Physics · Livre 4 · Bachelor Year 2

Physique universitaire — 2e année

Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

10Charges, courants et conduction

Actionnez l’interrupteur et la lampe s’allume aussitôt ; pourtant les électrons du fil de cuivre dérivent vers elle à une fraction de millimètre par seconde, et mettraient des heures à arriver. Un éclair transporte trente mille ampères dans un canal large comme un doigt ; le nerf qui commande ce doigt transporte des picoampères. Le volume de première année traitait les courants comme des nombres dans des fils, I=U/RI = U/R ; ce chapitre les décrit comme un champ — une densité de courant en chaque point de la matière — écrit la loi selon laquelle la charge n’est ni créée ni détruite, et déduit la loi d’Ohm de la bousculade des électrons dans un métal : l’image microscopique qui se cache derrière la résistance, le fusible et le capteur à effet Hall.

Le cuivre, conducteur du monde électrique : dans les brins de ce câble, quelque 1029 électrons par mètre cube dérivent à une fraction de millimètre par seconde.
Le cuivre, conducteur du monde électrique : dans les brins de ce câble, quelque 102910^{29} électrons par mètre cube dérivent à une fraction de millimètre par seconde.

10.1 Densités de charge et de courant

Définition 10.1 (Densité de charge ; densité de courant)

À l’échelle mésoscopique, la matière porte une densité volumique de charge ρ(M,t)\rho(M, t) (C/m3\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}) : la charge ρ  ⁣dτ\rho\,\dd\tau contenue dans  ⁣dτ\dd\tau. Une surface peut porter une densité surfacique σ\sigma (C/m2\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}), un fil une densité linéique λ\lambda (C/m\mathrm{C}/\mathrm{m}). Si les porteurs de l’espèce ii (charge qiq_i, densité particulaire nin_i) se déplacent à la vitesse moyenne v→i\vect v_i, la densité de courant vaut

j→=∑iniqi v→i(A/m2),\vect j = \sum_in_iq_i\,\vect v_i \qquad (\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}) ,

et l’intensité à travers une surface orientée SS est le flux I=∬Sj→⋅n→  ⁣dSI = \iint_S\vect j\cdot\vect n\,\dd S : la charge qui traverse SS par unité de temps. Pour une seule espèce, j→=ρmv→\vect j = \rho_m\vect v avec ρm=nq\rho_m = nq la densité de charge mobile.

Démonstration. Pendant  ⁣dt\dd t les porteurs de l’espèce ii qui traversent  ⁣dS\dd S sont ceux contenus dans le cylindre oblique de base  ⁣dS\dd S et de génératrice v→i ⁣dt\vect v_i\dd t : leur nombre est niv→i⋅n→  ⁣dS  ⁣dtn_i\vect v_i\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t, leur charge qiq_i fois ce nombre. ∎

Exemple 10.2 (Combien les électrons dérivent lentement)

Le cuivre a un électron de conduction par atome : n=ρCuNA/M=8900×6.02×1023/0.0635=8.5×1028 m−3n = \rho_{\text{Cu}}N_A/M = 8900 \times 6.02 \times 10^{23}/0.0635 = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}. Un courant de 10 A10\,\mathrm{A} dans un fil de 1.5 mm21.5\,\mathrm{mm}^{2} donne j=6.7×106 A/m2j = 6.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, et la vitesse de dérive vaut v=j/ne=6.7×106/(8.5×1028×1.6×10−19)=0.5 mm/sv = j/ne = 6.7 \times 10^6/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19}) = 0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} — deux heures par mètre. La lampe s’allume aussitôt parce que le champ qui pousse les électrons s’établit tout le long du fil en quelques nanosecondes (il se propage à une vitesse proche de celle de la lumière, comme l’a montré le câble du Chapitre 8) : tous les électrons partent ensemble, comme l’eau dans un tuyau plein.

À gauche : un tube de courant — en régime stationnaire la même intensité traverse toute section. À droite : un électron dans un métal zigzague entre deux chocs à environ 106 m/s ; le champ y ajoute une lente dérive, opposée à E, d’une fraction de millimètre par seconde.
À gauche : un tube de courant — en régime stationnaire la même intensité traverse toute section. À droite : un électron dans un métal zigzague entre deux chocs à environ 10610^6 m/s ; le champ y ajoute une lente dérive, opposée à E→\vect E, d’une fraction de millimètre par seconde.

Exemple 10.3 (Ordres de grandeur)

La foudre, 30 kA30\,\mathrm{kA} dans un canal de 1 cm1\,\mathrm{cm} de rayon : j≈1×108 A/m2j \approx 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}. Un fil domestique : 10610^6 à 10710^7. Un faisceau d’électrons dans un tube cathodique, 1 mA1\,\mathrm{mA} sur 1 mm21\,\mathrm{mm}^{2} : 10310^3. Une fibre nerveuse, 1 nA1\,\mathrm{nA} à travers 10 µm210\,\text{µ}\mathrm{m}^{2} : 10210^2. Le faisceau d’un accélérateur de particules, 1 A1\,\mathrm{A} sur une tache de 0.1 mm20.1\,\mathrm{mm}^{2} : 10710^7 — dans le vide, sans le moindre choc.

10.2 Conservation de la charge

Théorème 10.4 (Conservation locale de la charge)

En tout point,

∂ρ∂t+div⁡j→=0;\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vect j = 0 ;

intégrée sur un volume fixe VV limité par la surface fermée Σ\Sigma, elle donne  ⁣dQV/ ⁣dt=−Isort\dd Q_V/\dd t = -I_{\text{sort}} : la charge intérieure ne varie que de ce qui traverse la frontière. En régime stationnaire (∂tρ=0\partial_t\rho = 0), div⁡j→=0\operatorname{div}\vect j = 0 : le flux de j→\vect j se conserve le long d’un tube de courant, la même intensité traverse toute section d’un fil, et les courants qui entrent en un nœud égalent ceux qui en sortent (loi des nœuds de Kirchhoff).

Démonstration. Mot pour mot le bilan de masse du Théorème 2.8 avec ρ\rho la densité de charge et j→\vect j son courant : la sortie nette de charge par les six faces d’une boîte fixe, par unité de volume, vaut div⁡j→\operatorname{div}\vect j, et aucune charge n’est créée. La forme intégrale somme les boîtes (les faces intérieures se compensent). Pour un tube compris entre deux sections S1S_1, S2S_2 sans flux latéral, I1=I2I_1 = I_2 ; un nœud est un petit volume percé de plusieurs fils : ∑Ientr=∑Isort\sum I_{\text{entr}} = \sum I_{\text{sort}}. ∎

Remarque 10.5 (Là où le courant s’arrête : le condensateur)

Un fil qui alimente l’armature d’un condensateur est un tube de courant qui se termine : le flux de j→\vect j entrant dans l’armature vaut I= ⁣dQ/ ⁣dtI = \dd Q/\dd t, et la charge s’accumule — div⁡j→≠0\operatorname{div}\vect j \ne 0 en ce point, le régime n’est pas stationnaire. Pourtant le même courant II circule dans le fil de l’autre côté : quelque chose doit assurer le relais à travers l’espace. Le Chapitre 11 le nomme — le courant de déplacement — et fait de la conservation de la charge la clef de voûte des équations de Maxwell.

10.3 Le modèle de Drude et la loi d’Ohm

Proposition 10.6 (Modèle de Drude ; loi d’Ohm locale)

Modélisons les électrons de conduction d’un métal par des particules libres (masse mm, charge −e-e, densité nn) qui subissent le champ E→\vect E et perdent, en moyenne, leur quantité de mouvement de dérive par des chocs avec le réseau toutes les τ\tau secondes — une force de frottement −mv→/τ-m\vect v/\tau sur la vitesse moyenne :

m ⁣dv→ ⁣dt=−eE→−mτv→.m\frac{\dd\vect v}{\dd t} = -e\vect E - \frac m\tau\vect v .

En champ permanent la dérive s’établit, en quelques τ\tau, à v→=−eτE→/m\vect v = -e\tau \vect E/m, et la densité de courant vaut

j→=γ E→,γ=ne2τm:\vect j = \gamma\,\vect E , \qquad \gamma = \frac{ne^2\tau}{m} :

c’est la loi d’Ohm locale, où γ\gamma est la conductivité (S/m\mathrm{S}/\mathrm{m} ; son inverse ρe=1/γ\rho_e = 1/\gamma est la résistivité, Ω m\Omega\,\mathrm{m}). Le rapport μ=eτ/m\mu = e\tau/m de la vitesse de dérive au champ est la mobilité (m2/(V s)\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})). Pour un conducteur de longueur LL et de section uniforme SS parcouru par un j→\vect j uniforme, l’intégration de E=j/γE = j/\gamma sur la longueur donne U=EL=(L/γS)IU = EL = (L/\gamma S)I : la résistance R=L/γS=ρeL/SR = L/\gamma S = \rho_eL/S du volume de première année.

Démonstration. Avec v→=−eτE→/m\vect v = -e\tau\vect E/m, j→=−nev→=(ne2τ/m)E→\vect j = -ne\vect v = (ne^2\tau/m)\vect E. Le transitoire v→(t)=v→∞(1−e−t/τ)\vect v(t) = \vect v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau}) dure τ∼1×10−14 s\tau \sim 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}, instantané à toute échelle de temps de circuit. La résistance découle de ∫E→⋅ ⁣dl→\int\vect E\cdot\dd\vect l entre les extrémités. ∎

Exemple 10.7 (Le cuivre, à partir de la conductivité mesurée)

Cuivre : γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, n=8.5×1028 m−3n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3} : τ=mγ/ne2=9.1×10−31×6×107/(8.5×1028×2.56×10−38)=2.5×10−14 s\tau = m\gamma/ne^2 = 9.1 \times 10^{-31} \times 6 \times 10^7/(8.5 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38}) = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s} — vingt-cinq femtosecondes entre deux chocs. La vitesse d’agitation des électrons dans un métal vaut environ 1.6×106 m/s1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} (un effet quantique, et non la valeur thermique 3kBT/m≈1×105 m/s\sqrt{3k_BT/m} \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}), de sorte que le libre parcours moyen vaut ℓ=vτ≈40 nm\ell = v\tau \approx 40\,\mathrm{nm}, une centaine de distances interatomiques : les électrons ne se heurtent pas aux atomes eux-mêmes (un cristal parfait leur est transparent) mais à ses défauts et à ses vibrations thermiques — d’où la chute de γ\gamma lorsqu’on chauffe ou qu’on allie un métal. Mobilité eτ/m=4.4×10−3 m2/(V s)e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}) : 4 mm/s4\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} par volt par mètre.

Proposition 10.8 (Loi d’Ohm à haute fréquence)

Pour un champ sinusoïdal E→‾ eiωt\underline{\vect E}\,\eu^{\iu\omega t} l’équation de Drude donne j→‾=γ‾(ω)E→‾\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E} avec

γ‾(ω)=γ01+iωτ,γ0=ne2τm:\underline\gamma(\omega) = \frac{\gamma_0}{1 + \iu\omega\tau} , \qquad \gamma_0 = \frac{ne^2\tau}{m} :

la conductivité est réelle et égale à sa valeur en continu tant que ωτ≪1\omega\tau \ll 1, c’est-à-dire jusqu’à 1×1013 Hz1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz} environ pour le cuivre — sur tout le domaine radio et micro-onde ; dans l’infrarouge et le visible (ωτ≫1\omega\tau \gg 1) elle devient imaginaire, γ‾≈ne2/imω\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega : les électrons oscillent librement, en quadrature avec le champ, et le métal se comporte comme le plasma du Chapitre 14.

Démonstration. iωmv→‾=−eE→‾−mv→‾/τ\iu\omega m\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E} - m\underline{\vect v}/\tau, d’où v→‾=−eτE→‾/m(1+iωτ)\underline{\vect v} = -e\tau\underline{\vect E}/m(1 + \iu\omega\tau) et j→‾=−nev→‾\underline{\vect j} = -ne\underline{\vect v}. ∎

À gauche : la conductivité de Drude en fonction de — réelle et constante à basse fréquence, imaginaire au-delà de 1/. À droite : l’effet Hall dans une plaquette conductrice — les porteurs sont poussés de côté par le champ, chargent les bords, et le champ de Hall transversal équilibre la force magnétique. À gauche : la conductivité de Drude en fonction de — réelle et constante à basse fréquence, imaginaire au-delà de 1/. À droite : l’effet Hall dans une plaquette conductrice — les porteurs sont poussés de côté par le champ, chargent les bords, et le champ de Hall transversal équilibre la force magnétique.
À gauche : la conductivité de Drude en fonction de ωτ\omega\tau — réelle et constante à basse fréquence, imaginaire au-delà de 1/τ1/\tau. À droite : l’effet Hall dans une plaquette conductrice — les porteurs sont poussés de côté par le champ, chargent les bords, et le champ de Hall transversal équilibre la force magnétique.

Remarque 10.9 (Conducteurs, semi-conducteurs, électrolytes)

La même loi j→=∑niqiμiE→\vect j = \sum n_iq_i\mu_i\vect E vaut pour tout conducteur ; ce qui change, ce sont nn et μ\mu. Métaux : n∼1029n \sim 10^{29}, γ∼107\gamma \sim 10^7 S/m. Semi-conducteurs : n∼1016n \sim 10^{16} à 102310^{23}, fixé par le dopage et croissant fortement avec la température, avec deux sortes de porteurs (électrons et trous) — d’où thermistances et diodes. Électrolytes : des ions des deux signes, μ∼10−8\mu \sim 10^{-8} à 10−710^{-7} m2^2/(V s) ; eau de mer γ≈5 S/m\gamma \approx 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, eau du robinet 10−210^{-2}, eau pure 10−510^{-5}. Isolants (verre, polymères) : γ≲10−12\gamma \lesssim 10^{-12} S/m. L’effet Hall du volume de première année, sous forme locale E→H=−j→∧B→/nq\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B/nq, mesure nn et le signe de qq : dans l’aluminium ou le zinc les porteurs se révèlent positifs — des trous — et aucun modèle classique ne l’explique.

10.4 Énergie : la loi de Joule locale

Proposition 10.10 (Loi de Joule locale)

Le champ électrique fournit aux porteurs, par unité de volume et de temps, la puissance j→⋅E→\vect j\cdot\vect E ; dans un conducteur ohmique elle vaut

p=j→⋅E→=γE2=j2γ  (W/m3),p = \vect j\cdot\vect E = \gamma E^2 = \frac{j^2}\gamma \ \ (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}) ,

entièrement convertie en chaleur par les chocs (l’énergie cinétique de dérive est négligeable et constante). Intégrée sur un fil, ∫j2/γ  ⁣dτ=(L/γS)I2=RI2\int j^2/\gamma\,\dd\tau = (L/\gamma S)I^2 = RI^2.

Démonstration. La force qE→q\vect E sur chaque porteur travaille au taux qE→⋅v→q\vect E\cdot\vect v ; sommée sur les n  ⁣dτn\,\dd\tau porteurs : nqv→⋅E→  ⁣dτ=j→⋅E→  ⁣dτnq\vect v\cdot\vect E\,\dd\tau = \vect j\cdot \vect E\,\dd\tau (la force magnétique ne travaille pas). En régime permanent de Drude cette puissance égale celle que dissipe le terme de frottement, c’est-à-dire celle qui est transférée au réseau. ∎

Exemple 10.11 (Un fil qui chauffe)

Le fil de 1.5 mm21.5\,\mathrm{mm}^{2} à 10 A10\,\mathrm{A} : p=j2/γ=(6.7×106)2/6×107=7.4×105 W/m3p = j^2/\gamma = (6.7 \times 10^6)^2/6 \times 10^7 = 7.4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}, soit 1.1 W1.1\,\mathrm{W} par mètre — facilement évacués par l’air alentour. Laissé à lui-même (sans refroidissement), le cuivre (c=385 J/(kg K)c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}), ρ=8900 kg/m3\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}) s’échaufferait de p/ρc=0.2 K/sp/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}. À 100 A100\,\mathrm{A} dans le même fil le taux est cent fois plus grand, 20 K/s20\,\mathrm{K}/\mathrm{s} : il fond en une minute — c’est le principe du fusible, dont le fil fin est calculé pour fondre le premier.

Proposition 10.12 (Relaxation de la charge dans un conducteur)

Dans un conducteur ohmique une densité volumique de charge décroît selon ρ(t)=ρ0e−t/τr\rho(t) = \rho_0\eu^{-t/\tau_r} avec

τr=ε0γ:\tau_r = \frac{\varepsilon_0}{\gamma} :

1.5×10−19 s1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s} pour le cuivre, 2×10−12 s2 \times 10^{-12}\,\mathrm{s} pour l’eau de mer, 10 s10\,\mathrm{s} pour le verre. Jusqu’à des fréquences de l’ordre de 1/τr1/\tau_r un conducteur ne porte aucune charge volumique : tout excès de charge gagne sa surface. Le mot « conducteur » dépend donc de l’échelle de temps : l’eau de mer est un conducteur pour les ondes radio et un isolant pour la lumière visible.

Démonstration. Conservation de la charge avec j→=γE→\vect j = \gamma\vect E et le théorème de Gauss sous forme locale, div⁡E→=ρ/ε0\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0 (Chapitre 11) : ∂tρ=−γdiv⁡E→=−(γ/ε0)ρ\partial_t\rho = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho. ∎

Méthode 10.13 (De la loi locale à la loi intégrale)

Pour trouver la résistance d’un conducteur de forme quelconque : (1) utiliser la symétrie pour écrire j→\vect j (en régime stationnaire son flux se conserve, donc dans un tube j×j \times section =I= I) ; (2) E→=j→/γ\vect E = \vect j/\gamma ; (3) intégrer E→\vect E le long d’une ligne allant d’une électrode à l’autre : U=∫E→⋅ ⁣dl→U = \int\vect E\cdot \dd\vect l, et R=U/IR = U/I ; (4) vérifier avec la puissance Joule ∫j2/γ  ⁣dτ=RI2\int j^2/\gamma\, \dd\tau = RI^2. Les mêmes étapes donnent la fuite d’un câble, la résistance du sol autour d’un paratonnerre, ou celle d’un contact conique.

10.5 Exercices

Exercice 10.1 ★

Un fil de cuivre de 2.5 mm22.5\,\mathrm{mm}^{2} transporte 16 A16\,\mathrm{A}. Densité de courant, vitesse de dérive (n=8.5×1028 m−3n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}), temps mis par un électron pour parcourir les 20 m20\,\mathrm{m} jusqu’à une prise ; champ électrique dans le fil (γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}), chute de tension sur 20 m20\,\mathrm{m} et puissance perdue.

Solution

Solution de Exercice 10.1.

j=16/2.5×10−6=6.4×106 A/m2j = 16/2.5 \times 10^{-6} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2} ; v=j/ne=0.47 mm/sv = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} ; 20 m20\,\mathrm{m} en 4.3×1044.3 \times 10^4 s, douze heures. E=j/γ=0.11 V/mE = j/\gamma = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m} ; U=2.1 VU = 2.1\,\mathrm{V} ; P=UI=34 WP = UI = 34\,\mathrm{W}.

Exercice 10.2 ★

Densités de courant : un coup de foudre (30 kA30\,\mathrm{kA}, rayon 1 cm1\,\mathrm{cm}) ; un faisceau d’électrons (2 mA2\,\mathrm{mA}, 0.5 mm20.5\,\mathrm{mm}^{2}) ; un axone nerveux (1 nA1\,\mathrm{nA}, rayon 2 µm2\,\text{µ}\mathrm{m}) ; le courant annulaire de la magnétosphère terrestre (1 MA1\,\mathrm{MA} à travers environ 1×1014 m21 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}). Lesquelles dépassent le fil de l’exercice précédent ?

Solution

Solution de Exercice 10.2.

Foudre 3×104/π10−4=1×108 A/m23 \times 10^4/\pi10^{-4} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2} ; faisceau 4×103 A/m24 \times 10^{3}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2} ; axone 10−9/1.3×10−11=80 A/m210^{-9}/1.3 \times 10^{-11} = 80\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2} ; courant annulaire 1×10−8 A/m21 \times 10^{-8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}. Seule la foudre dépasse les 6×1066 \times 10^6 du fil.

Exercice 10.3 ★

Résistivités à 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C} : cuivre 1.7×10−8 Ω m1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}, aluminium 2.8×10−8 Ω m2.8 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}, fer 1.0×10−7 Ω m1.0 \times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m}, nichrome 1.1×10−6 Ω m1.1 \times 10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}. Résistance de 100 m100\,\mathrm{m} de 2.5 mm22.5\,\mathrm{mm}^{2} pour chacun ; section d’aluminium équivalente à 2.5 mm22.5\,\mathrm{mm}^{2} de cuivre, et rapport des masses (masses volumiques 89008900 et 2700 kg/m32700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}) ; longueur de fil de nichrome de 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm} pour un radiateur de 1 kW1\,\mathrm{kW} sous 230 V230\,\mathrm{V}.

Solution

Solution de Exercice 10.3.

R=ρeL/SR = \rho_eL/S : 0.680.68, 1.11.1, 4.04.0, 44 Ω44\,\Omega. Aluminium : 2.5×2.8/1.7=4.1 mm22.5 \times 2.8/1.7 = 4.1\,\mathrm{mm}^{2}, rapport des masses (4.1×2700)/(2.5×8900)=0.50(4.1 \times 2700)/(2.5 \times 8900) = 0.50 — moitié moins lourd. Radiateur : R=2302/1000=53 ΩR = 230^2/1000 = 53\,\Omega, S=0.196 mm2S = 0.196\,\mathrm{mm}^{2}, L=RS/ρe=9.4 mL = RS/\rho_e = 9.4\,\mathrm{m}.

Exercice 10.4 ★

Drude : τ\tau, mobilité et libre parcours moyen (vitesse d’agitation 1.6×106 m/s1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}) pour le cuivre (γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, n=8.5×1028 m−3n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}) et l’argent (γ=6.3×107 S/m\gamma = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, n=5.9×1028 m−3n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}) ; conductivité d’un échantillon de silicium avec n=1×1022 m−3n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3} et μ=0.14 m2/(V s)\mu = 0.14\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}) ; vitesse de dérive dans cet échantillon sous 1 kV/m1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}.

Solution

Solution de Exercice 10.4.

τ=mγ/ne2\tau = m\gamma/ne^2 : cuivre 2.5×10−14 s2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}, μ=eτ/m=4.4×10−3 m2/(V s)\mu = e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}), ℓ=40 nm\ell = 40\,\mathrm{nm} ; argent 3.8×10−14 s3.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}, 6.7×10−3 m2/(V s)6.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}), 61 nm61\,\mathrm{nm}. Silicium : γ=neμ=1022×1.6×10−19×0.14=220 S/m\gamma = ne\mu = 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.14 = 220\,\mathrm{S}/\mathrm{m} ; v=μE=140 m/sv = \mu E = 140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Exercice 10.5 ★★

Un condensateur d’armatures SS est chargé par un fil sous I(t)I(t). (a) Appliquer la loi de conservation intégrale à une surface fermée entourant une armature : relier II et la charge QQ de l’armature. (b) Pourquoi div⁡j→≠0\operatorname{div}\vect j \ne 0 à l’armature ? (c) Une électrode sphérique de rayon aa dans un milieu conducteur émet un courant radial II : j→(r)\vect j(r) ; vérifier div⁡j→=0\operatorname{div} \vect j = 0 pour r>ar > a (utiliser div⁡j→=1r2∂r(r2jr)\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2}\partial_r(r^2j_r) pour un champ radial). (d) Où, alors, la conservation de la charge « se rompt » ?

Solution

Solution de Exercice 10.5.

(a) Du courant entre, rien ne sort :  ⁣dQ/ ⁣dt=I\dd Q/\dd t = I. (b) La charge s’accumule : ∂tρ≠0\partial_t \rho \ne 0. (c) j→=(I/4πr2)e→r\vect j = (I/4\pi r^2)\vect e_r : div⁡j→=1r2∂r(I/4π)=0\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2} \partial_r(I/4\pi) = 0. (d) Seulement à l’électrode, là où le courant est injecté depuis le fil — une source de flux.

Exercice 10.6 ★★

Fuite d’un câble coaxial. L’isolant entre les conducteurs (rayons a=1 mma = 1\,\mathrm{mm}, b=3.5 mmb = 3.5\,\mathrm{mm}) a γ=1×10−13 S/m\gamma = 1 \times 10^{-13}\,\mathrm{S}/\mathrm{m} ; on applique une tension UU entre eux, et un courant de fuite radial II circule par longueur LL. (a) j→(r)\vect j(r) et E→(r)\vect E(r). (b) Montrer que la résistance d’une longueur LL vaut R=ln⁡(b/a)/2πγLR = \ln(b/a)/2\pi\gamma L ; valeur par kilomètre. (c) Courant de fuite et puissance par kilomètre sous 1 kV1\,\mathrm{kV}. (d) Comparer à la capacité linéique 2πε0εr/ln⁡(b/a)2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a) : montrer que RC=ε0εr/γRC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma et interpréter avec le temps de relaxation.

Solution

Solution de Exercice 10.6.

(a) j=I/2πrLj = I/2\pi rL, E=j/γE = j/\gamma, radial. (b) U=∫abE  ⁣dr=Iln⁡(b/a)/2πγLU = \int_a^bE\,\dd r = I\ln(b/a)/ 2\pi\gamma L : R=ln⁡3.5/(2π×10−13×103)=2×109 ΩR = \ln3.5/(2\pi \times 10^{-13} \times 10^3) = 2 \times 10^{9}\,\Omega par kilomètre. (c) 0.5 µA0.5\,\text{µ}\mathrm{A}, 0.5 mW0.5\,\mathrm{mW}. (d) RC=ε0εr/γ=200 sRC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma = 200\,\mathrm{s} pour εr=2.3\varepsilon_r = 2.3 : le câble, chargé puis isolé, se décharge à travers son propre isolant avec le temps de relaxation de cet isolant.

Exercice 10.7 ★★

Conductivité complexe du cuivre (τ=2.5×10−14 s\tau = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}). (a) ωτ\omega\tau à 50 Hz50\,\mathrm{Hz}, 10 GHz10\,\mathrm{GHz} (micro-ondes), 30 THz30\,\mathrm{THz} (infrarouge), 5×1014 Hz5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz} (lumière verte). (b) Module et phase de γ‾/γ0\underline\gamma/\gamma_0 dans chaque cas. (c) Jusqu’à quelle fréquence la loi d’Ohm est-elle bonne à 1%1\% ? (d) Dans le visible, écrire γ‾\underline\gamma et montrer que j→‾\underline{\vect j} est en quadrature avec E→‾\underline{\vect E} : puissance Joule moyenne ?

Solution

Solution de Exercice 10.7.

(a) ωτ\omega\tau : 8×10−128 \times 10^{-12}, 1.6×10−31.6 \times 10^{-3}, 4.74.7, 7979. (b) ∣γ‾∣/γ0=1/1+ω2τ2|\underline\gamma|/\gamma_0 = 1/\sqrt{1 + \omega^2\tau^2} : 11, 11, 0.210.21, 0.0130.013 ; phase −arctan⁡ωτ-\arctan\omega\tau : 00, −0.09∘-0.09{}^{\circ}, −78∘-78{}^{\circ}, −89∘-89{}^{\circ}. (c) ωτ≤0.14\omega\tau \le 0.14 : f≤0.9 THzf \le 0.9\,\mathrm{THz}. (d) γ‾≈ne2/imω\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega : j→‾\underline{\vect j} est en retard sur E→‾\underline{\vect E} de 90∘90{}^{\circ}, ⟨j→⋅E→⟩=0\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0 : aucun échauffement Joule — les électrons oscillent librement, comme dans un plasma.

Exercice 10.8 ★★

Un fil fusible de cuivre de 0.20 mm0.20\,\mathrm{mm} (cuivre : γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, ρ=8900 kg/m3\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, c=385 J/(kg K)c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}), fond à 1085∘C1085{}^{\circ}\mathrm{C}, chaleur latente 205 kJ/kg205\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}). (a) Densité de courant et puissance Joule par unité de volume à 10 A10\,\mathrm{A}. (b) Temps de fusion depuis 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C} si aucune chaleur ne s’échappe (négliger la hausse de la résistivité avec la température). (c) Idem à 30 A30\,\mathrm{A}. (d) En réalité le fil cède de la chaleur à l’air : en quoi cela fixe-t-il le courant nominal d’un fusible, et pourquoi les fusibles sont-ils scellés dans une cartouche remplie de sable ?

Solution

Solution de Exercice 10.8.

(a) S=3.1×10−8 m2S = 3.1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}, j=3.2×108 A/m2j = 3.2 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, p=j2/γ=1.7×109 W/m3p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{9}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}. (b) Énergie de fusion par unité de volume ρ(cΔT+Lf)=8900(4.1×105+2.05×105)=5.5×109 J/m3\rho(c\Delta T + L_f) = 8900(4.1 \times 10^5 + 2.05 \times 10^5) = 5.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3} : 3.2 s3.2\,\mathrm{s}. (c) Neuf fois plus vite : 0.36 s0.36\,\mathrm{s}. (d) Le courant nominal est celui dont l’air évacue tout juste l’échauffement Joule en restant sous le point de fusion ; le sable étouffe l’arc qui continuerait sinon de conduire à travers l’intervalle après la fusion du fil.

Exercice 10.9 ★★

Relaxation. (a) Établir ∂tρ=−(γ/ε0)ρ\partial_t\rho = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho à partir de la conservation de la charge, de la loi d’Ohm et de div⁡E→=ρ/ε0\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0. (b) τr\tau_r pour le cuivre, l’eau de mer (γ=5 S/m\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}), l’eau du robinet (5×10−2 S/m5 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}), le verre (1×10−12 S/m1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}), le PTFE (1×10−16 S/m1 \times 10^{-16}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}). (c) Jusqu’à quelle fréquence chacun est-il un « bon conducteur » (charge relaxée en moins d’une période) ? (d) Une baguette de verre chargée garde sa charge plusieurs minutes : est-ce cohérent ?

Solution

Solution de Exercice 10.9.

(a) ∂tρ=−div⁡j→=−γdiv⁡E→=−γρ/ε0\partial_t\rho = -\operatorname{div}\vect j = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -\gamma\rho/ \varepsilon_0. (b) ε0/γ\varepsilon_0/\gamma : 1.5×10−19 s1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}, 1.8×10−12 s1.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}, 1.8×10−10 s1.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}, 9 s9\,\mathrm{s}, 9×1049 \times 10^4 s. (c) f≲1/2πτrf \lesssim 1/2\pi\tau_r : 101810^{18} Hz (le modèle de Drude tombe en défaut bien avant), 90 GHz90\,\mathrm{GHz}, 0.9 GHz0.9\,\mathrm{GHz}, 0.02 Hz0.02\,\mathrm{Hz}, 2×10−6 Hz2 \times 10^{-6}\,\mathrm{Hz}. (d) Une baguette de verre perdrait sa charge en une minute par son volume ; le verre sec réel est plutôt à 10−1410^{-14} S/m (des heures), et c’est l’humidité de surface qui le décharge d’ordinaire — cohérent en ordre de grandeur.

Exercice 10.10 ★★★

Prise de terre. Une électrode hémisphérique de rayon a=0.50 ma = 0.50\,\mathrm{m} est enterrée à fleur de sol dans une terre de conductivité γ=0.010 S/m\gamma = 0.010\,\mathrm{S}/\mathrm{m} ; un courant II y entre et se répand radialement dans le demi-espace. (a) j→(r)\vect j(r), E→(r)\vect E(r), potentiel V(r)V(r) avec V(∞)=0V(\infty) = 0. (b) Résistance de la prise de terre, R=1/2πγaR = 1/2\pi\gamma a ; valeur. (c) Un coup de foudre de 20 kA20\,\mathrm{kA} frappe la tige : potentiel de la tige ; potentiel en r=10 mr = 10\,\mathrm{m} et 10.7 m10.7\,\mathrm{m} ; la « tension de pas » entre les pieds d’une personne qui s’y tient (pieds distants de 0.7 m0.7\,\mathrm{m}, radialement). (d) Pourquoi le bétail, dont les quatre pattes sont très écartées, est-il tué par un impact voisin plus souvent que les humains ?

Solution

Solution de Exercice 10.10.

(a) j→=(I/2πr2)e→r\vect j = (I/2\pi r^2)\vect e_r, E=I/2πγr2E = I/2\pi\gamma r^2, V=I/2πγrV = I/2\pi\gamma r. (b) R=V(a)/I=1/2πγa=32 ΩR = V(a) /I = 1/2\pi\gamma a = 32\,\Omega. (c) Vtige=640 kVV_{\text{tige}} = 640\,\mathrm{kV} ; V(10)=32 kVV(10) = 32\,\mathrm{kV}, V(10.7)=30 kVV(10.7) = 30\,\mathrm{kV} : 2.1 kV2.1\,\mathrm{kV} entre les pieds. (d) Pattes avant et arrière distantes de 1.5 m1.5\,\mathrm{m} selon le rayon : 44 à 5 kV5\,\mathrm{kV}, et le trajet du courant traverse le cœur.

Exercice 10.11 ★★★

Capteur à effet Hall. Une plaquette d’épaisseur tt et de largeur ww transporte II selon xx dans un champ BB selon zz. (a) À partir de E→H=−j→∧B→/nq\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B /nq, montrer que la tension de Hall à travers la largeur vaut VH=IB/nqtV_H = IB/nqt. (b) Plaquette de cuivre, t=0.10 mmt = 0.10\,\mathrm{mm}, 1 A1\,\mathrm{A}, 1 T1\,\mathrm{T} : VHV_H. (c) Un semi-conducteur dopé avec n=1×1022 m−3n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}, même géométrie : VHV_H ; pourquoi les capteurs utilisent des semi-conducteurs. (d) Un capteur avec n=1×1022 m−3n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}, t=20 µmt = 20\,\text{µ}\mathrm{m}, alimenté sous 1 mA1\,\mathrm{mA}, indique 10 µV10\,\text{µ}\mathrm{V} : champ mesuré. Que dit le signe de VHV_H ?

Solution

Solution de Exercice 10.11.

(a) EH=jB/nqE_H = jB/nq avec j=I/wtj = I/wt : VH=EHw=IB/nqtV_H = E_Hw = IB/nqt. (b) 1/(8.5×1028×1.6×10−19×10−4)=0.7 µV1/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 0.7\,\text{µ}\mathrm{V}. (c) 6.3 mV6.3\,\mathrm{mV} : VH∝1/nV_H \propto 1/n, et les semi-conducteurs ont 10610^6 fois moins de porteurs. (d) B=VHnqt/I=10−5×1022×1.6×10−19×2×10−5/10−3=0.32 TB = V_Hnqt/I = 10^{-5} \times 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-5}/10^{-3} = 0.32\,\mathrm{T} ; le signe de VHV_H donne le signe des porteurs (pour un B→\vect B connu), ou la direction de B→\vect B (pour un capteur connu).

Exercice 10.12 ★★★

Électrolyte. Dans l’eau, les ions Na+^+ et Cl−^- ont pour mobilités μ+=5.2×10−8 m2/(V s)\mu_+ = 5.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}) et μ−=7.9×10−8 m2/(V s)\mu_- = 7.9 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}). (a) Montrer que γ=ne(μ++μ−)\gamma = ne(\mu_+ + \mu_-) pour nn paires d’ions par unité de volume. (b) Eau de mer, 0.5 mol/L0.5\,\mathrm{mol}/\mathrm{L} de NaCl : γ\gamma ; comparer à la valeur mesurée de 5 S/m5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}. (c) Vitesses de dérive sous 10 V/m10\,\mathrm{V}/\mathrm{m} ; quel ion transporte la plus grande part du courant ? (d) Une colonne d’eau de mer, 1 cm21\,\mathrm{cm}^{2} sur 10 cm10\,\mathrm{cm}, transporte 1 A1\,\mathrm{A} : tension, puissance, et temps pour l’échauffer de 10 K10\,\mathrm{K} (c=4.0 kJ/(kg K)c = 4.0\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})) ; pourquoi refroidit-on les gels d’électrophorèse ?

Solution

Solution de Exercice 10.12.

(a) j→=neμ+E→+(−ne)(−μ−E→)\vect j = ne\mu_+\vect E + (-ne)(-\mu_-\vect E) : les deux espèces dérivent en sens opposés et transportent le courant dans le même sens. (b) n=0.5×103×6.02×1023=3×1026 m−3n = 0.5 \times 10^3 \times 6.02 \times 10^{23} = 3 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-3} : γ=3×1026×1.6×10−19×1.31×10−7=6.3 S/m\gamma = 3 \times 10^{26} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.31 \times 10^{-7} = 6.3\,\mathrm{S}/\mathrm{m} (les ions se gênent à cette concentration : 5 S/m5\,\mathrm{S}/\mathrm{m} mesurés). (c) 0.52 µm/s0.52\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s} et 0.79 µm/s0.79\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s} : Cl−^- transporte 60%60\%. (d) R=L/γS=200 ΩR = L/\gamma S = 200\,\Omega, U=200 VU = 200\,\mathrm{V}, P=200 WP = 200\,\mathrm{W} dans 10 g10\,\mathrm{g} d’eau : 10 K10\,\mathrm{K} en 2 s2\,\mathrm{s} — d’où les plaques de refroidissement des cuves d’électrophorèse.

10.6 Problème : le fil de cuivre, de l’atome au réseau

Problème 10.1

Problème du week-end — un mètre de fil domestique examiné à quatre échelles : l’électron, les lois locales, le circuit et la ligne de transport

Cuivre : masse molaire 63.5 g/mol63.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}, masse volumique 8900 kg/m38900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, un électron de conduction par atome, conductivité γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m} à 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C}, résistivité croissante ρe(T)=ρe(20)[1+α(T−20)]\rho_e(T) = \rho_e(20)[1 + \alpha(T - 20)] avec α=4.0×10−3 K−1\alpha = 4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1} ; c=385 J/(kg K)c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}). Fil : section S=2.5 mm2S = 2.5\,\mathrm{mm}^{2}, longueur 1 m1\,\mathrm{m}, courant 16 A16\,\mathrm{A}.

Partie I — Les électrons.

  1. Densité particulaire nn des électrons de conduction.
  2. Densité de courant et vitesse de dérive ; temps qu’il faut à un électron pour parcourir le mètre.
  3. Le τ\tau de Drude et la mobilité ; libre parcours moyen pour une vitesse d’agitation de 1.6×106 m/s1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} ; combien de distances interatomiques (0.26 nm0.26\,\mathrm{nm}) cela représente-t-il, et que cela dit-il de ce avec quoi les électrons entrent en collision ?
  4. Les vibrations thermiques croissent avec TT, de sorte que τ∝1/T\tau \propto 1/T en gros : vérifier avec α\alpha au voisinage de la température ambiante ( ⁣dρe/ρe= ⁣dT/T\dd\rho_e/\rho_e = \dd T/T donnerait α=1/293\alpha = 1/293).
  5. Champ électrique dans le fil ; tension totale sur le mètre ; énergie cinétique de dérive par électron comparée à kBTk_BT — le gaz d’électrons est-il troublé par le courant ?
  6. Nombre d’électrons traversant une section du fil par seconde.
  7. Charge des électrons de conduction contenus dans le mètre de fil ; force que le champ exerce sur leur ensemble ; comparer au poids du fil. Où aboutit cette force (penser aux chocs) ?

Partie II — Les lois locales.

  1. Puissance Joule par unité de volume et par mètre.
  2. Le fil, dans l’air, cède de la chaleur au taux h(T−Ta)h(T - T_a) par unité de surface avec h=10 W/(m2 K)h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}) (convection) : élévation de température d’équilibre ; vérifier si la correction de résistivité compte.
  3. Le même fil noyé dans un isolant qui ne laisse passer que h=2 W/(m2 K)h = 2\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}) : nouvelle élévation de température, correction de résistivité comprise (résoudre le bilan).
  4. Sans aucun refroidissement, vitesse d’élévation de température à 16 A16\,\mathrm{A} et à 160 A160\,\mathrm{A} (un court-circuit) ; temps pour atteindre le point de fusion (1085∘C1085{}^{\circ}\mathrm{C}) dans le second cas ; qu’est-ce qui protège l’installation ?
  5. À 50 Hz50\,\mathrm{Hz}, ωτ=?\omega\tau = ? La loi d’Ohm en est-elle affectée ? (L’effet de peau du Chapitre 14 est une autre affaire.)
  6. Écrire le temps de relaxation ε0/γ\varepsilon_0/\gamma du cuivre ; qu’implique-t-il pour la densité de charge à l’intérieur du fil, et où se trouvent les charges qui produisent le champ EE dans le fil ?

Partie III — Conservation de la charge dans le circuit. Le fil alimente un condensateur C=100 µFC = 100\,\text{µ}\mathrm{F} par un interrupteur ; le courant vaut I(t)=I0e−t/τcI(t) = I_0\eu^{-t/\tau_c} avec I0=16 AI_0 = 16\,\mathrm{A}, τc=1 ms\tau_c = 1\,\mathrm{ms}.

  1. Charge qui parvient à l’armature ; tension finale.
  2. Appliquer  ⁣dQ/ ⁣dt=−Isort\dd Q/\dd t = -I_{\text{sort}} à une surface fermée entourant l’armature : quel côté porte un courant de conduction, lequel n’en porte pas ? Quelle grandeur doit donc varier dans l’espace entre armatures ?
  3. En t=0.5 mst = 0.5\,\mathrm{ms}, taux de variation de la charge de l’armature ; si les armatures font 1 cm21\,\mathrm{cm}^{2} et sont distantes de 0.1 mm0.1\,\mathrm{mm} dans l’air, taux de variation du champ entre elles.
  4. Montrer que ε0  ⁣dE/ ⁣dt×\varepsilon_0\,\dd E/\dd t \times l’aire des armatures égale le courant dans le fil — la grandeur que le Chapitre 11 ajoute au théorème d’Ampère.
  5. Le fil est coupé et les deux extrémités sont distantes de 1 mm1\,\mathrm{mm} dans l’air : quel courant circule (air γ≈1×10−14 S/m\gamma \approx 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) ? Pour quel champ l’air claque-t-il (3 MV/m3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}) : quelle tension aux bornes de l’intervalle produit une étincelle ?

Partie IV — La ligne. Une ligne de 230 V230\,\mathrm{V} en cuivre de 10 mm210\,\mathrm{mm}^{2}, longue de 500 m500\,\mathrm{m} (aller et retour : 1 km1\,\mathrm{km} de fil), alimente une ferme qui consomme 40 A40\,\mathrm{A}.

  1. Résistance, chute de tension et puissance perdue dans la ligne ; fraction de la puissance délivrée.
  2. La même puissance sous 20 kV20\,\mathrm{kV} avec un transformateur à chaque bout : courant, chute et perte ; conclure pourquoi le transport se fait à haute tension.
  3. L’aluminium (γ=3.6×107 S/m\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, 2700 kg/m32700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}) est utilisé sur les pylônes : section donnant la même résistance que 10 mm210\,\mathrm{mm}^{2} de cuivre ; masse par kilomètre pour les deux ; pourquoi l’aluminium l’emporte là-haut et le cuivre dans le mur.
  4. Un capteur à effet Hall enserrant la ligne lit son champ : pour une pince ampèremétrique avec n=1×1022 m−3n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}, t=0.1 mmt = 0.1\,\mathrm{mm}, alimentée sous 5 mA5\,\mathrm{mA} dans un champ de 0.1 T0.1\,\mathrm{T} concentré par un noyau de fer, tension de Hall.
  5. Après une journée chaude de forte charge le fil est à 80∘C80{}^{\circ}\mathrm{C} : sa résistance alors, et le supplément de perte.
  6. La foudre frappe la ligne : 20 kA20\,\mathrm{kA} pendant 100 µs100\,\text{µ}\mathrm{s}. Énergie dissipée dans le 1 km1\,\mathrm{km} de fil ; élévation de température si rien ne s’échappe ; densité de courant — comparer à la partie I.
  7. Récapituler : les cinq grandeurs (nn, τ\tau, γ\gamma, jj, EE) qui décrivent le fil à chaque échelle, et la loi qui relie chaque paire.
Solution

Solution de Problème 10.1.

1. n=ρNA/M=8.4×1028 m−3n = \rho N_A/M = 8.4 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}.

2. j=6.4×106 A/m2j = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, v=j/ne=0.47 mm/sv = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} ; 35 min35\,\mathrm{min} par mètre.

3. τ=mγ/ne2=2.5×10−14 s\tau = m\gamma/ne^2 = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}, μ=4.4×10−3 m2/(V s)\mu = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}), ℓ=40 nm\ell = 40\,\mathrm{nm}, soit 150150 distances : les électrons se heurtent aux défauts et aux vibrations thermiques, non aux atomes.

4. ρe∝T\rho_e \propto T donne α=1/293=3.4×10−3 K−1\alpha = 1/293 = 3.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}, proche du 4×10−34 \times 10^{-3} mesuré.

5. E=0.11 V/mE = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}, U=0.11 VU = 0.11\,\mathrm{V} ; 12mv2=1×10−37 J\tfrac12mv^2 = 1 \times 10^{-37}\,\mathrm{J} contre kBT=4×10−21 Jk_BT = 4 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} : le gaz d’électrons ne remarque pas le courant.

6. I/e=1×1020 I/e = 1 \times 10^{20}\, électrons par seconde.

7. Q=neSL=3.4×104 CQ = neSL = 3.4 \times 10^{4}\,\mathrm{C} ; QE=3.6 kNQE = 3.6\,\mathrm{kN}, contre un poids de 0.2 N0.2\,\mathrm{N}. Le champ tire le réseau positif avec la force opposée ; les électrons cèdent leur quantité de mouvement au réseau par les chocs : le fil dans son ensemble ne ressent rien.

8. p=j2/γ=6.8×105 W/m3p = j^2/\gamma = 6.8 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}, soit 1.7 W/m1.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}.

9. Surface πd=5.6×10−3 m2\pi d = 5.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2} par mètre : ΔT=1.7/(10×5.6×10−3)=30 K\Delta T = 1.7/(10 \times 5.6 \times 10^{-3}) = 30\,\mathrm{K} ; la résistivité croît de 12%12\%, la puissance passe à 1.9 W1.9\,\mathrm{W} : ΔT≈35 K\Delta T \approx 35\,\mathrm{K}.

10. ΔT=1.7(1+0.004ΔT)/(2×5.6×10−3)\Delta T = 1.7(1 + 0.004\Delta T)/(2 \times 5.6 \times 10^{-3}) : ΔT(1−0.6)=150\Delta T(1 - 0.6) = 150, ΔT≈400 K\Delta T \approx 400\,\mathrm{K} — proche de l’emballement thermique : les câbles enterrés doivent être déclassés.

11. p/ρc=0.2 K/sp/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s} ; à 160 A160\,\mathrm{A}, 20 K/s20\,\mathrm{K}/\mathrm{s} : fusion en une minute environ (moins, car ρe\rho_e croît) ; le disjoncteur s’ouvre en quelques millisecondes.

12. ωτ=8×10−12\omega\tau = 8 \times 10^{-12} : la loi d’Ohm est intacte.

13. ε0/γ=1.5×10−19 s\varepsilon_0/\gamma = 1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s} : aucune charge à l’intérieur ; le champ dans le fil est créé par des charges portées par sa surface, dont la densité varie le long du fil.

14. Q=I0τc=16 mCQ = I_0\tau_c = 16\,\mathrm{mC}, V=Q/C=160 VV = Q/C = 160\,\mathrm{V}.

15. Le côté du fil porte II, le côté de l’intervalle aucun courant de conduction : la charge croît, et avec elle le champ électrique dans l’intervalle.

16. I=16e−0.5=9.7 AI = 16\eu^{-0.5} = 9.7\,\mathrm{A} ; E=Q/ε0AE = Q/\varepsilon_0A,  ⁣dE/ ⁣dt=I/ε0A=9.7/(8.85×10−12×10−4)=1.1×1016 V m−1 s−1\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0A = 9.7/(8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-4}) = 1.1 \times 10^{16}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.

17. ε0A  ⁣dE/ ⁣dt=I\varepsilon_0A\,\dd E/\dd t = I : le courant de déplacement.

18. j=γE=10−14×2.3×105=2×10−9 A/m2j = \gamma E = 10^{-14} \times 2.3 \times 10^5 = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, soit 10−1410^{-14} A à travers la section : rien ; claquage à 3 kV3\,\mathrm{kV} sur le millimètre.

19. R=1000/(6×107×10−5)=1.7 ΩR = 1000/(6 \times 10^7 \times 10^{-5}) = 1.7\,\Omega ; ΔU=67 V\Delta U = 67\,\mathrm{V} ; P=2.7 kWP = 2.7\,\mathrm{kW}, soit 29%29\% des 9.2 kW9.2\,\mathrm{kW} délivrés.

20. I=0.46 AI = 0.46\,\mathrm{A}, ΔU=0.8 V\Delta U = 0.8\,\mathrm{V}, 0.35 W0.35\,\mathrm{W} : le transport à haute tension divise la perte par (U2/U1)2(U_2/U_1)^2.

21. 10×6/3.6=17 mm210 \times 6/3.6 = 17\,\mathrm{mm}^{2} ; 89 kg/km89\,\mathrm{kg}/\mathrm{km} de cuivre contre 45 kg/km45\,\mathrm{kg}/\mathrm{km} d’aluminium : plus léger et moins cher sur les pylônes ; dans le mur la section plus faible du cuivre passe dans les gaines et les bornes.

22. VH=IB/nqt=5×10−3×0.1/(1022×1.6×10−19×10−4)=3.1 mVV_H = IB/nqt = 5 \times 10^{-3} \times 0.1/(10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 3.1\,\mathrm{mV}.

23. +24%+24\% : 2.1 Ω2.1\,\Omega, 3.3 kW3.3\,\mathrm{kW} perdus.

24. RI2t=1.7×4×108×10−4=67 kJRI^2t = 1.7 \times 4 \times 10^8 \times 10^{-4} = 67\,\mathrm{kJ} dans 89 kg89\,\mathrm{kg} : 2 K2\,\mathrm{K}. j=2×109 A/m2j = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, trois cents fois la valeur domestique.

25. nn (la matière) et τ\tau (les chocs) donnent γ=ne2τ/m\gamma = ne^2\tau/m ; γ\gamma relie jj et EE (Ohm) ; jj s’intègre en II, EE en UU (le circuit) ; j2/γj^2/\gamma est la chaleur.

Termes définis dans ce chapitre

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