Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

29Elektromagnetische inductie en toepassingen

Beweeg een magneet naar een spoel toe en er loopt een stroom in de spoel; stop de magneet en de stroom stopt. Faraday vond dit in 1831, na tien jaar zoeken, en het is het feit waarop de elektrische wereld draait: elke elektriciteitscentrale, elke transformator, elke motor en luidspreker en microfoon, elke inductiekookplaat en draadloze lader zet energie om via de wet dat een veranderende magnetische flux een elektromotorische spanning aandrijft. Dit hoofdstuk formuleert de wet met haar tekens, geeft haar de twee gedaanten die zij aanneemt (een veranderend veld in een vaste kring, een kring die in een vast veld beweegt), definieert zelf- en wederzijdse inductie, en werkt daarna de elektromechanische machines uit — de schuivende staaf, de alternator, de transformator, de luidspreker — waar dezelfde wet mechanisch vermogen in elektrisch vermogen omzet en terug, nooit voor niets.

Een MRI-scanner: een supergeleidende spoel die 1.5\, T boven een patiënt aanhoudt — een megajoule aan magnetische energie in een veld met niets erin. Foto: Jan Ainali, CC BY 3.0. — Een MRI-scanner: een supergeleidende spoel die $1.5\,\mathrm{T}$ boven een patiënt aanhoudt — een megajoule aan magnetische energie in een veld met niets erin. Foto: Jan Ainali, CC BY 3.0.

29.1 De wet van Faraday

Definitie 29.1 (Magnetische flux door een kring)

Oriënteer een gesloten kring $\Gamma$ (een doorlooprichting); zijn oppervlak krijgt de normaal $\vect n$ volgens de rechterhandregel. De magnetische flux door de kring is $\Phi = \sum\vect B\cdot\vect n\,\dd S$ over elk oppervlak met rand $\Gamma$ (weber, $1\,\mathrm{Wb} = 1\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}^{2}$ ) — “elk”, omdat de flux van $\vect B$ door een gesloten oppervlak nul is. Voor een homogeen veld en een vlakke spoel van $N$ windingen met oppervlakte $S$ is $\Phi = NBS\cos\alpha$ , met $\alpha$ de hoek tussen $\vect B$ en $\vect n$ .

Stelling 29.2 (De inductiewet van Faraday)

Telkens wanneer de flux door een kring verandert is de kring de zetel van een geïnduceerde elektromotorische spanning

e = -\frac{\dd\Phi}{\dd t} ,

geteld in de oriëntatie van de kring, dat wil zeggen werkend als een ideale spanningsbron met emk $e$ in die zin; in een kring met weerstand $R$ drijft zij de stroom $i = e/R$ aan. Het minteken is de wet van Lenz: de geïnduceerde stroom loopt zo dat hij de fluxverandering tegenwerkt die hem opwekt — zijn eigen veld, en de krachten die hij voelt, verzetten zich tegen de oorzaak.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 29.3 (Twee gedaanten van dezelfde wet)

De flux verandert ofwel omdat $\vect B$ in de tijd verandert door een vaste kring (neumann-inductie: transformator, inductiekookplaat) ofwel omdat de kring beweegt of vervormt in een stationair veld (lorentz-inductie: generator, luidspreker). In het tweede geval laat de emk zich ook rechtstreeks berekenen: de ladingsdragers van een geleiderelement $\dd\vect l$ dat met $\vect v$ beweegt voelen de kracht $q\vect v\wedge \vect B$ , gelijkwaardig aan een elektrisch veld $\vect v\wedge\vect B$ , zodat $e = \oint(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ — en dit stemt altijd overeen met $-\dd\Phi/\dd t$ . De wet van Faraday dekt beide; het volume van jaar 2 legt uit waarom de twee mechanismen één formule geven.

Oriëntatie en de wet van Lenz. Links: de oriëntatie van de kring legt n en het teken van vast. Midden: een magneet die een ring nadert vergroot de flux; de geïnduceerde stroom wekt een veld op dat dat van de magneet tegenwerkt en de ring stoot hem af. Rechts: een staaf die op rails schuift in een veld dat naar de lezer wijst; de flux van de kring groeit, en de geïnduceerde stroom loopt zo dat de laplacekracht op de staaf haar beweging tegenwerkt. — Oriëntatie en de wet van Lenz. Links: de oriëntatie van de kring legt $\vect n$ en het teken van $\Phi$ vast. Midden: een magneet die een ring nadert vergroot de flux; de geïnduceerde stroom wekt een veld op dat dat van de magneet tegenwerkt en de ring stoot hem af. Rechts: een staaf die op rails schuift in een veld dat naar de lezer wijst; de flux van de kring groeit, en de geïnduceerde stroom loopt zo dat de laplacekracht op de staaf haar beweging tegenwerkt.

Voorbeeld 29.4 (Ordes van grootte)

Een spoel van $100$ windingen en $10\,\mathrm{cm}^{2}$ in het aardveld, in $0.1\,\mathrm{s}$ omgeklapt: $\Delta\Phi = 2 \times 100 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-5} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Wb}$ , $e \sim 0.1\,\mathrm{mV}$ — meetbaar met een gevoelige galvanometer, zoals het aardveld ooit in kaart is gebracht. Dezelfde spoel in de spleet van $1\,\mathrm{T}$ van een magneet, er in $0.1\,\mathrm{s}$ uit getrokken: $1\,\mathrm{V}$ . Een transformatorspoel van $1000$ windingen met $1\,\mathrm{T}$ bij $50\,\mathrm{Hz}$ over $10\,\mathrm{cm}^{2}$ : $e_{\max} = 1000 \times 10^{-3} \times 314 = 314\,\mathrm{V}$ — de netspanning.

29.2 Zelfinductie en wederzijdse inductie

Definitie 29.5 (Inductie)

De flux van het eigen veld van een kring door zichzelf is evenredig met zijn stroom: $\Phi_{\text{eigen}} = Li$ , met $L > 0$ zijn zelfinductie (henry, $\mathrm{H}$ ). De flux die kring 1 door kring 2 stuurt is $\Phi_{1 \to 2} = Mi_1$ , en symmetrisch $\Phi_{2 \to 1} = Mi_2$ , met $M$ hun wederzijdse inductie (het teken ligt vast door de oriëntaties). De totale flux van kring 1 is dan $\Phi_1 = L_1i_1 + Mi_2$ .

Propositie 29.6 (De spoel; de solenoïde)

Een kring met zelfinductie $L$ die een veranderende stroom voert is de zetel van de emk $e = -L\,\dd i/\dd t$ : in de verbruikersconventie is dat de spanning $u = L\,\dd i/\dd t$ van de spoel die sinds Hoofdstuk 7 wordt gebruikt. Zij slaat de energie $W = \tfrac12Li^2$ op. Een lange solenoïde met $n$ windingen per meter, lengte $\ell$ en doorsnede $S$ , heeft $L = \mu_0n^2S\ell$ ; haar opgeslagen energie is $\tfrac12\mu_0n^2I^2S\ell = \dfrac{B^2}{2\mu_0}\,S\ell$ : magnetische energie huist in het veld met dichtheid $B^2/2\mu_0$ , precies zoals elektrische energie met $\varepsilon_0E^2/2$ .

Bewijs. Faraday met $\Phi = Li$ en constante $L$ . Energie: het vermogen dat de spoel ontvangt is $ui = Li\,\dd i/\dd t = \dd(\tfrac12Li^2)/\dd t$ . Solenoïde: $B = \mu_0nI$ binnenin, flux $BS$ door elk van de $n\ell$ windingen, dus $\Phi = \mu_0n^2S\ell I$ . De algemene dichtheid wordt aangenomen. ∎

Voorbeeld 29.7 (Een MRI-magneet)

$1.5\,\mathrm{T}$ over ongeveer een kubieke meter: $B^2/2\mu_0 = 2.25/2.5 \times 10^{-6} = 0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — de energie van een autoaccu, opgeslagen in lege ruimte. Bij een spoelstroom van $500\,\mathrm{A}$ is $L = 2W/I^2 = 7\,\mathrm{H}$ . Wordt de supergeleider plotseling weerstandsvol (een quench), dan wordt die megajoule in seconden warmte en kookt zij honderden liters vloeibaar helium weg: de magneetkamer heeft er een afvoer voor.

Propositie 29.8 (De ideale transformator)

Twee spoelen met $N_1$ en $N_2$ windingen op dezelfde gesloten ijzeren kern, zodat dezelfde flux $\varphi$ door elke winding gaat, voldoen aan

\frac{u_2}{u_1} = \frac{N_2}{N_1} , \qquad N_1i_1 + N_2i_2 = 0 \quad\text{(geen belastingverliezen, geen magnetiseringsstroom)},

zodat $u_2i_2 = -u_1i_1$ : het vermogen dat de primaire opneemt wordt aan de secundaire geleverd; spanningen schalen met de windingsverhouding, stromen omgekeerd. Het werkt alleen met veranderende stromen.

Bewijs. $u_1 = N_1\,\dd\varphi/\dd t$ en $u_2 = N_2\,\dd\varphi/\dd t$ (verbruikersconventie aan beide kanten, oriëntaties langs de gemeenschappelijke flux gekozen): deel ze op elkaar. De stroombetrekking is de stelling van Ampère op de kern: haar circulatie, $\mu_0\mu_r$ maal het totale aantal ampèrewindingen, zou de flux moeten opwekken; voor een ideale kern ( $\mu_r \to \infty$ ) vergt dat een verwaarloosbaar aantal ampèrewindingen, en dus $N_1i_1 + N_2i_2 = 0$ . In deze vorm aangenomen. ∎

Links: een transformator — twee spoelen op een gesloten ijzeren kern delen dezelfde flux; de spanningen schalen met de windingen, de stromen omgekeerd. Rechts: twee gekoppelde spoelen in lucht en hun wederzijdse inductie M; de eigen flux van een spoel is Li. — Links: een transformator — twee spoelen op een gesloten ijzeren kern delen dezelfde flux; de spanningen schalen met de windingen, de stromen omgekeerd. Rechts: twee gekoppelde spoelen in lucht en hun wederzijdse inductie $M$ ; de eigen flux van een spoel is $Li$ .

29.3 Bewegende geleiders: generatoren en motoren

Propositie 29.9 (De schuivende staaf)

Een staaf met lengte $\ell$ schuift met snelheid $v$ over twee rails die door een weerstand $R$ zijn gesloten, in een homogeen veld $B$ loodrecht op het vlak. Zij is de zetel van de emk $e = B\ell v$ , drijft $i = B\ell v/R$ aan, en ondervindt de laplacekracht $F = B\ell i = B^2\ell^2v/R$ die haar beweging tegenwerkt. Het mechanische vermogen dat men moet leveren om haar te duwen, $Fv$ , is gelijk aan het elektrische vermogen $ei = Ri^2$ dat wordt gedissipeerd: de staaf is een generator. Voedt men haar in plaats daarvan met een bron $E$ , dan is zij een motor: de stroom $(E - B\ell v)/R$ duwt haar tot de tegen-emk $B\ell v$ $E$ in evenwicht houdt, bij de nullastsnelheid $E/B\ell$ .

Bewijs. Flux $B\ell x$ , $e = -B\ell\dot x$ in de oriëntatie waarvoor $\vect n$ langs $\vect B$ ligt; de laplacekracht $i\vect\ell\wedge\vect B$ op de zo georiënteerde stroom wijst tegen $\vect v$ in (Stelling 29.2, Lenz). Vermenigvuldig de elektrische vergelijking $e = Ri$ met $i$ en de mechanische met $v$ : $Fv = B\ell iv = ei$ . Het elektromechanische vermogen $ei$ en het laplacevermogen $-Fv$ zijn altijd tegengesteld — de wet van de omzetting. ∎

Propositie 29.10 (De draaiende winding: de alternator)

Een spoel van $N$ windingen met oppervlakte $S$ die met $\omega$ draait om een as loodrecht op een homogeen $B$ heeft $\Phi = NBS\cos\omega t$ en

e = NBS\omega\sin\omega t :

een sinusvormige emk met amplitude $NBS\omega$ en de frequentie van de draaiing. In een weerstand $R$ levert zij het gemiddelde vermogen $(NBS\omega)^2/2R$ , geleverd door het koppel dat haar draaiende houdt tegen het laplacekoppel $-\vect m\wedge\vect B$ van haar eigen stroom in.

Bewijs. Differentieer de flux; $\langle\sin^2\rangle = \tfrac12$ . Het koppel is dat van Stelling 28.14 met $m = Ni S$ ; zijn gemiddelde vermogen $\langle\Gamma\omega\rangle$ is gelijk aan $\langle ei\rangle$ door dezelfde berekening als bij de staaf. ∎

Links: de schuivende staaf als generator — emk B v, stroom door R, laplacekracht die de staaf remt; het vermogen van wie duwt is de warmte in de weerstand. Midden en rechts: de draaiende spoel van een alternator en haar sinusvormige emk. — Links: de schuivende staaf als generator — emk $B\ell v$ , stroom door $R$ , laplacekracht die de staaf remt; het vermogen van wie duwt is de warmte in de weerstand. Midden en rechts: de draaiende spoel van een alternator en haar sinusvormige emk.

Voorbeeld 29.11 (Wervelstromen)

Een massieve geleider die in een inhomogeen veld beweegt, of die in een veranderend veld ligt, wordt langs talloze gesloten wegen door veranderende flux doorsneden: er lopen wervelstromen in rond, die hem verwarmen en — volgens Lenz — afremmen. Een magneet die door een koperen buis valt zakt traag omlaag; de remmen van vrachtwagens en achtbanen gebruiken het (geen contact, geen slijtage, geen remfalen — maar ook geen remwerking in stilstand); de inductiekookplaat verwarmt de pan met dezelfde stromen, bij $25\,\mathrm{kHz}$ ; transformatorkernen zijn juist gelamelleerd om ze te onderbreken.

29.4 De luidspreker: een gekoppeld systeem

Propositie 29.12 (Elektromechanische koppeling van een spoel in een radiaal veld)

Een spoel met totale draadlengte $\ell$ ligt in een radiaal veld $B$ zodat elk draadelement loodrecht op $\vect B$ staat; zij beweegt langs haar as met snelheid $v$ en voert $i$ . Dan ondervindt zij de axiale laplacekracht $F = B\ell i$ en is zij de zetel van de tegen-emk $e = -B\ell v$ (in de verbruikersconventie een spanning $B\ell v$ ). Met een massa $m$ , een ophanging met stijfheid $k$ en een mechanische demping $h$ , gevoed door een spanning $u$ via de weerstand $R$ en de zelfinductie $L$ van de spoel:

u = Ri + L\frac{\dd i}{\dd t} + B\ell v , \qquad m\frac{\dd v}{\dd t} = -kx - hv + B\ell i .

Vermenigvuldigen met $i$ en met $v$ en optellen: het elektrische vermogen $ui$ is gelijk aan het joulseverlies $Ri^2$ plus de toename van de opgeslagen energieën $\tfrac12Li^2 + \tfrac12mv^2 + \tfrac12kx^2$ plus het mechanische verlies $hv^2$ (waar het geluid in zit): de omzettingsterm $B\ell iv$ valt weg tussen de twee vergelijkingen. Achterstevoren gebruikt (beweging opgelegd, $u$ afgelezen) is hetzelfde toestel een dynamische microfoon.

Bewijs. Laplacekracht op elk element $i\,\dd\vect l\wedge\vect B$ , alle axiaal en met hetzelfde teken; de emk uit $(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ , gesommeerd over de draad. De energiebalans is de som van de twee vergelijkingen, vermenigvuldigd zoals aangegeven. ∎

Een luidspreker met bewegende spoel in doorsnede: de spreekspoel zit in de ringvormige spleet van een magneet waar het veld radiaal is, zodat een stroom een axiale kracht geeft, wat de stand ook is; de conus die zij aandrijft wordt door een stijve, gedempte ophanging vastgehouden; de beweging van de spoel voert een tegen-emk B v terug in de elektrische kring. — Een luidspreker met bewegende spoel in doorsnede: de spreekspoel zit in de ringvormige spleet van een magneet waar het veld radiaal is, zodat een stroom een axiale kracht geeft, wat de stand ook is; de conus die zij aandrijft wordt door een stijve, gedempte ophanging vastgehouden; de beweging van de spoel voert een tegen-emk $B\ell v$ terug in de elektrische kring.

Opmerking 29.13 (Waarom de koppeling dempt)

Bij lage frequentie ( $L\omega \ll R$ ) is $i \approx (u - B\ell v)/R$ en is de kracht $B\ell u/R - (B^2\ell^2/R)\,v$ : de elektrische kring voegt de demping $B^2\ell^2/R$ aan de mechanische toe. Een luidspreker die op een versterker is aangesloten (lage uitgangsweerstand) is zwaar gedempt — zijn conus staat stil zodra het signaal stopt — en dezelfde koppeling laat de microfoon energie uit het geluid halen (Probleem 29.1).

29.5 Oefeningen

Oefening 29.1 ★

Een spoel van $100$ windingen en $10\,\mathrm{cm}^{2}$ in een homogeen veld van $0.20\,\mathrm{T}$ onder $30{}^{\circ}$ met haar normaal. Flux; gemiddelde emk als het veld in $10\,\mathrm{ms}$ wordt uitgeschakeld; in $1\,\mathrm{ms}$ ; zin van de geïnduceerde stroom ten opzichte van het veld (Lenz).

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.1.

$\Phi = NBS\cos30^\circ = 100 \times 0.2 \times 10^{-3} \times 0.866 = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{Wb}$ ; $\langle e\rangle = \Delta\Phi/\Delta t = 1.7\,\mathrm{V}$ in $10\,\mathrm{ms}$ , $17\,\mathrm{V}$ in $1\,\mathrm{ms}$ . De stroom loopt zo dat hij de verdwijnende flux herstelt: zijn veld ligt langs de oude $\vect B$ .

Oefening 29.2 ★

Een staaf van $20\,\mathrm{cm}$ schuift met $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ over rails die door $0.10\,\Omega$ zijn gesloten, in $0.50\,\mathrm{T}$ . Emk, stroom, laplacekracht, kracht die wie duwt moet leveren, mechanisch vermogen, elektrisch vermogen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.2.

$e = B\ell v = 0.5 \times 0.2 \times 2 = 0.20\,\mathrm{V}$ ; $i = 2.0\,\mathrm{A}$ ; $F = B\ell i = 0.20\,\mathrm{N}$ remmend, dus levert wie duwt $0.20\,\mathrm{N}$ ; $Fv = 0.40\,\mathrm{W} = Ri^2$ .

Oefening 29.3 ★

Solenoïde met $1000\,\mathrm{windingen}/\mathrm{m}$ , lengte $20\,\mathrm{cm}$ , doorsnede $4.0\,\mathrm{cm}^{2}$ : zelfinductie; energie bij $5.0\,\mathrm{A}$ ; tijdconstante met een weerstand van $1.0\,\Omega$ ; veld binnenin en energiedichtheid, ter controle van $B^2/2\mu_0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.3.

$L = \mu_0n^2S\ell = 4\pi \times 10^{-7} \times 10^6 \times 4 \times 10^{-4} \times 0.2 = 0.10\,\mathrm{mH}$ ; $W = \tfrac12LI^2 = 1.3\,\mathrm{mJ}$ ; $\tau = L/R = 0.1\,\mathrm{ms}$ . $B = \mu_0nI = 6.3\,\mathrm{mT}$ , $B^2/2\mu_0 = 15.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ over $S\ell = 8 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$ : $1.3\,\mathrm{mJ}$ .

Oefening 29.4 ★

Een transformator van $230\,\mathrm{V}$ naar $12\,\mathrm{V}$ : windingsverhouding; primaire windingen bij een secundaire van $50$ windingen; primaire stroom wanneer de secundaire $2.0\,\mathrm{A}$ levert. Waarom werkt hij niet op een autoaccu?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.4.

$N_2/N_1 = 12/230 = 0.052$ ; $N_1 = 50/0.052 = 960$ windingen; $i_1 = 2 \times 0.052 = 0.10\,\mathrm{A}$ . Een gelijkstroom geeft een constante flux: geen $\dd\varphi/\dd t$ , geen secundaire spanning — en de primaire, een kortsluiting, zou verbranden.

Oefening 29.5 ★★

De wet van Lenz: geef in elk geval de zin van de geïnduceerde stroom en de richting van de kracht — (a) een noordpool nadert een ring langs zijn as; (b) een ring ligt in een veld dat groeit; (c) een ring valt op een magneet; (d) een magneet valt door een lange koperen buis. Verklaar bij (d) met energie waarom hij met een kleine constante snelheid valt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.5.

(a) De flux (langs de nadering) groeit: de stroom maakt een veld dat haar tegenwerkt — zijn eigen noordpool staat tegenover de noordpool van de magneet — en de ring wordt weggeduwd. (b) Een stroom waarvan het veld de groei tegenwerkt; de ring, een dipool die tegengesteld aan $\vect B$ staat, wordt naar het zwakkere veld geduwd. (c) Bij het vallen groeit de flux: dezelfde stroom als bij (a), de ring wordt afgeremd. (d) Elk stuk buis vóór de magneet ziet groeiende flux, erachter afnemende; beide geïnduceerde stromen remmen de magneet; bij de snelheid waarbij de laplacekracht het gewicht in evenwicht houdt valt de magneet gestaag en wordt zijn verloren potentiële energie joulse warmte in de buis.

Oefening 29.6 ★★

Alternator: $N = 200$ , $S = 20\,\mathrm{cm}^{2}$ , $B = 0.10\,\mathrm{T}$ , $50\,\mathrm{Hz}$ . Piek- en effectieve emk; piekstroom en piekkoppel in $10\,\Omega$ ; gemiddeld elektrisch vermogen; vergelijk met het gemiddelde mechanische vermogen, en met het ogenblikkelijke koppel op het moment dat de emk verdwijnt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.6.

$E_{\max} = NBS\omega = 200 \times 2 \times 10^{-3} \times 0.1 \times 314 = 12.6\,\mathrm{V}$ , effectief $8.9\,\mathrm{V}$ ; $I_{\max} = 1.26\,\mathrm{A}$ , $\Gamma_{\max} = NBSI_{\max} = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ (wanneer $\sin\omega t = 1$ ); $\langle P\rangle = E_{\max}^2/2R = 7.9\,\mathrm{W}$ $= \langle\Gamma\omega\rangle = \tfrac12 \times 0.05 \times 314$ ; wanneer $e = 0$ is de stroom nul en verdwijnt het koppel — het koppel pulseert met $100\,\mathrm{Hz}$ .

Oefening 29.7 ★★

Magnetische rem. Een vierkante winding met zijde $a = 10\,\mathrm{cm}$ en weerstand $R = 1.0\,\mathrm{m}\Omega$ , massa $1.0\,\mathrm{kg}$ , verlaat een gebied met homogeen veld $B = 1.0\,\mathrm{T}$ met snelheid $v$ (één zijde nog in het veld). Emk, stroom, remkracht; bewegingsvergelijking en tijdconstante; afgelegde weg voordat zij vanaf $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ stilstaat; waar is de kinetische energie gebleven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.7.

$e = Bav$ , $i = Bav/R$ , $F = B^2a^2v/R = 10\,v$ (N). $m\,\dd v/\dd t = -B^2a^2v/R$ : $v = v_0\eu^{-t/\tau}$ , $\tau = mR/B^2a^2 = 0.10\,\mathrm{s}$ ; afstand $v_0\tau = 10\,\mathrm{cm}$ (als het veldgebied lang genoeg is). De kinetische energie, $0.5\,\mathrm{J}$ , wordt als $Ri^2$ in de winding gedissipeerd.

Oefening 29.8 ★★

Een kleine spoel ( $N_2 = 50$ windingen, doorsnede $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ ) zit binnen een lange solenoïde ( $n_1 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ), met de assen uitgelijnd. Wederzijdse inductie; emk in de spoel wanneer de stroom in de solenoïde met $100\,\mathrm{A}/\mathrm{s}$ oploopt, en wanneer zij $1.0\,\mathrm{A}$ bij $10\,\mathrm{kHz}$ is. Hangt $M$ ervan af welke spoel de stroom voert?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.8.

Flux van het veld $\mu_0n_1i_1$ van de solenoïde door de $N_2$ windingen: $M = \mu_0n_1N_2S_2 = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 50 \times 2 \times 10^{-4} = 25\,\text{µ}\mathrm{H}$ . Oplopend: $e = M\,\dd i_1/\dd t = 2.5\,\mathrm{mV}$ ; bij $10\,\mathrm{kHz}$ en $1\,\mathrm{A}$ : $e_{\max} = M\omega I = 25 \times 10^{-6} \times 6.3 \times 10^4 = 1.6\,\mathrm{V}$ . $M$ is symmetrisch: hetzelfde getal geeft de flux die de kleine spoel door de solenoïde stuurt — veel lastiger rechtstreeks te berekenen.

Oefening 29.9 ★★

Energie in een veld: $B = 1.5\,\mathrm{T}$ over $1.0\,\mathrm{m}^{3}$ , als in een MRI-magneet. Energie; zelfinductie voor $I = 500\,\mathrm{A}$ ; hoogte waarnaar die energie een auto van $1\,\mathrm{t}$ zou tillen; volume vloeibaar helium dat zij bij een quench doet koken ( $2.6\,\mathrm{kJ}$ per liter). Energie van het aardveld ( $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ) in een kamer van $50\,\mathrm{m}^{3}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.9.

$W = B^2V/2\mu_0 = 2.25/(2.51 \times 10^{-6}) = 0.90\,\mathrm{MJ}$ ; $L = 2W/I^2 = 7.2\,\mathrm{H}$ ; $h = W/mg = 92\,\mathrm{m}$ ; helium: $9 \times 10^5/2600 = 350\,\mathrm{L}$ . Aardveld: $(5 \times 10^{-5})^2/2\mu_0 = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $50\,\mathrm{mJ}$ in de kamer.

Oefening 29.10 ★★★

Rails als motor. De staaf uit Oefening 29.2 (massa $m$ , geen wrijving) is op een bron $E$ aangesloten via de weerstand $R$ . (a) Elektrische en mechanische vergelijking; toon aan dat $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E - B\ell v)/R$ . (b) Eindsnelheid en tijdconstante. (c) Vermogensbalans: vermogen van de bron $=$ joulse warmte $+$ mechanisch; rendement als functie van $v$ . (d) Getallen: $E = 2.0\,\mathrm{V}$ , $m = 50\,\mathrm{g}$ , de rest als in Oefening 29.2. (e) Een railkanon versnelt een projectiel van $10\,\mathrm{g}$ met $1\,\mathrm{MA}$ over $5\,\mathrm{m}$ in $1\,\mathrm{T}$ : uittreesnelheid (orde van grootte).

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.10.

(a) $E - B\ell v = Ri$ (de tegen-emk werkt de bron tegen), $m\,\dd v/\dd t = B\ell i$ : $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E - B\ell v)/R$ . (b) $v_\infty = E/B\ell$ , $\tau = mR/B^2\ell^2$ . (c) Vermenigvuldig de elektrische vergelijking met $i$ : $Ei = Ri^2 + B\ell vi$ , en $B\ell vi = Fv$ is het mechanische vermogen; rendement $Fv/Ei = B\ell v/E = v/v_\infty$ — $100\%$ alleen bij nullast, waar niets wordt geleverd. (d) $v_\infty = 2/(0.5 \times 0.2) = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\tau = 0.05 \times 0.1/0.01 = 0.5\,\mathrm{s}$ . (e) $F = B\ell I = 1 \times 0.1 \times 10^6 = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ (met $\ell = 10\,\mathrm{cm}$ ), $a = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $v = \sqrt{2a \times 5} = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — tien kilometer per seconde, de belofte en het probleem van railkanonnen (de rails eroderen).

Oefening 29.11 ★★★

De schijf van Faraday. Een koperen schijf met straal $R$ draait met $\omega$ om haar as in een homogeen $B$ langs die as; borstels raken het middelpunt en de rand. (a) Emk tussen middelpunt en rand door $(\vect v\wedge \vect B)\cdot\dd\vect l$ langs een straal te sommeren: $e = \tfrac12B\omega R^2$ . (b) Getallen: $R = 10\,\mathrm{cm}$ , $3000\,\mathrm{rpm}$ , $1.0\,\mathrm{T}$ . (c) Waarom is het een machine met lage spanning en hoge stroom; stroom in $1\,\mathrm{m}\Omega$ , en het remkoppel. (d) Vind $e$ terug met de wet van Faraday op de kring borstel–straal–rand–borstel: welke flux verandert er?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.11.

(a) Op straal $r$ beweegt het metaal met $v = \omega r$ ; $\vect v\wedge\vect B$ is radiaal, met grootte $\omega rB$ : $e = \int_0^R\omega Br\,\dd r = \tfrac12B\omega R^2$ . (b) $\omega = 314$ : $e = 0.5 \times 1 \times 314 \times 0.01 = 1.6\,\mathrm{V}$ . (c) Slechts één “winding”, dus hooguit volts; in $1\,\mathrm{m}\Omega$ : $1.6\,\mathrm{kA}$ , koppel $= P/\omega = ei/\omega = 2500/314 = 8\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . (d) De kring borstel–straal– rand–borstel bestrijkt het oppervlak $\tfrac12R^2\omega\,\dd t$ per $\dd t$ : $\dd\Phi/\dd t = \tfrac12BR^2\omega$ — de flux door de bewegende, vervormende kring.

Oefening 29.12 ★★★

Inductiekookplaat. De spoel onder het glas voert $i_1 = I_1\cos\omega t$ met $I_1 = 30\,\mathrm{A}$ bij $25\,\mathrm{kHz}$ ; de bodem van de pan werkt als één winding met weerstand $R_p = 10\,\mathrm{m}\Omega$ , gekoppeld door $M = 1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$ (de zelfinductie van de panwinding wordt verwaarloosd). (a) Emk die in de pan wordt geïnduceerd, piekwaarde. (b) Stroom en gemiddeld vermogen dat in de pan wordt gedissipeerd. (c) Waarom een hoge frequentie, en waarom komt de warmte in de pan en niet in het glas? (d) De stroom in de pan werkt terug op de spoel: emk die hij daar induceert (piek), en het extra vermogen dat de generator moet leveren — ga na dat dit gelijk is aan (b).

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.12.

(a) $e_2 = -M\,\dd i_1/\dd t$ , piek $M\omega I_1 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 30 = 4.7\,\mathrm{V}$ . (b) $I_2 = 4.7/0.01 = 470\,\mathrm{A}$ piek; $\langle P\rangle = R_pI_2^2/2 = 1.1\,\mathrm{kW}$ . (c) De emk is $\propto\omega$ : een hoge frequentie geeft een bruikbare emk bij een bescheiden $M$ ; het glas is een isolator, er loopt niets in — de warmte ontstaat in het metaal zelf. (d) De stroom in de pan induceert in de spoel $M\omega I_2 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 470 = 74\,\mathrm{V}$ piek, in fase met $i_1$ (de panstroom loopt niet achter op $e_2$ , want hij is resistief, en $e_2$ loopt $90{}^{\circ}$ … achter op $i_1$ , zodat de teruggekoppelde emk $-M\,\dd i_2/\dd t$ is, in tegenfase met de aandrijvende spanning van $i_1$ ): de generator levert $\tfrac12 \times 74 \times 30 = 1.1\,\mathrm{kW}$ meer — precies wat de pan dissipeert.

Een fietsdynamo: het wiel draait een magneet in een spoel, de flux door de spoel verandert, en de lamp gaat branden — de wet van Faraday op de fiets.

29.6 Probleem: De fietsdynamo en de luidspreker

Probleem 29.1

Weekendopgave — twee elektromechanische omzetters uit elkaar gehaald: een dynamo die zichzelf regelt, en een luidspreker waarvan de versterker tegelijk zijn rem is

Deel I — De fietsdynamo. Een spoel van $N = 300$ windingen met oppervlakte $S = 3.0\,\mathrm{cm}^{2}$ draait in een homogeen veld $B = 0.30\,\mathrm{T}$ ; haar as draagt een rolletje met straal $r = 1.0\,\mathrm{cm}$ dat tegen de band wordt gedrukt, zodat de spoel met $\omega = v/r$ draait bij een fietssnelheid $v$ . Weerstand van de spoel $r_c = 4.0\,\Omega$ , zelfinductie $L = 20\,\mathrm{mH}$ ; de lamp is een weerstand $R = 12\,\Omega$ .

Flux door de spoel en geïnduceerde emk als functie van de tijd; amplitude en frequentie bij $v = 18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Verwaarloos eerst $L$ : effectieve stroom en vermogen in de lamp bij $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; is een lamp van “ $6\,\mathrm{V}$ , $3\,\mathrm{W}$ ” comfortabel?
Gemiddeld mechanisch vermogen dat de fietser aan de dynamo levert, en de bijbehorende kracht op de band (vergelijk met de rolweerstand, ongeveer $2\,\mathrm{N}$ ).
Verklaar met de wet van Lenz waarom de dynamo tegenwerkt, en waarom een lamp die “gratis” brandt niet met het energiebehoud in strijd is.
Neem nu $L$ mee: complexe impedantie van de kring; toon aan dat de stroomamplitude $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$ is en dat zij bij hoge snelheid verzadigt; geef die limiet en de snelheid waarbij zij $70\%$ ervan bereikt.
Wat zou de lamp zonder de zelfinductie bij $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ bergaf ontvangen? En met?
Stroom en lampvermogen bij $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en bij $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; becommentarieer de zelfregeling.
Echte dynamo’s laten een magneet in een vaste spoel draaien. Verandert de analyse daardoor? Welk praktisch probleem lost dat op?
Wat doet de lamp wanneer de fiets bij een rood licht stopt, en hoe verhelpen moderne lampen dat?

Deel II — De luidspreker. Spreekspoel: draadlengte $\ell = 5.0\,\mathrm{m}$ in een radiaal veld $B = 1.0\,\mathrm{T}$ , weerstand $R = 8.0\,\Omega$ , zelfinductie $L = 0.50\,\mathrm{mH}$ ; bewegende massa (spoel en conus) $m = 10\,\mathrm{g}$ ; stijfheid van de ophanging $k = 1000\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , mechanische demping $h = 1.0\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ . Sinusvormig regime, complexe amplitudes.

Kracht op de spoel bij een stroom $i$ ; tegen-emk bij een snelheid $v$ (leid beide af, met tekens).
Schrijf de elektrische en de mechanische vergelijking op.
Elimineer $i$ en toon aan dat $\underline v = \dfrac{B\ell\,\underline u}{(R + jL\omega)(jm\omega + h + k/j\omega) + B^2\ell^2}$ .
Toon aan dat de koppeling bij frequenties waar $L\omega \ll R$ werkt als een extra mechanische demping $B^2\ell^2/R$ ; waarde; resonantie- frequentie van de conus en haar kwaliteitsfactor met en zonder de elektrische demping.
De versterker levert een $i$ met amplitude $1.0\,\mathrm{A}$ bij $1\,\mathrm{kHz}$ : amplitude van kracht, versnelling, uitwijking en snelheid van de conus (massagestuurd regime); amplitude van de tegen-emk vergeleken met $Ri$ .
Dezelfde stroom bij de resonantiefrequentie: snelheidsamplitude (dempingsgestuurd) en tegen-emk; becommentarieer.
Elektrisch vermogen bij $1\,\mathrm{kHz}$ ; mechanisch vermogen dat in $h$ wordt gedissipeerd (opgevat als het geluid en de verliezen in de ophanging); rendement.
Waarom is het feit dat de geluidsdruk evenredig is met de versnelling van de conus (neem dat aan) de reden dat een massagestuurde conus boven de resonantie een vlakke respons geeft?
Waarom moet het veld radiaal zijn, en waarom is een tweeter klein?
Schets de modulus van de impedantie $\underline u/\underline i$ die de versterker ziet van $10\,\mathrm{Hz}$ tot $10\,\mathrm{kHz}$ : waarde bij lage frequentie, bij resonantie (gebruik de dempingsgestuurde snelheid), en bij $10\,\mathrm{kHz}$ .

Deel III — Achterstevoren, en de boekhouding.

Hetzelfde toestel als microfoon: geluid beweegt de conus met $v = 1.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; nullastspanning.
Belast met $R_L = 600\,\Omega$ : stroom, en de remkracht op de conus; toon aan dat de microfoon vermogen uit het geluid haalt via een effectieve demping $B^2\ell^2/(R + R_L)$ .
De spoel is op een aluminium cilindertje gewikkeld (de spoeldrager), een gesloten winding met lengte $0.10\,\mathrm{m}$ en weerstand $1.0\,\mathrm{m}\Omega$ : de demping die zij toevoegt; waarom spoeldragers een spleet krijgen.
Tik tegen de conus van een luidspreker waarvan de klemmen open staan, en daarna van een waarvan de klemmen zijn kortgesloten: welke van de twee natrilt langer, en waarom?
Schrijf de energiebalans van de luidspreker over één periode in stationair regime op, en benoem elke term.
Vat samen: voor elk toestel de gebruikte wet en de twee getallen die het onthouden waard zijn.

Oplossing

Oplossing van Probleem 29.1.

1. $\Phi = NBS\cos\omega t$ , $e = NBS\omega\sin\omega t$ ; $NBS = 300 \times 0.3 \times 3 \times 10^{-4} = 0.027\,\mathrm{Wb}$ ; $\omega = v/r = 5/0.01 = 500\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : amplitude $13.5\,\mathrm{V}$ , frequentie $\omega/2\pi = 80\,\mathrm{Hz}$ .

2. $I_{\text{rms}} = 13.5/\sqrt2/16 = 0.60\,\mathrm{A}$ ; lamp $RI^2 = 4.3\,\mathrm{W}$ bij $7.2\,\mathrm{V}$ : een lamp van $6\,\mathrm{V}$ , $3\,\mathrm{W}$ wordt overbelast en gaat niet lang mee.

3. Mechanisch $=$ elektrisch: $(R + r_c)I_{\text{rms}}^2 = 16 \times 0.36 = 5.7\,\mathrm{W}$ ; $F = P/v = 5.7/5 = 1.1\,\mathrm{N}$ — de helft van de rolweerstand; de fietser voelt het.

4. Het laplacekoppel van de geïnduceerde stroom werkt de draaiing tegen (Lenz); de energie van de lamp komt uit de benen van de fietser, $5.7\,\mathrm{W}$ ervan.

5. $\underline Z = R + r_c + jL\omega$ ; $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$ ; voor $L\omega \gg R + r_c$ gaat $I \to NBS/L = 0.027/0.02 = 1.35\,\mathrm{A}$ . $70\%$ : $L\omega = 0.7(R + r_c)/\sqrt{1 - 0.49} = 15.7$ , $\omega = 784\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $v = 7.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

6. Zonder $L$ : $e_{\max} = 3 \times 13.5 = 40.5\,\mathrm{V}$ , $I_{\text{rms}} = 1.8\,\mathrm{A}$ , $39\,\mathrm{W}$ in de lamp — die knapt. Met $L$ : $I = 40.5/\sqrt{256 + 900} = 1.2\,\mathrm{A}$ piek, $8.5\,\mathrm{W}$ : heet, maar tien keer minder.

7. $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $e_{\max} = 6.75$ , $|Z| = \sqrt{256 + 25} = 16.8$ , $I = 0.40$ , $P = \tfrac12 \times 0.16 \times 12 = 1.0\,\mathrm{W}$ : zwak. $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $e_{\max} = 27$ , $|Z| = 25.6$ , $I = 1.05$ , $P = 6.6\,\mathrm{W}$ . Vier keer de snelheid, $2.6$ keer de stroom: de zelfinductie regelt.

8. Alleen de onderlinge beweging telt: de flux door de vaste spoel verandert net zo, dezelfde emk. Er zijn geen sleepcontacten (borstels) nodig om de stroom uit een draaiende spoel te halen.

9. Geen beweging, geen fluxverandering, geen licht — vandaar de condensator of kleine accu (“standlicht”) die tijdens het rijden wordt geladen.

10. Elk draadelement staat loodrecht op het radiale $\vect B$ : $F = B\ell i$ , axiaal. Bewegend met $v$ ziet elk element $\vect v\wedge\vect B$ langs de draad: $e = -B\ell v$ , tegengesteld aan de stroom die de beweging veroorzaakt (verbruikersconventie: een spanning $B\ell v$ ).

11. $u = Ri + L\,\dd i/\dd t + B\ell v$ ; $m\,\dd v/\dd t = -kx - hv + B\ell i$ .

12. $\underline i = (\underline u - B\ell\underline v)/(R + jL\omega)$ ; $\underline v\,(jm\omega + h + k/j\omega) = B\ell\,\underline i$ ; vul in en los op naar $\underline v$ .

13. $i \approx (u - B\ell v)/R$ geeft $m\dot v + (h + B^2\ell^2/R)v + kx = B\ell u/R$ : extra demping $25/8 = 3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ . $f_0 = \tfrac1{2\pi}\sqrt{k/m} = 50\,\mathrm{Hz}$ ; $Q = \sqrt{km}/h_{\text{tot}}$ : $3.2$ open, $0.77$ met de versterker.

14. $F = 5.0\,\mathrm{N}$ , $a = F/m = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $x = a/\omega^2 = 13\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $v = a/\omega = 0.080\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $B\ell v = 0.40\,\mathrm{V}$ tegen $Ri = 8\,\mathrm{V}$ : $5\%$ .

15. Met opgelegde stroom is $v = F/h = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (een amplitude van $16\,\mathrm{mm}$ — een grote slag voor $1\,\mathrm{A}$ ); $B\ell v = 25\,\mathrm{V}$ , drie keer $Ri$ : de versterker moet $33\,\mathrm{V}$ leveren om $1\,\mathrm{A}$ bij resonantie door te drukken — de impedantiepiek. Een versterker als spanningsbron zou de elektrische demping de conus laten vasthouden.

16. $\tfrac12RI^2 = 4.0\,\mathrm{W}$ ; $\tfrac12hv^2 = \tfrac12 \times 0.0064 = 3.2\,\mathrm{mW}$ : rendement $0.08\%$ — luidsprekers zijn kachels die fluisteren.

17. Boven de resonantie is $a = F/m = B\ell i/m$ bij gegeven stroom onafhankelijk van de frequentie, zodat de druk, $\propto a$ , vlak is: de massagestuurde band is de werkband.

18. Radiaal veld: de kracht is axiaal en overal in de spleet even groot, waar de spoel ook staat. Een tweeter moet tot $20\,\mathrm{kHz}$ massagestuurd blijven met een minuscule slag: lichte spoel en conus; en een kleine conus straalt hoge tonen naar alle kanten uit.

19. Lage frequentie: $v$ klein, $|Z| \approx R = 8\,\Omega$ ; bij $50\,\mathrm{Hz}$ : $u = Ri + B\ell v$ met $v = B\ell i/h$ : $Z = R + B^2\ell^2/h = 8 + 25 = 33\,\Omega$ ; bij $10\,\mathrm{kHz}$ : $|R + jL\omega| = |8 + 31j| = 32\,\Omega$ . Een piek bij resonantie, een vlakke bodem van $8\,\Omega$ , en een stijging met $L\omega$ .

20. $e = B\ell v = 5 \times 10^{-3} = 5\,\mathrm{mV}$ .

21. $i = 5 \times 10^{-3}/608 = 8.2\,\text{µ}\mathrm{A}$ ; $F = B\ell i = 41\,\text{µ}\mathrm{N}$ , tegengesteld aan $v$ : $F = [B^2\ell^2/(R + R_L)]\,v$ , een demping van $0.041\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ ; het vermogen $Fv = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ komt uit het geluid en belandt in de twee weerstanden.

22. Spoeldrager: $B^2\ell_f^2/R_f = 1 \times 0.01/10^{-3} = 10\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ , tien keer $h$ : hij zou de conus verdoven en vermogen als warmte verspillen; een spleet onderbreekt de gesloten winding.

23. Open: alleen $h$ dempt, $Q = 3.2$ , hij natrilt. Kortgesloten: de tegen-emk drijft een stroom door $R$ , de demping $B^2\ell^2/R$ komt erbij, $Q = 0.77$ : hij stopt meteen. (Probeer het.)

24. Over een periode keren de opgeslagen energieën naar hun waarde terug: $\langle ui\rangle = \langle Ri^2\rangle + \langle hv^2\rangle$ — elektrische toevoer $=$ joulse warmte in de spoel $+$ mechanische verliezen (uitgestraald geluid en wrijving in de ophanging); de koppelterm $B\ell iv$ komt in beide vergelijkingen met tegengesteld teken voor en valt weg.

25. Dynamo: Faraday op een draaiende spoel — $13.5\,\mathrm{V}$ bij $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , met de stroom door haar eigen zelfinductie afgetopt op $1.35\,\mathrm{A}$ . Luidspreker: laplacekracht en tegen-emk — $3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ elektrische demping, $0.08\%$ rendement. Microfoon: dezelfde spoel achterstevoren — $5\,\mathrm{mV}$ per millimeter per seconde.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst