Physics · Boek 3 · Bachelor Year 1

Universitaire natuurkunde — jaar 1

Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

28Magnetostatica: veld, krachten en dipolen

Een kompasnaald slaat uit wanneer een draad ernaast stroom voert: die waarneming van Ørsted, in 1820, bracht twee wetenschappen samen die apart waren opgegroeid, elektriciteit en magnetisme, en binnen enkele maanden had Ampère de wet van de kracht tussen stromen en hadden Biot en Savart het veld van een draad. Dit hoofdstuk is de statica van het magnetische veld: wat stromen opwekken (veldkaarten, de wet van Biot–Savart, en de stelling van Ampère, de magnetische tweelingzus van de wet van Gauss), wat het veld met stromen doet (de laplacekracht, die elke motor en elke meter aandrijft), en de magnetische dipool, de stroomkring die het kompas, de magneet en het aardveld verklaart.

Het oudste instrument van het magnetisme: een kompasnaald is een kleine magnetische dipool die zich met het aardveld uitlijnt.
Het oudste instrument van het magnetisme: een kompasnaald is een kleine magnetische dipool die zich met het aardveld uitlijnt.
Het experiment van Ørsted: sluit de kring en de naald slaat uit — een stroom wekt een magnetisch veld op, dat om de draad heen cirkelt.
Het experiment van Ørsted: sluit de kring en de naald slaat uit — een stroom wekt een magnetisch veld op, dat om de draad heen cirkelt.

28.1 Bronnen en veldkaarten

Definitie 28.1 (Magnetostatisch veld)

Stationaire stromen (ladingen in stationaire beweging) wekken in elk punt een magnetisch veld B→\vect B op (tesla, T\mathrm{T}), gedefinieerd door de kracht qv→∧B→q\vect v\wedge\vect B die het uitoefent op een bewegende proeflading (Definitie 17.1). Zijn veldlijnen raken aan B→\vect B en zijn er langs georiënteerd. Permanente magneten wekken velden van dezelfde aard op, vanuit de microscopische stromen van hun atomen. Ordes van grootte: aarde 5×10−5 T5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}; een koelkastmagneet 0.01 T0.01\,\mathrm{T}; een MRI-scanner 1.5 T1.5\,\mathrm{T} tot 3 T3\,\mathrm{T}; de sterkste stationaire laboratoriumvelden 45 T45\,\mathrm{T}.

Propositie 28.2 (Veldkaarten)

  1. Een rechte draad: cirkels met de draad als middelpunt, in vlakken loodrecht erop, georiënteerd volgens de rechterhandregel (duim langs de stroom, vingers langs B→\vect B).
  2. Een ronde winding: lijnen die de winding langs haar as doorsteken en er buitenom sluiten; van ver de kaart van een kleine magneet.
  3. Een lange spoel: evenwijdige, dichte, homogene lijnen binnenin; vrijwel geen veld erbuiten; de kaart van een staafmagneet, waarvan het “noordvlak” het vlak is dat de lijnen verlaten.
  4. Magnetische veldlijnen hebben begin noch eind: zij sluiten zichzelf of lopen naar het oneindige. Gelijkwaardig: de flux van B→\vect B door elk gesloten oppervlak is nul — er bestaan geen magnetische ladingen.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Drie veldkaarten. Een stip is een stroom naar de lezer toe, een kruis een stroom van hem af. De lijnen van een draad zijn cirkels; die van een winding steken erdoorheen en sluiten erbuiten; die van een lange spoel zijn recht en homogeen binnenin en sluiten ver weg, waar het veld zwak is — in elk geval hebben zij bron noch put.
Drie veldkaarten. Een stip is een stroom naar de lezer toe, een kruis een stroom van hem af. De lijnen van een draad zijn cirkels; die van een winding steken erdoorheen en sluiten erbuiten; die van een lange spoel zijn recht en homogeen binnenin en sluiten ver weg, waar het veld zwak is — in elk geval hebben zij bron noch put.

Propositie 28.3 (Symmetrieën van B→\vect B)

B→\vect B gedraagt zich bij spiegeling tegengesteld aan E→\vect E (het is een pseudovector, opgebouwd uit een uitwendig product): in een punt van een symmetrievlak van de stromen staat B→\vect B loodrecht op het vlak; in een punt van een antisymmetrievlak (het spiegelbeeld keert de stromen om) ligt B→\vect B in het vlak. Invarianties dragen over als bij E→\vect E.

Bewijs. Het veld van een stroomelement is ∝I  ⁣dl→∧e→r\propto I\,\dd\vect l\wedge\vect e_r (zie hieronder); een spiegel keert één factor van een uitwendig product om ten opzichte van het beeld van een echte vector, zodat het beeld van B→\vect B het tegengestelde is van het spiegelbeeld van de pijl. Op een symmetrievlak moet B→\vect B gelijk zijn aan het tegengestelde van zijn eigen spiegelbeeld, en er dus loodrecht op staan; op een antisymmetrievlak het tegengestelde van het tegengestelde: in het vlak. ∎

Voorbeeld 28.4 (De symmetrieën gebruiken)

Bij een rechte draad is elk vlak dat de draad bevat een symmetrievlak, dus staat B→\vect B in elk punt loodrecht op het vlak door de draad en dat punt: orthoradiaal, B→=B(r) e→θ\vect B = B(r)\,\vect e_\theta door invariantie langs en om de draad. Bij een winding is het vlak van de winding een symmetrievlak: daarin staat B→\vect B loodrecht op de winding; de as ligt in elk antisymmetrievlak dat haar bevat: op de as ligt B→\vect B langs de as.

28.2 De wet van Biot–Savart

Stelling 28.5 (Biot–Savart)

Een kring die de stroom II voert wekt in MM het veld

B→(M)=μ04π∑kringI  ⁣dl→∧e→PMPM2,\vect B(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\sum_{\text{kring}} \frac{I\,\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}}{PM^2} ,

op, gesommeerd over de elementen  ⁣dl→\dd\vect l van de kring in de punten PP, langs de stroom georiënteerd, met e→PM\vect e_{PM} de eenheidsvector van PP naar MM, en μ0=4π×10−7 T m/A\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A} de permeabiliteit van het vacuüm. Elk element levert een veld loodrecht op zichzelf en op de lijn PMPM, dat afneemt als 1/PM21/PM^2.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Propositie 28.6 (Draad, winding, spoel)

  1. Oneindige rechte draad, op afstand rr: B=μ0I2πrB = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}.
  2. Ronde winding met straal RR, op haar as op afstand zz van het middelpunt: Bz=μ0IR22(R2+z2)3/2=μ0I2Rsin⁡3αB_z = \dfrac{\mu_0IR^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{2R} \sin^3\alpha, met α\alpha de halve hoek waaronder de winding vanuit MM wordt gezien; in het middelpunt is B=μ0I/2RB = \mu_0I/2R.
  3. Spoel met nn windingen per meter, op haar as: B=12μ0nI(cos⁡α1−cos⁡α2)B = \tfrac12\mu_0nI (\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2), met α1,α2\alpha_1, \alpha_2 de hoeken waaronder de twee uiteinden worden gezien; voor een lange spoel is B=μ0nIB = \mu_0nI binnenin, en de helft daarvan aan een uiteinde.

Bewijs. (1) MM op afstand rr van de draad, PP op abscis zz erlangs:  ⁣dl→∧e→PM\dd\vect l\wedge\vect e_{PM} heeft grootte  ⁣dz sin⁡β= ⁣dz⋅r/PM\dd z\,\sin\beta = \dd z\cdot r/PM met PM=r2+z2PM = \sqrt{r^2 + z^2}, en alle bijdragen zijn orthoradiaal: B=μ0I4π∫−∞∞r  ⁣dz(r2+z2)3/2=μ0I4π 2rB = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{r\,\dd z}{(r^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\,\dfrac{2}{r}. (2) Elk element van de winding ligt op dezelfde afstand R2+z2\sqrt{R^2 + z^2} van MM, loodrecht op e→PM\vect e_{PM}; zijn veld heeft grootte μ0I  ⁣dl/4π(R2+z2)\mu_0I\,\dd l/4\pi(R^2 + z^2), en alleen de axiale component, de fractie R/R2+z2R/\sqrt{R^2 + z^2} ervan, overleeft de som rond de winding: Bz=μ0I⋅2πR⋅R/4π(R2+z2)3/2B_z = \mu_0I\cdot2\pi R\cdot R/4\pi(R^2 + z^2)^{3/2}. (3) Een schijfje  ⁣dz′\dd z' spoel is een winding met stroom nI  ⁣dz′nI\,\dd z'; met z′−z=R/tan⁡αz' - z = R/\tan\alpha,  ⁣dz′=−R  ⁣dα/sin⁡2α\dd z' = -R\,\dd\alpha/\sin^2\alpha, en B=μ0nI2∫sin⁡3α  ⁣dαsin⁡2αB = \dfrac{\mu_0nI}{2}\displaystyle\int\sin^3\alpha\,\dfrac{\dd\alpha}{\sin^2\alpha} over de spoel =12μ0nI(cos⁡α1−cos⁡α2)= \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2); oneindig lang gaat α1→0\alpha_1 \to 0, α2→π\alpha_2 \to \pi. ∎

De drie berekeningen met Biot–Savart uit dit hoofdstuk: het element l van een draad en zijn bijdrage in M, loodrecht op het vlak van de figuur; de winding gezien vanuit M onder de halve hoek ; de spoel, waarvan de uiteinden onder _1 en _2 worden gezien.
De drie berekeningen met Biot–Savart uit dit hoofdstuk: het element  ⁣dl→\dd\vect l van een draad en zijn bijdrage in MM, loodrecht op het vlak van de figuur; de winding gezien vanuit MM onder de halve hoek α\alpha; de spoel, waarvan de uiteinden onder α1\alpha_1 en α2\alpha_2 worden gezien.

Voorbeeld 28.7 (Ordes van grootte)

Een draad met 10 A10\,\mathrm{A} op 1 cm1\,\mathrm{cm}: B=2×10−7×10/0.01=2×10−4 TB = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}, vier keer het aardveld — het kompas slaat inderdaad uit. Een spoel van 100100 windingen, straal 5 cm5\,\mathrm{cm}, 2 A2\,\mathrm{A}: μ0NI/2R=2.5 mT\mu_0NI/2R = 2.5\,\mathrm{mT} in haar middelpunt. Een spoel van 10001000 windingen per meter bij 5 A5\,\mathrm{A}: 6.3 mT6.3\,\mathrm{mT}; met een ijzeren kern met relatieve permeabiliteit 10001000 zouden er enkele tesla volgen als ijzer niet rond 2 T2\,\mathrm{T} verzadigde — het plafond van elke elektromagneet, en daarom komen de sterkste velden van supergeleidende spoelen zonder ijzer.

28.3 De stelling van Ampère

Stelling 28.8 (Ampère)

De circulatie van B→\vect B langs een willekeurige gesloten georiënteerde kromme Γ\Gamma is gelijk aan μ0\mu_0 maal de totale stroom die door een willekeurig oppervlak met rand Γ\Gamma gaat, positief geteld wanneer hij passeert in de richting die de rechterhandregel uit de oriëntatie van Γ\Gamma geeft:

∮ΓB→⋅ ⁣dl→=μ0Ioms.\oint_\Gamma \vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0 I_{\text{oms}} .

Bewijs. Voor een cirkel met straal rr om een rechte draad is B→\vect B rakend met overal grootte μ0I/2πr\mu_0I/2\pi r, zodat de circulatie 2πr×μ0I/2πr=μ0I2\pi r \times \mu_0I/2\pi r = \mu_0I is, onafhankelijk van rr; voor een kromme die de draad niet omsluit heffen de bijdragen elkaar op. Het algemene geval wordt aangenomen (volume van jaar 2). ∎

Methode 28.9 (De stelling van Ampère gebruiken)

Als bij Gauss: (1) de symmetrieën geven de richting van B→\vect B en de variabele waarvan het afhangt; (2) kies een ampèrelus door MM waarop B→\vect B óf raakt met constante grootte, óf er loodrecht op staat; (3) tel de stroom erdoorheen; (4) los op. Het werkt voor oneindige draden en cilinders, oneindige spoelen en toroïden, en oneindige stroomvlakken.

Propositie 28.10 (Cilinder, spoel, toroïde)

  1. Een cilindrische draad met straal aa die II gelijkmatig voert: B=μ0Ir2πa2B = \dfrac{\mu_0Ir}{2\pi a^2} binnenin, μ0I2πr\dfrac{\mu_0I}{2\pi r} erbuiten — het maximum ligt aan het oppervlak.
  2. Een oneindige spoel met nn windingen per meter: B→=μ0nI e→z\vect B = \mu_0nI\, \vect e_z homogeen binnenin, 0→\vect 0 erbuiten, wat de vorm van haar doorsnede ook is.
  3. Een toroïde met NN windingen: B=μ0NI2πrB = \dfrac{\mu_0NI}{2\pi r} binnen de wikkelingen, nul erbuiten — een spoel die op zichzelf is gesloten, zonder strooiveld.

Bewijs. (1) Cirkel met straal rr: 2πrB=μ0I(r/a)22\pi rB = \mu_0I(r/a)^2 of μ0I\mu_0I. (2) B→\vect B is axiaal uit symmetrie en, met Ampère op een rechthoek met beide lange zijden erbuiten, homogeen erbuiten en dus nul (het verdwijnt in het oneindige); een rechthoek met één lange zijde binnenin, met lengte ℓ\ell, geeft Bℓ=μ0nℓIB\ell = \mu_0n\ell I. (3) Cirkel met straal rr binnen de torus: 2πrB=μ0NI2\pi rB = \mu_0NI; erbuiten is de omsloten stroom nul. ∎

Links: het veld van een dikke draad, lineair binnenin en als 1/r erbuiten, het grootst aan het oppervlak. Rechts: de ampèrerechthoek die het veld van een oneindige spoel geeft — alleen de zijde binnenin draagt aan de circulatie bij. Links: het veld van een dikke draad, lineair binnenin en als 1/r erbuiten, het grootst aan het oppervlak. Rechts: de ampèrerechthoek die het veld van een oneindige spoel geeft — alleen de zijde binnenin draagt aan de circulatie bij.
Links: het veld van een dikke draad, lineair binnenin en als 1/r1/r erbuiten, het grootst aan het oppervlak. Rechts: de ampèrerechthoek die het veld van een oneindige spoel geeft — alleen de zijde binnenin draagt aan de circulatie bij.

28.4 De laplacekracht

Stelling 28.11 (Laplacekracht)

Een geleiderelement  ⁣dl→\dd\vect l dat II voert in een veld B→\vect B ondervindt de kracht  ⁣dF→=I  ⁣dl→∧B→\dd\vect F = I\,\dd\vect l\wedge\vect B; een recht stuk L→\vect L in een homogeen veld ondervindt F→=IL→∧B→\vect F = I\vect L\wedge\vect B, met grootte ILBsin⁡θILB\sin\theta, loodrecht op zowel de draad als het veld.

Bewijs. De ladingsdragers in  ⁣dl→\dd\vect l (aantal n S  ⁣dln\,S\,\dd l, lading qq, driftsnelheid v→\vect v) voelen elk qv→∧B→q\vect v\wedge\vect B; hun som is nSq  ⁣dl v→∧B→=I  ⁣dl→∧B→nSq\,\dd l\,\vect v\wedge\vect B = I\,\dd\vect l\wedge\vect B omdat I=nqvSI = nqvS en v→\vect v langs  ⁣dl→\dd\vect l ligt. De dragers geven de kracht door aan het rooster van de draad via hun botsingen. ∎

Propositie 28.12 (Kracht tussen evenwijdige draden)

Twee lange evenwijdige draden op afstand dd die I1I_1 en I2I_2 voeren trekken elkaar aan als de stromen gelijkgericht zijn en stoten elkaar af als zij tegengesteld zijn, met de kracht per lengte-eenheid

Fℓ=μ0I1I22πd.\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d} .

Twee draden op 1 m1\,\mathrm{m} afstand die 1 A1\,\mathrm{A} voeren ondervinden 2×10−72 \times 10^{-7} N per meter — de definitie van de ampère van 1948 tot 2019, en de herkomst van de waarde μ0=4π×10−7\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}.

Bewijs. Draad 1 wekt bij draad 2 het veld μ0I1/2πd\mu_0I_1/2\pi d op, loodrecht erop; de laplacekracht op een lengte ℓ\ell van draad 2 is I2ℓ×μ0I1/2πdI_2\ell \times \mu_0I_1/2\pi d, naar draad 1 gericht wanneer de stromen gelijkgericht zijn (controleer met de rechterhandregel). ∎

De laplacekracht: tussen evenwijdige draden (links, midden) en op een schuivende staaf die een stroom dwars door een veld voert (rechts) — de laplacerails, waarvan de energiebalans het onderwerp is van .
De laplacekracht: tussen evenwijdige draden (links, midden) en op een schuivende staaf die een stroom dwars door een veld voert (rechts) — de laplacerails, waarvan de energiebalans het onderwerp is van Hoofdstuk 29.

28.5 De magnetische dipool

Definitie 28.13 (Magnetisch moment)

Een vlakke winding met oppervlakte SS die II voert, georiënteerd volgens de rechterhandregel (normaal n→\vect n langs de duim wanneer de vingers II volgen), heeft het magnetisch moment m→=IS n→\vect m = IS\,\vect n (A m2\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}); bij NN windingen NIS n→NIS\,\vect n. Van afstanden r≫Sr \gg \sqrt S gezien is de winding een magnetische dipool: haar veld heeft precies de vorm van dat van de elektrische dipool met p→/ε0→μ0m→\vect p/\varepsilon_0 \to \mu_0\vect m:

Br=μ04π 2mcos⁡θr3,Bθ=μ04π msin⁡θr3.B_r = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2m\cos\theta}{r^3}, \qquad B_\theta = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{m\sin\theta}{r^3} .

Een staafmagneet, een atoom en de aarde zijn magnetische dipolen: het moment van de aarde is 8×1022 A m28 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}, dat van een elektron 9.3×10−24 A m29.3 \times 10^{-24}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2} (het bohrmagneton).

Bewijs. Op de as is het veld van de winding μ0IR2/2z3\mu_0IR^2/2z^3 voor z≫Rz \gg R gelijk aan μ0⋅2m/4πz3\mu_0 \cdot 2m/4\pi z^3 met m=IπR2m = I\pi R^2, wat overeenkomt met BrB_r bij θ=0\theta = 0; de volledige hoekafhankelijkheid wordt aangenomen. ∎

Stelling 28.14 (Dipool in een veld)

Een magnetisch moment m→\vect m in een homogeen veld B→\vect B ondervindt geen netto kracht, wel een koppel Γ→=m→∧B→\vect\Gamma = \vect m\wedge\vect B dat het met het veld uitlijnt, en heeft de potentiële energie Ep=−m→⋅B→E_p = -\vect m\cdot\vect B. In een inhomogeen veld wordt het naar het gebied met sterk veld getrokken wanneer het is uitgelijnd (en weggeduwd wanneer het tegengesteld staat).

Bewijs. Voor een rechthoekige winding a×ba \times b met n→\vect n onder hoek θ\theta met B→\vect B: de laplacekrachten op de twee zijden met lengte bb evenwijdig aan de draaias zijn ±IbB\pm IbB, tegengesteld, op afstand asin⁡θa\sin\theta van elkaar: een koppel met moment IabBsin⁡θ=mBsin⁡θIabB\sin\theta = mB\sin\theta, dat θ\theta probeert te verkleinen; de krachten op de andere twee zijden zijn tegengesteld en liggen op één lijn. Energie: Γ=− ⁣dEp/ ⁣dθ\Gamma = -\dd E_p/\dd\theta met Γ=−mBsin⁡θ\Gamma = -mB\sin\theta geeft Ep=−mBcos⁡θE_p = -mB\cos\theta. Elke vlakke winding is een som van kleine rechthoeken; het inhomogene geval wordt aangenomen. ∎

Links: een stroomwinding in een homogeen veld, gezien langs haar draaias — de laplacekrachten op de twee zijden vormen een koppel dat het moment met het veld uitlijnt. Rechts: de veldlijnen van een staafmagneet zijn die van een magnetische dipool, in vorm gelijk aan die van de elektrische dipool, die het noordvlak verlaten en naar het zuidvlak terugkeren.
Links: een stroomwinding in een homogeen veld, gezien langs haar draaias — de laplacekrachten op de twee zijden vormen een koppel dat het moment met het veld uitlijnt. Rechts: de veldlijnen van een staafmagneet zijn die van een magnetische dipool, in vorm gelijk aan die van de elektrische dipool, die het noordvlak verlaten en naar het zuidvlak terugkeren.

Voorbeeld 28.15 (Het kompas en de aarde)

Een kompasnaald is een kleine magneet met moment m∼0.1 A m2m \sim 0.1\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}; in de horizontale component van het aardveld, Bh≈2×10−5 TB_h \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}, draait het koppel mBhsin⁡θmB_h\sin\theta haar naar het noorden, en zij trilt om het noorden met periode 2πJ/mBh∼1 s2\pi\sqrt{J/mB_h} \sim 1\,\mathrm{s} (Oefening 28.9). De eigen dipool van de aarde, 8×1022 A m28 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}, komt overeen met een stroom van enkele miljarden ampère die in de vloeibare ijzeren kern rondgaat; het veld dat hij aan het oppervlak maakt is het zwakste van dit hoofdstuk en het eerste dat iemand ooit heeft gebruikt.

28.6 Oefeningen

Oefening 28.1 ★

Veld op 1.0 cm1.0\,\mathrm{cm} van een rechte draad die 10 A10\,\mathrm{A} voert; stroom die nodig is om op die afstand 1 T1\,\mathrm{T} te bereiken; afstand waarop het veld van een draad met 100 A100\,\mathrm{A} gelijk is aan het aardveld van 5×10−5 T5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.1.

B=μ0I/2πr=2×10−7×10/0.01=2×10−4 TB = \mu_0I/2\pi r = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}. Voor 1 T1\,\mathrm{T}: I=2πrB/μ0=5×104 AI = 2\pi rB/\mu_0 = 5 \times 10^{4}\,\mathrm{A}. De waarde van de aarde bij r=2×10−7×100/5×10−5=0.4 mr = 2 \times 10^{-7} \times 100/5 \times 10^{-5} = 0.4\,\mathrm{m}.

Oefening 28.2 ★

Veld in het middelpunt van een spoel van 100100 windingen met straal 5.0 cm5.0\,\mathrm{cm} die 2.0 A2.0\,\mathrm{A} voert; op haar as op 5.0 cm5.0\,\mathrm{cm} en op 50 cm50\,\mathrm{cm} van het middelpunt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.2.

Middelpunt: μ0NI/2R=4π×10−7×200/0.1=2.5 mT\mu_0NI/2R = 4\pi \times 10^{-7} \times 200/0.1 = 2.5\,\mathrm{mT}. Bij z=Rz = R: ×(R2/2R2)3/2=2−3/2\times(R^2/2R^2)^{3/2} = 2^{-3/2}: 0.89 mT0.89\,\mathrm{mT}. Bij z=10Rz = 10R: ×(1/101)3/2=10−3\times(1/101)^{3/2} = 10^{-3}: 2.5 µT2.5\,\text{µ}\mathrm{T}, al de dipoolwet in 1/z31/z^3.

Oefening 28.3 ★

Een spoel met 10001000 windingen per meter voert 5.0 A5.0\,\mathrm{A}: veld binnenin, ver van de uiteinden; en helemaal aan het uiteinde. Aantal windingen draad van 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm} dat men in één laag per meter kan wikkelen, en het veld dan bij 5 A5\,\mathrm{A}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.3.

B=μ0nI=4π×10−7×1000×5=6.3 mTB = \mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 5 = 6.3\,\mathrm{mT}; aan het uiteinde de helft: 3.1 mT3.1\,\mathrm{mT}. Draad van 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm}: 20002000 windingen per meter, dus 12.6 mT12.6\,\mathrm{mT} bij 5 A5\,\mathrm{A}.

Oefening 28.4 ★

Kracht op een draad van 1.0 m1.0\,\mathrm{m} die 10 A10\,\mathrm{A} voert loodrecht op een veld van 0.10 T0.10\,\mathrm{T}; op dezelfde draad onder 30∘30{}^{\circ} met het veld. Een motor heeft 100100 zulke draden op een rotor met straal 5 cm5\,\mathrm{cm}: koppel (orde van grootte).

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.4.

F=ILB=10×1×0.1=1.0 NF = ILB = 10 \times 1 \times 0.1 = 1.0\,\mathrm{N}; bij 30∘30{}^{\circ}, sin⁡30∘\sin30^\circ: 0.5 N0.5\,\mathrm{N}. Motor: 100×1 N×0.05 m=5 N m100 \times 1\,\mathrm{N} \times 0.05\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m} — een kleine industriemotor.

Oefening 28.5 ★★

Veld van een eindig recht stuk op afstand dd van zijn lijn, waarvan de uiteinden onder de hoeken α1\alpha_1 en α2\alpha_2 worden gezien (gemeten vanaf de loodlijn): B=μ0I4πd(sin⁡α2−sin⁡α1)B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1). Controleer de limiet van de oneindige draad. Veld in het middelpunt van een vierkante winding met zijde aa.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.5.

Met z=dtan⁡αz = d\tan\alpha: B=μ0I4π∫d  ⁣dz(d2+z2)3/2=μ0I4πd∫α1α2cos⁡α  ⁣dα=μ0I4πd(sin⁡α2−sin⁡α1)B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\,\dd z}{(d^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}\displaystyle\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos\alpha\,\dd\alpha = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d} (\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1); oneindige draad, α1,2=∓π/2\alpha_{1,2} = \mp\pi/2: μ0I/2πd\mu_0I/2\pi d. Vierkant: elke zijde op d=a/2d = a/2, gezien onder ±45∘\pm45^\circ, geeft μ0I2/2πa\mu_0I\sqrt2/2\pi a; vier zijden: B=22 μ0I/πa=0.90 μ0I/aB = 2\sqrt2\,\mu_0I/\pi a = 0.90\,\mu_0I/a (een cirkel met dezelfde “straal” a/2a/2 zou μ0I/a\mu_0I/a geven).

Oefening 28.6 ★★

Helmholtzspoelen. Twee gelijke spoelen (NN windingen, straal RR) op een gemeenschappelijke as, op afstand RR, voeren dezelfde stroom in dezelfde zin. Veld in het midden; toon aan dat de eerste en de tweede afgeleide van BB langs de as daar verdwijnen. Getallen: N=100N = 100, R=15 cmR = 15\,\mathrm{cm}, I=1.0 AI = 1.0\,\mathrm{A}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.6.

B(z)=f(z−R/2)+f(z+R/2)B(z) = f(z - R/2) + f(z + R/2) met f(u)=μ0NIR2/2(R2+u2)3/2f(u) = \mu_0NIR^2/2(R^2 + u^2)^{3/2}. Midden: 2f(R/2)=μ0NIR2/(5R2/4)3/2=(4/5)3/2μ0NI/R2f(R/2) = \mu_0NIR^2/(5R^2/4)^{3/2} = (4/5)^{3/2}\mu_0NI/R. f′f' is oneven, dus B′(0)=f′(−R/2)+f′(R/2)=0B'(0) = f'(-R/2) + f'(R/2) = 0; f′′(u)∝(4u2−R2)(R2+u2)−7/2f''(u) \propto (4u^2 - R^2)(R^2 + u^2)^{-7/2} verdwijnt in u=R/2u = R/2, dus B′′(0)=2f′′(R/2)=0B''(0) = 2f''(R/2) = 0: het veld is tot in de derde orde homogeen. Getallen: 0.716×4π×10−7×100/0.15=0.60 mT0.716 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 100/0.15 = 0.60\,\mathrm{mT}.

Oefening 28.7 ★★

Een koperdraad met straal 2.0 mm2.0\,\mathrm{mm} voert 100 A100\,\mathrm{A}. Veld aan het oppervlak, op 1.0 mm1.0\,\mathrm{mm} van de as, op 1.0 cm1.0\,\mathrm{cm}. Schets B(r)B(r). De draad is nu de binnengeleider van een coaxkabel waarvan de mantel de retourstroom voert: veld buiten de mantel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.7.

Oppervlak: μ0I/2πa=2×10−7×100/0.002=10 mT\mu_0I/2\pi a = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.002 = 10\,\mathrm{mT}; op 1 mm1\,\mathrm{mm}, binnenin, ×r/a\times r/a: 5 mT5\,\mathrm{mT}; op 1 cm1\,\mathrm{cm}: 2 mT2\,\mathrm{mT}. BB stijgt lineair tot aan het oppervlak en daalt daarna als 1/r1/r. Coaxiaal: buiten de mantel is de omsloten stroom nul, B=0B = 0.

Oefening 28.8 ★★

Kracht per meter tussen twee draden op 1 m1\,\mathrm{m} afstand bij 1 A1\,\mathrm{A}; tussen twee stroomrails op 10 cm10\,\mathrm{cm} die 10 kA10\,\mathrm{kA} voeren; en bij een kortsluiting van 100 kA100\,\mathrm{kA}. Wat moet de rails vasthouden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.8.

2×10−72 \times 10^{-7} N/m. Stroomrails: 2×10−7×108/0.1=200 N/m2 \times 10^{-7} \times 10^8/0.1 = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}; bij 100 kA100\,\mathrm{kA}: 2×104 N/m2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m} — twee ton per meter. De isolerende steunen van schakelinstallaties worden op de kortsluitstroom gedimensioneerd, niet op de bedrijfsstroom.

Oefening 28.9 ★★

Een kompasnaald met moment m=0.10 A m2m = 0.10\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2} en traagheidsmoment J=1.0×10−7 kg m2J = 1.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}, in een horizontaal veld Bh=2.0×10−5 TB_h = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}. Koppel bij 90∘90{}^{\circ}; arbeid om haar van noord naar zuid te draaien; periode van kleine trillingen. Hoe meet men BhB_h ermee?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.9.

Γ=mBh=2×10−6 N m\Gamma = mB_h = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}; W=2mBh=4×10−6 JW = 2mB_h = 4 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}; Jθ¨=−mBhθJ\ddot\theta = -mB_h\theta: T=2πJ/mBh=2π10−7/2×10−6=1.4 sT = 2\pi\sqrt{J/mB_h} = 2\pi\sqrt{10^{-7}/2 \times 10^{-6}} = 1.4\,\mathrm{s}. Klok de trillingen: Bh=4π2J/mT2B_h = 4\pi^2J/mT^2 zodra mm en JJ bekend zijn (Gauss mat mm afzonderlijk uit de uitslag die het aan een tweede naald geeft).

Oefening 28.10 ★★★

De aarde als dipool. (a) Toon aan dat het veld van een winding op haar as, ver weg, B=μ0m/2πz3B = \mu_0m/2\pi z^3 is met m=IπR2m = I\pi R^2; vergelijk met de elektrische dipool. (b) Het veld op de magnetische pool is ongeveer 6×10−5 T6 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}: leid daaruit het dipoolmoment van de aarde af. (c) Stroom in een winding met straal 3000 km3000\,\mathrm{km} (de kern) die het zou opwekken. (d) Veld op de evenaar in het dipoolmodel; de inclinatiehoek van het veld op breedte 45∘45{}^{\circ} (gebruik BrB_r en BθB_\theta).

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.10.

(a) μ0IR2/2z3=μ0(IπR2)/2πz3=μ0m/2πz3=(μ0/4π) 2m/z3\mu_0IR^2/2z^3 = \mu_0(I\pi R^2)/2\pi z^3 = \mu_0m/2\pi z^3 = (\mu_0/4\pi)\,2m/z^3: de elektrische 2p/4πε0z32p/4\pi\varepsilon_0z^3 met 1/ε0→μ01/\varepsilon_0 \to \mu_0. (b) m=2πRE3B/μ0=2π×2.58×1020×6×10−5/1.26×10−6=7.7×1022 A m2m = 2\pi R_E^3B/ \mu_0 = 2\pi \times 2.58 \times 10^{20} \times 6 \times 10^{-5}/1.26 \times 10^{-6} = 7.7 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}. (c) I=m/πR2=7.7×1022/(π×9×1012)=2.7×109 AI = m/\pi R^2 = 7.7 \times 10^{22}/(\pi \times 9 \times 10^{12}) = 2.7 \times 10^{9}\,\mathrm{A}. (d) Evenaar (θ=90∘\theta = 90^\circ): Bθ=μ0m/4πRE3=3×10−5 TB_\theta = \mu_0m/4\pi R_E^3 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}, de helft van de poolwaarde. Bij θ=45∘\theta = 45^\circ: tan⁡(inclinatie)=Br/Bθ=2cot⁡θ=2\tan(\text{inclinatie}) = B_r/B_\theta = 2\cot\theta = 2, inclinatie =63∘= 63{}^{\circ} — op middelbare breedten duikt het veld steil de grond in.

Oefening 28.11 ★★★

Eindige spoel. Lengte L=20 cmL = 20\,\mathrm{cm}, straal R=2.0 cmR = 2.0\,\mathrm{cm}, n=2000 m−1n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}, I=3.0 AI = 3.0\,\mathrm{A}. Veld in het midden en aan een uiteinde met de formule uit de cursus; welk deel van de waarde voor de oneindige spoel; op welke afstand erbuiten langs de as is het veld gezakt tot 1%1\% van de waarde in het midden? Schets B(z)B(z) langs de as.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.11.

μ0nI=4π×10−7×2000×3=7.5 mT\mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 3 = 7.5\,\mathrm{mT}. Midden: tan⁡α1=R/(L/2)=0.2\tan\alpha_1 = R/(L/2) = 0.2, cos⁡α1=−cos⁡α2=0.981\cos\alpha_1 = -\cos\alpha_2 = 0.981: B=0.981 μ0nI=7.4 mTB = 0.981\,\mu_0nI = 7.4\,\mathrm{mT} (98%98\%). Uiteinde: cos⁡α1=0\cos\alpha_1 = 0, tan⁡α2=R/L\tan\alpha_2 = R/L, cos⁡α2=−0.995\cos\alpha_2 = -0.995: B=0.497 μ0nI=3.7 mTB = 0.497\,\mu_0nI = 3.7\,\mathrm{mT} (50%50\%). Buiten, op afstand xx voorbij het uiteinde, met beide uiteinden aan dezelfde kant: B=12μ0nI(cos⁡α1−cos⁡α2)≈12μ0nI R22[1/x2−1/(x+L)2]B = \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2) \approx \tfrac12\mu_0nI\,\tfrac{R^2}{2}[1/x^2 - 1/(x + L)^2]; 1%1\% van de waarde in het midden bij x≈10 cmx \approx 10\,\mathrm{cm}, een halve lengte naar buiten. B(z)B(z): een vlakke top over het grootste deel van de lengte, gehalveerd aan de uiteinden en tot enkele procenten een lengte verderop.

Oefening 28.12 ★★★

Magnetische druk. In een lange spoel is het veld BB binnenin en 00 erbuiten; de wikkelingen voeren de oppervlaktestroom K=nIK = nI per meter lengte. (a) Toon aan dat het veld ter plaatse van de wikkelingen, het gemiddelde van binnen en buiten, gelijk is aan B/2B/2, en dat de laplacekracht erop een naar buiten gerichte druk p=B2/2μ0p = B^2/2\mu_0 is. (b) Getallen voor 1 T1\,\mathrm{T}, 10 T10\,\mathrm{T}, 45 T45\,\mathrm{T}; vergelijk met de atmosferische druk en met de treksterkte van staal (1 GPa1\,\mathrm{GPa}). (c) Wat begrenst de sterkste stationaire magneten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.12.

(a) Het eigen veld van de wikkelingen springt over hen heen van 00 naar BB; het veld dat op hen werkt is het gemiddelde, B/2B/2 (het vlak kan niet op zichzelf duwen). Kracht op een wikkelelement met lengte  ⁣dl\dd l en breedte  ⁣dz\dd z dat K  ⁣dzK\,\dd z voert: K  ⁣dz  ⁣dl B/2K\,\dd z\,\dd l\,B/2, radiaal naar buiten (controleer met I  ⁣dl→∧B→I\,\dd\vect l \wedge\vect B): druk p=KB/2=B2/2μ0p = KB/2 = B^2/2\mu_0 omdat K=nI=B/μ0K = nI = B/\mu_0. (b) 1 T1\,\mathrm{T}: 4×105 Pa4 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 4 bar4\,\mathrm{bar}; 10 T10\,\mathrm{T}: 400 bar400\,\mathrm{bar}; 45 T45\,\mathrm{T}: 8×108 Pa8 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 8000 bar8000\,\mathrm{bar}, dicht bij de 1 GPa1\,\mathrm{GPa} van staal. (c) De wikkelingen moeten een druk weerstaan die als B2B^2 groeit: boven ongeveer 40 T40\,\mathrm{T} is geen materiaal en geen koelschema meer opgewassen — de grens van stationaire magneten is mechanisch (en, bij supergeleiders, hun kritische veld).

Een hoogspanningslijn: drie geleiders per circuit waarvan de stromen tot nul optellen, zodat hun velden op afstand tegen elkaar wegvallen. Foto: Stefan Andrej Shambora, CC BY 2.0.
Een hoogspanningslijn: drie geleiders per circuit waarvan de stromen tot nul optellen, zodat hun velden op afstand tegen elkaar wegvallen. Foto: Stefan Andrej Shambora, CC BY 2.0.

28.7 Probleem: De kabel, de lijn en de meter

Probleem 28.1

Weekendopgave — de stelling van Ampère op een coaxkabel, laplacekrachten op een hoogspanningslijn, en het ontwerp van een draaispoelgalvanometer

μ0=4π×10−7\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} SI; soortelijke weerstand van koper ρ=1.7×10−8 Ω m\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}.

Deel I — De coaxkabel. Een kabel voert I=1.0 AI = 1.0\,\mathrm{A} langs een massieve koperen kern met straal a=0.50 mma = 0.50\,\mathrm{mm} en terug langs een mantel met binnenstraal b=2.5 mmb = 2.5\,\mathrm{mm} en buitenstraal c=3.0 mmc = 3.0\,\mathrm{mm}; de stromen zijn gelijkmatig over de doorsnede van elke geleider verdeeld.

  1. Symmetrieën en invarianties: richting van B→\vect B en de variabele waarvan het afhangt.
  2. B(r)B(r) in de kern, tussen de geleiders en buiten de kabel, met de stelling van Ampère.
  3. Waarden in r=ar = a en r=br = b.
  4. De kern wordt vervangen door een dunne koperen buis met dezelfde straal aa die dezelfde stroom voert: wat verandert er in elk gebied?
  5. B(r)B(r) in de mantel (b<r<cb < r < c); controleer de waarden in bb en cc; schets B(r)B(r) van 00 tot 4 mm4\,\mathrm{mm}.
  6. Laplacekracht op de mantel: richting (aantrekking of afstoting ten opzichte van de kern?) en grootte per oppervlakte-eenheid, met het veld op de mantel gelijk aan het gemiddelde van zijn waarden in bb en cc. Idem voor een gepulste stroom van 10 kA10\,\mathrm{kA}.
  7. Waarom gebruikt men de coaxiale meetkunde voor signalen? Vergelijk met een paar evenwijdige draden op d=2 mmd = 2\,\mathrm{mm}: veld op afstand D=10 cmD = 10\,\mathrm{cm} van het paar (superponeer twee draden).

Deel II — De hoogspanningslijn. Twee horizontale geleiders op d=1.0 md = 1.0\,\mathrm{m} afstand, h=10 mh = 10\,\mathrm{m} boven de grond, voeren I=500 AI = 500\,\mathrm{A} in tegengestelde richtingen.

  1. Veld van één geleider in het punt op de grond onder het midden; toon aan dat de twee velden samen een verticaal veld geven en geef de waarde; vergelijk met het aardveld en met de blootstellingsrichtlijn van 100 µT100\,\text{µ}\mathrm{T}.
  2. Toon aan dat het veld van het paar op afstanden D≫dD \gg d afneemt als μ0Id/2πD2\mu_0Id/2\pi D^2: waarom sneller dan bij één draad?
  3. Veld op 1.0 m1.0\,\mathrm{m} onder één geleider, waar een monteur zou kunnen werken.
  4. Kracht per meter tussen de geleiders; aantrekking of afstoting? Idem bij een kortsluitstroom van 20 kA20\,\mathrm{kA}.
  5. Kracht op een overspanning van 300 m300\,\mathrm{m}, normaal en bij kortsluiting; vergelijk met het gewicht van de overspanning (1.0 kg/m1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}); wat doen de lijnen tijdens een kortsluiting?
  6. Een driefasenlijn voert drie stromen met dezelfde amplitude die 120∘120{}^{\circ} verschoven zijn: toon aan dat hun som op elk ogenblik nul is, en wat dat voor het verre veld betekent.
  7. Een kompas in het punt uit vraag 8, waar het horizontale aardveld 2.0×10−5 T2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T} is: buigt het veld van de lijn het af? (Let op de richting ervan.)

Deel III — De draaispoelgalvanometer. Een rechthoekige spoel, N=200N = 200 windingen, met zijden a=2.0 cma = 2.0\,\mathrm{cm} (evenwijdig aan de draaias) en b=3.0 cmb = 3.0\,\mathrm{cm}, draait om haar as in de spleet tussen cilindrische poolschoenen waar het veld, B=0.20 TB = 0.20\,\mathrm{T}, radiaal is: altijd in het vlak van de spoel, loodrecht op haar zijden aa. Een spiraalveer levert het terugdrijvende koppel −Cθ-C\theta met C=1.0×10−5 N m/radC = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}. Traagheidsmoment van spoel en naald: J=6.7×10−8 kg m2J = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}.

  1. Laplacekrachten op de vier zijden; welke leveren een koppel om de as?
  2. Koppel bij een stroom II; waarom maakt het radiale veld het onafhankelijk van θ\theta?
  3. Uitwijking θ\theta in evenwicht; gevoeligheid in radialen per milliampère; stroom voor een volle uitslag van 1.2 rad1.2\,\mathrm{rad}.
  4. De spoel is gewikkeld met koperdraad van 0.10 mm0.10\,\mathrm{mm} doorsnede: weerstand van de spoel; spanning erover en gedissipeerd vermogen bij volle uitslag.
  5. Bewegingsvergelijking van de spoel; eigenperiode van de trillingen om het evenwicht.
  6. De beweging van de spoel in het veld wekt een remmend koppel −αθ˙-\alpha\dot\theta op (Hoofdstuk 29); waarde van α\alpha voor kritische demping, en waarom men die wil.
  7. Serieweerstand om er een voltmeter met volle uitslag 10 V10\,\mathrm{V} van te maken; parallelweerstand om er een ampèremeter met volle uitslag 1.0 A1.0\,\mathrm{A} van te maken.
  8. Magnetisch moment van de spoel bij volle uitslag; energie −m→⋅B→-\vect m\cdot \vect B die zij, uitgelijnd, in een homogeen veld van 0.20 T0.20\,\mathrm{T} zou hebben; vergelijk met de energie die bij volle uitslag in de veer zit.
  9. Was het veld homogeen in plaats van radiaal, toon dan aan dat de schaal niet langer lineair zou zijn: schrijf de evenwichtsvoorwaarde op met θ\theta gemeten vanaf de stand waarin het vlak van de spoel B→\vect B bevat.
  10. Er wordt een stroom van 50 Hz50\,\mathrm{Hz} met amplitude 0.5 mA0.5\,\mathrm{mA} op de meter gezet: wat wijst de naald aan, en waarom? (Vergelijk 50 Hz50\,\mathrm{Hz} met de eigenfrequentie.)
  11. Vat de drie taferelen samen in drie getallen, en zeg welke ene wet elk ervan opleverde.
Oplossing

Oplossing van Probleem 28.1.

1. Elk vlak dat de as bevat is een symmetrievlak van de stromen: B→\vect B staat er loodrecht op, orthoradiaal; door invariantie langs en om de as geldt B→=B(r) e→θ\vect B = B(r)\,\vect e_\theta.

2. Cirkel met straal rr: 2πrB=μ0Ioms2\pi rB = \mu_0I_{\text{oms}}. Kern: Ioms=Ir2/a2I_{\text{oms}} = Ir^2/a^2, B=μ0Ir/2πa2B = \mu_0Ir/2\pi a^2; ertussen: μ0I/2πr\mu_0I/2\pi r; erbuiten (r>cr > c): I−I=0I - I = 0, B=0B = 0.

3. B(a)=2×10−7/5×10−4=4.0×10−4 TB(a) = 2 \times 10^{-7}/5 \times 10^{-4} = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}; B(b)=2×10−7/2.5×10−3=8.0×10−5 TB(b) = 2 \times 10^{-7}/2.5 \times 10^{-3} = 8.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}.

4. Binnen de buis is geen stroom omsloten: daar is B=0B = 0 in plaats van de lineaire stijging; verder verandert er niets — het veld buiten een cilindrische stroom hangt alleen van de totale stroom af.

5. Ioms=I−I(r2−b2)/(c2−b2)=I(c2−r2)/(c2−b2)I_{\text{oms}} = I - I(r^2 - b^2)/(c^2 - b^2) = I(c^2 - r^2)/(c^2 - b^2): B=μ0I2πr c2−r2c2−b2B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}\,\dfrac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2}, gelijk aan μ0I/2πb\mu_0I/2\pi b in bb en aan 00 in cc: continu. Schets: lineair tot 4×10−4 T4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T} op 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm}, dan als 1/r1/r omlaag tot 8×10−5 T8 \times 10^{-5}\,\mathrm{T} op 2.5 mm2.5\,\mathrm{mm}, dalend tot nul op 3 mm3\,\mathrm{mm}, en nul daarbuiten.

6. De stroom in de mantel is tegengesteld aan die in de kern: afstoting, een naar buiten gerichte druk. Oppervlaktestroom K=I/2πb=64 A/mK = I/2\pi b = 64\,\mathrm{A}/\mathrm{m}; gemiddeld veld 12(8×10−5+0)=4×10−5 T\tfrac12(8 \times 10^{-5} + 0) = 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}: p=KB=2.5×10−3 Pap = KB = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}. Bij 10 kA10\,\mathrm{kA}: ×108\times10^8, 2.5×105 Pa2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 2.5 bar2.5\,\mathrm{bar} — kabels voor pulsvermogen zijn erop gebouwd.

7. Geen veld erbuiten: de kabel straalt niets uit en pikt ook geen magnetische storing van zijn buren op. Een paar draden: de twee velden heffen elkaar bijna op, wat ≈μ0Id/2πD2=2×10−7×2×10−3/10−2=4×10−8 T\approx \mu_0Id/2\pi D^2 = 2 \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{-3}/10^{-2} = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{T} op 10 cm10\,\mathrm{cm} overlaat — klein, maar de coaxkabel geeft nul.

8. D=h2+d2/4=10.0 mD = \sqrt{h^2 + d^2/4} = 10.0\,\mathrm{m}: elk geeft μ0I/2πD=1.0×10−5 T\mu_0I/2\pi D = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}, loodrecht op de lijn vanaf de geleider. Omdat de stromen tegengesteld zijn heffen de componenten evenwijdig aan de verbindingslijn van de geleiders elkaar op en tellen de verticale op: B=2×10−5×(d/2)/D=1.0×10−6 TB = 2 \times 10^{-5} \times (d/2)/D = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}, verticaal. Vijftig keer onder het aardveld, honderd keer onder de richtlijn.

9. Voor D≫dD \gg d is B≈μ0I2π(1D1−1D2)∼μ0I2πdD2B \approx \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\Bigl(\dfrac1{D_1} - \dfrac1{D_2}\Bigr) \sim \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\dfrac{d}{D^2}: de twee velden in 1/D1/D heffen elkaar in eerste orde op en alleen hun verschil, van relatieve grootte d/Dd/D, blijft over — een “tweedraadsdipool”.

10. Eigen geleider op 1 m1\,\mathrm{m}: 1.0×10−4 T1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T} horizontaal; de andere op 1.41 m1.41\,\mathrm{m}: 7.1×10−5 T7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{T} onder 45∘45{}^{\circ}, tegengesteld: resultante (5×10−5,5×10−5)(5 \times 10^{-5}, 5 \times 10^{-5}), 7×10−5 T7 \times 10^{-5}\,\mathrm{T} — 70 µT70\,\text{µ}\mathrm{T}, onder de richtlijn voor het publiek en ver onder die voor beroepsmatige blootstelling.

11. F/ℓ=μ0I2/2πd=2×10−7×2.5×105=0.05 N/mF/\ell = \mu_0I^2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^5 = 0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}, afstotend; bij 20 kA20\,\mathrm{kA}: 80 N/m80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}.

12. 15 N15\,\mathrm{N} normaal; 24 kN24\,\mathrm{kN} bij kortsluiting, acht keer het gewicht van de overspanning van 2.9 kN2.9\,\mathrm{kN}: de geleiders worden uiteengeslingerd, zwaaien en kunnen elkaar bij het terugvallen raken — vandaar afstandhouders en beveiligingen die binnen een paar perioden openen.

13. Icos⁡ωt+Icos⁡(ωt−2π/3)+Icos⁡(ωt+2π/3)=Icos⁡ωt (1+2cos⁡2π/3)=0I\cos\omega t + I\cos(\omega t - 2\pi/3) + I\cos(\omega t + 2\pi/3) = I\cos\omega t\,(1 + 2\cos2\pi/3) = 0: de drie fasoren tellen tot nul op. De velden in 1/D1/D heffen elkaar op zoals bij de coaxkabel; het verre veld daalt als 1/D21/D^2 of sneller.

14. Het veld van de lijn is daar verticaal; een kompas reageert alleen op de horizontale component: geen uitslag (de inclinatie verandert met 10−6/(2×10−5)10^{-6}/(2 \times 10^{-5}), drie graden, wat het kompas niet kan tonen).

15. Zijden aa (evenwijdig aan de as): het radiale B→\vect B staat er loodrecht op, kracht NIaBNIaB op elk, loodrecht op het vlak van de spoel en tegengesteld op de twee zijden: een koppel. Zijden bb:  ⁣dl→\dd\vect l is radiaal en evenwijdig aan B→\vect B: geen kracht.

16. Γ=2×NIaB×b/2=NIabB=NISB=0.024 I\Gamma = 2 \times NIaB \times b/2 = NIabB = NISB = 0.024\,I (N m, II in A). Het radiale veld ligt altijd in het vlak van de spoel en loodrecht op de zijden aa: de krachten staan altijd loodrecht op dat vlak en hun arm b/2b/2 verandert nooit.

17. Cθ=NISBC\theta = NISB: θ=2400 I\theta = 2400\,I rad, dus 2.4 rad/mA2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}; volle uitslag 1.2 rad1.2\,\mathrm{rad} bij I=0.50 mAI = 0.50\,\mathrm{mA}.

18. Lengte 200×2(0.02+0.03)=20 m200 \times 2(0.02 + 0.03) = 20\,\mathrm{m}, doorsnede π(5×10−5)2=7.9×10−9 m2\pi(5 \times 10^{-5})^2 = 7.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}: R=1.7×10−8×20/7.9×10−9=43 ΩR = 1.7 \times 10^{-8} \times 20/7.9 \times 10^{-9} = 43\,\Omega; U=43×5×10−4=22 mVU = 43 \times 5 \times 10^{-4} = 22\,\mathrm{mV}; P=UI=11 µWP = UI = 11\,\text{µ}\mathrm{W}.

19. Jθ¨=−Cθ+NISB IJ\ddot\theta = -C\theta + NISB\,I: ω0=C/J=10−5/6.7×10−8=12 rad/s\omega_0 = \sqrt{C/J} = \sqrt{10^{-5}/6.7 \times 10^{-8}} = 12\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}, T=0.51 sT = 0.51\,\mathrm{s}.

20. Jθ¨+αθ˙+Cθ=NISB IJ\ddot\theta + \alpha\dot\theta + C\theta = NISB\,I: kritisch bij α=2JC=26.7×10−13=1.6×10−6 N m s\alpha = 2\sqrt{JC} = 2\sqrt{6.7 \times 10^{-13}} = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}; de naald bereikt haar aanwijzing dan het snelst zonder door te schieten.

21. Voltmeter: Rs=10/5×10−4−43≈20 kΩR_s = 10/5 \times 10^{-4} - 43 \approx 20\,\mathrm{k}\Omega. Ampèremeter: de parallelweerstand voert 0.9995 A0.9995\,\mathrm{A} bij 22 mV22\,\mathrm{mV}: Rsh=22 mΩR_{\text{sh}} = 22\,\mathrm{m}\Omega.

22. m=NIS=200×5×10−4×6×10−4=6×10−5 A m2m = NIS = 200 \times 5 \times 10^{-4} \times 6 \times 10^{-4} = 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}; −mB=−1.2×10−5 J-mB = -1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}; veer 12Cθ2=12×10−5×1.44=7.2×10−6 J\tfrac12C\theta^2 = \tfrac12 \times 10^{-5} \times 1.44 = 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}: dezelfde orde — de veer slaat op wat het magnetische koppel heeft verricht terwijl de spoel draaide.

23. In een homogeen veld is het koppel mBcos⁡θmB\cos\theta (maximaal wanneer het vlak B→\vect B bevat, nul wanneer de normaal erlangs ligt): Cθ=NISB Icos⁡θC\theta = NISB\,I\cos\theta — alleen lineair voor kleine θ\theta, samengedrukt aan de bovenkant van de schaal.

24. 50 Hz50\,\mathrm{Hz} tegen ω0/2π=2 Hz\omega_0/2\pi = 2\,\mathrm{Hz}: de spoel kan het niet volgen; zij blijft op het gemiddelde van de stroom staan, nul, met een trilling met amplitude ≈θstat(ω0/ω)2=1.2×(12/314)2≈2×10−3 rad\approx \theta_{\text{stat}}(\omega_0/\omega)^2 = 1.2 \times (12/314)^2 \approx 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}, onzichtbaar. Een draaispoelmeter leest het gemiddelde af — voor wisselstroom heeft zij een gelijkrichter nodig.

25. 4×10−4 T4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T} in de kern van een coaxkabel met 1 A1\,\mathrm{A} en niets erbuiten (de stelling van Ampère); 1 µT1\,\text{µ}\mathrm{T} onder een lijn met 500 A500\,\mathrm{A} en 0.05 N/m0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m} tussen haar geleiders (Biot–Savart plus Laplace); 2.4 rad/mA2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA} voor de meter (laplacekoppel tegen een veer).

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst