Physics · Boek 3 · Bachelor Year 1

Universitaire natuurkunde — jaar 1

Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

18Niet-inertiaalstelsels; dynamica op aarde

Staand in een bus die naar links draait helt u naar rechts over, geduwd door een kracht die niemand uitoefent. Een emmer water op een draaischijf holt zijn oppervlak uit tot een schaal. Onder de koepel van een museum zwaait een slinger urenlang, en de lijn van zijn zwaai kruipt langzaam rond, enkele graden per uur, alsof een onzichtbare hand haar draaide. Geen van deze is een nieuwe kracht: het is hoe de wetten van Newton eruitzien wanneer het stelsel waarin men de beweging beschrijft zelf versnelt of draait. Dit hoofdstuk laat zien hoe snelheden en versnellingen tussen stelsels transformeren, hoe de wetten van de dynamica worden hersteld door schijnkrachten toe te voegen, en wat die krachten doen op het belangrijkste roterende stelsel van alle — de aarde.

De slinger van Foucault in het Panthéon in Parijs, waar hij in 1851 voor het eerst werd opgehangen: 67\, m draad, een gewicht van 28\, kg, en een zwaaivlak dat ten opzichte van de vloer draait. Foto: Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.
De slinger van Foucault in het Panthéon in Parijs, waar hij in 1851 voor het eerst werd opgehangen: 67 m67\,\mathrm{m} draad, een gewicht van 28 kg28\,\mathrm{kg}, en een zwaaivlak dat ten opzichte van de vloer draait. Foto: Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.

18.1 Van stelsel wisselen: kinematica

Definitie 18.1 (Relatieve beweging; translerend en roterend stelsel)

Zij R\mathcal R een stelsel (oorsprong OO) en R′\mathcal R' een ander (oorsprong O′O') dat er ten opzichte van beweegt. R′\mathcal R' transleert als zijn assen vaste richtingen houden in R\mathcal R (elk punt van R′\mathcal R' heeft de snelheid van O′O'); het roteert om een vaste as Δ\Delta als Δ\Delta in beide stelsels vastligt en R′\mathcal R' er met de hoeksnelheid Ω(t)\Omega(t) omheen draait. De snelheid en de versnelling van een punt MM ten opzichte van R′\mathcal R', v→′\vect v' en a→′\vect a', zijn die welke een waarnemer die stilstaat in R′\mathcal R' meet.

Stelling 18.2 (Samenstelling van snelheden en versnellingen)

  • R′\mathcal R' translerend met snelheid v→O′\vect v_{O'} en versnelling a→O′\vect a_{O'}:

    v→=v→′+v→O′,a→=a→′+a→O′.\vect v = \vect v' + \vect v_{O'}, \qquad \vect a = \vect a' + \vect a_{O'} .

  • R′\mathcal R' roterend om de vaste as Δ\Delta met Ω\Omega (vector Ω→=Ωe→z\vect\Omega = \Omega\vect e_z langs de as); HH de projectie van MM op de as:

    v→=v→′+Ω→∧HM→,a→=a→′+(−Ω2HM→+Ω˙ e→z∧HM→)⏟a→e+2Ω→∧v→′⏟a→C.\vect v = \vect v' + \vect\Omega\wedge\vect{HM}, \qquad \vect a = \vect a' + \underbrace{\big(-\Omega^2\vect{HM} + \dot\Omega\,\vect e_z\wedge\vect{HM}\big)}_{\vect a_e} + \underbrace{2\vect\Omega\wedge\vect v'}_{\vect a_C} .

a→e\vect a_e is de meesleepversnelling (de versnelling van het punt van R′\mathcal R' dat met MM samenvalt: bij eenparige rotatie centripetaal naar de as toe), a→C=2Ω→∧v→′\vect a_C = 2\vect\Omega\wedge\vect v' de coriolisversnelling, die alleen bestaat wanneer MM ten opzichte van het roterende stelsel beweegt.

Bewijs. Translatie: OM→=OO′→+O′M→\vect{OM} = \vect{OO'} + \vect{O'M} met de componenten van O′M→\vect{O'M} in de gemeenschappelijke basis; differentieer twee keer. Rotatie: gebruik cilindercoördinaten om Δ\Delta in R\mathcal R, (r,θ,z)(r, \theta, z), en in R′\mathcal R', (r,θ′,z)(r, \theta', z) met θ=θ′+∫Ω  ⁣dt\theta = \theta' + \int\Omega\,\dd t. Dan geeft Stelling 11.7 in R\mathcal R met θ˙=θ˙′+Ω\dot\theta = \dot\theta' + \Omega: v→=r˙e→r+r(θ˙′+Ω)e→θ+z˙e→z=v→′+rΩe→θ\vect v = \dot r\vect e_r + r(\dot\theta' + \Omega)\vect e_\theta + \dot z\vect e_z = \vect v' + r\Omega\vect e_\theta, en rΩe→θ=Ω→∧HM→r\Omega\vect e_\theta = \vect\Omega\wedge\vect{HM}. Voor de versnelling, θ¨=θ¨′+Ω˙\ddot\theta = \ddot\theta' + \dot\Omega: a→=[r¨−r(θ˙′+Ω)2]e→r+[r(θ¨′+Ω˙)+2r˙(θ˙′+Ω)]e→θ+z¨e→z\vect a = [\ddot r - r(\dot\theta' + \Omega)^2]\vect e_r + [r(\ddot\theta' + \dot\Omega) + 2\dot r(\dot\theta' + \Omega)]\vect e_\theta + \ddot z\vect e_z; uitwerken en groeperen geeft a→=a→′−rΩ2e→r+rΩ˙e→θ+2Ω(−rθ˙′e→r+r˙e→θ)\vect a = \vect a' - r\Omega^2\vect e_r + r\dot\Omega\vect e_\theta + 2\Omega(-r\dot\theta'\vect e_r + \dot r\vect e_\theta), en de laatste haakjes zijn 2Ω→∧v→′2\vect\Omega\wedge\vect v' omdat e→z∧e→r=e→θ\vect e_z\wedge\vect e_r = \vect e_\theta, e→z∧e→θ=−e→r\vect e_z\wedge\vect e_\theta = -\vect e_r. ∎

Voorbeeld 18.3 (Lopen op een draaischijf)

Oefening 11.12 berekende de versnelling van iemand die met uu radiaal loopt op een draaischijf die met Ω\Omega draait: −utΩ2e→r+2uΩe→θ-ut\Omega^2\vect e_r + 2u\Omega\vect e_\theta. In de nieuwe taal: relatieve versnelling nul, meesleep −rΩ2e→r-r\Omega^2\vect e_r, Coriolis 2Ω→∧ue→r=2uΩe→θ2\vect\Omega\wedge u\vect e_r = 2u\Omega\vect e_\theta.

18.2 Dynamica in een niet-inertiaalstelsel: schijnkrachten

Stelling 18.4 (De wet van Newton in een niet-inertiaalstelsel)

In een stelsel R′\mathcal R' dat niet inertiaal is, voldoet de beweging van een puntmassa aan

ma→′=∑F→+F→e+F→C,F→e=−ma→e,F→C=−ma→C=−2mΩ→∧v→′:m\vect a' = \sum\vect F + \vect F_e + \vect F_C, \qquad \vect F_e = -m\vect a_e, \qquad \vect F_C = -m\vect a_C = -2m\vect\Omega\wedge\vect v' :

De tweede wet van Newton geldt mits men bij de werkelijke krachten de meesleepkracht optelt (voor een eenparig roterend stelsel de centrifugaalkracht +mΩ2HM→+m\Omega^2\vect{HM}, van de as af gericht; voor een translerend stelsel −ma→O′-m\vect a_{O'}) en de corioliskracht. Deze schijnkrachten zijn geen wisselwerkingen: geen enkel lichaam oefent ze uit, zij hebben geen reactie, en zij verdwijnen in een inertiaalstelsel.

Bewijs. ma→=∑F→m\vect a = \sum\vect F in het inertiaalstelsel R\mathcal R; vul a→=a→′+a→e+a→C\vect a = \vect a' + \vect a_e + \vect a_C in en breng de twee termen naar rechts. ∎

Voorbeeld 18.5 (De overhellende passagier, het schietlood)

In een bus die remt met a=3.0 m/s2a = 3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} ondervindt een hangende lus, in het stelsel van de bus, de zwaartekracht plus een voorwaartse schijnkracht mama: hij hangt langs de schijnbare zwaartekracht g→′=g→−a→O′\vect g' = \vect g - \vect a_{O'}, naar voren gekanteld over arctan⁡(a/g)=17∘\arctan(a/g) = 17^\circ. Een passagier die stil wil blijven staan moet in die schijnbare verticaal gaan hangen. In een lift die vrij valt is g→′=0→\vect g' = \vect 0: gewichtloosheid, van binnenuit gezien.

Schijnkrachten. Links: in een remmende bus hangt het schietlood langs de schijnbare zwaartekracht g - a_O', naar voren gekanteld. Rechts: in een stelsel dat met draait ondervindt een puntmassa een centrifugaalkracht van de as af en, als zij beweegt, een corioliskracht loodrecht op haar relatieve snelheid.
Schijnkrachten. Links: in een remmende bus hangt het schietlood langs de schijnbare zwaartekracht g→−a→O′\vect g - \vect a_{O'}, naar voren gekanteld. Rechts: in een stelsel dat met Ω\Omega draait ondervindt een puntmassa een centrifugaalkracht van de as af en, als zij beweegt, een corioliskracht loodrecht op haar relatieve snelheid.

Voorbeeld 18.6 (De draaiende emmer)

Water in een emmer die met Ω\Omega om zijn verticale as draait is in rust in het meedraaiende stelsel, onder de zwaartekracht en de centrifugaalkracht: zijn vrije oppervlak staat loodrecht op de schijnbare zwaartekracht g→′=−ge→z+Ω2re→r\vect g' = -g\vect e_z + \Omega^2r\vect e_r (het oppervlak van een vloeistof in rust staat loodrecht op het veld, Hoofdstuk 21). De helling is  ⁣dz/ ⁣dr=Ω2r/g\dd z/\dd r = \Omega^2r/g, dus z=Ω2r2/2gz = \Omega^2r^2/2g: een paraboloïde. Bij 10 rad/s10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} staat de rand van een emmer van 10 cm10\,\mathrm{cm} 5 cm5\,\mathrm{cm} boven het midden — het beginsel van de telescoop met vloeibare spiegel, waarvan het draaiende kwik precies de parabolische vorm aanneemt die een spiegel nodig heeft.

Methode 18.7 (Werken in een niet-inertiaalstelsel)

Kies het stelsel waarin de vraag het eenvoudigst is (de bus, de draaischijf, de aarde); som de werkelijke krachten op; voeg −ma→e-m\vect a_e toe en, als het lichaam in dat stelsel beweegt, −2mΩ→∧v→′-2m\vect\Omega\wedge\vect v'; ga dan verder als in Methode 12.10. Controle: schijnkrachten verschijnen nooit in de energiebalans als “arbeid van iemand” — de corioliskracht, loodrecht op v→′\vect v', verricht geen arbeid; de centrifugaalkracht wordt afgeleid van de potentiële energie −12mΩ2r2-\tfrac12 m\Omega^2r^2 in een eenparig roterend stelsel.

18.3 Het aardse stelsel

Definitie 18.8 (Geocentrisch en aards stelsel)

Het geocentrische stelsel heeft zijn oorsprong in het middelpunt van de aarde en assen die naar vaste sterren wijzen; het is in uitstekende benadering inertiaal voor bewegingen van een dag of korter (zijn eigen versnelling om de zon is slechts 6×10−3 m/s26 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} en nagenoeg homogeen over de aarde). Het aardse stelsel, aan de grond vast, draait daar ten opzichte van om de poolas met

Ω=2π86 164 s=7.29×10−5 rad/s.\Omega = \frac{2\pi}{86\,164\,\mathrm{s}} = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} .

Propositie 18.9 (Het gewicht en de variatie van gg)

In het aardse stelsel ondervindt een lichaam in rust de gravitationele aantrekking mG→m\vect{\mathcal G} en de centrifugaalkracht mΩ2HM→m\Omega^2\vect{HM}; hun som is wat een weegschaal meet en een schietlood aanwijst: het gewicht mg→=mG→+mΩ2HM→m\vect g = m\vect{\mathcal G} + m\Omega^2\vect{HM}. De centrifugale term is het grootst op de evenaar, Ω2R=0.034 m/s2\Omega^2R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, 0.35%0.35\% van gg; hij verkleint gg van de polen naar de evenaar en kantelt de verticaal weg van het middelpunt van de aarde, tot 0.1∘0.1^\circ op middelbare breedten.

Bewijs. Pas Stelling 18.4 toe met v→′=0→\vect v' = \vect 0 (geen corioliskracht); Ω2R=(7.29×10−5)2×6.37×106\Omega^2R = (7.29\times10^{-5})^2 \times 6.37\times10^6. De afwijkingshoek volgt uit de driehoek van mG→m\vect{\mathcal G} en de centrifugaalkracht (Oefening 18.6). ∎

Propositie 18.10 (De corioliskracht op aarde)

Op breedte λ\lambda ondervindt een lichaam dat horizontaal met snelheid v′v' beweegt een horizontale corioliskracht met grootte

FC=2mΩv′sin⁡λ,F_C = 2m\Omega v'\sin\lambda ,

gericht naar rechts van de beweging op het noordelijk halfrond en naar links op het zuidelijke, wat de reisrichting ook is; een lichaam dat verticaal valt wordt oostwaarts afgebogen over 2mΩv′cos⁡λ2m\Omega v'\cos\lambda.

Bewijs. Ontbind Ω→=Ω(cos⁡λ e→N+sin⁡λ e→z)\vect\Omega = \Omega(\cos\lambda\,\vect e_N + \sin\lambda\,\vect e_z) (noord en de lokale verticaal). Voor horizontale v→′\vect v' heeft −2mΩ→∧v→′-2m\vect\Omega\wedge\vect v' een horizontaal deel −2mΩsin⁡λ e→z∧v→′-2m\Omega\sin\lambda\,\vect e_z\wedge\vect v' — over 90∘90^\circ met de klok mee gedraaid vanaf v→′\vect v', van boven gezien, voor λ>0\lambda > 0 — en een verticaal deel (verwaarloosbaar tegen de zwaartekracht). Voor verticale v→′=−v′e→z\vect v' = -v'\vect e_z: −2mΩcos⁡λ e→N∧(−v′e→z)=2mΩv′cos⁡λ e→E-2m\Omega\cos\lambda\,\vect e_N\wedge(-v'\vect e_z) = 2m\Omega v'\cos\lambda\, \vect e_E, dus naar het oosten. ∎

Links: op breedte heeft de rotatievector van de aarde een verticale component en een noordwaartse . Rechts: van boven gezien op het noordelijk halfrond wordt een lichaam dat horizontaal beweegt door de corioliskracht naar rechts geduwd en kromt zijn baan met de klok mee.
Links: op breedte λ\lambda heeft de rotatievector van de aarde een verticale component Ωsin⁡λ\Omega\sin\lambda en een noordwaartse Ωcos⁡λ\Omega\cos\lambda. Rechts: van boven gezien op het noordelijk halfrond wordt een lichaam dat horizontaal beweegt door de corioliskracht naar rechts geduwd en kromt zijn baan met de klok mee.

Voorbeeld 18.11 (Kleine krachten, grote gevolgen)

Een trein met 100 km/h100\,\mathrm{km}/\mathrm{h} op breedte 45∘45^\circ: aC=2×7.29×10−5×27.8×0.71=2.9×10−3 m/s2a_C = 2 \times 7.29\times 10^{-5} \times 27.8 \times 0.71 = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, drie duizendste van gg — de rechterrail van een enkelrichtingsspoor slijt iets sneller. Lucht die met 20 m/s20\,\mathrm{m}/\mathrm{s} naar een lagedrukgebied stroomt wordt de hele weg naar binnen naar rechts gedraaid en cirkelt er ten slotte tegen de klok in omheen: elke cycloon op het noordelijk halfrond draait zo, elke zuidelijke andersom. Een steen die in een schacht van 100 m100\,\mathrm{m} op 45∘45^\circ valt komt 1.6 cm1.6\,\mathrm{cm} ten oosten van het schietlood neer (Oefening 18.7).

Propositie 18.12 (De slinger van Foucault)

Een slinger die met kleine amplitude op breedte λ\lambda zwaait houdt zijn trillingsvlak vast ten opzichte van alleen de lokale verticale rotatie van het geocentrische stelsel: in het aardse stelsel gezien draait het vlak met de klok mee (van boven, noordelijk halfrond) met het tempo Ωsin⁡λ\Omega\sin\lambda, dat wil zeggen één volledige omwenteling in

TF=23.93 hsin⁡λ.T_F = \frac{23.93\,\mathrm{h}}{\sin\lambda} .

Gedeeltelijk bewijs. Op de pool (λ=90∘\lambda = 90^\circ) is het argument meetkundig: op het slingergewicht werkt geen horizontale kracht behalve de spankracht, waarvan de horizontale component langs de zwaai ligt, zodat het zwaaivlak in het geocentrische stelsel vastligt terwijl de aarde er met Ω\Omega onderdoor draait; van de grond gezien draait het met −Ω-\Omega. Op breedte λ\lambda is de horizontale corioliskracht −2mΩsin⁡λ e→z∧v→′-2m\Omega\sin\lambda\,\vect e_z\wedge\vect v': precies wat een stelsel dat met Ωsin⁡λ\Omega\sin\lambda om de lokale verticaal draait zou opleveren. In een stelsel dat met het vlak meedraait met −Ωsin⁡λ-\Omega\sin\lambda verdwijnt die kracht in eerste orde en is de slinger een gewone vlakke oscillator; het vlak preceseert dus met Ωsin⁡λ\Omega\sin\lambda in het aardse stelsel. De volledige berekening, met de verwaarloosde termen van tweede orde, is de weekendopgave. ∎

Opmerking 18.13 (Getijden, in twee regels)

In het stelsel van het middelpunt van de aarde, dat vrij naar de maan valt, is de aantrekking van de maan niet homogeen: iets sterker aan de nabije kant, zwakker aan de verre kant. Het verschil, van de orde 2GMmaanR/d3≈1×10−6 m/s22GM_{\text{maan}}R/d^3 \approx 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, rekt de oceanen tot twee bulten — twee getijden per dag — en de bijdrage van de zon, 46%46\% van die van de maan, maakt spring- en doodtij naarmate de twee samenvallen of elkaar kruisen (Oefening 18.12).

18.4 Oefeningen

Oefening 18.1 ★

Een schietlood hangt in een auto die met 2.5 m/s22.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} versnelt: hoek met de verticaal, en de spankracht in eenheden van mgmg. Dezelfde auto die met dezelfde waarde remt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.1.

tan⁡α=a/g=0.255\tan\alpha = a/g = 0.255, α=14∘\alpha = 14^\circ (het lood hangt naar achteren); T=mg2+a2=1.03 mgT = m\sqrt{g^2 + a^2} = 1.03\,mg. Remmen: dezelfde hoek en spankracht, het lood naar voren gekanteld.

Oefening 18.2 ★

Een kind zit op 3.0 m3.0\,\mathrm{m} van de as van een draaimolen die één keer per 4.0 s4.0\,\mathrm{s} rondgaat. Centrifugale versnelling in het meedraaiende stelsel, als deel van gg; welke werkelijke kracht levert haar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.2.

Ω=2π/4.0=1.57 rad/s\Omega = 2\pi/4.0 = 1.57\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}; Ω2r=7.4 m/s2=0.75g\Omega^2r = 7.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 0.75g, in het meedraaiende stelsel naar buiten gericht; het zitje (wrijving en beugel) levert de werkelijke kracht naar binnen.

Oefening 18.3 ★

Bereken de hoeksnelheid Ω\Omega van de aarde, de centrifugale versnelling op de evenaar en het deel van gg dat zij is. Bij welke omwentelingstijd zouden voorwerpen op de evenaar wegzweven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.3.

Ω=2π/86164=7.29×10−5 rad/s\Omega = 2\pi/86164 = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}; Ω2R=0.034 m/s2\Omega^2R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, 0.35%0.35\% van gg. Wegzweven vergt Ω2R=g\Omega^2R = g: T=2πR/g=84 minT = 2\pi\sqrt{R/g} = 84\,\mathrm{min} — zeventien keer sneller dan nu.

Oefening 18.4 ★

Een trein van 400 t400\,\mathrm{t} rijdt met 100 km/h100\,\mathrm{km}/\mathrm{h} op breedte 45∘45^\circ. Coriolisversnelling en de zijwaartse kracht op de rails; welke rail wordt geduwd bij een rit naar het noorden? naar het oosten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.4.

aC=2Ωvsin⁡λ=2×7.29×10−5×27.8×0.707=2.9×10−3 m/s2a_C = 2\Omega v\sin\lambda = 2 \times 7.29\times10^{-5} \times 27.8 \times 0.707 = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}; F=1.1 kNF = 1.1\,\mathrm{kN}. Naar het noorden: naar het oosten geduwd, op de rechter (oostelijke) rail; naar het oosten: naar het zuiden geduwd, opnieuw de rechterrail.

Oefening 18.5 ★★

Een emmer met straal 10 cm10\,\mathrm{cm} draait met 2.0 rad/s2.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}, daarna met 10 rad/s10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}. Stijging van het water aan de rand ten opzichte van het midden. Waarom is een draaiend kwikbad een goede telescoopspiegel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.5.

z=Ω2r2/2gz = \Omega^2r^2/2g: 2.0 mm2.0\,\mathrm{mm} bij 2 rad/s2\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}, 5.1 cm5.1\,\mathrm{cm} bij 10 rad/s10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}. Een paraboloïde bundelt een evenwijdige bundel in één punt: draaiend kwik is een volmaakte, goedkope, zichzelf polijstende parabolische spiegel (die alleen niet gekanteld kan worden).

Oefening 18.6 ★★

Toon aan dat het schietlood op breedte λ\lambda ongeveer Ω2Rsin⁡λcos⁡λ/g\Omega^2R\sin\lambda\cos\lambda/g radialen van het middelpunt van de aarde afwijkt, en bereken die op 45∘45^\circ in boogminuten. Hoeveel kleiner is gg op de evenaar dan op de pool, alleen door de rotatie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.6.

De centrifugale versnelling Ω2Rcos⁡λ\Omega^2R\cos\lambda wijst van de as af; haar component loodrecht op de lokale verticaal is Ω2Rcos⁡λsin⁡λ\Omega^2R\cos\lambda \sin\lambda, die g→\vect g kantelt over δ≈Ω2Rsin⁡λcos⁡λ/g=0.034×0.5/9.81=1.7×10−3 rad=6′\delta \approx \Omega^2R\sin\lambda\cos\lambda/g = 0.034 \times 0.5/9.81 = 1.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad} = 6'. Evenaar: gg verminderd met Ω2R=0.034 m/s2\Omega^2R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} door de rotatie (de afplatting doet er nog meer bij).

Oefening 18.7 ★★

Een steen valt uit rust in een schacht van 100 m100\,\mathrm{m} op breedte 45∘45^\circ. Behandel de coriolisversnelling 2Ωvcos⁡λ2\Omega v\cos\lambda (oostwaarts) als een kleine storing met v=gtv = gt; integreer twee keer en bepaal de oostwaartse afwijking onderaan. Waarom naar het oosten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.7.

x¨E=2Ωgtcos⁡λ\ddot x_E = 2\Omega gt\cos\lambda: xE=13Ωgcos⁡λ t3x_E = \tfrac13\Omega g\cos\lambda\,t^3; t=2h/g=4.5 st = \sqrt{2h/g} = 4.5\,\mathrm{s}: xE=13×7.29×10−5×9.81×0.707×92=1.6 cmx_E = \tfrac13 \times 7.29\times10^{-5} \times 9.81 \times 0.707 \times 92 = 1.6\,\mathrm{cm}. Naar het oosten: de bovenkant van de schacht beweegt sneller naar het oosten (grotere straal) dan de onderkant; de steen houdt dat overschot — of, in het meedraaiende stelsel, de corioliskracht op een neerwaartse snelheid wijst naar het oosten.

Oefening 18.8 ★★

Precessieperiode van een slinger van Foucault in Parijs (λ=48.9∘\lambda = 48.9^\circ), op de pool en op de evenaar. Over welke hoek draait het vlak in Parijs in één uur?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.8.

TF=23.93/sin⁡λT_F = 23.93/\sin\lambda: Parijs 31.8 h31.8\,\mathrm{h}; pool 23.9 h23.9\,\mathrm{h}; evenaar oneindig (geen precessie). Parijs: 360∘/31.8=11.3∘360^\circ/31.8 = 11.3^\circ per uur.

Oefening 18.9 ★★

Lucht stroomt met 20 m/s20\,\mathrm{m}/\mathrm{s} naar een lagedrukcentrum op 45∘45^\circ noorderbreedte. Coriolisversnelling; in welke zin cirkelt de lucht uiteindelijk om dat centrum? Waarom gehoorzamen kleine wervels (een afvoerputje, een tornado) deze regel niet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.9.

aC=2Ωvsin⁡λ=2.1×10−3 m/s2a_C = 2\Omega v\sin\lambda = 2.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, naar rechts. Lucht die van alle kanten samenstroomt wordt naar rechts afgebogen en spiraalt dus tegen de klok in naar binnen (van boven gezien): de noordelijke cycloon. Een afvoerputje loopt in seconden leeg en een tornado ontstaat in minuten: de coriolisafbuiging over zulke tijden is verwaarloosbaar tegen elke beginwerveling.

Oefening 18.10 ★★★

Een heliumballon aan een touwtje zweeft in een auto. Als de auto naar voren versnelt, welke kant helt de ballon dan op? Verklaar dat met de schijnbare zwaartekracht en de opwaartse kracht.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.10.

In het stelsel van de auto kantelt de schijnbare zwaartekracht g→−a→\vect g - \vect a naar achteren. De lucht, zwaarder, “valt” naar achteren; de ballon, lichter dan de lucht die hij verdringt, wordt langs de schijnbare verticaal omhoog gedreven — hij helt naar voren, tegengesteld aan een schietlood.

Oefening 18.11 ★★★

Een ruimtestation is een ring met straal 100 m100\,\mathrm{m} die zo draait dat er aan de rand 1g1g kunstmatige zwaartekracht heerst. Omwentelingstijd? Een astronaut loopt langs de rand met 1.5 m/s1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: coriolisversnelling, en haar effect op zijn schijnbare gewicht als hij met en tegen de draairichting in loopt. Hij laat een bal van 2.0 m2.0\,\mathrm{m} hoogte vallen: hoe ver van zijn voeten komt die ruwweg neer?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.11.

Ω2R=g\Omega^2R = g: Ω=0.31 rad/s\Omega = 0.31\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}, T=20 sT = 20\,\mathrm{s}. aC=2Ωv=0.94 m/s2a_C = 2\Omega v = 0.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, ongeveer 0.1g0.1g: loopt hij met de draairichting mee, dan voelt hij zich 10%10\% zwaarder (de corioliskracht wijst naar buiten), er tegenin lichter. Een losgelaten bal: in het inertiaalstelsel gaat hij rechtdoor terwijl de vloer omhoog kromt; over de valtijd 2h/g=0.64 s\sqrt{2h/g} = 0.64\,\mathrm{s} is de afwijking van de orde 13Ω g t3⋅2≈2×0.31×9.81×0.26/3≈0.5 m\tfrac13\Omega\,g\,t^3 \cdot 2 \approx 2 \times 0.31 \times 9.81 \times 0.26/3 \approx 0.5\,\mathrm{m} — enkele decimeters, tegen de draairichting in.

Oefening 18.12 ★★★

Toon aan dat het verschil tussen de gravitatieversnelling van de maan in het middelpunt van de aarde en in het punt van het oppervlak dat het dichtst bij de maan ligt ongeveer 2GMMr/d32GM_Mr/d^3 is (rr de straal van de aarde, dd de afstand aarde–maan); bereken het, en hetzelfde voor de zon; leid daaruit de verhouding van de zonne- tot de maangetijden af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.12.

GM/(d−r)2−GM/d2≈2GMr/d3GM/(d - r)^2 - GM/d^2 \approx 2GMr/d^3 (eerste orde in r/dr/d). Maan: 2×6.67×10−11×7.35×1022×6.37×106/(3.84×108)3=1.1×10−6 m/s22 \times 6.67\times10^{-11} \times 7.35\times10^{22} \times 6.37\times10^6/ (3.84\times10^8)^3 = 1.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}; zon: 2×1.33×1020×6.37×106/(1.50×1011)3=5.0×10−7 m/s22 \times 1.33\times10^{20} \times 6.37\times10^6/(1.50\times10^{11})^3 = 5.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}; verhouding 0.460.46: de getijden van de zon zijn bijna de helft van die van de maan, hoewel haar aantrekking 180180 keer groter is — getijden gaan als M/d3M/d^3.

18.5 Probleem: De slinger van Foucault

Probleem 18.1

Weekendopgave — een gewicht van 28 kilogram aan een draad van 67 meter onder een koepel: waarom zijn zwaaivlak draait, hoe snel, wat dat bewijst, en hoe klein de kracht is die het doet

In 1851 zwaaide een slinger met lengte ℓ=67 m\ell = 67\,\mathrm{m} en massa m=28 kgm = 28\,\mathrm{kg} onder de koepel van het Panthéon in Parijs, op breedte λ=48.85∘\lambda = 48.85^\circ, met een amplitude van ongeveer x0=3.0 mx_0 = 3.0\,\mathrm{m}. Ω=7.29×10−5 rad/s\Omega = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}, g=9.81 m/s2g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Deel I — De slinger op zichzelf.

  1. Periode van kleine trillingen; ga na dat de amplitude klein is (x0/ℓx_0/\ell).
  2. Grootste snelheid van het gewicht, en zijn grootste hoogte boven het laagste punt.
  3. Spankracht in het laagste punt, in eenheden van mgmg.
  4. Schat de luchtweerstand op het gewicht bij de grootste snelheid (kwadratische wet, CxS≈0.05 m2C_xS \approx 0.05\,\mathrm{m}^{2}, ρ=1.2 kg/m3\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}) en vergelijk met de grootste terugdrijvende kracht mω02x0m\omega_0^2x_0.
  5. Waarom een lange draad en een zwaar gewicht? (Twee redenen, één over de periode, één over de demping.)

Deel II — Op de pool. Stel u dezelfde slinger op de noordpool voor.

  1. Som in het geocentrische stelsel de krachten op het gewicht op en toon aan dat niets zijn zwaaivlak kan draaien.
  2. Leid af wat een waarnemer die op het ijs staat het vlak ziet doen, en na hoe lang het naar zijn beginrichting terugkeert.
  3. Beschrijf de baan van het gewicht op de grond (een rozet): hoeveel bladen in één dag?

Deel III — Op breedte λ\lambda: de coriolisterm. Gebruik lokale assen: xx oost, yy noord, zz omhoog; kleine trillingen, zodat de beweging bijna horizontaal is, v→′≈(x˙,y˙,0)\vect v' \approx (\dot x, \dot y, 0); de terugdrijvende kracht is −mω02(x,y,0)-m\omega_0^2(x, y, 0) met ω0=g/ℓ\omega_0 = \sqrt{g/\ell}.

  1. Schrijf Ω→\vect\Omega in deze assen.
  2. Bereken −2mΩ→∧v→′-2m\vect\Omega\wedge\vect v' en houd zijn horizontale componenten over; toon aan dat daarin alleen Ωsin⁡λ\Omega\sin\lambda voorkomt.
  3. Schrijf de twee bewegingsvergelijkingen voor xx en yy op; stel ωF=Ωsin⁡λ\omega_F = \Omega\sin\lambda en vergelijk ωF\omega_F met ω0\omega_0.
  4. Voer u=x+jyu = x + jy in en toon aan dat u¨+2jωFu˙+ω02u=0\ddot u + 2j\omega_F\dot u + \omega_0^2u = 0.
  5. Probeer u=ejαtu = \eu^{j\alpha t}: bepaal de twee waarden van α\alpha, en toon aan dat zij voor ωF≪ω0\omega_F \ll \omega_0 gelijk zijn aan α≈±ω0−ωF\alpha \approx \pm\omega_0 - \omega_F.
  6. Leid af dat u≈e−jωFt(Aejω0t+Be−jω0t)u \approx \eu^{-j\omega_Ft}(A\eu^{j\omega_0t} + B\eu^{-j\omega_0t}): duid de factor e−jωFt\eu^{-j\omega_Ft} — in welke zin en met welk tempo draait het zwaaivlak?
  7. Bereken de precessieperiode in Parijs en de hoek die in één uur wordt doorlopen.
  8. Waarom draait het vlak op de evenaar niet?

Deel IV — Hoe klein de kracht is.

  1. Bereken de grootste corioliskracht op het gewicht en vergelijk haar met het gewicht en met de grootste terugdrijvende kracht.
  2. Hoeveel verschuift het eindpunt van de zwaai zijwaarts tijdens één halve periode? (Het vlak draait over ωFT/2\omega_FT/2.)
  3. In 1851 droeg het gewicht een stift die kleine pinnetjes omstootte die in een ring op de amplitude stonden: na ongeveer hoeveel tijd viel het volgende pinnetje?
  4. De slinger werd gestart door een draadje door te branden dat het gewicht opzij hield. Waarom niet met de hand aanduwen?
  5. Luchtweerstand brengt een slinger na een paar uur tot stilstand. Moderne museumslingers gebruiken onderaan een kleine elektromagneet om energie terug te geven zonder het zwaaivlak aan te raken: waarom moet die duw strikt radiaal zijn?

Deel V — Wat het bewijst, en wat het verder doet.

  1. De demonstratie van Foucault overtuigde het publiek van de rotatie van de aarde. Wat meet het precessietempo precies, en zou het experiment de breedte kunnen bepalen?
  2. Op welke breedte zou het vlak precies in 48 h48\,\mathrm{h} één keer rondgaan?
  3. Een gyroscoop (een snel draaiend wiel in cardanringen) houdt zijn as vast in het geocentrische stelsel. Leg in één zin uit waarom ook hij de rotatie verraadt, en noem een toepassing.
  4. Vat samen: de ene schijnkracht die verantwoordelijk is, haar afhankelijkheid van de breedte, en de periode die zij in Parijs geeft.
Oplossing

Oplossing van Probleem 18.1.

1. T=2π67/9.81=16.4 sT = 2\pi\sqrt{67/9.81} = 16.4\,\mathrm{s}; x0/ℓ=0.045x_0/\ell = 0.045 (2.6∘2.6^\circ): klein.

2. vmax⁡=x0ω0=3.0×0.383=1.15 m/sv_{\max} = x_0\omega_0 = 3.0 \times 0.383 = 1.15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; hoogte x02/2ℓ=6.7 cmx_0^2/2\ell = 6.7\,\mathrm{cm}.

3. T=mg+mvmax⁡2/ℓ=mg(1+0.002)T = mg + mv_{\max}^2/\ell = mg(1 + 0.002): 1.002 mg1.002\,mg.

4. 12ρCxSvmax⁡2=0.5×1.2×0.05×1.3=0.04 N\tfrac12\rho C_xSv_{\max}^2 = 0.5 \times 1.2 \times 0.05 \times 1.3 = 0.04\,\mathrm{N}, tegen mω02x0=12 Nm\omega_0^2x_0 = 12\,\mathrm{N}: driehonderd keer kleiner, en toch genoeg om de slinger in een paar uur tot stilstand te brengen.

5. Een lange draad geeft een lange periode, dus een traag gewicht en een kleine relatieve weerstand, en maakt de precessie per zwaai zichtbaar; een zwaar gewicht slaat veel energie op die de weerstand mag opeten — uren zwaaien.

6. Het gewicht (verticaal) en de spankracht (in het vlak van de draad en de verticaal, dus in het zwaaivlak): geen enkele kracht heeft een component loodrecht op dat vlak.

7. Het vlak ligt vast tussen de sterren; het ijs draait er oostwaarts met Ω\Omega onderdoor, dus ziet de waarnemer het vlak met de klok mee draaien, terug bij het begin na één sterrendag, 23.93 h23.93\,\mathrm{h}.

8. Elke halve zwaai tekent een iets gedraaide koorde: een rozet; 86164/8.2≈1050086164/8.2 \approx 10500 halve zwaaien, elk 0.034∘0.034^\circ verder rond.

9. Ω→=Ω(0,cos⁡λ,sin⁡λ)\vect\Omega = \Omega(0, \cos\lambda, \sin\lambda).

10. Met v→′=(x˙,y˙,0)\vect v' = (\dot x, \dot y, 0): Ω→∧v→′=Ω(−sin⁡λ y˙, sin⁡λ x˙, −cos⁡λ x˙)\vect\Omega\wedge\vect v' = \Omega(-\sin\lambda\,\dot y,\ \sin\lambda\,\dot x,\ -\cos\lambda\,\dot x), dus heeft −2mΩ→∧v→′-2m\vect\Omega\wedge\vect v' de horizontale componenten 2mΩsin⁡λ (y˙,−x˙)2m\Omega\sin\lambda\,(\dot y, -\dot x): alleen Ωsin⁡λ\Omega\sin\lambda komt erin voor.

11. x¨=−ω02x+2ωFy˙\ddot x = -\omega_0^2x + 2\omega_F\dot y, y¨=−ω02y−2ωFx˙\ddot y = -\omega_0^2y - 2\omega_F\dot x; ωF=7.29×10−5×0.753=5.5×10−5 rad/s≪ω0=0.38 rad/s\omega_F = 7.29\times10^{-5} \times 0.753 = 5.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} \ll \omega_0 = 0.38\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}.

12. u¨=−ω02u+2ωF(y˙−jx˙)=−ω02u−2jωFu˙\ddot u = -\omega_0^2u + 2\omega_F(\dot y - j\dot x) = -\omega_0^2u - 2j\omega_F\dot u.

13. −α2−2ωFα+ω02=0-\alpha^2 - 2\omega_F\alpha + \omega_0^2 = 0: α=−ωF±ωF2+ω02≈−ωF±ω0\alpha = -\omega_F \pm \sqrt{\omega_F^2 + \omega_0^2} \approx -\omega_F \pm \omega_0.

14. De haakjes geven een vlakke trilling (een vaste lijn door de oorsprong voor reële A=BA = B); de factor e−jωFt\eu^{-j\omega_Ft} draait het hele patroon met de klok mee met ωF\omega_F: het zwaaivlak preceseert met de klok mee met Ωsin⁡λ\Omega\sin\lambda.

15. TF=2π/ωF=1.14×105 s=31.8 hT_F = 2\pi/\omega_F = 1.14 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 31.8\,\mathrm{h}; 11.3∘11.3^\circ per uur.

16. sin⁡λ=0\sin\lambda = 0: de lokale verticale component van Ω→\vect\Omega verdwijnt; de horizontale corioliskracht is nul voor een horizontale beweging.

17. 2mωFvmax⁡=2×28×5.5×10−5×1.15=3.5 mN2m\omega_Fv_{\max} = 2 \times 28 \times 5.5\times10^{-5} \times 1.15 = 3.5\,\mathrm{mN}; gewicht 275 N275\,\mathrm{N} (10−510^{-5} daarvan), terugdrijvende kracht mω02x0=12 Nm\omega_0^2x_0 = 12\,\mathrm{N}: drieduizend keer kleiner.

18. ωFT/2=5.5×10−5×8.2=4.5×10−4 rad\omega_FT/2 = 5.5\times10^{-5} \times 8.2 = 4.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}: x0×4.5×10−4=1.4 mmx_0 \times 4.5\times10^{-4} = 1.4\,\mathrm{mm} per halve zwaai.

19. Pinnetjes die een centimeter uit elkaar op de ring staan vallen om de ∼7\sim 7 halve zwaaien, ongeveer elke minuut.

20. Een duw met de hand geeft een zijwaartse snelheid: het gewicht beschrijft dan een ellips, waarvan de eigen trage precessie (een gevolg van de eindige amplitude) die van Foucault maskeert.

21. Een radiale duw voegt energie toe langs de zwaai zonder transversale snelheid toe te voegen, zodat het vlak onaangeroerd blijft; een zijwaartse component zou de slinger in een ellips drijven en de precessie namaken of verbergen.

22. Het precessietempo meet Ωsin⁡λ\Omega\sin\lambda, de verticale component van de aardrotatie; kent men Ω\Omega uit de sterrenkunde, dan geeft het tempo de breedte (en omgekeerd).

23. sin⁡λ=23.93/48=0.499\sin\lambda = 23.93/48 = 0.499: λ=30∘\lambda = 30^\circ.

24. Zijn impulsmoment blijft behouden, dus blijft zijn as vast tussen de sterren terwijl de aarde eronder doordraait: het gyrokompas, dat het ware noorden vindt zonder magneet.

25. De corioliskracht −2mΩ→∧v→′-2m\vect\Omega\wedge\vect v'; haar horizontale deel groeit als sin⁡λ\sin\lambda; één omwenteling in 23.93 h/sin⁡λ23.93\,\text{h}/\sin\lambda, 31.8 h31.8\,\mathrm{h} in Parijs.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst