Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

17Geladen deeltjes in E- en B-velden

In de oscilloscoop die de curven van Hoofdstuk 7 tekende wordt een elektronenbundel over een scherm gestuurd door de spanning tussen twee platen; in de magneet van een massaspectrometer lopen de ionen van twee isotopen millimeters uiteen omdat de een acht procent zwaarder is dan de ander; in het cyclotron van een ziekenhuis spiralen protonen naar buiten, tweehonderd omwentelingen lang, om er met een derde van de lichtsnelheid uit te komen en een tumor weg te branden. Alle drie zijn dezelfde dynamica: een lading in een homogeen veld, elektrisch of magnetisch, en de wet van Newton. Dit hoofdstuk werkt haar uit — de parabool in een elektrisch veld, de cirkel en de schroeflijn in een magnetisch veld — en maakt er de instrumenten van die geladen deeltjes sorteren, versnellen en meten.

Het 60-inch cyclotron van Lawrence in Berkeley, 1939 (US Department of Energy): tussen de polen van de magneet spiralen protonen naar buiten terwijl zij twee keer per omwenteling een zetje krijgen, precies zoals in de weekendopgave.

17.1 De lorentzkracht

Definitie 17.1 (Lorentzkracht)

Een deeltje met lading $q$ dat met snelheid $\vect v$ beweegt in een elektrisch veld $\vect E$ en een magnetisch veld $\vect B$ ondervindt de kracht

\vect F = q\big(\vect E + \vect v\wedge\vect B\big) .

Het elektrische deel ligt langs $\vect E$ (of tegengesteld, bij $q < 0$ ) en hangt niet van de beweging af; het magnetische deel staat loodrecht op zowel $\vect v$ als $\vect B$ , is evenredig met de snelheid en verdwijnt voor een deeltje in rust. Eenheden: $\vect E$ in $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ (of $\mathrm{N}/\mathrm{C}$ ), $\vect B$ in tesla ( $\mathrm{T}$ ): $1\,\mathrm{T} = 1\,\mathrm{N}/(\mathrm{A}\,\mathrm{m})$ .

Propositie 17.2 (Arbeid van de lorentzkracht)

De magnetische kracht verricht geen arbeid: haar vermogen $q(\vect v\wedge\vect B)\cdot\vect v$ is nul, dus verandert een magnetisch veld alleen de richting van de snelheid, nooit de grootte ervan of de kinetische energie. De elektrische kracht heeft vermogen $q\vect E\cdot\vect v$ , en tussen twee punten is haar arbeid $q(V_A - V_B) = qU_{AB}$ (Hoofdstuk 27): een deeltje met lading $q$ dat een spanning $U$ doorloopt wint de kinetische energie $\abs{qU}$ .

Bewijs. $\vect v\wedge\vect B \perp \vect v$ . Het elektrostatische veld wordt afgeleid van de potentiaal, $\vect E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}V$ , dus is $q\vect E$ conservatief met $E_p = qV$ . ∎

Definitie 17.3 (De elektronvolt)

De elektronvolt is de kinetische energie die een elementaire lading wint bij het doorlopen van één volt: $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ . De chemie leeft bij enkele eV, röntgenbuizen bij tientallen keV, de kernfysica bij MeV, de deeltjesfysica bij GeV en TeV.

Opmerking 17.4 (Waarom de zwaartekracht wordt verwaarloosd)

Voor een elektron in een veld van $1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — een bescheiden waarde in het laboratorium — is de elektrische kracht $eE = 1.6 \times 10^{-16}\,\mathrm{N}$ , tegen een gewicht $mg = 9 \times 10^{-30}\,\mathrm{N}$ : $10^{13}$ keer kleiner. Het gewicht valt in elke berekening van dit hoofdstuk zonder aarzeling weg. (De relativistische grens is een andere zaak: de formules hieronder gelden voor $\tfrac12 mv^2 \ll mc^2$ , dat wil zeggen onder ongeveer $50\,\mathrm{keV}$ voor elektronen en $100\,\mathrm{MeV}$ voor protonen; zie het volume van jaar 3.)

17.2 Homogeen elektrisch veld

Propositie 17.5 (Versnelling en afbuiging)

In een homogeen veld $\vect E$ is de versnelling $\vect a = q\vect E/m$ constant: de beweging is die van een projectiel, met $q\vect E/m$ in plaats van $\vect g$ .

Uit rust losgelaten en versneld door een spanning $U$ bereikt het deeltje $v = \sqrt{2\abs{qU}/m}$ .
Komt het met snelheid $v_0$ langs $x$ een gebied met lengte $L$ binnen waar $\vect E = E\vect e_y$ , dan volgt het de parabool $y = (qE/2mv_0^2)x^2$ en verlaat het dat gebied afgebogen over de hoek $\alpha$ met $\tan\alpha = qEL/mv_0^2$ , alsof het in een rechte lijn uit het midden van de platen kwam.

Bewijs. Energie: $\tfrac12 mv^2 = \abs{qU}$ . Afbuiging: $x = v_0t$ , $y = \tfrac12(qE/m)t^2$ ; bij de uitgang is $\dd y/\dd x = (qE/m)(x/v_0^2)$ genomen in $L$ ; de raaklijn bij de uitgang, $y = (qEL/mv_0^2)(x - L/2)$ , snijdt de as in $x = L/2$ . ∎

Elektrostatische afbuiging: tussen de platen volgt het elektron (hier q < 0, afgebogen naar de positieve plaat) een parabool; daarbuiten vliegt het rechtuit, alsof het uit het midden van de platen kwam — de meetkunde van de kathodestraaloscilloscoop. — Elektrostatische afbuiging: tussen de platen volgt het elektron (hier $q < 0$ , afgebogen naar de positieve plaat) een parabool; daarbuiten vliegt het rechtuit, alsof het uit het midden van de platen kwam — de meetkunde van de kathodestraaloscilloscoop.

Voorbeeld 17.6 (De oscilloscoopbuis)

Elektronen versneld door $U_0 = 2.0\,\mathrm{kV}$ ( $v_0 = 2.65 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , een tiende van $c$ — net niet relativistisch) passeren platen van $4.0\,\mathrm{cm}$ op $1.0\,\mathrm{cm}$ afstand met $100\,\mathrm{V}$ ertussen: $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $\tan\alpha = eEL/mv_0^2 = EL/2U_0 = 0.10$ , en op een scherm $30\,\mathrm{cm}$ voorbij het midden van de platen verschuift de vlek $3.0\,\mathrm{cm}$ — $0.3\,\mathrm{mm}$ per volt, de gevoeligheid van de buis, volledig bepaald door de meetkunde en de versnelspanning.

17.3 Homogeen magnetisch veld

Stelling 17.7 (Beweging in een homogeen magnetisch veld)

Een deeltje met lading $q$ , massa $m$ en snelheid $\vect v_0$ loodrecht op een homogeen $\vect B$ beschrijft een cirkel met constante snelheid $v_0$ , met straal en hoekfrequentie

R = \frac{mv_0}{\abs q B}, \qquad \omega_c = \frac{\abs q B}{m},

waarbij de cyclotronfrequentie $\omega_c$ niet van de snelheid afhangt; de draaizin hangt af van het teken van $q$ . Heeft $\vect v_0$ ook een component $v_\parallel$ langs $\vect B$ , dan blijft die component onveranderd en is de baan een schroeflijn met straal $mv_\perp/\abs qB$ en spoed $2\pi mv_\parallel/\abs qB$ , gewonden om de veldlijnen.

Bewijs. De kracht $q\vect v\wedge\vect B$ staat loodrecht op $\vect v$ en op $\vect B$ ; de snelheid is constant (geen arbeid) en de component langs $\vect B$ voelt geen kracht. In het vlak loodrecht op $\vect B$ heeft de kracht de constante norm $\abs qv_\perp B$ , altijd loodrecht op de snelheid: een eenparige cirkelbeweging (Stelling 11.13) met $mv_\perp^2/R = \abs qv_\perp B$ . Dan is $\omega_c = v_\perp/R$ ; de omlooptijd $2\pi m/\abs qB$ maal $v_\parallel$ is de spoed. ∎

Links: een lading waarvan de snelheid loodrecht op B staat draait rond met de cyclotronfrequentie qB/m, waarbij de magnetische kracht de centripetale versnelling levert. Rechts: met een snelheidscomponent langs B windt een schroeflijn zich om de veldlijn — de beweging van elektronen die in het veld van de aarde gevangen zitten. — Links: een lading waarvan de snelheid loodrecht op $\vect B$ staat draait rond met de cyclotronfrequentie $\abs qB/m$ , waarbij de magnetische kracht de centripetale versnelling levert. Rechts: met een snelheidscomponent langs $\vect B$ windt een schroeflijn zich om de veldlijn — de beweging van elektronen die in het veld van de aarde gevangen zitten.

Voorbeeld 17.8 (Ordes van grootte)

Een elektron van $1\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) in $1\,\mathrm{mT}$ : $R = 11\,\mathrm{cm}$ , $\omega_c = 1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , één omwenteling in $36\,\mathrm{ns}$ — dezelfde omlooptijd bij elke energie, en juist dat maakt het cyclotron mogelijk. Een proton uit de zonnewind ( $1\,\mathrm{keV}$ , $4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) in de $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ van de aarde: $R = 92\,\mathrm{m}$ ; het kan de veldlijnen niet oversteken, alleen er in een spiraal langs naar de polen lopen — het poollicht.

17.4 Instrumenten

Propositie 17.9 (Snelheidsfilter en massaspectrometer)

In gekruiste homogene velden $\vect E \perp \vect B$ gaat een deeltje dat loodrecht op beide beweegt onafgebogen door dan en slechts dan als $v = E/B$ , ongeacht zijn lading en massa (snelheidsfilter). In een magnetisch veld alleen beschrijft een deeltje met bekende snelheid een halve cirkel met diameter $2mv/\abs qB$ : die meten geeft $m/q$ (massaspectrometer). Ionen die door een spanning $U$ worden versneld en daarna in $B$ worden gebogen komen aan op

R = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{\abs q}} :

twee isotopen met massa’s $m$ en $m + \Delta m$ lopen $\Delta R \approx R\,\Delta m/2m$ uiteen.

Bewijs. $q\vect E + q\vect v\wedge\vect B = \vect 0$ vereist $vB = E$ bij de juiste oriëntatie. $R = mv/qB$ met $v = \sqrt{2qU/m}$ ; differentieer $\ln R = \tfrac12\ln m + \text{const}$ . ∎

Voorbeeld 17.10 (Koolstofisotopen)

Eenwaardig geladen $^{12}$ C- en $^{13}$ C-ionen, versneld door $20\,\mathrm{kV}$ , in $0.50\,\mathrm{T}$ : $R = 14.1\,\mathrm{cm}$ en $14.7\,\mathrm{cm}$ , $5.8\,\mathrm{mm}$ uit elkaar — twee gescheiden vlekken op de detector, en de verhouding van hun intensiteiten is de isotopenverhouding, het ruwe materiaal van de koolstofdatering en van elke isotopenanalyse.

Propositie 17.11 (Cyclotron)

Twee holle halve cilinders (“dees”) in een homogeen $\vect B$ , met een wisselspanning $U$ ertussen op de cyclotronfrequentie: het deeltje draait binnen elke dee rond (daar is geen veld), wordt bij elk van de twee spleetpassages per omwenteling met $\abs qU$ versneld en spiraalt naar buiten met $R \propto v$ ; op de extractiestraal $R_{\max}$ is zijn kinetische energie

E_k = \frac{q^2B^2R_{\max}^2}{2m},

onafhankelijk van de spanning, die alleen het aantal omwentelingen bepaalt.

Bewijs. Omdat $\omega_c$ niet van de snelheid afhangt, blijft een spanning met vaste frequentie omwenteling na omwenteling in de pas met het deeltje; $v = \abs qBR/m$ op straal $R$ . ∎

Het cyclotron: twee dees in een homogeen magnetisch veld; het deeltje draait binnen de dees rond en krijgt twee keer per omwenteling een zetje van de spleetspanning, altijd in fase omdat zijn omlooptijd niet van zijn snelheid afhangt. De energie aan de rand hangt alleen van B en de straal af. — Het cyclotron: twee dees in een homogeen magnetisch veld; het deeltje draait binnen de dees rond en krijgt twee keer per omwenteling een zetje van de spleetspanning, altijd in fase omdat zijn omlooptijd niet van zijn snelheid afhangt. De energie aan de rand hangt alleen van $B$ en de straal af.

Voorbeeld 17.12 (Een ziekenhuiscyclotron)

Protonen, $B = 1.5\,\mathrm{T}$ , $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ : $E_k = (1.6\times10^{-19} \times 1.5 \times 0.5)^2/(2 \times 1.67\times10^{-27}) = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ , bij $f_c = \omega_c/2\pi = 23\,\mathrm{MHz}$ . Met $50\,\mathrm{kV}$ op de dees, $100\,\mathrm{keV}$ per omwenteling: $270$ omwentelingen in $12\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Boven enkele tientallen MeV brengt de relativistische toename van de massa (het volume van jaar 3) de protonen uit de pas; therapiemachines op $230\,\mathrm{MeV}$ moduleren de frequentie of het veld om dat te compenseren — het onderwerp van de weekendopgave.

Propositie 17.13 (Halleffect)

Een strip met dikte $d$ die een stroom $I$ voert van ladingsdragers met lading $q$ en dichtheid $n$ , in een veld $B$ loodrecht op de strip, ontwikkelt over haar breedte de hallspanning

U_H = \frac{IB}{nqd} :

evenredig met $B$ (een magnetometer) en omgekeerd evenredig met $n$ (een sonde voor de dichtheid en het teken van de ladingsdragers).

Bewijs. De magnetische kracht $qv_dB$ op de ladingsdragers (driftsnelheid $v_d$ ) duwt hen naar één rand tot het transversale elektrische veld $E_H$ haar in evenwicht houdt: $qE_H = qv_dB$ , en $U_H = E_Hw$ over de breedte $w$ ; met $I = nqv_dwd$ volgt $E_Hw = v_dBw = IB/(nqd)$ . ∎

17.5 Oefeningen

Oefening 17.1 ★

Reken $1\,\mathrm{eV}$ , $13.6\,\mathrm{eV}$ en $1\,\mathrm{MeV}$ om naar joule. Snelheid van een elektron en van een proton, uit rust versneld door $1.0\,\mathrm{kV}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.1.

$1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ , $13.6\,\mathrm{eV} = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ , $1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ . $v = \sqrt{2eU/m}$ : elektron $1.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; proton $4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\sqrt{1836}$ keer trager).

Oefening 17.2 ★

Een elektron van $1.0\,\mathrm{keV}$ komt loodrecht een veld van $1.0\,\mathrm{mT}$ binnen. Straal, cyclotronhoekfrequentie, omlooptijd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.2.

$v = 1.88 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $R = mv/eB = 9.11\times10^{-31} \times 1.88\times10^7/ (1.6\times10^{-19} \times 10^{-3}) = 0.11\,\mathrm{m}$ ; $\omega_c = eB/m = 1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi/\omega_c = 36\,\mathrm{ns}$ .

Oefening 17.3 ★

Een proton met $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in het veld van de aarde ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ): straal van zijn cirkel. Wat gebeurt er als zijn snelheid $30^\circ$ met het veld maakt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.3.

$R = mv/qB = 1.67\times10^{-27} \times 10^5/(1.6\times10^{-19} \times 5\times 10^{-5}) = 21\,\mathrm{m}$ . Bij $30^\circ$ : een schroeflijn met straal $R\sin 30^\circ = 10\,\mathrm{m}$ en spoed $2\pi(m/qB)v\cos 30^\circ = 114\,\mathrm{m}$ , die langs de veldlijn opschuift.

Oefening 17.4 ★

Een snelheidsfilter heeft $E = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ en $B = 20\,\mathrm{mT}$ . Welke snelheid komt erdoor? Wat gebeurt er met snellere ionen, en met dezelfde snelheid bij de tegengestelde lading?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.4.

$v = E/B = 10^4/0.020 = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Snellere ionen: de magnetische kracht wint, zij buigen naar de magnetische kant af; de tegengestelde lading bij dezelfde snelheid: beide krachten keren om en houden elkaar nog steeds in evenwicht — het filter is blind voor het teken en voor de massa.

Oefening 17.5 ★★

Oscilloscoop: elektronen bij $2.0\,\mathrm{kV}$ , platen van $4.0\,\mathrm{cm}$ lang, $1.0\,\mathrm{cm}$ uit elkaar, $100\,\mathrm{V}$ ertussen, scherm $30\,\mathrm{cm}$ voorbij het midden van de platen. Afbuiging op het scherm en gevoeligheid in mm/V. Waarom verlaagt een hogere versnelspanning de gevoeligheid?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.5.

$\tan\alpha = EL/2U_0 = 10^4 \times 0.04/4000 = 0.10$ ; afbuiging $0.30 \times 0.10 = 3.0\,\mathrm{cm}$ ; gevoeligheid $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{V}$ . Snellere elektronen brengen minder tijd tussen de platen door: $\tan\alpha \propto 1/U_0$ .

Oefening 17.6 ★★

Eenwaardig geladen $^{12}$ C- en $^{13}$ C-ionen, versneld door $20\,\mathrm{kV}$ , komen een veld van $0.50\,\mathrm{T}$ binnen ( $1\,\mathrm{u} = 1.66 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ). Stralen en onderlinge afstand van de twee vlekken na een halve omwenteling.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.6.

$R = \sqrt{2mU/e}/B$ : $m_{12} = 1.99 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , $R_{12} = \sqrt{2 \times 1.99\times10^{-26} \times 2\times10^4/1.6\times10^{-19}}/0.5 = 14.1\,\mathrm{cm}$ ; $R_{13} = R_{12}\sqrt{13/12} = 14.7\,\mathrm{cm}$ ; afstand $2\Delta R = 1.2\,\mathrm{cm}$ tussen de aankomstpunten (de stralen schelen $5.8\,\mathrm{mm}$ , de diameters twee keer zoveel).

Oefening 17.7 ★★

Een protoncyclotron heeft $B = 1.5\,\mathrm{T}$ en $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ . Frequentie van de deespanning, grootste kinetische energie, aantal omwentelingen bij $50\,\mathrm{kV}$ op de dees, verblijftijd binnenin. Met welk deel is de massa van het proton bij de uitgang toegenomen ( $\gamma - 1 \approx E_k/mc^2$ , $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.7.

$f_c = eB/2\pi m = 23\,\mathrm{MHz}$ ; $E_k = e^2B^2R^2/2m = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ ; $100\,\mathrm{keV}$ per omwenteling: $270$ omwentelingen; tijd $270/f_c = 12\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; $\gamma - 1 = 27/938 = 2.9\%$ .

Oefening 17.8 ★★

Een elektron met $1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ komt een veld van $2.0\,\mathrm{mT}$ binnen onder $30^\circ$ met de veldlijnen. Straal en spoed van zijn schroeflijn; aantal omwentelingen per meter langs het veld.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.8.

$v_\perp = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_\parallel = 8.7 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $R = mv_\perp/eB = 9.11\times10^{-31} \times 5\times10^5/(3.2\times10^{-22}) = 1.4\,\mathrm{mm}$ ; omlooptijd $2\pi m/eB = 18\,\mathrm{ns}$ , spoed $v_\parallel T = 1.5\,\mathrm{cm}$ : ongeveer $64$ omwentelingen per meter.

Oefening 17.9 ★★

Een koperen strip van $1.0\,\mathrm{mm}$ dik voert $5.0\,\mathrm{A}$ in $1.0\,\mathrm{T}$ ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ). Hallspanning. Waarom worden hallsensoren van halfgeleiders gemaakt ( $n \sim 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.9.

$U_H = IB/nqd = 5.0/(8.5\times10^{28} \times 1.6\times10^{-19} \times 10^{-3}) = 3.7 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}$ : minder dan een microvolt. Met een $n$ dat tien miljoen keer kleiner is levert een halfgeleider millivolts — een bruikbare sensor.

Oefening 17.10 ★★★

Bewijs uit de wet van Newton dat een lading in elk magnetisch veld (homogeen of niet), zonder elektrisch veld, een constante snelheid houdt. Een elektron van $10\,\mathrm{keV}$ komt in een gebied met een sterk, inhomogeen veld: wat kan er veranderen en wat niet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.10.

$m\,\dd\vect v/\dd t = q\vect v\wedge\vect B$ ; inproduct met $\vect v$ : $\dd(\tfrac12 mv^2)/ \dd t = 0$ wat $\vect B(\vect r, t)$ ook is, mits er geen $\vect E$ is. De richting van de snelheid, de kromtestraal en de spoed kunnen alle veranderen; de snelheid en de kinetische energie ( $10\,\mathrm{keV}$ ) niet.

Oefening 17.11 ★★★

Een lading $q$ vertrekt uit rust in de oorsprong in $\vect E = E\vect e_y$ en $\vect B = B\vect e_z$ . Schrijf de bewegingsvergelijkingen op, toon aan dat het deeltje gemiddeld met de snelheid $E/B$ langs $\vect e_x$ opschuift (aanwijzing: zoek een oplossing van de vorm $\vect v = \vect u + \vect w$ met $\vect u$ constant), en beschrijf de baan (een cycloïde). Getallen voor een elektron met $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $B = 0.10\,\mathrm{T}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.11.

$m\dot v_x = qv_yB$ , $m\dot v_y = qE - qv_xB$ , $v_z = 0$ . Met $\vect v = (E/B)\vect e_x + \vect w$ : $m\dot w_x = qw_yB$ , $m\dot w_y = -qw_xB$ — een zuivere cyclotronrotatie van $\vect w$ met $\omega_c$ . Vertrekkend uit rust is $\vect w(0) = -(E/B)\vect e_x$ : $\vect w$ draait met constante norm $E/B$ , dus is de snelheid de drift $E/B$ plus een draaiende vector met dezelfde norm — een cycloïde, met keerpunten waar $\vect v = \vect 0$ . Elektron: drift $E/B = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega_c = 1.8 \times 10^{10}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , booghoogte $2mE/qB^2 = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Oefening 17.12 ★★★

Vervang in de oscilloscoop van Oefening 17.5 de platen door een magnetische afbuigspoel die $1.0\,\mathrm{mT}$ levert over dezelfde $4.0\,\mathrm{cm}$ . Afbuighoek (kleine hoek: de boog met straal $R$ over een lengte $L$ ) en afbuiging op het scherm. Waarom gebruiken televisiebuizen, met hun grote hoeken, magnetische in plaats van elektrische afbuiging?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.12.

$R = mv_0/eB = 9.11\times10^{-31} \times 2.65\times10^7/(1.6\times10^{-22}) = 0.15\,\mathrm{m}$ ; $\alpha \approx L/R = 0.04/0.15 = 0.27$ (ongeveer $15^\circ$ ): afbuiging $\approx 0.30 \times 0.27 = 8\,\mathrm{cm}$ voor een bescheiden millitesla. Grote hoeken met platen zouden kilovolts en lange platen vergen; een spoel buigt de bundel over tientallen graden zonder enige spanning.

17.6 Probleem: Protonen tegen een tumor

Probleem 17.1

Weekendopgave — het cyclotron achter de muur van een ziekenhuis: hoe protonen tot een derde van de lichtsnelheid worden opgezweept, waarom de eenvoudige machine ophoudt te werken vóór de energie die een therapeut nodig heeft, en hoeveel protonen een tumor kost

Protonen: $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $q = e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ ; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Cyclotron: $B = 1.5\,\mathrm{T}$ , extractiestraal $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ , amplitude van de deespanning $U = 50\,\mathrm{kV}$ .

Deel I — Eén omwenteling.

Schrijf de lorentzkracht op een proton dat met $\vect v$ loodrecht op $\vect B$ beweegt, en toon aan dat zijn snelheid binnen een dee niet kan veranderen.
Leid de straal van zijn cirkel en zijn omlooptijd af; toon aan dat de omlooptijd niet van de snelheid afhangt.
Bereken de cyclotronfrequentie $f_c$ voor deze protonen.
Energiewinst bij elke spleetpassage; per omwenteling.
Waarom moet de deespanning precies met $f_c$ wisselen? Wat gebeurt er als zij er iets naast zit?
De protonen worden in het midden met verwaarloosbare snelheid ingespoten: straal na de eerste omwenteling? Na $n$ omwentelingen?

Deel II — Naar de rand.

Kinetische energie bij de extractie (in J en MeV), en de snelheid, als deel van $c$ .
Aantal benodigde omwentelingen en verblijftijd in de machine.
Totale lengte van de spiraalbaan (som van de omtrekken — benader de som door een integraal).
Hangt het antwoord op vraag 7 van $U$ af? Waarop werkt $U$ dan wel?
Het vacuüm binnenin moet goed zijn: schat de afstand die een proton aflegt tussen botsingen met moleculen van het restgas als de gemiddelde vrije weglengte de spiraallengte moet overtreffen; die weglengte gaat als $1/p$ en bedraagt ongeveer $70\,\mathrm{nm}$ bij atmosferische druk. Welke druk is nodig?
Bereken $\gamma - 1 \approx E_k/mc^2$ bij de extractie en de relatieve verandering van de omlooptijd die daaruit volgt. Met hoeveel van een periode is het proton over het hierboven gevonden aantal omwentelingen ten opzichte van de spanning verschoven? Becommentarieer.

Deel III — 230 MeV. Protonentherapie vraagt ongeveer $230\,\mathrm{MeV}$ om tumoren op $30\,\mathrm{cm}$ diepte te bereiken.

Welk product $BR$ zou met de niet-relativistische formule $230\,\mathrm{MeV}$ geven? Welke straal bij $B = 2.0\,\mathrm{T}$ ?
Bij die energie is $\gamma - 1 = 0.245$ : wat gebeurt er met de omlooptijd in het cyclotron naarmate het proton energie wint, en waarom faalt een cyclotron met vaste frequentie?
Er zijn twee remedies: de frequentie van de spanning tijdens de versnelling variëren (synchrocyclotron), of $B$ met de straal laten groeien zodat $B/\gamma$ constant blijft (isochroon cyclotron). Leg elk in één zin uit en noem een nadeel van het eerste.
De relativistische impuls is $p = \gamma mv$ en de straal $R = p/qB$ blijft gelden: bereken met $\gamma = 1.245$ en $v = 0.60c$ $R$ bij $B = 2.0\,\mathrm{T}$ en vergelijk met vraag 13.
De uitgekoppelde bundel loopt tussen twee platen van $1.0\,\mathrm{m}$ lang met $E = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ om over een kleine hoek te worden gestuurd: schat de afbuighoek (niet-relativistisch, met $p$ uit de vorige vraag in plaats van $mv$ ). Is elektrisch sturen hier bruikbaar?
Hetzelfde sturen met een magneet van $1.0\,\mathrm{T}$ over $1.0\,\mathrm{m}$ : de hoek? Concludeer waarom bundellijnen magneten gebruiken.

Deel IV — De dosis.

Een proton van $230\,\mathrm{MeV}$ zet het grootste deel van zijn energie af aan het eind van zijn dracht (de braggpiek). Wordt dat alles opgenomen in een tumor met massa $0.50\,\mathrm{kg}$ , hoeveel protonen leveren dan een dosis van $2.0\,\mathrm{Gy}$ ( $1\,\mathrm{Gy} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ )?
De bundelstroom is $1.0\,\mathrm{nA}$ : protonen per seconde, en duur van de behandeling.
Vermogen dat de bundel meevoert; vergelijk met een gloeilamp.
De protonen worden in de patiënt tot stilstand afgeremd: hoeveel energie zet één proton ruwweg af in de laatste centimeter, als daar een kwart van de energie verloren gaat? In elektronvolt per micrometer?
Elke ionisatie in weefsel kost ongeveer $30\,\mathrm{eV}$ : hoeveel ionisaties veroorzaakt één proton over zijn hele weg?
Waarom verdient een protonenbundel bij een diepe tumor de voorkeur boven röntgenstraling, in één zin over waar de energie blijft?
Vat de keten van de lorentzkracht tot de dosis samen: welke vergelijkingen legden de energie, de straal, het aantal omwentelingen en de behandeltijd vast.

Oplossing

Oplossing van Probleem 17.1.

1. $\vect F = e\vect v\wedge\vect B \perp \vect v$ : geen vermogen, constante snelheid.

2. $mv^2/R = evB$ : $R = mv/eB$ ; $T = 2\pi R/v = 2\pi m/eB$ , zonder $v$ .

3. $f_c = eB/2\pi m = 1.6\times10^{-19} \times 1.5/(2\pi \times 1.67 \times10^{-27}) = 23\,\mathrm{MHz}$ .

4. $eU = 50\,\mathrm{keV}$ per passage, $100\,\mathrm{keV}$ per omwenteling.

5. De spleet moet telkens wanneer het proton aankomt de versnellende polariteit hebben, steeds een halve periode later; bij een verkeerde frequentie loopt de fase weg en gaan de zetjes uiteindelijk afremmen.

6. Na één omwenteling is $E_k = 100\,\mathrm{keV}$ , $v = \sqrt{2E_k/m} = 4.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $R = mv/eB = 3.0\,\mathrm{cm}$ ; na $n$ omwentelingen $E_k = n \times 100\,\mathrm{keV}$ en $R = 3.0\,\mathrm{cm}\sqrt n$ .

7. $E_k = e^2B^2R^2/2m = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ ; $v = \sqrt{2E_k/m} = 7.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 0.24c$ .

8. $270$ omwentelingen; $270 \times 43.5\,\mathrm{ns} = 12\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

9. $\sum 2\pi R_n = 2\pi \times 0.030\sum\sqrt n \approx 2\pi \times 0.030 \times \tfrac23 \times 270^{3/2} = 560\,\mathrm{m}$ .

10. Nee: $E_k$ hangt alleen van $B$ en $R_{\max}$ af; $U$ bepaalt het aantal omwentelingen en de tijd.

11. Weg $560\,\mathrm{m}$ : nodig is $\lambda \gtrsim 1\,\mathrm{km}$ , dat wil zeggen $p \lesssim 10^5\ \mathrm{Pa} \times 7\times10^{-8}/10^3 = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{Pa}$ — een hoog vacuüm.

12. $\gamma - 1 = 27/938 = 0.029$ ; de omlooptijd groeit met $2.9\%$ . Over $270$ omwentelingen loopt de verschuiving op tot enkele perioden — de laatste omwentelingen zouden uit fase zijn; in de praktijk worden $B$ en de injectiefase bijgesteld, en $27\,\mathrm{MeV}$ ligt dicht bij de grens van de eenvoudige machine.

13. $E_k = (eBR)^2/2m$ : $BR = \sqrt{2mE_k}/e = \sqrt{2 \times 1.67\times 10^{-27} \times 3.68\times10^{-11}}/1.6\times10^{-19} = 2.2\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}$ ; $R = 1.1\,\mathrm{m}$ bij $2\,\mathrm{T}$ .

14. $T = 2\pi\gamma m/eB$ groeit met $24\%$ van het midden naar de rand: een vaste frequentie raakt hopeloos uit de pas.

15. Synchrocyclotron: verlaag de frequentie naarmate het pakket energie wint — slechts één pakket tegelijk, lage gemiddelde stroom. Isochroon: geef $B(R) \propto \gamma$ zo’n vorm dat de omlooptijd constant blijft — een continue bundel, de moderne keuze.

16. $p = \gamma mv = 1.245 \times 1.67\times10^{-27} \times 1.8\times10^8 = 3.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $R = p/eB = 1.2\,\mathrm{m}$ , iets meer dan de niet-relativistische $1.1\,\mathrm{m}$ .

17. Transversale impuls $eEL/v = 1.6\times10^{-19} \times 10^5 \times 1.0/1.8\times10^8 = 8.9 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; hoek $\approx 8.9\times10^{-23}/ 3.7\times10^{-19} = 2.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ : hopeloos om mee te sturen.

18. Magnetisch: $R = p/eB = 2.3\,\mathrm{m}$ , hoek $L/R = 0.43\,\mathrm{rad} \approx 25^\circ$ : duizend keer meer — dus magneten.

19. Energie per proton $3.68 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ ; dosis $2.0 \times 0.50 = 1.0\,\mathrm{J}$ : $2.7\times10^{10}$ protonen.

20. $10^{-9}/1.6\times10^{-19} = 6.2 \times 10^{9}\,\mathrm{protonen}/\mathrm{s}$ : ongeveer $4.4\,\mathrm{s}$ .

21. $P = 230\,\mathrm{MeV} \times 6.2 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.23\,\mathrm{W}$ : een nachtlampje, precies afgeleverd waar men het hebben wil.

22. $58\,\mathrm{MeV}$ in $1\,\mathrm{cm}$ : ongeveer $6\,\mathrm{keV}/\text{µ}\mathrm{m}$ — dichte ionisatie langs het laatste stuk spoor.

23. $230\times10^6/30 \approx 8 \times 10^{6}$ ionisaties per proton — de moleculaire schade die de cel doodt.

24. Röntgenstraling zet energie af over haar hele weg, het meeste vlak bij de ingang; protonen zetten het grootste deel af aan het eind van hun dracht, sparen het weefsel ervoor en laten er niets achter.

25. $R = mv/eB$ en $T = 2\pi m/eB$ (de cirkel), $E_k = (eBR)^2/2m$ (de energie), $E_k/2eU$ (de omwentelingen), dosis $=$ (protonen $\times$ energie)/massa en stroom $= e \times$ tempo (de tijd).

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst