Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

19Systemen van punten; inleiding tot vaste lichamen

Een schoonspringster verlaat de plank, trekt zich samen, maakt twee salto’s en strekt zich weer; door dit alles heen tekent één punt van haar lichaam — haar massamiddelpunt — dezelfde eenvoudige parabool als een steen. Een jojo die uit de hand valt doet er drie keer zo lang over om het eind van zijn touwtje te bereiken als een steen, en komt daar aan met tweeduizend omwentelingen per minuut. Een massieve bol wint van een holle op elke helling, hoe groot of zwaar zij ook zijn. De mechanica van één punt, in de vorige hoofdstukken uitgewerkt, strekt zich uit tot systemen van vele punten — en tot de vaste lichamen van alledag — via een handvol stellingen: het massamiddelpunt beweegt als een punt, energie en impulsmoment splitsen in een deel van het massamiddelpunt en een deel “eromheen”, en een lichaam dat om een vaste as draait is een systeem met één vrijheidsgraad, beheerst door zijn traagheidsmoment.

19.1 Massamiddelpunt en impuls

Definitie 19.1 (Massamiddelpunt; impuls van een systeem)

Voor puntmassa’s $m_i$ in $M_i$ , met totale massa $M = \sum m_i$ , is het massamiddelpunt (zwaartepunt) $G$ gedefinieerd door

\sum_i m_i\,\vect{GM_i} = \vect 0, \qquad\text{d.w.z.}\qquad \vect{OG} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\,\vect{OM_i}

voor elke oorsprong $O$ . De impuls van het systeem is $\vect P = \sum_i m_i\vect v_i = M\vect v_G$ .

Stelling 19.2 (Stelling van het massamiddelpunt)

In een inertiaalstelsel geldt

M\,\vect a_G = \frac{\dd\vect P}{\dd t} = \sum\vect F_{\mathrm{ext}} :

het massamiddelpunt beweegt als een puntmassa met massa $M$ die alleen aan de resultante van de uitwendige krachten onderworpen is. Voor een gesloten systeem zonder uitwendige kracht blijft $\vect P$ behouden en beweegt $G$ eenparig.

Bewijs. Som de tweede wet van Newton over de puntmassa’s; de inwendige krachten vallen paarsgewijs weg (actie–reactie); $\sum m_i\vect a_i = M\vect a_G$ door de definitie van $G$ twee keer te differentiëren. ∎

Voorbeeld 19.3 (Schoonspringster, terugslag, botsing)

De $G$ van de springster volgt een parabool onder haar gewicht alleen, hoe zij zich ook wendt — haar spieren zijn inwendige krachten. Een geweer van $4.0\,\mathrm{kg}$ dat een kogel van $10\,\mathrm{g}$ met $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ afvuurt: $\vect P = \vect 0$ ervoor en erna, dus slaat het geweer met $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terug. Twee auto’s, $1000\,\mathrm{kg}$ met $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $1500\,\mathrm{kg}$ in rust, die in elkaar haken: $v = 20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — de impuls blijft behouden, terwijl $60\%$ van de kinetische energie in verkreukeld plaatwerk en warmte is gegaan. De impuls blijft in elke botsing behouden; de kinetische energie alleen in elastische botsingen (Oefening 19.12).

19.2 De stellingen van Koenig

Definitie 19.4 (Barycentrisch stelsel)

Het barycentrische stelsel $\mathcal R^*$ heeft zijn oorsprong in $G$ en transleert ten opzichte van het inertiaalstelsel $\mathcal R$ (zijn assen houden vaste richtingen). Grootheden die erin worden gemeten krijgen een ster: $\vect v_i^* = \vect v_i - \vect v_G$ , en $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$ .

Stelling 19.5 (De stellingen van Koenig)

Het impulsmoment om een punt $O$ en de kinetische energie van een systeem splitsen in de bijdrage van het massamiddelpunt, dat de hele massa draagt, en de bijdragen in het barycentrische stelsel:

\vect L_O = \vect{OG}\wedge M\vect v_G + \vect L^*, \qquad E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*,

waarin $\vect L^* = \sum\vect{GM_i}\wedge m_i\vect v_i^*$ en $E_k^* = \sum\tfrac12 m_iv_i^{*2}$ niet van de oorsprong van het stelsel afhangen.

Bewijs. $\vect{OM_i} = \vect{OG} + \vect{GM_i}$ en $\vect v_i = \vect v_G + \vect v_i^*$ ; werk $\sum\vect{OM_i}\wedge m_i\vect v_i$ en $\sum\tfrac12 m_iv_i^2$ uit: de gemengde termen bevatten $\sum m_i\vect{GM_i} = \vect 0$ of $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$ en verdwijnen. ∎

Voorbeeld 19.6 (Een rollend wiel)

Een wiel met massa $M$ , straal $R$ en traagheidsmoment $J$ om zijn as, dat zonder slippen met snelheid $v$ rolt: het contactpunt is in rust, dus $\omega = v/R$ , en $E_k = \tfrac12 Mv^2 + \tfrac12 J\omega^2 = \tfrac12 Mv^2(1 + J/MR^2)$ — driekwart van $Mv^2$ voor een homogene schijf ( $J = \tfrac12 MR^2$ ), $Mv^2$ voor een hoepel. Die tweede term is de reden dat fietswielen licht worden gemaakt: hun rotatie kost energie die de massa van het frame niet kost.

19.3 Het tweelichamenprobleem

Propositie 19.7 (Gereduceerde massa)

Twee puntmassa’s die alleen met elkaar wisselwerken (kracht $\vect F$ op $m_2$ vanwege $m_1$ , $-\vect F$ op $m_1$ ): $G$ beweegt eenparig, en de relatieve positie $\vect r = \vect{M_1M_2}$ voldoet aan

\mu\,\frac{\dd^2\vect r}{\dd t^2} = \vect F, \qquad \mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2},

de vergelijking van één fictieve puntmassa met gereduceerde massa $\mu$ die onder $\vect F$ om een vast centrum beweegt. In $\mathcal R^*$ is $E_k^* = \tfrac12\mu\dot{\vect r}^2$ en $\vect L^* = \vect r\wedge\mu\dot{\vect r}$ .

Bewijs. $\ddot{\vect r} = \vect a_2 - \vect a_1 = \vect F/m_2 + \vect F/m_1 = \vect F(m_1 + m_2)/m_1m_2$ . In $\mathcal R^*$ is $\vect{GM_2} = m_1\vect r/(m_1 + m_2)$ en $\vect{GM_1} = -m_2\vect r/(m_1 + m_2)$ ; vul in in $E_k^*$ en $\vect L^*$ . ∎

Voorbeeld 19.8 (Als het centrum meebeweegt)

In Hoofdstuk 16 lag de zon vast: exact alleen in de limiet $m \ll M$ ; in het algemeen luidt de derde wet van Kepler $T^2 = 4\pi^2a^3/G(M + m)$ . Voor het trillende HCl-molecuul uit Probleem 13.1 is de massa die in de kuil trilt $\mu = m_Hm_{Cl}/(m_H + m_{Cl}) = 0.972\,m_H$ , wat de frequentie met $1.4\%$ verhoogt; voor het waterstofatoom verschilt de $\mu$ van het elektron van $m_e$ met één deel op $1836$ — meetbaar in het spectrum.

19.4 Vast lichaam dat om een vaste as draait

Definitie 19.9 (Vast lichaam; rotatie om een vaste as)

Een star lichaam (vast lichaam) is een systeem waarvan de punten vaste onderlinge afstanden houden. Draait het om een as $\Delta$ die in het stelsel vastligt, dan beschrijft elk punt een cirkel met middelpunt op $\Delta$ , met dezelfde hoeksnelheid $\omega = \dot\theta$ ; een punt op afstand $r_i$ van de as heeft snelheid $r_i\omega$ .

Propositie 19.10 (Traagheidsmoment; impulsmoment; kinetische energie)

Met het traagheidsmoment $J_\Delta = \sum m_ir_i^2$ (een integraal $\int r^2\,\dd m$ voor een continu lichaam):

L_\Delta = J_\Delta\,\omega, \qquad E_k = \tfrac12 J_\Delta\omega^2 .

Standaardwaarden (massa $M$ ): dunne ring of holle cilinder om zijn as, $MR^2$ ; homogene schijf of massieve cilinder, $\tfrac12 MR^2$ ; dunne staaf met lengte $L$ om haar midden, $\tfrac{1}{12}ML^2$ , om een uiteinde, $\tfrac13 ML^2$ ; massieve bol om een middellijn, $\tfrac25 MR^2$ . Stelling van Huygens: om een as $\Delta$ evenwijdig aan een as $\Delta_G$ door $G$ op afstand $d$ geldt $J_\Delta = J_{\Delta_G} + Md^2$ .

Bewijs. $L_\Delta$ en $E_k$ : Propositie 15.9. Staaf om een uiteinde: $\int_0^L x^2(M/L)\,\dd x = ML^2/3$ ; om het midden, $\int_{-L/2}^{L/2} x^2(M/L)\dd x = ML^2/12$ . Schijf: ring met straal $r$ , breedte $\dd r$ , massa $(2Mr/R^2)\dd r$ : $\int_0^R r^2(2Mr/R^2)\dd r = MR^2/2$ ; de ring en de bol worden aangenomen (de bol vergt een dubbele integraal). Huygens: met $r_i^2 = \abs{\vect{GM_i}_\perp + \vect d}^2 = r_{G,i}^2 + d^2 + 2\vect d\cdot \vect{GM_i}_\perp$ sommeert de gemengde term tot nul per definitie van $G$ . ∎

Links: het traagheidsmoment van een schijf, ring voor ring opgeteld. Rechts: de stelling van Huygens — om een as door de rand van een schijf, evenwijdig aan de as door haar middelpunt, is J = 1/2 MR2 + MR2. — Links: het traagheidsmoment van een schijf, ring voor ring opgeteld. Rechts: de stelling van Huygens — om een as door de rand van een schijf, evenwijdig aan de as door haar middelpunt, is $J = \tfrac12 MR^2 + MR^2$ .

Stelling 19.11 (Dynamica van een vast lichaam om een vaste as)

Voor een vast lichaam dat in een inertiaalstelsel om een vaste as $\Delta$ draait geldt

J_\Delta\,\ddot\theta = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}}), \qquad \frac{\dd}{\dd t}\Big(\tfrac12 J_\Delta\dot\theta^2\Big) = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}})\,\dot\theta :

de momenten van de uitwendige krachten om de as drijven de hoekversnelling aan, en een moment $\mathcal M_\Delta$ levert het vermogen $\mathcal M_\Delta\omega$ . Een ideaal draaipunt (een wrijvingsloos lager) oefent geen moment om zijn as uit en versnelt of remt de rotatie dus niet.

Bewijs. Stelling 15.8 geprojecteerd op $\Delta$ , met $L_\Delta = J_\Delta\dot\theta$ en $J_\Delta$ constant voor een star lichaam; vermenigvuldig met $\dot\theta$ voor de energievorm (de inwendige krachten van een star lichaam verrichten geen arbeid: de afstanden veranderen niet). ∎

Voorbeeld 19.12 (Fysische slinger; torsieslinger)

Een vast lichaam met massa $M$ dat om een horizontale as op afstand $d$ van $G$ draait: het moment van het gewicht is $-Mgd\sin\theta$ , dus $J_\Delta\ddot\theta = -Mgd\sin\theta$ , en kleine zwaaien hebben de periode

T = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{Mgd}} ,

die van een wiskundige slinger met lengte $J_\Delta/Md$ — voor een homogene staaf die aan één uiteinde draait, $2L/3$ . Een schijf aan een draad met torsieconstante $C$ (terugdrijvend moment $-C\theta$ ): $J\ddot\theta = -C\theta$ , $T = 2\pi\sqrt{J/C}$ — de torsiebalans die $G$ en de wet van Coulomb heeft gemeten.

Drie vaste lichamen in beweging: een fysische slinger die om een draaipunt zwaait (het moment van het gewicht om de as), een torsieslinger (het moment van de draad), en een vast lichaam dat zonder slippen een helling af rolt — hoe groter zijn J/MR2, hoe trager het rolt. — Drie vaste lichamen in beweging: een fysische slinger die om een draaipunt zwaait (het moment van het gewicht om de as), een torsieslinger (het moment van de draad), en een vast lichaam dat zonder slippen een helling af rolt — hoe groter zijn $J/MR^2$ , hoe trager het rolt.

Propositie 19.13 (Zonder slippen een helling af rollen)

Een omwentelingslichaam ( $J = kMR^2$ om zijn as) dat op een helling met hoek $\alpha$ wordt losgelaten rolt zonder slippen met de versnelling

a = \frac{g\sin\alpha}{1 + k} :

$\tfrac57 g\sin\alpha$ voor een massieve bol, $\tfrac23 g\sin\alpha$ voor een schijf, $\tfrac12 g\sin\alpha$ voor een hoepel — onafhankelijk van massa en straal.

Bewijs. Energie: $Mgh = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$ langs de helling (de statische wrijving in het rustende contactpunt verricht geen arbeid), dus $v^2 = 2ah$ met $a$ zoals aangegeven; of Newton voor $G$ en de momentstelling om $G$ met de wrijving $f$ : $Ma = Mg\sin\alpha - f$ , $kMR^2\dot\omega = fR$ , $a = R\dot\omega$ . ∎

Opmerking 19.14 (Vervormbare systemen)

Voor een systeem dat niet star is luidt de stelling van de kinetische energie $\Delta E_k = W_{\mathrm{ext}} + W_{\mathrm{int}}$ : de inwendige krachten verrichten arbeid (spieren, veren, wrijving binnen het systeem). De schaatsster die haar armen intrekt, de springster die zich samentrekt, de fietser die op de pedalen gaat staan winnen alle kinetische energie zonder uitwendige arbeid — de stelling van het massamiddelpunt blijft gelden, de energie komt van binnenuit.

19.5 Oefeningen

Oefening 19.1 ★

Massa’s $2.0\,\mathrm{kg}$ in $x = 0$ en $3.0\,\mathrm{kg}$ in $x = 1.0\,\mathrm{m}$ : plaats van $G$ . Het stelsel aarde–maan ( $81:1$ , $384\,000\,\mathrm{km}$ ): afstand van $G$ tot het middelpunt van de aarde; vergelijk met de straal van de aarde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.1.

$x_G = (2.0 \times 0 + 3.0 \times 1.0)/5.0 = 0.60\,\mathrm{m}$ . Aarde–maan: $384000/82 = 4700\,\mathrm{km}$ van het middelpunt van de aarde, binnen de aarde ( $6370\,\mathrm{km}$ ): de aarde wiebelt om een punt $1700\,\mathrm{km}$ onder haar oppervlak.

Oefening 19.2 ★

Een geweer van $4.0\,\mathrm{kg}$ vuurt een kogel van $10\,\mathrm{g}$ af met $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Terugslagsnelheid; kinetische energie van kogel en geweer; waar kwam die energie vandaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.2.

$4.0v = 0.010 \times 800$ : $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Kogel $\tfrac12 \times 0.010 \times 800^2 = 3.2\,\mathrm{kJ}$ , geweer $8\,\mathrm{J}$ : uit de chemische energie van het kruit; het lichte lichaam neemt er bijna alles van ( $E_k = p^2/2m$ bij gelijke $p$ ).

Oefening 19.3 ★

Een auto van $1000\,\mathrm{kg}$ met $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ raakt een auto van $1500\,\mathrm{kg}$ in rust; zij haken in elkaar. Gemeenschappelijke snelheid; verloren deel van de kinetische energie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.3.

$v = 20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E_k$ : $200\,\mathrm{kJ}$ ervoor, $\tfrac12 \times 2500 \times 64 = 80\,\mathrm{kJ}$ erna: $60\%$ verloren.

Oefening 19.4 ★

Leid het traagheidsmoment af van een homogene staaf met massa $M$ en lengte $L$ , om een loodrechte as door haar uiteinde, en daarna door haar midden; controleer de stelling van Huygens tussen beide.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.4.

Uiteinde: $\int_0^L x^2(M/L)\dd x = ML^2/3$ ; midden: $\int_{-L/2}^{L/2}x^2(M/L) \dd x = ML^2/12$ ; Huygens met $d = L/2$ : $ML^2/12 + ML^2/4 = ML^2/3$ .

Oefening 19.5 ★★

Kinetische energie van een rollende homogene cilinder en van een rollende hoepel met dezelfde massa en snelheid, als veelvoud van $\tfrac12 Mv^2$ . Welke stopt het eerst op een ruwe vlakke vloer, en welke klimt het hoogst tegen een helling op?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.5.

$E_k = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$ : cilinder $1.5$ , hoepel $2$ maal $\tfrac12 Mv^2$ . Bij dezelfde snelheid meer energie voor de hoepel: hij rolt verder op een vlakke vloer (dezelfde wrijving) en klimt hoger ( $h = v^2(1 + k)/2g$ ).

Oefening 19.6 ★★

Gereduceerde massa van HCl ( $m_{Cl} = 35m_H$ ) en van het waterstofatoom ( $m_p = 1836m_e$ ); relatieve correctie op een trillings- of baanfrequentie die met de lichte massa alleen is berekend.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.6.

HCl: $\mu = 35m_H/36 = 0.972m_H$ ; atoom: $\mu = m_e/(1 + 1/1836) = 0.99946m_e$ . Frequenties $\propto 1/\sqrt\mu$ : $+1.4\%$ voor HCl, $+0.027\%$ voor waterstof (de isotoopverschuiving tussen de spectra van H en D berust erop).

Oefening 19.7 ★★

Een homogene staaf van $1.0\,\mathrm{m}$ draait vrij om één uiteinde. Periode van kleine trillingen; lengte van de wiskundige slinger met dezelfde periode; het punt van de staaf (het slagmiddelpunt) waar een scherpe klap geen reactie in het draaipunt geeft ligt op die afstand — waarom zoekt een slagman het op?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.7.

$J = ML^2/3$ , $d = L/2$ : $T = 2\pi\sqrt{(ML^2/3)/(MgL/2)} = 2\pi\sqrt{2L/3g} = 1.64\,\mathrm{s}$ ; equivalente lengte $2L/3 = 0.67\,\mathrm{m}$ . Een klap in het slagmiddelpunt zet de staaf om het draaipunt aan het draaien zonder daar een stootreactie te geven: raak de bal op de “zoete plek” van het slaghout en de handen voelen geen naschok.

Oefening 19.8 ★★

Een schijf ( $M = 0.20\,\mathrm{kg}$ , $R = 10\,\mathrm{cm}$ ) hangt aan een draad en trilt in torsie met een periode van $2.0\,\mathrm{s}$ . Torsieconstante van de draad.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.8.

$J = \tfrac12 MR^2 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $C = 4\pi^2J/T^2 = 9.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ .

Oefening 19.9 ★★

Een vliegwiel met traagheidsmoment $10\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ draait met $3000\,\mathrm{rpm}$ . Opgeslagen energie; remmoment dat het in $10\,\mathrm{s}$ stilzet; aantal omwentelingen tijdens het remmen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.9.

$\omega = 314\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $E = \tfrac12 J\omega^2 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; $\Gamma = J\omega/t = 314\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; omwentelingen: $\tfrac12\omega t/2\pi = 250$ .

Oefening 19.10 ★★★

Een massieve bol, een massieve cilinder en een hoepel worden samen boven aan een helling losgelaten. Volgorde van aankomst en de verhouding van hun versnellingen. Hangt het antwoord van hun stralen of massa’s af?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.10.

$a = g\sin\alpha/(1 + k)$ : bol ( $k = 2/5$ ) $0.714$ , cilinder ( $1/2$ ) $0.667$ , hoepel ( $1$ ) $0.500$ maal $g\sin\alpha$ : de bol eerst, de hoepel laatst; nergens een massa of een straal.

Oefening 19.11 ★★★

Ballistische slinger: een kogel van $10\,\mathrm{g}$ met $400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dringt in een blok van $2.0\,\mathrm{kg}$ dat aan een koord van $1.0\,\mathrm{m}$ hangt. Snelheid vlak na de inslag; bereikte hoogte; verloren deel van de kinetische energie van de kogel. Waarom kan men voor de inslag zelf geen energiebehoud gebruiken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.11.

Impuls: $0.010 \times 400 = 2.01\,v$ : $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; dan energie: $h = v^2/2g = 0.20\,\mathrm{m}$ . $E_k$ : $800\,\mathrm{J}$ ervoor, $\tfrac12 \times 2.01 \times 4.0 = 4.0\,\mathrm{J}$ erna: $99.5\%$ verloren aan vervorming en warmte. De inslag is niet-elastisch — de energie blijft er niet behouden, de impuls wel (de spankracht in het koord is verticaal en de inslag kort).

Oefening 19.12 ★★★

Elastische frontale botsing van $m_1$ met $v_1$ tegen $m_2$ in rust: leid $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1$ en $v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1$ af. Overgedragen deel van de energie wanneer een neutron een proton raakt; een koolstofkern ( $12m_n$ ); een loodkern ( $207m_n$ ). Waarom worden reactoren met lichte kernen gemodereerd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.12.

$m_1v_1 = m_1v_1' + m_2v_2'$ en $m_1v_1^2 = m_1v_1'^2 + m_2v_2'^2$ geven $v_1 + v_1' = v_2'$ (deel de energievergelijking door die van de impuls), waaruit de formules volgen. Deel van de energie naar het doel $4m_1m_2/(m_1 + m_2)^2$ : proton $100\%$ ; koolstof $4 \times 12/169 = 28\%$ ; lood $4 \times 207/208^2 = 1.9\%$ . Lichte kernen nemen de energie van het neutron in een paar botsingen over (water, grafiet); lood zou er honderden nodig hebben.

Een jojo die zich afwikkelt: het massamiddelpunt valt, de schijf draait, en de spankracht in het touwtje is wat de twee bewegingen aan elkaar bindt — de weekendopgave.

19.6 Probleem: De jojo

Probleem 19.1

Weekendopgave — een schijf op een dunne as aan het eind van een touwtje: waarom hij zo traag valt, hoe snel hij onderaan draait, waarom hij daar “slaapt”, en welke kant een klos op rolt als je aan zijn draad trekt

Een jojo is een homogene schijf met massa $M = 50\,\mathrm{g}$ en straal $R = 3.0\,\mathrm{cm}$ met een dunne as met straal $r = 0.40\,\mathrm{cm}$ waaromheen een touwtje van lengte $h = 1.0\,\mathrm{m}$ is gewonden; het bovenste eind van het touwtje wordt vastgehouden. $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $J = \tfrac12 MR^2$ om de as.

Deel I — Kinematica en energie.

Waar ligt het massamiddelpunt $G$ van de jojo? Waarom?
Toon met de stelling van Koenig aan dat zijn kinetische energie $\tfrac12 Mv_G^2 + \tfrac12 J\omega^2$ is.
Leid $J = \tfrac12 MR^2$ af door over ringen te integreren, en bereken $J$ .
Het touwtje wikkelt zich zonder slippen van de as af: leg het verband tussen $v_G$ en $\omega$ .
Leid $E_k = \tfrac12 Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$ af en bereken de factor tussen haakjes. Becommentarieer.

Deel II — De val.

Krachten op de jojo; schrijf de stelling van het massamiddelpunt op (verticale as naar beneden).
Schrijf de impulsmomentstelling op om de as door $G$ (welke krachten hebben een moment?).
Combineer met vraag 4 en vind de versnelling $a_G = g/(1 + R^2/2r^2)$ ; bereken haar.
Bereken de spankracht in het touwtje en vergelijk haar met het gewicht.
Tijd om de $1.0\,\mathrm{m}$ touwtje af te wikkelen, en de snelheid dan; vergelijk met een steen die van dezelfde hoogte valt.
Hoeksnelheid onderaan, in rad/s en in omwentelingen per minuut.
Splits de kinetische energie onderaan in haar translatie- en haar rotatiedeel.
Controleer de energiebalans: vergelijk $Mgh$ met de kinetische energie onderaan, en zeg waarom de spankracht in het touwtje, hoe groot ook, geen arbeid verricht.

Deel III — Onderaan: de slaper. Is het touwtje helemaal afgewikkeld, dan stopt het het massamiddelpunt in enkele milliseconden; de jojo blijft draaien in de lus aan het eind van het touwtje (“slapen”).

Waarom overleeft de draaiing het stoppen van $G$ ? (Welke stelling, en welke kracht zou nodig zijn geweest om haar te stoppen?)
Schat de gemiddelde spankracht tijdens het stoppen als $G$ in $5\,\mathrm{ms}$ tot stilstand komt.
De lus schuurt op de as met een wrijvingsmoment $\Gamma = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ : hoe lang slaapt de jojo?
Een korte ruk aan het touwtje laat het touwtje de as weer grijpen; de draaiende jojo klimt dan omhoog. Tot welke hoogte zou hij met energiebehoud kunnen stijgen als er niets verloren ging? Waarom in de praktijk minder?
Is de spankracht tijdens het klimmen groter of kleiner dan het gewicht? (Teken van $a_G$ .)
Wat zou er gebeuren met een jojo waarvan de asstraal gelijk was aan $R$ (touwtje op de rand gewonden)? Bereken zijn valversnelling.

Deel IV — De klos op de tafel. Hetzelfde voorwerp ligt op een ruwe tafel, met de as horizontaal, en zijn draad verlaat de onderkant van de as horizontaal; men trekt met een kracht $F$ . Hij rolt zonder slippen.

Welke snelheid heeft het materiaal van de klos in het contactpunt $C$ met de tafel? Leid daaruit af dat de beweging op elk ogenblik een rotatie om $C$ is.
Bereken het moment van $F$ om $C$ (arm $R - r$ ) en dat van het gewicht en van de reactie van de tafel.
Vind met de impulsmomentstelling om $C$ met $J_C = J + MR^2$ (Huygens) de versnelling $a_G$ en toon aan dat de klos naar de hand toe rolt.
Nu wordt er aan de draad getrokken onder een hoek $\beta$ boven de horizontaal. Toon aan dat de klos niet rolt wanneer de werklijn van $F$ door $C$ gaat, dat wil zeggen $\cos\beta = r/R$ , en bij steilere trekrichtingen van de hand weg rolt. Bereken die hoek.
Bereken $a_G$ voor $F = 0.20\,\mathrm{N}$ horizontaal getrokken, en de benodigde wrijvingskracht; wat begrenst $F$ voordat de klos slipt?
Vat samen: de drie gebruikte stellingen (massamiddelpunt, impulsmoment om een as, energie) en wat elk ervan besliste.

Oplossing

Oplossing van Probleem 19.1.

1. Op de as, in het middelpunt van de schijf, uit symmetrie.

2. Koenig: $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*$ , en in het barycentrische stelsel draait de jojo om zijn as: $E_k^* = \tfrac12 J\omega^2$ .

3. Ring met straal $\rho$ , massa $2M\rho\,\dd\rho/R^2$ : $J = \int_0^R \rho^2\cdot 2M\rho\,\dd\rho/R^2 = MR^2/2 = 0.5 \times 0.050 \times 9\times10^{-4} = 2.25 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ .

4. Het touwtje ligt vast en wikkelt zich van de as af: het punt van de as dat het raakt is op dat ogenblik in rust, dus $v_G = r\omega$ .

5. $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + \tfrac12(\tfrac12 MR^2)(v_G/r)^2 = \tfrac12 Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$ ; $R^2/2r^2 = 9/(2 \times 0.16) = 28$ : factor $29$ — bijna alle energie zit in de draaiing.

6. Gewicht $Mg$ omlaag, spankracht $T$ omhoog: $Ma_G = Mg - T$ .

7. Alleen de spankracht heeft een moment om de as (arm $r$ ): $J\dot\omega = Tr$ .

8. $\dot\omega = a_G/r$ : $T = Ja_G/r^2 = (R^2/2r^2)Ma_G$ ; dan $Ma_G = Mg - (R^2/2r^2)Ma_G$ , $a_G = g/29 = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

9. $T = M(g - a_G) = 0.050 \times 9.47 = 0.47\,\mathrm{N}$ , $97\%$ van het gewicht: het touwtje houdt hem bijna vast.

10. $t = \sqrt{2h/a_G} = 2.4\,\mathrm{s}$ ; $v_G = a_Gt = 0.82\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Een steen: $0.45\,\mathrm{s}$ en $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

11. $\omega = v_G/r = 205\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 1960\,\mathrm{rpm}$ .

12. $\tfrac12 Mv_G^2 = 0.017\,\mathrm{J}$ tegen $\tfrac12 J\omega^2 = 0.47\,\mathrm{J}$ : $28$ keer meer energie in de draaiing dan in de val.

13. $Mgh = 0.49\,\mathrm{J}$ ; $\tfrac12 Mv_G^2 \times 29 = 0.5 \times 0.050 \times 0.67 \times 29 = 0.49\,\mathrm{J}$ . De spankracht grijpt aan in het punt van het touwtje dat in rust is (het touwtje beweegt niet): vermogen nul.

14. De stoppende kracht werkt langs het touwtje, door de as heen: geen moment eromheen; het impulsmoment $J\omega$ blijft onaangeroerd. Alleen een tangentiële kracht (wrijving op de as) zou de draaiing kunnen afremmen.

15. $T \approx Mv_G/\Delta t + Mg = 0.050 \times 0.82/0.005 + 0.49 = 8.7\,\mathrm{N}$ , achttien keer het gewicht — vandaar de ruk die de vinger voelt.

16. $J\dot\omega = -\Gamma$ : $t = J\omega/\Gamma = 2.25\times10^{-5} \times 205/10^{-4} = 46\,\mathrm{s}$ .

17. Alle draaienergie $\tfrac12 J\omega^2 = 0.47\,\mathrm{J}$ gaat over in $Mgh'$ : $h' = 0.96\,\mathrm{m}$ , bijna de volle hoogte; in de praktijk minder door de wrijving op de as tijdens het slapen en de verliezen bij de ruk.

18. $a_G$ wijst omlaag (de jojo vertraagt op de weg omhoog) terwijl $v_G$ omhoog wijst: $T = M(g - a_G) < Mg$ — kleiner dan het gewicht.

19. $r = R$ : factor $1 + 1/2 = 1.5$ , $a_G = 2g/3 = 6.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — een snelle val, weinig draaiing: een dunne as is wat een jojo tot jojo maakt.

20. Rollen zonder slippen: het materiële punt in $C$ heeft snelheid nul; het snelheidsveld van een star lichaam met één punt in rust is een rotatie om dat punt (as door $C$ , dezelfde $\omega$ ).

21. $F$ grijpt aan onderaan de as, op hoogte $R - r$ boven de tafel, horizontaal naar de hand toe: moment $F(R - r)$ om $C$ in de zin die de klos naar de hand toe laat rollen; het gewicht en de reactie gaan door $C$ (geen moment).

22. $(J + MR^2)\dot\omega = F(R - r)$ , $a_G = R\dot\omega = FR(R - r)/ (\tfrac32 MR^2) = 2F(R - r)/3MR > 0$ : naar de hand toe.

23. De werklijn van $F$ gaat door $C$ wanneer de draad vanaf de onderkant van de as de tafel in $C$ ontmoet: $\cos\beta = r/R$ , $\beta = 82^\circ$ . Steiler: het moment om $C$ keert om, de klos rolt weg (en bij voldoende grote $\beta$ komt hij omhoog).

24. $a_G = 2 \times 0.20 \times 0.026/(3 \times 0.050 \times 0.030) = 2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; wrijving uit $Ma_G = F - f$ (de wrijving werkt $F$ tegen): $f = 0.20 - 0.050 \times 2.3 = 0.085\,\mathrm{N}$ ; zij moet onder $\mu_sMg \approx 0.2\,\mathrm{N}$ blijven (voor $\mu_s = 0.4$ ), dus $F \lesssim 0.5\,\mathrm{N}$ .

25. Massamiddelpunt: de translatie van $G$ en de spankracht; impulsmoment om een as: de draaiing en de rolrichting; energie: de snelheid onderaan en de hoogte van de klim.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst