Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

11Kinematica van een punt

Het wagentje van een achtbaan gaat de looping in met $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , vertraagt tijdens het klimmen, hangt een ogenblik stil bovenin en dendert er weer uit; de inzittenden voelen zich onderin in hun stoel geperst en bovenin bijna gewichtloos. Die rit beschrijven — waar het wagentje is, hoe snel het gaat, hoe zijn snelheid draait en verandert — is kinematica, en daar is meer voor nodig dan de $x$ , $y$ , $z$ van een rechte weg: poolcoördinaten voor alles wat draait, en een stelsel dat met het wagentje zelf meereist. Dit hoofdstuk zet dat gereedschap op, bewijst de formules voor snelheid en versnelling in elk daarvan, en past ze toe op de bewegingen waar elk later hoofdstuk een beroep op doet: de eenparige cirkelbeweging, de schroeflijn, de harmonische beweging en de beweging langs een willekeurige kromme.

11.1 Plaats, snelheid, versnelling

Definitie 11.1 (Referentiestelsel; plaats; baan)

Een referentiestelsel is een star lichaam dat als vast wordt genomen (het laboratorium, de aarde, een trein), samen met een klok. Een puntmassa $M$ — een lichaam waarvan de afmeting er voor de bestudeerde beweging niet toe doet — wordt op elk moment vastgelegd door haar plaatsvector $\vect{OM}(t)$ vanuit een oorsprong $O$ die aan het stelsel vastzit; de kromme die $M$ beschrijft is haar baan. Beweging is altijd beweging ten opzichte van een stelsel: dezelfde reiziger is in rust in de trein en in beweging in het station.

Definitie 11.2 (Snelheid en versnelling)

De snelheid en de versnelling van $M$ in het stelsel zijn

\vect v = \frac{\dd\vect{OM}}{\dd t}, \qquad \vect a = \frac{\dd\vect v}{\dd t} = \frac{\dd^2\vect{OM}}{\dd t^2},

afgeleiden van vectorfuncties: de afgeleide van een vector krijgt men door zijn componenten af te leiden in een basis die vast ligt in het stelsel. De snelheidsvector raakt aan de baan en wijst met de beweging mee; zijn norm $v$ is de baansnelheid. Eenheden: $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Propositie 11.3 (Cartesische coördinaten)

Met een vaste orthonormale basis $(\vect e_x, \vect e_y, \vect e_z)$ en $\vect{OM} = x\,\vect e_x + y\,\vect e_y + z\,\vect e_z$ geldt

\vect v = \dot x\,\vect e_x + \dot y\,\vect e_y + \dot z\,\vect e_z, \qquad \vect a = \ddot x\,\vect e_x + \ddot y\,\vect e_y + \ddot z\,\vect e_z,

waarin de punt $\dd/\dd t$ aangeeft.

Bewijs. De basisvectoren zijn constant; alleen de componenten veranderen. ∎

Voorbeeld 11.4 (Worp)

Vanuit $O$ afgeschoten met snelheid $v_0$ onder een hoek $\alpha$ boven de horizontaal heeft een bal de coördinaten (dynamica, volgend hoofdstuk) $x = v_0\cos\alpha\,t$ , $z = v_0\sin\alpha\,t - \tfrac12 gt^2$ . Dan is $\vect v = v_0\cos\alpha\,\vect e_x + (v_0\sin\alpha - gt)\vect e_z$ , $\vect a = -g\vect e_z$ : de versnelling is constant terwijl de snelheid draait; in het hoogste punt ( $\dot z = 0$ , $t = v_0\sin\alpha/g$ ) is de snelheid horizontaal en staat de versnelling er loodrecht op. $t$ elimineren geeft $z = x\tan\alpha - gx^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$ , een parabool.

De parabool van een worp: de snelheid raakt aan de baan en draait, de versnelling g is constant. In het hoogste punt staan snelheid en versnelling loodrecht op elkaar: de baansnelheid is even stationair terwijl de richting nog verandert. — De parabool van een worp: de snelheid raakt aan de baan en draait, de versnelling $\vect g$ is constant. In het hoogste punt staan snelheid en versnelling loodrecht op elkaar: de baansnelheid is even stationair terwijl de richting nog verandert.

11.2 Cilindercoördinaten

Definitie 11.5 (Cilindercoördinaten en lokale basis)

Het punt $M$ wordt vastgelegd door $r \geq 0$ (de afstand tot de $z$ -as), de hoek $\theta$ die zijn projectie op het $xy$ -vlak met $\vect e_x$ maakt, en $z$ : $\vect{OM} = r\,\vect e_r + z\,\vect e_z$ , waarin

\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y, \qquad \vect e_\theta = -\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y,

samen met $\vect e_z$ de lokale basis $(\vect e_r, \vect e_\theta, \vect e_z)$ vormen, orthonormaal en rechtsdraaiend, die met $M$ meebeweegt. In het vlak ( $z$ vast) zijn dit de poolcoördinaten $(r, \theta)$ .

Lemma 11.6 (Afgeleiden van de lokale basis)

\frac{\dd\vect e_r}{\dd t} = \dot\theta\,\vect e_\theta, \qquad \frac{\dd\vect e_\theta}{\dd t} = -\dot\theta\,\vect e_r, \qquad \frac{\dd\vect e_z}{\dd t} = \vect 0 .

Bewijs. Leid de componenten af: $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta(-\sin\theta\, \vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\vect e_\theta$ , en evenzo voor $\vect e_\theta$ . De afgeleide van een draaiende eenheidsvector staat er loodrecht op en heeft als norm de hoeksnelheid. ∎

Stelling 11.7 (Snelheid en versnelling in cilindercoördinaten)

\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + \dot z\,\vect e_z, \qquad \vect a = \big(\ddot r - r\dot\theta^2\big)\vect e_r + \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\vect e_\theta + \ddot z\,\vect e_z .

Bewijs. Leid $\vect{OM} = r\vect e_r + z\vect e_z$ af met het lemma: $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta + \dot z\vect e_z$ . Leid nogmaals af: $\ddot r\vect e_r + \dot r\dot\theta\vect e_\theta + \dot r\dot\theta\vect e_\theta + r\ddot\theta\vect e_\theta - r\dot\theta^2 \vect e_r + \ddot z\vect e_z$ ; groepeer. ∎

Poolcoördinaten: de lokale basis ( e_r, e_ ) draait met M mee; de snelheid heeft een radiaal deel r en een orthoradiaal deel r. Hier loopt de baan (rood) naar buiten spiralend, dus is r > 0 en helt v naar buiten ten opzichte van de raaklijn aan de cirkel. — Poolcoördinaten: de lokale basis $(\vect e_r, \vect e_\theta)$ draait met $M$ mee; de snelheid heeft een radiaal deel $\dot r$ en een orthoradiaal deel $r\dot\theta$ . Hier loopt de baan (rood) naar buiten spiralend, dus is $\dot r > 0$ en helt $\vect v$ naar buiten ten opzichte van de raaklijn aan de cirkel.

Gevolg 11.8 (Cirkelbeweging)

Op een cirkel met straal $R$ ( $r = R$ , $z = 0$ ), met hoeksnelheid $\omega = \dot\theta$ , geldt

\vect v = R\omega\,\vect e_\theta, \qquad \vect a = -R\omega^2\,\vect e_r + R\dot\omega\,\vect e_\theta = -\frac{v^2}{R}\,\vect e_r + \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect e_\theta .

Bij een eenparige cirkelbeweging ( $\omega$ constant) is de versnelling zuiver centripetaal, met norm $v^2/R = R\omega^2$ , hoewel de baansnelheid constant is.

Bewijs. Stel $\dot r = \ddot r = 0$ in de stelling; $v = R\omega$ . ∎

Voorbeeld 11.9 (Twee cirkels)

Een auto rijdt een rotonde met straal $20\,\mathrm{m}$ rond met $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): $a = v^2/R = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , een halve $g$ , gericht naar het middelpunt — wat de banden moeten leveren. De maan ( $R = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $T = 27.3\,\mathrm{d}$ ): $\omega = 2\pi/T = 2.66 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $a = R\omega^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , een $3600$ ste van $g$ aan het aardoppervlak, op zestig aardstralen — de vergelijking die Newton maakte (Hoofdstuk 16).

11.3 Bolcoördinaten

Definitie 11.10 (Bolcoördinaten)

Het punt $M$ wordt vastgelegd door zijn afstand $r = OM$ , de poolafstand $\theta \in [0, \pi]$ tussen $\vect{OM}$ en $\vect e_z$ , en de azimut $\varphi$ van zijn projectie op het $xy$ -vlak: $\vect{OM} = r\,\vect e_r$ met

\vect e_r = \sin\theta\cos\varphi\,\vect e_x + \sin\theta\sin\varphi\,\vect e_y + \cos\theta\,\vect e_z ;

$\vect e_\theta$ (rakend aan de meridiaan, naar toenemende $\theta$ ) en $\vect e_\varphi$ (rakend aan de parallel) maken de lokale orthonormale basis compleet. Op aarde is $\theta$ gelijk aan $90^\circ$ min de breedtegraad en $\varphi$ de lengtegraad.

Propositie 11.11 (Snelheid in bolcoördinaten)

\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\vect e_\varphi .

Bewijs. $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta\,\vect e_\theta + \sin\theta\,\dot\varphi\, \vect e_\varphi$ : de eerste term is de draaiing in het meridiaanvlak (zoals in het poolgeval), de tweede de draaiing om $\vect e_z$ met snelheid $\dot\varphi$ van een vector waarvan de afstand tot de as $\sin\theta$ is. Vervolgens $\vect v = \dd(r\vect e_r)/\dd t$ . De versnelling is dit jaar niet nodig. ∎

Bolcoördinaten (r, , ) en hun lokale basis: e_r radiaal, e_ langs de meridiaan (op een globe naar het zuiden), e_ langs de parallel (naar het oosten). — Bolcoördinaten $(r, \theta, \varphi)$ en hun lokale basis: $\vect e_r$ radiaal, $\vect e_\theta$ langs de meridiaan (op een globe naar het zuiden), $\vect e_\varphi$ langs de parallel (naar het oosten).

11.4 De frenetbasis

Definitie 11.12 (Kromlijnige abscis; frenetbasis)

Langs een baan is de kromlijnige abscis $s(t)$ de booglengte vanaf een referentiepunt, algebraïsch geteld; $v = \dot s$ . In $M$ wijst de raakeenheidsvector $\vect T = \dd\vect{OM}/\dd s$ naar toenemende $s$ ; de kromtestraal $\rho > 0$ en de normaaleenheidsvector $\vect N$ , die naar de holle kant wijst (het kromtemiddelpunt), worden gedefinieerd door

\frac{\dd\vect T}{\dd s} = \frac{1}{\rho}\,\vect N .

$(\vect T, \vect N)$ is de frenetbasis; $\rho = \infty$ op een rechte lijn, $\rho = R$ op een cirkel met straal $R$ .

Stelling 11.13 (Versnelling in de frenetbasis)

\vect v = v\,\vect T, \qquad \vect a = \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect T + \frac{v^2}{\rho}\,\vect N .

De tangentiële component $\dd v/\dd t$ meet hoe snel de baansnelheid verandert; de normale component $v^2/\rho$ , altijd naar het kromtemiddelpunt, hoe snel de richting draait. De beweging is eenparig dan en slechts dan als $\vect a \perp \vect v$ ; zij is rechtlijnig dan en slechts dan als $\vect a \parallel \vect v$ .

Bewijs. $\vect v = (\dd\vect{OM}/\dd s)(\dd s/\dd t) = v\vect T$ . Dan is $\vect a = \dot v\vect T + v\,\dd\vect T/\dd t = \dot v\vect T + v(\dd\vect T/\dd s)\dot s = \dot v\vect T + (v^2/\rho)\vect N$ . Dat $\dd\vect T/\dd s \perp \vect T$ volgt uit het afleiden van $\vect T\cdot\vect T = 1$ . ∎

De frenetbasis in een punt van een kromme: T met de beweging mee, N naar het kromtemiddelpunt C. De versnelling valt uiteen in een tangentieel deel v T (versnellen of remmen) en een normaal deel (v2/ ) N (draaien). — De frenetbasis in een punt van een kromme: $\vect T$ met de beweging mee, $\vect N$ naar het kromtemiddelpunt $C$ . De versnelling valt uiteen in een tangentieel deel $\dot v\vect T$ (versnellen of remmen) en een normaal deel $(v^2/\rho)\vect N$ (draaien).

Voorbeeld 11.14 (Remmen in een bocht)

Een auto met $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) in een bocht met straal $100\,\mathrm{m}$ remt met $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $a_T = -2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_N = 625/100 = 6.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a = \sqrt{4 + 39} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Het normale deel overheerst: een bocht is in de eerste plaats een draaiing, en de grip van de banden (volgend hoofdstuk) begrenst $\sqrt{a_T^2 + a_N^2}$ , en daarom remt men vóór de bocht.

11.5 Standaardbewegingen

Propositie 11.15 (Eenparig versnelde rechtlijnige beweging)

Op een as, met $\ddot x = a$ constant, vanaf $x_0$ en $v_0$ : $v = v_0 + at$ , $x = x_0 + v_0t + \tfrac12 at^2$ , en $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$ .

Bewijs. Twee keer integreren; elimineer $t$ tussen de eerste twee betrekkingen. ∎

Propositie 11.16 (Schroeflijnbeweging)

$r = R$ , $\theta = \omega t$ , $z = v_zt$ (constanten $R$ , $\omega$ , $v_z$ ): de baansnelheid $v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_z^2}$ is constant, de versnelling $\vect a = -R\omega^2\vect e_r$ is centripetaal met constante norm, en de kromtestraal is $\rho = v^2/a = R(1 + v_z^2/R^2\omega^2) > R$ .

Bewijs. Stelling 11.7 met $\dot r = 0$ , $\ddot\theta = 0$ , $\ddot z = 0$ ; eenparige beweging, dus is $\vect a$ zuiver normaal en $v^2/\rho = R\omega^2$ . ∎

Propositie 11.17 (Harmonische beweging)

$x = A\cos(\omega t + \varphi)$ : $\dot x = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ , $\ddot x = -\omega^2 x$ . De snelheid loopt een kwart periode voor op de plaats en de versnelling is tegengesteld aan de plaats; $v_{\max} = A\omega$ , $a_{\max} = A\omega^2$ . Dit is de projectie op een middellijn van een eenparige cirkelbeweging met straal $A$ en hoeksnelheid $\omega$ .

Bewijs. Afleiden; neem voor de projectie $x = A\cos\theta$ met $\theta = \omega t + \varphi$ . ∎

Methode 11.18 (Coördinaten kiezen)

Rechtlijnige of parabolische beweging, constante versnelling: cartesisch.
Beweging om een as of een punt (cirkels, spiralen, banen, draaischijven): cilinder- of poolcoördinaten; de basis beweegt mee, dus gebruik Stelling 11.7 en nooit naïef de componenten afleiden.
Een gegeven kromme (spoor, bocht, looping) wanneer de snelheidswet bekend is: de frenetbasis, die “hoe snel” van “welke kant op” scheidt.

Wat de keuze ook is, $\vect v$ en $\vect a$ zijn stelselafhankelijke vectoren, en een resultaat is pas volledig wanneer het stelsel erbij genoemd is.

11.6 Oefeningen

Oefening 11.1 ★

Een auto vertrekt uit rust met $x(t) = 2.0\,t^2$ (SI-eenheden). Snelheid en versnelling op $t = 3.0\,\mathrm{s}$ ; afgelegde weg in de eerste $5\,\mathrm{s}$ ; tijd om $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ te bereiken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.1.

$v = 4.0t$ : $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $3.0\,\mathrm{s}$ ; $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $x(5) = 50\,\mathrm{m}$ ; $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $t = 27.8/4.0 = 6.9\,\mathrm{s}$ .

Oefening 11.2 ★

Een punt beweegt in een vlak met $r = 2.0\,\mathrm{m}$ en $\theta = 3.0\,t$ (rad, SI). Geef $\vect v$ en $\vect a$ in de poolbasis, hun normen en de aard van de beweging.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.2.

$\dot r = 0$ , $\dot\theta = 3.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $\vect v = r\dot\theta\,\vect e_\theta = 6.0\,\vect e_\theta$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); $\vect a = -r\dot\theta^2\vect e_r = -18\,\vect e_r$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Eenparige cirkelbeweging: constante baansnelheid, centripetale versnelling.

Oefening 11.3 ★

Een punt op de evenaar ( $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , sterrendag $86\,164\,\mathrm{s}$ ): snelheid en versnelling in het geocentrische stelsel. Vergelijk de versnelling met $g$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.3.

$v = 2\pi R/T = 2\pi \times 6.37\times10^6/86164 = 465\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , oftewel $g/290$ .

Oefening 11.4 ★

Een bal wordt geworpen met $v_0 = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ onder $\alpha = 40^\circ$ ; zijn coördinaten zijn die van Voorbeeld 11.4. Bepaal de tijd tot het hoogste punt, de maximale hoogte, de dracht en de snelheid bij de landing.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.4.

$v_0\sin\alpha = 7.71\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_0\cos\alpha = 9.19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Hoogste punt op $t = 7.71/9.81 = 0.79\,\mathrm{s}$ , hoogte $7.71^2/(2 \times 9.81) = 3.0\,\mathrm{m}$ . Dracht $2 \times 9.19 \times 0.786 = 14.5\,\mathrm{m}$ . Landing: $(9.19, -7.71)$ , $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ onder $40^\circ$ met de horizontaal.

Oefening 11.5 ★★

Een fietser met $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ rijdt een bocht met straal $25\,\mathrm{m}$ in en versnelt met $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Geef $\vect a$ in de frenetbasis en zijn norm; en na $5\,\mathrm{s}$ met dezelfde versnelling in dezelfde bocht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.5.

$a_T = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_N = 10^2/25 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a = 4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Na $5\,\mathrm{s}$ : $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $a_N = 225/25 = 9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a = 9.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Oefening 11.6 ★★

Een punt volgt de spiraal $r = b\theta$ , $\theta = \omega t$ ( $b$ , $\omega$ constant). Bereken $\vect v$ , de baansnelheid en $\vect a$ in de poolbasis. Waar komt de term $2\dot r\dot\theta$ vandaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.6.

$r = b\omega t$ , $\dot r = b\omega$ , $\ddot r = 0$ , $\dot\theta = \omega$ : $\vect v = b\omega\,\vect e_r + b\omega^2 t\,\vect e_\theta$ , $v = b\omega \sqrt{1 + \omega^2t^2}$ ; $\vect a = -b\omega^3 t\,\vect e_r + 2b\omega^2\, \vect e_\theta$ . De term $2\dot r\dot\theta$ bestaat uit twee gelijke helften: de richting van de radiale snelheid draait met snelheid $\dot\theta$ (wat $\dot r\dot\theta\,\vect e_\theta$ geeft), en naar buiten bewegen vergroot de orthoradiale snelheid $r\dot\theta$ (nog eens $\dot r\dot\theta$ ).

Oefening 11.7 ★★

Schroeflijn: $R = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $v_z = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Baansnelheid, versnelling, spoed van de schroeflijn, kromtestraal.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.7.

$v = \sqrt{(2.0 \times 1.0)^2 + 0.5^2} = 2.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = R\omega^2 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ naar de as toe; spoed $v_z \times 2\pi/\omega = 3.1\,\mathrm{m}$ ; $\rho = v^2/a = 4.25/2.0 = 2.1\,\mathrm{m} > R$ .

Oefening 11.8 ★★

Een zuiger beweegt als $x = 0.10\cos(10t)$ (SI). Geef $v_{\max}$ , $a_{\max}$ , de faserelaties tussen $x$ , $v$ , $a$ , en de plaatsen waar $\abs v$ en $\abs a$ het grootst zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.8.

$v_{\max} = A\omega = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_{\max} = A\omega^2 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v$ loopt een kwart periode voor op $x$ , en $a = -\omega^2x$ is tegengesteld aan $x$ . $\abs v$ is het grootst in $x = 0$ , $\abs a$ in de uitersten $x = \pm A$ .

Oefening 11.9 ★★

Leid, uitgaand van $\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y$ , de uitdrukkingen $\dd\vect e_r/\dd t$ en $\dd\vect e_\theta/\dd t$ af, en daarna de poolvorm van snelheid en versnelling uit Stelling 11.7.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.9.

$\dot{\vect e}_r = \dot\theta(-\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\,\vect e_\theta$ ; $\dot{\vect e}_\theta = \dot\theta(-\cos\theta\, \vect e_x - \sin\theta\,\vect e_y) = -\dot\theta\,\vect e_r$ . Vervolgens is $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta$ , en nog een keer afleiden met de productregel geeft de versnelling uit Stelling 11.7.

Oefening 11.10 ★★★

Bepaal voor de worp van Voorbeeld 11.4 de kromtestraal van de baan in het hoogste punt en in het vertrekpunt (gebruik de normale component van $\vect g$ ). Welke is kleiner, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.10.

Hoogste punt: $v = v_0\cos\alpha$ , $a_N = g$ : $\rho = v_0^2\cos^2\alpha/g$ . Vertrekpunt: $v = v_0$ , $a_N = g\cos\alpha$ : $\rho = v_0^2/(g\cos\alpha)$ . De straal in het hoogste punt is een factor $\cos^3\alpha$ kleiner: de parabool buigt het sterkst waar zij het traagst is en waar $\vect g$ volledig normaal staat.

Oefening 11.11 ★★★

Een wiel met straal $R$ rolt zonder slippen met snelheid $v$ ; een punt van zijn velg heeft coördinaten $x = vt - R\sin(vt/R)$ , $y = R - R\cos(vt/R)$ (een cycloïde). Bereken zijn snelheid en versnelling; toon aan dat zijn snelheid nul is op het moment dat het de grond raakt en zijn versnelling dan $v^2/R$ omhoog bedraagt; bepaal zijn snelheid bovenin.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.11.

$\dot x = v - v\cos(vt/R)$ , $\dot y = v\sin(vt/R)$ ; $\ddot x = (v^2/R) \sin(vt/R)$ , $\ddot y = (v^2/R)\cos(vt/R)$ . Aan de grond ( $vt/R = 2\pi n$ ): $\dot x = \dot y = 0$ en $\vect a = (0, v^2/R)$ , omhoog. Bovenin ( $vt/R = \pi$ ): $\dot x = 2v$ , $\dot y = 0$ : snelheid $2v$ .

Oefening 11.12 ★★★

Iemand loopt naar buiten langs een straal van een draaischijf die met constante $\omega$ draait, met constante snelheid $u$ ten opzichte van de schijf: $r = ut$ , $\theta = \omega t$ . Bereken $\vect a$ in de poolbasis, benoem de twee termen en werk ze uit voor $u = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ op $t = 2.0\,\mathrm{s}$ . Welke term heeft geen tegenhanger voor iemand die over de grond loopt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.12.

$\ddot r = 0$ , $\dot r = u$ , $\dot\theta = \omega$ : $\vect a = -ut\omega^2\, \vect e_r + 2u\omega\,\vect e_\theta$ . Op $t = 2.0\,\mathrm{s}$ : $-2.0\,\vect e_r + 2.0\,\vect e_\theta$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). De eerste is de centripetale term van de draaiing; de tweede, $2\dot r\dot\theta$ , bestaat alleen omdat de radiale richting zelf draait — op de grond geeft rechtuit lopen met constante snelheid helemaal geen versnelling.

Een verticale looping (Yomiuriland, Tokio): een druppelvorm in plaats van een cirkel, zodat de kromming het grootst is bovenin, waar de snelheid het kleinst is — de meetkunde van de weekendopgave. Foto: Jeremy Thompson, CC BY 2.0.

11.7 Probleem: De looping van de achtbaan

Probleem 11.1

Weekendopgave — een wagentje gaat met negentig kilometer per uur een verticale looping in: waar het vertraagt, waarheen zijn versnelling wijst, hoeveel $g$ de inzittenden voelen, en waarom moderne loopings geen cirkels zijn

Een wagentje, opgevat als een punt $M$ , rijdt op een verticale cirkelvormige looping met straal $R = 10\,\mathrm{m}$ en middelpunt $C$ . Zijn plaats wordt gegeven door de hoek $\theta$ tussen $\vect{CM}$ en de neerwaartse verticaal ( $\theta = 0$ onderin, $\pi$ bovenin). Wrijving wordt verwaarloosd, en de snelheidswet (afgeleid in Hoofdstuk 13) luidt

v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta),

met $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de snelheid onderin; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Deel I — Kinematica op de cirkel.

Schrijf in poolcoördinaten met middelpunt $C$ (met $\vect e_r$ van $C$ naar $M$ ) $\vect v$ en $\vect a$ op voor beweging op de cirkel.
Benoem de frenetvectoren $\vect T$ en $\vect N$ in termen van $\vect e_r$ en $\vect e_\theta$ , en de kromtestraal.
Bereken de snelheid bovenin en in de zijpunten $\theta = \pi/2$ en $3\pi/2$ .
Leid de snelheidswet naar de tijd af om aan te tonen dat de tangentiële versnelling $a_T = -g\sin\theta$ is. Duid haar teken op de weg omhoog en op de weg omlaag.
Druk de normale versnelling $a_N(\theta)$ uit en bereken haar onderin, in de zijpunten en bovenin.
Geef de norm van $\vect a$ in de vier punten en de hoek die zij bovenin met de verticaal maakt.
In welke punten staat $\vect a$ loodrecht op $\vect v$ ? Evenwijdig?

Deel II — Hoeksnelheden en tijdsduur.

Druk $\dot\theta$ uit als functie van $\theta$ en bereken haar onderin en bovenin.
Toon aan dat $\ddot\theta = -(g/R)\sin\theta$ (de vergelijking van een slinger) en becommentarieer dat.
Bereken ter vergelijking de periode van kleine trillingen van een wiskundige slinger met lengte $R$ (Voorbeeld 1.8 gaf de vorm; $k = 2\pi$ ).
Schat de tijd om de looping rond te gaan met het gemiddelde van de snelheden in de vier referentiepunten.
De kleinste snelheid bovenin waarbij het wagentje op de baan blijft (volgend hoofdstuk) is $\sqrt{gR}$ . Wordt daaraan voldaan? Welke minimale $v_0$ zou nodig zijn?

Deel III — Wat de inzittenden voelen. Het schijnbare gewicht per massa-eenheid dat een inzittende voelt is $\vect a - \vect g$ (hier aangenomen, afgeleid in Hoofdstuk 12); de norm daarvan in eenheden van $g$ is de “ $g$ -belasting”.

Bereken de $g$ -belasting onderin.
Bereken haar bovenin en zeg welke kant de inzittende op wordt gedrukt (stoel of beugel).
Bereken haar in de zijpunten.
Inzittenden verdragen kortstondig ongeveer $4g$ . Haalt deze looping dat? Waar zit het probleem?
Toon aan dat voor een cirkelvormige looping die net snel genoeg wordt ingereden om bovenin rond te komen (daar schijnbare gewichtloosheid), de $g$ -belasting onderin noodzakelijk $6g$ is, wat $R$ ook is.

Deel IV — De clothoïdelooping. Moderne loopings zijn “druppels”: de kromtestraal is groot onderin en klein bovenin.

Leg met de frenetvorm van $\vect a$ uit waarom het variëren van $\rho$ langs de baan $a_N$ verandert zonder de snelheidswet te veranderen (die alleen van de hoogte afhangt).
Kies $\rho_{\text{onder}}$ zo dat de $g$ -belasting onderin $3g$ is bij $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
Bovenin is de hoogte nog altijd $2R = 20\,\mathrm{m}$ boven de onderkant. Kies $\rho_{\text{boven}}$ zo dat de $g$ -belasting daar $1.5g$ is.
Een clothoïde heeft een kromming die evenredig is met de booglengte, $1/\rho = s/A^2$ . Hoe groeit $a_N$ met de tijd langs zo’n inloop bij vrijwel constante snelheid, en waarom is dat zachter voor de nek dan een cirkel (waar $a_N$ bij het inrijden springt)?
Schets de resulterende vorm van de looping kwalitatief en vat in twee zinnen samen waarom zij de cirkel heeft vervangen.

Deel V — Gezien vanaf de grond. Een camera op grondniveau, $50\,\mathrm{m}$ van het middelpunt van de looping in haar vlak, volgt het wagentje.

Met welke hoeksnelheid (rad/s) moet de camera draaien wanneer het wagentje bovenin is en horizontaal met $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ beweegt? (Poolcoördinaten vanuit de camera.)
Waarom volgt een camera die met constante snelheid draait een eenparige cirkelbeweging slecht?
Vat de les van dit hoofdstuk uit de looping samen: welk coördinatenstelsel welke vraag beantwoordde.

Oplossing

Oplossing van Probleem 11.1.

1. $\vect v = R\dot\theta\,\vect e_\theta$ ; $\vect a = -R\dot\theta^2 \,\vect e_r + R\ddot\theta\,\vect e_\theta$ .

2. $\vect T = \vect e_\theta$ (beweging met toenemende $\theta$ ), $\vect N = -\vect e_r$ (naar $C$ ), $\rho = R$ .

3. Bovenin: $v^2 = 625 - 392 = 233$ , $v = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Zijkanten: $625 - 196 = 429$ , $v = 20.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

4. $2v\dot v = -2gR\sin\theta\,\dot\theta$ en $v = R\dot\theta$ : $\dot v = -g\sin\theta$ . Negatief voor $0 < \theta < \pi$ (vertragen op de weg omhoog), positief op de weg omlaag.

5. $a_N = v^2/R = v_0^2/R - 2g(1 - \cos\theta)$ : onderin $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; zijkanten $62.5 - 19.6 = 42.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; bovenin $62.5 - 39.2 = 23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

6. Onderin: $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (geen tangentieel deel); zijkanten: $\sqrt{42.9^2 + 9.81^2} = 44.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; bovenin: $23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , recht omlaag naar $C$ gericht: hoek $0$ met de verticaal.

7. Loodrecht onderin en bovenin ( $a_T = 0$ ); nooit evenwijdig ( $a_N > 0$ overal).

8. $\dot\theta = v/R = \sqrt{v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)}/R$ : onderin $2.50\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , bovenin $1.53\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

9. $\ddot\theta = \dot v/R = -(g/R)\sin\theta$ : de vergelijking van een wiskundige slinger met lengte $R$ — het wagentje op zijn baan is een slingerbol die over de top gaat.

10. $2\pi\sqrt{R/g} = 2\pi\sqrt{10/9.81} = 6.3\,\mathrm{s}$ .

11. Gemiddelde van $25$ , $20.7$ , $15.3$ , $20.7$ : ongeveer $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; lengte $2\pi R = 63\,\mathrm{m}$ : ruwweg $3\,\mathrm{s}$ .

12. $\sqrt{gR} = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 15.3$ : ja. Minimaal: $v_0^2 \geq gR + 4gR = 5gR = 490$ , $v_0 \geq 22.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

13. Onderin: $\vect a = 62.5$ omhoog, $\vect g$ omlaag: $\abs{\vect a - \vect g} = 62.5 + 9.8 = 72.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 7.4g$ .

14. Bovenin: beide omlaag, $23.3 - 9.8 = 13.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 1.4g$ , wat de inzittende in de stoel drukt (naar het middelpunt toe, dus omhoog voor de ondersteboven hangende inzittende).

15. Zijkanten: $\vect a = 42.9$ horizontaal naar $C$ plus $9.8$ omlaag (tangentieel); $\vect a - \vect g$ is $42.9$ horizontaal: $4.4g$ zijwaarts, naar het middelpunt toe.

16. Niet gehaald: $7.4g$ onderin (bovenin en opzij is het in orde).

17. Schijnbare gewichtloosheid bovenin: $v_{\text{boven}}^2 = gR$ ; dan is $v_0^2 = gR + 4gR = 5gR$ , $a_N = 5g$ onderin en is de belasting $5g + g = 6g$ , onafhankelijk van $R$ .

18. $a_N = v^2/\rho$ : $v$ ligt vast door de hoogte (energie), $\rho$ door de meetkunde van de baan; een andere $\rho$ op dezelfde hoogte verandert alleen $a_N$ .

19. $a_N + g = 3g$ : $a_N = 2g$ , $\rho = v_0^2/2g = 625/19.6 = 32\,\mathrm{m}$ .

20. $v_{\text{boven}} = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_N - g = 1.5g$ : $a_N = 24.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\rho = 233/24.5 = 9.5\,\mathrm{m}$ .

21. $a_N = v^2/\rho = v^2s/A^2 = v^3t/A^2$ : zij groeit lineair vanaf nul — een constante verandering van de versnelling — in plaats van te springen van $0$ naar $v^2/R$ bij het inrijden van een cirkel, wat de nek als een klap voelt.

22. Een druppel: wijd en flauw gekromd onderin waar het wagentje snel gaat, krap bovenin waar het traag gaat. Zij houdt de belasting rond $3g$ over het hele traject en brengt haar geleidelijk op.

23. Kijklijn: horizontale afstand $50\,\mathrm{m}$ , hoogte $20\,\mathrm{m}$ : $r = 53.9\,\mathrm{m}$ , elevatie $\beta = 21.8^\circ$ . De transversale component van de horizontale snelheid is $v\sin\beta = 15 \times 0.371 = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\dot\theta = 5.6/53.9 = 0.10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

24. Vanuit een punt buiten het middelpunt is de hoeksnelheid van de kijklijn niet constant (snel als het wagentje dichtbij is, traag als het ver is): een camera met constante draaisnelheid loopt van het wagentje af.

25. Poolcoördinaten in $C$ voor snelheid en versnelling op de cirkel; de frenetsplitsing voor “versnellen” tegenover “draaien” en voor de clothoïde; poolcoördinaten bij de camera voor de volgsnelheid; energie (volgende hoofdstukken) voor de snelheidswet.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst