Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

18Le modèle scalaire de la lumière

Éclairez un mur avec deux lampes de poche et la tache est simplement deux fois plus brillante ; éclairez-le avec deux faisceaux issus d’un même laser et la tache se brise en franges brillantes et sombres. Les lampes ajoutent leurs intensités, les faisceaux du laser ajoutent leurs amplitudes — et tout interféromètre, tout hologramme et tout réseau de diffraction des chapitres à venir repose sur la connaissance de ce que fait la lumière et quand. Ce chapitre met en place les outils : la lumière comme onde scalaire dotée d’une phase, le chemin optique qui mesure cette phase le long d’un rayon, la manière dont une source émet — en courts trains d’ondes dont la longueur de cohérence décide si deux ondes peuvent interférer — et la manière dont un détecteur l’enregistre : une moyenne sur des milliards de périodes qui ne garde que l’intensité.

18.1 La lumière comme onde scalaire

Définition 18.1 (Modèle scalaire ; onde monochromatique)

Dans la plus grande part de l’optique ondulatoire la nature vectorielle de la lumière ne joue aucun rôle (les ondes superposées partagent une même polarisation, ou la lumière n’est pas polarisée et les polarisations se moyennent) : le champ est remplacé par une vibration scalaire réelle

s(M, t) = a(M)\cos\bigl(\omega t - \varphi(M)\bigr) ,

d’amplitude $a(M)$ et de phase $\varphi(M)$ en chaque point, toutes deux lentement variables à l’échelle d’une longueur d’onde. Une onde monochromatique n’a qu’un seul $\omega$ : une idéalisation, puisqu’une source réelle émet sur une bande de fréquences. Lumière visible : $\lambda_0$ de $400$ à $750\,\mathrm{nm}$ dans le vide, $\nu = c/\lambda_0$ de $7.5 \times 10^{14}$ à $4 \times 10^{14}$ Hz, soit des périodes d’environ $2\,\mathrm{fs}$ .

Définition 18.2 (Chemin optique et phase)

Dans un milieu d’indice $n$ l’onde se propage à $c/n$ et sa longueur d’onde vaut $\lambda_0/n$ . Le chemin optique le long d’une courbe allant de $A$ à $B$ vaut

(AB) = \int_A^Bn\,\dd s ,

et la phase accumulée par une onde monochromatique qui se propage le long d’un rayon de $A$ à $B$ vaut

\varphi(B) - \varphi(A) = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,(AB) = \omega\,\tau_{AB} ,

$\tau_{AB}$ étant la durée du trajet. Une surface d’onde est une surface de phase égale ; dans un milieu isotrope les rayons de l’optique géométrique sont perpendiculaires aux surfaces d’onde (théorème de Malus–Dupin), et le chemin optique entre deux surfaces d’onde est le même le long de tout rayon.

Justification. La phase avance de $2\pi$ par longueur d’onde locale $\lambda_0/n$ , c’est-à-dire de $2\pi n\,\dd s/\lambda_0$ par élément $\dd s$ ; on somme le long du rayon. L’onde $a\cos(\omega t - \varphi)$ est une solution de l’équation d’onde dans laquelle l’énergie se déplace selon $\operatorname{\vect{grad}}\varphi$ , perpendiculairement aux surfaces $\varphi =$ const : c’est le rayon, et l’énoncé « chemin optique identique entre deux surfaces d’onde » n’est que la définition d’une surface d’onde lue à l’envers. Le théorème complet (il survit aux réflexions et aux réfractions) est admis. ∎

Exemple 18.3 (Stigmatisme ; la lentille comme lame de phase)

Une source ponctuelle $A$ imagée par un instrument parfait (stigmatique) en $A'$ : tous les rayons de $A$ à $A'$ ont le même chemin optique — les ondes qui arrivent par chaque rayon sont en phase en $A'$ , ce qui explique qu’elles s’y empilent en un point brillant. Pour une lentille mince de distance focale $f$ c’est un énoncé sur la phase : une onde plane arrivant selon l’axe doit repartir en onde sphérique convergeant au foyer $F'$ ; comme une onde sphérique centrée à la distance $f$ possède, à la distance $r$ de l’axe, la phase $2\pi r^2/2\lambda f$ en avance sur sa valeur axiale (approximation paraxiale, $\sqrt{f^2 + r^2} \approx f + r^2/2f$ ), la lentille doit retarder l’onde de $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$ : elle est plus épaisse au centre exactement de ce qu’il faut pour égaliser tous les chemins optiques jusqu’à $F'$ . Une lentille est une lame de phase ; un hologramme ou un écran à cristaux liquides qui impose la même carte de phase est une lentille.

À gauche : une lentille mince transforme des surfaces d’onde planes en surfaces sphériques convergeant au foyer — tous les chemins optiques jusqu’à F' sont égaux. À droite : dans le verre la longueur d’onde se contracte à _0/n et la phase avance plus vite : le chemin optique compte n fois la longueur géométrique. — À gauche : une lentille mince transforme des surfaces d’onde planes en surfaces sphériques convergeant au foyer — tous les chemins optiques jusqu’à $F'$ sont égaux. À droite : dans le verre la longueur d’onde se contracte à $\lambda_0/n$ et la phase avance plus vite : le chemin optique compte $n$ fois la longueur géométrique.

18.2 Comment la lumière est émise : la cohérence

Proposition 18.4 (Trains d’ondes ; temps et longueur de cohérence)

Une source classique (une flamme, une lampe, une étoile) est un ensemble d’atomes émettant, à des instants aléatoires et avec des phases aléatoires, de courts trains d’ondes de durée $\tau_c$ : la vibration qu’elle produit en un point ne garde une phase stable que pendant $\tau_c$ puis saute. Un train de durée $\tau_c$ n’est pas monochromatique : son spectre couvre une bande de fréquences $\Delta\nu \approx 1/\tau_c$ (une réciprocité de Fourier, admise : une sinusoïde de durée finie ne peut pas avoir une fréquence unique). Le temps de cohérence $\tau_c$ et la longueur de cohérence

\ell_c = c\,\tau_c \approx \frac c{\Delta\nu} = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}

caractérisent la source : lumière blanche $\Delta\lambda \approx 300\,\mathrm{nm}$ , $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; une lampe spectrale ( $\Delta\lambda \sim 0.01\,\mathrm{nm}$ ), $\ell_c \sim 3\,\mathrm{cm}$ ; un laser, du mètre au kilomètre. Deux ondes issues d’une même source ne peuvent interférer que si leur différence de marche est inférieure à $\ell_c$ — au-delà elles appartiennent à des trains différents, de phases sans rapport.

Démonstration. $\ell_c = c/\Delta\nu$ et $|\Delta\nu/\nu| = |\Delta\lambda/\lambda|$ avec $\nu = c/\lambda$ donnent $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ . La largeur spectrale a elle-même des causes physiques : la largeur naturelle (amortissement par rayonnement, Chapitre 17), l’élargissement Doppler par l’agitation thermique des atomes, les chocs — chacun raccourcissant le train. ∎

La vibration issue d’une source classique : une succession de trains d’ondes de durée _c séparés par des sauts de phase aléatoires ; deux copies de cette vibration ne peuvent interférer que si leur retard est plus court que _c. — La vibration issue d’une source classique : une succession de trains d’ondes de durée $\tau_c$ séparés par des sauts de phase aléatoires ; deux copies de cette vibration ne peuvent interférer que si leur retard est plus court que $\tau_c$ .

Remarque 18.5 (Deux sources, une source)

Deux lampes distinctes (ou deux atomes distincts) émettent des trains de phases aléatoires indépendantes : leur phase relative change tous les $\tau_c \sim 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s}$ , un million de fois plus vite que ne réagissent œil ou caméra — le terme d’interférence se moyenne à zéro et les intensités s’ajoutent. L’interférence exige deux ondes qui se souviennent des mêmes sauts de phase : deux copies d’une même onde, obtenues en la divisant (deux fentes, deux miroirs, les deux faces d’une lame) et recombinées avec un retard plus court que $\tau_c$ . Un laser, dont les trains durent la microseconde ou davantage, desserre énormément cette contrainte ; il ne la supprime jamais.

18.3 Détecteurs et intensité

Proposition 18.6 (Ce que mesure un détecteur)

Tout détecteur de lumière — l’œil (temps de réponse $\sim0.1\,\mathrm{s}$ ), une pellicule photographique, un pixel de capteur CCD ( $1\,\mathrm{ms}$ ), une photodiode ( $1\,\mathrm{ns}$ ) — répond sur une durée longue devant la période ( $10^{-15}$ s) et délivre l’intensité, moyenne temporelle du carré de la vibration,

I = K\,\langle s^2\rangle = \tfrac12K\,a^2 ,

( $K$ une constante, souvent omise ; $I$ est proportionnelle à l’éclairement en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ). Le niveau absolu n’importe qu’à un titre : la lumière arrive en photons d’énergie $h\nu$ , et un détecteur compte en moyenne $I/h\nu$ photons par unité d’aire et de temps.

Démonstration. $\langle\cos^2(\omega t - \varphi)\rangle = \tfrac12$ sur tout intervalle très long devant $2\pi/\omega$ . Les photons : dernier chapitre du volume de première année ; c’est ici que l’onde scalaire rencontre le quantique. ∎

Exemple 18.7 (Ordres de grandeur)

Une ampoule de $60\,\mathrm{W}$ rayonnant $3\,\mathrm{W}$ de lumière visible, à $2\,\mathrm{m}$ : $I = 3/4\pi\cdot4 = 60\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ , $I/h\nu = 1.6 \times 10^{17}$ photons par mètre carré et par seconde, $3 \times 10^{12}$ par seconde à travers une pupille de $5\,\mathrm{mm}$ — dans les $0.1\,\mathrm{s}$ de l’œil il ne reste aucune trace de la granularité. L’étoile la plus faible que voit l’œil envoie $\sim 10^3$ photons par seconde dans la pupille ; un bâtonnet réagit à une poignée. Lumière solaire : $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , $3 \times 10^{21}$ photons par mètre carré et par seconde.

Les échelles de temps de l’optique : la période de la vibration, la durée des trains d’ondes des sources classiques et laser, et les temps de réponse des détecteurs — tous les détecteurs moyennent sur de nombreuses périodes, et sur de nombreux trains d’une lampe.

Remarque 18.8 (Superposition cohérente et incohérente)

En un point, deux vibrations $a_1\cos(\omega t - \varphi_1)$ et $a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ donnent $s = s_1 + s_2$ et

I = \tfrac12K\bigl[a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2\langle\cos(\varphi_1 - \varphi_2)\rangle\bigr] .

Si la différence de phase est stable pendant la détection (ondes cohérentes) : $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(\varphi_1 - \varphi_2)$ , le terme d’interférence, qu’étudie le chapitre suivant. Si elle erre au hasard (ondes incohérentes) : $\langle\cos\rangle = 0$ et $I = I_1 + I_2$ — les lampes de poche.

Méthode 18.9 (Mettre en place un problème d’optique)

(1) Écrire chaque onde sous la forme $a\cos(\omega t - \varphi)$ avec $\varphi = 2\pi(\text{chemin optique})/\lambda_0$ depuis la source (ou depuis une surface d’onde commune). (2) Décider de la cohérence : même source, différence de marche $< \ell_c$ ? Alors additionner les amplitudes (la notation complexe est commode : $\underline s = a\eu^{\iu(\omega t - \varphi)}$ , $I = \tfrac12K|\underline s|^2$ ) ; sinon additionner les intensités. (3) Pour les lentilles et les miroirs, utiliser l’égalité des chemins optiques entre points conjugués, ou l’image de la lame de phase. (4) Convertir en ce qui est mesuré : intensité, contraste, comptage de photons, et vérifier la résolution du détecteur en temps et en espace.

18.4 Exercices

Exercice 18.1 ★

Un faisceau à $600\,\mathrm{nm}$ traverse $1.0\,\mathrm{cm}$ de verre ( $n = 1.5$ ). Chemin optique ; nombre de longueurs d’onde à l’intérieur ; phase et retard supplémentaires par rapport à $1\,\mathrm{cm}$ d’air ; épaisseur de verre qui retarde l’onde d’exactement une longueur d’onde par rapport à l’air.

Solution

Solution de Exercice 18.1.

$(AB) = 1.5\,\mathrm{cm}$ ; $25\,000$ longueurs d’onde ; $0.5\,\mathrm{cm}$ de plus que l’air, soit $8300$ longueurs d’onde, $\Delta\varphi = 2\pi \times 8300$ , retard $17\,\mathrm{ps}$ ; une longueur d’onde de retard pour $e = \lambda/(n - 1) = 1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Exercice 18.2 ★

Temps et longueur de cohérence de : la lumière blanche ( $400$ à $750\,\mathrm{nm}$ ) ; une raie d’une lampe au sodium de largeur $0.02\,\mathrm{nm}$ à $589\,\mathrm{nm}$ ; une DEL rouge ( $630\,\mathrm{nm}$ , $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ ) ; une diode laser multimode ( $\Delta\nu = 100\,\mathrm{GHz}$ ) ; un laser stabilisé ( $\Delta\nu = 1\,\mathrm{kHz}$ ). Lesquels donneraient des franges avec une différence de marche de $1\,\mathrm{mm}$ ? de $10\,\mathrm{m}$ ?

Solution

Solution de Exercice 18.2.

$\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ ou $c/\Delta\nu$ , $\tau_c = \ell_c/c$ : blanche $0.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $3\,\mathrm{fs}$ ) ; sodium $1.7\,\mathrm{cm}$ ( $60\,\mathrm{ps}$ ) ; DEL $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $50\,\mathrm{fs}$ ) ; diode $3\,\mathrm{mm}$ ( $10\,\mathrm{ps}$ ) ; stabilisé $300\,\mathrm{km}$ ( $1\,\mathrm{ms}$ ). $1\,\mathrm{mm}$ : la lampe au sodium, la diode et le laser ; $10\,\mathrm{m}$ : le laser stabilisé seulement.

Exercice 18.3 ★

Un pointeur laser de $1\,\mathrm{mW}$ à $650\,\mathrm{nm}$ : photons par seconde ; une ampoule de $100\,\mathrm{W}$ ( $5\,\mathrm{W}$ visibles, $550\,\mathrm{nm}$ en moyenne) à $3\,\mathrm{m}$ : photons par seconde à travers une pupille de $6\,\mathrm{mm}$ ; nombre pendant les $0.1\,\mathrm{s}$ de l’œil ; fluctuation relative $1/\sqrt N$ de ce nombre — la lumière est-elle granuleuse ?

Solution

Solution de Exercice 18.3.

$10^{-3}/3.06 \times 10^{-19} = 3.3 \times 10^{15}\,$ par seconde. Ampoule : $I = 5/4\pi \times 9 = 44\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ , pupille $28\,\mathrm{mm}^{2}$ : $1.2\,\text{µ}\mathrm{W}$ , $3.5 \times 10^{12}$ photons par seconde, $3.5 \times 10^{11}$ en $0.1\,\mathrm{s}$ , fluctuation $2 \times 10^{-6}$ : parfaitement lisse.

Exercice 18.4 ★

Une source ponctuelle à $1.0\,\mathrm{m}$ d’un écran, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ . Différence de chemin optique entre le centre de l’écran et un point situé $1\,\mathrm{cm}$ hors de l’axe (exactement, puis avec la formule paraxiale $r^2/2d$ ) ; nombre de longueurs d’onde ; rayon de la surface d’onde à l’écran ; à quelle distance hors de l’axe la formule paraxiale se trompe-t-elle d’une longueur d’onde ?

Solution

Solution de Exercice 18.4.

Exact $\sqrt{1 + 10^{-4}} - 1 = 49.9988\,\text{µ}\mathrm{m}$ , paraxial $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : soit une centaine de longueurs d’onde ; la surface d’onde est une sphère de rayon $1\,\mathrm{m}$ ; le terme quartique $r^4/8d^3$ atteint $\lambda$ en $r = (8\lambda d^3)^{1/4} = 4.5\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 18.5 ★★

La lentille comme lame de phase. (a) Une onde plane selon l’axe a une phase uniforme sur le plan d’une lentille mince ; après la lentille la phase vaut $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$ par rapport au centre. Montrer que la surface d’onde émergente est, dans l’approximation paraxiale, une sphère de rayon $f$ centrée sur $F'$ . (b) Une source ponctuelle à la distance $d$ avant la lentille envoie une onde dont la phase sur le plan de la lentille vaut $+\pi r^2/\lambda d$ (par rapport au centre) : montrer qu’après la lentille l’onde converge en $d'$ avec $1/d' = 1/f - 1/d$ , la formule des lentilles. (c) Profil d’épaisseur d’une lentille de verre plan-convexe ( $n = 1.5$ ) de distance focale $10\,\mathrm{cm}$ : $e(r) = e_0 - r^2/2(n - 1)f$ ; flèche en $r = 1\,\mathrm{cm}$ . (d) Une « lentille de Fresnel » replie le profil chaque fois qu’il dépasse $\lambda/(n - 1)$ : pourquoi focalise-t-elle encore, et pourquoi une seule couleur parfaitement ?

Solution

Solution de Exercice 18.5.

(a) Une sphère de rayon $f$ centrée en $F'$ a, sur le plan de la lentille, la phase $-\pi r^2/\lambda f$ par rapport à l’axe (paraxialement) : exactement celle de la lentille. (b) Phase totale $\pi r^2/\lambda\,(1/d - 1/f) = -\pi r^2/\lambda d'$ : une onde convergeant en $d'$ avec $1/d' = 1/f - 1/d$ . (c) Le verre ajoute $(n - 1)e(r) \times2\pi/\lambda$ : $e(r) = e_0 - r^2/2(n - 1)f$ ; flèche $10^{-4}/0.1 = 1\,\mathrm{mm}$ . (d) Une phase définie modulo $2\pi$ est la même phase — à la longueur d’onde de conception ; ailleurs les marches ne valent plus un nombre entier de longueurs d’onde.

Exercice 18.6 ★★

Stigmatisme d’un miroir. Un miroir doit envoyer en un point $F$ une onde plane arrivant selon son axe. (a) Écrire la condition « chemins optiques égaux depuis une surface d’onde plane jusqu’à $F$ pour tout point du miroir » et montrer qu’elle définit une parabole $y^2 = 4fx$ dont $F$ est le foyer. (b) Pourquoi un miroir sphérique n’est-il qu’approximativement stigmatique (comparer $y^2 = 4fx$ au cercle de rayon $2f$ près du sommet) ? (c) Pour un miroir de $20\,\mathrm{cm}$ de $f = 1\,\mathrm{m}$ , l’erreur de chemin de la sphère au bord, en longueurs d’onde de $500\,\mathrm{nm}$ . (d) Pourquoi les radiotélescopes tolèrent-ils une sphéricité que les télescopes optiques ne tolèrent pas ?

Solution

Solution de Exercice 18.6.

(a) D’un plan d’onde en $x = -D$ jusqu’à $(x, y)$ , puis jusqu’à $F(f, 0)$ : $D + x + \sqrt{(x - f)^2 + y^2} = D + f$ , donc $\sqrt{(x - f)^2 + y^2} = f - x$ , $y^2 = 4fx$ , avec $F$ au foyer. (b) Le cercle $x = 2f - \sqrt{4f^2 - y^2} \approx y^2/4f + y^4/64f^3$ ne coïncide qu’au second ordre. (c) $y^4/64f^3 = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , doublé par la réflexion : $3\,\text{µ}\mathrm{m}$ , six longueurs d’onde — d’où les miroirs paraboliques. (d) À $\lambda \sim 1\,\mathrm{cm}$ la même erreur vaut un millième de longueur d’onde.

Exercice 18.7 ★★

Fermat. Le chemin optique de $A$ (dans le milieu $n_1$ ) à $B$ (dans $n_2$ ) en passant par un point $P$ de l’interface plane vaut $n_1AP + n_2PB$ . (a) Montrer qu’il est stationnaire (minimal) pour le point $P$ vérifiant $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ . (b) Interpréter : les chemins voisins ont la même phase, de sorte que les ondes qui les suivent s’ajoutent — c’est pourquoi la lumière « choisit » le rayon de Descartes. (c) Établir la loi de la réflexion de la même façon. (d) Pourquoi le chemin passant par une lentille de $A$ à son image $A'$ est-il le même le long de tout rayon, et non seulement stationnaire ?

Solution

Solution de Exercice 18.7.

(a) $L(x) = n_1\sqrt{a^2 + x^2} + n_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}$ : $L' = n_1\sin\theta_1 - n_2\sin\theta_2 = 0$ . (b) Au voisinage du chemin stationnaire les chemins voisins ont des phases égales et leurs ondes s’ajoutent ; ailleurs elles s’annulent. (c) $n_1 = n_2$ : $\sin\theta_1 = \sin\theta_r$ . (d) Le stigmatisme signifie que tous les rayons de $A$ à $A'$ ont des chemins égaux : toute une famille de chemins stationnaires, et non un seul.

Exercice 18.8 ★★

Pourquoi deux lampes n’interfèrent pas. Deux lampes au sodium éclairent un écran ; en un point, leurs ondes ont les amplitudes $a$ et une phase relative $\Delta\varphi$ qui saute au hasard toutes les $\tau_c = 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ . (a) Intensité en ce point en fonction de $\Delta\varphi$ ; son maximum et son minimum. (b) Le détecteur moyenne sur $\tau_d = 1\,\mathrm{ms}$ : combien de valeurs indépendantes de $\Delta\varphi$ ? Intensité moyenne ; taille relative de la fluctuation résiduelle du terme d’interférence ( $\sim 1/\sqrt N$ ). (c) Une photodiode de $\tau_d = 1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ : que verrait-elle ? (d) Comment la première expérience montrant l’interférence entre deux lasers indépendants (1963) y est-elle parvenue ?

Solution

Solution de Exercice 18.8.

(a) $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi)$ : $4I_0$ et $0$ . (b) $N = 10^7$ : moyenne $2I_0$ , résidu $\sim 2I_0/\sqrt N = 6 \times 10^{-4}$ de celle-ci. (c) Pendant $10\,\mathrm{ps}$ la phase est figée : elle verrait des franges, qui sauteraient toutes les $0.1\,\mathrm{ns}$ . (d) Des lasers de $\tau_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{s}$ et un détecteur plus rapide : les franges existent pendant une microseconde et ont été photographiées.

Exercice 18.9 ★★

Profondeur apparente. Une pièce repose à la profondeur $h$ dans l’eau ( $n = 1.33$ ). (a) À l’aide du chemin optique (ou de la loi de Descartes aux petits angles), montrer qu’un œil situé au-dessus la voit à la profondeur $h/n$ . (b) $h = 1.2\,\mathrm{m}$ : profondeur apparente ; de combien le chemin optique de la pièce à l’œil excède-t-il sa longueur géométrique ? (c) Un poisson à la profondeur $h$ voit une mouche située $1\,\mathrm{m}$ au-dessus de la surface à quelle hauteur apparente ? (d) Pourquoi un bassin paraît-il encore moins profond vu obliquement ?

Solution

Solution de Exercice 18.9.

(a) Aux petits angles : $\tan i \approx n\tan r$ , les rayons semblent venir de $h/n$ . (b) $0.90\,\mathrm{m}$ ; le chemin optique vaut $n \times 1.2 = 1.6\,\mathrm{m}$ , soit $0.4\,\mathrm{m}$ de plus. (c) $n \times 1 = 1.33\,\mathrm{m}$ . (d) Aux grands angles la réfraction est plus forte et la profondeur apparente plus faible.

Exercice 18.10 ★★★

Contraste et cohérence. Deux copies d’une onde présentant une différence de marche $\delta$ sont superposées ; le spectre de la source est réparti uniformément sur $[\nu_0 - \Delta\nu/2, \nu_0 + \Delta\nu/2]$ , chaque fréquence n’interférant qu’avec elle-même. (a) Intensité due à une fréquence : $2I_0 [1 + \cos(2\pi\nu\delta/c)]$ . (b) Intégrer sur la bande et montrer que le total vaut $2I_0[1 + \operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)\cos(2\pi\nu_0\delta/c)]$ avec $\operatorname{sinc}x = \sin x/x$ . (c) Définir le contraste $V = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ des franges au voisinage de $\delta$ et montrer que $V = |\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)|$ : il s’annule en $\delta = c/\Delta\nu = \ell_c$ . (d) Applications numériques pour une DEL ( $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ à $630\,\mathrm{nm}$ ) : $\delta$ pour lequel le contraste s’annule la première fois.

Solution

Solution de Exercice 18.10.

(a) Deux ondes égales de différence de phase $2\pi\nu\delta/c$ . (b) Moyenne sur la bande :

\frac1{\Delta\nu}\int\cos\frac{2\pi\nu\delta}c\,\dd\nu = \cos\frac{2\pi\nu_0\delta}c\,\operatorname{sinc}\frac{\pi\Delta\nu\,\delta}c .

(c) $I_{\max, \min} = 2I_0(1 \pm |\operatorname{sinc}|)$ : $V = |\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\delta/c)|$ , nul en $\delta = c/\Delta\nu$ . (d) $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 1.9 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ : $\delta = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Exercice 18.11 ★★★

Voir les étoiles. L’œil détecte un éclair lorsque environ $10$ photons atteignent un bâtonnet en $0.1\,\mathrm{s}$ ; la pupille adaptée à l’obscurité fait $7\,\mathrm{mm}$ ; prendre $500\,\mathrm{nm}$ . (a) Flux de photons et éclairement minimaux à l’œil. (b) Le Soleil donne $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; une étoile de magnitude $m$ en donne $10^{-0.4(m + 26.7)}$ : éclairement d’une étoile de magnitude 6 (la limite à l’œil nu) et le débit de photons dans la pupille ; cohérent avec (a) ? (c) Un télescope de $200\,\mathrm{mm}$ d’ouverture : gain en photons, et magnitude qu’il atteint. (d) Pourquoi les astronomes parlent-ils du « bruit de photons » d’une image faible, et comment varie-t-il avec le temps de pose ?

Solution

Solution de Exercice 18.11.

(a) $100$ photons par seconde sur $38\,\mathrm{mm}^{2}$ : $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\times4 \times 10^{-19}$ J : $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (b) $10^{-13.1} \times 1000 = 8 \times 10^{-11}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $2 \times 10^8$ photons par mètre carré et par seconde, $8000$ par seconde dans la pupille — bien au-dessus de (a) : la vraie limite de l’œil vient du fond de ciel et de la répartition sur de nombreux bâtonnets. (c) $(200/7)^2 = 800$ , soit $+7.3$ magnitudes : $m \approx 13$ . (d) $N$ photons fluctuent de $\sqrt N$ : le rapport signal sur bruit croît comme la racine du temps de pose.

Exercice 18.12 ★★★

Au-delà du paraxial. Une onde sphérique issue d’un point situé à la distance $d$ présente, à la distance transversale $r$ , le supplément exact de chemin $\sqrt{d^2 + r^2} - d$ . (a) Développer au quatrième ordre : $r^2/2d - r^4/8d^3$ . (b) On garde le terme quadratique (paraxial) et on néglige le quartique lorsque ce dernier est inférieur à $\lambda/4$ : montrer que cela exige $r^4 < 2\lambda d^3$ . (c) Applications numériques : $d = 1\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ : $r$ maximal ; $d = 1\,\mathrm{cm}$ (un microscope) : $r$ maximal, et l’angle correspondant. (d) Commenter : les « aberrations » de l’optique géométrique sont ces termes négligés.

Solution

Solution de Exercice 18.12.

(a) $d(1 + r^2/2d^2 - r^4/8d^4 + \dots) - d$ . (b) $r^4/8d^3 < \lambda/4$ . (c) $r < (2\lambda d^3)^{1/4}$ : $3.2\,\mathrm{cm}$ pour $1\,\mathrm{m}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ pour $1\,\mathrm{cm}$ , soit un angle de $0.1\,\mathrm{rad}$ . (d) L’aberration sphérique est ce terme quartique ; les autres aberrations en sont les cousines hors axe.

Des lampes à vapeur de sodium basse pression dans le brouillard : une seule raie jaune, une longueur de cohérence de quelques centimètres — la source classique du laboratoire d’optique, et des rues d’autrefois.

18.5 Problème : une lampe au sodium et un pointeur laser

Problème 18.1

Problème du week-end — deux sources de lumière décomposées : la lampe jaune de la rue d’autrefois, le pointeur rouge de l’amphithéâtre, et l’unique nombre qui décide si chacune peut faire des franges

Partie I — La lampe au sodium. Le sodium émet son doublet jaune à $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ et $\lambda_2 = 589.6\,\mathrm{nm}$ . La largeur naturelle de chaque raie vaut $\Delta\nu_{\text{nat}} = 10\,\mathrm{MHz}$ ; dans la lampe les atomes sont à $500\,\mathrm{K}$ (masse du sodium $23\,\mathrm{u}$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $u = 1.66 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ).

Fréquences des deux raies et leur écart.
Longueur de cohérence d’une raie unique si seule sa largeur naturelle comptait.
Élargissement Doppler : un atome se déplaçant à $v$ selon la ligne de visée émet à $\nu(1 + v/c)$ ; avec la vitesse quadratique moyenne thermique $\sqrt{k_BT /m}$ selon un axe, estimer $\Delta\nu_D$ et comparer à la largeur naturelle.
Longueur de cohérence d’une raie élargie par effet Doppler ; dans une lampe réelle à haute pression les chocs élargissent encore la raie d’un facteur dix : longueur de cohérence alors.
Les deux raies ensemble : sur quelle différence de marche leurs systèmes de franges passent-ils de la coïncidence à l’opposition et retour (la « longueur de battement » $\lambda^2/\Delta\lambda$ ) ? À combien de franges cela correspond-il ?
Un étudiant réalise un interféromètre à deux ondes avec la lampe et augmente la différence de marche depuis zéro : décrire le contraste observé — les battements et l’extinction finale — avec les nombres trouvés.
La lampe rayonne $1\,\mathrm{W}$ de lumière jaune : photons par seconde ; énergie d’un photon en eV, et pourquoi la lumière est jaune.
Deux lampes au sodium côte à côte : leurs lumières peuvent-elles interférer ? Pourquoi la question est-elle différente pour les deux raies d’une même lampe ?

Partie II — Le pointeur laser. Une diode laser rouge de $1\,\mathrm{mW}$ à $650\,\mathrm{nm}$ émet, si elle est bon marché, plusieurs modes longitudinaux étalés sur $\Delta\lambda = 0.5\,\mathrm{nm}$ ; une diode monomode stabilisée a $\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$ .

Longueurs de cohérence des deux pointeurs.
Photons émis par seconde ; espacement moyen entre photons le long du faisceau (en mètres) ; comparer à la longueur de cohérence — que cela dit-il des « photons qui interfèrent » ?
Convertir l’étalement de $0.5\,\mathrm{nm}$ en largeur de fréquence ; la cavité de la diode mesure $1\,\mathrm{mm}$ avec $n = 3.5$ : espacement de ses modes longitudinaux ( $c/2nL$ ) et nombre de modes dans l’étalement.
Le faisceau ( $1\,\mathrm{mm}$ de diamètre) tombe sur une photodiode dont chaque photon donne un électron : courant.
Le pointeur bon marché est utilisé dans un interféromètre à deux ondes avec une différence de marche de $2\,\mathrm{mm}$ : des franges ou non ? Et le stabilisé avec $10\,\mathrm{m}$ ?
La sortie de la diode est en fait commutée en impulsions de $1\,\mathrm{ns}$ : les impulsions de deux périodes successives peuvent-elles interférer entre elles ? Qu’est-ce qui fixe ici la cohérence, la longueur de l’impulsion ou la largeur de raie ?
Pourquoi la lumière d’un laser paraît-elle « granuleuse » sur un mur, et pourquoi celle de la lampe ne l’est-elle pas ?
Une DEL rouge à $650\,\mathrm{nm}$ a $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ : longueur de cohérence ; pourquoi certains projecteurs préfèrent-ils les DEL aux lasers ?

Partie III — Chemins optiques et détecteurs.

Une lame de verre de $2\,\mathrm{mm}$ ( $n = 1.5$ ) est insérée dans un bras de l’interféromètre : chemin optique supplémentaire, et nombre de franges qui défilent devant un repère.
La lame est inclinée de $10{}^{\circ}$ : chemin supplémentaire (utiliser $e/\cos r$ pour la longueur dans le verre, moins l’air qu’elle remplace, soit en première approximation $e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r)$ — ou simplement estimer par l’allongement géométrique) ; ordre de grandeur du décalage des franges.
Le détecteur est une caméra à pixels de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; les franges sont distantes de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : combien de pixels par frange, et qu’advient-il du contraste mesuré si l’interfrange tombe à $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
Pose de $10\,\mathrm{ms}$ sous $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ sur un pixel : photons par pixel ; bruit de photons relatif.
Deux ondes cohérentes égales d’intensité $I_0$ se rencontrent avec une différence de marche $\delta$ : écrire l’intensité $I(\delta)$ et la période des franges en $\delta$ .
Les franges défilent devant un point à $1\,\mathrm{kHz}$ (un miroir qui vibre) : que voit l’œil, que voit la photodiode ?
Les bras de l’interféromètre traversent $10\,\mathrm{m}$ d’air ( $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}\,$ ) : chemin optique en excès sur le vide, en franges ; ce qu’une variation de $1\,\%$ de la pression atmosphérique fait au motif.
La lampe et le pointeur donnent le même $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ : lequel donne le plus de photons par seconde, et pourquoi cela n’importe-t-il pas pour les franges ?
Récapituler : pour chaque source, la longueur de cohérence, ce qui la limite, et la différence de marche d’interféromètre qu’elle autorise.

Solution

Solution de Problème 18.1.

1. $\nu_1 = 5.0934 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $\nu_2 = 5.0882 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ : $\Delta\nu = 5.2 \times 10^{11}\,\mathrm{Hz}$ .

2. $c/\Delta\nu_{\text{nat}} = 30\,\mathrm{m}$ .

3. $\sqrt{k_BT/m} = 425\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\Delta\nu_D \approx 2\nu v/c \approx 1.4\,\mathrm{GHz}$ , soit cent fois la largeur naturelle.

4. $c/\Delta\nu_D \approx 20\,\mathrm{cm}$ ; avec les chocs, environ $2\,\mathrm{cm}$ .

5. $\lambda^2/\Delta\lambda = 589^2/0.6$ nm $= 0.58\,\mathrm{mm}$ : coïncidence puis opposition tous les $0.29\,\mathrm{mm}$ ; environ $1000$ franges par battement.

6. Le contraste oscille avec une période de $0.58\,\mathrm{mm}$ en différence de marche (nul en $0.29$ , $0.87$ , $1.45\,\mathrm{mm}$ , …) à l’intérieur d’une enveloppe qui s’éteint sur quelques centimètres : une cinquantaine de battements, puis plus rien.

7. $3 \times 10^{18}\,$ photons par seconde ; $2.1\,\mathrm{eV}$ , le jaune du spectre.

8. Non : atomes indépendants, phases aléatoires. Les deux raies d’une même lampe viennent aussi d’atomes différents et n’interfèrent pas l’une avec l’autre : les battements sont deux systèmes de franges qui s’ajoutent en intensité.

9. $\lambda^2/\Delta\lambda = 0.85\,\mathrm{mm}$ ; $c/\Delta\nu = 300\,\mathrm{m}$ .

10. $3.3 \times 10^{15}\,$ par seconde, espacés de $c/N = 90\,\mathrm{nm}$ le long du faisceau : dix mille photons dans une longueur de cohérence. L’interférence n’est pas la rencontre de photons : chaque photon interfère avec lui-même.

11. $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 360\,\mathrm{GHz}$ ; espacement des modes $c/2nL = 43\,\mathrm{GHz}$ : environ huit modes.

12. $e \times 3.3 \times 10^{15} = 0.5\,\mathrm{mA}$ .

13. $2\,\mathrm{mm}$ $>$ $0.85\,\mathrm{mm}$ : pas de franges ; $10\,\mathrm{m}$ $<$ $300\,\mathrm{m}$ : des franges.

14. Une impulsion d’une nanoseconde mesure $30\,\mathrm{cm}$ , bien plus que la longueur de cohérence de $0.85\,\mathrm{mm}$ : c’est la largeur de raie, non l’impulsion, qui fixe la cohérence ; deux impulsions successives n’interfèrent que si la phase du laser survit à l’extinction — ce n’est pas le cas.

15. La lumière cohérente diffusée par le mur rugueux interfère sur la rétine avec des différences de marche aléatoires : c’est le tavelage. La cohérence micrométrique de la lampe moyenne tout cela.

16. $\lambda^2/\Delta\lambda = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ : bien trop court pour du tavelage sur un mur rugueux — pas de tavelage, une image plus lisse.

17. $(n - 1)e = 1\,\mathrm{mm}$ : $1540$ franges.

18. $r = 6.65{}^{\circ}$ ; chemin supplémentaire $\approx e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r) = 3.021 - 2.010 = 1.011\,\mathrm{mm}$ , soit $11\,\text{µ}\mathrm{m}$ de plus que sans inclinaison : une vingtaine de franges de plus.

19. Cinq pixels par frange ; à un pixel par frange le pixel intègre une période entière et le contraste s’effondre.

20. $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}$ sur le pixel $\times$ $10\,\mathrm{ms}$ $= 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$ : $3 \times 10^4$ photons, bruit $0.6\%$ .

21. $I = 2I_0[1 + \cos(2\pi\delta/\lambda)]$ : une frange par longueur d’onde de différence de marche.

22. L’œil moyenne le mouvement à un kilohertz en un champ uniforme ; la photodiode le suit.

23. $(n - 1) \times 10 = 2.9\,\mathrm{mm}$ : $4500$ franges ; une variation de $1\%$ de la pression les déplace de $45$ franges — l’interféromètre est un baromètre s’il n’est pas mis sous vide.

24. Presque le même débit de photons ( $2.1\,\mathrm{eV}$ contre $1.9\,\mathrm{eV}$ ) ; les franges dépendent des amplitudes et des phases, le comptage de photons ne joue que sur le bruit.

25. Lampe : quelques centimètres, limitée par les élargissements Doppler et collisionnel, franges jusqu’à $1\,\mathrm{cm}$ environ ; pointeur bon marché : $0.85\,\mathrm{mm}$ , limité par ses plusieurs modes ; laser stabilisé : $300\,\mathrm{m}$ , limité par sa largeur de raie.

Termes définis dans ce chapitre

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