Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

7Overgangsverschijnselen: eerste en tweede orde

Duw de hoek van een geparkeerde auto omlaag en laat los. Een auto in goede staat komt één keer omhoog en staat stil; een auto met versleten schokdempers wipt twee of drie keer voordat hij tot rust komt. In een elektronicalab verschijnen dezelfde twee gedragingen op een oscilloscoop wanneer een condensator zich over een spoel ontlaadt: een vloeiende terugkeer, of een uitdovende naklank. Beide zijn het overgangsverschijnsel tussen de ene evenwichtstoestand en de andere, en beide voldoen aan dezelfde kleine familie lineaire differentiaalvergelijkingen — eerste orde voor één energiereservoir, tweede orde voor twee die uitwisselen. Dit hoofdstuk lost ze eens en voor altijd op, benoemt hun parameters (tijdconstante, eigenfrequentie, kwaliteitsfactor) en laat zien hoe dezelfde getallen een schakeling én een vering beschrijven.

Een spoel, een condensator en een weerstand op een experimenteerbord, en op de oscilloscoop de uitdovende trilling die op een sprong volgt: het pseudoperiodieke regime van dit hoofdstuk.

7.1 Systemen van de eerste orde

Definitie 7.1 (Lineair systeem van de eerste orde)

Een grootheid $x(t)$ voldoet aan een lineaire eerste-ordevergelijking met constante coëfficiënten wanneer

\tau\,\frac{\dd x}{\dd t} + x = x_\infty ,

met $\tau > 0$ de tijdconstante en $x_\infty$ een constante (de waarde die de bron oplegt). Haar eindtoestand is $x = x_\infty$ ; het overgangsverschijnsel is de weg daarheen vanaf de beginwaarde $x(0) = x_0$ .

Stelling 7.2 (Oplossing)

De enige oplossing met $x(0) = x_0$ is

x(t) = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\,\eu^{-t/\tau} .

Het gat tot de eindtoestand krimpt met de factor $\eu^{-1} \approx 0.37$ per $\tau$ : $63\%$ van de weg na $\tau$ , $95\%$ na $3\tau$ , $99\%$ na $4.6\tau$ . De raaklijn in de oorsprong bereikt $x_\infty$ op $t = \tau$ .

Bewijs. $y = x - x_\infty$ voldoet aan $\tau y' + y = 0$ , waarvan de oplossingen $y = K\eu^{-t/\tau}$ zijn (de wiskunde over lineaire differentiaalvergelijkingen bewijst dat er geen andere zijn); $K = x_0 - x_\infty$ . De helling in $0$ is $-(x_0 - x_\infty)/\tau$ , die het gat in de tijd $\tau$ zou dichten. ∎

Het eerste-ordeantwoord op een sprong vanuit x_0 = 0: de raaklijn in de oorsprong snijdt de asymptoot op t =; 63\% van de weg na , 95\% na 3. Elk eerste-orde-overgangsverschijnsel is deze kromme, uitgerekt met en verschoven met x_0 en x_∈fty. — Het eerste-ordeantwoord op een sprong vanuit $x_0 = 0$ : de raaklijn in de oorsprong snijdt de asymptoot op $t = \tau$ ; $63\%$ van de weg na $\tau$ , $95\%$ na $3\tau$ . Elk eerste-orde-overgangsverschijnsel is deze kromme, uitgerekt met $\tau$ en verschoven met $x_0$ en $x_\infty$ .

Propositie 7.3 (RC- en RL-kringen)

Een condensator $C$ die via een weerstand $R$ vanuit een ideale bron $E$ wordt geladen voldoet aan $RC\,\dd u_C/\dd t + u_C = E$ : $\tau = RC$ , $u_{C,\infty} = E$ . Een spoel $L$ in serie met $R$ over $E$ voldoet aan $(L/R)\,\dd i/\dd t + i = E/R$ : $\tau = L/R$ , $i_\infty = E/R$ . Met de bron weggenomen ( $E \to 0$ ) beschrijven dezelfde vergelijkingen de ontlading naar nul.

Bewijs. Maasregel $E = Ri + u_C$ met $i = C\,\dd u_C/\dd t$ ; maasregel $E = Ri + L\,\dd i/\dd t$ . ∎

Propositie 7.4 (Continuïteitsvoorwaarden)

De spanning over een condensator en de stroom door een spoel zijn continue functies van de tijd: op een schakelmoment $t_0$ geldt $u_C(t_0^+) = u_C(t_0^-)$ en $i_L(t_0^+) = i_L(t_0^-)$ . Stromen door weerstanden en spanningen over spoelen mogen springen.

Bewijs. Een sprong van $u_C$ zou een oneindige $i = C\,\dd u_C/\dd t$ vergen, een sprong van $i_L$ een oneindige $u = L\,\dd i/\dd t$ ; beide zijn onmogelijk in een kring met eindige spanningen en stromen (evenzo kunnen de opgeslagen energieën $\tfrac12 Cu_C^2$ en $\tfrac12 Li^2$ niet ogenblikkelijk veranderen zonder oneindig vermogen). ∎

Methode 7.5 (Een eerste-orde-overgang oplossen)

Schrijf na de schakelaar de maas- en knooppuntregels op, met de componentwetten; herleid tot één vergelijking in $u_C$ of $i_L$ en breng haar in de vorm $\tau x' + x = x_\infty$ ; lees $\tau$ en $x_\infty$ af (het laatste is ook de eindtoestand die men vindt door $C$ door een open keten en $L$ door een draad te vervangen).
Bepaal $x_0$ uit de continuïteit van $u_C$ of $i_L$ over het schakelmoment heen, met de kring ervóór.
Schrijf $x = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\eu^{-t/\tau}$ ; leid de overige grootheden af door differentiëren en met de maasregel.

Ziet de condensator een netwerk van weerstanden en bronnen, vervang dat netwerk dan eerst door zijn Thévenin-equivalent $(E_{\mathrm{Th}}, R_{\mathrm{Th}})$ (Hoofdstuk 6): $\tau = R_{\mathrm{Th}}C$ , $u_\infty = E_{\mathrm{Th}}$ .

Propositie 7.6 (Energiebalans van de RC-lading)

Bij het laden van een condensator van $0$ tot $E$ door een willekeurige weerstand $R$ levert de bron $CE^2$ , slaat de condensator $\tfrac12 CE^2$ op en dissipeert de weerstand de andere $\tfrac12 CE^2$ — wat $R$ ook is.

Bewijs. $i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$ ; de bron levert $\int_0^\infty Ei\,\dd t = E \cdot (E/R)\tau = CE^2$ ; de weerstand neemt $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t = (E^2/R)\int_0^\infty \eu^{-2t/\tau}\dd t = (E^2/R)(\tau/2) = \tfrac12 CE^2$ ; het verschil is de opgeslagen $\tfrac12 CE^2$ . Een kleinere $R$ dissipeert dezelfde energie sneller. ∎

Voorbeeld 7.7 (Een relaisspoel)

$L = 20\,\mathrm{mH}$ , $R = 5.0\,\Omega$ , $E = 10\,\mathrm{V}$ : $\tau = 4.0\,\mathrm{ms}$ , $i_\infty = 2.0\,\mathrm{A}$ ; de contacten trekken aan wanneer $i$ $1.5\,\mathrm{A}$ bereikt, dus op $t = -\tau\ln(1 - 0.75) = 5.5\,\mathrm{ms}$ . Bij het openen van de kring moet $i$ van $2\,\mathrm{A}$ dalen; een vrijloopdiode over de spoel geeft de stroom een weg door $R$ alleen, $\tau = 4\,\mathrm{ms}$ , in plaats van een vonk.

7.2 Systemen van de tweede orde

Definitie 7.8 (Canonieke tweede-ordevorm)

Een grootheid $x(t)$ vormt een lineair systeem van de tweede orde wanneer

\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\,\frac{\dd x}{\dd t} + \omega_0^2\,x = \omega_0^2\,x_\infty ,

met $\omega_0 > 0$ de eigenhoekfrequentie, $Q > 0$ de kwaliteitsfactor (dimensieloos) en $x_\infty$ de eindtoestand. Men schrijft ook $\omega_0/Q = 2\xi\omega_0$ met $\xi = 1/2Q$ de dempingsverhouding.

Propositie 7.9 (De RLC-kring in serie)

Een condensator $C$ , een spoel $L$ en een weerstand $R$ in serie over een bron $E$ : de spanning over de condensator voldoet aan de canonieke vorm met

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}, \qquad u_{C,\infty} = E .

Bewijs. Maasregel: $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$ met $i = C\,\dd u_C/\dd t$ : $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$ ; deel door $LC$ en identificeer $\omega_0^2 = 1/LC$ , $\omega_0/Q = R/L$ . ∎

De twee gezichten van het tweede-ordesysteem: de RLC-kring in serie (_0 = 1/√LC, Q = √L/C/R) en het stelsel massa–veer–demper (_0 = √k/m, Q = √km/). Dezelfde vergelijking, dezelfde drie regimes. — De twee gezichten van het tweede-ordesysteem: de RLC-kring in serie ( $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , $Q = \sqrt{L/C}/R$ ) en het stelsel massa–veer–demper ( $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $Q = \sqrt{km}/\alpha$ ). Dezelfde vergelijking, dezelfde drie regimes.

Propositie 7.10 (De mechanische oscillator)

Een massa $m$ aan een veer met veerconstante $k$ met een viskeuze demper met coëfficiënt $\alpha$ (kracht $-\alpha\dot x$ ), over $x$ uit het evenwicht verplaatst, voldoet aan $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ : de canonieke vorm met

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} .

De overeenkomst $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ beeldt elk resultaat van het ene systeem op het andere af.

Bewijs. De tweede wet van Newton (Hoofdstuk 12) met de veerkracht $-kx$ en de dempingskracht; deel door $m$ . ∎

Stelling 7.11 (De drie regimes)

De oplossingen van de homogene vergelijking $x'' + (\omega_0/Q)x' + \omega_0^2 x = 0$ worden beheerst door de wortels van $r^2 + (\omega_0/Q)r + \omega_0^2 = 0$ , met discriminant $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$ :

$Q < \tfrac12$ , aperiodisch: twee reële negatieve wortels $r_\pm = -\frac{\omega_0}{2Q}\big(1 \mp \sqrt{1 - 4Q^2}\big)$ , $x = A\eu^{r_+t} + B\eu^{r_-t}$ , een terugkeer zonder trilling;
$Q = \tfrac12$ , kritisch: een dubbele wortel $r = -\omega_0$ , $x = (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ , de snelste terugkeer zonder doorschot;
$Q > \tfrac12$ , pseudoperiodiek: complexe wortels $r = -1/\tau \pm \iu\omega$ met

$\tau = \frac{2Q}{\omega_0}, \qquad \omega = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}, \qquad x = \eu^{-t/\tau}\big(A\cos\omega t + B\sin\omega t\big),$

een gedempte trilling met pseudoperiode $T = 2\pi/\omega$ binnen de omhullende $\pm\sqrt{A^2 + B^2}\,\eu^{-t/\tau}$ .

De volledige oplossing bij een constant rechterlid is $x_\infty$ plus de homogene oplossing; $A$ en $B$ volgen uit $x(0)$ en $x'(0)$ .

Bewijs. De karakteristieke vergelijking van een lineaire vergelijking met vaste coëfficiënten (wiskunde, lineaire vergelijkingen van de tweede orde): de wortels zijn $r = -\omega_0/2Q \pm \tfrac12\sqrt\Delta$ . Voor $Q > \tfrac12$ is $\sqrt\Delta = \iu\omega_0\sqrt{4 - 1/Q^2}$ , wat het reële deel $-\omega_0/2Q = -1/\tau$ en het imaginaire deel $\pm\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ geeft; de reële oplossingen zijn de combinaties van $\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ en $\eu^{-t/\tau}\sin\omega t$ . ∎

Antwoord op een sprong vanuit rust van een tweede-ordesysteem, voor drie kwaliteitsfactoren. Kleine Q: een traag kruipen; Q = 1/2: de snelste terugkeer zonder doorschot; grote Q: naklank die ongeveer Q trillingen duurt. — Antwoord op een sprong vanuit rust van een tweede-ordesysteem, voor drie kwaliteitsfactoren. Kleine $Q$ : een traag kruipen; $Q = \tfrac12$ : de snelste terugkeer zonder doorschot; grote $Q$ : naklank die ongeveer $Q$ trillingen duurt.

Propositie 7.12 ( $Q$ aflezen op een pseudoperiodiek beeld)

In het pseudoperiodieke regime staan twee opeenvolgende maxima in de verhouding $x_{n+1}/x_n = \eu^{-T/\tau}$ ; het logaritmisch decrement

\delta = \ln\frac{x_n}{x_{n+1}} = \frac{T}{\tau} = \frac{\pi}{Q\sqrt{1 - 1/4Q^2}} \approx \frac{\pi}{Q} \quad (Q \gg 1)

geeft $Q$ ; het aantal trillingen dat zichtbaar is voordat de amplitude onder $5\%$ zakt is ongeveer $Q$ . Voor $Q \gg 1$ is $\omega \approx \omega_0$ en $T \approx 2\pi/\omega_0$ .

Bewijs. De omhullende $\eu^{-t/\tau}$ wordt per periode met $\eu^{-T/\tau}$ vermenigvuldigd; $T/\tau = (2\pi/\omega)(\omega_0/2Q)$ . De omhullende bereikt $\eu^{-3} \approx 5\%$ op $3\tau = 6Q/\omega_0 \approx Q\,T$ , dus na ongeveer $Q$ perioden. ∎

Vrije pseudoperiodieke uitdemping, x = x_0 -t/ t: opeenvolgende maxima krimpen met de constante factor -T/, en (x_n/x_n+1) = T/ π/Q meet de kwaliteitsfactor van het beeld af. — Vrije pseudoperiodieke uitdemping, $x = x_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ : opeenvolgende maxima krimpen met de constante factor $\eu^{-T/\tau}$ , en $\ln(x_n/x_{n+1}) = T/\tau \approx \pi/Q$ meet de kwaliteitsfactor van het beeld af.

Voorbeeld 7.13 (Een RLC-naklank)

$L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R = 100\,\Omega$ : $\omega_0 = 1/\sqrt{10^{-9}} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ( $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ), $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.16$ : pseudoperiodiek, $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$ , $\omega = 0.987\,\omega_0$ , $T = 0.20\,\mathrm{ms}$ , drie zichtbare trillingen. De kritische weerstand is $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ ; daarboven is de ontlading aperiodisch.

Methode 7.14 (Een tweede-orde-overgang oplossen)

Schrijf de vergelijking op; breng haar in canonieke vorm; lees $\omega_0$ , $Q$ en $x_\infty$ af.
Bepaal het regime uit $Q$ en schrijf de algemene oplossing als $x_\infty$ plus de homogene oplossing.
Bepaal $x(0)$ en $x'(0)$ uit de continuïteit van $u_C$ en $i_L$ (voor de RLC: $u_C(0^+) = u_C(0^-)$ en $u_C'(0^+) = i(0^-)/C$ ); los de twee constanten op.

Voorbeeld 7.15 (Beginvoorwaarden)

De condensator uit het vorige voorbeeld is tot $U_0$ geladen en wordt op $t = 0$ op $L$ en $R$ gesloten (geen bron): $x_\infty = 0$ , $u_C(0) = U_0$ , $u_C'(0) = i(0)/C = 0$ , want de spoelstroom was nul. Dus $A = U_0$ en $-A/\tau + B\omega = 0$ , $B = U_0/(\omega\tau) = U_0/\sqrt{4Q^2 - 1}$ : $u_C = U_0\eu^{-t/\tau}[\cos\omega t + \sin(\omega t)/\sqrt{4Q^2 - 1}]$ — voor $Q \gg 1$ eenvoudig $U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$ , en de stroom $i = -C\,\dd u_C/\dd t$ piekt rond $U_0\sqrt{C/L} = U_0/(\omega_0 L)$ .

Opmerking 7.16 (Energie)

De opgeslagen energie $\tfrac12 Cu_C^2 + \tfrac12 Li^2$ (of $\tfrac12 kx^2 + \tfrac12 m\dot x^2$ ) neemt af met de snelheid $Ri^2$ ( $\alpha\dot x^2$ ): differentieer en gebruik de vergelijking. Per pseudoperiode krimpt de energie met de factor $\eu^{-2T/\tau}$ ; bij $Q = 3$ gaat ongeveer $88\%$ ervan verloren per trilling. Een hoge $Q$ betekent een traag lek ten opzichte van de trilling — een goede klok, een scherpe resonantie (Hoofdstuk 8) — en een lage $Q$ een snelle terugkeer: de juiste keuze voor een vering of een meternaald.

7.3 Oefeningen

Oefening 7.1 ★

Een RC-kring: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 47\,\mathrm{nF}$ , geladen vanuit $E$ . Bereken $\tau$ , $u_C(\tau)/E$ en de tijd om $99\%$ van $E$ te bereiken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.1.

$\tau = RC = 10^4 \times 47\times10^{-9} = 0.47\,\mathrm{ms}$ ; $u_C(\tau)/E = 1 - \eu^{-1} = 0.63$ ; $99\%$ : $\eu^{-t/\tau} = 0.01$ , $t = \tau\ln 100 = 4.6\tau = 2.2\,\mathrm{ms}$ .

Oefening 7.2 ★

Een RL-kring: $L = 20\,\mathrm{mH}$ , $R = 5.0\,\Omega$ , $E = 10\,\mathrm{V}$ . Bereken $\tau$ , de eindstroom, de stroom op $t = \tau$ en de spanning over de spoel vlak na het sluiten van de schakelaar.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.2.

$\tau = L/R = 4.0\,\mathrm{ms}$ ; $i_\infty = E/R = 2.0\,\mathrm{A}$ ; $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.26\,\mathrm{A}$ ; op $0^+$ is $i = 0$ (continuïteit), dus $u_L = E - Ri = 10\,\mathrm{V}$ .

Oefening 7.3 ★

Een RLC in serie: $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R = 100\,\Omega$ . Bereken $\omega_0$ , $f_0$ , $Q$ ; benoem het regime; geef $\tau$ en de pseudoperiode.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.3.

$\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.2 > \tfrac12$ : pseudoperiodiek; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$ ; $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2} = 0.987\omega_0$ , $T = 0.20\,\mathrm{ms}$ .

Oefening 7.4 ★

Welke weerstand geeft bij dezelfde $L$ en $C$ het kritische regime? Wat is $Q$ dan? Wat gebeurt er voor $R = 2\,\mathrm{k}\Omega$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.4.

$R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ , $Q = \tfrac12$ . Bij $2\,\mathrm{k}\Omega$ is $Q = 0.16$ : aperiodisch, een traag kruipen dat door de kleine wortel $\abs{r_+} \approx \omega_0 Q = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ wordt beheerst (tijdschaal $0.2\,\mathrm{ms}$ , maar geen trilling).

Oefening 7.5 ★★

Een geladen condensator $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ ontlaadt zich over een onbekende $R$ ; de spanning halveert elke $3.5\,\mathrm{ms}$ . Toon aan dat de halveringstijd $\tau\ln 2$ is en bepaal $R$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.5.

$u = U_0\eu^{-t/\tau}$ halveert wanneer $\eu^{-t/\tau} = \tfrac12$ : $t_{1/2} = \tau\ln 2$ . $\tau = 3.5/0.693 = 5.05\,\mathrm{ms}$ , $R = \tau/C = 5.1\,\mathrm{k}\Omega$ .

Oefening 7.6 ★★

Toon door directe integratie aan dat het laden van een condensator van $0$ tot $E$ via $R$ precies $\tfrac12 CE^2$ in $R$ dissipeert, onafhankelijk van $R$ . Wat wordt daarmee het rendement van de overdracht, en hoe zou het beter kunnen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.6.

$i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$ : $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t = (E^2/R)(\tau/2) = \tfrac12 CE^2$ , met geen $R$ in zicht. De bron levert $CE^2$ : rendement $50\%$ voor elke weerstand. Beter: laden via een spoel (de stroom is dan niet evenredig met het spanningsverschil) of in meerdere spanningsstappen — elke stap van $E/n$ verliest maar $\tfrac12 C(E/n)^2$ .

Oefening 7.7 ★★

Op een oscilloscoop toont een vrije RLC-uitdemping opeenvolgende maxima van $2.0\,\mathrm{V}$ , $1.5\,\mathrm{V}$ , $1.12\,\mathrm{V}$ met tussenpozen van $0.40\,\mathrm{ms}$ . Leid $Q$ en $\omega_0$ af, en met $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ de waarden van $L$ en $R$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.7.

$\delta = \ln(2.0/1.5) = 0.29$ (en $\ln(1.5/1.12) = 0.29$ : consistent); $Q \approx \pi/\delta = 11$ . $T = 0.40\,\mathrm{ms}$ , dus $\omega_0 \approx 2\pi/T = 1.57 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (de correctie $1/8Q^2$ is $0.1\%$ ). $L = 1/(\omega_0^2 C) = 4.1\,\mathrm{mH}$ ; $R = \omega_0 L/Q = 5.8\,\Omega$ .

Oefening 7.8 ★★

Een condensator geladen tot $U_0 = 100\,\mathrm{V}$ ( $C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ ) wordt op een spoel $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ met kleine weerstand geschakeld ( $Q \gg 1$ ). Schrijf $u_C(t)$ en $i(t)$ op en schat de piekstroom. Waar zit de energie op het moment van de piek?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.8.

$u_C \approx U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$ ; $i = -C\,\dd u_C/\dd t \approx CU_0\omega_0\sin\omega_0 t$ (voor $t \ll \tau$ ), piek $U_0\sqrt{C/L} = 100 \times 0.1 = 10\,\mathrm{A}$ , bereikt een kwart periode na het sluiten, wanneer $u_C = 0$ : alle energie ( $\tfrac12 CU_0^2 = 50\,\mathrm{mJ}$ ) is dan magnetisch, $\tfrac12 Li^2 = 50\,\mathrm{mJ}$ .

Oefening 7.9 ★★

Een kwart auto: $m = 400\,\mathrm{kg}$ op een veer $k = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Bereken $\omega_0$ , $f_0$ en de kritische dempingscoëfficiënt. Geef met een demper $\alpha = 2000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ de waarde van $Q$ , het regime, de pseudoperiode en de uitdooftijd $\tau$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.9.

$\omega_0 = \sqrt{k/m} = 7.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 1.1\,\mathrm{Hz}$ ; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 2\sqrt{8\times10^6} = 5.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ . $\alpha = 2000$ : $Q = \sqrt{km}/\alpha = 2828/2000 = 1.4$ , pseudoperiodiek; $T = 2\pi/(\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}) = 0.89/0.935 = 0.95\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.40\,\mathrm{s}$ .

Oefening 7.10 ★★★

Een spoel $L = 0.50\,\mathrm{H}$ voert $I_0 = 2.0\,\mathrm{A}$ ; de bron wordt losgekoppeld en de spoel blijft op een ontlaadweerstand $R = 100\,\Omega$ staan. Geef $i(t)$ , $\tau$ , de piekspanning over de spoel en de gedissipeerde energie. Wat zou er zonder die weerstand gebeuren?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.10.

$i = I_0\eu^{-t/\tau}$ , $\tau = L/R = 5.0\,\mathrm{ms}$ ; piekspanning $RI_0 = 200\,\mathrm{V}$ op $t = 0^+$ ; energie $\tfrac12 LI_0^2 = 1.0\,\mathrm{J}$ gedissipeerd in $R$ . Zonder die weerstand heeft de stroom geen weg: $\dd i/\dd t$ is enorm, de spoelspanning loopt op tot kilovolts, en er slaat een vonk over de schakelaar.

Oefening 7.11 ★★★

Een condensator $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ wordt vanuit $E = 12\,\mathrm{V}$ geladen via $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , terwijl $R_2 = 20\,\mathrm{k}\Omega$ er overheen staat. Bepaal met een Thévenin-equivalent de tijdconstante en de eindspanning; schrijf $u_C(t)$ op vanaf $u_C(0) = 0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.11.

Gezien vanuit $C$ : $E_{\mathrm{Th}} = ER_2/(R_1 + R_2) = 8.0\,\mathrm{V}$ , $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 = 6.67\,\mathrm{k}\Omega$ ; $\tau = R_{\mathrm{Th}}C = 6.7\,\mathrm{ms}$ ; $u_C = 8.0(1 - \eu^{-t/\tau})$ V.

Oefening 7.12 ★★★

Kritisch regime, sprong vanuit rust ( $x(0) = x'(0) = 0$ ): toon aan dat $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$ , en bepaal numeriek de tijd om $95\%$ van $x_\infty$ te bereiken (in eenheden van $1/\omega_0$ ). Vergelijk met de insteltijd van de omhullende voor $Q = 5$ en met die van de trage wortel voor $Q = 0.1$ ; concludeer waarom “kritisch” het doel van de ingenieur is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.12.

Dubbele wortel $-\omega_0$ : $x = x_\infty + (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ ; $x(0) = 0$ geeft $A = -x_\infty$ , $x'(0) = 0$ geeft $B = \omega_0 A$ : $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$ . $95\%$ : $(1 + s)\eu^{-s} = 0.05$ , $s \approx 4.7$ : $t_{95} = 4.7/\omega_0$ . Voor $Q = 5$ heeft de omhullende $\eu^{-t/\tau}$ met $\tau = 10/\omega_0$ $3\tau = 30/\omega_0$ nodig; voor $Q = 0.1$ is de trage wortel $\abs{r_+} \approx \omega_0 Q$ en is $3/\abs{r_+} = 30/\omega_0$ . Beide zijn zes keer trager: kritische demping is de snelste terugkeer zonder doorschot, en dat is wat een meter, een deurdranger of een vering wil.

7.4 Probleem: Een vering ontwerpen

Probleem 7.1

Weekendopgave — dezelfde differentiaalvergelijking op een labtafel en onder een auto: hoeveel keer een versleten schokdemper laat wippen, wat de ontwerper in plaats daarvan kiest, en hoe één getal de twee uit elkaar houdt

Deel I bestudeert een RLC-kring in serie, $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ ; de delen II–IV een kwartautomodel: een massa $m = 350\,\mathrm{kg}$ rustend op een veer $k = 22\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$ met een schokdemper die $-\alpha\dot x$ uitoefent. Het doorschot van een sprongantwoord in het pseudoperiodieke regime (gegeven): $x_{\max}/x_\infty - 1 = \exp(-\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2})$ , $\xi = 1/2Q$ .

Deel I — De schakeling.

Schrijf de maasregel op voor de RLC in serie over een bron $E$ , en de differentiaalvergelijking voor $u_C$ .
Breng haar in canonieke vorm; druk $\omega_0$ en $Q$ uit.
Bereken $\omega_0$ , $f_0$ en de kritische weerstand $R_c$ .
Schrijf de karakteristieke vergelijking en haar discriminant op; benoem de drie regimes in termen van $Q$ .
Geef in het pseudoperiodieke geval $\tau$ en $\omega$ en de vorm van $u_C(t)$ .
Bereken voor $R = 100\,\Omega$ de waarden van $Q$ , $\tau$ , de pseudoperiode en het aantal zichtbare trillingen.
De condensator, tot $U_0$ geladen, wordt op $L$ en $R$ geschakeld op $t = 0$ . Geef $u_C(0^+)$ en $\dd u_C/\dd t(0^+)$ , met de natuurkundige reden voor elk.

Deel II — De kwartauto.

Meet $x$ vanaf de evenwichtsstand, schrijf de tweede wet van Newton voor de carrosserie op en toon aan dat het gewicht wegvalt.
Breng de vergelijking in canonieke vorm; geef $\omega_0$ en $Q$ in termen van $m$ , $k$ , $\alpha$ , en noem de elektromechanische overeenkomsten.
Bereken $\omega_0$ , $f_0$ en de kritische coëfficiënt $\alpha_c$ .
De ontwerper monteert $\alpha = 4000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ : bereken $Q$ en $\xi$ , en benoem het regime.
Bereken $\tau$ en de pseudoperiode.
Bereken het doorschot na een sprong (een stoeprand): is de auto comfortabel?
Welke weerstand $R$ zou de schakeling van deel I dezelfde $Q$ geven als deze vering?

Deel III — De versleten demper. Er is olie weggelekt: $\alpha = 1200\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

Bereken $Q$ , de pseudoperiode en $\tau$ .
Met welke factor krimpen opeenvolgende maxima? Hoeveel keer wippen is zichtbaar voordat de amplitude onder $5\%$ zakt?
De veertest: men duwt de hoek $x_0 = 5.0\,\mathrm{cm}$ omlaag en laat los. Geef de beginvoorwaarden, de energie die in de veer is opgeslagen, en zeg waar die energie blijft.
Schat de pieksnelheid van de carrosserie tijdens de eerste terugkeer ( $\approx x_0\omega_0$ voor $Q \gg 1$ ) en de piekkracht in de demper.
Waarom is precies kritische demping ( $Q = \tfrac12$ ) niet de keuze van de ontwerper, hoewel zij geen doorschot geeft? (Denk aan de laatste millimeters van de terugkeer.)
Bereken het doorschot voor de versleten demper en vergelijk met deel II.

Deel IV — $Q$ uit een beeld aflezen. Een versnellingsopnemer op de carrosserie registreert de vrije uitdemping.

Voor de versleten auto zijn de opeenvolgende maxima $1.00$ , $0.25$ , $0.062$ (willekeurige eenheden). Bereken het logaritmisch decrement, leid $\xi$ exact af uit $\delta = 2\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$ en daarna $Q$ ; vergelijk met deel III.
Voor de gezonde auto is geen tweede maximum zichtbaar; alleen het doorschot, $3.8\%$ , is af te lezen. Keer de doorschotformule om om $\xi$ en $Q$ te vinden.
Welk deel van de mechanische energie dissipeert de versleten demper per pseudoperiode?
Een monteur zonder auto bij de hand bouwt de RLC van deel I met een $R$ zo gekozen dat $Q = 2.3$ : welke $R$ , en waarom heeft het oscilloscoopbeeld, uitgezet tegen $\omega_0 t$ , dezelfde vorm als dat van de auto?
Vat samen: welk dimensieloos getal de vorm van elk tweede-orde-overgangsverschijnsel bepaalt, welke waarde een ontwerper van een vering nastreeft, en wat een bestuurder moet afleiden uit “meer dan één keer wippen”.

Oplossing

Oplossing van Probleem 7.1.

1. $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$ , $i = C\,\dd u_C/\dd t$ : $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$ .

2. $u_C'' + (\omega_0/Q)u_C' + \omega_0^2u_C = \omega_0^2E$ met $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , $Q = \sqrt{L/C}/R$ .

3. $\omega_0 = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ , $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ .

4. $r^2 + (\omega_0/Q)r + \omega_0^2 = 0$ , $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$ : $Q < \tfrac12$ aperiodisch, $Q = \tfrac12$ kritisch, $Q > \tfrac12$ pseudoperiodiek.

5. $\tau = 2Q/\omega_0$ , $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ , $u_C = E + \eu^{-t/\tau}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$ .

6. $Q = 3.16$ , $\tau = 0.20\,\mathrm{ms}$ , $T = 2\pi/\omega = 0.20\,\mathrm{ms}$ , ongeveer drie trillingen.

7. $u_C(0^+) = U_0$ ( $u_C$ continu: eindige stroom); $u_C'(0^+) = i(0^+)/C = 0$ ( $i_L$ continu en ervoor nul).

8. $m\ddot x = -k(x + x_{\text{eq}}) - \alpha\dot x + mg$ met $kx_{\text{eq}} = mg$ : $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ .

9. $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $Q = \sqrt{km}/\alpha$ ; $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ .

10. $\omega_0 = \sqrt{22000/350} = 7.93\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 1.26\,\mathrm{Hz}$ ; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

11. $Q = 2775/4000 = 0.69$ , $\xi = 0.72$ : pseudoperiodiek, net onder kritisch.

12. $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.18\,\mathrm{s}$ ; $\omega = \omega_0\sqrt{1 - \xi^2} = 5.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 1.1\,\mathrm{s}$ .

13. Doorschot $\exp(-\pi \times 0.72/0.69) = \exp(-3.3) = 3.8\%$ : één kleine uitwijking voorbij het evenwicht, en klaar — comfortabel.

14. $R = \sqrt{L/C}/Q = 316/0.69 = 455\,\Omega$ .

15. $Q = 2775/1200 = 2.3$ , $\xi = 0.22$ ; $\omega = 0.976\omega_0$ , $T = 0.81\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.58\,\mathrm{s}$ .

16. $\eu^{-T/\tau} = \eu^{-1.39} = 0.25$ : elke wip is een kwart van de vorige; $0.25^3 = 1.6\%$ : drie zichtbare wippen.

17. $x(0) = -x_0$ , $\dot x(0) = 0$ ; energie $\tfrac12 kx_0^2 = 0.5 \times 22000 \times 0.0025 = 28\,\mathrm{J}$ , als warmte gedissipeerd in de olie van de demper.

18. $v \approx x_0\omega_0 = 0.05 \times 7.93 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; dempkracht $\alpha v \approx 1200 \times 0.40 = 480\,\mathrm{N}$ .

19. Bij $Q = \tfrac12$ verloopt de terugkeer als $(1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}$ , die asymptotisch kruipt: de laatste millimeters duren lang. Een iets te weinig gedempt systeem ( $\xi \approx 0.7$ ) schiet enkele procenten door maar komt sneller binnen een tolerantieband en blijft daar.

20. $\exp(-\pi \times 0.22/0.976) = \exp(-0.70) = 50\%$ , tegen $3.8\%$ : de versleten auto wipt halverwege terug voorbij het evenwicht.

21. $\delta = \ln 4 = 1.39$ (twee keer, consistent); $\xi = \delta/\sqrt{4\pi^2 + \delta^2} = 1.39/6.43 = 0.215$ , $Q = 1/2\xi = 2.3$ : de versleten waarde.

22. $-\ln 0.038 = 3.27 = \pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$ , dus $\xi = 3.27/\sqrt{\pi^2 + 3.27^2} = 0.72$ , $Q = 0.69$ .

23. Energie $\propto$ amplitude $^2$ : overblijvende fractie per periode $0.25^2 = 6\%$ , dus $94\%$ gedissipeerd per pseudoperiode.

24. $R = 316/2.3 = 137\,\Omega$ . In de variabele $\omega_0 t$ bevat de canonieke vergelijking alleen $Q$ : twee systemen met dezelfde $Q$ tekenen dezelfde kromme.

25. De kwaliteitsfactor $Q$ (of $\xi$ ) alleen bepaalt de vorm; een ontwerper streeft naar $Q \approx 0.7$ ( $\xi \approx 0.7$ ); meer dan één zichtbare wip betekent $Q$ ruim boven $1$ : de demper is versleten.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst