Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

31Puits de potentiel, barrières et effet tunnel

Une bille dans une cuvette va et vient avec l’énergie qu’on lui a donnée ; un électron dans un atome, un nucléon dans un noyau, un électron dans un cristal de taille nanométrique ne peuvent avoir que certaines énergies, et la plus basse d’entre elles n’est pas nulle. Une bille ne peut franchir une colline plus haute que son énergie ne le permet ; une particule $\alpha$ quitte un noyau à travers un mur coulombien qu’elle ne pourrait jamais escalader, la pointe d’un microscope à effet tunnel fait passer un courant à travers un intervalle de vide, et l’atome d’azote de l’ammoniac traverse le plan de ses trois hydrogènes vingt-quatre milliards de fois par seconde. Ce chapitre résout l’équation de Schrödinger dans les potentiels les plus simples — puits à parois infinies et finies, marche, barrière, double puits — et y trouve les deux grands faits quantiques que la mécanique classique ne peut produire : la quantification des énergies liées, et l’effet tunnel à travers des régions classiquement interdites, avec sa sensibilité exponentielle à la largeur et à la hauteur de la barrière, d’où sa capacité à servir de règle au picomètre et l’étendue des durées de vie radioactives sur trente ordres de grandeur.

Un microscope à effet tunnel : une pointe métallique tenue à quelques dixièmes de nanomètre au-dessus d’une surface ; le courant tunnel, qui change d’un facteur dix par dixième de nanomètre, cartographie la surface atome par atome.

31.1 Le puits infini

Proposition 31.1 (Puits carré infini)

Une particule confinée dans $0 < x < L$ par des parois impénétrables ( $V = 0$ à l’intérieur, $V = \infty$ à l’extérieur, donc $\varphi = 0$ aux parois) a les états stationnaires et les énergies

\varphi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} = n^2E_1, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

Les énergies sont quantifiées, croissent comme $n^2$ , et la plus basse n’est pas nulle : l’énergie de confinement $E_1 = h^2/8mL^2$ est le prix de la localisation ( $\Delta x \sim L$ impose $\Delta p \sim h/2L$ ). Les $\varphi_n$ sont orthogonales, $\int\varphi_n\varphi_m\dd x = \delta_{nm}$ , et tout état du puits est une superposition de celles-ci.

Démonstration. À l’intérieur, $\varphi'' = -k^2\varphi$ avec $k^2 = 2mE/\hbar^2$ : $\varphi = A\sin kx + B\cos kx$ ; $\varphi(0) = 0$ annule $B$ , $\varphi(L) = 0$ exige $kL = n\pi$ — les ondes stationnaires d’une corde, avec $E = \hbar^2k^2/2m$ . La normalisation donne $A = \sqrt{2/L}$ ; l’orthogonalité est celle des sinus. ∎

Le puits infini : les trois premiers niveaux, E_n n2, avec leurs fonctions d’onde (à gauche) et leurs densités de probabilité (à droite) — n - 1 nœuds, et un état fondamental étalé dans tout le puits et d’énergie non nulle. — Le puits infini : les trois premiers niveaux, $E_n \propto n^2$ , avec leurs fonctions d’onde (à gauche) et leurs densités de probabilité (à droite) — $n - 1$ nœuds, et un état fondamental étalé dans tout le puits et d’énergie non nulle.

Exemple 31.2 (Ordres de grandeur, et couleurs)

$E_1 = h^2/8mL^2$ : un électron dans $1\,\mathrm{nm}$ , $0.38\,\mathrm{eV}$ ; dans $0.1\,\mathrm{nm}$ (un atome), $38\,\mathrm{eV}$ — l’échelle des énergies atomiques ; un nucléon dans $5\,\mathrm{fm}$ , $8\,\mathrm{MeV}$ — l’échelle des énergies nucléaires ; une bille dans une boîte, $10^{-63}\,\mathrm{J}$ — personne ne le remarquera. Un nanocristal semi-conducteur de quelques nanomètres (une boîte quantique) confine ses électrons : l’énergie de confinement s’ajoute à la bande interdite du cristal, si bien que plus la boîte est petite, plus la lumière émise est bleue — le même matériau brille rouge à $6\,\mathrm{nm}$ et vert à $3\,\mathrm{nm}$ , réglé par la seule taille.

31.2 Le puits fini

Proposition 31.3 (Puits carré fini)

Pour $V = 0$ dans $|x| < a$ et $V = V_0$ à l’extérieur, un état d’énergie $0 < E < V_0$ oscille à l’intérieur ( $k = \sqrt{2mE}/\hbar$ ) et décroît à l’extérieur ( $\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ ) : $\varphi \propto \eu^{-\kappa|x|}$ au-delà des parois. Le raccordement de $\varphi$ et $\varphi'$ en $x = \pm a$ donne, pour les états pairs et impairs,

k\tan ka = \kappa \quad\text{(pair)}, \qquad -k\cot ka = \kappa \quad\text{(impair)}, \qquad\text{avec}\quad (ka)^2 + (\kappa a)^2 = \frac{2mV_0a^2}{\hbar^2} \equiv R^2 .

Graphiquement, les solutions sont les intersections des courbes $\eta = \xi\tan\xi$ , $\eta = -\xi\cot\xi$ avec le cercle $\xi^2 + \eta^2 = R^2$ ( $\xi = ka$ , $\eta = \kappa a$ ) : il y a toujours au moins un état lié (l’état fondamental pair), et $1 + \lfloor 2R/\pi\rfloor$ en tout. La particule pénètre dans la région interdite sur la profondeur $1/\kappa$ , et les niveaux sont plus bas que ceux du puits infini de même largeur.

Démonstration. La solution paire vaut $A\cos kx$ à l’intérieur et $B\eu^{-\kappa|x|}$ à l’extérieur ; la continuité de $\varphi'/\varphi$ en $x = a$ donne $-k\tan ka = -\kappa$ . De même pour l’impaire avec $\sin$ . Le cercle est la définition de $k$ et de $\kappa$ . Chaque branche de $\xi\tan\xi$ partant de $\xi = n\pi$ et de $-\xi\cot\xi$ partant de $(n + \tfrac12)\pi$ coupe le cercle une fois si elle part à l’intérieur : d’où le compte. ∎

Résolution graphique du puits fini : les états liés sont les intersections du cercle de rayon R = a√2mV_0/ avec les branches (états pairs) et - (impairs). Ici R = 4 : trois états liés ; le petit cercle en tirets (R = 1.2) coupe encore la première branche — un puits lie toujours au moins un état. — Résolution graphique du puits fini : les états liés sont les intersections du cercle de rayon $R = a\sqrt{2mV_0}/\hbar$ avec les branches $\xi\tan\xi$ (états pairs) et $-\xi\cot\xi$ (impairs). Ici $R = 4$ : trois états liés ; le petit cercle en tirets ( $R = 1.2$ ) coupe encore la première branche — un puits lie toujours au moins un état.

Exemple 31.4 (Un électron dans un puits nanométrique)

$V_0 = 1\,\mathrm{eV}$ , largeur $2a = 1\,\mathrm{nm}$ : $R = a\sqrt{2mV_0}/\hbar = 0.5 \times 10^{-9} \times 5.1 \times 10^9 = 2.6$ , donc $1 + \lfloor 2R/\pi\rfloor = 2$ états liés ; l’état fondamental se situe vers $0.26\,\mathrm{eV}$ au lieu des $0.38\,\mathrm{eV}$ du puits infini, et déborde de $0.2\,\mathrm{nm}$ dans les parois ( $1/\kappa = \hbar/\sqrt{2m(V_0 - E)}$ ). De tels puits, obtenus en couches de semi-conducteurs de quelques nanomètres d’épaisseur, sont le cœur des diodes laser du Chapitre 23.

31.3 Marche et barrière : l’effet tunnel

Proposition 31.5 (Marche de potentiel)

Une particule d’énergie $E$ venant de $x < 0$ sur la marche $V = V_0$ pour $x > 0$ :

$E > V_0$ : $\varphi = \eu^{\iu k_1x} + r\eu^{-\iu k_1x}$ à gauche, $t\eu^{\iu k_2x}$ à droite, avec $k_{1,2} = \sqrt{2m(E - V_{0,\text{gauche/droite}})}/ \hbar$ ; la continuité de $\varphi$ et de $\varphi'$ donne $r = (k_1 - k_2)/(k_1 + k_2)$ et la probabilité de réflexion (rapport des courants) $R = r^2$ , $T = 1 - R = 4k_1k_2/(k_1 + k_2)^2$ — une particule peut être réfléchie par une marche qu’elle a l’énergie de gravir, exactement comme une onde sur une corde par un changement d’impédance (Chapitre 15) ;
$E < V_0$ : à droite $\varphi = t\eu^{-\kappa x}$ , $\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ — une onde évanescente ; $|r| = 1$ (réflexion totale, avec un déphasage), aucun courant n’entre dans la marche, mais la particule s’y trouve avec une probabilité décroissant sur $1/\kappa$ .

Démonstration. Écrire les équations de continuité en $x = 0$ et résoudre ; pour les courants utiliser $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (Chapitre 30). Pour $E < V_0$ , $r = (k - \iu\kappa)/(k + \iu\kappa)$ , de module un. ∎

Théorème 31.6 (Effet tunnel à travers une barrière)

Une particule d’énergie $E < V_0$ rencontrant une barrière rectangulaire de hauteur $V_0$ et de largeur $a$ est transmise avec la probabilité

T = \Big[1 + \frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0 - E)}\Big]^{-1} \ \approx\ 16\,\frac{E}{V_0}\Big(1 - \frac{E}{V_0}\Big)\eu^{-2\kappa a} \quad (\kappa a \gg 1), \qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} .

C’est l’effet tunnel : classiquement impossible, quantiquement exponentiellement petit — et exponentiellement sensible à la largeur $a$ , à la hauteur $V_0 - E$ et à la masse $m$ . Pour un électron à $1\,\mathrm{eV}$ sous le sommet, $\kappa = 5.1\,\mathrm{nm}^{-1}$ : $T \sim 10^{-2}$ pour $a = 0.5\,\mathrm{nm}$ , $10^{-4}$ pour $1\,\mathrm{nm}$ , $10^{-9}$ pour $2\,\mathrm{nm}$ ; pour un proton, $\kappa$ est $43$ fois plus grand et rien ne passe à ces largeurs.

Démonstration. $\varphi = \eu^{\iu kx} + r\eu^{-\iu kx}$ pour $x < 0$ , $A\eu^{\kappa x} + B\eu^{-\kappa x}$ à l’intérieur, $t\eu^{\iu kx}$ pour $x > a$ ; quatre conditions de continuité (sur $\varphi$ et $\varphi'$ en $0$ et en $a$ ) pour quatre inconnues ; en éliminant $A$ , $B$ , $r$ on obtient $1/|t|^2 = 1 + (k^2 + \kappa^2)^2\sinh^2(\kappa a)/4k^2\kappa^2$ , qui est la formule avec $k^2 = 2mE/\hbar^2$ , $\kappa^2 = 2m(V_0 - E)/\hbar^2$ . Pour $\kappa a \gg 1$ , $\sinh\kappa a \approx \eu^{\kappa a}/2$ . Pour une barrière de forme quelconque l’exposant devient $2\int\kappa(x)\dd x$ à travers la région interdite (le facteur de Gamow, admis). ∎

L’effet tunnel à travers une barrière : l’onde oscille à gauche, décroît exponentiellement dans la région classiquement interdite, et émerge à droite avec une amplitude réduite — même longueur d’onde, faible probabilité.

Exemple 31.7 (Le microscope à effet tunnel)

Une pointe métallique acérée est amenée à $d \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ d’une surface conductrice et une petite tension est appliquée : les électrons passent par effet tunnel à travers l’intervalle de vide, dont la hauteur de barrière est le travail de sortie $\Phi \approx 4.5\,\mathrm{eV}$ , si bien que $\kappa = \sqrt{2m\Phi}/\hbar = 1.1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ et le courant $I \propto \eu^{-2\kappa d}$ change d’un facteur $\eu^{2.2} \approx 10$ tous les $0.1\,\mathrm{nm}$ . Une boucle d’asservissement déplace la pointe pour maintenir $I$ constant, et la hauteur de la pointe, enregistrée pendant le balayage, dessine la surface avec une résolution verticale du picomètre — et latéralement atome par atome, parce que le dernier atome de la pointe, étant le plus proche, porte l’essentiel du courant (Binnig et Rohrer, 1981).

Exemple 31.8 (La désintégration alpha)

Une particule $\alpha$ de $5\,\mathrm{MeV}$ à l’intérieur d’un noyau lourd affronte la barrière coulombienne de la charge restante $Ze$ , haute de plusieurs dizaines de MeV à la surface nucléaire et s’étendant jusqu’au rayon $b = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0E \approx 50\,\mathrm{fm}$ où $V = E$ . Le facteur de Gamow $2\int\kappa\,\dd r$ est de l’ordre de $80$ : $T \sim \eu^{-80} \sim 10^{-35}$ . La particule frappe la paroi quelque $10^{21}$ fois par seconde, de sorte qu’elle s’échappe au rythme $\sim 10^{-14} \,\mathrm{s}^{-1}$ : une durée de vie d’un million d’années. Comme l’exposant varie en $Z/\sqrt E$ , un changement de $2\,\mathrm{MeV}$ de $E$ décale la durée de vie de vingt ordres de grandeur — la loi de Geiger–Nuttall, de la microseconde à l’âge de l’univers (Gamow, 1928 : la première application de l’effet tunnel).

Résolution atomique sur une surface d’or, imagée par un microscope à effet tunnel : les rangées d’atomes de la face (100) reconstruite, espacées de quelques dixièmes de nanomètre.

31.4 Le double puits

Proposition 31.9 (Levée de dégénérescence par effet tunnel)

Deux puits identiques séparés par une barrière : si la barrière était impénétrable chaque puits aurait le même niveau fondamental $E_0$ , deux fois. L’effet tunnel les couple et les deux états les plus bas du double puits sont les combinaisons symétrique et antisymétrique, $\varphi_\pm \approx (\varphi_{\text{L}} \pm \varphi_{\text{R}})/\sqrt2$ , d’énergies $E_0 \mp \Delta/2$ : le niveau est dédoublé d’une quantité $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ (l’amplitude de passage, non son carré). Une particule placée dans le puits de gauche, $\psi = (\varphi_+ + \varphi_-)/\sqrt2$ , n’est pas stationnaire : elle oscille entre les puits à la fréquence $\nu = \Delta/h$ — les oscillations tunnel, les battements à deux niveaux du Chapitre 30.

Démonstration. La combinaison symétrique n’a pas de nœud sous la barrière et une courbure plus faible, donc une énergie plus basse ; l’antisymétrique a un nœud et se situe plus haut ; le dédoublement est proportionnel au recouvrement des fonctions localisées sous la barrière, $\eu^{-\kappa a}$ . Le battement est la superposition à deux niveaux déjà calculée. ∎

Le double puits : le niveau dégénéré des deux puits isolés se dédouble en un état symétrique (plus bas) et un antisymétrique (plus haut) de - a ; une particule lancée d’un côté passe d’un puits à l’autre à la fréquence /h. — Le double puits : le niveau dégénéré des deux puits isolés se dédouble en un état symétrique (plus bas) et un antisymétrique (plus haut) de $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ ; une particule lancée d’un côté passe d’un puits à l’autre à la fréquence $\Delta/h$ .

Exemple 31.10 (L’ammoniac)

Dans NH $_3$ l’atome d’azote se tient d’un côté du plan des trois hydrogènes ou de l’autre — un double puits avec une barrière d’environ $0.25\,\mathrm{eV}$ . Le dédoublement tunnel du niveau fondamental vaut $\Delta = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ : $\nu = \Delta/h = 24\,\mathrm{GHz}$ , la fréquence d’inversion, la transition du premier maser et de la première horloge atomique (1949). Remplacez l’hydrogène par du deutérium et la molécule, plus lourde, passe moins : $1.6\,\mathrm{GHz}$ . Dans des pyramides plus lourdes (PH $_3$ , AsH $_3$ ) le dédoublement s’effondre au kilohertz et au-dessous : la molécule reste de son côté des années durant — d’où l’existence même de molécules gauches et droites, et le fait que le sucre ne se racémise pas sur l’étagère.

Charles Townes avec le premier maser (1954) : un jet de molécules d’ammoniac, triées par un champ électrique dans l’état d’inversion supérieur, amplifiait la transition à 24\, GHz dans une cavité — le premier dispositif à émission stimulée, six ans avant le laser. — Charles Townes avec le premier maser (1954) : un jet de molécules d’ammoniac, triées par un champ électrique dans l’état d’inversion supérieur, amplifiait la transition à $24\,\mathrm{GHz}$ dans une cavité — le premier dispositif à émission stimulée, six ans avant le laser.

Méthode 31.11 (Puits et barrières)

(1) Écrire $\varphi$ région par région : $\eu^{\pm\iu kx}$ là où $E > V$ , $\eu^{\pm\kappa x}$ là où $E < V$ , avec $k, \kappa = \sqrt{2m|E - V|}/\hbar$ . (2) Raccorder $\varphi$ et $\varphi'$ à chaque frontière (à une paroi infinie, $\varphi = 0$ ). (3) États liés : le raccordement n’a de solutions que pour des $E$ discrets — les compter graphiquement. (4) Diffusion : les courants $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ donnent $R$ et $T$ . (5) Effet tunnel : $T \sim \eu^{-2\kappa a}$ ; l’ordre de grandeur d’abord, le préfacteur ensuite. (6) Double puits : dédoublement $\propto\eu^{-\kappa a}$ , battements à $\Delta/h$ .

31.5 Exercices

Exercice 31.1 ★

Puits infini : un électron dans $1\,\mathrm{nm}$ ( $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ , longueur d’onde du photon $2 \to 1$ ) ; un électron dans $0.1\,\mathrm{nm}$ ; un nucléon dans $5\,\mathrm{fm}$ ; une bille de $1\,\mathrm{g}$ dans $10\,\mathrm{cm}$ ( $E_1$ , et le nombre quantique pour une vitesse de $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ).

Solution

Solution de Exercice 31.1.

$1\,\mathrm{nm}$ : $0.38\,$ , $1.50\,$ , $3.38\,\mathrm{eV}$ ; $2 \to 1$ : $1.13\,\mathrm{eV}$ , $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . $0.1\,\mathrm{nm}$ : $38\,\mathrm{eV}$ . Nucléon : $8\,\mathrm{MeV}$ . Bille : $E_1 = 5.5 \times 10^{-63}\,\mathrm{J}$ ; $n = 2mvL/h = 3 \times 10^{27}$ .

Exercice 31.2 ★

Boîtes quantiques : un nanocristal de bande interdite $1.74\,\mathrm{eV}$ confine une paire électron–trou dont l’énergie de confinement vaut $h^2/8m^*L^2$ avec $m^* = 0.1\,m_{\text{e}}$ . Longueur d’onde d’émission pour $L = 6$ , $4$ , $3$ , $2.5\,\mathrm{nm}$ ; quelles couleurs ?

Solution

Solution de Exercice 31.2.

Confinement $3.76\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}^{2}/L^2$ : $0.10$ , $0.24$ , $0.42$ , $0.60\,\mathrm{eV}$ ; total $1.84$ , $1.98$ , $2.16$ , $2.34\,\mathrm{eV}$ : $673\,$ , $628\,$ , $574\,$ , $530\,\mathrm{nm}$ — rouge, orange, jaune-vert, vert.

Exercice 31.3 ★

Effet tunnel : un électron avec $V_0 - E = 4.5\,\mathrm{eV}$ : $\kappa$ ; $\eu^{-2\kappa a}$ pour $a = 0.3$ , $0.5$ , $1$ , $2\,\mathrm{nm}$ ; facteur par $0.1\,\mathrm{nm}$ ; de même pour un proton à $a = 0.3\,\mathrm{nm}$ .

Solution

Solution de Exercice 31.3.

$\kappa = 1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\eu^{-2\kappa a}$ : $1.5 \times 10^{-3}$ , $1.8 \times 10^{-5}$ , $3 \times 10^{-10}$ , $10^{-19}$ ; $\times 8.8$ par $0.1\,\mathrm{nm}$ ; proton : $\kappa$ est $43$ fois plus grand, $\eu^{-280}$ à $0.3\,\mathrm{nm}$ .

Exercice 31.4 ★

Marche : un électron de $2\,\mathrm{eV}$ sur une marche de $1\,\mathrm{eV}$ : $k_1$ , $k_2$ , $R$ , $T$ . De même pour une marche descendante de $1\,\mathrm{eV}$ . Pourquoi est-ce impossible classiquement, et quel est l’analogue pour la lumière ?

Solution

Solution de Exercice 31.4.

$k_1 = 7.3 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $k_2 = 5.1 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $R = 0.03$ , $T = 0.97$ . Marche descendante : $k_2 = 8.9 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $R = 0.01$ . Une particule classique ne rebrousse jamais chemin quand elle en a l’énergie ; une onde lumineuse est partiellement réfléchie à tout changement d’indice.

Exercice 31.5 ★★

Le puits infini en détail. (a) Établir les niveaux et normaliser. (b) Montrer l’orthogonalité. (c) Pour $n = 1$ : $\langle x\rangle$ , $\Delta x = L\sqrt{1/12 - 1/2\pi^2}$ , $\langle p\rangle = 0$ , $\Delta p = \pi\hbar/L$ ; vérifier Heisenberg. (d) Esquisser $|\varphi_n|^2$ pour $n$ grand et comparer à la probabilité classique de trouver une particule qui rebondit.

Solution

Solution de Exercice 31.5.

(a), (b) Proposition 31.1. (c) $L/2$ ; $0.18L$ ; $0$ ; $\pi\hbar/L$ ; produit $0.57\hbar > \hbar/2$ . (d) Des oscillations rapides autour de la moyenne $1/L$ — la densité uniforme classique.

Exercice 31.6 ★★

Puits fini. (a) Établir $k\tan ka = \kappa$ pour les états pairs. (b) Montrer graphiquement qu’il y a toujours un état lié et les compter pour $R = 1$ , $4$ , $10$ . (c) Électron, $V_0 = 1\,\mathrm{eV}$ , $2a = 1\,\mathrm{nm}$ : $R$ , nombre d’états, profondeur de pénétration de l’état fondamental (prendre $E \approx 0.26\,\mathrm{eV}$ ). (d) Qu’advient-il du nombre d’états liés quand $V_0 \to \infty$ , et de leurs énergies ?

Solution

Solution de Exercice 31.6.

(a) Proposition 31.3. (b) $1$ , $3$ , $7$ . (c) $R = 2.6$ , deux états ; $\kappa = 4.4 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ , profondeur $0.23\,\mathrm{nm}$ . (d) Une infinité, tendant par en dessous vers celles du puits infini.

Exercice 31.7 ★★

Marche, $E < V_0$ . (a) Écrire $\varphi$ des deux côtés et trouver $r = (k - \iu\kappa)/(k + \iu\kappa)$ . (b) Montrer $|r| = 1$ et calculer la phase de $r$ . (c) Montrer que le courant s’annule pour $x > 0$ bien que $|\varphi|^2 \ne 0$ là. (d) Un électron à $1\,\mathrm{eV}$ sous le sommet : profondeur de pénétration ; comparer à l’onde évanescente de la réflexion totale.

Solution

Solution de Exercice 31.7.

(a) $1 + r = t$ , $\iu k(1 - r) = -\kappa t$ . (b) Numérateur et dénominateur sont conjugués ; phase $-2\arctan(\kappa/k)$ . (c) $\psi^*\psi'$ est réel pour une exponentielle réelle. (d) $0.2\,\mathrm{nm}$ ; comme l’onde évanescente de la réflexion totale : présente, ne portant aucun flux, et capable d’alimenter un second milieu — c’est cela, l’effet tunnel.

Exercice 31.8 ★★

La barrière. (a) Écrire les quatre conditions de continuité et en tirer $T$ . (b) L’évaluer exactement puis avec l’approximation pour $E = V_0/2$ , $\kappa a = 3$ ; pour $\kappa a = 1$ . (c) Pour $E > V_0$ montrer $T = [1 + V_0^2\sin^2(k_2a)/4E(E - V_0)]^{-1}$ et trouver les énergies de transmission parfaite. (d) Les interpréter (penser à la couche antireflet du Chapitre 15).

Solution

Solution de Exercice 31.8.

(a) Théorème 31.6. (b) $\kappa a = 3$ : exact $1/(1 + \sinh^23) = 9.9 \times 10^{-3}$ , approximation $4\eu^{-6} = 9.9 \times 10^{-3}$ ; $\kappa a = 1$ : $0.42$ contre $0.54$ . (c) $\kappa \to \iu k_2$ ; $T = 1$ pour $k_2a = n\pi$ . (d) Les réflexions des deux faces s’annulent quand la barrière fait un nombre entier de demi-longueurs d’onde — transmission résonnante.

Exercice 31.9 ★★

Gamow. Pour la barrière coulombienne du rayon nucléaire $R_{\text{n}}$ à $b = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0E$ , l’exposant vaut $G = 2\int\kappa\,\dd r = (2\sqrt{2mE}/\hbar)\,b\,[\arccos\sqrt{R_{\text{n}}/b} - \sqrt{(R_{\text{n}}/b)(1 - R_{\text{n}}/b)}]$ . (a) $Z = 90$ , $E = 5\,\mathrm{MeV}$ , $R_{\text{n}} = 8\,\mathrm{fm}$ : $b$ , $G$ , $T$ . (b) Fréquence des chocs $v/2R_{\text{n}}$ et durée de vie. (c) Refaire pour $E = 4$ et $6\,\mathrm{MeV}$ : rapport des durées de vie. (d) Pourquoi les noyaux émettent-ils des particules $\alpha$ plutôt que des protons ou du $^{12}$ C ?

Solution

Solution de Exercice 31.9.

(a) $b = 52\,\mathrm{fm}$ ; $G = 82$ ; $T = \eu^{-82} \approx 2 \times 10^{-36}$ . (b) $v = 1.55 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $10^{21}$ chocs par seconde : taux $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$ , durée de vie $\sim 10^7$ ans. (c) $G = 100$ et $69$ : $\eu^{18} \approx 10^8$ fois plus longue, $\eu^{-13} \approx 10^{-6}$ fois plus courte. (d) L’ $\alpha$ est fortement liée et part avec une énergie positive ; un proton ne le ferait pas ; un $^{12}$ C a trois fois la charge et un exposant bien plus grand (la radioactivité de grappe existe, à $10^{-10}$ ).

Exercice 31.10 ★★★

Ammoniac. Dédoublement $\Delta = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ . (a) Fréquence d’inversion et période de l’oscillation tunnel. (b) L’atome de N est préparé d’un côté : écrire $\psi(t)$ et la probabilité de le trouver de l’autre côté. (c) ND $_3$ passe à $1.6\,\mathrm{GHz}$ : en déduire $\kappa a$ à partir du rapport des dédoublements si $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ et $\kappa \propto\sqrt m$ ( $m_{\text{D}} = 2m_{\text{H}}$ , barrière inchangée). (d) Pourquoi une molécule chirale peut-elle rester gauche des années ?

Solution

Solution de Exercice 31.10.

(a) $24\,\mathrm{GHz}$ ; $41\,\mathrm{ps}$ . (b) $\psi = (\varphi_+\eu^{-\iu E_+t/\hbar} + \varphi_-\eu^{-\iu E_-t/\hbar})/\sqrt2$ ; $P = \sin^2(\pi\nu t)$ . (c) $\eu^{(\sqrt2 - 1) \kappa a} = 15$ : $\kappa a = 6.5$ . (d) Des groupes plus lourds et des barrières plus hautes rendent la période tunnel plus longue que des années.

Exercice 31.11 ★★★

Le STM. $\Phi = 4.5\,\mathrm{eV}$ , $d = 0.5\,\mathrm{nm}$ , tension $0.1\,\mathrm{V}$ , $I = 1\,\mathrm{nA}$ . (a) $\kappa$ , le facteur sur $I$ par $0.1\,\mathrm{nm}$ , la résolution en hauteur si $I$ est mesuré à $1\%$ près. (b) Électrons par seconde dans le courant. (c) L’atome d’apex de la pointe est $0.25\,\mathrm{nm}$ plus près que ses voisins (à $0.25\,\mathrm{nm}$ latéralement, donc $d' = \sqrt{d^2 + 0.25^2}$ ) : fraction du courant qu’il porte. (d) Un bâti d’acier de $1\,\mathrm{cm}$ se dilate de $\alpha L\Delta T$ avec $\alpha = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ : quelle stabilité en température exige le picomètre, et comment les architectures la contournent-elles ?

Solution

Solution de Exercice 31.11.

(a) $1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\times 8.8$ ; $1\%$ de $I$ font $0.5\,\mathrm{pm}$ . (b) $6 \times 10^9$ . (c) Chaque voisin à $d' = 0.56\,\mathrm{nm}$ porte $\eu^{-2\kappa \times 0.06\,\text{nm}} = 0.28$ du courant de l’apex ; l’apex en porte environ la moitié. (d) $10^{-5}\,\mathrm{K}$ — impossible ; des architectures symétriques où pointe et échantillon se dilatent ensemble, des balayages rapides, des matériaux à faible dilatation, et l’asservissement.

Exercice 31.12 ★★★

Un laser à puits quantique. Une couche de $10\,\mathrm{nm}$ de GaAs (bande interdite $1.42\,\mathrm{eV}$ , $m_{\text{e}}^* = 0.067\,m_{\text{e}}$ , $m_{\text{h}}^* = 0.45\,m_{\text{e}}$ ) entre des barrières plus hautes de $0.3\,\mathrm{eV}$ . (a) Énergies de confinement fondamentales de l’électron et du trou (puits infini). (b) Énergie du photon et longueur d’onde du laser. (c) Largeur pour $780\,\mathrm{nm}$ . (d) Avec la barrière finie, combien d’états électroniques liés le puits de $10\,\mathrm{nm}$ contient-il ?

Solution

Solution de Exercice 31.12.

(a) $0.056\,$ et $0.008\,\mathrm{eV}$ . (b) $1.48\,\mathrm{eV}$ , $835\,\mathrm{nm}$ . (c) Confinement $0.17\,\mathrm{eV}$ : $L = 6.1\,\mathrm{nm}$ . (d) $R = 3.6$ : trois.

31.6 Problème : le STM, la particule alpha et le maser à ammoniac

Problème 31.1

Problème du week-end — trois tunnels

Données : $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $m_\alpha = 6.64 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $e^2/4\pi\varepsilon_0 = 1.44\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$ , $1\,\mathrm{eV}$ $= 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

Partie I — Le microscope à effet tunnel. Pointe et échantillon sont en tungstène ( $\Phi = 4.5\,\mathrm{eV}$ ) ; intervalle $d$ ; tension $50\,\mathrm{mV}$ ; le courant vaut $I = I_0\eu^{-2\kappa d}$ .

$\kappa$ pour des électrons au niveau de Fermi face à la barrière de vide $\Phi$ .
Facteur de variation de $I$ pour $\Delta d = 0.1\,\mathrm{nm}$ ; pour $1\,\mathrm{pm}$ .
L’asservissement tient $I$ constant à $1\%$ près : bruit en hauteur.
$I = 1\,\mathrm{nA}$ : électrons par seconde ; temps moyen entre deux électrons, comparé au « temps » de passage $\sim\hbar/\Phi$ .
L’atome d’apex et ses voisins à $0.25\,\mathrm{nm}$ latéralement, $d = 0.5\,\mathrm{nm}$ : part de l’atome d’apex ; pourquoi un seul atome suffit à imager des atomes.
Un atome adsorbé haut de $0.1\,\mathrm{nm}$ : variation de $I$ en mode hauteur constante ; pourquoi le mode courant constant est préféré.
Un bâti métallique de $2\,\mathrm{cm}$ , $\alpha = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ : variation de température qui déplace la pointe de $1\,\mathrm{pm}$ ; comment les instruments s’en accommodent-ils (symétrie, rapidité, matériaux à faible dilatation) ?
Sous une tension de $1\,\mathrm{V}$ la barrière n’est plus rectangulaire : l’esquisser et dire si $I$ croît plus vite ou moins vite que linéairement avec $V$ .
Sur une plage oxydée le travail de sortie vaut $3\,\mathrm{eV}$ au lieu de $4.5\,\mathrm{eV}$ : de combien la pointe recule-t-elle en mode courant constant au-dessus d’une surface parfaitement plane ? Qu’image alors le STM ?

Partie II — Désintégration alpha d’un noyau $Z = 92$ , $A = 238$ . L’ $\alpha$ ( $E = 4.2\,\mathrm{MeV}$ ) se déplace dans un noyau de rayon $R_{\text{n}} = 8\,\mathrm{fm}$ ; à l’extérieur, l’énergie coulombienne vaut $V(r) = 2(Z - 2)e^2/4\pi\varepsilon_0r$ .

Hauteur de la barrière en $R_{\text{n}}$ ; point de rebroussement classique $b$ .
Vitesse de l’ $\alpha$ à l’intérieur et sa fréquence de chocs sur la paroi.
Exposant de Gamow $G = (2\sqrt{2mE}/\hbar)\,b\,[\arccos\sqrt{R_{\text{n}}/b} - \sqrt{(R_{\text{n}}/b)(1 - R_{\text{n}}/b)}]$ et $T = \eu^{-G}$ .
Taux de désintégration et demi-vie ; comparer aux $4.5 \times 10^9$ ans mesurés.
La même chose avec $E = 5.2\,\mathrm{MeV}$ (un autre isotope) : demi-vie ; la sensibilité de Geiger–Nuttall.
En prenant $R_{\text{n}} = 9\,\mathrm{fm}$ au lieu de $8\,\mathrm{fm}$ : effet sur la demi-vie ; commenter la précision de telles estimations.
Pourquoi le passage par effet tunnel d’un proton (charge $1$ , masse $1/4$ ) n’est-il pas observé depuis le même noyau, ni celui d’un $^{12}$ C (charge $6$ ) ?
L’ $\alpha$ émerge avec la totalité des $4.2\,\mathrm{MeV}$ bien qu’elle soit « passée sous » un mur de $30\,\mathrm{MeV}$ : l’énergie est-elle conservée ?

Partie III — Le maser à ammoniac. L’atome de N passe par effet tunnel à travers le plan des H $_3$ ; le niveau fondamental est dédoublé de $\Delta = 9.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ .

Fréquence et longueur d’onde de la transition d’inversion.
Écrire les états symétrique et antisymétrique en fonction de « N en haut » et « N en bas » ; lequel est le plus bas, et pourquoi ?
Une molécule préparée « N en haut » : $\psi(t)$ , la probabilité d’être « en bas » à l’instant $t$ , la période.
Rapport de Boltzmann des deux niveaux à $300\,\mathrm{K}$ : la population thermique peut-elle donner un maser ? Comment obtient-on l’inversion (un champ électrique sélecteur d’état) ?
Énergie du photon en joules ; nombre de molécules qui doivent émettre par seconde pour une sortie de $1 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}$ .
ND $_3$ passe à $1.6\,\mathrm{GHz}$ : en déduire $\kappa a$ pour NH $_3$ en supposant $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ avec $\kappa \propto \sqrt{m}$ .
Le maser fut la première horloge atomique : pourquoi une fréquence de passage tunnel est-elle une bonne horloge et quels effets la décalent ?
Résumer : la quantification vient du confinement, l’effet tunnel de l’évanescence, et ce qui fixe les exposants.

Solution

Solution de Problème 31.1.

1. $\kappa = \sqrt{2m\Phi}/\hbar = 1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ .

2. $\eu^{2.2} = 8.8$ ; $\eu^{0.022}$ : $2.2\%$ par picomètre.

3. $0.5\,\mathrm{pm}$ .

4. $6 \times 10^9$ par seconde ; $0.16\,\mathrm{ns}$ d’écart, contre $\hbar/\Phi \sim 10^{-16}\,\mathrm{s}$ : un à la fois.

5. Environ la moitié ; le reste décroît si vite avec la distance que l’image est celle d’un seul atome.

6. $\times 8.8$ ; le courant constant garde la pointe hors de danger et change l’exponentielle en une hauteur linéaire.

7. $\Delta T = 10^{-12}/(10^{-5} \times 0.02) = 5 \times 10^{-6}\,\mathrm{K}$ ; des montages symétriques, la rapidité, des matériaux à faible dilatation, et un asservissement qui suit la dérive.

8. Un trapèze, abaissé du côté collecteur : la barrière effective s’amincit et $I$ croît plus vite que linéairement.

9. $\kappa' = 0.89 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; à $0.5\,\mathrm{nm}$ l’exposant tombe de $10.9$ à $8.9$ , $I \times 7$ : la pointe recule de $\ln 7/2\kappa' \approx 0.1\,\mathrm{nm}$ — une bosse électronique, non géométrique.

10. $V(R_{\text{n}}) = 2 \times 90 \times 1.44/8 = 32\,\mathrm{MeV}$ ; $b = 62\,\mathrm{fm}$ .

11. $v = 1.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $9 \times 10^{20}$ chocs par seconde.

12. $G = 96$ ; $T = \eu^{-96} \approx 10^{-42}$ .

13. Taux $\sim 10^{-21}\,\mathrm{s}^{-1}$ , demi-vie $\sim 10^{13}$ ans — mille fois la valeur mesurée : pour un exposant de cent, un modèle grossier s’en tire bien en tombant à quelques ordres de grandeur près.

14. $G = 79$ : $\eu^{17} \approx 10^7$ fois plus courte, environ $10^6$ ans — un MeV de plus, sept ordres de grandeur.

15. $G = 92$ : $\eu^{4.5} \approx 90$ fois plus courte — un fermi de rayon vaut deux ordres de grandeur.

16. Un proton n’est pas préformé avec une énergie positive (il est lié par quelque $7\,\mathrm{MeV}$ ) ; un $^{12}$ C a trois fois la charge et un exposant trois fois plus grand.

17. Oui : l’ $\alpha$ a toujours $4.2\,\mathrm{MeV}$ ; sa fonction d’onde a seulement une partie évanescente sous la barrière, où aucune mesure ne la trouve avec une énergie cinétique négative.

18. $23.7\,\mathrm{GHz}$ ; $1.27\,\mathrm{cm}$ .

19. $(|{\uparrow}\rangle \pm |{\downarrow}\rangle)/\sqrt2$ ; la symétrique est la plus basse — pas de nœud, moins de courbure.

20. $\psi = (\varphi_+\eu^{-\iu E_+t/\hbar} + \varphi_-\eu^{-\iu E_-t/\hbar})/\sqrt2$ ; $P_{\downarrow} = \sin^2(\pi\nu t)$ ; période $42\,\mathrm{ps}$ .

21. $\eu^{-\Delta/k_BT} = 0.996$ : presque égales, pas d’inversion ; un champ électrique inhomogène trie le jet et envoie les molécules de l’état supérieur dans la cavité.

22. $1.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ ; $6 \times 10^{12}$ molécules par seconde.

23. $\kappa a = 6.5$ .

24. Elle est fixée par la molécule seule, identique pour chaque molécule, et insensible à l’extérieur ; les décalages viennent de l’effet Doppler dans le jet, des champs électriques parasites, des collisions et de l’entraînement par la cavité.

25. Le confinement quantifie ( $E_n \propto n^2/L^2$ ) ; l’évanescence laisse passer l’onde ( $T \sim \eu^{-2\kappa a}$ ) ; les exposants sont fixés par $\sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ et la largeur — masse, hauteur, distance.