Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

10De operationele versterker

Een rekstrookje op een brugligger verandert zijn weerstand met een duizendste wanneer er een vrachtwagen passeert; de brug van Wheatstone eromheen (Hoofdstuk 6) maakt daar twee millivolt van. Twee millivolt drijven niets aan. Tussen het strookje en het alarm dat de brug voor verkeer zal sluiten zit een chip ter grootte van een vingernagel, verkocht voor een paar cent, die het signaal met duizend vermenigvuldigt, het filtert, het met een drempel vergelijkt en een lamp doet branden — vier taken, één component, vier verschillende schakelingen. Dit hoofdstuk introduceert de operationele versterker via haar ideale model, leidt het handjevol schakelingen af waaruit elk instrument is opgebouwd, en laat zien wat er gebeurt wanneer de terugkoppeling wordt weggehaald.

10.1 De component en haar ideale model

Definitie 10.1 (Operationele versterker)

Een operationele versterker is een geïntegreerde schakeling met twee ingangen — de niet-inverterende ingang op potentiaal $V_+$ en de inverterende ingang op $V_-$ — en één uitgang op potentiaal $V_s$ , gevoed door twee voedingen $\pm V_{\mathrm{cc}}$ (meestal $\pm15\,\mathrm{V}$ ) die gewoonlijk niet in de schema’s worden getekend. Zij versterkt het verschil $\epsilon = V_+ - V_-$ :

V_s = \mu\,\epsilon \quad\text{zolang } \abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}},

met een openlusversterking $\mu$ van de orde $10^5$ en een verzadigingsspanning $V_{\mathrm{sat}}$ net onder $V_{\mathrm{cc}}$ . Zodra $\mu\abs\epsilon$ groter zou worden dan $V_{\mathrm{sat}}$ , blijft de uitgang op $+V_{\mathrm{sat}}$ of $-V_{\mathrm{sat}}$ hangen: het verzadigde regime.

Definitie 10.2 (Ideale operationele versterker)

Het ideale model veronderstelt: (i) er loopt geen stroom een ingang binnen, $i_+ = i_- = 0$ (oneindige ingangsimpedantie); (ii) de uitgang legt haar spanning op, hoeveel stroom er ook wordt getrokken (nul uitgangsimpedantie); (iii) oneindige versterking, $\mu \to \infty$ . In het lineaire regime ( $\abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}}$ ) dwingt de derde aanname

\epsilon = V_+ - V_- = 0 :

de twee ingangen staan op dezelfde potentiaal (een “virtuele kortsluiting”), hoewel er tussen hen geen stroom loopt.

De operationele versterker: het symbool met haar twee ingangen, en haar overdrachtskarakteristiek V_s( ) — een steil lineair stuk met helling 105 (veel te flauw getekend), en dan verzadiging bij ± V_ sat. In het ideale model staat het lineaire stuk verticaal: = 0. — De operationele versterker: het symbool met haar twee ingangen, en haar overdrachtskarakteristiek $V_s(\epsilon)$ — een steil lineair stuk met helling $\mu \sim 10^5$ (veel te flauw getekend), en dan verzadiging bij $\pm V_{\mathrm{sat}}$ . In het ideale model staat het lineaire stuk verticaal: $\epsilon = 0$ .

Propositie 10.3 (Negatieve terugkoppeling en het lineaire regime)

Wordt de uitgang via een netwerk teruggekoppeld naar de inverterende ingang (negatieve terugkoppeling), dan heeft de schakeling een stabiel lineair werkpunt bij $\epsilon = 0$ en gelden de regels van de ideale versterker. Wordt de uitgang naar de niet-inverterende ingang teruggekoppeld (positieve terugkoppeling), of helemaal niet, dan raakt de versterker in verzadiging: $V_s = \pm V_{\mathrm{sat}}$ naargelang het teken van $\epsilon$ .

Gedeeltelijk bewijs. Neem bij negatieve terugkoppeling aan dat $V_s$ iets boven zijn evenwichtswaarde stijgt; via het terugkoppelnetwerk stijgt $V_-$ , daalt $\epsilon$ en trekt de versterker $V_s$ weer omlaag: de verstoring wordt gecorrigeerd. Bij positieve terugkoppeling verhoogt dezelfde verstoring $V_+$ , vergroot zij $\epsilon$ en drijft zij $V_s$ verder weg tot verzadiging optreedt. Het volledige argument (een eerste-ordemodel van de versterker, $\mu(j\omega) = \mu_0/(1 + j\omega/\omega_0)$ , en de stabiliteit van de resulterende differentiaalvergelijking) is het onderwerp van het volume van jaar 2; de regel hierboven is wat men gebruikt. ∎

Opmerking 10.4 (Werkelijke versterkers)

Drie afwijkingen van het ideaal tellen in de praktijk. De openlusversterking daalt met de frequentie als $\mu_0/(1 + jf/f_0)$ met $f_0 \sim 10\,\mathrm{Hz}$ : het product $\mu_0 f_0 = f_T \sim 1\,\mathrm{MHz}$ (het versterking-bandbreedteproduct) is de bandbreedte die een volger heeft, en een schakeling met geslotenlusversterking $G$ heeft bandbreedte $f_T/G$ . De uitgang kan niet sneller veranderen dan de slew rate, $\sim1\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}$ . En een kleine ingangsoffsetspanning ( $\sim1\,\mathrm{mV}$ ) wordt net als een signaal versterkt — fataal bij ingangen van enkele millivolt, tenzij zij wordt bijgeregeld.

10.2 De elementaire lineaire schakelingen

Methode 10.5 (Een ideale opampschakeling in het lineaire regime analyseren)

Ga na dat de terugkoppeling naar de inverterende ingang gaat.
Schrijf $i_+ = i_- = 0$ : de ingangsknooppunten voldoen aan de knooppuntregel van Kirchhoff zonder stroom naar de versterker (delers en de stelling van Millman zijn bruikbaar).
Schrijf $V_+ = V_-$ en los op naar $V_s$ .
Controleer achteraf dat $\abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}}$ ; zo niet, dan is de versterker verzadigd en is het resultaat $\pm V_{\mathrm{sat}}$ .

Propositie 10.6 (Volger, niet-inverterende en inverterende versterker)

Volger: de uitgang aan $V_-$ , de ingang op $V_+$ : $V_s = V_e$ ; oneindige ingangsimpedantie, nul uitgangsimpedantie.
Niet-inverterende versterker: de uitgang naar $V_-$ via een deler $R_2$ (terugkoppeling) en $R_1$ (naar massa), de ingang op $V_+$ :

$V_s = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)V_e .$
Inverterende versterker: $V_+$ aan massa, de ingang via $R_1$ naar $V_-$ , terugkoppeling $R_2$ van de uitgang naar $V_-$ :

$V_s = -\frac{R_2}{R_1}\,V_e ,$

waarbij $V_-$ op massapotentiaal blijft (een virtuele massa) en de ingangsimpedantie $R_1$ is.

Bewijs. Volger: $V_- = V_s$ en $V_+ = V_e$ ; $\epsilon = 0$ geeft $V_s = V_e$ . Niet-inverterend: geen stroom naar $V_-$ , dus geeft de deler $V_- = V_sR_1/(R_1 + R_2)$ ; stel gelijk aan $V_+ = V_e$ . Inverterend: $V_- = V_+ = 0$ ; knooppuntregel in $V_-$ met $i_- = 0$ : $(V_e - 0)/R_1 + (V_s - 0)/R_2 = 0$ . De bron levert $V_e/R_1$ : ingangsimpedantie $R_1$ . ∎

De drie elementaire versterkers. In elk voedt de uitgang de inverterende ingang, werkt de versterker in haar lineaire regime en wordt de versterking alleen door verhoudingen van weerstanden bepaald — niet door de enorme en slecht bepaalde van de versterker zelf. — De drie elementaire versterkers. In elk voedt de uitgang de inverterende ingang, werkt de versterker in haar lineaire regime en wordt de versterking alleen door verhoudingen van weerstanden bepaald — niet door de enorme en slecht bepaalde $\mu$ van de versterker zelf.

Voorbeeld 10.7 (Waarom een volger)

Een sensor met Thévenin-weerstand $10\,\mathrm{k}\Omega$ die een belasting van $1\,\mathrm{k}\Omega$ voedt levert maar $1/11$ van haar nullastspanning (Opmerking 6.14). Een volger ertussen trekt geen stroom uit de sensor en drijft de belasting aan vanuit een uitgang met impedantie nul: de volle spanning komt aan. De volger is een impedantieaanpasser — en hij maakt de cascaderegel van Propositie 9.14 exact.

Propositie 10.8 (Sommeer- en verschilversterker)

Ingangen $V_1, V_2$ via $R_1, R_2$ naar het inverterende knooppunt, terugkoppeling $R_f$ , $V_+$ aan massa:

V_s = -R_f\left(\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2}\right) \quad (\text{sommeerversterker}).

Met $V_1$ via $R_1$ naar $V_-$ (terugkoppeling $R_2$ ) en $V_2$ via $R_1$ naar $V_+$ (met $R_2$ van $V_+$ naar massa):

V_s = \frac{R_2}{R_1}\,(V_2 - V_1) \quad (\text{verschilversterker}).

Bewijs. Sommeren: knooppuntregel in de virtuele massa, $V_1/R_1 + V_2/R_2 + V_s/R_f = 0$ . Verschil: $V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2)$ (deler); knooppuntregel in $V_-$ : $(V_1 - V_-)/R_1 + (V_s - V_-)/R_2 = 0$ , dus $V_s = V_-(1 + R_2/R_1) - V_1R_2/R_1$ ; stel $V_- = V_+$ en vereenvoudig. ∎

10.3 Integrator en differentiator

Propositie 10.9 (Integrator)

De ingang via $R$ naar $V_-$ , een condensator $C$ als terugkoppeling, $V_+$ aan massa:

V_s(t) = -\frac{1}{RC}\int_0^t V_e(t')\,\dd t' + V_s(0), \qquad \underline H = -\frac{1}{jRC\omega} .

De versterking daalt bij elke frequentie $20\,\mathrm{dB}$ per decade en de fase is $+90^\circ$ : een exacte integrator — tot de kleinste offset of voorstroom, eeuwig geïntegreerd, de uitgang in verzadiging drijft.

Bewijs. Virtuele massa: de stroom $V_e/R$ loopt in de condensator, waarvan de spanning (van $V_-$ naar de uitgang) $-V_s$ is; dus $C\,\dd(-V_s)/\dd t = V_e/R$ , en in complexe notatie $\underline H = -1/(jRC\omega)$ . ∎

Opmerking 10.10 (De integrator temmen)

Een weerstand $R'$ parallel aan $C$ geeft

\underline H = -\frac{R'/R}{1 + jR'C\omega},

een laagdoorlaat van de eerste orde met gelijkspanningsversterking $-R'/R$ en afsnijfrequentie $1/R'C$ , die integreert voor $\omega \gg 1/R'C$ maar niet naar verzadiging kan weglopen. Net zo versterkt de differentiator (condensator aan de ingang, weerstand als terugkoppeling: $V_s = -RC\,\dd V_e/\dd t$ , $\underline H = -jRC\omega$ ) hoogfrequente ruis zonder grens, tenzij een kleine weerstand in serie zijn versterking begrenst.

De integrator en zijn bodediagram (blauw, overal -20\, dB/ decade, oneindige versterking bij gelijkspanning); met een weerstand over C wordt de versterking bij lage frequentie begrensd (rood): een laagdoorlaat die boven zijn afsnijfrequentie integreert. — De integrator en zijn bodediagram (blauw, overal $-20\,\mathrm{dB}/\mathrm{decade}$ , oneindige versterking bij gelijkspanning); met een weerstand over $C$ wordt de versterking bij lage frequentie begrensd (rood): een laagdoorlaat die boven zijn afsnijfrequentie integreert.

Voorbeeld 10.11 (Driehoek uit blok)

$R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $1/RC = 1000\,\mathrm{s}^{-1}$ . Een blokgolf van $1\,\mathrm{kHz}$ met $\pm1\,\mathrm{V}$ geeft een driehoek met helling $\mp1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ en amplitude $ET/4RC = 0.25\,\mathrm{V}$ — zonder de verzwakking met $1/\omega$ van een passieve RC, en met een uitgangsimpedantie nul om de volgende trap te voeden.

10.4 Actieve filters

Propositie 10.12 (Actieve laagdoorlaat van de eerste orde)

De inverterende versterker met een condensator $C$ over haar terugkoppelweerstand $R_2$ heeft

\underline H = -\frac{R_2/R_1}{1 + jR_2C\omega}:

een laagdoorlaat met gelijkspanningsversterking $-R_2/R_1$ (die groter dan $1$ kan zijn) en afsnijfrequentie $\omega_c = 1/R_2C$ , met uitgangsimpedantie nul — trappen in cascade vermenigvuldigen eenvoudig.

Bewijs. Inverterende versterker met de terugkoppelimpedantie $R_2 \parallel 1/jC\omega = R_2/(1 + jR_2C\omega)$ in plaats van $R_2$ . ∎

10.5 Zonder negatieve terugkoppeling: comparatoren

Propositie 10.13 (Comparator)

Zonder terugkoppeling is de ideale versterker verzadigd: $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ als $V_+ > V_-$ , en $-V_{\mathrm{sat}}$ als $V_+ < V_-$ . Met een referentie $V_{\mathrm{ref}}$ op de ene ingang en een signaal op de andere zegt de uitgang of het signaal de referentie overschrijdt — een omzetter van één bit.

Bewijs. $\mu\epsilon$ overschrijdt $V_{\mathrm{sat}}$ voor elke $\abs\epsilon > V_{\mathrm{sat}}/\mu \sim 0.1\,\mathrm{mV}$ . ∎

Propositie 10.14 (Schmitttrigger)

Koppel een fractie $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ van de uitgang terug naar $V_+$ (deler $R_1$ naar massa, $R_2$ vanaf de uitgang) en leg het signaal $V_e$ aan $V_-$ . De uitgang klapt van $+V_{\mathrm{sat}}$ naar $-V_{\mathrm{sat}}$ wanneer $V_e$ boven $+\beta V_{\mathrm{sat}}$ stijgt, en terug wanneer $V_e$ onder $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ zakt: twee drempels, een hysterese met breedte $2\beta V_{\mathrm{sat}}$ , ongevoelig voor ruis die kleiner is dan die breedte.

Bewijs. Positieve terugkoppeling: verzadigd. Is $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ , dan is $V_+ = \beta V_{\mathrm{sat}}$ , en blijft $\epsilon = \beta V_{\mathrm{sat}} - V_e$ positief totdat $V_e$ boven $\beta V_{\mathrm{sat}}$ komt; dan klapt de uitgang om, zakt $V_+$ naar $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ , en houdt de nieuwe toestand aan tot $V_e$ daaronder zakt. ∎

De schmitttrigger: positieve terugkoppeling via R_1, R_2 geeft twee drempels ± V_ sat. De uitgang klapt van hoog naar laag wanneer V_e boven de bovenste drempel stijgt, en van laag naar hoog wanneer zij onder de onderste zakt (pijlen): een hysteresekring. — De schmitttrigger: positieve terugkoppeling via $R_1$ , $R_2$ geeft twee drempels $\pm\beta V_{\mathrm{sat}}$ . De uitgang klapt van hoog naar laag wanneer $V_e$ boven de bovenste drempel stijgt, en van laag naar hoog wanneer zij onder de onderste zakt (pijlen): een hysteresekring.

Voorbeeld 10.15 (De relaxatieoscillator)

Koppel de uitgang van de schmitttrigger terug naar zijn eigen inverterende ingang via $R$ , met $C$ van $V_-$ naar massa. De condensator laadt zich naar $\pm V_{\mathrm{sat}}$ toe en klapt de trigger om telkens wanneer hij $\pm\beta V_{\mathrm{sat}}$ bereikt: de uitgang is een blokgolf, de spanning over de condensator een keten van exponentiële bogen, en de periode is

T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}

(Oefening 10.12): $2.2\,RC$ voor $\beta = \tfrac12$ . Geen ingang, één condensator, en een klok — een systeem dat trilt omdat het niet tot rust kan komen, een thema dat terugkeert bij de terugkoppeloscillatoren van het volume van jaar 2.

10.6 Oefeningen

Oefening 10.1 ★

Een niet-inverterende versterker heeft $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 9.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$ . Versterking? Uitgang voor $V_e = 0.50\,\mathrm{V}$ ? Grootste ingang vóór verzadiging?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.1.

$G = 1 + 9 = 10$ ; $V_s = 5.0\,\mathrm{V}$ ; verzadiging bij $V_e = 15/10 = 1.5\,\mathrm{V}$ .

Oefening 10.2 ★

Een inverterende versterker heeft $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega$ . Versterking, ingangsimpedantie, stroom uit een bron van $1.0\,\mathrm{V}$ , uitgang.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.2.

$G = -10$ ; ingangsimpedantie $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ; $i = 1.0/10^4 = 0.10\,\mathrm{mA}$ ; $V_s = -10\,\mathrm{V}$ .

Oefening 10.3 ★

Een sensor met inwendige weerstand $10\,\mathrm{k}\Omega$ en nullastspanning $1.0\,\mathrm{V}$ moet een belasting van $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ aandrijven. Spanning over de belasting zonder en met een volger ertussen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.3.

Zonder: deler $1/(1 + 10) = 0.091$ , $91\,\mathrm{mV}$ . Met de volger: $1.0\,\mathrm{V}$ — de volger trekt niets uit de sensor en levert de $1\,\mathrm{mA}$ die de belasting nodig heeft.

Oefening 10.4 ★

Een sommeerversterker heeft $R_f = 10\,\mathrm{k}\Omega$ en ingangen via $10\,\mathrm{k}\Omega$ en $20\,\mathrm{k}\Omega$ . Schrijf $V_s$ op; bereken hem voor $V_1 = 1.0\,\mathrm{V}$ , $V_2 = 2.0\,\mathrm{V}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.4.

$V_s = -R_f(V_1/R_1 + V_2/R_2) = -(V_1 + V_2/2) = -(1.0 + 1.0) = -2.0\,\mathrm{V}$ .

Oefening 10.5 ★★

Leid $V_s = (R_2/R_1)(V_2 - V_1)$ van de verschilversterker af. Bereken voor $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega$ , $V_1 = 1.00\,\mathrm{V}$ , $V_2 = 1.05\,\mathrm{V}$ de uitgang. Wat is er gebeurd met de $1\,\mathrm{V}$ die beide ingangen gemeen hebben?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.5.

$V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2)$ ; in $V_-$ : $(V_1 - V_-)/R_1 = (V_- - V_s)/R_2$ , dus $V_s = V_-(1 + R_2/R_1) - V_1R_2/R_1$ ; met $V_- = V_+$ : $V_s = V_2R_2/R_1 - V_1R_2/R_1$ . Getallen: $10 \times 0.05 = 0.50\,\mathrm{V}$ ; de gemeenschappelijke $1\,\mathrm{V}$ draagt niets bij — common-modeonderdrukking.

Oefening 10.6 ★★

Integrator met $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , uitgang aanvankelijk nul. Er wordt een sprong van $1.0\,\mathrm{V}$ aangelegd: helling van de uitgang en tijd tot verzadiging ( $15\,\mathrm{V}$ ). Een blokgolf van $1.0\,\mathrm{kHz}$ met $\pm1.0\,\mathrm{V}$ : vorm en amplitude van de uitgang.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.6.

$V_s = -(1/RC)\int V_e$ : helling $-1000 \times 1.0 = -1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ ; verzadiging na $15/1000 = 15\,\mathrm{ms}$ . Blokgolf: driehoek met amplitude $ET/4RC = 1.0 \times 10^{-3}/(4 \times 10^{-3}) = 0.25\,\mathrm{V}$ (plus wat de beginlading als constante achterliet).

Oefening 10.7 ★★

Over de condensator van de vorige integrator wordt een weerstand van $1.0\,\mathrm{M}\Omega$ gezet. Geef de overdrachtsfunctie, de gelijkspanningsversterking, de afsnijfrequentie en de versterking bij $1.0\,\mathrm{kHz}$ ; in welk gebied integreert de schakeling nog?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.7.

$\underline H = -(R'/R)/(1 + jR'C\omega)$ : gelijkspanningsversterking $-100$ ; afsnijfrequentie $1/(2\pi R'C) = 1.6\,\mathrm{Hz}$ ; bij $1\,\mathrm{kHz}$ is $R'C\omega = 628$ en $G = 100/628 = 0.16$ — de waarde $1/RC\omega$ van de integrator. Zij integreert voor $f \gg 1.6\,\mathrm{Hz}$ .

Oefening 10.8 ★★

Ontwerp een inverterende actieve laagdoorlaat met een versterking van $20\,\mathrm{dB}$ in de doorlaatband en een afsnijfrequentie bij $500\,\mathrm{Hz}$ , met $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.8.

$R_2/R_1 = 10$ : $R_2 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ; $C = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi \times 10^4 \times 500) = 32\,\mathrm{nF}$ .

Oefening 10.9 ★★

Een werkelijke versterker heeft $\mu_0 = 10^5$ en $f_T = 1.0\,\mathrm{MHz}$ . Bepaal voor een niet-inverterende versterker die voor een versterking $100$ is ontworpen de werkelijke gelijkspanningsversterking (houd $\mu_0$ eindig in de analyse) en de bandbreedte. Bandbreedte van een volger?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.9.

Met eindige $\mu$ : $V_s = \mu(V_e - \beta V_s)$ , $\beta = 1/100$ , dus $G = \mu/(1 + \mu\beta) = 10^5/(1 + 10^3) = 99.9$ . Bandbreedte $f_T/G = 10\,\mathrm{kHz}$ ; volger: $1\,\mathrm{MHz}$ .

Oefening 10.10 ★★★

Een comparator met $V_{\mathrm{ref}} = 2.0\,\mathrm{V}$ op $V_-$ bewaakt een langzaam stijgend signaal met $50\,\mathrm{mV}$ ruis. Beschrijf de uitgang terwijl het signaal $2.0\,\mathrm{V}$ passeert. Oplossing?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.10.

Elke ruisuitschieter over $2.0\,\mathrm{V}$ klapt de uitgang om: een reeks snelle omschakelingen (“ratelen”) rond de passage. Oplossing: een hysterese breder dan de ruis, dus een schmitttrigger.

Oefening 10.11 ★★★

Schmitttrigger met $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 9.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$ : leid de twee drempels af en bereken ze. Schets $V_s$ voor een driehoekige $V_e$ met amplitude $3\,\mathrm{V}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.11.

$V_+ = V_sR_1/(R_1 + R_2) = V_s/10$ : drempels $\pm1.5\,\mathrm{V}$ . De uitgang is $+15\,\mathrm{V}$ terwijl $V_e$ stijgt tot $1.5\,\mathrm{V}$ , klapt naar $-15\,\mathrm{V}$ , blijft daar tot $V_e$ onder $-1.5\,\mathrm{V}$ zakt, en klapt terug: een blokgolf met de frequentie van de driehoek, met de flanken op de drempelpassages.

Oefening 10.12 ★★★

Relaxatieoscillator met $R_1 = R_2$ ( $\beta = \tfrac12$ ). Leid de periode $T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}$ af uit het laden van $C$ via $R$ tussen de twee drempels; kies $R$ voor $1.0\,\mathrm{kHz}$ met $C = 100\,\mathrm{nF}$ ; schets $V_s(t)$ en $V_C(t)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.12.

Met $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ laadt $V_C$ zich van $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ naar $+V_{\mathrm{sat}}$ : $V_C = V_{\mathrm{sat}} - (1 + \beta)V_{\mathrm{sat}} \eu^{-t/RC}$ , en bereikt $+\beta V_{\mathrm{sat}}$ wanneer $\eu^{-t/RC} = (1 - \beta)/(1 + \beta)$ : halve periode $RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}$ , en dus $T$ . Voor $\beta = \tfrac12$ : $T = 2RC\ln 3 = 2.2RC$ ; $RC = 1/(2.2 \times 10^3) = 0.455\,\mathrm{ms}$ , $R = 4.6\,\mathrm{k}\Omega$ . $V_s$ : blokgolf $\pm15\,\mathrm{V}$ ; $V_C$ : exponentiële bogen tussen $\pm7.5\,\mathrm{V}$ .

10.7 Probleem: Een meetketen voor een rekstrookje

Probleem 10.1

Weekendopgave — van twee millivolt op een brugligger naar een rode lamp: volgers, een verschilversterker, een actief filter en een schmitttrigger, en de twee onvolkomenheden die bepalen of de keten werkt

Een rekstrookje met weerstand $R(1 + \epsilon)$ , $R = 1.00\,\mathrm{k}\Omega$ , $0 \leq \epsilon \leq 2.0 \times 10^{-3}$ , vormt een brug van Wheatstone met drie vaste weerstanden van $1.00\,\mathrm{k}\Omega$ , gevoed door $E = 5.00\,\mathrm{V}$ . De bruguitgang $u = V_B - V_A$ (tussen de twee middelpunten) is $u \approx E\epsilon/4$ (het teken wordt door de bedrading gekozen). Versterkers: ideaal tenzij anders vermeld; $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$ ; waar nodig $f_T = 1.0\,\mathrm{MHz}$ , slew rate $0.5\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}$ , ingangsoffset $1\,\mathrm{mV}$ .

Deel I — De brug en haar belasting.

Herhaal waarom $u \approx E\epsilon/4$ voor kleine $\epsilon$ .
Bereken $u$ op volle schaal ( $\epsilon = 2.0 \times 10^{-3}$ ).
Geef de potentiaal van elk middelpunt (ten opzichte van de negatieve klem van de brug) bij nulrek en bij volle schaal. Hoe heet hun gemeenschappelijke waarde?
Elk middelpunt is de uitgang van een deler met twee weerstanden van $1\,\mathrm{k}\Omega$ : wat is de Thévenin-weerstand tussen de twee middelpunten?
Een versterker met ingangsweerstand $10\,\mathrm{k}\Omega$ wordt over de bruguitgang gezet: welke fractie van $u$ ontvangt hij?
Waarom verhelpt een volger op elk middelpunt dit? Noem de twee gebruikte eigenschappen.
Wat zijn de uitgangsspanningen van de volgers (in termen van $V_A$ , $V_B$ ), en welke stroom trekken zij uit de brug?

Deel II — Het verschil versterken.

De volgers voeden een verschilversterker ( $R_1$ aan beide ingangen, $R_2$ als terugkoppeling en naar massa). Leid $V_s = (R_2/R_1)(V_B - V_A)$ af.
Kies $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ en $R_2$ voor een versterking $100$ .
Een tweede, niet-inverterende trap vermenigvuldigt met $10$ : geef haar weerstanden, de totale versterking en de uitgang op volle schaal.
Beide middelpunten liggen rond $E/2 = 2.5\,\mathrm{V}$ (de common-modespanning). Wat doet een exact aangepaste verschilversterker daarmee? Schat, als één weerstandsverhouding $1\%$ afwijkt, de onechte ingangsspanning en vergelijk haar met het signaal.
De eerste versterker heeft $1\,\mathrm{mV}$ ingangsoffset. Welke uitgangsfout levert dat na de totale versterking? Trek een conclusie.
Wat is met $f_T = 1\,\mathrm{MHz}$ de bandbreedte van elke trap? Is die voldoende voor een signaal onder $5\,\mathrm{Hz}$ ?
De uitgang moet $2.5\,\mathrm{V}$ uitslaan wanneer er in ongeveer $10\,\mathrm{ms}$ een vrachtwagen aankomt: begrenst de slew rate dat?

Deel III — Filteren. Het versterkte signaal draagt een brom van $50\,\mathrm{Hz}$ die van het net is opgepikt.

Ontwerp een inverterende actieve laagdoorlaat met versterking $-1$ en afsnijfrequentie $10\,\mathrm{Hz}$ , met $R_1 = R_2 = 16\,\mathrm{k}\Omega$ : bepaal $C$ .
Bereken haar verzwakking bij $50\,\mathrm{Hz}$ in decibel.
Bereken de faseverschuiving bij $5\,\mathrm{Hz}$ en de bijbehorende vertraging. Aanvaardbaar voor een alarm?
Waarom verdient een actief filter hier de voorkeur boven een passieve RC (twee redenen)?
Er wordt een tweede identieke trap in cascade gezet: verzwakking bij $50\,\mathrm{Hz}$ ? Waarom is de productregel hier exact?

Deel IV — Drempel en alarm. Het alarm moet afgaan wanneer de rek boven $1.6 \times 10^{-3}$ komt.

Met welke uitgangsspanning van de keten komt dat overeen? Een comparator met deze referentie: uitgangstoestanden.
Het gefilterde signaal draagt nabij de drempel nog $50\,\mathrm{mV}$ ruis. Wat doet de kale comparator?
Een schmitttrigger met de referentie op de ene ingang en terugkoppeling $\beta$ : toon aan dat de drempels $V_{\mathrm{ref}} \pm \beta V_{\mathrm{sat}}$ zijn; kies $\beta$ voor $\pm0.10\,\mathrm{V}$ en geef $R_1$ , $R_2$ .
Geef de twee drempels in volt en in rek.
De uitgang stuurt een led ( $2.0\,\mathrm{V}$ , $13\,\mathrm{mA}$ ) via een weerstand: bereken die. Wat beschermt de led wanneer de uitgang op $-V_{\mathrm{sat}}$ staat?
Vat de keten trap voor trap samen en noem de twee niet-idealiteiten die haar werkelijke grenzen bepalen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 10.1.

1. Twee delers: $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)] \approx -E\epsilon/4$ (Propositie 6.22); de bedrading legt het teken vast.

2. $u = 5.00 \times 2.0\times10^{-3}/4 = 2.5\,\mathrm{mV}$ .

3. $V_A = E/2 = 2.500\,\mathrm{V}$ altijd; $V_B = E(1 + \epsilon)/(2 + \epsilon) \approx 2.500 + 0.0025 = 2.5025\,\mathrm{V}$ op volle schaal. De $2.5\,\mathrm{V}$ die beide delen is de common-modespanning.

4. Elk middelpunt: $1 \parallel 1 = 500\,\Omega$ ; tussen de twee middelpunten $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ .

5. $10/(10 + 1) = 0.91$ : een verlies van $9\%$ .

6. Oneindige ingangsimpedantie (geen stroom uit de brug, zodat de middelpunten hun nullastpotentialen behouden) en nul uitgangsimpedantie (de volgende trap kan trekken wat zij nodig heeft).

7. Precies $V_A$ en $V_B$ ; stroom nul.

8. Zoals in Propositie 10.8: $V_+ = V_BR_2/(R_1 + R_2)$ , knooppuntregel in $V_-$ , $V_- = V_+$ .

9. $R_2 = 1.0\,\mathrm{M}\Omega$ .

10. $1 + R_2/R_1 = 10$ : bv. $1\,\mathrm{k}\Omega$ en $9\,\mathrm{k}\Omega$ . Totale versterking $1000$ ; volle schaal $2.5 \times 10^{-3} \times 1000 = 2.5\,\mathrm{V}$ .

11. Aangepast: de gemeenschappelijke $2.5\,\mathrm{V}$ valt precies weg (alleen $V_B - V_A$ blijft over). Een afwijking van $1\%$ laat ongeveer $1\%$ ervan door: een fout van de orde $25\,\mathrm{mV}$ aan de ingang, tien keer het signaal op volle schaal — de vier weerstanden moeten beter dan $0.01\%$ overeenstemmen (of de common-modespanning moet eerst worden weggenomen).

12. $1\ \mathrm{mV} \times 1000 = 1\,\mathrm{V}$ , veertig procent van de volle schaal: onbruikbaar zonder offsetregeling, een versterker met lage offset (chopper), of een nulijking met de ligger onbelast.

13. Trap 1: $f_T/100 = 10\,\mathrm{kHz}$ ; trap 2: $100\,\mathrm{kHz}$ ; ver boven $5\,\mathrm{Hz}$ .

14. Vereist $2.5/10^{-2} = 250\,\mathrm{V}/\mathrm{s} = 0.25\,\mathrm{mV}/\text{µ}\mathrm{s}$ , tweeduizend keer onder de slew rate: nee.

15. $C = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi \times 1.6\times10^4 \times 10) = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

16. $x = 5$ : $G = 1/\sqrt{26}$ , $-14\,\mathrm{dB}$ .

17. $\varphi = -\arctan 0.5 = -27^\circ$ ; vertraging $\varphi/\omega = 15\,\mathrm{ms}$ — niets tegenover de passage van een vrachtwagen.

18. Geen belasting van de volgende trap (uitgangsimpedantie nul) en versterking beschikbaar; bovendien geen verzwakking van het gewenste signaal onder de afsnijfrequentie.

19. $-28\,\mathrm{dB}$ (versterkingen vermenigvuldigen, decibels tellen op), exact omdat de eerste trap een uitgangsimpedantie nul heeft: de tweede trap belast haar niet.

20. $\epsilon = 1.6\times10^{-3} \to u = 2.0\,\mathrm{mV} \to 2.0\,\mathrm{V}$ ; uitgang $+V_{\mathrm{sat}}$ wanneer het signaal boven $2.0\,\mathrm{V}$ komt, $-V_{\mathrm{sat}}$ eronder (of omgekeerd, door de bedrading).

21. Hij ratelt: de lamp flikkert terwijl de ruis de referentie passeert.

22. Met $V_{\mathrm{ref}}$ via $R_2$ en de uitgang via $R_1$ staat de niet-inverterende ingang in de standaardvorm op $V_{\mathrm{ref}}(1 - \beta) + \beta V_s$ ; met de referentie dienovereenkomstig verschoven zijn de omschakelniveaus $V_{\mathrm{ref}} \pm \beta V_{\mathrm{sat}}$ . Uit $\beta V_{\mathrm{sat}} = 0.10\,\mathrm{V}$ : $\beta = 1/150$ , bv. $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 149\,\mathrm{k}\Omega$ .

23. $2.1\,\mathrm{V}$ (aanslaan) en $1.9\,\mathrm{V}$ (loslaten): rek $1.68 \times 10^{-3}$ en $1.52 \times 10^{-3}$ .

24. $R = (15 - 2.0)/0.013 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ . Bij $-V_{\mathrm{sat}}$ staat de led $15\,\mathrm{V}$ in sperrichting, boven haar specificatie: een gewone diode antiparallel (of in serie) beschermt haar.

25. Brug ( $2.5\,\mathrm{mV}$ volle schaal) $\to$ twee volgers (geen belasting) $\to$ verschilversterker $\times100$ $\to$ niet-inverterend $\times10$ $\to$ actieve laagdoorlaat $10\,\mathrm{Hz}$ $\to$ schmitttrigger op $2.0\,\mathrm{V} \pm 0.1\,\mathrm{V}$ $\to$ led. De werkelijke grenzen: de ingangsoffsetspanning en het overeenstemmen van de weerstanden van de verschilversterker, beide vergelijkbaar met het signaal van één millivolt.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst