakken. Aangenomen dat: een straal vanuit AA (op afstand p=−OA‾>0p = -\overline{OA} > 0 voor een reëel voorwerp) die de lens op hoogte hh bereikt, komt aan met helling h/ph/p, wordt over h/f′h/f' afgebogen en vertrekt met helling h/p−h/f′h/p - h/f'; zij snijdt de as in A′A' met h/OA′‾=h/f′−h/ph/\overline{OA'} = h/f' - h/p, dus 1/OA′‾−1/OA‾=1/f′1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f', onafhankelijk van hh: alle stralen vanuit AA komen samen in A′A'. De straal B→O→B′B \to O \to B' door het middelpunt is recht, dus A′B′‾/AB‾=OA′‾/OA‾\overline{A'B'}/\overline{AB} = \overline{OA'}/\overline{OA}. De vorm van Newton volgt door OA‾=OF‾+FA‾=−f′+FA‾\overline{OA} = \overline{OF} + \overline{FA} = -f' + \overline{FA} en OA′‾=f′+F′A′‾\overline{OA'} = f' + \overline{F'A'} in te vullen. ∎

Methode 3.12 (Een beeld door een dunne lens construeren)

Drie bijzondere stralen vanuit BB:

  1. door OO: onafgebogen;
  2. evenwijdig aan de as: treedt uit door F′F';
  3. door FF: treedt evenwijdig aan de as uit.

Twee volstaan; gebruik bij een divergerende lens de verlengden (de straal die op FF achter de lens is gericht treedt evenwijdig uit; de evenwijdige straal treedt uit alsof zij uit F′F' ervóór komt).

Een convergerende lens: voorwerp AB voorbij F. De straal door O gaat recht door, de evenwijdige straal buigt door F', de straal door F treedt evenwijdig uit; alle drie snijden elkaar in B': reëel, omgekeerd beeld. Hier is OA = -1.5f', dus OA' = 3f' en = -2.
Een convergerende lens: voorwerp ABAB voorbij FF. De straal door OO gaat recht door, de evenwijdige straal buigt door F′F', de straal door FF treedt evenwijdig uit; alle drie snijden elkaar in B′B': reëel, omgekeerd beeld. Hier is OA‾=−1.5f′\overline{OA} = -1.5f', dus OA′‾=3f′\overline{OA'} = 3f' en γ=−2\gamma = -2.
Een divergerende lens (F' stroomopwaarts, F stroomafwaarts): de evenwijdige straal treedt uit alsof zij uit F' komt, de middelste straal gaat recht door; hun achterwaartse verlengden snijden elkaar in B' — een virtueel, rechtopstaand, verkleind beeld, waar het voorwerp ook staat.
Een divergerende lens (F′F' stroomopwaarts, FF stroomafwaarts): de evenwijdige straal treedt uit alsof zij uit F′F' komt, de middelste straal gaat recht door; hun achterwaartse verlengden snijden elkaar in B′B' — een virtueel, rechtopstaand, verkleind beeld, waar het voorwerp ook staat.

Voorbeeld 3.13 (Dezelfde lens, drie manieren)

Een convergerende lens, f′=5.0 cmf' = 5.0\,\mathrm{cm}. Postzegel op 3.0 cm3.0\,\mathrm{cm}: 1/OA′‾=1/5−1/3=−2/151/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15, OA′‾=−7.5 cm\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}, virtueel, γ=+2.5\gamma = +2.5: het vergrootglas. Lamp op 20 cm20\,\mathrm{cm}: OA′‾=6.7 cm\overline{OA'} = 6.7\,\mathrm{cm}, reëel, γ=−1/3\gamma = -1/3: een verkleind omgekeerd beeld op een kaart. Raam op 4 m4\,\mathrm{m}: OA′‾≈f′\overline{OA'} \approx f', piepklein omgekeerd beeld in het brandvlak — de camera. Drie toepassingen, één betrekking.

Propositie 3.14 (Longitudinale vergroting)

Verschuift het voorwerp langs de as over  ⁣dOA‾\dd\overline{OA}, dan verschuift het beeld over  ⁣dOA′‾=γ2  ⁣dOA‾\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}, in dezelfde richting.

Bewijs. Differentieer de betrekking van Descartes bij vaste f′f': − ⁣dOA′‾/OA′‾2+ ⁣dOA‾/OA‾2=0-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2 + \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0, dus  ⁣dOA′‾=(OA′‾/OA‾)2  ⁣dOA‾\dd\overline{OA'} = (\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA}. ∎

Opmerking 3.15 (Scherpstellingsdiepte)

Een projector met γ=−50\gamma = -50 heeft γ2=2500\gamma^2 = 2500: een dia die door de warmte van de lamp 0.1 mm0.1\,\mathrm{mm} bol trekt, werpt zijn beeld 25 cm25\,\mathrm{cm} uit het schermvlak. Omgekeerd verdraagt een camera (∣γ∣≪1\abs\gamma \ll 1) grote verplaatsingen van het voorwerp voor een minieme beeldverschuiving — de scherptediepte.

3.4 Een brandpuntsafstand meten

Methode 3.16 (Autocollimatie)

Zet een vlakke spiegel vlak achter de lens en verschuif een verlicht voorwerp (een kruis op matglas) langs de as tot zijn beeld, door de lens terug gereflecteerd, scherp op het voorwerp zelf valt, omgekeerd en even groot. Het voorwerp ligt dan in het brandvlak: de stralen verlaten de lens evenwijdig, komen evenwijdig van de spiegel terug en worden weer in het brandvlak samengebracht. De afstand voorwerp–lens is f′f'.

Propositie 3.17 (Methode van Bessel)

Een voorwerp en een scherm staan op een vaste afstand DD van elkaar. Een convergerende lens vormt precies voor twee standen een scherp reëel beeld op het scherm als D>4f′D > 4f', voor één als D=4f′D = 4f', voor geen enkele als D<4f′D < 4f'. De twee standen liggen een afstand dd uit elkaar, met

f′=D2−d24D.f' = \frac{D^2 - d^2}{4D} .

Bij D=4f′D = 4f' (Silbermann) geeft de enige stand γ=−1\gamma = -1.

Bewijs. Zij p=−OA‾>0p = -\overline{OA} > 0 de afstand voorwerp–lens; dan is OA′‾=D−p\overline{OA'} = D - p en geeft Descartes 1/(D−p)+1/p=1/f′1/(D - p) + 1/p = 1/f', dus p2−Dp+Df′=0p^2 - Dp + Df' = 0: discriminant D2−4Df′D^2 - 4Df', positief precies als D>4f′D > 4f'. De twee wortels p1,2=(D∓D2−4Df′)/2p_{1,2} = (D \mp \sqrt{D^2 - 4Df'})/2 tellen op tot DD (de standen zijn symmetrisch: voorwerps- en beeldafstand worden verwisseld) en verschillen d=D2−4Df′d = \sqrt{D^2 - 4Df'}; los op naar f′f'. Bij D=4f′D = 4f' is p=2f′=OA′‾p = 2f' = \overline{OA'} en γ=−1\gamma = -1. ∎

De methode van Bessel: voorwerp en scherm vast op D > 4f'; de lens geeft een scherp beeld in twee symmetrische standen op afstand d van elkaar (vergroot, verkleind), en f' = (D2 - d2)/4D.
De methode van Bessel: voorwerp en scherm vast op D>4f′D > 4f'; de lens geeft een scherp beeld in twee symmetrische standen op afstand dd van elkaar (vergroot, verkleind), en f′=(D2−d2)/4Df' = (D^2 - d^2)/4D.

3.5 Twee dunne lenzen

Propositie 3.18 (Lenzen in contact; afocaal doublet)

Twee dunne lenzen in contact gedragen zich als één dunne lens met vergentie V=V1+V2V = V_1 + V_2. Twee lenzen zo geplaatst dat F1′=F2F_1' = F_2 vormen een afocaal systeem: een evenwijdige bundel treedt evenwijdig uit, en een bundel onder een hoek α\alpha treedt uit onder α′=Gα\alpha' = G\alpha met de hoekvergroting G=−f1′/f2′G = -f_1'/f_2'.

Bewijs. Het beeld A1A_1 van L1L_1 is het voorwerp voor L2L_2. In contact is O1=O2=OO_1 = O_2 = O: 1/OA1‾−1/OA‾=V11/\overline{OA_1} - 1/\overline{OA} = V_1 en 1/OA′‾−1/OA1‾=V21/\overline{OA'} - 1/\overline{OA_1} = V_2; tel op. Afocaal: een evenwijdige bundel onder hoek α\alpha komt samen in het gemeenschappelijke brandvlak op hoogte h=f1′αh = f_1'\alpha vanaf de as (straal door O1O_1); vanuit L2L_2 gezien ligt dat punt in haar voorwerpsbrandvlak, zodat de bundel evenwijdig uittreedt, onder de hoek van de straal vanuit dat punt door O2O_2: α′=−h/f2′\alpha' = -h/f_2'. ∎

Voorbeeld 3.19 (Een telescoop in één regel)

f1′=1000 mmf_1' = 1000\,\mathrm{mm}, f2′=25 mmf_2' = 25\,\mathrm{mm}: G=−40G = -40; de maan, een halve graad breed, wordt een schijf van 20∘20^\circ — de astronomische kijker van het volgende hoofdstuk. Met een divergerend oculair, f2′=−25 mmf_2' = -25\,\mathrm{mm}, is G=+40G = +40: rechtop, de kijker van Galilei.

3.6 Oefeningen

Oefening 3.1 ★

Een holle spiegel heeft R=40 cmR = 40\,\mathrm{cm}. Bepaal het beeld van een voorwerp op 60 cm60\,\mathrm{cm}, 30 cm30\,\mathrm{cm} en 10 cm10\,\mathrm{cm} van de top: plaats, reëel of virtueel, vergroting.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.1.

SF‾=−20 cm\overline{SF} = -20\,\mathrm{cm}; 1/SA′‾=1/SF‾−1/SA‾1/\overline{SA'} = 1/\overline{SF} - 1/\overline{SA}. Op 60 cm60\,\mathrm{cm}: SA′‾=−30 cm\overline{SA'} = -30\,\mathrm{cm}, reëel, γ=−0.5\gamma = -0.5. Op 30 cm30\,\mathrm{cm}: SA′‾=−60 cm\overline{SA'} = -60\,\mathrm{cm}, reëel, γ=−2\gamma = -2. Op 10 cm10\,\mathrm{cm}: 1/SA′‾=−1/20+1/10=1/201/\overline{SA'} = -1/20 + 1/10 = 1/20, SA′‾=+20 cm\overline{SA'} = +20\,\mathrm{cm} achter de spiegel, virtueel, γ=+2\gamma = +2 (rechtop, vergroot).

Oefening 3.2 ★

Een convergerende lens heeft f′=5.0 cmf' = 5.0\,\mathrm{cm}. Bepaal het beeld van een voorwerp op 20 cm20\,\mathrm{cm} en daarna op 3.0 cm3.0\,\mathrm{cm}; schets de constructies.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.2.

OA‾=−20 cm\overline{OA} = -20\,\mathrm{cm}: 1/OA′‾=1/5−1/20=3/201/\overline{OA'} = 1/5 - 1/20 = 3/20, OA′‾=+6.7 cm\overline{OA'} = +6.7\,\mathrm{cm}, reëel en omgekeerd, γ=−1/3\gamma = -1/3. OA‾=−3.0 cm\overline{OA} = -3.0\,\mathrm{cm}: 1/OA′‾=1/5−1/3=−2/151/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15, OA′‾=−7.5 cm\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}, virtueel en rechtop, γ=+2.5\gamma = +2.5.

Oefening 3.3 ★

Geef de vergentie van een lens met brandpuntsafstand 25 cm25\,\mathrm{cm}; de brandpuntsafstand van een lens van −2.0 δ-2.0\,\delta; de brandpuntsafstand van een lens van +3.0 δ+3.0\,\delta en een van −1.0 δ-1.0\,\delta in contact.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.3.

V=1/0.25=+4.0 δV = 1/0.25 = +4.0\,\delta; f′=1/(−2.0)=−50 cmf' = 1/(-2.0) = -50\,\mathrm{cm}; V=3.0−1.0=+2.0 δV = 3.0 - 1.0 = +2.0\,\delta, f′=50 cmf' = 50\,\mathrm{cm}.

Oefening 3.4 ★

Bepaal met f′=10 cmf' = 10\,\mathrm{cm} en een voorwerp 15 cm15\,\mathrm{cm} vóór FF met de betrekking van Newton de plaats van het beeld en γ\gamma; controleer met de betrekking van Descartes.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.4.

FA‾=−15 cm\overline{FA} = -15\,\mathrm{cm}: F′A′‾=−f′2/FA‾=+100/15=6.7 cm\overline{F'A'} = -f'^2/\overline{FA} = +100/15 = 6.7\,\mathrm{cm} voorbij F′F', dus OA′‾=16.7 cm\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}; γ=f′/FA‾=−0.67\gamma = f'/\overline{FA} = -0.67. Descartes: OA‾=−25 cm\overline{OA} = -25\,\mathrm{cm}, 1/OA′‾=1/10−1/25=3/501/\overline{OA'} = 1/10 - 1/25 = 3/50, OA′‾=16.7 cm\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}, γ=16.7/(−25)=−0.67\gamma = 16.7/(-25) = -0.67.

Oefening 3.5 ★★

Een bolle buitenspiegel heeft R=2.0 mR = 2.0\,\mathrm{m}. Een auto van 1.5 m1.5\,\mathrm{m} hoog staat 20 m20\,\mathrm{m} erachter: bepaal de plaats van het beeld, zijn hoogte, en verklaar de waarschuwing “voorwerpen zijn dichterbij dan zij lijken”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.5.

SF‾=+1.0 m\overline{SF} = +1.0\,\mathrm{m}, SA‾=−20 m\overline{SA} = -20\,\mathrm{m}: 1/SA′‾=1+1/201/\overline{SA'} = 1 + 1/20, SA′‾=0.95 m\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m} achter de spiegel (virtueel, rechtop); γ=−0.95/(−20)=+0.048\gamma = -0.95/(-20) = +0.048, beeldhoogte 7.1 cm7.1\,\mathrm{cm}. Het brein leidt afstand af uit schijnbare grootte: een auto die twintig keer kleiner op 0.95 m0.95\,\mathrm{m} wordt getoond, wordt gelezen als een auto ver weg — verder dan 20 m20\,\mathrm{m}.

Oefening 3.6 ★★

Een cameralens, f′=50 mmf' = 50\,\mathrm{mm}, wordt scherpgesteld op een onderwerp op 2.0 m2.0\,\mathrm{m}. Hoeveel moet de lens verschuiven vanaf haar stand voor oneindig? Hoe groot is de vergroting? Hoe ver moet de fotograaf staan om een persoon van 1.8 m1.8\,\mathrm{m} op de 24 mm24\,\mathrm{mm} hoogte van de sensor te laten passen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.6.

1/OA′‾=1/50−1/2000=0.0195 mm−11/\overline{OA'} = 1/50 - 1/2000 = 0.0195\,\mathrm{mm}^{-1}, OA′‾=51.3 mm\overline{OA'} = 51.3\,\mathrm{mm}: de lens beweegt 1.3 mm1.3\,\mathrm{mm} van de sensor af. γ=51.3/(−2000)=−0.026\gamma = 51.3/(-2000) = -0.026. Voor ∣γ∣=24/1800=1/75\abs\gamma = 24/1800 = 1/75: OA‾=f′(1/γ−1)=50×(−76)=−3.8 m\overline{OA} = f'(1/\gamma - 1) = 50 \times (-76) = -3.8\,\mathrm{m}.

Oefening 3.7 ★★

Een projector moet een dia van 36 mm36\,\mathrm{mm} breed tonen als een beeld van 1.8 m1.8\,\mathrm{m} breed op een scherm 5.0 m5.0\,\mathrm{m} van de lens. Bepaal de vereiste brandpuntsafstand en de afstand dia–lens. Waarom wordt de dia ondersteboven ingestoken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.7.

γ=−1.8/0.036=−50\gamma = -1.8/0.036 = -50; OA′‾=5.0 m\overline{OA'} = 5.0\,\mathrm{m}, OA‾=OA′‾/γ=−10 cm\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma = -10\,\mathrm{cm}; 1/f′=1/5.0+1/0.10=10.2 m−11/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2\,\mathrm{m}^{-1}, f′=98 mmf' = 98\,\mathrm{mm}. Het beeld is omgekeerd (γ<0\gamma < 0), boven–onder en links–rechts: de dia gaat er over 180∘180^\circ gedraaid in.

Oefening 3.8 ★★

Leg met een stralengang uit waarom autocollimatie het brandvlak precies bepaalt, en waarom het teruggekaatste beeld omgekeerd en even groot is als het voorwerp. Wat gebeurt er met het teruggekaatste beeld als de spiegel iets wordt gekanteld?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.8.

Voorwerp in het brandvlak ⇒\Rightarrow de stralen uit elk punt verlaten de lens evenwijdig; de vlakke spiegel stuurt ze evenwijdig terug (symmetrische richting); de lens brengt een evenwijdige bundel samen in haar brandvlak, in het punt dat symmetrisch met het bronpunt ten opzichte van de as ligt: beeld in het voorwerpsvlak, omgekeerd, γ=−1\gamma = -1. De spiegel over α\alpha kantelen draait de terugkerende bundel over 2α2\alpha en verschuift het beeld zijdelings over 2αf′2\alpha f', nog altijd scherp in hetzelfde vlak.

Oefening 3.9 ★★

Voorwerp en scherm staan 1.00 m1.00\,\mathrm{m} uit elkaar; er ontstaan scherpe beelden voor twee lensstanden 40 cm40\,\mathrm{cm} uit elkaar. Bepaal f′f'. Wat is de kleinste afstand voorwerp–scherm waarop deze lens nog een scherp beeld kan projecteren, en met welke vergroting?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.9.

f′=(1002−402)/(4×100)=21 cmf' = (100^2 - 40^2)/(4 \times 100) = 21\,\mathrm{cm}. Kleinste afstand 4f′=84 cm4f' = 84\,\mathrm{cm}, met γ=−1\gamma = -1.

Oefening 3.10 ★★★

Een convergerende lens L1L_1 (f1′=20 cmf_1' = 20\,\mathrm{cm}) wordt 15 cm15\,\mathrm{cm} verderop gevolgd door een divergerende lens L2L_2 (f2′=−10 cmf_2' = -10\,\mathrm{cm}). Bepaal het beeld van een voorwerp op oneindig. Toon aan dat een ver voorwerp met hoekgrootte α\alpha een beeld van hoogte 40 cm×α40\,\mathrm{cm}\times\alpha geeft, en vergelijk met de lengte van de opstelling: het beginsel van de telelens.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.10.

L1L_1 beeldt oneindig af in F1′F_1', 20 cm20\,\mathrm{cm} voorbij L1L_1, dus 5 cm5\,\mathrm{cm} voorbij L2L_2: een virtueel voorwerp, O2A1‾=+5 cm\overline{O_2A_1} = +5\,\mathrm{cm}. 1/O2A′‾=−1/10+1/5=1/101/\overline{O_2A'} = -1/10 + 1/5 = 1/10: eindbeeld 10 cm10\,\mathrm{cm} voorbij L2L_2. Hoogte van het tussenbeeld h1=f1′α=20αh_1 = f_1'\alpha = 20\alpha (cm); γ2=10/5=2\gamma_2 = 10/5 = 2, dus h=40αh = 40\alpha: gelijkwaardige brandpuntsafstand 40 cm40\,\mathrm{cm}, in een huls van 15+10=25 cm15 + 10 = 25\,\mathrm{cm} lang — een telelens.

Oefening 3.11 ★★★

Een holle spiegel vormt op een scherm 80 cm80\,\mathrm{cm} van een lampgloeidraad een beeld van die gloeidraad, drie keer zo groot. Bepaal de plaatsen van de spiegel en haar kromtestraal.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.11.

γ=−3=−SA′‾/SA‾\gamma = -3 = -\overline{SA'}/\overline{SA} geeft SA′‾=3SA‾\overline{SA'} = 3\overline{SA}; beide reëel, ervóór: SA‾=−x\overline{SA} = -x, SA′‾=−3x\overline{SA'} = -3x, en de afstand scherm–lamp 2x=80 cm2x = 80\,\mathrm{cm}: x=40 cmx = 40\,\mathrm{cm}. Spiegel 40 cm40\,\mathrm{cm} van de lamp, 120 cm120\,\mathrm{cm} van het scherm; 1/SF‾=−1/40−1/120=−1/301/\overline{SF} = -1/40 - 1/120 = -1/30: R=2×30=60 cmR = 2 \times 30 = 60\,\mathrm{cm}.

Oefening 3.12 ★★★

De zon beslaat 0.53∘0.53^\circ. Een convergerende lens met diameter 10 cm10\,\mathrm{cm} en brandpuntsafstand 50 cm50\,\mathrm{cm} vormt haar beeld op een vel papier. Bereken de beelddiameter, het opgevangen vermogen (zonne-instraling 1.0 kW/m21.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}) en de bestralingssterkte in het beeld; vergelijk met de directe instraling van de zon en trek een conclusie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.12.

θ=0.53∘=9.3×10−3 rad\theta = 0.53^\circ = 9.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}; beelddiameter f′θ=4.6 mmf'\theta = 4.6\,\mathrm{mm}. Opgevangen vermogen 103×π(0.05)2=7.9 W10^3 \times \pi(0.05)^2 = 7.9\,\mathrm{W}; beeldoppervlak π(2.3×10−3)2=1.7×10−5 m2\pi(2.3\times10^{-3})^2 = 1.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}; bestralingssterkte 4.7×105 W/m24.7 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}, 470470 keer het directe zonlicht: papier verkoolt en vat vlam — het brandglas. In het algemeen is de winst (D/f′θ)2(D/f'\theta)^2.

3.7 Probleem: De diaprojector

Probleem 3.1

Weekendopgave — één lens, op een optische bank gemeten en daarna gevraagd een kleinbeelddia door een zaal te werpen: hoe een projector wordt ontworpen, scherpgesteld en van een voorzetlens voorzien

Een projectielens L1L_1 is een convergerende dunne lens met onbekende brandpuntsafstand f1′f_1'. De dia is 24 mm24\,\mathrm{mm} hoog en 36 mm36\,\mathrm{mm} breed.

Deel I — De lens op de bank.

  1. Formuleer de betrekking van Descartes en de vergroting voor een dunne lens, met de tekenafspraken.
  2. Voorwerp en scherm staan op een vaste afstand DD van elkaar. Toon aan dat een reëel beeld op het scherm D≥4f1′D \geq 4f_1' vereist.
  3. Toon aan dat, wanneer D>4f1′D > 4f_1', de twee lensstanden die een scherp beeld geven symmetrisch liggen ten opzichte van het midden van voorwerp en scherm, en dat f1′=(D2−d2)/4Df_1' = (D^2 - d^2)/4D met dd hun onderlinge afstand.
  4. Met D=80.0 cmD = 80.0\,\mathrm{cm} en d=40.0 cmd = 40.0\,\mathrm{cm}: bereken f1′f_1'.
  5. De lens zit in een dikke huls waarvan het optisch middelpunt niet nauwkeurig te bepalen is. Waarom hindert dat de methode niet?
  6. De afstanden dragen u(D)=0.2 cmu(D) = 0.2\,\mathrm{cm} en u(d)=0.5 cmu(d) = 0.5\,\mathrm{cm}. Bereken u(f1′)u(f_1') en schrijf het resultaat op.
  7. Geef de vergroting in elk van beide standen. Welke hoort bij een projector?
  8. Wat is de kleinste DD waarvoor een scherp beeld bestaat, en de vergroting dan (Silbermann)?

Deel II — Het beeld werpen. Het beeld op het scherm moet 1.80 m1.80\,\mathrm{m} breed zijn. Neem f1′=15.0 cmf_1' = 15.0\,\mathrm{cm}.

  1. Welke vergroting is vereist (met haar teken)?
  2. Bereken de afstand lens–scherm en de afstand dia–lens.
  3. Waarom wordt de dia ondersteboven en spiegelbeeldig ingestoken?
  4. Het scherm wordt naar 10.0 m10.0\,\mathrm{m} verplaatst. Over hoeveel, en in welke richting, moet de lens ten opzichte van de dia verschuiven om weer scherp te stellen? Hoe breed is het beeld nu?

Deel III — Scherpstellingstolerantie en licht.

  1. Toon aan dat een kleine verplaatsing  ⁣dOA‾\dd\overline{OA} van de dia het beeld over  ⁣dOA′‾=γ2  ⁣dOA‾\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA} verschuift.
  2. De film trekt 0.10 mm0.10\,\mathrm{mm} bol door de warmte van de lamp. Over hoeveel verschuift het beeldvlak (scherm op 7.65 m7.65\,\mathrm{m})? Becommentarieer.
  3. De lensopening heeft een diameter van 30 mm30\,\mathrm{mm}. Als het scherm 20 cm20\,\mathrm{cm} uit het beeldvlak staat, hoe groot is dan de diameter van de onscherptevlek van een punt van de dia? Merkt het oog dat vanaf 5 m5\,\mathrm{m} (hoekoplossend vermogen ongeveer 3×10−4 rad3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad})?
  4. De dia ontvangt 2.0 W2.0\,\mathrm{W} licht, dat volledig het scherm bereikt. Bereken de bestralingssterkte (vermogen per oppervlakte) op de dia en op het scherm, en toon aan dat hun verhouding γ2\gamma^2 is.

Deel IV — De voorzetlens voor grote afstand. In een grotere zaal staat het scherm 12.0 m12.0\,\mathrm{m} ver. Een divergerende lens L2L_2, f2′=−30.0 cmf_2' = -30.0\,\mathrm{cm}, wordt 8.0 cm8.0\,\mathrm{cm} achter L1L_1 geklemd; het scherm staat 12.0 m12.0\,\mathrm{m} van L2L_2.

  1. Waar (vanaf L2L_2) moet het tussenbeeld van L1L_1 liggen opdat het eindbeeld reëel op het scherm valt? Is het een reëel of een virtueel voorwerp voor L2L_2?
  2. Leid daaruit de stand O1A‾\overline{O_1A} van de dia af.
  3. Bereken γ1\gamma_1, γ2\gamma_2 en de totale vergroting.
  4. Geef de beeldbreedte en vergelijk met wat L1L_1 alleen op hetzelfde scherm zou geven (12.08 m12.08\,\mathrm{m} van L1L_1).

  5. Toon aan dat het systeem voor een voorwerp op oneindig gelijkwaardig is met één lens met brandpuntsafstand feqf_{\mathrm{eq}} waarvoor

    1feq=1f1′+1f2′−ef1′f2′,\frac{1}{f_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{f_1'} + \frac{1}{f_2'} - \frac{e}{f_1' f_2'},

    met e=O1O2‾e = \overline{O_1O_2}, in de zin dat een bundel onder hoek α\alpha samenkomt op hoogte feq αf_{\mathrm{eq}}\,\alpha vanaf de as. Bereken feqf_{\mathrm{eq}}.

  6. Ga na dat de verhouding van de beeldbreedtes (met/zonder voorzetlens) dicht bij f1′/feqf_1'/f_{\mathrm{eq}} ligt. Waarom slechts bij benadering?
  7. Waarom moet het tussenbeeld minder dan ∣f2′∣\abs{f_2'} voorbij L2L_2 liggen opdat het eindbeeld reëel is?
  8. Met welke factor verandert bij dezelfde lamp de bestralingssterkte op het scherm wanneer de voorzetlens wordt gemonteerd (zelfde schermafstand)?
  9. Vat samen: met welke factor vermenigvuldigt de voorzetlens de brandpuntsafstand, en wat doet zij bij een gegeven werpafstand met beeldgrootte en helderheid?
Oplossing

Oplossing van Probleem 3.1.

1. 1/OA′‾−1/OA‾=1/f′1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f', γ=OA′‾/OA‾\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA}; as georiënteerd met het licht mee, afstanden algebraïsch vanaf OO.

2. p=−OA‾p = -\overline{OA}, OA′‾=D−p\overline{OA'} = D - p: 1/(D−p)+1/p=1/f1′1/(D - p) + 1/p = 1/f_1', dus p2−Dp+Df1′=0p^2 - Dp + Df_1' = 0; reële wortels precies als D2−4Df1′≥0D^2 - 4Df_1' \geq 0, dus D≥4f1′D \geq 4f_1'.

3. De wortels tellen op tot DD: p1+p2=Dp_1 + p_2 = D, dus p2=D−p1p_2 = D - p_1 — voorwerps- en beeldafstand wisselen om, de standen liggen symmetrisch om het midden. d=p2−p1=D2−4Df1′d = p_2 - p_1 = \sqrt{D^2 - 4Df_1'}, dus f1′=(D2−d2)/4Df_1' = (D^2 - d^2)/4D.

4. f1′=(6400−1600)/320=15.0 cmf_1' = (6400 - 1600)/320 = 15.0\,\mathrm{cm}.

5. Alleen de verplaatsing dd van de huls tussen de twee scherpe standen en de afstand voorwerp–scherm DD komen erin voor: geen van beide vereist te weten waar OO binnen de huls zit.

6. ∂f1′/∂D=1/4+d2/4D2=0.3125\partial f_1'/\partial D = 1/4 + d^2/4D^2 = 0.3125, ∂f1′/∂d=−d/2D=−0.25\partial f_1'/\partial d = -d/2D = -0.25; dus u(f1′)2=(0.3125×0.2)2+(0.25×0.5)2=0.0195 cm2u(f_1')^2 = (0.3125 \times 0.2)^2 + (0.25 \times 0.5)^2 = 0.0195\,\mathrm{cm}^{2} en u(f1′)=0.14 cmu(f_1') = 0.14\,\mathrm{cm}: f1′=(15.00±0.14) cmf_1' = (15.00 \pm 0.14)\,\mathrm{cm}.

7. p=(80∓40)/2=20p = (80 \mp 40)/2 = 20 of 60 cm60\,\mathrm{cm}: γ=−60/20=−3\gamma = -60/20 = -3 (dia dicht bij de lens, vergroot: de projector) en γ=−1/3\gamma = -1/3.

8. Dmin⁡=4f1′=60.0 cmD_{\min} = 4f_1' = 60.0\,\mathrm{cm}, γ=−1\gamma = -1.

9. γ=−1.80/0.036=−50\gamma = -1.80/0.036 = -50.

10. OA′‾=f1′(1−γ)=15×51=765 cm=7.65 m\overline{OA'} = f_1'(1 - \gamma) = 15 \times 51 = 765\,\mathrm{cm} = 7.65\,\mathrm{m}; OA‾=OA′‾/γ=−15.3 cm\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma = -15.3\,\mathrm{cm}.

11. γ<0\gamma < 0: het reële beeld is over 180∘180^\circ om de as gedraaid, dus wordt de dia over 180∘180^\circ gedraaid ingestoken (ondersteboven en spiegelbeeldig).

12. OA′‾=1000 cm\overline{OA'} = 1000\,\mathrm{cm}: 1/OA‾=1/1000−1/151/\overline{OA} = 1/1000 - 1/15, OA‾=−15.23 cm\overline{OA} = -15.23\,\mathrm{cm}: de lens beweegt 0.7 mm0.7\,\mathrm{mm} naar de dia toe. γ=1000/(−15.23)=−65.7\gamma = 1000/(-15.23) = -65.7: beeld 2.36 m2.36\,\mathrm{m} breed.

13. Descartes afleiden: − ⁣dOA′‾/OA′‾2+ ⁣dOA‾/OA‾2=0-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2 + \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0, dus  ⁣dOA′‾=(OA′‾/OA‾)2  ⁣dOA‾=γ2  ⁣dOA‾\dd\overline{OA'} = (\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}.

14. 2500×0.10 mm=25 cm2500 \times 0.10\,\mathrm{mm} = 25\,\mathrm{cm}: het beeld loopt uit focus zodra de film opwarmt — vandaar dia’s tussen glas of een scherpstelling die de film volgt.

15. Gelijkvormige driehoeken van de opening naar het beeldpunt: vlek =30×0.20/7.65=0.78 mm= 30 \times 0.20/7.65 = 0.78\,\mathrm{mm}; vanaf 5 m5\,\mathrm{m} beslaat die 1.6×10−4 rad<3×10−4 rad1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} < 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}: niet gemerkt.

16. Oppervlak van de dia 8.64×10−4 m28.64\times10^{-4}\ \mathrm{m}^{2}: Edia=2.0/8.64×10−4=2.3×103 W/m2E_{\text{dia}} = 2.0/8.64\times10^{-4} = 2.3 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}; het scherm is γ2\gamma^2 keer groter, 2.16 m22.16\,\mathrm{m}^{2}: Escherm=0.93 W/m2E_{\text{scherm}} = 0.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}; hetzelfde vermogen, oppervlakken in verhouding γ2=2500\gamma^2 = 2500.

17. O2A′‾=1200 cm\overline{O_2A'} = 1200\,\mathrm{cm}: 1/O2A‾=1/1200+1/30=0.034171/\overline{O_2A} = 1/1200 + 1/30 = 0.03417, O2A‾=+29.3 cm\overline{O_2A} = +29.3\,\mathrm{cm}: het tussenbeeld ligt 29.3 cm29.3\,\mathrm{cm} voorbij L2L_2 — een virtueel voorwerp voor L2L_2 (de stralen uit L1L_1 convergeren ernaartoe).

18. O1A1′‾=8.0+29.3=37.3 cm\overline{O_1A_1'} = 8.0 + 29.3 = 37.3\,\mathrm{cm}; 1/O1A‾=1/37.3−1/15=−0.03981/\overline{O_1A} = 1/37.3 - 1/15 = -0.0398, O1A‾=−25.1 cm\overline{O_1A} = -25.1\,\mathrm{cm}.

19. γ1=37.3/(−25.1)=−1.49\gamma_1 = 37.3/(-25.1) = -1.49; γ2=1200/29.3=41.0\gamma_2 = 1200/29.3 = 41.0; γ=−60.9\gamma = -60.9.

20. Breedte 60.9×36=2.19 m60.9 \times 36 = 2.19\,\mathrm{m}. L1L_1 alleen: γ=1−OA′‾/f1′=1−1208/15=−79.5\gamma = 1 - \overline{OA'}/f_1' = 1 - 1208/15 = -79.5, breedte 2.86 m2.86\,\mathrm{m}.

21. Bundel onder α\alpha: L1L_1 brengt haar samen op hoogte h1=f1′αh_1 = f_1'\alpha in haar brandvlak, dat O2A1‾=f1′−e\overline{O_2A_1} = f_1' - e van L2L_2 ligt; L2L_2 beeldt dit punt af in O2A′‾\overline{O_2A'} met 1/O2A′‾=1/f2′+1/(f1′−e)1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(f_1' - e) en vergroot met γ2=O2A′‾/(f1′−e)\gamma_2 = \overline{O_2A'}/(f_1' - e), dus h=γ2f1′αh = \gamma_2 f_1'\alpha en feq=γ2f1′=f1′f2′f1′+f2′−ef_{\mathrm{eq}} = \gamma_2 f_1' = \dfrac{f_1' f_2'}{f_1' + f_2' - e}, waarvan het omgekeerde de gegeven formule is. 1/feq=1/15−1/30+8/450=0.0511 cm−11/f_{\mathrm{eq}} = 1/15 - 1/30 + 8/450 = 0.0511\,\mathrm{cm}^{-1}, feq=19.6 cmf_{\mathrm{eq}} = 19.6\,\mathrm{cm}.

22. 2.19/2.86=0.772.19/2.86 = 0.77 en 15/19.6=0.7715/19.6 = 0.77. Slechts bij benadering, omdat de dia op eindige afstand staat en de twee werpafstanden vanaf verschillende lenzen worden gemeten; voor een voorwerp op oneindig zou de verhouding exact zijn.

23. Virtueel voorwerp op p>0p > 0 voorbij een divergerende lens: 1/O2A′‾=1/p+1/f2′=1/p−1/∣f2′∣1/\overline{O_2A'} = 1/p + 1/f_2' = 1/p - 1/\abs{f_2'}, positief (reëel beeld) precies als p<∣f2′∣p < \abs{f_2'}.

24. Hetzelfde vermogen op een beeld met een oppervlak (2.19/2.86)2=0.59(2.19/2.86)^2 = 0.59 keer kleiner: bestralingssterkte ×1.7\times 1.7.

25. De voorzetlens vermenigvuldigt de brandpuntsafstand met feq/f1′=1.3f_{\mathrm{eq}}/f_1' = 1.3; bij een gegeven werpafstand is het beeld 1.31.3 keer kleiner in elke richting en 1.71.7 keer helderder — een lens voor grote werpafstand.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst