Universitaire natuurkunde — jaar 1 · Bachelor Year 1

8Het sinusoïdale regime en de impedantie

Draai aan de knop van een oude radio en van de honderd zenders die de antenne allemaal tegelijk bereiken komt er één door: een spoel en een regelbare condensator zijn zo afgestemd dat precies één frequentie ze laat resoneren. Het net dat in elke muur bromt is een sinus van $50\,\mathrm{Hz}$ ; de fabriek die er grote motoren op laat draaien betaalt een boete als haar stroom te ver bij haar spanning achterloopt. Sinussen zijn de natuurlijke taal van lineaire netwerken — zij komen eruit zoals zij erin gaan, alleen geschaald en verschoven — en dit hoofdstuk geeft ze hun algebra: complexe amplitudes, impedanties, de resonantie van de RLC-kring en het vermogen dat sinusvormige stromen werkelijk leveren.

Een oscilloscoop met een sinus en een blokgolf: de sinus is het signaal waarvan dit hoofdstuk leeft, de blokgolf het signaal dat het volgende hoofdstuk in sinussen ontbindt.

8.1 Het sinusoïdale regime

Propositie 8.1 (Gedwongen sinusoïdaal regime)

In een lineair netwerk dat door een sinusvormige bron met hoekfrequentie $\omega$ wordt aangedreven, is elke stroom en elke spanning, zodra de overgangsverschijnselen zijn uitgedoofd, een sinus met dezelfde hoekfrequentie $\omega$ , elk met een eigen amplitude en fase: $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$ .

Bewijs. De vergelijkingen van het netwerk zijn lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten; hun algemene oplossing is een particuliere oplossing plus de oplossingen van de homogene vergelijking, en dat zijn de overgangsverschijnselen van Hoofdstuk 7, die uitdoven (elke werkelijke kring heeft enige weerstand). Er bestaat een sinusvormige particuliere oplossing omdat het differentiëren van een sinus met frequentie $\omega$ een sinus met dezelfde frequentie geeft: de vergelijkingen kunnen term voor term worden voldaan — de complexe methode hieronder construeert haar expliciet. ∎

Definitie 8.2 (Complexe amplitude)

Aan de sinus $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$ koppelt men het complexe signaal $\underline{x}(t) = X\eu^{j(\omega t + \varphi)}$ , zodat $x = \Rea(\underline{x})$ , en de complexe amplitude

\underline{X} = X\eu^{j\varphi}, \qquad \underline{x}(t) = \underline{X}\,\eu^{j\omega t},

die de amplitude $X = \abs{\underline{X}}$ en de fase $\varphi = \arg\underline{X}$ draagt. Hier staat $j$ voor de imaginaire eenheid, $j^2 = -1$ , want de letter $i$ is voor stromen gereserveerd. Getekend als vector met lengte $X$ onder hoek $\varphi$ is $\underline{X}$ een fasor (Fresnel-vector).

Propositie 8.3 (Regels van de complexe methode)

Lineaire bewerkingen verwisselen met het nemen van het reële deel: de complexe amplitude van een som is de som van de complexe amplitudes.
Differentiëren naar de tijd vermenigvuldigt de complexe amplitude met $j\omega$ ; integreren deelt haar door $j\omega$ .
De wetten van Kirchhoff, die lineair zijn, gelden voor complexe amplitudes.

Bewijs. $\Rea(\underline a + \underline b) = \Rea\underline a + \Rea\underline b$ ; $\dd(\underline X\eu^{j\omega t})/\dd t = j\omega\underline X\eu^{j\omega t}$ , en $\dd x/\dd t = \Rea(\dd\underline x/\dd t)$ omdat differentiëren reëel-lineair is. Sommen van stromen in een knooppunt en van spanningen langs een maas zijn lineair. ∎

Voorbeeld 8.4 (Twee sinussen optellen)

$3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ : de complexe amplitudes zijn $3$ en $4\eu^{-j\pi/2} = -4j$ (want $\sin\omega t = \cos(\omega t - \pi/2)$ ); hun som $3 - 4j$ heeft modulus $5$ en argument $-0.927\ \mathrm{rad}$ : $5\cos(\omega t - 0.927)$ . Geen enkele goniometrische identiteit nodig.

8.2 Impedantie

Definitie 8.5 (Impedantie, admittantie)

Voor een lineaire tweepool in het sinusoïdale regime (verbruikersconventie) is de impedantie de verhouding van complexe amplitudes

\underline Z = \frac{\underline U}{\underline I} = Z\eu^{j\varphi} \quad (\text{ohm}),

waarvan de modulus $Z = U/I$ de amplitudes verbindt en het argument $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ de fasevoorsprong van de spanning op de stroom is. Haar omgekeerde $\underline Y = 1/\underline Z$ is de admittantie (siemens). Het reële deel van $\underline Z$ is haar weerstand, het imaginaire deel haar reactantie.

Propositie 8.6 (Impedanties van R, L, C)

\underline Z_R = R, \qquad \underline Z_L = jL\omega, \qquad \underline Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega} .

Een weerstand houdt spanning en stroom in fase; in een spoel loopt de spanning $\pi/2$ voor op de stroom; in een condensator loopt zij $\pi/2$ achter. Bij lage frequentie nadert een spoel een draad en een condensator een open keten; bij hoge frequentie andersom.

Bewijs. $u = Ri$ ; $u = L\,\dd i/\dd t \to \underline U = jL\omega\,\underline I$ ; $i = C\,\dd u/\dd t \to \underline I = jC\omega\,\underline U$ . De argumenten van $1$ , $j$ en $-j$ zijn $0$ , $\pi/2$ , $-\pi/2$ . ∎

Propositie 8.7 (Schakeling; delers; stellingen)

Impedanties in serie tellen op; admittanties parallel tellen op; de spannings- en stroomdelers, de stellingen van Thévenin en Norton, de superpositie en de stelling van Millman uit Hoofdstuk 6 gelden alle met complexe amplitudes en impedanties in plaats van reële spanningen, stromen en weerstanden.

Bewijs. Elk bewijs in Hoofdstuk 6 gebruikte alleen de wetten van Kirchhoff en de lineariteit van $u = Ri$ , en beide gelden in complexe vorm. ∎

Voorbeeld 8.8 (De RC-deler)

Een weerstand $R$ en een condensator $C$ in serie over $\underline E$ , met de uitgang over $C$ : $\underline U_C = \underline E\,\dfrac{1/jC\omega} {R + 1/jC\omega} = \dfrac{\underline E}{1 + jRC\omega}$ . Amplitude $E/\sqrt{1 + (RC\omega)^2}$ , fase $-\arctan(RC\omega)$ : volledige doorlating bij lage frequentie, $1/\sqrt2$ en $-45^\circ$ bij $\omega = 1/RC$ , en daarboven een daling als $1/\omega$ — een laagdoorlaatfilter, het onderwerp van Hoofdstuk 9.

8.3 De RLC-kring in serie: resonantie

Stelling 8.9 (Stroomresonantie)

Een weerstand $R$ , een spoel $L$ en een condensator $C$ in serie over $e(t) = E\cos\omega t$ voeren de stroom met complexe amplitude

\underline I = \frac{E}{R + j\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)}, \qquad I = \frac{E}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2}}, \qquad \varphi_i = -\arctan\frac{L\omega - 1/C\omega}{R} .

De amplitude is maximaal, $I_{\max} = E/R$ , met stroom en spanning in fase, bij de resonantie $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ . Met $Q = L\omega_0/R = 1/(RC\omega_0)$ en $x = \omega/\omega_0$ geldt

\frac{I}{I_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2\left(x - \dfrac1x\right)^2}} ,

en de bandbreedte — het interval van $\omega$ waarop $I \geq I_{\max}/\sqrt2$ — bedraagt

\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{\omega_0}{Q} = \frac{R}{L} .

Bewijs. Impedanties in serie tellen op: $\underline Z = R + jL\omega + 1/jC\omega$ , en $\underline I = \underline E/\underline Z$ . De modulus is het grootst wanneer de reactantie $L\omega - 1/C\omega$ verdwijnt, dus bij $\omega_0$ . Ontbind $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$ en deel door $R$ : $L\omega_0/R = Q$ . Aan de randen van de band geldt $Q(x - 1/x) = \pm 1$ , dus $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ , waarvan de positieve wortels $x_{1,2} = \mp\frac{1}{2Q} + \sqrt{1 + \frac{1}{4Q^2}}$ zijn; hun verschil is $1/Q$ . ∎

RLC in serie: amplitude van de stroom (links) en haar fase ten opzichte van de bron (rechts) tegen / _0, voor Q = 1, 3, 10. De piek wordt smaller naarmate Q groeit (= _0/Q); onder de resonantie is de kring capacitief (de stroom loopt voor), erboven inductief (de stroom loopt achter). — RLC in serie: amplitude van de stroom (links) en haar fase ten opzichte van de bron (rechts) tegen $\omega/\omega_0$ , voor $Q = 1, 3, 10$ . De piek wordt smaller naarmate $Q$ groeit ( $\Delta\omega = \omega_0/Q$ ); onder de resonantie is de kring capacitief (de stroom loopt voor), erboven inductief (de stroom loopt achter).

Fasordiagram van de RLC in serie boven de resonantie: U_R langs I, U_L een kwartslag vooruit, U_C een kwartslag achteruit; hun som E loopt op de stroom voor met . Bij resonantie heffen U_L en U_C elkaar op en is E = U_R. — Fasordiagram van de RLC in serie boven de resonantie: $\underline U_R$ langs $\underline I$ , $\underline U_L$ een kwartslag vooruit, $\underline U_C$ een kwartslag achteruit; hun som $\underline E$ loopt op de stroom voor met $\varphi$ . Bij resonantie heffen $\underline U_L$ en $\underline U_C$ elkaar op en is $\underline E = \underline U_R$ .

Propositie 8.10 (Spanningsopslingering)

Bij resonantie hebben de spanningen over de spoel en de condensator dezelfde amplitude $QE$ en tegengestelde fasen: voor $Q \gg 1$ draagt de condensator een spanning die $Q$ keer groter is dan die van de bron. De amplitude $U_C(\omega)$ zelf piekt, voor $Q > 1/\sqrt2$ , bij $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$ , iets onder $\omega_0$ , met $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ .

Bewijs. Bij $\omega_0$ is $\underline U_C = \underline I/jC\omega_0 = -jQE$ en $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$ , aangezien $I = E/R$ . In het algemeen is $U_C = I/C\omega = E/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ (vermenigvuldig teller en noemer met $1/C\omega_0$ ); het kwadraat van de noemer is $(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2$ , kwadratisch in $x^2$ en minimaal bij $x^2 = 1 - 1/2Q^2$ wanneer dat positief is, met minimum $1/Q^2 - 1/4Q^4$ . ∎

Voorbeeld 8.11 (Een radio afstemmen)

Een spoel $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ en een regelbare condensator: $C = 127\,\mathrm{pF}$ stemt af op $f_0 = 1.00\,\mathrm{MHz}$ . Met de draadweerstand van de spoel $R = 12.6\,\Omega$ is $L\omega_0 = 1257\,\Omega$ en $Q = 100$ : bandbreedte $\Delta f = f_0/Q = 10\,\mathrm{kHz}$ — de breedte van een AM-kanaal — en de $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ die een verre zender induceert wordt $QE = 1\,\mathrm{mV}$ over de condensator, gratis en voor niets. De weekendopgave bouwt deze ontvanger.

Opmerking 8.12 (Waarom weer $Q$ )

De $Q$ van dit hoofdstuk is de $Q$ van Hoofdstuk 7: de kring die na een tik ongeveer $Q$ trillingen nagalmt, is dezelfde die over een band van $\omega_0/Q$ breed resoneert wanneer zij wordt aangedreven. Beide drukken één verhouding uit: $2\pi$ maal de opgeslagen energie gedeeld door de per periode gedissipeerde energie (Oefening 8.12). Een scherpe resonantie en een lange nagalm zijn dezelfde eigenschap, en dat geldt ook voor de trage reactie: een filter met bandbreedte $\Delta\omega$ heeft een tijd van de orde $1/\Delta\omega$ nodig om zich in te stellen.

8.4 Vermogen in het sinusoïdale regime

Definitie 8.13 (Effectieve waarde)

De effectieve waarde (rms) van een periodiek signaal $x(t)$ is $X_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\langle x^2\rangle}$ , de wortel uit het tijdgemiddelde van $x^2$ over een periode. Voor een sinus met amplitude $X$ is $X_{\mathrm{rms}} = X/\sqrt2$ . De $230\,\mathrm{V}$ van het lichtnet is een effectieve waarde; de amplitude is $325\,\mathrm{V}$ .

Stelling 8.14 (Gemiddeld vermogen)

Een tweepool met $u = U\cos\omega t$ en $i = I\cos(\omega t - \varphi)$ (verbruikersconventie) ontvangt het ogenblikkelijke vermogen $p = ui$ , met gemiddelde

P = \tfrac12\,UI\cos\varphi = U_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\varphi = \tfrac12\Rea\!\big(\underline U\,\underline I^{\,*}\big) = \tfrac12\Rea(\underline Z)\,I^2,

waarin $\cos\varphi$ de arbeidsfactor is. Een weerstand ontvangt $\tfrac12 RI^2 = RI_{\mathrm{rms}}^2$ ; een ideale spoel of condensator ( $\varphi = \pm\pi/2$ ) ontvangt geen gemiddeld vermogen — zij slaat energie op gedurende een halve periode en geeft die in de andere helft terug.

Bewijs. $p = UI\cos\omega t\cos(\omega t - \varphi) = \tfrac12 UI[\cos\varphi + \cos(2\omega t - \varphi)]$ ; de tweede term middelt tot nul. Met $\underline U = U$ en $\underline I = I\eu^{-j\varphi}$ is $\underline U\,\underline I^* = UI\eu^{j\varphi}$ , waarvan het reële deel $UI\cos\varphi$ is; en $\underline U = \underline Z\,\underline I$ geeft $\underline U\,\underline I^* = \underline Z I^2$ . ∎

Ogenblikkelijk vermogen dat een tweepool ontvangt met 60 faseachterstand tussen stroom en spanning: het pulseert met 2, duikt onder nul (energie terug naar de bron) en middelt tot 1/2 UI — hier de helft van wat het in fase zou zijn. — Ogenblikkelijk vermogen dat een tweepool ontvangt met $60^\circ$ faseachterstand tussen stroom en spanning: het pulseert met $2\omega$ , duikt onder nul (energie terug naar de bron) en middelt tot $\tfrac12 UI\cos\varphi$ — hier de helft van wat het in fase zou zijn.

Voorbeeld 8.15 (De arbeidsfactor verbeteren)

Een werkplaatsmotor op $230\,\mathrm{V}$ effectief neemt $2.0\,\mathrm{kW}$ op met $\cos\varphi = 0.70$ (inductief): $I_{\mathrm{rms}} = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$ , tegen $8.7\,\mathrm{A}$ als de arbeidsfactor $1$ was — de extra stroom verwarmt de kabels van het net voor niets, vandaar de boete. Een condensator parallel levert de energieschommelingen van de spoel ter plaatse per kwartperiode: het blindvermogen $P\tan\varphi = 2.0\,\mathrm{kvar}$ vraagt $C = P\tan\varphi/(\omega U_{\mathrm{rms}}^2) \approx 120\,\text{µ}\mathrm{F}$ bij $50\,\mathrm{Hz}$ , en de netstroom zakt naar $8.7\,\mathrm{A}$ .

8.5 Oefeningen

Oefening 8.1 ★

Geef de complexe amplitude van $u = 5\cos(\omega t + \pi/3)$ (V), in polaire en in cartesische vorm. Schrijf met complexe amplitudes $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ als één cosinus.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.1.

$\underline U = 5\eu^{j\pi/3} = 2.5 + 4.33j$ (V). $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ : $3 + 4\eu^{-j\pi/2} = 3 - 4j$ , modulus $5$ , argument $-\arctan(4/3) = -0.927\,\mathrm{rad}$ : $5\cos(\omega t - 0.927)$ .

Oefening 8.2 ★

Bereken de impedantie van $R = 100\,\Omega$ , $L = 0.10\,\mathrm{H}$ en $C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ bij $50\,\mathrm{Hz}$ en bij $1.0\,\mathrm{kHz}$ . Geef de modulus en de fase van de impedantie van $R$ en $L$ in serie bij $50\,\mathrm{Hz}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.2.

$R$ : $100\,\Omega$ bij beide. $L\omega$ : $31.4\,\Omega$ ( $50\,\mathrm{Hz}$ ), $628\,\Omega$ ( $1\,\mathrm{kHz}$ ). $1/C\omega$ : $318\,\Omega$ , $15.9\,\Omega$ . $RL$ in serie bij $50\,\mathrm{Hz}$ : $\abs{\underline Z} = \sqrt{100^2 + 31.4^2} = 105\,\Omega$ , fase $\arctan(0.314) = 17^\circ$ .

Oefening 8.3 ★

Het lichtnet is $230\,\mathrm{V}$ effectief: hoe groot is de amplitude? Een kachel van $2.0\,\mathrm{kW}$ : effectieve en piekstroom. Toon aan dat het gemiddelde vermogen in een weerstand $RI_{\mathrm{rms}}^2$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.3.

$U = 230\sqrt2 = 325\,\mathrm{V}$ . $I_{\mathrm{rms}} = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ , piek $12.3\,\mathrm{A}$ . $\langle Ri^2\rangle = R\langle i^2\rangle = RI_{\mathrm{rms}}^2$ volgens de definitie van de effectieve waarde.

Oefening 8.4 ★

RLC in serie: $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R = 100\,\Omega$ , $E = 1.0\,\mathrm{V}$ . Geef $f_0$ , $Q$ , de bandbreedte in hertz en de stroomamplitude bij resonantie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.4.

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = \sqrt{L/C}/R = 3.16$ ; $\Delta f = f_0/Q = 1.6\,\mathrm{kHz}$ ; $I_{\max} = E/R = 10\,\mathrm{mA}$ .

Oefening 8.5 ★★

RC-deler, uitgang over $C$ : $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 159\,\mathrm{nF}$ . Bij welke frequentie is de uitgang $1/\sqrt2$ van de ingang? Geef de amplitudeverhouding en de fase bij $1.0\,\mathrm{kHz}$ en bij $10\,\mathrm{kHz}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.5.

$1/\sqrt2$ bij $\omega = 1/RC$ : $f_c = 1/(2\pi RC) = 1.0\,\mathrm{kHz}$ . Bij $1.0\,\mathrm{kHz}$ : verhouding $0.71$ , fase $-45^\circ$ . Bij $10\,\mathrm{kHz}$ : $RC\omega = 10$ , verhouding $1/\sqrt{101} = 0.10$ , fase $-84^\circ$ .

Oefening 8.6 ★★

Bij een zekere frequentie heeft een RLC in serie $R = 100\,\Omega$ , $L\omega = 250\,\Omega$ , $1/C\omega = 100\,\Omega$ en $E = 1.0\,\mathrm{V}$ . Bereken $\underline Z$ , de amplitude en de fase van de stroom en de drie spanningsamplitudes; teken het fasordiagram. Zit de kring boven of onder de resonantie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.6.

$\underline Z = 100 + j(250 - 100) = 100 + 150j$ : $Z = 180\,\Omega$ , $\arg = 56^\circ$ . $I = 1.0/180 = 5.6\,\mathrm{mA}$ , achterlopend op de bron met $56^\circ$ . $U_R = 0.56\,\mathrm{V}$ , $U_L = 1.39\,\mathrm{V}$ , $U_C = 0.56\,\mathrm{V}$ ; fasoren: $U_R$ langs $I$ , $U_L$ omhoog, $U_C$ omlaag, resultante $1.0\,\mathrm{V}$ . $L\omega > 1/C\omega$ : boven de resonantie (inductief).

Oefening 8.7 ★★

Radio: $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ , $C$ regelbaar van $50\,$ tot $500\,\mathrm{pF}$ . Bepaal het frequentiebereik, de capaciteit voor $1.00\,\mathrm{MHz}$ , en met $Q = 100$ de bandbreedte en de verzwakking (amplitudeverhouding) van een zender op $9\,\mathrm{kHz}$ afstand. Bij een antenne-emk van $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : spanning over $C$ bij resonantie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.7.

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ : $1.59\,\mathrm{MHz}$ ( $50\,\mathrm{pF}$ ) tot $0.50\,\mathrm{MHz}$ ( $500\,\mathrm{pF}$ ). Bij $1.00\,\mathrm{MHz}$ : $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$ . $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$ . Zender op $1.009\,\mathrm{MHz}$ : $x = 1.009$ , $Q(x - 1/x) = 1.8$ , verhouding $1/\sqrt{1 + 3.2} = 0.49$ . Condensatorspanning $QE = 1.0\,\mathrm{mV}$ .

Oefening 8.8 ★★

Leid de twee halfvermogenfrequenties van de RLC in serie af en toon aan dat hun verschil $\omega_0/Q$ is en hun product $\omega_0^2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.8.

$Q(x - 1/x) = \pm1 \Leftrightarrow x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ ; positieve wortels $x_{1,2} = \mp 1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$ . Verschil $1/Q$ , dus $\Delta\omega = \omega_0/Q$ ; product $(1 + 1/4Q^2) - 1/4Q^2 = 1$ , dus $\omega_1\omega_2 = \omega_0^2$ (de band ligt symmetrisch op een logaritmische schaal).

Oefening 8.9 ★★

Een motor op $230\,\mathrm{V}$ effectief, $50\,\mathrm{Hz}$ , neemt $2.0\,\mathrm{kW}$ op met $\cos\varphi = 0.70$ . Bereken de effectieve stroom, het blindvermogen, de capaciteit die er parallel voor zorgt dat de arbeidsfactor $1$ wordt, en de nieuwe stroom. De voedingskabel heeft $0.50\,\Omega$ : joulewarmte ervóór en erna.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.9.

$I = P/(U\cos\varphi) = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$ . Blindvermogen $P\tan\varphi = 2000 \times 1.02 = 2.0\,\mathrm{kvar}$ . $C = 2040/(314 \times 230^2) = 123\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Nieuwe stroom $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ . Verliezen $0.50 \times 12.4^2 = 77\,\mathrm{W}$ ervóór, $0.50 \times 8.7^2 = 38\,\mathrm{W}$ erna.

Oefening 8.10 ★★★

RLC parallel gevoed door een stroombron: schrijf de admittantie op, toon aan dat de spanning maximaal is bij $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ en daar gelijk is aan $RI$ , en dat de bandbreedte $\Delta\omega = 1/RC$ bedraagt, dus $Q = R\sqrt{C/L}$ . Getallen: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ , $C = 1.0\,\mathrm{nF}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.10.

$\underline Y = 1/R + j(C\omega - 1/L\omega)$ ; $\underline U = \underline I/ \underline Y$ is maximaal wanneer de susceptantie verdwijnt, bij $\omega_0$ , waar $U = RI$ . Halfvermogen: $\abs{C\omega - 1/L\omega} = 1/R$ , dus $RC\omega_0(x - 1/x) = \pm1$ : $\Delta\omega = \omega_0/(RC\omega_0) = 1/RC$ en $Q = RC\omega_0 = R\sqrt{C/L}$ . Getallen: $\omega_0 = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ( $f_0 = 159\,\mathrm{kHz}$ ), $Q = 10^4\sqrt{10^{-6}} = 10$ , $\Delta f = 16\,\mathrm{kHz}$ .

Oefening 8.11 ★★★

Toon aan dat de condensatorspanning van een RLC in serie $U_C = E/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ is, dat zij piekt bij $x_r = \sqrt{1 - 1/2Q^2}$ als $Q > 1/\sqrt2$ , en bereken $x_r$ en $U_{C,\max}/E$ voor $Q = 3.16$ . Wat gebeurt er voor $Q < 1/\sqrt2$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.11.

$U_C = I/C\omega = E/[C\omega\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}]$ . Vermenigvuldig binnenin met $C\omega$ : de noemer wordt $\sqrt{(RC\omega)^2 + (LC\omega^2 - 1)^2} = \sqrt{x^2/Q^2 + (1 - x^2)^2}$ . Met $s = x^2$ is $(1 - s)^2 + s/Q^2$ minimaal bij $s = 1 - 1/2Q^2$ (als dat positief is), met minimum $1/Q^2 - 1/4Q^4$ : $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ . Voor $Q = 3.16$ : $x_r = 0.975$ , $U_{C,\max} = 3.2E$ . Voor $Q < 1/\sqrt2$ ligt het minimum bij $s = 0$ : $U_C$ daalt monotoon vanaf $E$ , zonder piek.

Oefening 8.12 ★★★

Toon aan dat bij resonantie van een RLC in serie de totale opgeslagen energie $\tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2$ constant en gelijk aan $\tfrac12 LI^2$ is, bereken de per periode in $R$ gedissipeerde energie en bewijs dat $2\pi\,(\text{opgeslagen})/(\text{gedissipeerd per periode}) = Q$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.12.

Bij resonantie is $i = I\cos\omega_0 t$ en $u_C = (I/C\omega_0)\sin\omega_0 t$ , zodat, met $1/C\omega_0^2 = L$ ,

\tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2 = \tfrac12 LI^2\cos^2\omega_0 t + \tfrac12 LI^2\sin^2\omega_0 t = \tfrac12 LI^2 .

Per periode gedissipeerd: $\tfrac12 RI^2T$ . De verhouding $\times 2\pi$ : $2\pi L/(RT) = L\omega_0/R = Q$ .

Een buizenradio afstemmen: aan de knop draaien verandert een condensator, de condensator bepaalt de resonantiefrequentie van een LC-kring, en de zender waarvan de frequentie past is de zender die je hoort — de weekendopgave. — Een buizenradio afstemmen: aan de knop draaien verandert een condensator, de condensator bepaalt de resonantiefrequentie van een $LC$ -kring, en de zender waarvan de frequentie past is de zender die je hoort — de weekendopgave.

8.6 Probleem: De resonante radio-ontvanger

Probleem 8.1

Weekendopgave — een spoel, een regelbare condensator en een antenne: hoe een serieresonantie één zender uit honderd oppikt, haar zwakke signaal met honderd vermenigvuldigt, en waarom zij niet willekeurig selectief kan worden gemaakt

De antenne wordt gemodelleerd als een ideale sinusvormige emk $e(t) = E\cos\omega t$ in serie met een spoel $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ , waarvan de draad weerstand $R = 12.6\,\Omega$ heeft, en een regelbare condensator $C$ . De ontvanger leest de spanning over $C$ . Later (deel IV) wordt de eigen weerstand $R_a = 50\,\Omega$ van de antenne meegerekend.

Deel I — De resonante stroom.

Schrijf de complexe impedantie van de serieschakeling op.
Geef de complexe amplitude van de stroom, dan haar amplitude $I(\omega)$ en haar fase $\varphi_i(\omega)$ ten opzichte van $e$ .
Toon aan dat $I$ maximaal is bij $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ ; geef $I_{\max}$ en de fase op dat moment.
Welke capaciteit stemt af op $f_0 = 1.000\,\mathrm{MHz}$ ? Bereken $L\omega_0$ .
Definieer $Q = L\omega_0/R$ en bereken het.
Toon aan dat $I/I_{\max} = 1/\sqrt{1 + Q^2(x - 1/x)^2}$ met $x = \omega/\omega_0$ .
Geef het teken van $\varphi_i$ onder en boven de resonantie en duid het (capacitief of inductief gedrag).

Deel II — Selectiviteit.

Schrijf de voorwaarde op die de twee frequenties bepaalt waarbij $I = I_{\max}/\sqrt2$ .
Los haar op en toon aan dat $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \omega_0/Q$ .
Bereken de bandbreedte $\Delta f$ van deze ontvanger.
Een tweede zender zendt uit op $1.010\,\mathrm{MHz}$ , een derde op $1.020\,\mathrm{MHz}$ : bereken de amplitudeverhouding $I/I_{\max}$ voor elk, en de bijbehorende vermogensverhouding in decibel.
AM-zenders liggen $9\,$ tot $10\,\mathrm{kHz}$ uit elkaar. Is de ontvanger selectief genoeg? Wat zou hem verbeteren?
De condensator kan tussen $50\,$ en $500\,\mathrm{pF}$ worden gezet: welke frequentieband bestrijkt de ontvanger?

Deel III — Spanningsopslingering.

Druk de complexe amplitude van de condensatorspanning uit en toon aan dat haar amplitude bij resonantie $QE$ is.
De emk van de antenne is $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : bereken $I_{\max}$ en de condensatorspanning bij resonantie. Becommentarieer.
Toon aan dat de spoelspanning bij resonantie dezelfde amplitude heeft en in tegenfase is met de condensatorspanning: wat “ziet” de bron?
Bereken de energie die bij resonantie in de kring is opgeslagen en de energie die per periode wordt gedissipeerd; ga na dat hun verhouding maal $2\pi$ gelijk is aan $Q$ .
Wat is, volgens Hoofdstuk 7, de tijdconstante $\tau = 2Q/\omega_0$ van deze kring? Waarom vervormt een zeer hoge $Q$ uiteindelijk spraak en muziek (bandbreedte van audio: ongeveer $5\,\mathrm{kHz}$ voor AM)?
Als de draadweerstand van de spoel verdubbelde (dunner draad), hoe zouden $Q$ , de bandbreedte en de condensatorspanning dan veranderen?

Deel IV — De weerstand van de antenne, en het vermogen.

Herbereken met $R_a = 50\,\Omega$ in serie de waarde van $Q$ , de bandbreedte en de condensatorspanning voor $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ . Trek een conclusie.
Bereken het gemiddelde vermogen dat de emk van de antenne bij resonantie levert en de fractie die in $R_a$ wordt gedissipeerd.
De stelling van het maximale vermogen zou een belastingsweerstand vragen die gelijk is aan $R_a$ : waarom botst dat doel met de selectiviteit?
Werkelijke ontvangers verbinden de antenne met een aftakking op de spoel, of via een kleine koppelcondensator. Leg kwalitatief uit wat dat oplevert.
Bereken met $P = \tfrac12 UI\cos\varphi$ de arbeidsfactor bij de twee halfvermogenfrequenties en verklaar de naam “halfvermogen”.
Vat het ontwerp samen: wat $Q$ oplevert, wat het kost, en de waarde die voor een ontvanger op $1\,\mathrm{MHz}$ met kanalen van $10\,\mathrm{kHz}$ wordt gekozen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 8.1.

1. $\underline Z = R + j(L\omega - 1/C\omega)$ .

2. $\underline I = E/\underline Z$ ; $I = E/\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}$ ; $\varphi_i = -\arctan[(L\omega - 1/C\omega)/R]$ .

3. De reactantie verdwijnt bij $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ : $I_{\max} = E/R$ , $\varphi_i = 0$ .

4. $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$ ; $L\omega_0 = 2\times10^{-4} \times 6.28\times10^6 = 1257\,\Omega$ .

5. $Q = 1257/12.6 = 100$ .

6. $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$ , deel door $R$ .

7. $x < 1$ : reactantie negatief, $\varphi_i > 0$ , de stroom loopt voor (capacitief); $x > 1$ : loopt achter (inductief).

8. $Q(x - 1/x) = \pm1$ .

9. $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ , $x_{1,2} = \mp1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$ , $x_2 - x_1 = 1/Q$ : $\Delta\omega = \omega_0/Q$ .

10. $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$ .

11. $1.010\,\mathrm{MHz}$ : $Q(x - 1/x) = 100 \times 0.0199 = 2.0$ , verhouding $1/\sqrt{5.0} = 0.45$ , vermogen $0.20$ : $-7\,\mathrm{dB}$ . $1.020\,\mathrm{MHz}$ : $3.96$ , verhouding $0.25$ , vermogen $0.06$ : $-12\,\mathrm{dB}$ .

12. Op het randje: de buur ligt maar $7\,\mathrm{dB}$ lager. Een hogere $Q$ (lagere $R$ ), of meerdere afgestemde trappen in cascade, scherpt de selectie aan.

13. $0.50\,\mathrm{MHz}$ tot $1.59\,\mathrm{MHz}$ : de AM-band.

14. $\underline U_C = \underline I/jC\omega$ ; bij $\omega_0$ is $U_C = I_{\max}/C\omega_0 = E/(RC\omega_0) = QE$ .

15. $I_{\max} = 10^{-5}/12.6 = 0.79\,\text{µ}\mathrm{A}$ ; $U_C = QE = 1.0\,\mathrm{mV}$ : een honderdvoudige spanningswinst zonder versterker.

16. $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$ , $\underline U_C = -jQE$ : even groot en tegengesteld, zij heffen elkaar op; de bron ziet alleen $R$ .

17. Opgeslagen $\tfrac12 LI_{\max}^2 = 6.2 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ ; per periode gedissipeerd $\tfrac12 RI_{\max}^2T = 3.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ ; $2\pi \times 6.2/0.39 \approx 100 = Q$ .

18. $\tau = 2Q/\omega_0 = 32\,\text{µ}\mathrm{s}$ . De kring kan veranderingen sneller dan $\sim\tau$ niet volgen: een bandbreedte $\Delta f$ laat alleen modulaties door die trager zijn dan $\Delta f$ ; met $Q = 1000$ is $\Delta f = 1\,\mathrm{kHz}$ en zouden de hoge tonen van het programma verloren gaan.

19. $Q$ halveert tot $50$ , $\Delta f$ verdubbelt tot $20\,\mathrm{kHz}$ , $U_C$ halveert tot $0.5\,\mathrm{mV}$ .

20. $R_{\text{tot}} = 62.6\,\Omega$ : $Q = 1257/62.6 = 20$ , $\Delta f = 50\,\mathrm{kHz}$ , $U_C = 20 \times 10\,\text{µ}\mathrm{V} = 0.2\,\mathrm{mV}$ : gevoeligheid en selectiviteit storten allebei in.

21. $P = E^2/(2R_{\text{tot}}) = 10^{-10}/125 = 8 \times 10^{-13}\,\mathrm{W}$ ; fractie in $R_a$ : $50/62.6 = 80\%$ .

22. Aanpassing vraagt een belastingsweerstand gelijk aan $R_a$ , dus een grote totale weerstand; selectiviteit vraagt de kleinst mogelijke totale weerstand ( $Q = L\omega_0/R_{\text{tot}}$ ). Met een rechtstreekse verbinding kan men niet allebei hebben.

23. Een aftakking of een kleine koppelcondensator biedt de antenne maar een deel van de resonantiekring aan: de kring “ziet” de weerstand van de antenne sterk verkleind, zodat $Q$ hoog blijft, terwijl de antenne toch dicht bij haar optimum vermogen levert.

24. Bij de halfvermogenfrequenties is de reactantie gelijk aan $\pm R$ , dus $\varphi = \pm45^\circ$ en $\cos\varphi = 1/\sqrt2$ ; omdat ook $I = I_{\max}/\sqrt2$ , is $P = \tfrac12 EI\cos\varphi$ de helft van zijn waarde bij resonantie.

25. $Q$ vermenigvuldigt het signaal met $Q$ en versmalt de band tot $f_0/Q$ , ten koste van een tragere reactie ( $\tau = 2Q/\omega_0$ ) en een kwetsbare koppeling met de antenne; voor kanalen van $10\,\mathrm{kHz}$ bij $1\,\mathrm{MHz}$ is $Q \approx 100$ het getal — en de antenne moet er licht aan gekoppeld worden om het te behouden.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 431 begrippen in de begrippenlijst