Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

16Centrale krachten: planeten en satellieten

Eenendertig satellieten draaien twee keer per dag om de aarde, elk een klok en een radiozender, en een telefoon die er vier hoort weet tot op enkele meters waar zij is. De komeet van Halley valt achtendertig jaar lang naar de zon, zwaait er in een paar weken omheen en klimt er weer achtendertig jaar vandaan. Een sonde op weg naar Mars verlaat de aarde met precies de snelheid die haar baan de baan van Mars laat raken. Dit alles is de beweging van een lichaam dat naar een vast punt wordt aangetrokken door een kracht die afneemt als het omgekeerde kwadraat van de afstand, en het volgt alles uit twee behouden grootheden — energie en impulsmoment — plus één nieuw idee, de effectieve potentiaal. Dit hoofdstuk leidt de vormen en de snelheden van de banen af, de drie wetten van Kepler, en het rekenwerk om een satelliet te zetten waar men hem hebben wil.

16.1 Centrale conservatieve krachten

Definitie 16.1 (Centrale kracht; centrale conservatieve kracht)

Een kracht heet centraal met centrum $O$ als zij altijd langs $\vect{OM}$ is gericht: $\vect F = F(M)\,\vect e_r$ . Zij is centraal conservatief als haar grootte alleen van $r = OM$ afhangt: $\vect F = F(r)\,\vect e_r$ , wat afgeleid wordt van een potentiële energie $E_p(r)$ met $F(r) = -\dd E_p/\dd r$ .

Stelling 16.2 (Beweging onder een centrale conservatieve kracht)

Een puntmassa met massa $m$ die alleen aan een centrale conservatieve kracht is onderworpen:

behoudt haar impulsmoment $\vect L_O$ ; haar beweging is vlak en, in poolcoördinaten in dat vlak, is $r^2\dot\theta = C$ constant (perkenwet, Gevolg 15.5);
behoudt haar mechanische energie $E_m = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\theta^2) + E_p(r)$ , die te schrijven is als

$E_m = \tfrac12 m\dot r^2 + E_{p,\mathrm{eff}}(r), \qquad E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_p(r) + \frac{mC^2}{2r^2} = E_p(r) + \frac{L^2}{2mr^2} .$

De radiale beweging is dus die van een eendimensionale massa in de effectieve potentiaal $E_{p,\mathrm{eff}}$ : de radiale keerpunten zijn de wortels van $E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_m$ , de beweging is gebonden als zij tussen twee daarvan gevangen zit, en cirkelvormig als $r$ in een minimum van $E_{p,\mathrm{eff}}$ ligt.

Bewijs. Punt 1 is Gevolg 15.5. De kracht is conservatief en er werkt geen andere kracht, dus blijft $E_m$ behouden; in het vlak is $v^2 = \dot r^2 + r^2\dot\theta^2$ en $r^2\dot\theta^2 = C^2/r^2$ . De term $mC^2/2r^2$ , de kinetische energie van de hoekbeweging, werkt in het radiale probleem als een afstotende centrifugale barrière, waarop de eendimensionale analyse van Hoofdstuk 13 van toepassing is. ∎

16.2 Newtoniaanse gravitatie

Definitie 16.3 (Universele gravitatie)

Een puntmassa $M$ in $O$ trekt een puntmassa $m$ in $M$ aan met

\vect F = -\frac{GMm}{r^2}\,\vect e_r, \qquad E_p = -\frac{GMm}{r} \quad (E_p \to 0 \text{ in het oneindige}),

$G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ . Een bolsymmetrisch lichaam trekt buiten zichzelf aan alsof zijn massa in zijn middelpunt zat (aangenomen; een gevolg van de stelling van Gauss, Hoofdstuk 26).

Propositie 16.4 (De effectieve potentiaal van de gravitatie)

Voor $E_p = -GMm/r$ is

E_{p,\mathrm{eff}}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2}

gelijk aan $+\infty$ in de limiet $r \to 0$ (bij $L \neq 0$ ), aan $0^-$ in het oneindige, en heeft zij één minimum in $r_c = L^2/GMm^2$ , met waarde $-G^2M^2m^3/2L^2$ . Dus: $E_m < 0$ — gebonden beweging tussen een kleinste en een grootste straal (perigeum en apogeum); $E_m \geq 0$ — ongebonden, het lichaam komt uit het oneindige en keert erheen terug; $E_m$ gelijk aan het minimum — cirkelbaan met straal $r_c$ .

Bewijs. De limieten zijn af te lezen; $E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ in $r_c$ ; invullen. Het cirkelvormige geval is $\dot r = 0$ voor altijd, en dat kan alleen in het minimum. ∎

De effectieve potentiaal van de newtoniaanse gravitatie: de aantrekking -GMm/r plus de centrifugale barrière L2/2mr2. Onder energie nul zit de radiale beweging gevangen tussen twee keerpunten (perigeum, apogeum); in het minimum is de baan cirkelvormig; bij of boven nul ontsnapt het lichaam. — De effectieve potentiaal van de newtoniaanse gravitatie: de aantrekking $-GMm/r$ plus de centrifugale barrière $L^2/2mr^2$ . Onder energie nul zit de radiale beweging gevangen tussen twee keerpunten (perigeum, apogeum); in het minimum is de baan cirkelvormig; bij of boven nul ontsnapt het lichaam.

Stelling 16.5 (Cirkelbanen)

Op een cirkelbaan met straal $r$ om een massa $M$ :

v = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \qquad E_m = -\frac{GMm}{2r} = -E_k = \tfrac12 E_p .

In het bijzonder is $T^2/r^3 = 4\pi^2/GM$ hetzelfde voor alle cirkelbanen om hetzelfde centrum (de derde wet van Kepler).

Bewijs. Een eenparige cirkelbeweging vergt de centripetale kracht $mv^2/r = GMm/r^2$ ; $T = 2\pi r/v$ ; $E_k = \tfrac12 mv^2 = GMm/2r$ en $E_p = -GMm/r$ . ∎

Voorbeeld 16.6 (Drie banen)

$GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ . Lage baan ( $r = 6770\,\mathrm{km}$ , $400\,\mathrm{km}$ hoog): $v = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $T = 92\,\mathrm{min}$ . Geostationair ( $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ , één sterrendag): $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = 42\,200\,\mathrm{km}$ , $v = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . De maan ( $r = 384\,000\,\mathrm{km}$ ): $T = 27.4\,\mathrm{d}$ — en haar centripetale versnelling $v^2/r = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ is $g/3600$ op zestig aardstralen: het omgekeerde kwadraat, door Newton zelf nagerekend.

16.3 De wetten van Kepler en de vorm van de banen

Stelling 16.7 (Banen in een newtoniaans veld)

De baan van een lichaam in het veld van een vaste massa $M$ is een kegelsnede met $O$ in een brandpunt: een ellips als $E_m < 0$ , een parabool als $E_m = 0$ , een hyperbool als $E_m > 0$ . Voor de ellips met halve lange as $a$ en excentriciteit $e$ :

(Kepler I) het krachtcentrum ligt in een brandpunt; perigeum en apogeum liggen bij $r_p = a(1 - e)$ en $r_a = a(1 + e)$ ;
(Kepler II) de perksnelheid is constant (de perkenwet);
(Kepler III) de omlooptijd voldoet aan $T^2 = 4\pi^2a^3/GM$ ;
de energie hangt alleen van $a$ af, $E_m = -GMm/2a$ , zodat de snelheid op afstand $r$ gegeven wordt door

$v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right) .$

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 16.8 (Wat bewezen is en wat wordt aangenomen)

Kepler II en de indeling naar energie zijn hierboven bewezen. Dat de gebonden banen precies ellipsen zijn met $O$ in een brandpunt, met Kepler III en $E_m = -GMm/2a$ in het algemeen, vergt de integratie van de radiale vergelijking (het volume van jaar 2 doet dat); voor cirkelbanen ( $a = r$ , $e = 0$ ) valt elke uitspraak terug op Stelling 16.5, en dat is de controle die wij hier kunnen uitvoeren. De betrekking $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ volgt uit $E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/r = -GMm/2a$ zodra die energieformule is toegegeven.

Links: een elliptische baan om het brandpunt O — halve lange as a, halve korte as b, brandpuntsafstand c = ea; het lichaam is het snelst in het perigeum P en het traagst in het apogeum A. Rechts: een hyperbool (positieve energie) en een parabool (energie nul) om hetzelfde brandpunt — de ongebonden banen van kometen en sondes. — Links: een elliptische baan om het brandpunt $O$ — halve lange as $a$ , halve korte as $b$ , brandpuntsafstand $c = ea$ ; het lichaam is het snelst in het perigeum $P$ en het traagst in het apogeum $A$ . Rechts: een hyperbool (positieve energie) en een parabool (energie nul) om hetzelfde brandpunt — de ongebonden banen van kometen en sondes.

Voorbeeld 16.9 (De komeet van Halley)

Perihelium $0.586\,\mathrm{AU}$ , aphelium $35.1\,\mathrm{AU}$ : $a = 17.8\,\mathrm{AU}$ , $e = 0.967$ , $T = \sqrt{17.8^3} = 75\,\mathrm{jaar}$ (Kepler III in astronomische eenheden en jaren, waar $T^2 = a^3$ geldt voor de zon). Met $GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ is de snelheid in het perihelium $\sqrt{GM(2/r_p - 1/a)} = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en in het aphelium $0.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — zestig keer trager, zoals de perkenwet eist ( $r_pv_p = r_av_a$ ).

16.4 Satellieten

Propositie 16.10 (Ontsnappingssnelheid; geostationaire baan)

Vanaf het oppervlak van een lichaam met massa $M$ en straal $R$ is de kleinste lanceersnelheid om het oneindige te bereiken $v_e = \sqrt{2GM/R} = \sqrt2\,v_c$ , waarin $v_c = \sqrt{GM/R}$ de cirkelsnelheid aan de grond is: $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ voor de aarde. Een geostationaire satelliet draait in het vlak van de evenaar mee met de sterrendag van de aarde, op $r = 42\,200\,\mathrm{km}$ ( $35\,800\,\mathrm{km}$ boven de grond).

Bewijs. $E_m \geq 0$ : $\tfrac12 mv_e^2 - GMm/R = 0$ . Kepler III met $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ . ∎

Propositie 16.11 (Hohmann-transfer)

Om een satelliet met twee korte stuwstoten van een cirkelbaan met straal $r_1$ naar een cirkelbaan met straal $r_2 > r_1$ in hetzelfde vlak te brengen: geef bij $r_1$ een stoot om de transferellips met perigeum $r_1$ en apogeum $r_2$ ( $a = (r_1 + r_2)/2$ ) op te gaan, zweef een halve periode mee, en geef bij $r_2$ opnieuw een stoot om de baan cirkelvormig te maken:

\Delta v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r_1}}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1 + r_2}} - 1\right), \qquad \Delta v_2 = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}\left(1 - \sqrt{\frac{2r_1}{r_1 + r_2}}\right), \qquad t = \pi\sqrt{\frac{(r_1 + r_2)^3}{8GM}} .

Bewijs. De snelheden op de transferellips uit $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ in $r_1$ en $r_2$ ; trek daar de cirkelsnelheden van af; de halve omlooptijd uit Stelling 16.7. ∎

Een Hohmann-transfer tussen twee cirkelbanen: een eerste stuwstoot op de binnenste baan tilt het apogeum op tot r_2; een halve ellips later tilt een tweede stoot het perigeum op — de zuinigste route met twee stoten, en die welke een sonde naar Mars brengt. — Een Hohmann-transfer tussen twee cirkelbanen: een eerste stuwstoot op de binnenste baan tilt het apogeum op tot $r_2$ ; een halve ellips later tilt een tweede stoot het perigeum op — de zuinigste route met twee stoten, en die welke een sonde naar Mars brengt.

Voorbeeld 16.12 (Van lage baan naar geostationair)

$r_1 = 6770\,\mathrm{km}$ , $r_2 = 42\,200\,\mathrm{km}$ : $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $\Delta v_2 = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $5.3\,\mathrm{h}$ meezweven. Het totaal, $3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , is de helft van wat de lancering naar de lage baan al kostte: de “laatste kilometer” naar een hoge baan is duur, en satellieten dragen daarvoor hun eigen motor mee.

Opmerking 16.13 (Afstotende centra)

Bij een afstotende kracht die gaat als het omgekeerde kwadraat (twee gelijknamige ladingen, Hoofdstuk 26) heeft de effectieve potentiaal geen kuil: elke baan is een hyperbool, het deeltje nadert, wordt afgebogen en vertrekt weer. Richt men een $\alpha$ -deeltje recht op een goudkern, dan volgt zijn kleinste naderingsafstand alleen uit de energie, $E_k = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0 r_{\min}$ — de manier waarop Rutherford de grootte van de kern afschatte (Oefening 16.11).

16.5 Oefeningen

Oefening 16.1 ★

Het internationale ruimtestation draait op $400\,\mathrm{km}$ hoogte ( $R_\oplus = 6370\,\mathrm{km}$ , $GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ ). Snelheid, omlooptijd, aantal zonsopgangen dat de bemanning per dag ziet.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.1.

$r = 6770\,\mathrm{km}$ : $v = \sqrt{GM/r} = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi r/v = 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s} = 92\,\mathrm{min}$ ; $1440/92 \approx 16$ zonsopgangen per dag.

Oefening 16.2 ★

Bepaal straal en hoogte van de geostationaire baan uit de sterrendag $86\,164\,\mathrm{s}$ , en de baansnelheid.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.2.

$r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.99\times10^{14} \times 7.42\times10^9/39.5)^{1/3} = 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ : hoogte $35\,800\,\mathrm{km}$ ; $v = 2\pi r/T = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Oefening 16.3 ★

Ontsnappingssnelheid van de aarde en van de maan ( $GM = 4.90 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $R = 1740\,\mathrm{km}$ ). Waarom houdt de maan geen atmosfeer vast?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.3.

$v_e = \sqrt{2GM/R}$ : aarde $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; maan $\sqrt{2 \times 4.90\times 10^{12}/1.74\times10^6} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Gasmoleculen met enkele honderden meters per seconde hebben een staart van hun snelheidsverdeling boven $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; over geologische tijden lekte het gas van de maan weg.

Oefening 16.4 ★

Mars heeft $a = 1.524\,\mathrm{AU}$ , Jupiter $5.20\,\mathrm{AU}$ : hun jaren, met de derde wet van Kepler. Een lichaam op $30\,\mathrm{AU}$ (Neptunus)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.4.

$T = a^{3/2}$ (jaren, AU): Mars $1.88\,\mathrm{yr}$ ; Jupiter $11.9\,\mathrm{yr}$ ; $30\,\mathrm{AU}$ : $164\,\mathrm{yr}$ .

Oefening 16.5 ★★

Energie om $1000\,\mathrm{kg}$ in de baan van het ruimtestation te brengen, vertrekkend uit rust aan het oppervlak (verwaarloos de aardrotatie en de lucht). Vergelijk met de chemische energie van benzine ( $46\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.5.

$\Delta E = \tfrac12 mv^2 + GMm(1/R - 1/r) = 2.94\times10^{10} + 3.99\times 10^{17} \times (1.570 - 1.477)\times10^{-7} = 2.94\times10^{10} + 0.37\times 10^{10} = 3.3 \times 10^{10}\,\mathrm{J}$ — $33\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ , de energie van $0.7\,\mathrm{kg}$ benzine per kilogram die in een baan wordt gebracht (raketten hebben veel meer nodig, omdat zij hun eigen brandstof moeten meetillen).

Oefening 16.6 ★★

De komeet van Halley: perihelium $0.586\,\mathrm{AU}$ , aphelium $35.1\,\mathrm{AU}$ . Bereken $a$ , $e$ , de omlooptijd en de snelheden in het perihelium en het aphelium ( $GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $1\,\mathrm{AU} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.6.

$a = (0.586 + 35.1)/2 = 17.8\,\mathrm{AU}$ ; $e = (35.1 - 0.586)/35.7 = 0.967$ ; $T = 17.8^{3/2} = 75\,\mathrm{yr}$ . $v_p^2 = GM(2/r_p - 1/a)$ met $r_p = 8.77\times10^{10}$ m, $a = 2.67\times10^{12}$ m: $v_p = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $v_a = v_pr_p/r_a = 0.91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Oefening 16.7 ★★

Hohmann-transfer van de baan van het ruimtestation ( $6770\,\mathrm{km}$ ) naar de geostationaire baan ( $42\,200\,\mathrm{km}$ ): beide stuwstoten, het totaal en de duur.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.7.

$a = 24\,490\,\mathrm{km}$ . $v_1 = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; op de ellips in $r_1$ : $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} = 10.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . In $r_2$ : $\sqrt{GM(2/r_2 - 1/a)} = 1.62\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , cirkelvormig $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : $\Delta v_2 = 1.45\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Totaal $3.85\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; duur $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{s} = 5.3\,\mathrm{h}$ .

Oefening 16.8 ★★

Toon aan dat het minimum van $E_{p,\mathrm{eff}}$ in $r_c = L^2/GMm^2$ ligt, en dat kleine radiale trillingen eromheen de hoekfrequentie $\sqrt{GM/r_c^3}$ hebben — de omloopfrequentie zelf. Wat zegt dat over een licht verstoorde cirkelbaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.8.

$E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ in $r_c = L^2/GMm^2$ . $E_{p,\mathrm{eff}}'' = -2GMm/r^3 + 3L^2/mr^4$ ; in $r_c$ geeft $L^2 = GMm^2r_c$ dat $E'' = GMm/r_c^3$ , dus $\omega_r^2 = E''/m = GM/r_c^3 = \omega_{\text{baan}}^2$ . Een kleine radiale verstoring trilt precies eens per omloop: de baan sluit zichzelf — een licht excentrische ellips, geen rozet.

Oefening 16.9 ★★

Astronauten aan boord van het ruimtestation zweven. Verklaar dat met de krachten; hoe groot is $g$ op hun hoogte, en waarom is dat niet in tegenspraak met dat zweven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.9.

Op station en bemanning werkt alleen de zwaartekracht; beide vallen op dezelfde baan, zodat er tussen hen geen contactkracht nodig is — geen vloer die duwt, vandaar de “gewichtloosheid”. $g = GM/r^2 = 3.99\times10^{14}/(6.77\times10^6)^2 = 8.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : de zwaartekracht is bijna op volle sterkte; het gewicht is niet afwezig, het gaat volledig op aan het krommen van de baan.

Oefening 16.10 ★★★

Newtons “maanproef”: bereken de centripetale versnelling van de maan uit $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ en $T = 27.3\,\mathrm{d}$ , en vergelijk haar met $g(R/r)^2$ . Trek een conclusie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.10.

$a = 4\pi^2r/T^2 = 39.5 \times 3.84\times10^8/(2.36\times10^6)^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $g(R/r)^2 = 9.81/60.3^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : dezelfde krachtwet die een appel laat vallen houdt de maan vast, verdund als $1/r^2$ .

Oefening 16.11 ★★★

Een $\alpha$ -deeltje ( $q = 2e$ , $E_k = 5.0\,\mathrm{MeV}$ ) wordt recht op een goudkern ( $Z = 79$ ) afgeschoten, die vast wordt verondersteld. Bepaal met behoud van energie en $E_p = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r$ ( $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$ ) de kleinste naderingsafstand; vergelijk die met de kernstraal, ongeveer $7\,\mathrm{fm}$ . Welke energie zou nodig zijn om de kern te raken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.11.

$E_k = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r_{\min}$ : $r_{\min} = 8.99\times10^9 \times 2 \times 79 \times (1.60\times10^{-19})^2/8.0\times10^{-13} = 4.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{m} = 45\,\mathrm{fm}$ , zesmaal de kernstraal: het $\alpha$ -deeltje keert om vóór het de kern raakt. Om $7\,\mathrm{fm}$ te bereiken: $E_k \approx 32\,\mathrm{MeV}$ .

Oefening 16.12 ★★★

Een satelliet in een lage baan wordt afgeremd door de resterende atmosfeer, zodat zijn mechanische energie afneemt. Toon met $E_m = -GMm/2r$ en $v = \sqrt{GM/r}$ aan dat hij daardoor sneller gaat. Waar blijft de energie, en welk deel van de verloren potentiële energie wordt warmte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.12.

$E_m = -GMm/2r$ neemt af $\Rightarrow$ $r$ neemt af $\Rightarrow$ $v = \sqrt{GM/r}$ neemt toe. De kinetische energie $GMm/2r$ stijgt met $\abs{\Delta E}$ terwijl de potentiële energie $-GMm/r$ daalt met $2\abs{\Delta E}$ : de helft van de vrijkomende potentiële energie wordt kinetisch, de helft wordt door de weerstand als warmte gedissipeerd.

Een GPS-satelliet (impressie van NASA): een van de ruim dertig in de constellatie op 20\,200\, km uit de weekendopgave, elk een klok in een keplerbaan. — Een GPS-satelliet (impressie van NASA): een van de ruim dertig in de constellatie op $20\,200\,\mathrm{km}$ uit de weekendopgave, elk een klok in een keplerbaan.

16.6 Probleem: De satellieten die je vertellen waar je bent

Probleem 16.1

Weekendopgave — een navigatieconstellatie twintigduizend kilometer hoog: haar baan, de brandstof om er te komen, hoeveel satellieten een telefoon ziet, en waarom hun klokken opzettelijk te langzaam moeten lopen

Gegevens: $GM_\oplus = 3.986 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $R_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$ , sterrendag $86\,164\,\mathrm{s}$ , $c = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De satellieten draaien in precies een halve sterrendag op cirkelbanen om de aarde.

Deel I — De baan.

Bereken de straal van de baan en de hoogte.
Bereken de baansnelheid.
Bereken de versnelling van de satelliet en vergelijk haar met $g$ aan het oppervlak.
Bereken de mechanische energie per kilogram, en het kinetische en het potentiële deel.
Waarom een halve sterrendag en niet een halve zonnedag? Wat ziet een waarnemer op de grond zich herhalen?
Onder welke hoek ziet men vanaf een satelliet de schijf van de aarde?
Vergelijk de straal van deze baan met die van de geostationaire; welke ligt hoger, en met welke factor?

Deel II — Erheen komen.

Energie per kilogram om van rust aan het oppervlak naar de eindbaan te gaan (verwaarloos de lucht en de aardrotatie).
De draagraket bereikt eerst een lage cirkelbaan op $400\,\mathrm{km}$ . Snelheid daar?
Hohmann-transfer van die baan naar de eindbaan: de twee stuwstoten en hun som.
Duur van de transfer.
Vergelijk de som van de stoten met de ontsnappingssnelheid vanuit de lage baan: hoe ver is deze vlucht van “de aarde verlaten”?
Bovenste trap en satelliet wegen samen $2000\,\mathrm{kg}$ vóór de transfer; de uitstroomsnelheid van de motor is $3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en de raketvergelijking geeft $\Delta v = u\ln(m_0/m_1)$ . Hoeveel stuwstof vergen de twee stoten?

Deel III — Dekking en tijdmeting.

Een satelliet is zichtbaar vanuit elk punt van de aarde dat binnen de kegel met halve tophoek $\theta$ ligt, waarbij $\cos\theta = R/r$ , om de lijn aarde–satelliet. Bereken $\theta$ en het deel $(1 - \cos\theta)/2$ van het aardoppervlak dat hij bestrijkt.
Met $24$ gelijkmatig verdeelde satellieten: hoeveel zijn er gemiddeld zichtbaar vanuit één punt? Is het minimum van $4$ dat een plaatsbepaling vergt aannemelijk?
Looptijd van het licht vanaf een satelliet in het zenit; aan de horizon.
Om de ontvanger tot op $3\,\mathrm{m}$ te plaatsen: met welke nauwkeurigheid moet de aankomsttijd van de signalen worden gemeten?
De klok van de ontvanger zelf is goedkoop kwarts en wijkt milliseconden af: waarom zijn er vier satellieten nodig in plaats van drie?
De klokken van de satellieten zijn atoomklokken. Geef de relatieve stabiliteit die nodig is voor een fout van $3\,\mathrm{m}$ na één dag.

Deel IV — Kort over relativiteit. Twee effecten verschuiven de satellietklokken ten opzichte van klokken op de grond (formules aangenomen, uit het volume van jaar 3): beweging vertraagt een klok met het deel $v^2/2c^2$ ; hoogte versnelt haar met $GM(1/R - 1/r)/c^2$ .

Bereken de vertraging door de snelheid, in microseconden per dag.
Bereken de versnelling door de hoogte, in microseconden per dag.
Het netto-effect, en de plaatsfout die het per dag zou geven als het niet werd gecorrigeerd.
De satellietklokken worden vóór de lancering op $10.229\,999\,995\,43\,\mathrm{MHz}$ gezet in plaats van $10.23\,\mathrm{MHz}$ . Ga na dat dit het netto-effect compenseert.
De banen zijn niet precies keplerbanen: noem drie storingen en zeg hoe het systeem daarmee omgaat.
Vat de keten samen: twee behoudswetten, één baan, één constellatie, en de ene correctie die niemand had verwacht.

Oplossing

Oplossing van Probleem 16.1.

1. $T = 43\,082\,\mathrm{s}$ : $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.986\times10^{14} \times 1.856\times10^9/39.48)^{1/3} = 2.656 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ; hoogte $20\,190\,\mathrm{km}$ .

2. $v = \sqrt{GM/r} = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

3. $a = v^2/r = GM/r^2 = 0.565\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = g(R/r)^2$ , zeventien keer zwakker dan aan het oppervlak — maar niet nul: de satelliet valt onophoudelijk om de aarde heen.

4. $E_m/m = -GM/2r = -7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ; $E_k/m = +7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ , $E_p/m = -15.0\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ .

5. De aarde draait één keer per sterrendag ten opzichte van de sterren (het stelsel van de baan); na twee omlopen staat de satelliet weer boven hetzelfde punt op de grond: de grondsporen herhalen zich elke sterrendag.

6. $\sin\beta = R/r = 0.240$ : $\beta = 13.9^\circ$ , een schijf van $28^\circ$ breed.

7. Geostationair $42\,200\,\mathrm{km}$ : $1.59$ keer hoger; de navigatiebaan ligt eronder.

8. $GM(1/R - 1/2r) = 3.986\times10^{14}(1.570\times10^{-7} - 1.88\times 10^{-8}) = 5.5 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} = 55\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ .

9. $r_1 = 6771\,\mathrm{km}$ : $v = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

10. $a = 16\,665\,\mathrm{km}$ ; in $r_1$ : $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} = 9.69\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $\Delta v_1 = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; in $r_2$ : $2.47\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ tegen cirkelvormig $3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $\Delta v_2 = 1.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; totaal $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

11. $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.07 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 3.0\,\mathrm{h}$ .

12. Ontsnappen uit de lage baan: $(\sqrt2 - 1)\times 7.67 = 3.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : de $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ van deze vlucht overtreft dat — deze baan bereiken kost ongeveer evenveel als de aarde helemaal verlaten.

13. $m_0/m_1 = \eu^{3.4/3.0} = 3.1$ : $m_1 = 640\,\mathrm{kg}$ , stuwstof $1360\,\mathrm{kg}$ — twee derde van de massa.

14. $\cos\theta = 0.240$ , $\theta = 76^\circ$ ; deel $(1 - 0.240)/2 = 0.38$ .

15. $24 \times 0.38 = 9$ gemiddeld; vier wordt bijna altijd ruimschoots overtroffen.

16. Zenit: $2.02\times10^7/c = 67\,\mathrm{ms}$ ; horizon: afstand $\sqrt{r^2 - R^2} = 2.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ , $86\,\mathrm{ms}$ .

17. $3/c = 10\,\mathrm{ns}$ .

18. De klokafwijking van de ontvanger is een vierde onbekende naast zijn drie coördinaten: vier afstanden, vier vergelijkingen.

19. $10^{-8}\ \mathrm{s}/86\,400\,\mathrm{s} \approx 1 \times 10^{-13}$ .

20. $v^2/2c^2 = (3874)^2/(2 \times 8.99\times10^{16}) = 8.3 \times 10^{-11}$ : $8.3\times10^{-11} \times 86400 = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ per dag, te langzaam.

21. $GM(1/R - 1/r)/c^2 = 3.986\times10^{14} \times 1.19\times10^{-7}/ 8.99\times10^{16} = 5.3 \times 10^{-10}$ : $45.7\,\text{µ}\mathrm{s}$ per dag, te snel.

22. Netto $+38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ per dag; $c \times 38.5\times10^{-6} = 11.5\,\mathrm{km}$ fout per dag.

23. $(10.23 - 10.22999999543)/10.23 = 4.47 \times 10^{-10}$ , in overeenstemming met het netto $4.5\times10^{-10}$ ( $38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ over $86\,400\,\mathrm{s}$ ).

24. De afplatting van de aarde aan de evenaar, de aantrekking van maan en zon, de stralingsdruk van de zon (en kleine correctiestoten): het grondsegment meet de banen voortdurend en zendt verse efemeriden omhoog, die de satellieten uitzenden.

25. Energie en impulsmoment leggen een cirkelbaan vast zodra haar omlooptijd bekend is; Kepler III plaatst haar; de meetkunde bepaalt dekking en looptijden; en de klokken — het hart van het systeem — moeten voor de relativiteit worden gecorrigeerd met $38\,\text{µ}\mathrm{s}$ per dag, anders loopt de plaatsbepaling tegen de avond tien kilometer weg.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst