Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

15Réflexion et transmission aux interfaces

L’échographiste étale un gel entre la sonde et la peau : sans lui le son rebondirait sur le film d’air et n’entrerait jamais dans le corps. Un objectif d’appareil photo est traité d’une couche épaisse d’un quart de longueur d’onde, et ses surfaces cessent de réfléchir. Une onde radio rencontre l’ionosphère et fait demi-tour ; la lumière rencontre un miroir d’argent et fait demi-tour ; une impulsion atteint le bout d’un câble et revient inversée ou non selon ce qui y est branché. Toute onde, en rencontrant un changement de milieu, se sépare en une part réfléchie et une part transmise, et une seule idée décide des parts : les conditions de continuité à l’interface, écrites avec les impédances des deux milieux. Ce chapitre l’applique au son, à la lumière entre deux diélectriques, à un plasma, à un métal et à un câble, et en tire les lois de la réflexion et de la réfraction ainsi que l’unique angle sous lequel le verre ne réfléchit rien.

Un objectif photographique multitraité : les faibles reflets violets et verts sont ce qui reste des quatre pour cent que chaque surface de verre nu renverrait.

15.1 Incidence normale : la règle des impédances

Théorème 15.1 (Réflexion et transmission sous incidence normale)

Une onde plane se propage dans le milieu 1 vers l’interface plane $x = 0$ avec le milieu 2 ; chaque milieu est caractérisé par une impédance $Z_i$ (le rapport des deux grandeurs de champ continues à l’interface — pression et vitesse pour le son, $E$ et $H = B/\mu_0$ pour la lumière, tension et courant pour une ligne). La continuité des deux grandeurs en $x = 0$ donne, pour la grandeur « de type force » (pression, $E$ , $v$ ),

r = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} , \qquad t = \frac{2Z_2}{Z_2 + Z_1} , \qquad R = r^2 , \quad T = \frac{4Z_1Z_2}{(Z_1 + Z_2)^2} , \quad R + T = 1 .

(Pour la grandeur « de type flux » — vitesse, $H$ , courant — $r$ change de signe.) Rien n’est réfléchi lorsque $Z_1 = Z_2$ (milieux adaptés) ; presque tout lorsque $Z_2 \gg Z_1$ ( $r \to +1$ ) ou $Z_2 \ll Z_1$ ( $r \to -1$ ).

Démonstration. Incidente $p_i = A\cos(\omega t - k_1x)$ , réfléchie $p_r = rA\cos(\omega t + k_1x)$ , transmise $p_t = tA\cos(\omega t - k_2x)$ , de même fréquence. Les grandeurs de flux associées valent $p/Z_1$ , $-p_r/Z_1$ (une onde qui recule porte $v = -p/Z$ ) et $p_t/Z_2$ . Continuité en $x = 0$ : $1 + r = t$ et $(1 - r)/Z_1 = t/Z_2$ ; on résout. Énergies : les intensités valent $p^2/Z$ , donc $R = r^2$ et $T = t^2Z_1/Z_2$ . ∎

Exemple 15.2 (Le son à trois interfaces)

Air ( $Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) vers eau ( $1.5 \times 10^6$ ) : $r = 0.9995$ , $T = 1.1 \times 10^{-3}$ — $99.9\%$ réfléchis ; un nageur n’entend presque rien du monde d’en haut, et la sonde d’échographie a besoin de son gel. Tissu ( $1.6 \times 10^6$ ) vers os ( $7 \times 10^6$ ) : $r = 0.63$ , $T = 0.6$ . Graisse ( $1.38 \times 10^6$ ) vers muscle ( $1.70 \times 10^6$ ) : $r = 0.10$ , $R = 1\%$ — les échos ténus dont une image est faite. Une corde attachée à un mur ( $Z_2 \to \infty$ ) : $r = +1$ pour la force, $-1$ pour la vitesse, l’impulsion revient inversée (Chapitre 6).

Proposition 15.3 (La lumière sous incidence normale ; traitement antireflet)

Pour la lumière entre deux milieux transparents d’indices $n_1$ , $n_2$ (l’impédance d’un diélectrique vaut $Z = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}/n$ , inversement proportionnelle à $n$ ), pour le champ électrique

r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} , \qquad R = \Bigl(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\Bigr)^2 :

$4\%$ à chaque surface air–verre, $2\%$ pour l’eau, $17\%$ pour le diamant. Une couche d’indice $n = \sqrt{n_1n_2}$ et d’épaisseur $\lambda/4n$ entre les milieux annule la réflexion à $\lambda$ (traitement antireflet quart d’onde) : les ondes réfléchies sur ses deux faces ont des amplitudes égales et des phases opposées. La même couche avec un indice élevé, ou un empilement alterné de couches quart d’onde, fait l’inverse et construit un miroir qui réfléchit $99.99\%$ — les miroirs des lasers.

Démonstration. Continuité des composantes tangentielles de $\vect E$ et $\vect B$ (sans courant surfacique) : $E_i + E_r = E_t$ et $B_i - B_r = B_t$ avec $B = nE/c$ dans chaque milieu, c’est-à-dire la règle des impédances avec $Z \propto 1/n$ . Traitement : les deux amplitudes réfléchies valent $(n_1 - n)/(n_1 + n)$ et $(n - n_2)/(n + n_2)$ , égales lorsque $n^2 = n_1n_2$ ; un aller-retour dans la couche ajoute la phase $2\times2\pi n(\lambda/4n)/\lambda = \pi$ , elles s’annulent donc (les réflexions multiples, faibles, sont incluses dans le traitement exact de l’Exercice 15.5). ∎

À gauche : l’incidence normale sur une interface — les amplitudes découlent de la continuité des deux grandeurs de champ, à travers les impédances. À droite : la couche antireflet quart d’onde — les deux ondes réfléchies s’annulent.

15.2 Incidence oblique : les lois de Descartes et l’angle de Brewster

Théorème 15.4 (Lois de la réflexion et de la réfraction)

Une onde plane de vecteur d’onde $\vect k_i$ rencontre l’interface plane entre deux milieux où les ondes se propagent à $v_1$ et $v_2$ . Les conditions de continuité doivent valoir en tout point de l’interface et à tout instant : les ondes réfléchie et transmise doivent avoir la même fréquence et le même vecteur d’onde tangentiel que l’onde incidente. D’où la coplanarité des trois vecteurs d’onde (le plan d’incidence), l’égalité de l’angle de réflexion et de l’angle d’incidence, et

\frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2} \qquad (n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \text{ pour la lumière}) .

Lorsque $v_2 > v_1$ et $\sin\theta_1 > v_1/v_2$ aucun $\theta_2$ réel n’existe : c’est la réflexion totale ; le champ dans le milieu 2 est alors une onde évanescente, $\propto\eu^{-x/\ell}\eu^{\iu(\omega t - k_ty)}$ qui se propage le long de l’interface et décroît en s’en éloignant sur $\ell = \lambda_2/2\pi \sqrt{\sin^2\theta_1(v_2/v_1)^2 - 1}$ , une fraction de longueur d’onde ; elle n’emporte aucune énergie — la réflexion est totale.

Démonstration. Avec $\vect k = (k_x, k_y, 0)$ et l’interface $x = 0$ , les phases $\omega t - k_yy$ des trois ondes doivent concorder pour tous $y$ , $t$ : même $\omega$ , même $k_y = (\omega/v_1)\sin\theta_1 = (\omega/v_1)\sin\theta_r = (\omega/v_2)\sin \theta_2$ . Si $(\omega/v_2)^2 - k_y^2 < 0$ , $k_{2x}$ est imaginaire, $k_{2x} = -\iu/\ell$ : évanescence ; son vecteur de Poynting selon $x$ est de moyenne nulle. ∎

Proposition 15.5 (Angle de Brewster ; polarisation par réflexion)

Pour la lumière tombant sur un diélectrique, l’amplitude réfléchie dépend de la polarisation (coefficients de Fresnel, admis en général) : pour la polarisation dans le plan d’incidence (p) elle s’annule à l’angle de Brewster

\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} ,

pour lequel les rayons réfléchi et réfracté sont perpendiculaires ; la lumière réfléchie sous $\theta_B$ est alors complètement polarisée perpendiculairement au plan d’incidence (s), et partiellement au voisinage — le reflet sur l’eau et les routes que suppriment les lunettes de soleil polarisantes. Pour le verre ( $n = 1.5$ ) $\theta_B = 56{}^{\circ}$ , pour l’eau $53{}^{\circ}$ .

Démonstration. L’onde réfléchie est rayonnée par les dipôles du milieu 2, mis en oscillation par l’onde réfractée selon son $\vect E$ , qui pour la polarisation p se trouve dans le plan d’incidence, perpendiculaire au rayon réfracté. Un dipôle ne rayonne pas selon son propre axe (Chapitre 17) ; lorsque la direction réfléchie est parallèle à cet axe — c’est-à-dire perpendiculaire au rayon réfracté, $\theta_1 + \theta_2 = \pi/2$ — rien n’est réfléchi. Alors $\sin\theta_2 = \cos\theta_1$ et Descartes donne $\tan\theta_1 = n_2/n_1$ . La polarisation s a son $\vect E$ perpendiculaire au plan d’incidence, jamais selon le rayon réfléchi : elle est toujours partiellement réfléchie. ∎

À gauche : l’accord des phases le long de l’interface donne les lois de la réflexion et de la réfraction. À droite : à l’angle de Brewster les dipôles du second milieu, excités selon le champ réfracté polarisé p, devraient rayonner selon leur propre axe pour alimenter le rayon réfléchi — ils ne le peuvent pas, et seule la polarisation s est réfléchie.

À gauche : le facteur de réflexion d’une surface air–verre (n = 1.5) pour les deux polarisations — R_p s’annule à l’angle de Brewster et les deux montent à 1 en incidence rasante. À droite : au-delà de l’angle critique le champ transmis est évanescent, il épouse l’interface et s’éteint en moins d’une longueur d’onde. — À gauche : le facteur de réflexion d’une surface air–verre ( $n = 1.5$ ) pour les deux polarisations — $R_p$ s’annule à l’angle de Brewster et les deux montent à $1$ en incidence rasante. À droite : au-delà de l’angle critique le champ transmis est évanescent, il épouse l’interface et s’éteint en moins d’une longueur d’onde.

15.3 Plasmas, métaux et conducteur parfait

Proposition 15.6 (Réflexion sur un plasma et sur un métal)

(i) Une onde de $\omega < \omega_p$ sous incidence normale sur un plasma est totalement réfléchie : l’« indice » $\underline n = -\iu\sqrt{\omega_p^2/\omega^2 - 1}$ est imaginaire, $r = (1 - \underline n)/(1 + \underline n)$ est de module $1$ , et le champ pénètre sous la forme évanescente $\eu^{-\kappa x}$ du Chapitre 14. (ii) Un bon conducteur a $\underline n = (1 - \iu)c/\omega\delta$ , de module énorme : $r \approx -1$ , le facteur de réflexion vaut $R \approx 1 - 2\omega\delta/c = 1 - \sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$ (Hagen–Rubens) : $0.99999$ pour le cuivre à $10\,\mathrm{GHz}$ , $0.99$ dans l’infrarouge lointain. (iii) Le conducteur parfait ( $\gamma \to \infty$ , $\delta \to 0$ ) : $r = -1$ exactement pour $\vect E$ , la composante tangentielle totale de $\vect E$ s’annule à la surface, les ondes incidente et réfléchie forment l’onde stationnaire

\vect E = -2E_0\sin kx\sin\omega t\,\vect e_y , \qquad \vect B = 2\frac{E_0}c\cos kx\cos\omega t\,\vect e_z ,

avec des nœuds de $\vect E$ (ventres de $\vect B$ ) en $x = 0, -\lambda/2, \dots$ ; le champ est porté par un courant surfacique $\vect j_s = \vect n\wedge\vect B/ \mu_0 = (2E_0/\mu_0c)\cos\omega t\,\vect e_y$ , et la force de Laplace sur lui est la pression de radiation $2I/c$ .

Démonstration. (i) et (ii) : la règle des impédances avec $Z \propto 1/\underline n$ et les indices complexes du Chapitre 14 ; pour (ii), $r = (1 - \underline n)/(1 + \underline n) \approx -1 + 2/\underline n$ et $R = |r|^2 \approx 1 - 4\operatorname{Re}(1/ \underline n) = 1 - 2\omega\delta/c$ . (iii) Avec $\vect E = \vect 0$ à l’intérieur, la relation de passage $\vect E_{2t} = \vect E_{1t}$ donne $E_{\text{tot}}(0) = 0$ , donc $r = -1$ ; on somme l’incidente $E_0\cos(\omega t - kx)$ et la réfléchie $-E_0\cos(\omega t + kx)$ ; $\vect B$ par Faraday ; le saut de $\vect B$ à la surface vaut $\mu_0\vect j_s \wedge\vect n$ ; la force moyenne par unité d’aire $\tfrac12\langle j_sB\rangle$ sur la nappe vaut $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$ (Chapitre 12). ∎

Réflexion sur un conducteur parfait : le champ électrique a un nœud à la surface et l’onde stationnaire des nœuds toutes les demi-longueurs d’onde ; le champ magnétique y a un ventre, porté par le courant surfacique.

Exemple 15.7 (Miroirs, radar, fours à micro-ondes)

Un miroir métallique réfléchit par ce mécanisme : le champ incident impose un courant dans une peau de quelques nanomètres ( $23\,\mathrm{nm}$ pour l’argent à $500\,\mathrm{nm}$ ), qui rayonne à son tour l’onde réfléchie ; les $5\%$ manquants chauffent le métal — d’où le refroidissement d’un miroir de laser de puissance, et les $6\%$ de la puissance que prend la paroi du four du Chapitre 14. Un radar voit un avion par l’onde que sa peau rediffuse ; un avion furtif remplace le métal plan par des absorbants et par des formes qui réfléchissent ailleurs que vers le radar. Les nœuds de l’onde stationnaire, distants de $\lambda/2 = 6\,\mathrm{cm}$ dans un four, sont les points froids.

15.4 Le bout d’un câble

Proposition 15.8 (Terminaison d’une ligne de transmission)

Une ligne d’impédance caractéristique $Z_c$ se termine en $x = \ell$ par une charge d’impédance $\underline Z_L$ : l’onde de tension est réfléchie avec $\underline r = (\underline Z_L - Z_c)/(\underline Z_L + Z_c)$ — rien pour une charge adaptée $Z_L = Z_c$ , $r = -1$ pour un court-circuit, $r = +1$ pour une extrémité ouverte. Une ligne désadaptée porte une onde stationnaire partielle dont le rapport de la tension maximale à la tension minimale est le taux d’ondes stationnaires $(1 + |r|)/(1 - |r|)$ . Envoyer une impulsion brève et chronométrer l’écho localise un défaut (réflectométrie temporelle) et en donne la nature par le signe de l’écho.

Démonstration. À la charge, $v = Z_Li$ avec $v = v_i + v_r$ et $i = (v_i - v_r)/Z_c$ (Chapitre 8) ; c’est encore la règle des impédances. Taux d’ondes stationnaires : $|v|$ varie entre $|v_i|(1 + |r|)$ et $|v_i|(1 - |r|)$ le long de la ligne. ∎

Méthode 15.9 (N’importe quelle interface)

(1) Identifier les deux grandeurs continues à la traversée de l’interface et l’impédance de chaque milieu comme leur rapport dans une onde progressive. (2) Écrire incidente $+$ réfléchie d’un côté, transmise de l’autre, avec des fréquences égales et des vecteurs d’onde tangentiels égaux (Descartes). (3) Imposer la continuité : deux équations, deux inconnues $r$ , $t$ . (4) Énergie : $R = |r|^2$ , $T = 1 - R$ pour des milieux sans pertes. (5) Vérifier les cas limites : impédances égales (aucune réflexion), impédance infinie ou nulle ( $|r| = 1$ , signe de $r$ ), et pour les couches, les phases des réflexions successives.

15.5 Exercices

Exercice 15.1 ★

Impédances acoustiques : air $410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , eau $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , acier $4.0 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , tissus mous $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , os $7 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Coefficients de réflexion (en pression) et fractions d’énergie réfléchies pour air–eau, eau–acier, tissu–os, tissu–air. Pourquoi un poisson ne vous entend-il pas, et pourquoi un plongeur entend-il si bien le moteur du bateau ?

Solution

Solution de Exercice 15.1.

$r = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$ , $R = r^2$ : air–eau $0.9995$ , $99.9\%$ ; eau–acier $0.93$ , $86\%$ ; tissu–os $0.63$ , $40\%$ ; tissu–air $-0.9995$ , $99.9\%$ . Votre voix, dans l’air, est réfléchie par la surface ; le moteur fait vibrer la coque, qui est en acier au contact de l’eau et lui transmet directement $14\%$ de sa vibration.

Exercice 15.2 ★

Facteur de réflexion sous incidence normale pour air–eau ( $n = 1.33$ ), air–verre ( $1.52$ ), air–diamant ( $2.42$ ), verre–eau. Un objectif comptant $10$ surfaces air–verre, non traité : fraction de la lumière transmise, et fraction qui erre en images fantômes ; avec des traitements laissant $0.5\%$ par surface.

Solution

Solution de Exercice 15.2.

$R = ((n - 1)/(n + 1))^2$ : $2.0\%$ , $4.3\%$ , $17\%$ ; verre–eau $0.44\%$ . $0.957^{10} = 0.64$ : un tiers de la lumière perdu, en grande partie en fantômes ; traité : $0.995^{10} = 0.95$ .

Exercice 15.3 ★

Angle de Brewster pour air–verre ( $1.52$ ), air–eau, eau–verre (lumière allant de l’eau vers le verre). Polarisation de la lumière réfléchie sous cet angle ; la lumière transmise est-elle totalement polarisée ? Sous quel angle un photographe doit-il regarder une vitrine pour en supprimer les reflets, et avec quelle orientation de polariseur ?

Solution

Solution de Exercice 15.3.

$\tan\theta_B = n_2/n_1$ : $56.7{}^{\circ}$ , $53.1{}^{\circ}$ , $48.8{}^{\circ}$ . La lumière réfléchie est polarisée perpendiculairement au plan d’incidence ; la lumière transmise n’est que partiellement polarisée (la composante s n’est que partiellement réfléchie). Regarder la vitrine sous $57{}^{\circ}$ de sa normale avec l’axe du polariseur dans le plan d’incidence (horizontal pour une vitrine verticale vue de côté).

Exercice 15.4 ★

Angles critiques de réflexion totale pour verre–air, eau–air, diamant–air ; un prisme de verre à $45{}^{\circ}$ en guise de miroir ; profondeur de l’onde évanescente pour verre–air sous $45{}^{\circ}$ et $60{}^{\circ}$ d’incidence ( $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ ) ; pourquoi un diamant est-il si brillant ?

Solution

Solution de Exercice 15.4.

$\arcsin(1/n)$ : $41.1{}^{\circ}$ , $48.8{}^{\circ}$ , $24.4{}^{\circ}$ ; $45^\circ > 41^\circ$ : le prisme réfléchit totalement. $\ell = \lambda/2\pi\sqrt{n^2\sin^2\theta - 1}$ : $270\,\mathrm{nm}$ à $45{}^{\circ}$ , $115\,\mathrm{nm}$ à $60{}^{\circ}$ . Le petit angle critique du diamant piège la lumière qui y entre jusqu’à ce qu’elle ressorte par les facettes du dessus — d’où sa brillance.

Exercice 15.5 ★★

Traitement antireflet. Un verre de $n_2 = 1.52$ est traité au fluorure de magnésium, $n = 1.38$ . (a) Indice idéal pour une couche unique ; épaisseur pour $550\,\mathrm{nm}$ . (b) Facteur de réflexion résiduel avec MgF $_2$ à $550\,\mathrm{nm}$ : l’amplitude vaut $r = (r_1 + r_2\eu^{-\iu\varphi})/(1 + r_1r_2 \eu^{-\iu\varphi})$ avec $r_1 = (n_1 - n)/(n_1 + n)$ , $r_2 = (n - n_2)/(n + n_2)$ et $\varphi = \pi$ à la longueur d’onde de conception (réflexions multiples comprises) : calculer $R$ . (c) $R$ à $400\,\mathrm{nm}$ et $700\,\mathrm{nm}$ (même couche) : de quelle couleur est le reflet résiduel d’un objectif traité ? (d) Pourquoi les objectifs de qualité utilisent-ils plusieurs couches ?

Solution

Solution de Exercice 15.5.

(a) $\sqrt{1.52} = 1.23$ ; $e = 550/4 \times 1.38 = 100\,\mathrm{nm}$ . (b) $r_1 = -0.160$ , $r_2 = -0.048$ , $\varphi = \pi$ : $r = (r_1 - r_2)/(1 - r_1r_2) = -0.112$ , $R = 1.3\%$ (contre $4.3\%$ ). (c) $400\,\mathrm{nm}$ : $\varphi = 1.375\pi$ , $R \approx 2.2\%$ ; $700\,\mathrm{nm}$ : $\varphi = 0.79\pi$ , $R \approx 1.6\%$ : le bleu et le rouge sont plus réfléchis que le vert — d’où le reflet violacé d’un objectif traité. (d) Plusieurs couches aplatissent $R$ sur tout le visible.

Exercice 15.6 ★★

La sonde d’échographie. La céramique du transducteur a $Z_1 = 30 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , le tissu $Z_2 = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $f = 5\,\mathrm{MHz}$ . (a) Énergie transmise directement ; le reste rebondit dans la céramique — qu’est-ce que cela fait à la durée de l’impulsion ? (b) Impédance et épaisseur d’une couche d’adaptation quart d’onde (célérité du son dans la couche $3000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). (c) Avec un film d’air de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ devant la sonde : énergie transmise (deux interfaces, sans résonance) — d’où le gel. (d) Le gel a $Z \approx Z_2$ : quelle fraction traverse maintenant l’interface gel–peau ?

Solution

Solution de Exercice 15.6.

(a) $T = 4 \times 30 \times 1.6/31.6^2 = 19\%$ ; le reste réverbère, l’impulsion sonne. (b) $Z = \sqrt{Z_1Z_2} = 6.9 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $e = v/4f = 0.15\,\mathrm{mm}$ . (c) $T_1 = 4 \times 30 \times 10^6 \times 410/(30 \times 10^6)^2 = 5.5 \times 10^{-5}$ , $T_2 = 4 \times 1.6 \times 10^6 \times 410/(1.6 \times 10^6)^2 = 1.0 \times 10^{-3}$ : $5.6 \times 10^{-8}$ . (d) $4 \times 1.5 \times 1.6/ 3.1^2 = 0.999$ .

Exercice 15.7 ★★

Miroir plasma. Une onde à $3\,\mathrm{MHz}$ rencontre l’ionosphère ( $n_e = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) sous incidence normale. (a) $\underline n$ ; $r$ ; vérifier $|r| = 1$ et donner la phase de $r$ . (b) Profondeur de pénétration. (c) Onde stationnaire sous la couche : position du premier nœud de $\vect E$ . (d) L’onde arrive en fait obliquement sur une couche dont la densité croît avec l’altitude : expliquer qualitativement pourquoi elle est renvoyée avant d’atteindre le niveau où $\omega = \omega_p$ (utiliser Descartes avec un indice décroissant), et pourquoi une onde de fréquence plus élevée s’échappe.

Solution

Solution de Exercice 15.7.

(a) $\omega_p/\omega = 3$ : $\underline n = -\iu\sqrt8 = -2.83\iu$ ; $r = (1 + 2.83\iu)/(1 - 2.83 \iu)$ , $|r| = 1$ , phase $2\arctan2.83 = 141{}^{\circ}$ . (b) $c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 5.6\,\mathrm{m}$ . (c) $E \propto \cos(kx + \varphi/2)$ : premier nœud en $kx = -(\pi + \varphi)/2$ , $x \approx -45\,\mathrm{m}$ sous la couche. (d) L’indice décroît avec l’altitude, de sorte que Descartes écarte le rayon de la verticale ; il fait demi-tour là où $n(z) = \sin\theta_0$ , c’est-à-dire $\omega_p^2 = \omega^2\cos^2\theta_0$ , sous le niveau $\omega = \omega_p$ ; une fréquence dont le $\omega\cos\theta_0$ dépasse le $\omega_p$ maximal de la couche s’échappe.

Exercice 15.8 ★★

Miroirs métalliques. Cuivre ( $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) : facteur de réflexion $1 - \sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$ à $10\,\mathrm{GHz}$ , à $30\,\mathrm{THz}$ (laser à CO $_2$ ) et, formellement, à $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — pourquoi la formule y échoue-t-elle (comparer $\omega\tau$ ) ? Puissance absorbée d’un faisceau laser à CO $_2$ de $1\,\mathrm{kW}$ sur un miroir de cuivre ; pourquoi de tels miroirs sont refroidis à l’eau.

Solution

Solution de Exercice 15.8.

$\sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$ : $2.7 \times 10^{-4}$ ( $R = 0.9997$ ), $1.5 \times 10^{-2}$ ( $0.985$ ), $0.06$ ( $0.94$ ) — mais à $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ $\omega\tau = 80$ : le cuivre est un plasma, non un conducteur ohmique, et réfléchit environ $60\%$ , avec une teinte. $15\,\mathrm{W}$ absorbés du faisceau à CO $_2$ : quelques centaines de kelvins par minute sur un petit miroir, d’où l’eau.

Exercice 15.9 ★★

Une ligne de $50\,\Omega$ est fermée sur $75$ , $25$ , $0$ , $\infty$ et $50\,\Omega$ : coefficient de réflexion, taux d’ondes stationnaires, fraction de la puissance réfléchie. Un émetteur de $100\,\mathrm{W}$ alimente une antenne de $75\,\Omega$ par un câble de $50\,\Omega$ : puissance qui atteint l’antenne (au premier passage), et où va le reste. Un écho revient après $1.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ ( $c_{\text{ligne}} = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), non inversé : où est le défaut et de quelle nature ?

Solution

Solution de Exercice 15.9.

$r = 0.2$ , $-1/3$ , $-1$ , $+1$ , $0$ ; TOS $1.5$ , $2$ , $\infty$ , $\infty$ , $1$ ; réfléchi $4\%$ , $11\%$ , $100\%$ , $100\%$ , $0$ . $96\,\mathrm{W}$ atteignent l’antenne, $4\,\mathrm{W}$ reviennent à l’émetteur (et sont en partie re-réfléchis). $1.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ : $120\,\mathrm{m}$ ; écho non inversé : un circuit ouvert — un câble coupé.

Exercice 15.10 ★★★

Fresnel pour la polarisation s. Une onde dont $\vect E$ est perpendiculaire au plan d’incidence rencontre l’interface $n_1 \to n_2$ sous $\theta_1$ . (a) Écrire les trois champs $\vect E$ et les composantes tangentielles de $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$ . (b) Imposer la continuité des composantes tangentielles de $\vect E$ et $\vect B$ et établir $r_s = \dfrac{n_1\cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2} {n_1\cos\theta_1 + n_2\cos\theta_2}$ . (c) Vérifier la limite de l’incidence normale et la limite rasante. (d) Pour le verre à $45{}^{\circ}$ : $R_s$ ; comparer à $R_p = \bigl(\frac{n_2\cos\theta_1 - n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1 + n_1\cos\theta_2}\bigr)^2$ (admis) et aux $4\%$ de l’incidence normale.

Solution

Solution de Exercice 15.10.

(a) $\vect E = E\vect e_z$ ; $\vect k\wedge\vect e_z = (k_y, -k_x, 0)$ , de sorte que la composante tangentielle $B_y = -(n/c)\cos\theta\,E$ pour les ondes incidente et transmise et $+(n_1/c)\cos\theta_1E_r$ pour la réfléchie. (b) $1 + r = t$ et $n_1\cos\theta_1 (1 - r) = n_2\cos\theta_2t$ : $r_s$ comme annoncé. (c) $\theta = 0$ : $(n_1 - n_2)/(n_1 + n_2)$ ; $\theta_1 \to 90^\circ$ : $r_s \to -1$ . (d) $\cos\theta_2 = 0.882$ : $r_s = -0.30$ , $R_s = 9.2\%$ ; $R_p = 0.85\%$ ; contre $4.3\%$ sous incidence normale.

Exercice 15.11 ★★★

Réflexion totale frustrée. La lumière dans du verre ( $n = 1.5$ ) est totalement réfléchie sur une face verre–air à $45{}^{\circ}$ ; une seconde surface de verre est approchée à la distance $d$ dans l’air. (a) Longueur de décroissance $\ell$ de l’évanescente pour $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ . (b) En admettant que l’intensité transmise à travers l’intervalle vaut à peu près $\eu^{-2d/\ell}$ , trouver $d$ pour $50\%$ et $1\%$ de transmission. (c) Que fait le bout d’un doigt pressé sur le verre à la réflexion (lecteurs d’empreintes) ? (d) Pourquoi est-ce l’analogue optique de l’effet tunnel du Chapitre 31 ?

Solution

Solution de Exercice 15.11.

(a) $270\,\mathrm{nm}$ . (b) $d = 0.35\ell = 95\,\mathrm{nm}$ ; $2.3\ell = 620\,\mathrm{nm}$ . (c) Les crêtes touchent le verre et laissent sortir la lumière dans la peau : crêtes sombres, vallées brillantes sur le détecteur. (d) L’onde évanescente est la fonction d’onde décroissant exponentiellement dans la région interdite ; un second milieu situé à moins d’une longueur de décroissance la recueille — l’effet tunnel optique.

Exercice 15.12 ★★★

Deux miroirs. Deux conducteurs parfaits parallèles en $x = 0$ et $x = L$ enferment une onde stationnaire. (a) Montrer que seul $L = m\lambda/2$ est possible : les modes de la cavité, $f_m = mc/2L$ . (b) Pour $L = 15\,\mathrm{cm}$ , les trois premiers modes ; lequel est proche de $2.45\,\mathrm{GHz}$ ? (c) Courants surfaciques sur les deux miroirs et force sur chacun (vers l’intérieur ou l’extérieur ?), pour une amplitude de champ $E_0 = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ à l’intérieur. (d) Les miroirs sont maintenant en cuivre : à l’aide de la résistance de surface $R_s = 1/\gamma\delta$ du Chapitre 14, puissance perdue par unité d’aire à $2.45\,\mathrm{GHz}$ avec $H_0 = E_0/\mu_0c$ (le ventre magnétique), et temps de décroissance de l’énergie emmagasinée ( $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$ par unité de volume en moyenne, sur la longueur $L$ ) — le facteur de qualité $Q = 2\pi f\,\times$ énergie emmagasinée / puissance perdue.

Solution

Solution de Exercice 15.12.

(a) Nœuds de $\vect E$ aux deux miroirs : $\sin kL = 0$ , $L = m\lambda/2$ , $f_m = mc/2L$ . (b) $1$ , $2$ , $3\,\mathrm{GHz}$ : aucun à $2.45\,\mathrm{GHz}$ — les modes tridimensionnels d’un four réel sont bien plus denses. (c) $j_s = H_0 = E_0/\mu_0c = 53\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ sur chacun, et la pression $\mu_0j_s^2/2 = 1.8\,\mathrm{mPa}$ écarte les miroirs l’un de l’autre. (d) $\delta = 1.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $R_s = 12.5\,\mathrm{m}\Omega$ ; $\tfrac12R_sH_0^2 = 18\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ par miroir ; énergie moyenne emmagasinée $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2 \times L = 1.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ ; $Q = 2\pi f \times 1.3 \times 10^{-7}/35 \approx 6 \times 10^4$ .

15.6 Problème : traitements, gel et absorbant radar

Problème 15.1

Problème du week-end — faire disparaître les interfaces : l’objectif traité, le transducteur adapté, l’écran absorbant radar, et le miroir qu’on ne peut pas faire disparaître

Partie I — L’objectif traité. Un zoom compte $16$ surfaces air–verre d’indice $1.52$ ; lumière à $550\,\mathrm{nm}$ .

Facteur de réflexion d’une surface non traitée ; transmission de tout l’objectif ; fraction de la lumière qui erre en reflets parasites.
Traitement idéal à une couche : indice et épaisseur ; pourquoi aucun solide courant n’a cet indice, et quel est le facteur de réflexion résiduel avec MgF $_2$ ( $1.38$ ) ?
Avec $16$ surfaces à $1.3\%$ chacune : transmission ; à $0.3\%$ (multicouche) : transmission. Pourquoi les vieux objectifs donnent-ils des images « plates » et peu contrastées ?
Le traitement est calculé pour $550\,\mathrm{nm}$ : montrer qu’à $440\,\mathrm{nm}$ la phase $\varphi$ de l’aller-retour vaut $1.25\pi$ et estimer le facteur de réflexion à cette longueur d’onde (formule à deux réflexions, $R \approx r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2\cos\varphi$ , avec $r_1 = -0.16$ , $r_2 = -0.05$ ). Couleur du reflet ?
Un miroir diélectrique empile des couches quart d’onde de $1.38$ et $2.35$ : les amplitudes réfléchies par les interfaces successives s’ajoutent désormais en phase ; réflexion d’une paire (deux interfaces) et pourquoi $20$ paires atteignent $99.9\%$ .
Dans l’objectif traité l’onde réfléchie est « annulée » : où est passée son énergie ?
Un tel miroir réfléchit une bande de longueurs d’onde et transmet le reste : pourquoi, et de quelle couleur paraît-il en transmission s’il réfléchit le vert ?

Partie II — La sonde et le gel. Céramique $Z_1 = 30 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , couche d’adaptation, gel, peau $Z = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $f = 5\,\mathrm{MHz}$ .

Transmission directe céramique–tissu en énergie ; avec la couche quart d’onde d’impédance idéale (valeur) à $f$ .
La couche est un quart d’onde à $5\,\mathrm{MHz}$ : transmission à $3\,\mathrm{MHz}$ et $7\,\mathrm{MHz}$ (utiliser l’estimation à deux réflexions avec la phase réelle de l’aller-retour) : qu’est-ce que cela fait à la bande passante de la sonde, et pourquoi une impulsion brève (nécessaire à la résolution en profondeur) entre-t-elle en conflit avec elle ?
Un film d’air de $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ entre la sonde et la peau : transmission en amplitude à travers les deux interfaces (multiplier les $t$ , en ignorant la résonance) ; énergie transmise ; en dB.
Idem avec du gel ( $Z = 1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ).
La réverbération propre de la céramique : l’impulsion rebondit à l’intérieur de la céramique avec $r \approx 0.9$ par réflexion sur la face côté tissu (et $\approx 1$ à l’arrière) ; nombre d’aller-retours pour que l’amplitude tombe à $1\%$ , et pourquoi la céramique est adossée à un absorbant.
Écho d’une surface osseuse de $1\,\mathrm{mm}$ à $5\,\mathrm{cm}$ de profondeur : fraction d’énergie qui revient à la sonde (réflexion sur l’os, deux traversées à $0.5\,\mathrm{dB}/\mathrm{cm}/\mathrm{MHz}$ d’atténuation) ; pourquoi l’os projette une ombre acoustique.

Partie III — L’absorbant radar. Un radar à $10\,\mathrm{GHz}$ éclaire une plaque métallique. Pour la cacher, une mince feuille résistive de résistance de surface $R_s$ ( $\Omega$ par carré) est placée à la distance $d$ devant la plaque, avec de l’air entre les deux. L’impédance du vide vaut $Z_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = 377\,\Omega$ .

Facteur de réflexion de la plaque métallique nue (conducteur parfait), et phase de $r$ .
Traiter la lame d’air comme une ligne de transmission d’impédance $Z_0$ court-circuitée par la plaque : montrer que l’impédance vue à la feuille, en regardant vers la plaque, vaut $\underline Z_{\text{ent}} = \iu Z_0 \tan(2\pi d/\lambda)$ (écrire l’onde stationnaire $v = v_i(\eu^{-\iu kx} - \eu^{\iu kx})$ issue du court-circuit et prendre $v/i$ en $x = -d$ ) ; pour $d = \lambda/4$ elle est infinie (un circuit ouvert).
La feuille de résistance $R_s$ en parallèle avec ce circuit ouvert présente $R_s$ à l’onde incidente : coefficient de réflexion $(R_s - Z_0)/(R_s + Z_0)$ ; en conclure qu’une feuille de $377\,\Omega$ par carré à $\lambda/4$ ne réfléchit rien (l’écran de Salisbury). Valeur de $d$ à $10\,\mathrm{GHz}$ .
Où passe l’énergie ? Vérifier avec la puissance dissipée dans la feuille, $|v|^2/2R_s$ par unité d’aire, comparée à l’intensité incidente.
À $8\,\mathrm{GHz}$ et $12\,\mathrm{GHz}$ pour le même écran : $\underline Z_{\text{ent}}$ , l’impédance totale $R_s \parallel \underline Z_{\text{ent}}$ , et le facteur de réflexion ; bande passante du procédé.
Le radar éclaire maintenant l’écran sous $30{}^{\circ}$ de la normale : qu’est-ce qui change dans la phase de l’aller-retour à travers l’intervalle, et qu’est-ce que cela fait à l’adaptation ?
Pourquoi les revêtements furtifs réels utilisent-ils plusieurs couches à pertes et des surfaces profilées plutôt qu’un unique écran de Salisbury ?

Partie IV — Le miroir qui demeure.

L’argent à $500\,\mathrm{nm}$ se comporte comme un plasma ( $\omega_p = 1.4 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ) : $\underline n$ , $r$ (module et phase), profondeur de pénétration. Pourquoi aucun traitement quart d’onde ne peut-il empêcher un métal de réfléchir ?
Un laser vert de $1\,\mathrm{kW}$ sur un miroir d’argent ( $R = 0.97$ ) : puissance absorbée et vitesse d’élévation de température d’un miroir de $10\,\mathrm{g}$ ( $c = 235\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) si rien ne le refroidit.
Onde stationnaire devant l’argent : espacement des nœuds de $\vect E$ et position du premier (utiliser la phase de $r$ ) ; que reçoit un grain de poussière posé sur un nœud ?
Le faisceau de la question 22 fait $1\,\mathrm{cm}^{2}$ : intensité, amplitude du champ, et densité de courant surfacique que le miroir doit porter (estimation en conducteur parfait $j_s = 2E_0/\mu_0c$ ).
Comparer les trois « miroirs » de ce problème — le métal, le plasma, l’empilement diélectrique — par le mécanisme qui renvoie l’onde, la phase de $r$ , et ce qui limite leur facteur de réflexion.

Solution

Solution de Problème 15.1.

1. $R = 4.3\%$ ; $0.957^{16} = 0.50$ ; la moitié de la lumière s’égare.

2. $n = 1.23$ , $e = 112\,\mathrm{nm}$ ; aucun solide durable n’a un indice aussi bas (MgF $_2$ , $1.38$ , est le plus bas) : résidu $1.3\%$ .

3. $0.987^{16} = 0.81$ ; $0.997^{16} = 0.95$ . Les reflets parasites voilent l’image : lumière parasite, faible contraste.

4. $\varphi = \pi \times 550/440 = 1.25\pi$ : $R \approx 0.0256 + 0.0025 + 2 \times 0.008 \times \cos1.25\pi = 1.7\%$ — davantage qu’à $550\,\mathrm{nm}$ , comme du côté rouge : un reflet magenta.

5. Chaque interface réfléchit $|r| = 0.97/3.73 = 0.26$ ; l’espacement quart d’onde met les réflexions successives en phase, de sorte que les amplitudes s’ajoutent au lieu de s’annuler ; le facteur de réflexion de l’empilement vaut $1 - 4(n_L/n_H)^{2N} \approx 1 - 10^{-9}$ pour $N = 20$ .

6. La condition de mise en phase ne vaut qu’au voisinage de la longueur d’onde de conception (une bande de $\pm15\%$ environ) ; le reste passe : un miroir vert paraît magenta en transmission.

7. Dans l’onde transmise : l’interférence redistribue, $R + T = 1$ .

8. $19\%$ ; avec $Z_m = \sqrt{Z_1Z_2} = 6.9 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $100\%$ à $5\,\mathrm{MHz}$ .

9. $r_1 = 0.63$ , $r_2 = 0.62$ ; à $3\,\mathrm{MHz}$ la phase de l’aller-retour vaut $0.6\pi$ , à $7\,\mathrm{MHz}$ $1.4\pi$ : $R \approx 0.39 + 0.39 - 0.24 = 0.54$ , $T \approx 0.46$ dans les deux cas : l’adaptation ne tient que sur une bande autour de $5\,\mathrm{MHz}$ , alors qu’une impulsion brève exige une large bande — un compromis.

10. $t_1 = 2 \times 410/30 \times 10^6 = 2.7 \times 10^{-5}$ , $t_2 = 2.0$ : $t = 5.5 \times 10^{-5}$ , $T = t^2Z_1/Z_3 = 5.6 \times 10^{-8}$ : $-72\,\mathrm{dB}$ .

11. $t = 0.095 \times 1.03 = 0.098$ , $T = 0.098^2 \times 30/1.6 = 0.18$ : le gel ne fait que supprimer l’air.

12. $0.9^N = 0.01$ : $N = 44$ aller-retours — une longue traîne ; le support arrière absorbe l’onde qui recule et la tue.

13. $R = 0.40$ sur l’os ; $2 \times 5 \times 0.5 \times 5 = 25\,\mathrm{dB}$ d’atténuation : $0.40 \times 3.2 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{-3}$ ( $-29\,\mathrm{dB}$ ) ; l’os absorbe ce qu’il ne réfléchit pas : rien ne revient de derrière lui.

14. $R = 1$ , $r = -1$ .

15. Court-circuit en $x = 0$ : $v = -2\iu v_i\sin kx$ , $i = (2v_i/Z_0)\cos kx$ ; en $x = -d$ : $v/i = \iu Z_0\tan kd$ ; infinie pour $d = \lambda/4$ .

16. $R_s \parallel \infty = R_s$ : $r = (R_s - Z_0)/(R_s + Z_0) = 0$ pour $377\,\Omega$ ; $d = 7.5\,\mathrm{mm}$ .

17. La feuille voit le champ incident entier : $|v|^2/2R_s = E_0^2/2Z_0$ , l’intensité incidente — tout est absorbé.

18. $8\,\mathrm{GHz}$ : $kd = 72^\circ$ , $Z_{\text{ent}} = \iu1160\,\Omega$ , $R_s \parallel Z_{\text{ent}} = (340 + 111\iu)\,\Omega$ , $R = |r|^2 = 2.6\%$ ( $-16\,\mathrm{dB}$ ) ; $12\,\mathrm{GHz}$ : $kd = 108^\circ$ , même module : $-16\,\mathrm{dB}$ . Utile sur $\pm20\%$ environ.

19. L’incidence oblique raccourcit le quart d’onde effectif ( $d\cos\theta$ ) et change l’impédance d’onde avec l’angle : l’adaptation est perdue.

20. Un écran fonctionne à une fréquence et sous un angle ; des couches à pertes graduées et des surfaces profilées absorbent et dévient sur une large bande.

21. $\underline n = -\iu\sqrt{(\omega_p/\omega)^2 - 1} = -3.6\iu$ ; $|r| = 1$ , phase $2\arctan3.6 = 149{}^{\circ}$ ; profondeur $c/3.6\omega = 22\,\mathrm{nm}$ . L’onde n’entre jamais dans le métal pour s’y scinder en deux réflexions comparables : il n’y a rien contre quoi une couche quart d’onde pourrait annuler une réflexion de module un.

22. $30\,\mathrm{W}$ ; $30/(0.01 \times 235) = 13\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ .

23. Des nœuds tous les $\lambda/2 = 250\,\mathrm{nm}$ ; $E \propto \cos(kx + \varphi/2)$ avec $\varphi = 149^\circ$ : premier nœud en $x = -(90^\circ + 74.5^\circ)\lambda/360^\circ = -230\,\mathrm{nm}$ ; un grain qui s’y trouve reste dans l’obscurité.

24. $I = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 87\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $j_s = 2E_0/\mu_0c = 460\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ .

25. Métal : des courants surfaciques dans une épaisseur de peau, $r \approx -1$ , limité par les pertes Joule de ces courants. Plasma : pénétration évanescente, $|r| = 1$ avec une phase qui dépend de la fréquence, limité par les chocs. Empilement diélectrique : de nombreuses réflexions faibles ajoutées en phase, $r \to 1$ dans une bande, limité par le nombre de couches et par la bande passante.