Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

13Ondes électromagnétiques planes et polarisation

Inclinez la tête en portant des lunettes de soleil polarisantes et le reflet sur la route mouillée apparaît et disparaît ; tournez les lunettes devant l’écran d’un téléphone et l’écran devient noir. La lumière qui atteint votre œil n’est pas seulement une onde ayant une fréquence et une intensité : elle possède une direction de vibration, et tout polariseur, tout écran, tout verre de cinéma 3D et tout connecteur de fibre optique en joue. Ce chapitre résout les équations de Maxwell dans l’espace vide — l’onde plane, aux champs électrique et magnétique transversaux verrouillés à angle droit — passe en revue le spectre que ces ondes couvrent, et étudie la polarisation : comment la décrire, comment la sélectionner par un polariseur (loi de Malus), et comment la transformer par une lame biréfringente.

13.1 Ondes planes dans le vide

Théorème 13.1 (Équation d’onde ; ondes planes progressives harmoniques)

Dans le vide, sans charges ni courants, les équations de Maxwell donnent

\Delta\vect E = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect E}{\partial t^2} , \qquad \Delta\vect B = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect B}{\partial t^2} , \qquad c = \frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} .

L’onde plane progressive harmonique (OPPH) $\underline{\vect E} = \underline{\vect E}_0\,\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ en est solution pourvu que $\omega = ck$ (aucune dispersion), et les équations de Maxwell imposent alors

\vect k\cdot\vect E = 0 , \qquad \vect B = \frac{\vect k\wedge\vect E}\omega = \frac{\vect u\wedge\vect E}c ,

$\vect u = \vect k/k$ étant la direction de propagation : l’onde est transversale, $(\vect E, \vect B, \vect u)$ forme un trièdre orthogonal direct, $\vect E$ et $\vect B$ sont en phase et $B = E/c$ . Son intensité vaut $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ et elle transporte le flux de quantité de mouvement $I/c$ (Chapitre 12).

Démonstration. L’équation d’onde a été établie à l’Exercice 11.11. Pour $\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ , $\partial_t \to \iu\omega$ et $\vect\nabla \to -\iu\vect k$ : $\Delta \to -k^2$ , donc $k^2 = \omega^2/c^2$ ; Maxwell–Gauss donne $-\iu \vect k\cdot\underline{\vect E} = 0$ , Maxwell–flux $\vect k\cdot\underline{\vect B} = 0$ , Maxwell–Faraday $-\iu\vect k\wedge\underline{\vect E} = -\iu\omega\underline{\vect B}$ , d’où $\underline{\vect B} = \vect k\wedge\underline{\vect E}/\omega$ , de module $kE/\omega = E/c$ et perpendiculaire aux deux ; Maxwell–Ampère est alors satisfaite identiquement. ∎

Une onde plane progressive harmonique à un instant donné : E et B perpendiculaires l’un à l’autre et à la direction de propagation, en phase, B = E/c ; tout le motif glisse selon u à la vitesse c. — Une onde plane progressive harmonique à un instant donné : $\vect E$ et $\vect B$ perpendiculaires l’un à l’autre et à la direction de propagation, en phase, $B = E/c$ ; tout le motif glisse selon $\vect u$ à la vitesse $c$ .

Remarque 13.2 (Le spectre)

Une seule équation, une seule vitesse, et vingt ordres de grandeur en fréquence. Radio : $30\,\mathrm{kHz}$ à $300\,\mathrm{MHz}$ ( $\lambda$ de $10\,\mathrm{km}$ à $1\,\mathrm{m}$ ), antennes et circuits (Chapitre 17). Micro-ondes : $300\,\mathrm{MHz}$ à $300\,\mathrm{GHz}$ , radar, fours, téléphones mobiles, fond diffus cosmologique. Infrarouge : jusqu’à $400\,\mathrm{THz}$ ( $750\,\mathrm{nm}$ ), le rayonnement thermique de tout ce qui nous entoure (Chapitre 26). Visible : de $400\,\mathrm{THz}$ à $750\,\mathrm{THz}$ , de $750\,\mathrm{nm}$ (rouge) à $400\,\mathrm{nm}$ (violet) — une octave, des photons de $1.6$ à $3.1\,\mathrm{eV}$ . Ultraviolet jusqu’à $10\,\mathrm{nm}$ ; rayons X jusqu’à $10\,\mathrm{pm}$ ( $100\,\mathrm{keV}$ ), issus des couches atomiques internes et du freinage des électrons ; rayons gamma au-delà, issus des noyaux. Seules les sources et les détecteurs diffèrent : l’onde est la même.

Le spectre électromagnétique sur une échelle logarithmique de fréquence ; la bande visible n’est qu’un liseré — une octave sur vingt décades.

13.2 La polarisation

Définition 13.3 (États de polarisation)

Pour une OPPH selon $z$ , le champ dans un plan $z =$ const vaut

\vect E = E_{0x}\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x + E_{0y}\cos(\omega t - kz - \varphi)\,\vect e_y ,

et l’extrémité de $\vect E$ décrit, en général, une ellipse : c’est la polarisation elliptique. Deux cas particuliers : $\varphi = 0$ ou $\pi$ , polarisation rectiligne selon une direction fixe faisant l’angle $\arctan(\pm E_{0y}/E_{0x})$ avec $x$ ; $E_{0x} = E_{0y}$ et $\varphi = \pm\pi/2$ , polarisation circulaire, $\vect E$ de module constant tournant à $\omega$ (droite ou gauche selon son sens de rotation, vu face à l’onde qui arrive). La lumière naturelle (non polarisée), d’une lampe ou du Soleil, est une succession de courts trains d’ondes de polarisations aléatoires et rapidement changeantes : aucune direction n’est privilégiée en moyenne. Toute polarisation se décompose en deux composantes rectilignes (ou deux circulaires).

Démonstration. Avec $X = E_x/E_{0x}$ , $Y = E_y/E_{0y}$ : $X = \cos\theta$ , $Y = \cos(\theta - \varphi)$ , donc $X^2 + Y^2 - 2XY\cos\varphi = \sin^2\varphi$ , une ellipse, dégénérée en les droites $Y = \pm X$ pour $\varphi = 0, \pi$ et en un cercle pour $E_{0x} = E_{0y}$ , $\varphi = \pm\pi/2$ . ∎

Proposition 13.4 (Polariseurs et loi de Malus)

Un polariseur transmet la composante de $\vect E$ selon son axe de transmission $\vect p$ et absorbe l’autre (une feuille de longues molécules alignées, qui conduisent selon leur longueur — la polarisation transmise est perpendiculaire aux molécules). Une lumière polarisée rectilignement d’intensité $I_0$ dont la direction fait l’angle $\theta$ avec $\vect p$ en ressort polarisée rectilignement selon $\vect p$ avec

I = I_0\cos^2\theta \qquad\text{(Malus)} ;

la lumière naturelle en ressort avec $I_0/2$ , polarisée selon $\vect p$ . Deux polariseurs croisés ne transmettent rien ; un troisième inséré à $45{}^{\circ}$ entre eux transmet $I_0/8$ .

Démonstration. L’amplitude transmise vaut $E_0\cos\theta$ et $I \propto E_0^2$ . Lumière naturelle : moyenne de $\cos^2\theta$ sur tous les $\theta$ , soit $\tfrac12$ . Trois polariseurs : $\tfrac12\cdot\cos^2 45^\circ\cdot\cos^2 45^\circ = \tfrac18$ — le polariseur du milieu ne fait pas qu’atténuer, il tourne la polarisation. ∎

À gauche : de la lumière naturelle à travers trois polariseurs à 0, 45 et 90 — celui du milieu en laisse passer un huitième à travers une paire qui, seule, bloquerait tout. À droite : la loi de Malus. — À gauche : de la lumière naturelle à travers trois polariseurs à $0^\circ$ , $45^\circ$ et $90^\circ$ — celui du milieu en laisse passer un huitième à travers une paire qui, seule, bloquerait tout. À droite : la loi de Malus.

Exemple 13.5 (Lunettes de soleil, écrans, photographies)

La lumière réfléchie sous une incidence rasante par l’eau ou l’asphalte est largement polarisée horizontalement (angle de Brewster, Chapitre 15) : des lunettes de soleil à axe de transmission vertical coupent le reflet et laissent le reste. Un écran à cristaux liquides émet une lumière polarisée : à travers un polariseur à $90{}^{\circ}$ il devient noir. Le filtre polarisant d’un photographe assombrit le ciel (la lumière diffusée est partiellement polarisée, Chapitre 17) et supprime les reflets sur les vitres.

13.3 Biréfringence et lames à retard

Proposition 13.6 (Lames à retard)

Dans un cristal biréfringent (calcite, quartz, mica ; ou encore une feuille de plastique étirée), une onde qui se propage selon une direction donnée se sépare en deux polarisations rectilignes, selon les axes rapide et lent de la lame, se propageant avec des indices différents $n_f < n_s$ (admis — le cristal répond différemment selon ses axes). Une lame d’épaisseur $e$ retarde la composante lente de la phase

\delta = \frac{2\pi}\lambda(n_s - n_f)\,e .

Une lame demi-onde ( $\delta = \pi$ ) transforme une polarisation rectiligne à l’angle $\alpha$ de l’axe rapide en une polarisation rectiligne à $-\alpha$ : elle la fait tourner de $2\alpha$ . Une lame quart d’onde ( $\delta = \pi/2$ ) transforme une polarisation rectiligne à $45{}^{\circ}$ de ses axes en lumière circulaire, et une lumière circulaire en lumière rectiligne ; sous d’autres angles, en lumière elliptique dont les axes sont ceux de la lame.

Démonstration. Le champ incident vaut $E_0(\cos\alpha\,\vect e_f + \sin\alpha\,\vect e_s)\cos\omega t$ ; après la lame,

E_0[\cos\alpha\cos\omega t\,\vect e_f + \sin\alpha\cos(\omega t - \delta)\,\vect e_s] .

Pour $\delta = \pi$ la composante selon $\vect e_s$ change de signe : direction $(\cos\alpha, -\sin\alpha)$ . Pour $\delta = \pi/2$ et $\alpha = 45^\circ$ : $(E_0/\sqrt2)(\cos \omega t, \sin\omega t)$ , un cercle. ∎

Les états de polarisation d’une onde plane, vus face à la lumière qui arrive, et une lame biréfringente avec ses axes rapide et lent.

Exemple 13.7 (Où l’on emploie les lames)

Une lame quart d’onde placée entre un polariseur et un miroir fait un isolateur optique : la lumière part circulaire, revient circulaire de sens opposé, est transformée par la lame en lumière rectiligne à $90{}^{\circ}$ du polariseur et absorbée — aucune réflexion ne revient vers le laser. Les images des deux yeux d’un film 3D sont projetées en polarisations circulaires opposées et triées par les sandwichs lame quart d’onde et polariseur des lunettes, qui fonctionnent encore quand on incline la tête (des polariseurs rectilignes ne le feraient pas). Une règle transparente entre polariseurs croisés montre des franges colorées : la contrainte rend le plastique biréfringent, et les ingénieurs lisent sur le motif les contraintes d’une maquette.

Méthode 13.8 (Suivre une polarisation à travers un montage)

(1) Choisir des axes ; écrire le champ incident comme deux composantes avec leur déphasage. (2) Un polariseur : garder la projection sur son axe (amplitude $\times\cos$ , intensité $\times\cos^2$ ; lumière naturelle $\times\tfrac12$ ). (3) Une lame : projeter sur ses axes rapide et lent, retarder la composante lente de $\delta$ , recombiner. (4) Lire le résultat : une phase $0$ ou $\pi$ signifie rectiligne, $\pm\pi/2$ avec des amplitudes égales signifie circulaire. (5) Pour analyser un faisceau inconnu : tourner un polariseur (l’intensité varie : part rectiligne ou elliptique), puis ajouter une lame quart d’onde (la lumière circulaire devient rectiligne et peut être éteinte).

13.4 Exercices

Exercice 13.1 ★

Une station FM à $100\,\mathrm{MHz}$ donne, à un récepteur, une intensité de $1.0\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Longueur d’onde, nombre d’onde, période ; amplitudes $E_0$ et $B_0$ ; densité d’énergie ; force électromotrice induite dans une antenne de $1\,\mathrm{m}$ alignée sur $\vect E$ ; flux de photons (par mètre carré et par seconde).

Solution

Solution de Exercice 13.1.

$\lambda = 3.0\,\mathrm{m}$ , $k = 2.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $T = 10\,\mathrm{ns}$ ; $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 27\,\mathrm{mV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 9 \times 10^{-11}\,\mathrm{T}$ ; $u = I/c = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; force électromotrice $E_0 \times 1\,\mathrm{m} = 27\,\mathrm{mV}$ ; $I/hf = 10^{-6}/6.6 \times 10^{-26} = 1.5 \times 10^{19}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

Exercice 13.2 ★

Fréquence et énergie du photon (en eV) pour $\lambda = 1\,\mathrm{km}$ , $10\,\mathrm{cm}$ , $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $550\,\mathrm{nm}$ , $10\,\mathrm{nm}$ , $0.1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\mathrm{pm}$ ; nommer la bande de chacune ; longueur d’onde d’un rayon gamma de $1\,\mathrm{MeV}$ et du fond cosmologique à $2.7\,\mathrm{K}$ (maximum vers $160\,\mathrm{GHz}$ ).

Solution

Solution de Exercice 13.2.

$300\,\mathrm{kHz}$ ( $1.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{eV}$ , radio) ; $3\,\mathrm{GHz}$ ( $1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ , micro-onde) ; $30\,\mathrm{THz}$ ( $0.12\,\mathrm{eV}$ , infrarouge) ; $545\,\mathrm{THz}$ ( $2.25\,\mathrm{eV}$ , visible) ; $3 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz}$ ( $124\,\mathrm{eV}$ , ultraviolet extrême) ; $3 \times 10^{18}\,\mathrm{Hz}$ ( $12\,\mathrm{keV}$ , X) ; $3 \times 10^{20}\,\mathrm{Hz}$ ( $1.2\,\mathrm{MeV}$ , gamma). $1\,\mathrm{MeV}$ : $1.2\,\mathrm{pm}$ ; $160\,\mathrm{GHz}$ : $1.9\,\mathrm{mm}$ .

Exercice 13.3 ★

Une lumière polarisée rectilignement d’intensité $I_0$ tombe sur un polariseur à $30{}^{\circ}$ , puis un deuxième à $60{}^{\circ}$ du premier, puis un troisième à $90{}^{\circ}$ du premier : intensité après chacun. Idem avec de la lumière naturelle. Retirer celui du milieu : qu’est-ce qui change ?

Solution

Solution de Exercice 13.3.

$0.75I_0$ , $0.56I_0$ , $0.42I_0$ ; naturelle : $0.375$ , $0.28$ , $0.21$ . Sans celui du milieu : $0.75 \times \cos^260^\circ = 0.19I_0$ (naturelle $0.125I_0$ ) : le polariseur intermédiaire en laisse passer davantage en tournant la polarisation.

Exercice 13.4 ★

Vérifier que $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x$ , $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t - kz)\,\vect e_y$ satisfait les quatre équations de Maxwell dans le vide lorsque $\omega = kc$ . Quelle équation fixe la direction de $\vect B$ , laquelle sa norme ? Que se passe-t-il si l’on essaie $\vect E$ selon $\vect e_z$ ?

Solution

Solution de Exercice 13.4.

$\operatorname{div}\vect E = \partial_xE_x = 0$ , $\operatorname{div}\vect B = 0$ ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = E_0k\sin(\omega t - kz)\,\vect e_y = -\partial_t\vect B$ si et seulement si $\omega = kc$ — Faraday fixe à la fois la direction ( $\vect e_y$ ) et la norme ( $E_0/c$ ) de $\vect B$ ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(E_0k/c)\sin(\omega t - kz)\,\vect e_x = \mu_0\varepsilon_0\partial_t\vect E$ . Un $\vect E$ selon $\vect e_z$ aurait $\operatorname{div} \vect E \ne 0$ sans charge : impossible — l’onde est transversale.

Exercice 13.5 ★★

Lumière circulaire. (a) Écrire le champ d’une onde polarisée circulairement selon $z$ et montrer que $|\vect E|$ est constant tandis que sa direction tourne à $\omega$ . (b) Montrer que la somme d’une onde circulaire droite et d’une circulaire gauche de même amplitude est polarisée rectilignement, selon une direction fixée par leur phase relative. (c) À travers un polariseur, que donne la lumière circulaire, et l’intensité dépend-elle de l’angle du polariseur ? (d) Comment distinguer alors la lumière circulaire de la lumière naturelle ?

Solution

Solution de Exercice 13.5.

(a) $\vect E = E_0(\cos(\omega t - kz), \pm\sin(\omega t - kz), 0)$ : module $E_0$ , angle $\pm(\omega t - kz)$ . (b) $(\cos, \sin) + (\cos, -\sin) = (2\cos, 0)$ : rectiligne selon $x$ ; une phase relative $\varphi$ tourne la direction de $\varphi/2$ . (c) $I_0/2$ sous tout angle. (d) Une lame quart d’onde transforme la lumière circulaire en lumière rectiligne, qu’un polariseur éteint ensuite ; la lumière naturelle reste non polarisée.

Exercice 13.6 ★★

Le quartz a $n_s - n_f = 0.0091$ à $589\,\mathrm{nm}$ . (a) Épaisseur d’une lame quart d’onde d’ordre le plus bas ; d’une lame demi-onde. (b) Une lame quart d’onde pour $589\,\mathrm{nm}$ utilisée à $450\,\mathrm{nm}$ : déphasage (négliger la variation des indices) ; que sort-il pour une lumière rectiligne à $45{}^{\circ}$ ? (c) Pourquoi les lames « d’ordre multiple » (épaisseur $e + m\lambda/(n_s - n_f)$ ) sont-elles plus sensibles à la longueur d’onde et à la température ? (d) Pourquoi l’épaisseur d’une lame doit-elle être maîtrisée au micromètre près ?

Solution

Solution de Exercice 13.6.

(a) $e = \lambda/4(n_s - n_f) = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; demi-onde $32\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $\delta = (\pi/2)(589/450) = 2.1\,\mathrm{rad}$ : lumière elliptique. (c) $\delta \propto e/\lambda$ : une lame de $m + \tfrac14$ ondes a des $\dd\delta/\dd\lambda$ et $\dd\delta/\dd T$ plus grands d’un facteur $4m + 1$ . (d) $\delta \propto e$ : un micromètre sur $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ fait $6\%$ de $\pi/2$ .

Exercice 13.7 ★★

Lame demi-onde. (a) Montrer qu’une lumière rectiligne à l’angle $\alpha$ de l’axe rapide en ressort rectiligne à $-\alpha$ . (b) Une lame tournée de $\beta$ fait donc tourner la polarisation de $2\beta$ : quelle rotation de la lame rend horizontale une polarisation verticale ? (c) Que fait une lame demi-onde à une lumière circulaire ? (d) Entre polariseurs croisés, on tourne lentement une lame demi-onde : tracer l’intensité transmise en fonction de son angle.

Solution

Solution de Exercice 13.7.

(a) La composante lente change de signe : $(\cos\alpha, \sin\alpha) \to (\cos\alpha, -\sin\alpha)$ . (b) Une polarisation à l’angle $\alpha$ d’une lame placée à $\beta$ ressort à $2\beta - \alpha$ : rotation $2\beta$ ; $45{}^{\circ}$ . (c) Elle inverse le sens. (d) $I = I_0\sin^22\beta$ : quatre maxima et quatre extinctions par tour.

Exercice 13.8 ★★

$N$ polariseurs sont placés l’un après l’autre, chacun tourné de $\pi/2N$ par rapport au précédent, le dernier étant à $90{}^{\circ}$ du premier. Transmission d’une lumière polarisée rectilignement alignée sur le premier pour $N = 1, 2, 5, 10, 100$ ; limite $N \to \infty$ (utiliser $\cos^{2N}(\pi/2N) \approx 1 - \pi^2/4N$ ). Commenter : une polarisation peut être tournée de $90{}^{\circ}$ sans perte — par quoi ?

Solution

Solution de Exercice 13.8.

$\cos^{2N}(\pi/2N)$ : $0$ , $0.25$ , $0.61$ , $0.78$ , $0.976$ , $\to 1$ . Un milieu qui tourne continûment (pouvoir rotatoire, cellule à cristaux liquides) fait tourner la polarisation sans perte.

Exercice 13.9 ★★

Polarisation partielle. Un polariseur tournant devant un faisceau donne une intensité maximale $I_{\max}$ et une intensité minimale $I_{\min}$ . (a) Modéliser le faisceau comme de la lumière naturelle $I_n$ plus de la lumière polarisée rectilignement $I_p$ : exprimer $I_{\max}$ et $I_{\min}$ ; le taux de polarisation $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ . (b) Ciel bleu à $90{}^{\circ}$ du Soleil : $I_{\max}/I_{\min} = 5$ : $p$ . (c) Lumière réfléchie par un lac près de l’angle de Brewster, $p = 0.9$ : quelle part des lunettes polarisantes peuvent-elles supprimer ? (d) Un polariseur seul peut-il distinguer une lumière partiellement polarisée rectilignement d’une lumière partiellement circulaire ? Que faut-il de plus ?

Solution

Solution de Exercice 13.9.

(a) $I_{\max} = I_n/2 + I_p$ , $I_{\min} = I_n/2$ ; $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ . (b) $p = 4/6 = 0.67$ . (c) Le polariseur croisé laisse passer $I_n/2 = 0.05I$ : $95\%$ supprimés. (d) Non — les deux donnent une intensité constante ; il faut une lame quart d’onde.

Exercice 13.10 ★★★

Deux faisceaux croisés. Deux OPPH de même amplitude et de même fréquence, toutes deux polarisées selon $\vect e_y$ , se propagent dans le plan $xz$ sous les angles $\pm\theta$ avec $z$ . (a) Écrire le champ total et montrer que c’est une onde se propageant selon $z$ dont l’amplitude est modulée selon $x$ en $\cos(kx\sin\theta)$ . (b) Espacement des plans sombres (franges d’interférence) ; applications numériques pour $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $\theta = 5{}^{\circ}$ , et pour $\theta = 90{}^{\circ}$ (ondes contrapropagatives). (c) Vitesse de phase du motif selon $z$ ; comparer à $c$ ; quelque chose se déplace-t-il plus vite que la lumière ? (d) Calculer le vecteur de Poynting moyenné dans le temps et montrer que sa composante $x$ est nulle : l’énergie circule selon $z$ dans les plans brillants.

Solution

Solution de Exercice 13.10.

(a) Phases $\omega t - k(z\cos\theta \pm x\sin\theta)$ : somme $2E_0\cos(kx\sin\theta)\cos(\omega t - kz\cos\theta)\,\vect e_y$ . (b) $\Delta x = \lambda/2\sin\theta$ : $3.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ à $5{}^{\circ}$ , $\lambda/2 = 316\,\mathrm{nm}$ à $90{}^{\circ}$ . (c) $v_\varphi = c/\cos\theta > c$ : c’est la phase d’un motif ; l’énergie va selon $z$ à $c\cos\theta$ (et chaque onde à $c$ ). (d) $B_z = (\sin\theta/c)(E_1 - E_2)$ , $E_y = E_1 + E_2$ : $\langle\Pi_x\rangle \propto \langle E_1^2 - E_2^2\rangle = 0$ ; $\Pi_z \propto \cos\theta(E_1 + E_2)^2$ , maximal dans les plans brillants.

Exercice 13.11 ★★★

Le pixel à cristaux liquides. Une cellule nématique en hélice entre polariseurs croisés fait tourner la polarisation de la lumière de $90{}^{\circ}$ lorsqu’aucune tension n’est appliquée (l’orientation des molécules tourne en hélice à travers la cellule et la polarisation la suit — admis), et pas du tout lorsque quelques volts déroulent l’hélice. (a) Transmission dans les deux états : lequel est brillant ? (b) Les cellules réelles tournent de $90^\circ \pm 5^\circ$ à la longueur d’onde de conception : taux de contraste $I_{\text{clair}}/I_{\text{sombre}}$ si l’état sombre fuit par une erreur résiduelle de $5{}^{\circ}$ . (c) Pourquoi une cellule conçue pour $550\,\mathrm{nm}$ laisse-t-elle fuir un peu de bleu et de rouge dans l’état sombre (voir la rotation comme un empilement de nombreux retardateurs minces analogues à des demi-ondes) ? (d) Un pixel couleur emploie trois cellules de ce type avec des filtres ; pourquoi l’écran devient-il noir à travers un polariseur sous un certain angle, et que vous apprend cet angle ?

Solution

Solution de Exercice 13.11.

(a) Sans tension : tournée de $90{}^{\circ}$ , elle traverse le polariseur croisé : brillant ; sous tension : sombre. (b) Fuite $\sin^25^\circ = 7.6 \times 10^{-3}$ : contraste $130$ . (c) L’hélice agit comme un empilement de retardateurs dont $\delta \propto 1/\lambda$ : exacte à $550\,\mathrm{nm}$ , la rotation est fausse aux extrémités du spectre, qui fuient — l’état sombre paraît violacé. (d) Lorsque le polariseur extérieur est croisé avec le polariseur de sortie de l’écran ; l’angle est l’axe de polarisation de l’écran.

Exercice 13.12 ★★★

Pouvoir rotatoire. Dans une solution sucrée les deux polarisations circulaires se propagent avec des indices légèrement différents $n_L$ et $n_R$ . (a) Décomposer une polarisation rectiligne en composantes circulaires et montrer qu’après une longueur $\ell$ la polarisation est encore rectiligne mais tournée de $\theta = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$ . (b) Un tube de $1\,\mathrm{dm}$ d’une solution de saccharose à $0.10\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ fait tourner la lumière du sodium de $6.65{}^{\circ}$ : $n_L - n_R$ . (c) Un saccharimètre mesure $\theta$ à $0.01{}^{\circ}$ près : précision sur la concentration. (d) Le même effet est produit dans le verre par un champ magnétique parallèle au faisceau (effet Faraday, $\theta = VB\ell$ avec $V \approx 4\,\mathrm{rad}\,\mathrm{T}^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}$ ) : pourquoi un rotateur de Faraday, contrairement à un tube de sucre, n’annule-t-il pas sa rotation lorsque la lumière est renvoyée, et en quoi cela fait-il un isolateur ?

Solution

Solution de Exercice 13.12.

(a) $\vect e_x = \tfrac12[(\vect e_x + \iu\vect e_y) + (\vect e_x - \iu\vect e_y)]$ ; après $\ell$ les deux composantes ont les phases $k_L\ell$ et $k_R\ell$ , et se recombinent en une lumière rectiligne à l’angle $(k_L - k_R)\ell/2 = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$ . (b) $n_L - n_R = \theta\lambda/\pi\ell = 0.116 \times 589 \times 10^{-9}/0.314 = 2.2 \times 10^{-7}\,$ . (c) $0.01/6.65 \times 0.1 = 1.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ . (d) La rotation de Faraday est fixée par $\vect B$ , non par le sens de propagation : au retour elle s’ajoute ( $45{}^{\circ}$ $+$ $45{}^{\circ}$ $=$ $90{}^{\circ}$ ), et le polariseur d’entrée bloque la lumière de retour — c’est un isolateur.

Des lunettes de soleil polarisantes tenues devant un lac : le reflet, réfléchi près de l’angle de Brewster et polarisé horizontalement, est coupé par l’axe de transmission vertical des verres, et le fond du lac apparaît.

13.5 Problème : l’onde, l’écran et la voile

Problème 13.1

Problème du week-end — un faisceau laser décomposé en ses champs, un écran qui peint avec la polarisation, et un engin spatial qui navigue à la lumière

Partie I — Le faisceau. Un laser hélium–néon émet $10\,\mathrm{mW}$ à $632.8\,\mathrm{nm}$ dans un faisceau de $1.0\,\mathrm{mm}$ de diamètre, polarisé rectilignement selon $x$ , se propageant selon $z$ .

Fréquence, nombre d’onde, énergie d’un photon ; photons émis par seconde.
Intensité ; amplitudes $E_0$ et $B_0$ ; écrire $\vect E(z, t)$ et $\vect B(z, t)$ .
Densité d’énergie (moyenne) et énergie contenue dans $1\,\mathrm{m}$ de faisceau ; quelle est la longueur du faisceau émis en $1\,\mathrm{ns}$ , et combien de longueurs d’onde contient-il ?
Vecteur de Poynting : valeur moyenne et oscillation ; quantité de mouvement transportée par seconde ; force sur une cible noire et sur un miroir.
Comparer $E_0$ au champ qui lie l’électron dans un atome d’hydrogène ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ) et $B_0$ au champ terrestre ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ).
Pression de radiation sur un piège à faisceau noir, en pascals.
Un électron libre placé dans le faisceau : amplitude de l’oscillation de sa vitesse dans le champ électrique (négliger d’abord la force magnétique) ; rapport de la force magnétique à la force électrique sur lui — pourquoi la force magnétique est-elle négligeable pour la matière dans une lumière ordinaire ?
Écrire les champs du même faisceau s’il était polarisé circulairement ; qu’est-ce qui change dans l’intensité, dans le vecteur de Poynting et dans sa dépendance temporelle ?
Le faisceau traverse un polariseur dont l’axe fait $30{}^{\circ}$ avec $x$ : puissance transmise ; puis un second croisé avec le premier : puissance ; insérer entre eux un troisième à $45{}^{\circ}$ du premier : puissance.

Partie II — L’écran. Un écran à cristaux liquides : rétroéclairage (lumière naturelle), un polariseur, la cellule, un polariseur croisé. Sans tension la cellule fait tourner la polarisation de $90{}^{\circ}$ ; sous tension elle ne fait rien.

Fraction de l’intensité du rétroéclairage transmise dans l’état brillant (polariseurs parfaits) ; dans l’état sombre.
Une tension intermédiaire fait se comporter la cellule comme un retardateur de phase $\delta$ entre ses axes, placés à $45{}^{\circ}$ des polariseurs (sans rotation) : montrer que la transmission vaut $\sin^2(\delta/2)$ — l’échelle des gris.
Regardé à travers un polariseur tourné de $90{}^{\circ}$ par rapport au polariseur de sortie de l’écran, que voit-on ? Et à $45{}^{\circ}$ ?
Une lame quart d’onde collée sur l’écran à $45{}^{\circ}$ de son polariseur rend la sortie circulaire : avantage pour un spectateur portant des lunettes de soleil polarisantes ?
Des polariseurs parfaits laisseraient passer la moitié du rétroéclairage dans l’état brillant ; les feuilles réelles transmettent $85\%$ de l’idéal chacune, et les filtres colorés d’un pixel laissent passer le tiers de la lumière : fraction de la puissance du rétroéclairage qui atteint le spectateur en blanc ; nommer les deux endroits où l’essentiel de la lumière se perd.
Des feuilles croisées réelles laissent fuir $0.1\%$ de la lumière : taux de contraste de l’écran (brillant sur sombre) dans une pièce sombre.
Les « polariseurs circulaires » des photographes sont un polariseur rectiligne suivi d’une lame quart d’onde à $45{}^{\circ}$ : que reçoit l’appareil, et pourquoi est-ce préférable pour la lame séparatrice sensible à la polarisation de son autofocus qu’une lumière rectiligne ?
Pourquoi les lunettes de cinéma 3D utilisent-elles une polarisation circulaire plutôt que rectiligne ? Qu’advient-il de la diaphonie entre les yeux si le spectateur incline la tête de $20{}^{\circ}$ avec des lunettes rectilignes (intensité qui fuit vers le mauvais œil) ?

Partie III — La voile. Une voile solaire d’aire $S = 1000\,\mathrm{m}^{2}$ et de masse totale $m = 50\,\mathrm{kg}$ , parfaitement réfléchissante, à $D = 1.0\,\mathrm{au} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ du Soleil ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; gravité solaire $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en ce point).

Force de radiation lorsque la voile fait face au Soleil ; accélération ; rapport à la gravité solaire.
La voile est inclinée de $\theta$ par rapport à la face au Soleil : montrer que la force est normale à la voile et proportionnelle à $\cos^2\theta$ (puissance interceptée $\times\cos\theta$ , variation de quantité de mouvement selon la normale $\times\cos\theta$ ).
Pour spiraler vers l’extérieur la voile garde une composante de force selon sa vitesse orbitale : pour $\theta = 35{}^{\circ}$ , accélération tangentielle ; vitesse acquise par an ; comparer à la vitesse orbitale de la Terre ( $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ).
Pourquoi la même voile, près de Mercure ( $D = 0.39\,\mathrm{au}$ ), reçoit-elle $6.6$ fois la force, et pourquoi le rapport à la gravité est-il inchangé ?
Le film de la voile est $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ de plastique aluminisé : sa température au Soleil si elle en absorbe $10\%$ et rayonne par ses deux faces comme un corps noir ( $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ ).
Temps nécessaire pour gagner $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ face au Soleil ; que donnerait une voile absorbante (noire) de même taille ?
Vérifier la quantité de mouvement de la lumière avec les photons : nombre de photons frappant la voile par seconde ( $2\,\mathrm{eV}$ en moyenne) et quantité de mouvement $hf/c$ de chacun ; retrouver la force.
Récapituler : les trois grandeurs transportées par l’onde (énergie, quantité de mouvement, polarisation) et le dispositif de ce problème qui exploite chacune.

Solution

Solution de Problème 13.1.

1. $f = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $k = 9.9 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $hf = 3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.96\,\mathrm{eV}$ ; $3.2 \times 10^{16}$ photons par seconde.

2. $I = 0.01/\pi(0.5 \times 10^{-3})^2 = 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $E_0 = 3.1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\vect e_x$ , $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t - kz)\vect e_y$ .

3. $u = I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ par mètre de faisceau ; $30\,\mathrm{cm}$ , soit $4.7 \times 10^5$ longueurs d’onde.

4. $\langle\Pi\rangle = I$ selon $z$ , oscillant en $\cos^2$ à $2f$ ; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ sur une cible noire, $6.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ sur un miroir.

5. $E_0/5 \times 10^{11} = 6 \times 10^{-9}$ ; $B_0$ vaut le cinquième du champ terrestre.

6. $I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$ .

7. $v_0 = eE_0/m\omega = 0.18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F_m/F_e = v_0B_0/E_0 = v_0/c = 6 \times 10^{-10}$ : la force magnétique sur des charges lentes est négligeable.

8. $\vect E = E_0[\cos(\omega t - kz)\vect e_x \pm \sin(\omega t - kz)\vect e_y]$ avec $E_0 = 2.2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ (même puissance), $\vect B = \vect e_z\wedge\vect E/c$ : l’intensité est inchangée mais $\Pi = \varepsilon_0cE_0^2$ est désormais constant dans le temps — le flux d’énergie ne bat plus.

9. $10\cos^230^\circ = 7.5\,\mathrm{mW}$ ; $0$ ; $7.5 \times \cos^445^\circ = 1.9\,\mathrm{mW}$ .

10. Brillant : $\tfrac12$ ; sombre : $0$ .

11. Après le premier polariseur, des composantes égales sur les axes ; après le retardateur, une phase $\delta$ entre elles ; la projection sur la direction croisée vaut $\propto(1 - \eu^{\iu\delta})/2$ : $I \propto \sin^2(\delta/2)$ .

12. Noir ; moitié de l’intensité.

13. Une sortie circulaire paraît également brillante à travers des lunettes de soleil polarisantes, quel que soit l’angle de la tête.

14. $\tfrac12 \times 0.85 \times 0.85 \times \tfrac13 = 12\%$ ; le premier polariseur (moitié absorbée) et les filtres colorés (deux tiers).

15. Brillant $0.36$ , sombre $\tfrac12 \times 10^{-3}$ : contraste $\approx 700$ .

16. Une lumière circulaire, quelle que soit la rotation du filtre : la lame séparatrice sensible à la polarisation reçoit la même puissance quelle que soit l’orientation du filtre.

17. La polarisation circulaire garde son sens quand la tête s’incline ; des lunettes rectilignes inclinées de $20{}^{\circ}$ laissent fuir $\sin^220^\circ = 12\%$ vers le mauvais œil.

18. $F = 2IS/c = 9.1\,\mathrm{mN}$ ; $a = 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $3\%$ de la gravité solaire.

19. Puissance interceptée $\propto\cos\theta$ , variation de quantité de mouvement réfléchie selon la normale $2p\cos\theta$ : $F = (2IS/c)\cos^2\theta$ selon la normale.

20. $F = 9.1 \times \cos^235^\circ = 6.1\,\mathrm{mN}$ , part tangentielle $F\sin35^\circ = 3.5\,\mathrm{mN}$ : $a_t = 7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ par an — $7\%$ de la vitesse orbitale.

21. $(1/0.39)^2 = 6.6$ ; la gravité varie de la même façon.

22. $0.1 \times 1360 = 2\sigma T^4$ : $T = 190\,\mathrm{K}$ — le miroir reste froid.

23. $1000/1.8 \times 10^{-4} = 5.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ , deux mois ; une voile noire reçoit la moitié de la force.

24. $1.36 \times 10^6/3.2 \times 10^{-19} = 4.3 \times 10^{21}\,$ photons par seconde, chacun avec $hf/c = 1.1 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; réfléchis : $2Np = 9.1\,\mathrm{mN}$ .

25. Énergie ( $u$ , $I$ ) : le piège à faisceau et la photodiode. Quantité de mouvement ( $I/c$ ) : la voile. Polarisation (Malus, les lames) : l’écran et ses polariseurs.

Termes définis dans ce chapitre

États de polarisation

Voir les 393 termes du glossaire