Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

4Optische instrumenten en het oog

Vanaf de achterste rij van een concertzaal trekt een verrekijker het gezicht van de zangeres tot op armlengte; een microscoop maakt van een druppel slootwater een dierentuin; een telefoon zo dik als een vinger fotografeert de Melkweg. Elk van deze instrumenten is een handvol dunne lenzen, geschikt met één doel: het oog, of een sensor, een beeld voorleggen dat groter, helderder of scherper is dan het oog alleen kan vormen. Het hoofdstuk begint dus bij het oog zelf — wat het wel en niet kan — en bouwt daarna de loep, de microscoop, de kijker en de camera op uit de conjugatiebetrekking van het vorige hoofdstuk.

De 40-inch refractor van de Yerkes-sterrenwacht (1897), nog altijd de grootste lenzenkijker ooit gebouwd: een objectief van één meter en een buis van negentien. Boven dit formaat zakt een lens door onder haar eigen gewicht, en stapte de sterrenkunde over op spiegels.

Een kleine refractor in de schemering: een objectief met lange brandpuntsafstand en een oculair met korte — de afocale kijker van dit hoofdstuk, gericht op de maan van de weekendopgave.

4.1 Het oog

Definitie 4.1 (Gereduceerd oog)

Het gereduceerde oog modelleert het hoornvlies en de ooglens als één dunne convergerende lens met veranderlijke brandpuntsafstand, en het netvlies als een scherm op een vaste afstand $d \approx 17\,\mathrm{mm}$ erachter. Spieren veranderen de kromming van de lens om het beeld van het bekeken voorwerp op het netvlies te houden: dat is accommodatie. De iris vóór de lens is een regelbare opening met diameter $2\,$ tot $8\,\mathrm{mm}$ , de pupil.

Definitie 4.2 (Verpunt, nabijheidspunt)

Het verpunt (punctum remotum) is het voorwerpspunt dat zonder accommoderen scherp wordt gezien; het nabijheidspunt (punctum proximum) het dichtstbijzijnde punt dat bij maximale accommodatie scherp wordt gezien. Voor een normaal (emmetroop) oog ligt het verpunt op oneindig en het nabijheidspunt op $d_m \approx 25\,\mathrm{cm}$ , de conventionele afstand van duidelijk zien. Het verschil in vergentie tussen beide is de accommodatiebreedte: ongeveer $4\,\delta$ voor een jonge volwassene, afnemend met de leeftijd.

Voorbeeld 4.3 (De vergentie van het oog)

Ver voorwerp: beeld op $d = 17\,\mathrm{mm}$ betekent $f' = 17\,\mathrm{mm}$ , $V = 1/0.017 = 59\,\delta$ . Voorwerp op $25\,\mathrm{cm}$ : $V = 1/0.017 + 1/0.25 = 59 + 4 = 63\,\delta$ . Vier dioptrieën accommodatie op zestig: de ooglens voegt maar enkele procenten toe aan het werk van het hoornvlies, maar die paar procent zijn alles om te lezen.

Propositie 4.4 (Afwijkingen en correcties)

Een bijziend oog is te sterk convergerend: zijn verpunt ligt op een eindige afstand $D_r$ ; een divergerende lens met brandpuntsafstand $f' = -D_r$ (vlak voor het oog gedragen) beeldt oneindig af in het verpunt en herstelt het zicht in de verte. Een verziend oog is niet convergerend genoeg: zijn verpunt is virtueel (achter het oog) en zijn nabijheidspunt ligt te ver; een convergerende lens corrigeert het. Ouderdomsverziendheid is het verlies van accommodatie met de jaren: het nabijheidspunt wijkt terug en lezen vraagt convergerende lenzen, waar het verpunt ook ligt.

Bewijs. Een lens vlak voor het oog vormt met het oog een systeem waarvan het voorwerp moet zijn wat het oog kan zien: de lens moet van een voorwerp op oneindig een virtueel beeld in het verpunt maken, $\overline{OA'} = -D_r$ voor $\overline{OA} = -\infty$ , dus $f' = \overline{OA'} = -D_r$ . De overige gevallen zijn hetzelfde argument met de bijbehorende punten. ∎

Het gereduceerde oog: een dunne lens met veranderlijke brandpuntsafstand en een netvlies 17\, mm erachter. Ontspannen stelt het scherp op verre voorwerpen; accommoderend verkort het f' om het beeld van een nabij voorwerp op het netvlies te brengen. Het beeld staat op zijn kop — het brein draait het terug. — Het gereduceerde oog: een dunne lens met veranderlijke brandpuntsafstand en een netvlies $17\,\mathrm{mm}$ erachter. Ontspannen stelt het scherp op verre voorwerpen; accommoderend verkort het $f'$ om het beeld van een nabij voorwerp op het netvlies te brengen. Het beeld staat op zijn kop — het brein draait het terug.

Definitie 4.5 (Hoekgrootte en oplossend vermogen)

De hoekgrootte van een voorwerp met hoogte $h$ op afstand $D$ is $\theta \approx h/D$ (kleine hoeken). Het oog onderscheidt twee punten alleen als hun hoekafstand groter is dan zijn hoekoplossend vermogen, ongeveer $\epsilon \approx 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ (één boogminuut): zowel de onderlinge afstand van de kegeltjes als de buiging aan de pupil stelt die grens.

Opmerking 4.6 (Waar een instrument voor dient)

Op het nabijheidspunt beslaat een detail van $1\,\mathrm{mm}$ $1/250 = 4 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ : dertien keer de grens van het oplossend vermogen; een detail van $0.05\,\mathrm{mm}$ beslaat $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ en is onzichtbaar. Instrumenten die naar nabije voorwerpen kijken (loep, microscoop) vergroten de hoekgrootte verder dan het voorwerp dichterbij brengen kan; instrumenten voor verre voorwerpen (de kijker) vergroten de hoekgrootte van dingen die men niet kan naderen; de camera vervangt het netvlies door een sensor die seconden lang licht kan verzamelen en die achteraf kan worden uitvergroot.

4.2 De loep

Definitie 4.7 (Hoekvergroting)

Voor een instrument dat door het oog wordt gebruikt is de hoekvergroting $G = \theta'/\theta$ , waarin $\theta'$ de hoekgrootte is van het beeld door het instrument gezien en $\theta$ de hoekgrootte van het voorwerp met het blote oog — op het nabijheidspunt $d_m = 25\,\mathrm{cm}$ voor een nabij voorwerp, ter plaatse voor een ver voorwerp.

Propositie 4.8 (De loep)

Een convergerende lens met brandpuntsafstand $f' < d_m$ met het voorwerp in haar voorwerpsbrandvlak geeft een beeld op oneindig, zonder accommodatie gezien, met

G = \frac{d_m}{f'} = d_m V .

Bewijs. Voorwerp $AB$ met hoogte $h$ in het brandvlak: de stralen vanuit $B$ vertrekken evenwijdig, onder de hoek van de straal door $O$ , $\theta' = h/f'$ . Met het blote oog op zijn best: $\theta = h/d_m$ . Verhouding $d_m/f'$ . ∎

Voorbeeld 4.9 (De loep van de horlogemaker)

$f' = 25\,\mathrm{mm}$ : $G = 250/25 = 10$ , verkocht als “ $10\times$ ”. Een detail van $0.05\,\mathrm{mm}$ beslaat dan $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ , ruim opgelost. $G$ hoger opdrijven betekent $f'$ van enkele millimeters, een piepklein lensje tegen het oog gehouden — de grens van de enkele lens, en de reden dat de microscoop bestaat.

4.3 De microscoop

Definitie 4.10 (Samengestelde microscoop)

Een microscoop bestaat uit een objectief $L_1$ met kleine brandpuntsafstand $f_1'$ , dat een reëel, vergroot tussenbeeld van een nabij voorwerp vormt in het voorwerpsbrandvlak van een oculair $L_2$ (brandpuntsafstand $f_2'$ ), dat als loep werkt. De afstand $\Delta = \overline{F_1'F_2}$ tussen het beeldbrandpunt van het objectief en het voorwerpsbrandpunt van het oculair is het optisch interval, op klassieke instrumenten gestandaardiseerd op $160\,\mathrm{mm}$ .

Propositie 4.11 (Vergroting van een microscoop)

Met het eindbeeld op oneindig geldt

\gamma_1 = -\frac{\Delta}{f_1'}, \qquad G_2 = \frac{d_m}{f_2'}, \qquad G = \abs{\gamma_1}\,G_2 = \frac{\Delta\,d_m}{f_1' f_2'} .

Bewijs. Het tussenbeeld $A_1B_1$ ligt in het voorwerpsbrandvlak van het oculair, dus op $\overline{F_1'A_1} = \Delta$ ; de betrekking van Newton geeft $\gamma_1 = -\overline{F_1'A_1}/f_1' = -\Delta/f_1'$ . Het oculair toont $A_1B_1$ (hoogte $\abs{\gamma_1} h$ ) vervolgens op oneindig onder de hoek $\theta' = \abs{\gamma_1} h/f_2'$ , tegenover $\theta = h/d_m$ voor het blote oog. ∎

De microscoop: het objectief vormt een reëel, vergroot, omgekeerd tussenbeeld A_1B_1 in het voorwerpsbrandvlak van het oculair; het oculair stuurt het naar oneindig, waar het ontspannen oog het onder een grote hoek bekijkt. — De microscoop: het objectief vormt een reëel, vergroot, omgekeerd tussenbeeld $A_1B_1$ in het voorwerpsbrandvlak van het oculair; het oculair stuurt het naar oneindig, waar het ontspannen oog het onder een grote hoek bekijkt.

Voorbeeld 4.12 (Een schoolmicroscoop)

Objectief $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$ , oculair $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$ , $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$ : $\gamma_1 = -40$ , $G_2 = 10$ , $G = 400$ . Het voorwerp ligt op $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$ van $F_1$ : $4.1\,\mathrm{mm}$ van het objectief. Scherpstellen betekent de hele buis over fracties van een millimeter verschuiven.

Opmerking 4.13 (De grens van het oplossend vermogen)

Onbeperkt vergroten zou nutteloos zijn: licht is een golf, en een objectief dat stralen binnen een halve hoek $u$ opvangt (in een medium met index $n$ ) kan twee punten die dichter bij elkaar liggen dan ongeveer $\lambda/(2n\sin u)$ niet scheiden — de golfbehandeling in het volume van jaar 2 leidt dat af. Met $n\sin u \approx 1.4$ (olie-immersie) en $\lambda = 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ ligt de grens rond $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Om dat detail zichtbaar te maken voor het oog ( $\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ op $25\,\mathrm{cm}$ , dus $75\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) volstaat een vergroting van ongeveer $400$ ; boven $1000$ is het beeld alleen groter, niet rijker: lege vergroting.

4.4 De astronomische kijker

Propositie 4.14 (Lenzenkijker)

Een objectief $L_1$ en een oculair $L_2$ met $F_1' = F_2$ vormen een afocaal systeem: een ster (op oneindig) wordt op oneindig gezien, het ontspannen oog bekijkt haar, en

G = -\frac{f_1'}{f_2'} .

Het beeld van de rand van het objectief door het oculair is de uittredepupil: een heldere schijf met diameter $D/\abs G$ op $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ achter het oculair, waar de pupil van het oog moet staan om al het licht op te vangen.

Bewijs. $G$ werd afgeleid in Propositie 3.18. Het objectief is, gezien vanuit $L_2$ , een voorwerp op $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$ ; Descartes geeft $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$ , en de vergroting $\overline{O_2P'}/ \overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ schaalt de diameter $D$ tot $D/\abs G$ . Elke straal die het objectief binnenkomt vertrekt door de uittredepupil, want elk punt van het objectief wordt daar afgebeeld. ∎

De astronomische kijker: een evenwijdige bundel van een ster wordt door het objectief samengebracht in het gemeenschappelijke brandvlak en door het oculair naar oneindig teruggestuurd, onder een G keer grotere hoek. Al het licht dat het objectief met diameter D opvangt gaat door de uittredepupil, met diameter D/ G. — De astronomische kijker: een evenwijdige bundel van een ster wordt door het objectief samengebracht in het gemeenschappelijke brandvlak en door het oculair naar oneindig teruggestuurd, onder een $\abs G$ keer grotere hoek. Al het licht dat het objectief met diameter $D$ opvangt gaat door de uittredepupil, met diameter $D/\abs G$ .

Propositie 4.15 (Wat een kijker oplevert)

Vergeleken met het blote oog (pupil $d_p$ ):

hoekgrootte: vermenigvuldigd met $\abs G$ ;
opgevangen licht van een puntbron: vermenigvuldigd met $(D/d_p)^2$ , mits de uittredepupil niet groter is dan de pupil van het oog, dus $\abs G \geq D/d_p$ ;
hoekoplossend vermogen: buiging aan het objectief begrenst het tot $\theta_{\min} \approx 1.22\,\lambda/D$ (criterium van Rayleigh), ver onder de $\epsilon$ van het oog; de vergroting die deze grens zichtbaar maakt is $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ , en grotere vergrotingen maken alleen de vlek groter.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 4.16 (Een refractor van 150 millimeter voor de liefhebber)

$D = 150\,\mathrm{mm}$ , $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ , oculair $25\,\mathrm{mm}$ : $G = -48$ ; uittredepupil $3.1\,\mathrm{mm}$ ; lichtwinst $(150/7)^2 \approx 460$ tegenover een aan het donker aangepaste pupil van $7\,\mathrm{mm}$ ; oplossend vermogen $1.22 \times 550\,\mathrm{nm}/0.15\,\mathrm{m} = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.9''$ , dus kraters van $1.7\,\mathrm{km}$ breed op de maan; $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times 10^{-6} \approx 67$ — het oculair van $6\,\mathrm{mm}$ ( $G = 200$ ) toont geen detail meer, alleen een fletsere, grotere schijf. De weekendopgave ontwerpt dit instrument.

Opmerking 4.17 (Spiegeltelescopen, verrekijkers, Hollandse kijkers)

In de spiegeltelescoop vervangt een holle spiegel met brandpuntsafstand $f_1'$ de objectieflens (geen kleurdispersie, en een spiegel kan meters breed worden gemaakt en van achteren worden gesteund): al het bovenstaande blijft gelden met $f_1'$ de brandpuntsafstand van de spiegel. Het beeld staat omgekeerd — onschadelijk voor sterren; voor gebruik op aarde zetten verrekijkers er een paar totaalreflecterende prisma’s in om het recht te zetten, en de kijker van Galilei gebruikt een divergerend oculair ( $f_2' < 0$ , $G > 0$ ), korter maar met een smal veld.

4.5 De camera

Definitie 4.18 (Camera; diafragmagetal)

Een camera is een convergerende lens met brandpuntsafstand $f'$ die een reëel beeld op een sensor vormt, op $\overline{OA'} \approx f'$ voor verre onderwerpen; scherpstellen verplaatst de lens. Een diafragma met diameter $D$ begrenst de bundel; het diafragmagetal is $N = f'/D$ (geschreven $f/N$ ). De beeldhoek is $2\arctan(\ell/2f')$ voor een sensor met breedte $\ell$ .

Propositie 4.19 (Belichting en scherptediepte)

De bestralingssterkte op de sensor schaalt als $1/N^2$ , zodat de belichtingstijd voor een gegeven beeldhelderheid als $N^2$ schaalt. Een punt op een andere afstand dan de scherpgestelde vormt een onscherpteschijf; eist men dat die onder een toegelaten diameter $c$ blijft, dan geeft een lens die op de hyperfocale afstand

H = \frac{f'^2}{N c}

is scherpgesteld alles van $H/2$ tot oneindig aanvaardbaar scherp weer.

Bewijs. Bestralingssterkte $=$ vermogen/oppervlak $\propto D^2/f'^2 = 1/N^2$ (het beeld van een gegeven onderwerp heeft een grootte die door $f'$ is vastgelegd, en het opgevangen vermogen groeit als $D^2$ ). Stel scherp op afstand $p$ , met het beeld op $q \approx f'$ ; een punt op oneindig komt samen op $f'$ , dus $q - f'$ vóór de sensor; zijn stralenkegel, met grondvlak $D$ aan de lens, heeft diameter $D(q - f')/q$ op de sensor (gelijkvormige driehoeken). Met $1/q = 1/f' - 1/p$ paraxiaal is $q - f' \approx f'^2/p$ voor $p \gg f'$ , zodat de onscherpte $Df'/p = f'^2/(Np)$ bedraagt; zij is gelijk aan $c$ voor $p = H$ . Dezelfde meetkunde aan de nabije kant geeft de grens $H/2$ . ∎

Scherptediepte: de lens is scherpgesteld op een punt op afstand p (beeld op de sensor); een punt op oneindig komt samen in F', vóór de sensor, en laat een onscherpteschijf met diameter c = Df'/p achter — kleiner bij een kleine opening (grote N), vandaar de afweging tussen scherpte en belichtingstijd. — Scherptediepte: de lens is scherpgesteld op een punt op afstand $p$ (beeld op de sensor); een punt op oneindig komt samen in $F'$ , vóór de sensor, en laat een onscherpteschijf met diameter $c = Df'/p$ achter — kleiner bij een kleine opening (grote $N$ ), vandaar de afweging tussen scherpte en belichtingstijd.

Voorbeeld 4.20 (Kleinbeeld en telefoon)

Een lens van $50\,\mathrm{mm}$ op een sensor van $36\,\mathrm{mm}$ breed: beeldhoek $2\arctan(18/50) = 40^\circ$ ; bij $f/8$ met $c = 0.03\,\mathrm{mm}$ is $H = 2500/(8 \times 0.03) = 10\,\mathrm{m}$ : scherpgesteld op $10\,\mathrm{m}$ is alles voorbij $5\,\mathrm{m}$ scherp. Een telefoonlens, $f' = 4.3\,\mathrm{mm}$ bij $f/1.8$ op een sensor van $6\,\mathrm{mm}$ met $c = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : dezelfde beeldhoek ( $70{}^{\circ}$ breed), $H = 18.5/(1.8 \times 0.005) = 2.1\,\mathrm{m}$ — vrijwel alles is tegelijk scherp, de reden dat telefoons de achtergrondonscherpte in software nabootsen.

De proefglazen en het proefmontuur van een opticien: een convergerende of divergerende lens met de juiste vergentie voor het oog schuift het verpunt terug naar oneindig.

4.6 Oefeningen

Oefening 4.1 ★

Bereken met het netvlies $17\,\mathrm{mm}$ achter de lens de vergentie van een normaal oog dat naar oneindig kijkt, en daarna naar $25\,\mathrm{cm}$ ; leid de accommodatiebreedte af. Welke brandpuntsafstanden zijn dit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.1.

Oneindig: $f' = 17\,\mathrm{mm}$ , $V = 1/0.017 = 58.8\,\delta$ . $25\,\mathrm{cm}$ : $V = 58.8 + 1/0.25 = 62.8\,\delta$ , $f' = 15.9\,\mathrm{mm}$ . Breedte $4.0\,\delta$ .

Oefening 4.2 ★

Een bijziend oog heeft zijn verpunt op $40\,\mathrm{cm}$ . Welke lens corrigeert dat (brandpuntsafstand, vergentie)? Een verziend oog kan op niets dichterbij dan $1.0\,\mathrm{m}$ accommoderen: welke lens laat het op $25\,\mathrm{cm}$ lezen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.2.

Bijziende: oneindig moet in het verpunt worden afgebeeld, $f' = -40\,\mathrm{cm}$ , $V = -2.5\,\delta$ . Verziende: een voorwerp op $25\,\mathrm{cm}$ moet (virtueel) op $1.0\,\mathrm{m}$ worden afgebeeld: $V = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = -1 + 4 = +3.0\,\delta$ .

Oefening 4.3 ★

Een loep heeft $f' = 4.0\,\mathrm{cm}$ . Geef haar hoekvergroting, waar de postzegel moet worden gehouden, en de hoekgrootte van een detail van $2\,\mathrm{mm}$ erdoorheen, vergeleken met het blote oog op $25\,\mathrm{cm}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.3.

$G = 25/4.0 = 6.3$ ; postzegel in het brandvlak, $4.0\,\mathrm{cm}$ van de lens. Detail van $2\,\mathrm{mm}$ : $\theta' = 2/40 = 0.05\,\mathrm{rad}$ , tegenover $2/250 = 0.008\,\mathrm{rad}$ op $25\,\mathrm{cm}$ .

Oefening 4.4 ★

Een refractor heeft $f_1' = 900\,\mathrm{mm}$ . Bereken $G$ met een oculair van $25\,\mathrm{mm}$ en met een van $9\,\mathrm{mm}$ , de buislengte in beide gevallen, en de schijnbare grootte van de maan ( $0.52^\circ$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.4.

$G = 900/25 = 36$ en $900/9 = 100$ ; buislengtes $f_1' + f_2' = 925\,\mathrm{mm}$ en $909\,\mathrm{mm}$ ; maan: $36 \times 0.52^\circ = 19^\circ$ en $52^\circ$ .

Oefening 4.5 ★★

Microscoop: $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$ , $f_2' = 20\,\mathrm{mm}$ , $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$ . Bereken $\gamma_1$ , $G_2$ , $G$ en de afstand voorwerp–objectief. Hoeveel moet de buis verschuiven om het voorwerp $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ dieper scherp te stellen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.5.

$\gamma_1 = -160/4 = -40$ ; $G_2 = 250/20 = 12.5$ ; $G = 500$ . $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$ : voorwerp $4.1\,\mathrm{mm}$ van het objectief. Het voorwerp moet op die afstand van het objectief blijven, dus verschuift de hele buis over $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ — de fijnstelknop.

Oefening 4.6 ★★

Twee koplampen staan $1.5\,\mathrm{m}$ uit elkaar. Vanaf welke afstand kan het blote oog ( $\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ) ze onderscheiden? Een kijker met $D = 100\,\mathrm{mm}$ : bereken haar buigingsgrens ( $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ), de afstand waarop zij de koplampen scheidt, en de vergroting $G_r$ waarboven zij niets nieuws meer toont.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.6.

Blote oog: $1.5/3\times10^{-4} = 5\,\mathrm{km}$ . Kijker: $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.100 = 6.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ; koplampen gescheiden tot $1.5/6.7\times10^{-6} \approx 220\,\mathrm{km}$ (in beginsel — lucht en aardkromming komen eerder tussenbeide). $G_r = 3\times10^{-4}/ 6.7\times10^{-6} = 45$ .

Oefening 4.7 ★★

Een lens van $50\,\mathrm{mm}$ bij $f/2$ : hoe groot is de opening? Een tafereel is juist belicht bij $f/2$ in $1/500$ $\mathrm{s}$ ; welke belichtingstijd bij $f/8$ ? Wat levert de kleinere opening op?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.7.

$D = 50/2 = 25\,\mathrm{mm}$ . Belichting $\propto N^2$ : $(8/2)^2 = 16$ keer langer, $16/500 \approx 1/30$ $\mathrm{s}$ . Het levert scherptediepte op (en minder aberraties) ten koste van bewegingsonscherpte of een statief.

Oefening 4.8 ★★

Bereken de hyperfocale afstand van een lens van $35\,\mathrm{mm}$ bij $f/11$ met $c = 0.03\,\mathrm{mm}$ , en het bereik van scherpe afstanden wanneer zij op $H$ is scherpgesteld. Straatfotografen stellen dit vooraf in: waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.8.

$H = 35^2/(11 \times 0.03) = 3.7\,\mathrm{m}$ ; scherp van $H/2 = 1.9\,\mathrm{m}$ tot oneindig. Vooraf op $H$ ingesteld hoeft de camera niet scherp te stellen: de foto kan worden genomen op het moment zelf.

Oefening 4.9 ★★

Een verrekijker “ $8\times30$ ” heeft $G = 8$ en $D = 30\,\mathrm{mm}$ . Bereken de uittredepupil; wordt al het licht gebruikt door een nachtpupil van $7\,\mathrm{mm}$ ? En voor “ $7\times50$ ”? Welke kijker is beter in de schemering, en waarom is “ $20\times30$ ” een slechte keuze?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.9.

$8\times30$ : uittredepupil $30/8 = 3.8\,\mathrm{mm} < 7\,\mathrm{mm}$ , al het licht komt het oog binnen. $7\times50$ : $7.1\,\mathrm{mm}$ , passend bij de nachtpupil, en $(50/30)^2 = 2.8$ keer meer licht opgevangen: de schemerkijker. $20\times30$ : uittredepupil $1.5\,\mathrm{mm}$ , flets beeld, smal veld en handtrilling twintig keer vergroot.

Oefening 4.10 ★★★

Het verpunt van een bijziende ligt $25\,\mathrm{cm}$ van het oog. Bereken de vergentie van de corrigerende contactlens, en daarna van brillenglazen die $15\,\mathrm{mm}$ voor het oog worden gedragen. Welke correctie is sterker, en waarom verschillen de twee?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.10.

Contactlens: $f' = -25\,\mathrm{cm}$ , $V = -4.0\,\delta$ . Bril: het verpunt ligt $25 - 1.5 = 23.5\,\mathrm{cm}$ van de lens, dus $f' = -23.5\,\mathrm{cm}$ , $V = -4.3\,\delta$ — sterker. De lens moet het beeld in het verpunt van het oog vormen, en de afstand daarvan tot de lens hangt af van waar de lens zit.

Oefening 4.11 ★★★

De kijker van Galilei: $f_1' = 30\,\mathrm{cm}$ , $f_2' = -10\,\mathrm{cm}$ . Bepaal de afstand tussen de lenzen voor een afocaal systeem, $G$ , en de stand van het beeld. Bepaal de plaats van de uittredepupil en leg uit waarom het gezichtsveld smal is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.11.

Afocaal: $F_1' = F_2$ , afstand $f_1' + f_2' = 20\,\mathrm{cm}$ (korter dan de $40\,\mathrm{cm}$ van een keplerkijker met dezelfde $G$ ). $G = -30/(-10) = +3$ : rechtop. Uittredepupil $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1' = -10 \times 20/30 = -6.7\,\mathrm{cm}$ : virtueel, binnen in de buis, waar het oog niet kan zijn; het oog achter het oculair vangt alleen de bundels op die het toevallig bereiken — een smal veld, de klassieke klacht over de theaterkijker.

Oefening 4.12 ★★★

Een kijker van $200\,\mathrm{mm}$ en een pupil van $7\,\mathrm{mm}$ . Met welke factor neemt het licht van een ster toe? Sterrenkundigen schalen helderheid in magnituden, $m_2 - m_1 = 2.5\log_{10}(F_1/F_2)$ ; het oog reikt tot magnitude $6$ : welke grensmagnitude geeft de kijker? Hoeveel keer verder kan een gegeven lamp worden gezien?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.12.

$(200/7)^2 = 820$ ; $\Delta m = 2.5\log_{10}820 = 7.3$ : grensmagnitude $13.3$ . De flux gaat als $\propto 1/r^2$ , dus is de lamp $\sqrt{820} = 29$ keer verder te zien.

De naar de aarde gekeerde zijde van de maan (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA): het doelwit van de kijker uit de weekendopgave, 3476\, km in doorsnede op 384\,000\, km. — De naar de aarde gekeerde zijde van de maan (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA): het doelwit van de kijker uit de weekendopgave, $3476\,\mathrm{km}$ in doorsnede op $384\,000\,\mathrm{km}$ .

4.7 Probleem: Een kijker voor de maan ontwerpen

Probleem 4.1

Weekendopgave — een refractor van 150 millimeter op een gazon: kies de oculairs, plaats het oog, tel het licht, en zoek uit hoe klein een krater is die hij nog kan tonen

Het objectief is een convergerende lens $L_1$ met brandpuntsafstand $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ en diameter $D = 150\,\mathrm{mm}$ ; er zijn oculairs $L_2$ met brandpuntsafstanden $25\,\mathrm{mm}$ en $6\,\mathrm{mm}$ beschikbaar. De maan staat $3.84 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ ver en beslaat $0.52^\circ$ ; de nachtpupil van het oog is $7\,\mathrm{mm}$ , haar oplossend vermogen $\epsilon = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ .

Deel I — De afocale opstelling.

Waar moet het oculair staan opdat een ster zonder accommodatie wordt gezien? Geef de afstand objectief–oculair voor elk oculair.
Ga met de betrekking van Descartes, op elke lens om beurten toegepast, na dat een punt op oneindig op de as op oneindig wordt afgebeeld.
Toon aan dat een bundel van een ster onder hoek $\alpha$ met de as uittreedt als evenwijdige bundel onder hoek $\alpha' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .
Bereken $G$ voor elk oculair en de schijnbare diameter van de maan door elk.
Het beeld staat omgekeerd. Waarom is dat hier aanvaardbaar, en wat zou een aardse spotting scope toevoegen?
Waar ligt het reële tussenbeeld van de maan, en wat is zijn diameter? (Daar kan het worden gefotografeerd.)

Deel II — Waar het oog komt.

Toon aan dat het oculair een reëel beeld van de rand van het objectief vormt op $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ erachter, met diameter $D/\abs G$ (de uittredepupil).
Bereken plaats en diameter van de uittredepupil voor elk oculair.
Waarom moet de pupil van het oog op de uittredepupil staan? Wat gebeurt er met het veld als zij verder naar achteren staat?
Om het licht van een ster volledig te benutten mag de uittredepupil de pupil van het oog niet overtreffen: leid de kleinste bruikbare vergroting van deze kijker bij nacht af.

Deel III — Oplossend vermogen.

Bereken de buigingsgrens $\theta_{\min} = 1.22\lambda/D$ in radialen en in boogseconden.
Met welke kleinste krater op de maan komt deze hoek overeen? En voor het blote oog?
Definieer en bereken de oplossende vergroting $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ . Welk oculair ligt daar het dichtst bij?
Met het oculair van $6\,\mathrm{mm}$ oogt het beeld waziger en fletser dan met dat van $25\,\mathrm{mm}$ . Verklaar beide effecten.
Luchtonrust smeert sterbeelden uit tot ongeveer $1''$ . Vanaf welke objectiefdiameters houdt de grens van Rayleigh vanaf de grond op te tellen, en wat levert een grotere $D$ dan nog op?

Deel IV — Licht.

Met welke factor vangt het objectief meer licht op dan de nachtpupil?
Zet dit om in magnituden ( $\Delta m = 2.5\log_{10}$ van de verhouding); als het oog tot magnitude $6$ reikt, tot welke magnitude reikt de kijker dan?
De volle maan levert op de grond een bestralingssterkte van ongeveer $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Welk vermogen komt het objectief binnen, en hoe wordt het over het netvlies verdeeld vergeleken met kijken met het blote oog (zelfde redenering met vermogen per ruimtehoek: vergelijk de oppervlaktehelderheid door beide oculairs)?
Waarom maakt een kijker het maanoppervlak niet helderder per oppervlakte-eenheid dan het blote oog, terwijl hij sterren wel helderder maakt?

Deel V — Gezichtsveld. Het oculair draagt in zijn brandvlak een ronde veldstop met diameter $20\,\mathrm{mm}$ (oculair van $25\,\mathrm{mm}$ ) of $5\,\mathrm{mm}$ (oculair van $6\,\mathrm{mm}$ ).

Toon aan dat het werkelijke gezichtsveld $2\arctan(\phi/2f_1') \approx \phi/f_1'$ bedraagt voor een stop met diameter $\phi$ .
Bereken het voor beide oculairs en zeg of de hele maan in het veld past.
Bereken het schijnbare veld (de hoek waaronder het oog de stop door het oculair ziet) voor beide.
De aarde draait $15''$ per tijdseconde: hoe lang doet de maan erover om het veld van elk oculair te doorkruisen zonder volgen?
Vat het ontwerp samen: welk oculair voor de hele maan, welk voor kraters, en de kleinste kratergrootte die het instrument kan onthullen — zijn ene getal.
Hetzelfde objectief wordt vervangen door een holle spiegel van $150\,\mathrm{mm}$ met dezelfde brandpuntsafstand. Welke van de bovenstaande uitkomsten veranderen?

Oplossing

Oplossing van Probleem 4.1.

1. $F_2 = F_1'$ : afstand $f_1' + f_2' = 1225\,\mathrm{mm}$ (oculair van $25\,\mathrm{mm}$ ) of $1206\,\mathrm{mm}$ ( $6\,\mathrm{mm}$ ).

2. $L_1$ : $\overline{O_1A_1} = f_1'$ (beeld in $F_1'$ ). $L_2$ : $\overline{O_2A_1} = -f_2'$ , dus $1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(-f_2') = 0$ : beeld op oneindig.

3. De bundel komt samen in het gemeenschappelijke brandvlak op hoogte $h = f_1'\alpha$ (straal door $O_1$ ); van daaruit bepaalt de straal door $O_2$ de uittredende richting, $\alpha' = -h/f_2' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .

4. $G = -48$ en $-200$ ; maan: $25^\circ$ en $104^\circ$ .

5. Boven en onder betekenen niets aan de hemel; een spotting scope voegt een oprichtend prismapaar (of lenzenrelais) toe.

6. In het brandvlak van $L_1$ , diameter $f_1'\theta = 1200 \times 9.1\times10^{-3} = 11\,\mathrm{mm}$ .

7. Voorwerp $O_1$ op $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$ : $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$ ; vergroting $\overline{O_2P'}/\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ , diameter $D/\abs G$ .

8. $25\,\mathrm{mm}$ : $\overline{O_2P'} = 25 \times 1225/1200 = 25.5\,\mathrm{mm}$ , diameter $150/48 = 3.1\,\mathrm{mm}$ . $6\,\mathrm{mm}$ : $6.0\,\mathrm{mm}$ erachter, diameter $0.75\,\mathrm{mm}$ .

9. Elke straal die het objectief is binnengekomen gaat door de uittredepupil: een oog dat daar staat ontvangt het hele veld. Verder naar achteren vangt het alleen de middelste bundels op: het veld krimpt tot een sleutelgat.

10. $D/\abs G \leq 7\,\mathrm{mm}$ : $\abs G \geq 150/7 \approx 21$ .

11. $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.150 = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.92''$ .

12. $4.5\times10^{-6} \times 3.84\times10^5 = 1.7\,\mathrm{km}$ ; blote oog $3\times10^{-4} \times 3.84\times10^5 = 115\,\mathrm{km}$ .

13. $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times10^{-6} = 67$ ; het oculair van $25\,\mathrm{mm}$ ( $48$ ) ligt er het dichtst bij, iets eronder; dat van $6\,\mathrm{mm}$ ( $200$ ) zit er drie keer boven.

14. Bij $G = 200$ beslaat de buigingsvlek $200 \times 4.5 \times10^{-6} = 9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} > \epsilon$ : zichtbaar wazig. Het licht van de maan wordt over een $(200/48)^2 = 17$ keer groter netvliesoppervlak verdeeld: fletser.

15. $1'' = 4.85 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ : $D = 1.22\lambda/\theta = 140\,\mathrm{mm}$ . Daarboven begrenst de luchtonrust het oplossend vermogen vanaf de grond (adaptieve optiek daargelaten); een grotere $D$ vangt nog altijd meer licht op en bereikt zwakkere objecten.

16. $(150/7)^2 = 460$ .

17. $\Delta m = 2.5\log_{10}460 = 6.7$ : magnitude $12.7$ .

18. $P = 2\times10^{-3} \times \pi(0.075)^2 = 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ , $460$ keer dat van het blote oog. Het netvliesbeeld is $\abs G^2$ keer groter in oppervlak: verhouding van oppervlaktehelderheid $460/G^2 = 0.20$ ( $G = 48$ ), $0.012$ ( $G = 200$ ) — gelijk aan $(D/\abs G)^2/d_p^2$ , het kwadraat van de verhouding uittredepupil tot oogpupil.

19. Voor een uitgebreid voorwerp groeit het opgevangen licht als $D^2$ maar het beeldoppervlak als $G^2 \geq (D/d_p)^2$ : de oppervlaktehelderheid kan hoogstens gelijk zijn aan de waarde met het blote oog (uittredepupil $=$ oogpupil). Een ster wordt niet opgelost: al haar licht valt in één buigingsvlek, zodat haar helderheid als $(D/d_p)^2$ groeit.

20. Een punt onder hoek $\beta$ wordt afgebeeld op hoogte $f_1'\beta$ in het brandvlak; de stop laat door wat voldoet aan $\abs{f_1'\beta} \leq \phi/2$ : volledig veld $\phi/f_1'$ (kleine hoeken).

21. $20/1200 = 0.0167\,\mathrm{rad} = 0.95^\circ$ : de hele maan past erin. $5/1200 = 0.24^\circ$ : niet.

22. Schijnbaar veld $\phi/f_2'$ : $20/25 = 0.8\,\mathrm{rad} = 46^\circ$ ; $5/6 = 48^\circ$ .

23. $0.95^\circ = 3420''$ : $3420/15 = 230\,\mathrm{s}$ , bijna vier minuten; $0.24^\circ = 864''$ : $58\,\mathrm{s}$ .

24. Oculair van $25\,\mathrm{mm}$ ( $G = 48$ , dicht bij $G_r$ , helder, hele maan) voor de schijf; $6\,\mathrm{mm}$ ( $G = 200$ ) om kraters van dichterbij te bekijken, fletser en waziger. Het getal van het instrument: kraters tot $1.7\,\mathrm{km}$ .

25. Zelfde $f_1'$ en $D$ : zelfde $G$ , velden, uittredepupillen, oplossend vermogen en licht (op een eventuele centrale afscherming na). Winst: geen kleurafwijking. Praktisch verschil: het brandpunt ligt vóór de spiegel, zodat een kleine hulpspiegel de bundel naar buiten naar het oculair moet vouwen.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst