Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

9Filters en overdrachtsfuncties

In een luidsprekerkast beslissen een spoel en een condensator, zonder ook maar één transistor, dat de bas naar de grote conus gaat en de hoge tonen naar de kleine koepel. De “AC”-knop van een oscilloscoop verwijdert een traag driftende offset en houdt de rimpeling erbovenop over. Een voeding maakt van een kloppende gelijkgerichte netspanning met één condensator een gladde spanning. Alle drie zijn filters: lineaire netwerken die elke frequentie anders behandelen. Omdat elk periodiek signaal een som van sinussen is, is weten wat een schakeling met elke sinus doet — haar overdrachtsfunctie — weten wat zij met alles doet. Dit hoofdstuk definieert overdrachtsfuncties, tekent hun bodediagrammen voor de schakelingen van eerste en tweede orde uit de vorige hoofdstukken, en gebruikt ze om te voorspellen hoe een blokgolf uit een filter komt.

9.1 Overdrachtsfunctie en bodediagram

Definitie 9.1 (Overdrachtsfunctie)

Een lineair netwerk met een ingangsspanning $\underline U_e$ en een uitgangsspanning $\underline U_s$ (gemeten met niets aan de uitgang) heeft de overdrachtsfunctie

\underline H(j\omega) = \frac{\underline U_s}{\underline U_e}, \qquad G(\omega) = \abs{\underline H}, \qquad \varphi(\omega) = \arg\underline H,

met de versterking $G$ (verhouding van de amplitudes) en de faseverschuiving $\varphi$ van de uitgang ten opzichte van de ingang. Een filter is zo’n netwerk dat om zijn frequentieafhankelijkheid wordt gebruikt: een sinus met amplitude $E$ bij $\omega$ komt eruit als $G(\omega)E\cos(\omega t + \varphi(\omega))$ .

Definitie 9.2 (Decibel; bodediagram)

De versterking in decibel is $G_{\mathrm{dB}} = 20\log_{10}G$ : een factor $10$ is $20\,\mathrm{dB}$ , een factor $2$ is $6\,\mathrm{dB}$ en $1/\sqrt2$ is $-3\,\mathrm{dB}$ . Het bodediagram zet $G_{\mathrm{dB}}$ en $\varphi$ uit tegen $\log_{10}\omega$ (of $f$ ). De afsnijfrequentie is waar $G$ tot $G_{\max}/\sqrt2$ daalt ( $-3\,\mathrm{dB}$ onder het maximum); de doorlaatband is het frequentiegebied binnen $3\,\mathrm{dB}$ van het maximum. Een decade is een factor $10$ in frequentie, een octaaf een factor $2$ .

Methode 9.3 (De aard van een filter in één oogopslag)

Kijk vóór het rekenen naar de limieten: bij zeer lage frequentie is een condensator een open keten en een spoel een draad; bij zeer hoge frequentie precies andersom. Vervang beide en lees af of de uitgang de ingang is (doorgelaten) of nul (geblokkeerd). Laat laag door, blokkeert hoog: laagdoorlaat; het omgekeerde: hoogdoorlaat; blokkeert beide: banddoorlaat; laat beide door: bandsper. Bereken daarna $\underline H$ met een spanningsdeler.

9.2 Filters van de eerste orde

Propositie 9.4 (Laagdoorlaatfilter van de eerste orde)

De RC-deler met de uitgang over $C$ (of de RL-deler met de uitgang over $R$ ) heeft

\underline H = \frac{1}{1 + j\omega/\omega_c}, \qquad \omega_c = \frac{1}{RC} \ \Big(\text{of } \frac{R}{L}\Big), \qquad G = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}}, \qquad \varphi = -\arctan\frac{\omega}{\omega_c} .

Bode-asymptoten: $G_{\mathrm{dB}} = 0$ voor $\omega \ll \omega_c$ , en een rechte die $20\,\mathrm{dB}$ per decade daalt voor $\omega \gg \omega_c$ ; zij snijden elkaar in $\omega_c$ , waar de echte kromme $-3\,\mathrm{dB}$ is en $\varphi = -45^\circ$ . Voor $\omega \gg \omega_c$ is $\underline H \approx \omega_c/(j\omega)$ : de uitgang is evenredig met de integraal van de ingang — daar is het filter een integrator.

Bewijs. Spanningsdeler:

\underline H = \frac{1/jC\omega}{R + 1/jC\omega} = \frac{1}{1 + jRC\omega} .

Ver boven de afsnijfrequentie is $1 + j\omega/\omega_c \approx j\omega/\omega_c$ , en een complexe amplitude door $j\omega$ delen is integreren (Propositie 8.3): $u_s \approx \omega_c\int u_e\,\dd t$ . $20\log(\omega_c/\omega)$ verliest $20\,\mathrm{dB}$ per vertienvoudiging van $\omega$ . ∎

Propositie 9.5 (Hoogdoorlaatfilter van de eerste orde)

De CR-deler met de uitgang over $R$ (of LR met de uitgang over $L$ ) heeft

\underline H = \frac{j\omega/\omega_c}{1 + j\omega/\omega_c}, \qquad G = \frac{\omega/\omega_c}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}}, \qquad \varphi = \frac{\pi}{2} - \arctan\frac{\omega}{\omega_c},

stijgend met $20\,\mathrm{dB}$ per decade onder $\omega_c$ , vlak erboven, $-3\,\mathrm{dB}$ en $+45^\circ$ bij $\omega_c$ . Voor $\omega \ll \omega_c$ is $\underline H \approx j\omega/\omega_c$ : de uitgang is evenredig met de afgeleide van de ingang.

Bewijs. $\underline H = R/(R + 1/jC\omega) = jRC\omega/(1 + jRC\omega)$ ; met $j\omega$ vermenigvuldigen is differentiëren. ∎

Bodediagrammen van het laagdoorlaatfilter (blauw) en het hoogdoorlaatfilter (rood) van de eerste orde: de versterking in decibel met de asymptoten (streepjes) die elkaar bij de afsnijfrequentie snijden, waar de echte versterking -3\, dB is, en de fase, die daar 45 passeert. — Bodediagrammen van het laagdoorlaatfilter (blauw) en het hoogdoorlaatfilter (rood) van de eerste orde: de versterking in decibel met de asymptoten (streepjes) die elkaar bij de afsnijfrequentie snijden, waar de echte versterking $-3\,\mathrm{dB}$ is, en de fase, die daar $\mp45^\circ$ passeert.

Voorbeeld 9.6 (AC-koppeling)

De AC-ingang van een oscilloscoop is een hoogdoorlaatfilter met $f_c \approx 10\,\mathrm{Hz}$ : een signaal van $1\,\mathrm{kHz}$ boven op een offset van $5\,\mathrm{V}$ komt door bij $-0.0002\,\mathrm{dB}$ en zonder die offset. Maar een blokgolf van $50\,\mathrm{Hz}$ wordt zichtbaar vervormd — haar vlakke toppen zakken weg — omdat het filter bij $50\,\mathrm{Hz}$ maar één decade boven zijn afsnijfrequentie zit en de lage harmonischen van het signaal in fase worden verschoven (Oefening 9.12).

9.3 Filters van de tweede orde

Propositie 9.7 (De RLC in serie als drie filters)

Met $x = \omega/\omega_0$ , $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ en $Q = \sqrt{L/C}/R$ geeft de RLC in serie, gevoed door $\underline U_e$ , naargelang waar de uitgang wordt genomen:

\begin{align*} \text{over } C:&\quad \underline H = \frac{1}{1 - x^2 + jx/Q}, \\ \text{over } R:&\quad \underline H = \frac{jx/Q}{1 - x^2 + jx/Q} = \frac{1}{1 + jQ(x - 1/x)}, \\ \text{over } L:&\quad \underline H = \frac{-x^2}{1 - x^2 + jx/Q}: \end{align*}

een laagdoorlaat-, een banddoorlaat- en een hoogdoorlaatfilter van de tweede orde. Ver van $\omega_0$ vallen het laag- en het hoogdoorlaatfilter met $40\,\mathrm{dB}$ per decade, het banddoorlaatfilter met $20\,\mathrm{dB}$ per decade aan elke kant; het banddoorlaatfilter heeft zijn maximum $1$ bij $\omega_0$ en de bandbreedte $\Delta\omega = \omega_0/Q$ uit Stelling 8.9.

Bewijs. Spanningsdelers met de totale impedantie $R + j(L\omega - 1/C\omega)$ ; vermenigvuldig teller en noemer met $jC\omega$ en gebruik $LC\omega_0^2 = 1$ , $RC\omega_0 = 1/Q$ . Het banddoorlaatfilter is de stroomresonantie van het vorige hoofdstuk, gelezen als spanning over $R$ . ∎

Propositie 9.8 (Laagdoorlaat van de tweede orde: de rol van $Q$ )

Voor het laagdoorlaatfilter is $G = 1/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ : voor $Q > 1/\sqrt2$ stijgt de versterking boven $1$ in de buurt van $\omega_0$ (resonantie, piek $\approx Q$ voor grote $Q$ ); voor $Q = 1/\sqrt2$ is zij “maximaal vlak”, $G = 1/\sqrt{1 + x^4}$ , precies $-3\,\mathrm{dB}$ bij $\omega_0$ ; voor kleinere $Q$ zakt zij vroeg weg. De fase loopt van $0$ tot $-\pi$ , en passeert $-\pi/2$ bij $\omega_0$ .

Bewijs. $(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2 = 1 + x^4 + x^2(1/Q^2 - 2)$ : de middelste term verdwijnt voor $Q^2 = \tfrac12$ , is negatief (piek) daarboven en positief (wegzakken) daaronder; het gedrag rond $x = 1$ is geanalyseerd in Propositie 8.10. ∎

Filters van de tweede orde uit de RLC in serie. Links het laagdoorlaatfilter (uitgang over C) voor drie waarden van Q: een resonantiepiek, het maximaal vlakke antwoord of een vroeg wegzakken, alle uitkomend op de asymptoot van -40\, dB/ decade (streepjes). Rechts het banddoorlaatfilter (uitgang over R): een piek met breedte _0/Q die aan elke kant 20\, dB/ decade daalt. — Filters van de tweede orde uit de RLC in serie. Links het laagdoorlaatfilter (uitgang over $C$ ) voor drie waarden van $Q$ : een resonantiepiek, het maximaal vlakke antwoord of een vroeg wegzakken, alle uitkomend op de asymptoot van $-40\,\mathrm{dB}/\mathrm{decade}$ (streepjes). Rechts het banddoorlaatfilter (uitgang over $R$ ): een piek met breedte $\omega_0/Q$ die aan elke kant $20\,\mathrm{dB}/\mathrm{decade}$ daalt.

Voorbeeld 9.9 (Een wisselfilter)

De woofer en de tweeter van een luidspreker, elk $8\,\Omega$ , delen de versterker via een laagdoorlaatfilter (een spoel in serie) en een hoogdoorlaatfilter (een condensator in serie), afgesneden bij $2\,\mathrm{kHz}$ : $L = R/\omega_c = 0.64\,\mathrm{mH}$ , $C = 1/R\omega_c = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Bij $2\,\mathrm{kHz}$ krijgt elke eenheid $-3\,\mathrm{dB}$ , dus het halve vermogen, en geldt $G_L^2 + G_H^2 = 1$ bij elke frequentie: het vermogen wordt verdeeld, niet verspild. De weekendopgave ontwerpt een steilere versie.

9.4 Een periodiek signaal filteren

Stelling 9.10 (Fourierontbinding)

Een periodiek signaal met periode $T = 2\pi/\omega$ (redelijk regelmatig) is de som van een constante en van sinussen bij de veelvouden van $\omega$ :

s(t) = c_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} c_n\cos(n\omega t + \varphi_n),

waarin $c_0 = \langle s\rangle$ de gemiddelde waarde is; de term $n = 1$ is de grondtoon, de overige zijn de harmonischen, en de amplitudes $c_n$ vormen het spectrum. Een blokgolf met amplitude $\pm E$ heeft $c_n = 4E/(n\pi)$ voor oneven $n$ en $0$ voor even $n$ ; een driehoeksgolf met amplitude $\pm E$ heeft $c_n = 8E/(n\pi)^2$ voor oneven $n$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 9.11 (Wat je eraan hebt)

De stelling en de berekening van de $c_n$ horen bij de wiskunde van jaar 2. Hier is zij een gereedschap: scherpe hoeken vragen veel harmonischen (die van de blokgolf nemen maar af als $1/n$ ), gladde signalen vragen er weinig (die van de driehoek als $1/n^2$ ). De harmonische inhoud van een signaal is waar de klankkleur van een instrument uit bestaat, en waarop een filter inwerkt.

Propositie 9.12 (Lineair filteren van een periodiek signaal)

Door een filter met overdrachtsfunctie $\underline H$ wordt het signaal uit de stelling

s_{\text{uit}}(t) = G(0)\,c_0 + \sum_{n \geq 1} G(n\omega)\,c_n\cos\!\big(n\omega t + \varphi_n + \varphi(n\omega)\big):

elke harmonische wordt geschaald met de versterking en verschoven met de fase bij haar eigen frequentie, en daarna worden de stukken opgeteld. Dus:

een laagdoorlaatfilter met $\omega_c \ll \omega$ houdt in wezen $c_0$ over: het middelt (gladstrijken, rimpel wegnemen) en maakt van een blokgolf een kleine driehoek (integratie);
een hoogdoorlaatfilter met $\omega_c \ll \omega$ haalt $c_0$ weg en laat de rest door (AC-koppeling); met $\omega_c \gg \omega$ differentieert het (pieken bij de flanken van een blokgolf);
een banddoorlaatfilter afgestemd op $n\omega$ met $Q \gg 1$ haalt de $n$ -de harmonische er alleen uit: een sinus uit een blokgolf.

Bewijs. Superpositie voor een lineair netwerk (Stelling 6.18) toegepast op de som van sinusvormige ingangen, elk behandeld met Definitie 9.1. ∎

Een blokgolf door een laagdoorlaatfilter van de eerste orde. Links haar spectrum (oneven harmonischen als 1/n) en het spectrum na een filter dat bij de grondtoon afsnijdt. Rechts het tijdsignaal voor _c = (rood, exponentiële bogen) en _c = 10 (oranje, alleen afgeronde hoeken); met _c zou de uitgang een kleine driehoek rond het gemiddelde zijn. — Een blokgolf door een laagdoorlaatfilter van de eerste orde. Links haar spectrum (oneven harmonischen als $1/n$ ) en het spectrum na een filter dat bij de grondtoon afsnijdt. Rechts het tijdsignaal voor $\omega_c = \omega$ (rood, exponentiële bogen) en $\omega_c = 10\omega$ (oranje, alleen afgeronde hoeken); met $\omega_c \ll \omega$ zou de uitgang een kleine driehoek rond het gemiddelde zijn.

Voorbeeld 9.13 (Getallen)

Een blokgolf van $1\,\mathrm{kHz}$ met amplitude $5\,\mathrm{V}$ : harmonischen van $6.37\,\mathrm{V}$ bij $1\,\mathrm{kHz}$ , $2.12\,\mathrm{V}$ bij $3\,\mathrm{kHz}$ , $1.27\,\mathrm{V}$ bij $5\,\mathrm{kHz}$ . Door een RC-laagdoorlaat afgesneden bij $10\,\mathrm{Hz}$ ( $\tau = 16\,\mathrm{ms}$ ) is de uitgang een driehoek met amplitude $ET/4\tau \approx 80\,\mathrm{mV}$ rond nul; door een banddoorlaat afgestemd op $3\,\mathrm{kHz}$ met $Q = 20$ een sinus van $2.1\,\mathrm{V}$ bij $3\,\mathrm{kHz}$ met slechts enkele procenten van de buren (Oefening 9.8).

9.5 Filters in cascade

Propositie 9.14 (Cascade en belasting)

Twee filters in cascade hebben $\underline H = \underline H_1\underline H_2$ — de versterkingen vermenigvuldigen, de decibels en fasen tellen op — mits het tweede het eerste niet belast, dus verwaarloosbaar weinig stroom uit zijn uitgang trekt. Anders moeten de delerbetrekkingen voor het samengestelde netwerk opnieuw worden opgeschreven. Een volger met operationele versterker (Hoofdstuk 10) tussen de trappen maakt de productregel exact.

Bewijs. $\underline H_1$ is gedefinieerd met een open uitgang; is de ingangsimpedantie van de volgende trap veel groter dan de uitgangsimpedantie van de eerste (haar Thévenin-weerstand), dan blijft de uitgangsspanning onveranderd en ziet de tweede trap precies $\underline U_{s1}$ als ingang. ∎

Voorbeeld 9.15 (Twee RC-trappen)

Twee gelijke RC-laagdoorlaatfilters achter elkaar geven niet $1/(1 + j\omega/\omega_c)^2$ : de $R$ van de tweede trap belast de eerste. Het exacte resultaat is $\underline H = 1/[1 - (\omega/\omega_c)^2 + 3j\omega/\omega_c]$ , $-9.5\,\mathrm{dB}$ bij $\omega_c$ in plaats van de $-6\,\mathrm{dB}$ die de productregel belooft, al bereiken beide uiteindelijk dezelfde helling van $-40\,\mathrm{dB}/\mathrm{decade}$ .

9.6 Oefeningen

Oefening 9.1 ★

Zet om in decibel: de versterkingen $0.5$ , $10$ , $1/\sqrt2$ , $100$ . Zet om in verhoudingen: $-40\,\mathrm{dB}$ , $+6\,\mathrm{dB}$ . Twee filters in cascade (zonder belasting) geven bij een zekere frequentie $-6\,\mathrm{dB}$ en $-20\,\mathrm{dB}$ : totale versterking?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.1.

$0.5 \to -6.0\,\mathrm{dB}$ ; $10 \to 20\,\mathrm{dB}$ ; $1/\sqrt2 \to -3.0\,\mathrm{dB}$ ; $100 \to 40\,\mathrm{dB}$ . $-40\,\mathrm{dB} \to 0.01$ ; $+6\,\mathrm{dB} \to 2.0$ . Cascade: $-6 - 20 = -26\,\mathrm{dB}$ , een verhouding $0.05$ .

Oefening 9.2 ★

RC-laagdoorlaat, $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 16\,\mathrm{nF}$ : afsnijfrequentie, en de versterking in decibel bij $100\,\mathrm{Hz}$ , $1\,\mathrm{kHz}$ , $10\,\mathrm{kHz}$ , $100\,\mathrm{kHz}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.2.

$f_c = 1/(2\pi RC) = 1/(2\pi \times 10^4 \times 1.6\times10^{-8}) = 1.0\,\mathrm{kHz}$ . Versterkingen $-10\log(1 + (f/f_c)^2)$ : $100\,\mathrm{Hz}$ : $-0.04\,\mathrm{dB}$ ; $1\,\mathrm{kHz}$ : $-3\,\mathrm{dB}$ ; $10\,\mathrm{kHz}$ : $-20\,\mathrm{dB}$ ; $100\,\mathrm{kHz}$ : $-40\,\mathrm{dB}$ .

Oefening 9.3 ★

Geef zonder te rekenen de aard (laag-, hoog-, banddoorlaat) van: (a) $R$ in serie, $C$ over de uitgang; (b) $C$ in serie, $R$ over de uitgang; (c) $L$ in serie, $C$ over de uitgang; (d) $L$ en $C$ in serie, $R$ over de uitgang.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.3.

(a) laagdoorlaat ( $C$ kortsluit de uitgang bij hoge $f$ ); (b) hoogdoorlaat ( $C$ opent bij lage $f$ ); (c) laagdoorlaat van de tweede orde ( $L$ opent bij hoge $f$ , $C$ sluit kort); (d) banddoorlaat ( $C$ blokkeert lage $f$ , $L$ blokkeert hoge $f$ ).

Oefening 9.4 ★

Een blokgolf van $1.0\,\mathrm{kHz}$ met amplitude $5.0\,\mathrm{V}$ : geef de frequenties en amplitudes van haar eerste drie harmonischen die niet nul zijn. Waarom heeft zij geen even harmonischen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.4.

$4E/n\pi$ : $6.37\,\mathrm{V}$ bij $1\,\mathrm{kHz}$ , $2.12\,\mathrm{V}$ bij $3\,\mathrm{kHz}$ , $1.27\,\mathrm{V}$ bij $5\,\mathrm{kHz}$ . De blokgolf is antisymmetrisch onder een verschuiving over een halve periode ( $s(t + T/2) = -s(t)$ ), en dat zijn de even harmonischen niet.

Oefening 9.5 ★★

Een CR-hoogdoorlaat afgesneden bij $10\,\mathrm{kHz}$ ontvangt een driehoeksgolf met amplitude $1.0\,\mathrm{V}$ bij $100\,\mathrm{Hz}$ . Leg uit waarom hij zich als differentiator gedraagt en geef de vorm en de amplitude van de uitgang.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.5.

Bij $100\,\mathrm{Hz}$ en haar bruikbare harmonischen geldt $\omega \ll \omega_c$ : $\underline H \approx j\omega/\omega_c$ , een afgeleide gedeeld door $\omega_c$ . De helling van de driehoek is $\pm 4Ef = \pm400\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ , dus is de uitgang een blokgolf met amplitude $400/(2\pi \times 10^4) = 6.4\,\mathrm{mV}$ .

Oefening 9.6 ★★

Een RC-laagdoorlaat afgesneden bij $10\,\mathrm{Hz}$ ontvangt een blokgolf van $1.0\,\mathrm{kHz}$ met amplitude $\pm1.0\,\mathrm{V}$ . Toon aan dat de uitgang een driehoek is en bereken haar amplitude.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.6.

$\omega \gg \omega_c$ : $u_s \approx (1/\tau)\int u_e\,\dd t$ , $\tau = 1/(2\pi \times 10) = 16\,\mathrm{ms}$ . De integraal van $\pm E$ is een driehoek die per halve periode met $ET/2$ stijgt: uitslag $ET/2\tau$ , amplitude $ET/4\tau = 1.0 \times 10^{-3}/(4 \times 0.016) = 16\,\mathrm{mV}$ rond nul.

Oefening 9.7 ★★

Een RLC-laagdoorlaat in serie met $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ : geef $f_0$ ; bepaal $R$ voor het maximaal vlakke antwoord; geef de versterking in decibel bij $f_0$ en bij $10f_0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.7.

$f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ . $Q = \sqrt{L/C}/R = 1/\sqrt2$ : $R = \sqrt2 \times 316 = 447\,\Omega$ . Bij $f_0$ : $-3\,\mathrm{dB}$ ; bij $10f_0$ : $1/\sqrt{1 + 10^4} \to -40\,\mathrm{dB}$ .

Oefening 9.8 ★★

Een banddoorlaatfilter ( $Q = 20$ ) afgestemd op $3.0\,\mathrm{kHz}$ ontvangt de blokgolf van $1\,\mathrm{kHz}$ uit Oefening 9.4. Bereken de versterking bij $1$ , $3$ en $5\,\mathrm{kHz}$ en de uitgangsamplitudes van deze harmonischen; beschrijf de uitgang.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.8.

$G = 1/\sqrt{1 + Q^2(x - 1/x)^2}$ met $x = f/3$ : $1\,\mathrm{kHz}$ : $x = 1/3$ , $Q(x - 1/x) = -53$ , $G = 0.019$ ; $3\,\mathrm{kHz}$ : $G = 1$ ; $5\,\mathrm{kHz}$ : $x = 5/3$ , $21$ , $G = 0.047$ . Uitgang: $2.1\,\mathrm{V}$ bij $3\,\mathrm{kHz}$ , met $0.12\,\mathrm{V}$ bij $1\,\mathrm{kHz}$ en $0.06\,\mathrm{V}$ bij $5\,\mathrm{kHz}$ — een vrijwel zuivere sinus van $3\,\mathrm{kHz}$ .

Oefening 9.9 ★★

Twee gelijke RC-laagdoorlaatfilters ( $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 159\,\mathrm{nF}$ ) in cascade. Bereken de exacte overdrachtsfunctie (het tweede belast het eerste) en de versterking bij $\omega_c = 1/RC$ ; vergelijk met het product van de twee afzonderlijke versterkingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.9.

Knooppunten: met $a = jRC\omega$ ziet de eerste condensator stroomopwaarts $R$ en stroomafwaarts $R + 1/jC\omega$ : $\underline H = 1/(1 + 3a + a^2)$ , dus $1/[1 - (\omega/\omega_c)^2 + 3j\omega/\omega_c]$ . Bij $\omega_c$ : $1/3j$ , $G = 1/3$ , $-9.5\,\mathrm{dB}$ ; het product van de twee afzonderlijke versterkingen zou $1/2$ zijn, $-6\,\mathrm{dB}$ . $f_c = 1.0\,\mathrm{kHz}$ .

Oefening 9.10 ★★★

Schets de Bode-asymptoten van $\underline H = (1 + j\omega/\omega_1)/ (1 + j\omega/\omega_2)$ met $\omega_1 = 100\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\omega_2 = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : hellingen, knikpunten, het plateau bij hoge frequentie in decibel, en de fase bij $\sqrt{\omega_1\omega_2}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.10.

Onder $\omega_1$ : $0\,\mathrm{dB}$ ; tussen $\omega_1$ en $\omega_2$ : stijgend met $20\,\mathrm{dB}/\mathrm{decade}$ ; boven $\omega_2$ : vlak op $20\log(\omega_2/\omega_1) = 40\,\mathrm{dB}$ . Fase $\arctan(\omega/\omega_1) - \arctan(\omega/\omega_2)$ : bij $\omega = 10^3$ is $\arctan 10 - \arctan 0.1 = 84^\circ - 6^\circ = 78^\circ$ .

Oefening 9.11 ★★★

Een dubbelzijdig gelijkgerichte sinus (net van $50\,\mathrm{Hz}$ ) heeft gemiddelde $2E/\pi$ en een eerste harmonische bij $100\,\mathrm{Hz}$ met amplitude $4E/3\pi$ . Een RC-laagdoorlaat moet de rimpel van $100\,\mathrm{Hz}$ onder $1\%$ van het gemiddelde brengen: bepaal de vereiste afsnijfrequentie en tijdconstante. Waarom is een condensator alleen (met de belastingsweerstand) de gebruikelijke keuze?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.11.

Ver boven de afsnijfrequentie is $G \approx f_c/f$ ; de rimpelverhouding na het filteren is

\frac{(4E/3\pi)(f_c/100)}{2E/\pi} = \frac{2}{3}\,\frac{f_c}{100} < 0.01,

dus $f_c < 1.5\,\mathrm{Hz}$ en $\tau = 1/2\pi f_c > 0.1\,\mathrm{s}$ . De belasting zelf is de $R$ : een condensator eroverheen kost niets aan spanningsval en vermogen, terwijl een weerstand in serie beide zou verspillen.

Oefening 9.12 ★★★

De AC-koppeling van een oscilloscoop is een hoogdoorlaat met $C = 0.10\,\text{µ}\mathrm{F}$ en $R = 160\,\mathrm{k}\Omega$ . Bereken $f_c$ . Er wordt een blokgolf aangeboden: toon aan dat elke vlakke top een dalende exponentiële functie wordt en bereken het wegzakken (verloren fractie over een halve periode) bij $50\,\mathrm{Hz}$ en bij $1\,\mathrm{kHz}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.12.

$f_c = 1/(2\pi RC) = 1/(2\pi \times 1.6\times10^5 \times 10^{-7}) = 10\,\mathrm{Hz}$ , $\tau = RC = 16\,\mathrm{ms}$ . Tijdens een vlakke top laadt de condensator zich via $R$ : de uitgang zakt vanaf elke flank weg als $\eu^{-t/\tau}$ . Wegzakken over $T/2$ : $1 - \eu^{-T/2\tau}$ : $50\,\mathrm{Hz}$ ( $T/2 = 10\,\mathrm{ms}$ ): $1 - \eu^{-0.63} = 47\%$ ; $1\,\mathrm{kHz}$ ( $T/2 = 0.5\,\mathrm{ms}$ ): $3\%$ .

In een tweewegluidspreker: de spoelen en condensatoren van het wisselfilter zijn de laag- en hoogdoorlaatfilters die de bas naar de woofer en de hoge tonen naar de tweeter sturen.

9.7 Probleem: Het wisselfilter van een luidspreker

Probleem 9.1

Weekendopgave — een woofer, een tweeter, een spoel en een condensator: hoe een passief wisselfilter de muziek verdeelt, waarom het eenvoudigste model bas in de tweeter laat lekken, en wat een echte spreekspoel met het ontwerp doet

De woofer en de tweeter worden eerst als zuivere weerstanden $R = 8.0\,\Omega$ gemodelleerd. De versterker is een ideale spanningsbron $\underline U_e$ . De scheidingsfrequentie is $f_c = 2.0\,\mathrm{kHz}$ .

Deel I — Wisselfilter van de eerste orde. De woofer wordt gevoed via een spoel $L$ in serie, de tweeter via een condensator $C$ in serie.

Definieer de overdrachtsfunctie van elke tak (spanning over de luidspreker gedeeld door $\underline U_e$ ) en de versterking in decibel.
Toon aan dat de woofertak een laagdoorlaat van de eerste orde is en geef haar afsnijfrequentie $\omega_c$ in termen van $R$ en $L$ .
Bereken $L$ voor $f_c = 2.0\,\mathrm{kHz}$ .
Toon aan dat de tweetertak een hoogdoorlaat van de eerste orde is; geef $\omega_c$ en bereken $C$ .
Geef de versterking van elke luidspreker in decibel bij $f_c$ , bij $200\,\mathrm{Hz}$ en bij $20\,\mathrm{kHz}$ .
Toon aan dat $G_L^2 + G_H^2 = 1$ bij elke frequentie. Wat betekent dat voor het vermogen dat aan de versterker wordt onttrokken?
Geef de fase van elke tak bij $f_c$ ; hoeveel verschillen de spanningen over de twee luidsprekers daar in fase?
Wat zijn de hellingen van de twee responsies, in dB per octaaf, ver van $f_c$ ?

Deel II — Wisselfilter van de tweede orde. De woofer wordt nu gevoed via een spoel $L$ in serie met een condensator $C$ parallel aan de luidspreker.

Toon aan dat $\underline H = 1/(1 - LC\omega^2 + jL\omega/R)$ .
Identificeer $\omega_0$ en $Q$ in termen van $L$ , $C$ , $R$ .
Toon voor $Q = 1/\sqrt2$ aan dat $G = 1/\sqrt{1 + (\omega/\omega_0)^4}$ en dat de versterking $-3\,\mathrm{dB}$ is bij $\omega_0$ .
Bereken $L$ en $C$ voor $f_0 = 2.0\,\mathrm{kHz}$ en $Q = 1/\sqrt2$ .
Bereken de versterking in decibel bij $4\,\mathrm{kHz}$ en $8\,\mathrm{kHz}$ ; leid de helling in dB per octaaf af.
De tweetertak verwisselt de rollen van $L$ en $C$ ( $C$ in serie, $L$ parallel): schrijf haar overdrachtsfunctie op zonder nieuwe berekening.
Bereken de fase van elke tak bij $f_0$ . Wat moet er met de bedrading van de tweeter gebeuren, en waarom?

Deel III — Muziek door het wisselfilter.

Een cellotoon van $220\,\mathrm{Hz}$ draagt harmonischen tot de twintigste. Welke harmonischen gaan bij het wisselfilter van de eerste orde overwegend naar de tweeter?
Wat gebeurt er met de negende harmonische?
Als testsignaal wordt een blokgolf van $1.0\,\mathrm{kHz}$ gebruikt. Geef met het wisselfilter van de eerste orde de versterking van elke tak voor haar grondtoon en haar derde en vijfde harmonische.
De versterker krijgt per ongeluk een gelijkspanningsoffset van $1\,\mathrm{V}$ . Welke luidspreker is beschermd, en waardoor?
Welke fractie van de spanning en van het vermogen van een toon van $500\,\mathrm{Hz}$ bereikt met het wisselfilter van de eerste orde de tweeter? Idem met dat van de tweede orde. Waarom telt dit voor het voortbestaan van de tweeter?

Deel IV — Een echte spreekspoel. De woofer is in werkelijkheid $R = 8.0\,\Omega$ in serie met een zelfinductie $L_{vc} = 0.50\,\mathrm{mH}$ van de spreekspoel.

Bereken de impedantie (modulus) van de woofer bij $2\,\mathrm{kHz}$ en bij $8\,\mathrm{kHz}$ .
Herbereken met deze impedantie de woofer-versterking van de eerste orde bij $2\,\mathrm{kHz}$ en $8\,\mathrm{kHz}$ en vergelijk met de ideale $-3\,\mathrm{dB}$ en $-12.3\,\mathrm{dB}$ . Wat is er met het afvallen gebeurd?
Een “Zobel-netwerk” — $R_z = R$ in serie met $C_z = L_{vc}/R^2$ — wordt parallel aan de woofer geschakeld. Toon aan dat de combinatie zich bij elke frequentie als een zuivere weerstand $R$ gedraagt, en bereken $C_z$ .
De versterker levert $50\,\mathrm{W}$ in $8\,\Omega$ : welke effectieve spanning is dat, en welk vermogen ontvangt elke luidspreker bij $f_c$ (wisselfilter van de eerste orde)? Hoeveel bereikt bij $500\,\mathrm{Hz}$ de tweeter?
Vat de afwegingen samen: helling, fase, aantal onderdelen, bescherming van de tweeter en de noodzaak van een Zobel-netwerk.

Oplossing

Oplossing van Probleem 9.1.

1. $\underline H = \underline U_{\text{driver}}/\underline U_e$ ; $G_{\mathrm{dB}} = 20\log\abs{\underline H}$ .

2. $\underline H_L = R/(R + jL\omega) = 1/(1 + j\omega/\omega_c)$ , $\omega_c = R/L$ .

3. $L = R/\omega_c = 8.0/(2\pi \times 2000) = 0.64\,\mathrm{mH}$ .

4. $\underline H_H = R/(R + 1/jC\omega) = jRC\omega/(1 + jRC\omega)$ , $\omega_c = 1/RC$ ; $C = 1/(R\omega_c) = 9.9\,\text{µ}\mathrm{F} \approx 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

5. Bij $f_c$ : elk $-3\,\mathrm{dB}$ . $200\,\mathrm{Hz}$ ( $x = 0.1$ ): woofer $-0.04\,\mathrm{dB}$ , tweeter $-20\,\mathrm{dB}$ . $20\,\mathrm{kHz}$ ( $x = 10$ ): woofer $-20\,\mathrm{dB}$ , tweeter $-0.04\,\mathrm{dB}$ .

6. $G_L^2 + G_H^2 = (1 + x^2)/(1 + x^2) = 1$ : bij gelijke belastingen tellen de twee vermogens op tot het vermogen dat één luidspreker van $8\,\Omega$ zou opnemen — verdeeld, niet verspild.

7. $-45^\circ$ (woofer) en $+45^\circ$ (tweeter): $90^\circ$ uit elkaar; bij $f_c$ bewegen de twee conussen niet samen.

8. $\pm 6\,\mathrm{dB}$ per octaaf ( $20\,\mathrm{dB}$ per decade).

9. Deler tussen $jL\omega$ en $R \parallel 1/jC\omega = R/(1 + jRC\omega)$ : $\underline H = R/[R + jL\omega(1 + jRC\omega)] = 1/(1 - LC\omega^2 + jL\omega/R)$ .

10. $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ ; $L\omega/R = x/Q$ geeft $Q = R/L\omega_0 = R\sqrt{C/L}$ .

11. $\abs{\underline H}^{-2} = (1 - x^2)^2 + x^2/Q^2 = 1 + x^4 + x^2(1/Q^2 - 2) = 1 + x^4$ voor $Q^2 = \tfrac12$ ; bij $x = 1$ is $G = 1/\sqrt2$ .

12. $L = R/(Q\omega_0) = 8\sqrt2/(1.257\times10^4) = 0.90\,\mathrm{mH}$ ; $C = 1/(L\omega_0^2) = 7.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

13. $x = 2$ : $1/\sqrt{17}$ , $-12.3\,\mathrm{dB}$ ; $x = 4$ : $1/\sqrt{257}$ , $-24.1\,\mathrm{dB}$ : $12\,\mathrm{dB}$ per octaaf.

14. $L$ en $C$ verwisselen verwisselt $x \leftrightarrow 1/x$ (en $Q$ blijft): $\underline H_H = -x^2/(1 - x^2 + jx/Q)$ .

15. Bij $x = 1$ : $\underline H_L = Q/j = -jQ$ ( $-90^\circ$ ), $\underline H_H = jQ$ ( $+90^\circ$ ): de luidsprekers staan bij de scheidingsfrequentie in tegenfase en zouden elkaar akoestisch uitdoven; de tweeter wordt met omgekeerde polariteit aangesloten.

16. Harmonischen boven $2\,\mathrm{kHz}$ : $n \geq 10$ ( $2.2\,\mathrm{kHz}$ en hoger) gaan overwegend naar de tweeter.

17. $9 \times 220 = 1980\,\mathrm{Hz} \approx f_c$ : gelijk verdeeld, $-3\,\mathrm{dB}$ naar elk.

18. Woofer ( $G_L$ ): $x = 0.5$ : $0.89$ ; $x = 1.5$ : $0.55$ ; $x = 2.5$ : $0.37$ . Tweeter ( $G_H$ ): $0.45$ , $0.83$ , $0.93$ .

19. De tweeter: haar condensator in serie blokkeert gelijkspanning. De woofer neemt de offset op ( $1\,\mathrm{V}$ over $8\,\Omega$ : $125\,\mathrm{mA}$ , $0.125\,\mathrm{W}$ warmte en een verplaatste conus).

20. Eerste orde, $x = 0.25$ : $G_H = 0.25/\sqrt{1.0625} = 0.24$ ( $-12\,\mathrm{dB}$ ), vermogensfractie $6\%$ . Tweede orde: $0.0625/\sqrt{1 + 0.0039} = 0.06$ ( $-24\,\mathrm{dB}$ ), $0.4\%$ . Een tweeter die voor enkele watt is opgegeven ontvangt met het ontwerp van de eerste orde $6\%$ van een luide bastoon — zij kan doorbranden.

21. $\underline Z = 8 + jL_{vc}\omega$ : $2\,\mathrm{kHz}$ : $8 + 6.3j$ , $\abs{\underline Z} = 10.2\,\Omega$ ; $8\,\mathrm{kHz}$ : $8 + 25.1j$ , $26.3\,\Omega$ .

22. $\underline H = \underline Z/(\underline Z + jL\omega)$ : $2\,\mathrm{kHz}$ : $10.2/\abs{8 + 14.3j} = 10.2/16.4 = 0.62$ ( $-4.2\,\mathrm{dB}$ ); $8\,\mathrm{kHz}$ : $26.3/\abs{8 + 57.3j} = 0.45$ ( $-6.9\,\mathrm{dB}$ ) in plaats van $-12.3\,\mathrm{dB}$ : de stijgende spoelimpedantie werkt de spoel in serie tegen, en het afvallen vlakt af tot een paar dB per octaaf.

23. Admittanties: $1/(R + jL_{vc}\omega) + jC_z\omega/(1 + jRC_z\omega)$ ; met $C_z = L_{vc}/R^2$ is de tweede term $jL_{vc}\omega/[R(R + jL_{vc}\omega)]$ , en de som is $(R + jL_{vc}\omega)/[R(R + jL_{vc}\omega)] = 1/R$ . $C_z = 0.50\times10^{-3}/64 = 7.8\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

24. $U = \sqrt{PR} = \sqrt{400} = 20\,\mathrm{V}$ effectief. Bij $f_c$ krijgt elke luidspreker de helft: $25\,\mathrm{W}$ . Bij $500\,\mathrm{Hz}$ krijgt de tweeter $6\%$ : $3\,\mathrm{W}$ .

25. Eerste orde: twee onderdelen, vermogenscomplementair, milde hellingen van $6\,\mathrm{dB}/\mathrm{oct}$ , $90^\circ$ tussen de luidsprekers, bas lekt in de tweeter. Tweede orde: vier onderdelen, $12\,\mathrm{dB}/\mathrm{oct}$ , $180^\circ$ bij de scheidingsfrequentie (de tweeter omkeren), veel betere bescherming van de tweeter. Hoe dan ook moet de zelfinductie van de woofer met een Zobel-netwerk worden getemd om het ontwerp te laten kloppen.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst