Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

5Voortplanting van signalen: lopende en staande golven

Tokkel een gitaarsnaar aan en een hele zaal hoort een toon; leg een vinger licht op het midden en de toon springt een octaaf omhoog. Ga tussen twee luidsprekers staan die dezelfde toon spelen en je passeert al wandelend om de paar decimeter een plek van bijna volledige stilte. Licht uit twee gaatjes schildert strepen op een scherm. In geen van deze gevallen wordt er iets van de ene plaats naar de andere gedragen — geen lucht, geen snaar, geen glas verplaatst zich — en toch plant zich iets voort: een signaal. Dit hoofdstuk beschrijft hoe een signaal zich verplaatst, wat een sinusvormige golf is en wat er gebeurt wanneer twee golven elkaar ontmoeten: de wiskunde van superpositie, interferentie en staande golven, die elk later golfhoofdstuk — akoestiek, optica en kwantumfysica — opnieuw gebruikt.

Zes snaren, zes grondfrequenties: elke snaar is een staande golf die aan de topkam en de kam is vastgelegd, en de vingers verkorten haar om de toonhoogte te verhogen.

5.1 Signalen

Definitie 5.1 (Signaal; sinusvormig signaal)

Een signaal is een natuurkundige grootheid die in de tijd verandert en informatie draagt: de akoestische overdruk aan een microfoon, de spanning aan een antenne, de dwarsuitwijking van een punt van een snaar. Het sinusvormige signaal

s(t) = A\cos(\omega t + \varphi)

heeft amplitude $A > 0$ , hoekfrequentie $\omega$ ( $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ), frequentie $f = \omega/2\pi$ , periode $T = 1/f$ en beginfase $\varphi$ ; $\omega t + \varphi$ is zijn fase op tijdstip $t$ .

Opmerking 5.2 (Spectrum)

Elk periodiek signaal met periode $T$ is een som van sinussen met frequenties $f_1 = 1/T$ (de grondtoon) en veelvouden $nf_1$ daarvan (de harmonischen); de lijst van hun amplitudes is het spectrum van het signaal. Een fluit en een viool die dezelfde noot spelen delen de grondtoon en verschillen in spectrum — dat is klankkleur. De ontbinding (die van Fourier) wordt geformuleerd en gebruikt in Hoofdstuk 9; hier telt zij omdat sinussen zich eenvoudig voortplanten, en wat voor elke sinus geldt, geldt door optelling voor elk signaal.

Propositie 5.3 (Zwevingen)

De som van twee sinussen met gelijke amplitude en nabije frequenties $f_1 > f_2$ ,

A\cos(2\pi f_1 t) + A\cos(2\pi f_2 t) = 2A\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 - f_2}{2}\,t\big)\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 + f_2}{2}\,t\big),

is een sinus met de gemiddelde frequentie waarvan de amplitude $\abs{2A\cos(\pi(f_1 - f_2)t)}$ aanzwelt en wegebt met de zwevingsfrequentie $f_1 - f_2$ .

Bewijs. $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ . De trage factor wordt twee keer nul per eigen periode $2/(f_1 - f_2)$ , zodat de omhullende $\abs{\cdot}$ frequentie $f_1 - f_2$ heeft. ∎

Zwevingen tussen 22\, Hz en 20\, Hz: een trilling van 21\, Hz waarvan de omhullende (streepjes) twee keer per seconde zweeft — het verschil van de frequenties. — Zwevingen tussen $22\,\mathrm{Hz}$ en $20\,\mathrm{Hz}$ : een trilling van $21\,\mathrm{Hz}$ waarvan de omhullende (streepjes) twee keer per seconde zweeft — het verschil van de frequenties.

Voorbeeld 5.4 (Op het gehoor stemmen)

Een stemvork van $440\,\mathrm{Hz}$ en een snaar van $443\,\mathrm{Hz}$ die samen klinken bonzen drie keer per seconde; de snaar aanspannen vertraagt het bonzen, en als het ophoudt is de snaar zuiver. Het oor hoort de gemiddelde frequentie ( $441.5\,\mathrm{Hz}$ ) als toonhoogte en de omhullende van $3\,\mathrm{Hz}$ als schommelende luidheid: zwevingen maken een frequentieverschil van minder dan een procent hoorbaar.

5.2 Lopende golven

Definitie 5.5 (Lopende golf, voortplantingssnelheid)

Een signaal $s(x, t)$ dat langs een as is gedefinieerd is een lopende golf die zich in de richting $+x$ verplaatst met voortplantingssnelheid $c$ als

s(x, t) = f\!\left(t - \frac{x}{c}\right) = F(x - ct)

voor een zekere functie $f$ (of $F$ ): de vorm wordt onvervormd meegevoerd, over $c\,\Delta t$ verschoven in de tijd $\Delta t$ . Een golf die naar $-x$ loopt is $g(t + x/c)$ . Een medium waarin elke vorm zich onvervormd voortplant met dezelfde $c$ heet niet-dispersief.

Propositie 5.6 (Vertraging)

Het signaal dat in $x_2$ wordt ontvangen is het signaal dat in $x_1 < x_2$ is uitgezonden, vertraagd over $\tau = (x_2 - x_1)/c$ : $s(x_2, t) = s(x_1, t - \tau)$ .

Bewijs. $s(x_2, t) = f(t - x_2/c) = f\big((t - \tau) - x_1/c\big) = s(x_1, t - \tau)$ . ∎

Voorbeeld 5.7 (Voortplantingssnelheden)

Geluid in lucht, $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : donder $3\,\mathrm{s}$ na de flits legt de inslag $1\,\mathrm{km}$ verderop. Geluid in water, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; in staal, $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Dwarsgolven op een snaar met spankracht $F$ en massa per lengte-eenheid $\mu$ : $c = \sqrt{F/\mu}$ , zoals de dimensieanalyse voorspelde (Oefening 1.5) — $140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ voor een gitaarsnaar. Licht in vacuüm, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; in glas, $c/n$ . De voortplantingssnelheid is een eigenschap van het medium, niet van de bron: een gefluister en een schreeuw komen samen aan.

Propositie 5.8 (Sinusvormige lopende golf)

Een sinusvormige bron $s(0, t) = A\cos(\omega t)$ zendt uit

s(x, t) = A\cos\!\big(\omega(t - x/c)\big) = A\cos(\omega t - kx), \qquad k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \lambda = cT = \frac{c}{f}.

De golf is periodiek in de tijd (periode $T$ ) en in de ruimte (periode de golflengte $\lambda$ ); $k$ is het golfgetal; twee punten op afstand $d$ trillen met een faseverschil $\Delta\varphi = 2\pi d/\lambda = kd$ — in fase als $d = n\lambda$ , in tegenfase als $d = (n + \tfrac12)\lambda$ . De snelheid waarmee een golftop zich verplaatst, $v_\varphi = \omega/k$ , is de fasesnelheid; hier is $v_\varphi = c$ .

Bewijs. Vul $f(u) = A\cos(\omega u)$ in $f(t - x/c)$ in. Bij vaste $x$ herhaalt het signaal zich na $T = 2\pi/\omega$ ; bij vaste $t$ herhaalt het zich na $\lambda$ met $k\lambda = 2\pi$ . Twee punten $x_1$ , $x_2 = x_1 + d$ : hun fasen verschillen $kd$ . Een golftop ( $\omega t - kx = \text{const}$ ) beweegt met $\dd x/\dd t = \omega/k$ . ∎

De dubbele periodiciteit van een sinusvormige lopende golf: een momentopname bij vaste tijd herhaalt zich elke golflengte en schuift op met snelheid c; het signaal in een vast punt herhaalt zich elke periode T, met = cT. — De dubbele periodiciteit van een sinusvormige lopende golf: een momentopname bij vaste tijd herhaalt zich elke golflengte $\lambda$ en schuift op met snelheid $c$ ; het signaal in een vast punt herhaalt zich elke periode $T$ , met $\lambda = cT$ .

Definitie 5.9 (Dispersie)

Een medium is dispersief wanneer de fasesnelheid van de frequentie afhangt. Een niet-sinusvormig signaal, een som van sinussen, vervormt dan onderweg doordat zijn componenten uit elkaar lopen. Geluid in lucht en licht in vacuüm zijn niet-dispersief; licht in glas (Hoofdstuk 2) en golven op diep water zijn dispersief — de lange deining van een verre storm komt een dag eerder aan dan de korte kabbeling.

5.3 Superpositie en interferentie

Stelling 5.10 (Superpositie)

Planten in een lineair medium meerdere golven zich samen voort, dan is het resulterende signaal op elke plaats en elk tijdstip de som van de signalen die elke golf alleen zou opwekken.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 5.11 (Lineariteit)

Superpositie is een uitspraak over de vergelijkingen van het medium (lineair in het signaal), waar zolang de amplitudes klein blijven: geluid onder de pijngrens, licht onder de intensiteit van een snijlaser, een zacht getokkelde snaar. Twee lichtbundels kruisen elkaar zonder elkaar te storen; twee rimpels gaan door elkaar heen en komen er ongeschonden uit. Wat men waarneemt waar zij elkaar overlappen is het onderwerp van de interferentie.

Stelling 5.12 (Twee sinusvormige signalen van dezelfde frequentie)

In een punt waar twee sinusvormige signalen van dezelfde frequentie aankomen, $s_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$ en $s_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$ , is de som een sinus met dezelfde frequentie waarvan de amplitude voldoet aan

A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi, \qquad \Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 .

Voor golven waarvan de intensiteit (vermogen per oppervlakte) evenredig is met $A^2$ voldoen de intensiteiten aan de formule van Fresnel

I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos\Delta\varphi .

De interferentie is constructief ( $A = A_1 + A_2$ ) wanneer $\Delta\varphi = 2n\pi$ , en destructief ( $A = \abs{A_1 - A_2}$ ) wanneer $\Delta\varphi = (2n + 1)\pi$ , $n \in \Z$ .

Bewijs. Uitwerken: $s_1 + s_2 = (A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2)\cos\omega t - (A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2)\sin\omega t = X\cos\omega t - Y\sin\omega t = A\cos(\omega t + \varphi)$ met $A^2 = X^2 + Y^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2(\cos\varphi_1\cos\varphi_2 + \sin\varphi_1\sin\varphi_2)$ . Meetkundig: $A$ is de lengte van de som van twee vectoren met lengtes $A_1$ , $A_2$ die de hoek $\Delta\varphi$ maken (de cosinusregel). ∎

Propositie 5.13 (Twee bronnen in fase; wegverschil)

Twee bronnen die in fase uitzenden met golflengte $\lambda$ , op afstanden $d_1$ en $d_2$ van een punt $M$ , komen in $M$ aan met $\Delta\varphi = 2\pi\,\delta/\lambda$ , waarin $\delta = d_2 - d_1$ het wegverschil is. De interferentie in $M$ is constructief als $\delta = n\lambda$ , destructief als $\delta = (n + \tfrac12)\lambda$ .

Bewijs. Elke golf komt aan met de faseachterstand $kd_i = 2\pi d_i/\lambda$ van haar reis (Propositie 5.8); het verschil is $2\pi(d_2 - d_1)/\lambda$ . Pas Stelling 5.12 toe. ∎

Voorbeeld 5.14 (Twee luidsprekers)

Twee luidsprekers op $2.0\,\mathrm{m}$ van elkaar spelen dezelfde toon van $850\,\mathrm{Hz}$ in fase ( $\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ ). Op de middelloodlijn is $\delta = 0$ : overal luid. Langs het verbindingslijnstuk verandert $\delta$ met $2\lambda$ per golflengte verplaatsing, zodat de stille plekken ( $\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$ ) om de $\lambda/2 = 20\,\mathrm{cm}$ liggen — een staande golf, het onderwerp van de volgende paragraaf. Draai de draad van één luidspreker om zodat hij in tegenfase speelt, en luid en stil wisselen van plaats.

Voorbeeld 5.15 (De gaatjes van Young)

Twee gaatjes $S_1$ , $S_2$ op afstand $a$ van elkaar, verlicht door één monochromatische bron (zodat zij in fase uitzenden), zenden licht naar een scherm op afstand $D \gg a$ . In een punt van het scherm op hoogte $x$ boven de as is het wegverschil

\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{a\,x}{D}

(voor $x \ll D$ : $S_{1,2}M = \sqrt{D^2 + (x \mp a/2)^2} \approx D + (x \mp a/2)^2/2D$ , en aftrekken). Heldere strepen bij $x = n\lambda D/a$ : de streepafstand is

i = \frac{\lambda D}{a} .

Met $a = 0.50\,\mathrm{mm}$ , $D = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : $i = 2.5\,\mathrm{mm}$ — een liniaal meet de golflengte van licht. In een medium met index $n$ moet men als wegverschil de optische weglengte nemen, $n \times$ lengte, aangezien $\lambda = \lambda_0/n$ .

De gaatjes van Young: twee bronnen in fase, op afstand a van elkaar, bereiken het punt M van een ver scherm langs wegen die ax/D verschillen. De intensiteit op het scherm, 4I_0 2(π x/i), wisselt heldere en donkere strepen af met afstand i = D/a. — De gaatjes van Young: twee bronnen in fase, op afstand $a$ van elkaar, bereiken het punt $M$ van een ver scherm langs wegen die $\delta \approx ax/D$ verschillen. De intensiteit op het scherm, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ , wisselt heldere en donkere strepen af met afstand $i = \lambda D/a$ .

Opmerking 5.16 (Coherentie)

De formule van Fresnel veronderstelt een vast faseverschil. Twee losse lampen hebben fasen die miljarden keren per seconde willekeurig verspringen; het gemiddelde van $\cos\Delta\varphi$ is nul en de intensiteiten tellen gewoon op: geen strepen. Interferentie vraagt coherente bronnen — in de praktijk twee golven uit één bron, via twee gaatjes, twee spleten, de twee vlakken van een dun laagje, of een bundeldeler. Twee luidsprekers op één generator zijn coherent; twee zangers niet.

5.4 Staande golven

Stelling 5.17 (Staande golf)

Twee sinusvormige golven met dezelfde amplitude en frequentie die in tegengestelde richtingen lopen tellen op tot

A\cos(\omega t - kx) + A\cos(\omega t + kx) = 2A\cos(kx)\cos(\omega t),

een staande golf: elk punt trilt in fase (of in tegenfase) met een amplitude $2A\abs{\cos kx}$ die van de plaats afhangt — nul in de knopen $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$ , maximaal in de buiken $x = n\lambda/2$ ; knopen liggen $\lambda/2$ uit elkaar. Er plant zich niets voort: de variabelen $x$ en $t$ zijn gescheiden.

Bewijs. $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ met $a = \omega t - kx$ , $b = \omega t + kx$ . ∎

Propositie 5.18 (Modes van een aan beide uiteinden vastgezette snaar)

Een snaar met lengte $L$ en snelheid $c$ , vastgezet in $x = 0$ en $x = L$ , kan alleen een sinusvormige staande golf dragen als $L$ een geheel aantal halve golflengtes is:

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad f_n = n\,\frac{c}{2L} = n f_1, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

Dat zijn haar modes; $f_1 = c/2L$ is de grondtoon, de $f_n$ zijn haar harmonischen. Aan één uiteinde aangedreven met een frequentie dicht bij $f_n$ resoneert de snaar in de vorm van mode $n$ (de proef van Melde); getokkeld trilt zij in een superpositie van modes, en het oor hoort $f_1$ als de toonhoogte.

Bewijs. Een vastgezet uiteinde is een knoop. De in $x = L$ gereflecteerde golf loopt terug en vormt met de invallende golf een staande golf; opdat er ook in $x = 0$ een knoop valt, moet $\cos kx$ door $\sin kx$ worden vervangen (verschuif de oorsprong) en moet $\sin kL = 0$ : $kL = n\pi$ , $\lambda_n = 2L/n$ , en $f_n = c/\lambda_n$ . ∎

De eerste drie modes van een aan beide uiteinden vastgezette snaar: n halve golflengtes passen in L; de snaar zwaait tussen de twee uiterste vormen (donker en licht), terwijl de knopen stilstaan. Frequenties f_n = nf_1. — De eerste drie modes van een aan beide uiteinden vastgezette snaar: $n$ halve golflengtes passen in $L$ ; de snaar zwaait tussen de twee uiterste vormen (donker en licht), terwijl de knopen stilstaan. Frequenties $f_n = nf_1$ .

Voorbeeld 5.19 (Een gitaarsnaar)

$L = 65\,\mathrm{cm}$ , gestemd op $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ : $c = 2Lf_1 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; met $\mu = 5.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ is de spankracht $F = \mu c^2 = 102\,\mathrm{N}$ — tien kilogram aan elke snaar. Een vinger op de twaalfde fret halveert $L$ en verdubbelt $f_1$ : het octaaf. Een vinger die het midden alleen aanraakt dwingt daar een knoop af en doodt elke oneven mode: de snaar klinkt op $2f_1$ , de “flageolet” van gitaristen.

Opmerking 5.20 (Pijpen, en een vooruitblik)

De luchtkolom van een fluit, aan beide kanten open, heeft aan beide uiteinden drukknopen en dezelfde modes $f_n = nc/2L$ ; een pijp die aan één kant gesloten is heeft een knoop aan het gesloten uiteinde en een buik aan het open uiteinde, zodat $L = (2n + 1)\lambda/4$ en alleen de oneven harmonischen $f = (2n + 1)c/4L$ klinken — de holle klankkleur van de klarinet. Een golf tussen twee wanden opsluiten kwantiseert dus haar frequenties; is de golf de materiegolf van een elektron in een atoom, dan kwantiseert hetzelfde tellen van halve golflengtes zijn energie (Hoofdstuk 30).

5.5 Oefeningen

Oefening 5.1 ★

De donder komt $6.0\,\mathrm{s}$ na de flits: hoe ver weg sloeg de bliksem in? Een sonarpuls keert na $0.40\,\mathrm{s}$ terug in water ( $c = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): hoe diep ligt de bodem?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.1.

$d = 340 \times 6.0 = 2.0\,\mathrm{km}$ . Heen en terug: diepte $= 1500 \times 0.40/2 = 300\,\mathrm{m}$ .

Oefening 5.2 ★

Een geluidsgolf van $440\,\mathrm{Hz}$ loopt door lucht ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Bereken haar golflengte, het faseverschil tussen twee microfoons op $20\,\mathrm{cm}$ van elkaar langs de voortplantingsrichting, en de afstanden waarop twee punten in fase trillen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.2.

$\lambda = 340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ ; $\Delta\varphi = 2\pi \times 0.20/0.773 = 1.6\,\mathrm{rad}$ ( $93^\circ$ ); in fase voor afstanden $n\lambda = n \times 0.77\,\mathrm{m}$ .

Oefening 5.3 ★

Een snaar heeft spankracht $80\,\mathrm{N}$ en massa per lengte-eenheid $4.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : bereken $c$ en de golflengte van een golf van $200\,\mathrm{Hz}$ op die snaar.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.3.

$c = \sqrt{80/4.0\times10^{-3}} = 141\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = c/f = 0.71\,\mathrm{m}$ .

Oefening 5.4 ★

Een stemvork van $440\,\mathrm{Hz}$ en een snaar van $444\,\mathrm{Hz}$ : hoeveel zwevingen per seconde? Wat is de periode van de omhullende? De snaar wordt losser gedraaid en de zwevingen vertragen tot $1\,\mathrm{Hz}$ : welke frequentie heeft zij nu (in beginsel twee antwoorden — welk, en hoe zou je het nagaan)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.4.

$444 - 440 = 4$ zwevingen per seconde; periode van de omhullende $1/4 = 0.25\,\mathrm{s}$ . Losser draaien verlaagt de snaar: $441\,\mathrm{Hz}$ ( $439\,\mathrm{Hz}$ bereiken zou betekenen dat men door de stilte bij $440\,\mathrm{Hz}$ is gegaan); controleer door nog wat losser te draaien: de zwevingen moeten verdwijnen en dan terugkeren.

Oefening 5.5 ★★

Een snaar van $0.60\,\mathrm{m}$ lang, $c = 240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , is aan beide uiteinden vastgezet. Geef de eerste drie modefrequenties en de knooppunten van de derde mode. Waar moet de snaar worden aangeraakt om haar op $600\,\mathrm{Hz}$ te laten klinken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.5.

$f_1 = c/2L = 240/1.2 = 200\,\mathrm{Hz}$ ; $400$ , $600\,\mathrm{Hz}$ . Derde mode: knopen op $0$ , $0.20$ , $0.40$ , $0.60\,\mathrm{m}$ . Raak aan op $20\,\mathrm{cm}$ (of $40\,\mathrm{cm}$ ) van een uiteinde: een knoop daar houdt alleen $n = 3, 6, \dots$ over, en de snaar klinkt op $600\,\mathrm{Hz}$ .

Oefening 5.6 ★★

Twee luidsprekers op $2.0\,\mathrm{m}$ van elkaar zenden $850\,\mathrm{Hz}$ in fase uit ( $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Bepaal de stille plekken op het verbindingslijnstuk en zeg wat een luisteraar hoort die over de middelloodlijn loopt. Wat verandert er als één luidspreker in tegenfase wordt aangesloten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.6.

$\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ . Op het lijnstuk, op afstand $x$ van luidspreker 1, is $\delta = (2.0 - x) - x = 2.0 - 2x$ ; stilte voor $\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$ : $x = 0.1, 0.3, \dots, 1.9$ m, om de $20\,\mathrm{cm}$ ; het midden is luid. Op de middelloodlijn is $\delta = 0$ : overal luid (alleen de afname met $1/r$ ). In tegenfase: luid en stil wisselen om — stilte in het midden en om de $20\,\mathrm{cm}$ daarvandaan.

Oefening 5.7 ★★

Gaatjes van Young: $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.5\,\mathrm{m}$ , natriumlicht $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ . Bereken de streepafstand; daarna voor blauw licht van $450\,\mathrm{nm}$ ; hoeveel heldere strepen passen er in $2.0\,\mathrm{cm}$ rond het midden bij de natriumlamp?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.7.

$i = \lambda D/a = 5.89\times10^{-7} \times 1.5/2.0\times10^{-4} = 4.4\,\mathrm{mm}$ ; blauw: $3.4\,\mathrm{mm}$ . Binnen $\pm1.0\,\mathrm{cm}$ : strepen op $0$ , $\pm 4.4$ , $\pm 8.8$ mm — vijf.

Oefening 5.8 ★★

Twee coherente golven met intensiteiten $I_0$ en $I_0$ interfereren: geef $I_{\max}$ en $I_{\min}$ . Dezelfde vraag voor $I_0$ en $I_0/4$ . Definieer het contrast $(I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ en bereken het in beide gevallen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.8.

Gelijk: $I_{\max} = 4I_0$ , $I_{\min} = 0$ , contrast $1$ . $I_0$ en $I_0/4$ : $I_{\max} = I_0(1 + \tfrac14 + 2 \times \tfrac12) = 2.25I_0$ , $I_{\min} = I_0(1.25 - 1) = 0.25I_0$ ; contrast $2.0/2.5 = 0.8$ .

Oefening 5.9 ★★

Een pijp van $0.50\,\mathrm{m}$ lang ( $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Geef haar eerste drie resonantiefrequenties als zij aan één kant gesloten is, en daarna als zij aan beide kanten open is. Welke is de klarinet, welke de fluit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.9.

Gesloten–open: $f = (2n + 1)c/4L = 170$ , $510$ , $850\,\mathrm{Hz}$ (alleen oneven harmonischen: de klarinet). Open–open: $nc/2L = 340$ , $680$ , $1020\,\mathrm{Hz}$ (de fluit).

Oefening 5.10 ★★★

Op diep water is de fasesnelheid van een sinusvormige golf $v_\varphi = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ . Bereken haar voor $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ en voor $100\,\mathrm{m}$ . Een storm op $1000\,\mathrm{km}$ wekt beide op: welke deining bereikt de kust het eerst, en hoeveel eerder? Waarom maakt dit de zee “dispersief”?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.10.

$v_\varphi = \sqrt{9.81 \times 10/2\pi} = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ voor $100\,\mathrm{m}$ . De lange deining het eerst: $10^6/12.5 = 22\,\mathrm{h}$ tegen $10^6/3.95 = 70\,\mathrm{h}$ , twee dagen eerder. De snelheid hangt van de golflengte af: een gemengde zee sorteert zichzelf onderweg op golflengte — dispersie.

Oefening 5.11 ★★★

Toon aan dat een snaar licht aanraken in een punt op $L/3$ van een uiteinde alleen de modes met frequentie $3f_1, 6f_1, \dots$ overlaat, en dat een snaar in haar midden tokkelen geen enkele even mode aanslaat. (Aanwijzing: wat vereist een knoop, of een maximale uitwijking, in dat punt van de $\sin(n\pi x/L)$ van elke mode?)

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.11.

Mode $n$ heeft de vorm $\sin(n\pi x/L)$ . Een afgedwongen knoop in $x = L/3$ vereist $\sin(n\pi/3) = 0$ , dus $n$ een veelvoud van $3$ : frequenties $3f_1, 6f_1, \dots$ Tokkelen op $L/2$ geeft de snaar daar een maximale uitwijking, waaraan mode $n$ alleen kan bijdragen als $\sin(n\pi/2) \neq 0$ : de even modes, die een knoop op $L/2$ hebben, krijgen niets.

Oefening 5.12 ★★★

Een radio-ontvanger op afstand $d$ voor een metalen wand ontvangt de directe golf van een verre zender en de door de wand gereflecteerde golf, die $2d$ verder loopt en bij de reflectie een extra fase $\pi$ krijgt. Bepaal bij $f = 100\,\mathrm{MHz}$ de afstanden $d$ waarop het signaal verdwijnt en die waarop het het sterkst is. Hoe verklaart dit de “dode plekken” van een autoradio in een tunnel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.12.

$\lambda = c/f = 3.0\,\mathrm{m}$ . Faseverschil $2\pi(2d)/\lambda + \pi$ ; destructief wanneer dat gelijk is aan $(2m + 1)\pi$ : $2d/\lambda = m$ , $d = m\lambda/2 = 0, 1.5, 3.0, \dots$ m; constructief wanneer $2d/\lambda = m + \tfrac12$ : $d = 0.75, 2.25, \dots$ m. Tunnelwanden en -dak kaatsen de golf terug: een staand patroon met dode plekken om de halve golflengte langs de weg van de auto.

5.6 Probleem: De snaar van Melde en de gitaar

Probleem 5.1

Weekendopgave — een trillende snaar op een bank, een katrol en wat gewichten, en dan een gitaar: hoe het tellen van halve golflengtes elke noot op de hals vastlegt

Een snaar met massa per lengte-eenheid $\mu$ is horizontaal gespannen met een spankracht $F$ tussen een kleine elektromagnetische trilhamer in $x = L$ (die haar dwars met een piepkleine amplitude schudt met frequentie $f$ ) en een vast punt in $x = 0$ ; dwarsgolven lopen er met $c = \sqrt{F/\mu}$ (afgeleid in het volume van jaar 2).

Deel I — Golven op de snaar.

Ga met dimensieanalyse na dat $\sqrt{F/\mu}$ een snelheid is.
De trilhamer stuurt naar $x = 0$ de golf $s_i(x, t) = A\cos(\omega t + kx)$ . Waarom het teken $+kx$ ? Geef $k$ in termen van $f$ en $c$ .
Bereken voor $\mu = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $F = 0.90\,\mathrm{N}$ en $f = 50\,\mathrm{Hz}$ de waarden van $c$ , $\lambda$ en $k$ .
Twee punten van de snaar liggen $15\,\mathrm{cm}$ uit elkaar. Wat is het faseverschil tussen hun bewegingen voor deze lopende golf?
Wat is voor $A = 2.0\,\mathrm{mm}$ de grootste dwarssnelheid van een punt van de snaar? Vergelijk met $c$ .

Deel II — Reflectie en staande golf. Aan het vaste uiteinde $x = 0$ wordt de golf met omgekeerd teken gereflecteerd: $s_r(x, t) = -A\cos(\omega t - kx)$ .

Waarom moet de gereflecteerde golf $-kx$ in haar fase hebben, en waarom is de amplitude van teken gewisseld (denk aan wat het totale signaal in $x = 0$ moet zijn)?
Toon aan dat $s = s_i + s_r = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ .
Bepaal de knopen en de buiken; geef de afstand tussen twee naburige knopen.
De eigen amplitude van de trilhamer is zo klein dat $x = L$ praktisch een knoop is. Leid de voorwaarde op $L$ af voor een grote staande golf (resonantie), en de toegelaten frequenties $f_n$ .
Hoeveel halve golflengtes (“buiken”) verschijnen er bij $L = 1.20\,\mathrm{m}$ en de gegevens van vraag 3? Staat de snaar in resonantie?
Welke spankrachten geven bij dezelfde $f = 50\,\mathrm{Hz}$ en $L$ resonanties met $3$ en met $6$ buiken?
Omgekeerd telt men de buiken om $\mu$ te meten: bereken met $F = 1.6\,\mathrm{N}$ , $3$ buiken bij $50\,\mathrm{Hz}$ op $1.20\,\mathrm{m}$ de waarde van $\mu$ .
De spankracht wordt ingesteld met een hangende massa $m$ over een katrol, $F = mg$ , met $m$ bekend tot op $\pm1\,\mathrm{g}$ van $163\,\mathrm{g}$ , en $L$ tot op $\pm2\,\mathrm{mm}$ . Welke meting begrenst $\mu$ , en hoe groot is de relatieve onzekerheid?

Deel III — De gitaar. Zes snaren met trillende lengte $L = 650\,\mathrm{mm}$ zijn gestemd op $82.4\,\mathrm{Hz}$ (lage E), $110$ , $147$ , $196$ , $247$ en $329.6\,\mathrm{Hz}$ (hoge E).

Welke mode neemt het oor als toonhoogte? Druk $c$ op elke snaar uit in $L$ en de toonhoogte, en bereken haar voor beide E-snaren.
De lage E-snaar heeft $\mu = 6.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , de hoge E $\mu = 0.40\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : bereken hun spankrachten. Waarom zijn de bassnaren met metaal omwonden in plaats van simpelweg strakker gespannen?
De westerse muziek verdeelt het octaaf in twaalf gelijke halve tonen: elke fret vermenigvuldigt de frequentie met $2^{1/12}$ . Toon aan dat de $n$ -de fret op een afstand $L(1 - 2^{-n/12})$ van de topkam moet zitten, en bereken de plaatsen van de fretten $1$ , $5$ , $7$ en $12$ .
De fretafstand krimpt naar de hals toe: met welke factor van de ene fret naar de volgende?
Een capo op fret $3$ verkort elke snaar: met welke factor verhoogt hij elke toonhoogte, en wat is de nieuwe trillende lengte?
De lage E-snaar aanraken (niet indrukken) boven fret $12$ , en daarna boven fret $7$ (op $L/3$ ), geeft twee “flageoletten”: welke frequenties, en welke modes overleven?
Bij de kam tokkelen klinkt helderder dan boven het klankgat. Verklaar dat met de vormen van de modes.
Twee snaren zijn een kwint uit elkaar gestemd ( $f_2 = 1.5f_1$ ). Samen gespeeld hoort een luisteraar een zwakke zweving van $2\,\mathrm{Hz}$ tussen de derde harmonische van de lage snaar en de tweede harmonische van de hoge: wat is de werkelijke verhouding $f_2/f_1$ als $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ ?

Deel IV — Stemmen met een stemvork.

De A-snaar ( $110\,\mathrm{Hz}$ ) wordt gestemd tegen de stemvork van $440\,\mathrm{Hz}$ . Welke harmonische van de snaar zweeft tegen de vork? Als men $3\,$ zwevingen per seconde hoort, wat zijn dan de twee mogelijke snaarfrequenties?
De stemsleutel draaien verhoogt de spankracht een beetje en de zwevingen versnellen: welke van de twee was het, en met welke relatieve verandering moet de spankracht veranderen om de juiste toonhoogte te halen?
Toon aan dat een relatieve verandering $\dd F/F$ van de spankracht de frequentie verandert met $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ .
Vat de keten van resultaten samen: hoe lengte, spankracht en massa van de snaar haar grondtoon vastleggen, hoe de fretten de toonladder vastleggen en hoe zwevingen haar stemmen — en noem de ene betrekking die er achter alles zit.

Oplossing

Oplossing van Probleem 5.1.

1. $[F/\mu] = M L T^{-2}/(M L^{-1}) = L^2 T^{-2}$ : een snelheid in het kwadraat.

2. Een golf naar $-x$ hangt af van $t + x/c$ , dus van $\omega t + kx$ ; $k = \omega/c = 2\pi f/c$ .

3. $c = \sqrt{0.90/1.0\times10^{-3}} = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = c/f = 0.60\,\mathrm{m}$ ; $k = 2\pi/\lambda = 10.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ .

4. $\Delta\varphi = kd = 10.5 \times 0.15 = 1.6\,\mathrm{rad} = \pi/2$ .

5. $v_{\max} = A\omega = 2.0\times10^{-3} \times 2\pi \times 50 = 0.63\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , vijftig keer minder dan $c$ : de punten van de snaar bewegen traag terwijl de vorm voortsnelt.

6. Zij loopt naar $+x$ : fase $\omega t - kx$ . Aan het vaste uiteinde is de totale uitwijking op elk moment nul: $s_i(0, t) + s_r(0, t) = A\cos\omega t + (-A)\cos\omega t = 0$ .

7. $\cos(\omega t + kx) - \cos(\omega t - kx) = -2\sin(\omega t)\sin(kx)$ , dus $s = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ .

8. Knopen: $\sin kx = 0$ , $x = n\lambda/2$ ; buiken $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$ ; naburige knopen $\lambda/2$ uit elkaar.

9. $\sin kL = 0$ : $L = n\lambda/2$ , dus $f_n = nc/2L$ .

10. $n = 2L/\lambda = 2.4/0.60 = 4$ : vier buiken, een geheel getal — resonantie.

11. $3$ buiken: $\lambda = 2L/3 = 0.80\,\mathrm{m}$ , $c = \lambda f = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $F = \mu c^2 = 1.6\,\mathrm{N}$ . $6$ buiken: $\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ , $c = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $F = 0.40\,\mathrm{N}$ .

12. $c = 2Lf/n = 2 \times 1.20 \times 50/3 = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mu = F/c^2 = 1.6/1600 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m} = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ .

13. $\mu = mgn^2/(4L^2f^2)$ : $u(\mu)/\mu = \sqrt{(u_m/m)^2 + (2u_L/L)^2} = \sqrt{0.61^2 + 0.33^2}\,\% = 0.7\%$ ; de massa is bepalend.

14. De grondtoon. $c = 2Lf_1$ : lage E $2 \times 0.650 \times 82.4 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; hoge E $428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

15. $F = \mu c^2$ : lage E $6.0\times10^{-3} \times 107^2 = 69\,\mathrm{N}$ ; hoge E $4.0\times10^{-4} \times 428^2 = 73\,\mathrm{N}$ — vergelijkbare spankrachten. $f$ met een factor $4$ verlagen bij vaste $L$ en $\mu$ zou $16$ keer minder spankracht vragen: een slappe, rammelende snaar. Omwinden verhoogt in plaats daarvan $\mu$ .

16. $f_n = 2^{n/12}f_1$ en $f \propto 1/L$ : $L_n = 2^{-n/12}L$ , afstand vanaf de topkam $L - L_n = L(1 - 2^{-n/12})$ : fret 1 $36.5\,\mathrm{mm}$ , fret 5 $163\,\mathrm{mm}$ , fret 7 $216\,\mathrm{mm}$ , fret 12 $325\,\mathrm{mm}$ .

17. Elke afstand is $2^{-1/12} = 0.944$ keer de vorige.

18. Factor $2^{3/12} = 1.19$ (drie halve tonen); lengte $650 \times 2^{-3/12} = 547\,\mathrm{mm}$ .

19. Aanraken op $L/2$ : alleen even modes, toonhoogte $2f_1 = 165\,\mathrm{Hz}$ ; op $L/3$ : veelvouden van $3$ , toonhoogte $3f_1 = 247\,\mathrm{Hz}$ .

20. Vlak bij een uiteinde groeit $\sin(n\pi x/L) \approx n\pi x/L$ met $n$ : hoge modes worden verhoudingsgewijs sterker aangeslagen — helder. Boven het klankgat (dicht bij het midden) zijn de even modes zwak en overheerst de grondtoon — zacht.

21. $3f_1 = 330\,\mathrm{Hz}$ zweeft met $2\,\mathrm{Hz}$ tegen $2f_2$ : $f_2 = 166$ of $164\,\mathrm{Hz}$ , verhouding $1.509$ of $1.491$ (de gelijkzwevend gestemde kwint is $2^{7/12} = 1.498$ ).

22. De vierde harmonische, $4f$ . Drie zwevingen: $4f = 437$ of $443\,\mathrm{Hz}$ , $f = 109.25$ of $110.75\,\mathrm{Hz}$ .

23. De zwevingen versnellen bij aanspannen, dus stond de snaar te hoog: $110.75\,\mathrm{Hz}$ . Zij moet $0.75/110.75 = 0.68\%$ dalen, dus de spankracht $1.4\%$ .

24. $f = (n/2L)\sqrt{F/\mu}$ , dus $\ln f = \tfrac12\ln F + \text{const}$ en $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ .

25. $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$ : de lengte legt $\lambda_1 = 2L$ vast, spankracht en massa leggen $c$ vast, de fretten schalen $L$ met $2^{-n/12}$ , en zwevingen onthullen $f - f_{\text{ref}}$ . Achter dat alles staat één betrekking: $\lambda f = c$ , met de staandegolfvoorwaarde $L = n\lambda/2$ .

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst