Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

20Kinetische theorie en het ideale gas

De lucht in een klaslokaal weegt evenveel als een volwassen man en bevat meer moleculen dan er zandkorrels op aarde zijn, elk vliegend met de snelheid van een geweerkogel en tien miljard keer per seconde botsend met zijn buren. Niemand kan er één van volgen; niemand hoeft dat. Een handvol gemiddelden — druk, temperatuur, volume, hoeveelheid — beschrijft de lucht volledig voor elk technisch doel, en een eenvoudig beeld van moleculen die van wanden terugkaatsen verklaart waar die gemiddelden vandaan komen en hoe zij samenhangen. Dit hoofdstuk opent het thermodynamische deel van dit volume door de materie van twee kanten te bekijken: de microscopische chaos en de macroscopische rust, en de kinetische theorie die beide verbindt in het geval van het ideale gas.

20.1 Twee beschrijvingsschalen

Definitie 20.1 (Microscopische en macroscopische schaal)

Op de microscopische schaal bestaat materie uit moleculen: $1\,\mathrm{mol}$ bevat er $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,$ , elk ongeveer $0.3\,\mathrm{nm}$ groot; in een gas onder gewone omstandigheden liggen zij $3\,\mathrm{nm}$ uit elkaar, bewegen zij met honderden meters per seconde en botsen zij ongeveer elke $70\,\mathrm{nm}$ . Op de macroscopische schaal wordt een systeem beschreven door enkele toestandsgrootheden — druk $P$ , volume $V$ , temperatuur $T$ , hoeveelheid stof $n$ — die gemiddelden zijn over enorme aantallen moleculen. Een grootheid is extensief als zij verdubbelt wanneer het systeem verdubbelt ( $V$ , $n$ , massa, energie), en intensief als zij dat niet doet ( $P$ , $T$ , dichtheid).

Definitie 20.2 (Thermodynamisch evenwicht)

Een systeem is in thermodynamisch evenwicht wanneer zijn toestandsgrootheden uniform en constant in de tijd zijn en er geen macroscopische stroom van materie of energie doorheen gaat. Alleen dan zijn $P$ en $T$ voor het systeem als geheel gedefinieerd; de toestandsvergelijking verbindt ze met $V$ en $n$ .

Definitie 20.3 (Druk)

Een vloeistof of gas in rust duwt op elk oppervlakte-element $\dd S$ van een wand met een kracht $\dd\vect F = P\,\dd S\,\vect n$ loodrecht daarop, naar de wand toe; $P$ is de druk, in pascal ( $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ ); $1\,\mathrm{bar} = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , $1\,\mathrm{atm} = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . In een gegeven punt hangt zij niet van de oriëntatie van het oppervlak af (Hoofdstuk 21).

Definitie 20.4 (Temperatuur)

Twee systemen die in contact staan door een wand die energie doorlaat bereiken na verloop van tijd een gemeenschappelijke toestand: zij zijn dan op dezelfde temperatuur, en twee lichamen die elk met een derde in evenwicht zijn, zijn dat ook met elkaar (de nulde hoofdwet). De kelvinschaal ligt vast door $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ exact; Celsius: $\theta = T - 273.15$ . De kinetische theorie hieronder geeft $T$ zijn microscopische betekenis.

20.2 Het kinetische model van het ideale gas

Definitie 20.5 (Ideaal gas, microscopisch model)

Een ideaal gas (perfect gas) is een verzameling van $N$ moleculen, opgevat als punten met massa $m$ , die vrij en willekeurig bewegen — geen wisselwerking behalve korte botsingen — in een vat met volume $V$ . In evenwicht is de snelheidsverdeling isotroop en stationair; $n^* = N/V$ is de deeltjesdichtheid en $\langle v^2\rangle$ de gemiddelde kwadratische snelheid.

Stelling 20.6 (Kinetische druk)

De druk die het gas op de wanden uitoefent is

P = \tfrac13\,n^*m\langle v^2\rangle = \tfrac23\,n^*\langle\epsilon_k\rangle ,

waarin $\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle$ de gemiddelde kinetische energie van een molecuul is.

Gedeeltelijk bewijs. Neem het vereenvoudigde model waarin de moleculen alle de snelheid $u$ hebben en langs de drie assen bewegen, een zesde in elke richting. Een molecuul dat de wand $x = 0$ recht raakt kaatst elastisch terug en draagt er de impuls $2mu$ aan over. In de tijd $\dd t$ zijn de moleculen die naar de wand toe bewegen en een oppervlak $S$ bereiken die welke in de laag $u\,\dd t$ dik liggen, een zesde van de $n^*Su\,\dd t$ moleculen daarin. Kracht $=$ impuls per tijd $= (n^*Su\,\dd t/6)(2mu)/\dd t = \tfrac13 n^*mu^2S$ , dus $P = \tfrac13 n^*mu^2$ . Middelen over de werkelijke verdeling van snelheden en richtingen vervangt $u^2$ door $\langle v^2\rangle$ (de isotropie geeft $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$ ); het volume van jaar 2 doet dat volledig. ∎

Links: de kinetische oorsprong van de druk — moleculen die een wand raken en terugkaatsen dragen er impuls aan over; hun aantal per seconde maal 2mu is de kracht. Rechts: de werkelijke snelheden zijn gespreid (de verdeling van Maxwell, hier voor stikstof bij twee temperaturen); de ene u van het model wordt vervangen door de kwadratisch gemiddelde snelheid. — Links: de kinetische oorsprong van de druk — moleculen die een wand raken en terugkaatsen dragen er impuls aan over; hun aantal per seconde maal $2mu$ is de kracht. Rechts: de werkelijke snelheden zijn gespreid (de verdeling van Maxwell, hier voor stikstof bij twee temperaturen); de ene $u$ van het model wordt vervangen door de kwadratisch gemiddelde snelheid.

Definitie 20.7 (Kinetische temperatuur; toestandsvergelijking)

De temperatuur van een ideaal gas wordt gedefinieerd door de gemiddelde kinetische energie van zijn moleculen,

\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT ,

zodat, gecombineerd met Stelling 20.6,

PV = Nk_BT = nRT, \qquad R = N_Ak_B = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}) ,

de toestandsvergelijking van het ideale gas. De kwadratisch gemiddelde snelheid is $u = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{3k_BT/m} = \sqrt{3RT/M}$ , met $M$ de molaire massa.

Voorbeeld 20.8 (Getallen voor lucht)

Stikstof bij $300\,\mathrm{K}$ : $u = \sqrt{3 \times 8.314 \times 300/0.028} = 517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; waterstof, $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; hoe zwaarder, hoe trager, als $1/\sqrt M$ . Bij $1\,\mathrm{bar}$ en $300\,\mathrm{K}$ is $n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $24\,\mathrm{L}$ per mol, $2.7 \times 10^{22}\,$ moleculen in een liter. Een klaslokaal van $200\,\mathrm{m}^{3}$ : $8300\,\mathrm{mol}$ , $240\,\mathrm{kg}$ lucht.

Opmerking 20.9 (Waarom het model werkt, en wanneer het faalt)

Tussen twee botsingen legt een luchtmolecuul een gemiddelde vrije weglengte $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*) \approx 70\,\mathrm{nm}$ af — tweehonderd keer zijn eigen grootte: het gas is grotendeels leeg, wisselwerkingen zijn zeldzaam, en $PV = nRT$ klopt bij gewone drukken tot op minder dan een procent. Bij hoge druk of lage temperatuur tellen het eigen volume van de moleculen en hun aantrekking wel mee: de vergelijking van Van der Waals $(P + an^2/V^2)(V - nb) = nRT$ corrigeert voor beide, en onder een kritische temperatuur wordt het gas vloeibaar (Hoofdstuk 25).

Het clapeyrondiagram van een ideaal gas: bij elke temperatuur is de isotherm een hyperbool P = nRT/V, hoger naarmate T hoger is. Een toestandsverandering is een weg in dit vlak; een kringproces een gesloten lus (). — Het clapeyrondiagram van een ideaal gas: bij elke temperatuur is de isotherm een hyperbool $P = nRT/V$ , hoger naarmate $T$ hoger is. Een toestandsverandering is een weg in dit vlak; een kringproces een gesloten lus (Hoofdstuk 24).

20.3 Inwendige energie van het ideale gas

Definitie 20.10 (Inwendige energie)

De inwendige energie $U$ van een systeem is de som van de kinetische energieën van zijn moleculen in het stelsel waarin het systeem in rust is en van hun onderlinge potentiële energieën; zij is een extensieve toestandsfunctie.

Propositie 20.11 (Inwendige energie van ideale gassen)

Voor een ideaal gas hangt $U$ alleen van $T$ af (de eerste wet van Joule):

\begin{gather*} U = \tfrac32 nRT \quad (\text{eenatomig: He, Ne, Ar}), \\ U = \tfrac52 nRT \quad (\text{tweeatomig bij gewone temperaturen: N}_2, \text{O}_2, \text{H}_2), \end{gather*}

zodat de molaire warmtecapaciteit bij constant volume $C_{V,m} = \dd U_m/\dd T$ respectievelijk $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ en $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ is.

Gedeeltelijk bewijs. Per aanname geen onderlinge potentiële energie, dus $U = N\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac32 Nk_BT$ voor puntmoleculen. Een tweeatomig molecuul draait bovendien: elk van zijn twee rotatievrijheidsgraden draagt in evenwicht dezelfde $\tfrac12 k_BT$ als elke translatievrijheidsgraad (de equipartitiestelling, aangenomen; het volume van jaar 3 leidt haar af en legt uit waarom de trilling pas boven duizend kelvin meedoet). ∎

Voorbeeld 20.12 (Wat een lokaal bevat)

De $8300\,\mathrm{mol}$ lucht in het klaslokaal bij $300\,\mathrm{K}$ : $U = \tfrac52 \times 8300 \times 8.314 \times 300 = 5.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ — de energie van anderhalve liter benzine, opgeslagen in moleculaire beweging. Het lokaal $1$ K warmer maken kost $\tfrac52 nR = 170\,\mathrm{kJ}$ (bij constant volume).

20.4 Gecondenseerde fasen

Propositie 20.13 (Model van de onsamendrukbare, niet-uitzettende fase)

Vloeistoffen en vaste stoffen worden op dit niveau gemodelleerd als fasen met vast volume — niet samendrukbaar en niet uitzettend — waarvan de inwendige energie alleen van $T$ afhangt: $\dd U = C\,\dd T$ met $C = mc$ , waarin $c$ de soortelijke warmte is ( $4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ voor water, $450\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ voor staal). De werkelijke, kleine afwijkingen worden gemeten door de thermische uitzettingscoëfficiënt $\alpha = (1/V)(\partial V/\partial T)_P$ ( $\sim1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ voor metalen, $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$ voor vloeistoffen) en de isotherme samendrukbaarheid $\chi_T = -(1/V)(\partial V/\partial P)_T$ ( $\sim5 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ voor water, tegen $1/P \approx 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ voor een gas).

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 20.14 (Hoe onsamendrukbaar)

Water op de bodem van de Marianentrog ( $1100\,\mathrm{bar}$ ) wordt samengedrukt met $\chi_T\Delta P \approx 5\times10^{-10} \times 1.1\times10^8 = 5\%$ ; een stalen rail van $30\,\mathrm{m}$ die $50$ K warmer wordt, wordt $\alpha L\Delta T = 18\,\mathrm{mm}$ langer — vandaar de uitzettingsvoegen. Tegenover een gas, waarvan het volume bij een verdubbelde druk halveert, is het model van een vast volume in de meeste situaties van dit volume goed tot op enkele procenten.

20.5 Oefeningen

Oefening 20.1 ★

Aantal moleculen in $1.0\,\mathrm{L}$ gas bij $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $1\,\mathrm{atm}$ ; gemiddelde afstand tussen buren; vergelijk met de moleculaire grootte $0.3\,\mathrm{nm}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.1.

$N = PV/k_BT = 1.013\times10^5 \times 10^{-3}/(1.38\times10^{-23} \times 273) = 2.7 \times 10^{22}$ ; $n^{*-1/3} = (3.7\times10^{-26})^{1/3} = 3.3\,\mathrm{nm}$ , tien keer de moleculaire grootte.

Oefening 20.2 ★

Kwadratisch gemiddelde snelheden van H $_2$ , N $_2$ , O $_2$ en CO $_2$ bij $300\,\mathrm{K}$ , en van N $_2$ bij $77\,\mathrm{K}$ (kokende stikstof).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.2.

$u = \sqrt{3RT/M}$ : H $_2$ $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , N $_2$ $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , O $_2$ $484\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , CO $_2$ $412\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; N $_2$ bij $77\,\mathrm{K}$ : $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Oefening 20.3 ★

Een autoband met volume $30\,\mathrm{L}$ wordt bij $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ tot een overdruk van $2.5\,\mathrm{bar}$ opgepompt. Hoeveelheid en massa lucht erin; absolute druk na een rit die haar tot $50{}^{\circ}\mathrm{C}$ verwarmt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.3.

$P = 3.5\,\mathrm{bar}$ absoluut: $n = PV/RT = 3.5\times10^5 \times 0.030/(8.314 \times 293) = 4.3\,\mathrm{mol}$ , $125\,\mathrm{g}$ . Bij $323\,\mathrm{K}$ is $P \propto T$ : $3.86\,\mathrm{bar}$ (overdruk $2.85\,\mathrm{bar}$ ).

Oefening 20.4 ★

Schat de gemiddelde vrije weglengte van luchtmoleculen bij $1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ ( $d = 0.37\,\mathrm{nm}$ ), en de botsingsfrequentie van één molecuul. Bij welke druk bereikt de vrije weglengte $1\,\mathrm{m}$ (een “vacuüm”)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.4.

$n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times 10^{-19} \times 2.4\times10^{25}) = 6.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}$ ; frequentie $u/\lambda \approx 500/7\times10^{-8} = 7 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1}$ . $\lambda \propto 1/P$ : $1\,\mathrm{m}$ bij $P \approx 10^5 \times 7\times10^{-8} = 7 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$ .

Oefening 20.5 ★★

Dichtheid van lucht bij $1.013\,\mathrm{bar}$ en $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ), en daarna bij $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Draagkracht van een heteluchtballon van $2800\,\mathrm{m}^{3}$ (verschil van de twee luchtgewichten).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.5.

$\rho = PM/RT$ : $1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ bij $293\,\mathrm{K}$ , $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ bij $373\,\mathrm{K}$ . Draagkracht $(1.20 - 0.95) \times 2800 \times 9.81 = 7.0\,\mathrm{kN}$ : ongeveer $720\,\mathrm{kg}$ .

Oefening 20.6 ★★

Lucht bestaat voor $21\%$ uit O $_2$ -moleculen. Partiële zuurstofdruk op zeeniveau; op $5000\,\mathrm{m}$ , waar $P = 0.54\,\mathrm{atm}$ ; op de top van de Everest ( $0.33\,\mathrm{atm}$ ). Waarom heeft het lichaam het daar zwaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.6.

$P_{\mathrm{O}_2} = 0.21P$ : $0.21\,\mathrm{atm}$ ; $0.11\,\mathrm{atm}$ op $5000\,\mathrm{m}$ ; $0.07\,\mathrm{atm}$ op de Everest — een derde van zeeniveau. Zuurstof komt in het bloed naar rato van haar partiële druk; op een derde kunnen de longen het hemoglobine niet verzadigen.

Oefening 20.7 ★★

Eén mol CO $_2$ bij $300\,\mathrm{K}$ in $1.0\,\mathrm{L}$ : druk volgens de wet van het ideale gas, en daarna volgens Van der Waals ( $a = 0.364\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{6}/\mathrm{mol}^{2}$ , $b = 4.27 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{mol}$ ). Welke correctie overheerst hier?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.7.

Ideaal gas: $P = RT/V = 2494/10^{-3} = 24.9\,\mathrm{bar}$ . Van der Waals: $RT/(V - b) - a/V^2 = 2494/9.57\times10^{-4} - 0.364/10^{-6} = 26.1 - 3.6 = 22.4\,\mathrm{bar}$ : de aantrekking ( $-3.6$ bar) weegt zwaarder dan het uitgesloten volume ( $+1.2$ bar); echte CO $_2$ zit $10\%$ onder de ideale waarde.

Oefening 20.8 ★★

Inwendige energie van de lucht in een kamer van $50\,\mathrm{m}^{3}$ bij $1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ ; energie om haar bij constant volume $5\,\mathrm{K}$ op te warmen; tijd met een kachel van $2\,\mathrm{kW}$ (zonder verliezen).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.8.

$n = PV/RT = 10^5 \times 50/(8.314 \times 300) = 2000\,\mathrm{mol}$ ; $U = \tfrac52 nRT = 1.25 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 5 = 208\,\mathrm{kJ}$ ; $104\,\mathrm{s}$ bij $2\,\mathrm{kW}$ .

Oefening 20.9 ★★

Een stalen rail van $30\,\mathrm{m}$ ( $\alpha = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) tussen $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $40{}^{\circ}\mathrm{C}$ : lengteverandering. Een messing ring ( $\alpha = 1.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) met binnendiameter $49.95\,\mathrm{mm}$ moet over een as van $50.00\,\mathrm{mm}$ schuiven: hoeveel warmer moet hij worden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.9.

$\Delta L = \alpha L\Delta T = 1.2\times10^{-5} \times 30 \times 50 = 18\,\mathrm{mm}$ . Ring: $\Delta d/d = \alpha\Delta T = 0.05/49.95 = 10^{-3}$ : $\Delta T = 10^{-3}/ 1.9\times10^{-5} = 53\,\mathrm{K}$ (het gat zet uit als het metaal eromheen).

Oefening 20.10 ★★★

Energie per molecuul bij $300\,\mathrm{K}$ ( $\tfrac32 k_BT$ ) in joule en in eV; molaire warmtecapaciteiten $C_{V,m}$ van argon en van stikstof; waarom is die van stikstof groter, hoewel haar moleculen lichter zijn?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.10.

$\tfrac32 k_BT = 6.2 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.039\,\mathrm{eV}$ . Argon $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ; stikstof $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ : het tweeatomige molecuul slaat ook energie op in rotatie (twee extra vrijheidsgraden), wat zijn massa ook is.

Oefening 20.11 ★★★

Herhaal de afleiding van de kinetische druk in het model met zes richtingen, en toon dan aan dat voor een isotrope snelheidsverdeling $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$ geldt en dat de drukformule onveranderd blijft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.11.

Model met zes richtingen: als in de tekst, $P = \tfrac13 n^*mu^2$ . Isotropie: $\langle v_x^2\rangle = \langle v_y^2\rangle = \langle v_z^2\rangle$ en hun som is $\langle v^2\rangle$ , dus elk is $\tfrac13\langle v^2\rangle$ . Het fluxargument met een verdeling geeft $P = n^*m\langle v_x^2\rangle$ (moleculen met $v_x > 0$ die de wand raken, elk met impuls $2mv_x$ , flux $n^*v_x/2$ per snelheidsklasse, gemiddeld), dus $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ — hetzelfde.

Oefening 20.12 ★★★

Kwadratisch gemiddelde snelheden van H $_2$ en O $_2$ bij $300\,\mathrm{K}$ , vergeleken met de ontsnappingssnelheid van de aarde en met die van de maan ( $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ). Gegeven dat het deel van de moleculen sneller dan $3u$ klein maar niet nul is, verklaar waarom de aarde haar waterstof heeft verloren en de maan haar hele atmosfeer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.12.

H $_2$ : $1.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , O $_2$ : $0.48\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; aarde $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , maan $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Voor O $_2$ op aarde is $v_e/u = 23$ : de staart van de verdeling daarboven is volstrekt verwaarloosbaar; voor H $_2$ is $v_e/u \approx 6$ : een minuscuul maar gestaag deel ontsnapt elk jaar, en over miljarden jaren is de waterstof weg. Op de maan is $v_e/u$ gelijk aan $5$ voor O $_2$ en $1.2$ voor H $_2$ : alles is weggelekt.

20.6 Probleem: De lucht in het lokaal

Probleem 20.1

Weekendopgave — een klaslokaal vol lucht: haar moleculen tellen, haar wegen, hun vluchten klokken, en uit hetzelfde model de draagkracht van een ballon, de ijlheid van berglucht en de geluidssnelheid terugvinden

Een klaslokaal meet $10 \times 8 \times 2.5\,\mathrm{m}$ ; zijn lucht is op $P = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , $T = 293\,\mathrm{K}$ , molaire massa $M = 29.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , $79\%$ N $_2$ en $21\%$ O $_2$ naar moleculen. $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $N_A = 6.02 \times 10^{23}$ , $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Deel I — Tellen en wegen.

Hoeveelheid lucht (in mol) en aantal moleculen in het lokaal.
Massa van de lucht; vergelijk met een mens.
Deeltjesdichtheid $n^*$ en gemiddelde afstand tussen moleculen ( $n^{*-1/3}$ ); vergelijk met de moleculaire diameter $0.37\,\mathrm{nm}$ .
Kwadratisch gemiddelde snelheid van N $_2$ en van O $_2$ ; waarom beweegt het zwaardere gas bij dezelfde temperatuur trager?
Gemiddelde kinetische energie van één molecuul; totale translatie-energie van de lucht in het lokaal; vergelijk met de kinetische energie van een auto met $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Gemiddelde vrije weglengte $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*)$ en de gemiddelde tijd tussen twee botsingen van een molecuul.

Deel II — Druk uit botsingen.

Bereken met het model met zes richtingen en $u = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ het aantal botsingen per seconde op $1\,\mathrm{cm}^{2}$ wand.
Bereken de per seconde afgegeven impuls en ga na dat die de atmosferische druk oplevert.
Totale kracht van de lucht op één wand van $8\,\mathrm{m}$ bij $2.5\,\mathrm{m}$ ; waarom beweegt de wand niet?
Het lokaal wordt tot $303\,\mathrm{K}$ verwarmd met de ramen dicht en afgedicht: nieuwe druk, en de resulterende kracht op de wand nu.
Dezelfde verwarming met een raam open: wat verdwijnt er, en hoeveel?

Deel III — Opwaartse kracht.

Dichtheid van de lucht in het lokaal, en van lucht bij $373\,\mathrm{K}$ bij dezelfde druk.
Een heteluchtballon met volume $2800\,\mathrm{m}^{3}$ wordt gevuld met lucht van $373\,\mathrm{K}$ : gewicht van de hete lucht, gewicht van de verdrongen koude lucht, en de beschikbare draagkracht (Archimedes, Hoofdstuk 21).
Omhulsel, mand, brander en gas wegen samen $300\,\mathrm{kg}$ : hoeveel passagiers van $75\,\mathrm{kg}$ kan hij dragen?
Tot welke temperatuur zou de lucht moeten worden verhit om de draagkracht te verdubbelen, en waarom gebeurt dat niet (het omhulsel is van nylon)?
Een heliumballon met hetzelfde volume bij $293\,\mathrm{K}$ ( $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ): draagkracht? Waarom gebruiken toeristenballonnen toch hete lucht?

Deel IV — IJle lucht en de geluidssnelheid.

Partiële zuurstofdruk in het lokaal.
Op de top van de Everest is $P = 0.33\,\mathrm{atm}$ en $T \approx 250\,\mathrm{K}$ : deeltjesdichtheid van de zuurstofmoleculen vergeleken met die in het lokaal.
De druk van de atmosfeer daalt met de hoogte ruwweg als $P(z) = P_0\eu^{-z/H}$ met $H = RT/Mg$ (Hoofdstuk 21): bereken $H$ voor $260\,\mathrm{K}$ en de hoogte waarop $P = P_0/2$ .
De geluidssnelheid in een ideaal gas is $c_s = \sqrt{\gamma RT/M}$ met $\gamma = 1.4$ voor lucht (Hoofdstuk 22): bereken haar bij $293\,\mathrm{K}$ en vergelijk met de kwadratisch gemiddelde snelheid; duid hoe dicht die bij elkaar liggen.
Hoe hangt $c_s$ van $T$ af? Geluidssnelheid in het lokaal bij $303\,\mathrm{K}$ , en in helium bij $293\,\mathrm{K}$ ( $\gamma = 5/3$ ): waarom klinkt een heliumstem hoog?
Is het geluid op de top van de Everest sneller of trager dan in het lokaal? Hoeveel?
De lucht in het lokaal wordt vervangen door argon bij dezelfde $P$ en $T$ : wat verandert er aan het aantal, de massa, de snelheden en de inwendige energie?
Inwendige energie van de lucht in het lokaal ( $U = \tfrac52 nRT$ ) en de energie om haar bij constant volume $10\,\mathrm{K}$ op te warmen.
Vat in drie regels samen wat het kinetische model heeft opgeleverd: welke macroscopische grootheden het verklaarde, en uit welk enkele microscopische gemiddelde.

Oplossing

Oplossing van Probleem 20.1.

1. $V = 200\,\mathrm{m}^{3}$ : $n = PV/RT = 1.013\times10^5 \times 200/(8.314 \times 293) = 8320\,\mathrm{mol}$ ; $N = nN_A = 5.0 \times 10^{27}$ .

2. $m = nM = 241\,\mathrm{kg}$ : drie mensen.

3. $n^* = N/V = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; afstand $n^{*-1/3} = 3.4\,\mathrm{nm}$ , negen moleculaire diameters.

4. N $_2$ : $\sqrt{3 \times 8.314 \times 293/0.028} = 511\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; O $_2$ : $478\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Dezelfde $\tfrac32 k_BT$ per molecuul: $\tfrac12 mu^2$ ligt vast, dus $u \propto 1/\sqrt m$ .

5. $\tfrac32 k_BT = 6.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ ; totaal $N \times 6.1\times10^{-21} = 3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; een auto van $1000\,\mathrm{kg}$ met $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $3.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ — de moleculaire beweging in het lokaal is tachtig auto’s waard.

6. $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times10^{-19} \times 2.5\times10^{25}) = 66\,\mathrm{nm}$ ; tijd $\lambda/u = 66\times10^{-9}/500 = 1.3 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ .

7. Botsingen per seconde op $S$ : $\tfrac16 n^*Su = \tfrac16 \times 2.5\times 10^{25} \times 10^{-4} \times 500 = 2.1 \times 10^{23}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

8. Elk geeft $2mu = 2 \times 4.8\times10^{-26} \times 500 = 4.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $m = M/N_A = 4.8 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ): kracht $2.1\times10^{23} \times 4.8\times10^{-23} = 10\,\mathrm{N}$ op $1\,\mathrm{cm}^{2}$ : $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . Het model levert de atmosferische druk.

9. $F = PS = 1.013\times10^5 \times 20 = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — tweehonderd ton; dezelfde druk werkt aan de andere kant.

10. $P' = P \times 303/293 = 1.048 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; netto $\Delta P\,S = 3.5 \times10^3 \times 20 = 70\,\mathrm{kN}$ naar buiten: zeven ton op de wand.

11. Er stroomt lucht naar buiten tot de druk gelijk is: $n \propto 1/T$ bij vaste $P$ , $V$ : $8320 \times (1 - 293/303) = 275\,\mathrm{mol}$ , $8\,\mathrm{kg}$ verdwijnt.

12. $\rho = PM/RT$ : $1.205\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ bij $293\,\mathrm{K}$ ; $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ bij $373\,\mathrm{K}$ .

13. Hete lucht $0.946 \times 2800 \times 9.81 = 26.0\,\mathrm{kN}$ ; verdrongen koude lucht $1.205 \times 2800 \times 9.81 = 33.1\,\mathrm{kN}$ ; draagkracht $7.1\,\mathrm{kN}$ ( $725\,\mathrm{kg}$ ).

14. $725 - 300 = 425\,\mathrm{kg}$ : vijf passagiers.

15. Draagkracht $\propto \rho_c - \rho_h = \rho_c(1 - 293/T)$ : verdubbeling van $1 - 293/373 = 0.215$ vergt $T = 293/0.57 = 514\,\mathrm{K}$ ( $240{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), ver boven wat nylon verdraagt (ongeveer $120{}^{\circ}\mathrm{C}$ ).

16. Helium $\rho = 1.205 \times 4/29 = 0.166\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : draagkracht $(1.205 - 0.166) \times 2800 \times 9.81 = 28.5\,\mathrm{kN}$ ( $2.9\,\mathrm{t}$ ), vier keer meer — maar helium is duur en gaat bij elke landing verloren, terwijl hete lucht gratis is en haar draagkracht met de brander te regelen valt.

17. $0.21 \times 1.013\times10^5 = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$ .

18. $n^*_{\mathrm{O}_2} = P_{\mathrm{O}_2}/k_BT$ : lokaal $2.1\times10^4/ (1.38\times10^{-23} \times 293) = 5.3 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; Everest $0.21 \times 0.33 \times 1.013\times10^5/(1.38\times10^{-23} \times 250) = 2.0 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $38\%$ van die in het lokaal.

19. $H = RT/Mg = 8.314 \times 260/(0.029 \times 9.81) = 7.6\,\mathrm{km}$ ; $P_0/2$ bij $H\ln 2 = 5.3\,\mathrm{km}$ .

20. $c_s = \sqrt{1.4 \times 8.314 \times 293/0.029} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , tegen $u = 503\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ voor het mengsel: $c_s/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$ . Geluid is een verstoring die door de moleculen zelf wordt gedragen, dus loopt het met een snelheid van de orde van de hunne — iets minder, omdat alleen de component langs de voortplantingsrichting telt.

21. $c_s \propto \sqrt T$ : $343\sqrt{303/293} = 349\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Helium: $\sqrt{(5/3) \times 8.314 \times 293/0.004} = 1010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : de resonanties van het spraakkanaal schalen met $c_s$ , dus ligt elke formant drie keer hoger.

22. Kouder: $343\sqrt{250/293} = 317\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $8\%$ trager; de druk speelt geen rol.

23. Hetzelfde $N$ (dezelfde $P$ , $V$ , $T$ ); massa $\times 40/29 = 333\,\mathrm{kg}$ ; snelheden $\times\sqrt{29/40}$ : $u = 428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $U = \tfrac32 nRT$ in plaats van $\tfrac52$ : $60\%$ .

24. $U = \tfrac52 \times 8320 \times 8.314 \times 293 = 5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 10 = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ .

25. Eén gemiddelde, $\langle v^2\rangle$ , legt de druk vast ( $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ ), definieert de temperatuur ( $\tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT$ ), geeft de toestandsvergelijking en de inwendige energie, en bepaalt de schaal van de geluidssnelheid.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst