Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

23Le laser : émission stimulée et faisceaux gaussiens

Un point rouge sur l’écran d’un amphithéâtre, le lecteur de codes-barres à la caisse, le faisceau qui lit un disque, soude une caisse d’automobile, porte l’internet sous les océans, corrige une cornée et mesure la distance à la Lune au millimètre : chacun d’eux est un laser, une source de lumière comme aucune flamme ni aucune lampe. Sa lumière est d’une seule couleur à une partie sur un milliard, reste en un faisceau de quelques millimètres à travers une pièce, et peut être focalisée en une tache large de quelques longueurs d’onde, où son éclairement dépasse un million de fois celui de la surface du Soleil. Rien de cela ne vient d’un nouveau type d’atome : cela vient d’un processus qu’Einstein a identifié en 1917 — l’émission stimulée, l’émission d’un photon identique à un photon déjà présent — et de l’art d’agencer la matière pour que ce processus l’emporte sur l’absorption, puis de placer l’amplificateur entre deux miroirs pour qu’il s’alimente lui-même. Ce chapitre construit le laser en trois étapes : comment la lumière et une population d’atomes échangent de l’énergie (les coefficients d’Einstein), quand l’échange amplifie (inversion de population et gain), et quand l’amplificateur devient un oscillateur (la cavité, son seuil et ses modes). Il finit par la forme du faisceau qui en sort, le faisceau gaussien, dont le col et la divergence décident de ce qu’un laser peut faire à distance et au foyer.

Une table d’optique : laser, miroirs, lentilles et un faisceau qui reste un fil mince à travers toute la pièce — la directivité qu’aucune lampe ne peut donner.

23.1 Lumière et matière : les trois processus

Définition 23.1 (Absorption, émission spontanée et stimulée)

Considérons des atomes à deux niveaux d’énergie $E_1 < E_2$ , de populations (densités en nombre) $N_1$ , $N_2$ , et de la lumière de fréquence $\nu$ avec $h\nu = E_2 - E_1$ et densité spectrale d’énergie $u(\nu)$ (énergie par unité de volume et par unité de fréquence). Trois processus échangent de l’énergie :

l’absorption : un atome dans $E_1$ absorbe un photon et monte en $E_2$ , au taux $B_{12}\,u(\nu)\,N_1$ par unité de volume et de temps ;
l’émission spontanée : un atome dans $E_2$ retombe en $E_1$ de lui-même, en émettant un photon dans une direction aléatoire avec une phase aléatoire, au taux $A_{21}N_2$ — $1/A_{21} = \tau$ est la durée de vie du niveau ;
l’émission stimulée : un photon de fréquence $\nu$ passant près d’un atome dans $E_2$ l’incite à retomber, en émettant un second photon identique au premier (même fréquence, même direction, même phase et même polarisation), au taux $B_{21}\,u(\nu)\,N_2$ .

$A_{21}$ , $B_{12}$ , $B_{21}$ sont les coefficients d’Einstein de la transition.

Proposition 23.2 (Relations d’Einstein)

Pour des niveaux non dégénérés,

B_{12} = B_{21} \equiv B, \qquad \frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}.

Émission stimulée et absorption ont le même coefficient ; le taux spontané croît en $\nu^3$ relativement au taux stimulé.

Démonstration. Plaçons les atomes en équilibre avec le rayonnement à la température $T$ . Deux faits sont empruntés à des chapitres ultérieurs : les populations de deux niveaux à l’équilibre sont dans le rapport $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu/k_BT}$ (le facteur de Boltzmann, Chapitre 29), et le rayonnement d’équilibre a la densité spectrale de Planck $u(\nu) = (8\pi h\nu^3/c^3)/(\eu^{h\nu/k_BT} - 1)$ (Chapitre 26). À l’équilibre les populations des niveaux sont stationnaires : $B_{12}uN_1 = A_{21}N_2 + B_{21}uN_2$ , d’où

u = \frac{A_{21}}{B_{12}\,N_1/N_2 - B_{21}} = \frac{A_{21}}{B_{12}\eu^{h\nu/k_BT} - B_{21}}.

Ceci doit égaler l’expression de Planck à toute $T$ : la limite $T \to \infty$ (où $u \to \infty$ ) impose $B_{12} = B_{21}$ , et la comparaison donne alors $A_{21}/B_{21} = 8\pi h\nu^3/c^3$ . Les coefficients sont des propriétés de l’atome, de sorte que les relations valent aussi hors d’équilibre. ∎

Remarque 23.3 (Pourquoi les lampes n’amplifient pas)

Dans un gaz à $300\,\mathrm{K}$ , pour une transition visible ( $h\nu \approx 2\,\mathrm{eV}$ , $k_BT \approx 0.025\,\mathrm{eV}$ ), $N_2/N_1 = \eu^{-80} \approx 10^{-35}$ : pratiquement aucun atome n’est excité, et la lumière n’est qu’absorbée. Une décharge ou une flamme peuple $E_2$ , mais toujours avec $N_2 < N_1$ , et chaque photon émis est débordé par les absorptions ; de plus le rapport de l’émission spontanée à l’émission stimulée à l’équilibre, $A_{21}/(B_{21}u) = \eu^{h\nu/k_BT} - 1$ , est astronomiquement grand dans le visible — la lumière d’une lampe est spontanée : phases aléatoires, toutes les directions, toute la largeur de la raie. Ce n’est qu’aux fréquences radio et micro-ondes ( $h\nu \ll k_BT$ ) que l’émission stimulée rivalise naturellement ; le premier dispositif de ce genre fut d’ailleurs le maser, à $24\,\mathrm{GHz}$ (1954), avant le laser optique (1960).

Les trois processus entre deux niveaux : l’absorption enlève un photon ; l’émission spontanée ajoute un photon de phase et de direction aléatoires ; l’émission stimulée ajoute un photon identique au photon incident — une copie.

23.2 Amplification : inversion de population et gain

Proposition 23.4 (Gain d’un milieu)

Un faisceau d’intensité $I$ à la fréquence $\nu$ traversant le milieu gagne de l’énergie par émission stimulée et en perd par absorption (l’émission spontanée part dans toutes les directions et ne contribue guère au faisceau). Sur une longueur $\dd z$ ,

\dd I = \sigma\,(N_2 - N_1)\,I\,\dd z, \qquad I(z) = I(0)\,\eu^{g z}, \qquad g = \sigma(N_2 - N_1),

où $\sigma$ (une aire, la section efficace de la transition, $\sigma \propto B\,h\nu/c$ ) mesure la force de la transition. Le milieu amplifie ( $g > 0$ ) seulement si

N_2 > N_1 :

c’est une inversion de population. Sans elle ( $N_2 < N_1$ , cas de tout milieu à l’équilibre) le faisceau est absorbé.

Démonstration. Par unité de volume et de temps, $B u (N_2 - N_1)$ transitions ajoutent (ou retirent) un photon $h\nu$ au faisceau ; avec $u = I/c$ (par unité de fréquence, sur la largeur de la raie), la puissance gagnée par unité de volume vaut $B h\nu (N_2 - N_1) I/c$ , et c’est $\dd I/\dd z$ ; on pose $\sigma = Bh\nu/c$ (multiplié par le facteur de forme de raie). ∎

Remarque 23.5 (Pourquoi deux niveaux ne peuvent être inversés)

Pompez un système à deux niveaux aussi fort que vous voudrez avec de la lumière à $\nu$ : le pompage absorbe quand $N_1 > N_2$ et stimule l’émission quand $N_2 > N_1$ , et les populations tendent au mieux vers l’égalité, $N_2 = N_1$ , où le milieu est transparent mais ne gagne rien. Une inversion demande au moins trois niveaux : pomper depuis le niveau fondamental vers un niveau de courte vie qui se désexcite vite vers le niveau laser supérieur, lequel est de longue vie (métastable) et emmagasine donc de la population. Dans un schéma à trois niveaux (rubis, le premier laser) le niveau laser inférieur est le fondamental, de sorte que plus de la moitié des atomes doivent être élevés avant l’inversion : le pompage est brutal. Dans un schéma à quatre niveaux (He–Ne, Nd:YAG, la plupart des lasers) le niveau laser inférieur est un niveau excité qui se vide vite vers le fondamental ; il est presque vide à tout instant, et une faible population dans le niveau supérieur est déjà une inversion — le seuil est bas.

Schémas de pompage. À gauche : trois niveaux — la transition laser se termine sur le niveau fondamental, qui doit être vidé à plus de moitié. À droite : quatre niveaux — le niveau laser inférieur se vide aussitôt vers le fondamental, si bien qu’une faible population supérieure est déjà une inversion.

Proposition 23.6 (Saturation du gain)

L’inversion est entretenue par un pompage qui fournit des atomes au niveau supérieur au taux $R$ par unité de volume, contre la désexcitation $1/\tau$ et l’émission stimulée $\sigma I (N_2 - N_1)/h\nu$ . Dans un milieu à quatre niveaux ( $N_1 \approx 0$ ) le régime permanent est

N_2 = \frac{R\tau}{1 + I/I_{\text{s}}}, \qquad g = \frac{g_0}{1 + I/I_{\text{s}}}, \qquad I_{\text{s}} = \frac{h\nu}{\sigma\tau} :

le gain petit signal $g_0 = \sigma R\tau$ est réduit par le faisceau lui-même dès que $I$ approche l’intensité de saturation $I_{\text{s}}$ — l’amplificateur est non linéaire, et c’est cette non-linéarité qui fixera la puissance du laser.

Démonstration. $\dd N_2/\dd t = R - N_2/\tau - \sigma I N_2/h\nu = 0$ . ∎

23.3 L’oscillateur : cavité, seuil et modes

Définition 23.7 (Cavité laser)

Un laser est un milieu amplificateur de longueur $\ell$ placé entre deux miroirs (réflectances $R_1$ , $R_2$ ) distants de $L$ : une cavité de Fabry–Pérot (Chapitre 21). Un miroir, le coupleur de sortie, est partiellement transmetteur ( $T_2 = 1 - R_2$ de quelques pour cent) et laisse sortir le faisceau. La lumière qui fait le tour de la cavité est amplifiée deux fois par le milieu et atténuée par les miroirs et par les autres pertes (diffusion, absorption, diffraction).

Théorème 23.8 (Condition d’oscillation)

Une onde d’amplitude complexe $\underline s$ se reproduit après un aller-retour si

\underline s\,\cdot\, \eu^{g\ell}\sqrt{R_1}\,\eu^{g\ell}\sqrt{R_2}\, \eu^{-\alpha\cdot 2L}\,\eu^{2\iu kL} = \underline s

( $\alpha$ : les autres pertes par unité de longueur). D’où deux conditions.

Amplitude : $R_1R_2\,\eu^{2(g\ell - \alpha L)} \ge 1$ , c’est-à-dire que le gain doit atteindre le seuil

$g_{\text{th}} = \frac{1}{\ell}\Big(\alpha L - \tfrac12\ln(R_1R_2)\Big) \approx \frac{1}{2\ell}\,(T_2 + \text{pertes par aller-retour}) ;$
Phase : $2kL = 2\pi p$ , c’est-à-dire $\nu_p = p\,c/2L$ — le laser n’oscille que sur les modes longitudinaux de la cavité, espacés de $c/2L$ , et parmi eux seulement sur ceux qui tombent sous la courbe de gain là où $g(\nu) \ge g_{\text{th}}$ .

Démonstration. Le module et la phase du facteur d’aller-retour doivent tous deux être triviaux ; l’approximation utilise $-\ln R \approx 1 - R = T$ pour $T \ll 1$ . ∎

Proposition 23.9 (Régime permanent au-dessus du seuil)

Parti de l’émission spontanée d’un seul atome, tout mode pour lequel $g_0 > g_{\text{th}}$ croît exponentiellement, aller-retour après aller-retour ; à mesure que son intensité croît, le gain sature (Proposition 23.6) jusqu’à égaler exactement les pertes :

g(I) = g_{\text{th}} \quad\Longrightarrow\quad I_{\text{cav}} = I_{\text{s}}\Big(\frac{g_0}{g_{\text{th}}} - 1\Big), \qquad P_{\text{out}} = T_2\,I_{\text{cav}}\,A .

Le gain se verrouille à la valeur de seuil ; chaque atome supplémentaire pompé au-dessus du seuil devient un photon de sortie, si bien que la puissance de sortie croît linéairement avec le pompage au-dessus du pompage de seuil.

Remarque 23.10 (Le laser est un oscillateur à rétroaction)

Comparez à l’oscillateur à pont de Wien du Chapitre 9 : un amplificateur (le milieu inversé), une rétroaction sélective en fréquence (la cavité, qui ne laisse passer que ses modes), une condition de démarrage (gain de boucle $> 1$ , c’est-à-dire $g_0 > g_{\text{th}}$ ), un démarrage sur le bruit (ici l’émission spontanée), et une amplitude fixée par la non-linéarité de l’amplificateur (saturation du gain). Le laser est le membre optique de la famille.

La courbe de gain du milieu (de largeur ), le seuil fixé par les pertes, et le peigne des modes de la cavité espacés de c/2L : seuls les modes sous la courbe et au-dessus du seuil (en gras) oscillent. — La courbe de gain du milieu (de largeur $\Delta\nu$ ), le seuil fixé par les pertes, et le peigne des modes de la cavité espacés de $c/2L$ : seuls les modes sous la courbe et au-dessus du seuil (en gras) oscillent.

Exemple 23.11 (Le laser hélium–néon)

Un tube de verre long de $30\,\mathrm{cm}$ , d’alésage $1\,\mathrm{mm}$ , contenant de l’hélium et du néon à environ un millième d’atmosphère, traversé par une décharge de quelques milliampères. Les électrons portent l’hélium à un niveau métastable à $20.6\,\mathrm{eV}$ , qui cède son énergie par collision à un niveau du néon à presque exactement la même hauteur ; de là le néon retombe sur un niveau inférieur (se vidant vite vers le fondamental — quatre niveaux) en émettant à $632.8\,\mathrm{nm}$ . Le gain petit signal est minuscule, quelques pour cent par passage, de sorte que les miroirs doivent être excellents ( $R_1 = 0.999$ , $R_2 = 0.99$ ) et le tube propre ; la raie de gain est élargie par effet Doppler jusqu’à $\Delta\nu \approx 1.5\,\mathrm{GHz}$ , les modes sont espacés de $c/2L = 500\,\mathrm{MHz}$ , de sorte que deux ou trois modes oscillent à la fois. Sortie $1\,\mathrm{mW}$ pour plusieurs watts de décharge : rendement $10^{-4}$ ; mais une longueur d’onde définie à $10^{-6}$ près et un faisceau qui reste large de $1\,\mathrm{mm}$ à travers le laboratoire.

23.4 Le faisceau gaussien

Proposition 23.12 (Faisceau gaussien)

Le faisceau qu’émet une cavité stable à miroirs courbes est (dans le mode transverse fondamental) un faisceau gaussien : à la distance $z$ de sa section la plus étroite (le col, de rayon $w_0$ ) le profil d’intensité vaut

I(r,z) = \frac{2P}{\pi w(z)^2}\,\exp\Big(-\frac{2r^2}{w(z)^2}\Big), \qquad w(z) = w_0\sqrt{1 + \Big(\frac{z}{z_{\text{R}}}\Big)^2}, \qquad z_{\text{R}} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda},

où $P$ est la puissance totale et $z_{\text{R}}$ la longueur de Rayleigh : sur $\pm z_{\text{R}}$ le faisceau reste à moins de $\sqrt2$ de son col, et bien au-delà il s’étale avec le demi-angle

\theta = \frac{\lambda}{\pi w_0} .

Le faisceau est une solution de l’équation d’onde dans l’approximation paraxiale ; nous en admettons la forme et l’utilisons. Ses fronts d’onde sont plans au col et sphériques au loin.

Démonstration. Admis à ce niveau (le calcul est la propagation, en optique de Fourier, d’une distribution gaussienne sur une ouverture) ; sa propriété clé est celle que la diffraction a déjà donnée au Chapitre 22 : une ouverture de taille $w_0$ étale sur $\lambda/w_0$ , ici avec le facteur exact $1/\pi$ . ∎

Un faisceau gaussien : le rayon w(z) est une hyperbole — presque constant à l’intérieur de la longueur de Rayleigh, puis un cône de demi-angle /π w_0. Un col plus petit signifie une longueur de Rayleigh plus courte et un cône plus large. — Un faisceau gaussien : le rayon $w(z)$ est une hyperbole — presque constant à l’intérieur de la longueur de Rayleigh, puis un cône de demi-angle $\lambda/\pi w_0$ . Un col plus petit signifie une longueur de Rayleigh plus courte et un cône plus large.

Proposition 23.13 (Focaliser et élargir un faisceau)

Un faisceau gaussien de rayon $w$ (bien plus grand que ce que son champ lointain donnerait à la lentille, c’est-à-dire à peu près collimaté) tombant sur une lentille de distance focale $f$ est focalisé en un col

w_0' = \frac{\lambda f}{\pi w}

au foyer, de longueur de Rayleigh $\pi w_0'^2/\lambda$ . L’éclairement maximal y vaut $2P/\pi w_0'^2$ . Inversement une lunette afocale de grandissement $M$ transforme un faisceau de rayon $w$ en un faisceau de rayon $Mw$ dont la divergence est $M$ fois plus petite : pour envoyer un faisceau loin, il faut d’abord le faire large.

Démonstration. La lentille convertit le front d’onde plan en une sphère convergeant en $f$ ; la diffraction d’une ouverture de rayon $w$ donne l’étalement angulaire $\lambda/\pi w$ , d’où la tache focale $f\lambda/\pi w$ — ce qui s’accorde avec $\theta = \lambda/\pi w_0'$ lu à l’envers. ∎

Exemple 23.14 (Couper, lire, pointer)

Un laser à dioxyde de carbone de $1\,\mathrm{kW}$ à $10.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , de rayon de faisceau $10\,\mathrm{mm}$ , focalisé par $f = 100\,\mathrm{mm}$ : $w_0' = 34\,\text{µ}\mathrm{m}$ , éclairement maximal $2P/\pi w_0'^2 = 5 \times 10^{11}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — l’acier bout. Un pointeur de $1\,\mathrm{mW}$ , $w_0 = 0.5\,\mathrm{mm}$ à $633\,\mathrm{nm}$ : $\theta = 0.4\,\mathrm{mrad}$ , une tache de $4\,\mathrm{cm}$ à $50\,\mathrm{m}$ , un éclairement de $2.5\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ à la sortie — au-dessus de la lumière solaire, ce qui explique pourquoi même un milliwatt ne doit jamais entrer dans un œil : le cristallin le focaliserait en une tache de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ sur la rétine, à des millions de watts par mètre carré. Un lecteur de disque à $650\,\mathrm{nm}$ avec une lentille d’ouverture numérique $0.6$ focalise en environ $\lambda/2\mathrm{NA} \approx 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , la taille d’une cuvette.

Remarque 23.15 (Ce qui rend la lumière laser spéciale)

Directivité : un seul mode transverse, une divergence à la limite de diffraction. Monochromatisme : un ou quelques modes de cavité, chacun plus étroit qu’un mégahertz — des longueurs de cohérence de plusieurs mètres à plusieurs kilomètres (Chapitre 18). Cohérence spatiale : tout le faisceau est une seule onde, de sorte qu’il interfère avec lui-même n’importe où (holographie, interférométrie). Brillance : un milliwatt dans un faisceau limité par la diffraction éclipse le Soleil par unité d’angle solide et de bande passante. Puissance en impulsions : un joule en une nanoseconde fait un gigawatt, en une femtoseconde un pétawatt. Et, puisque le faisceau est la sortie d’un oscillateur, il peut être modulé au gigahertz — la porteuse de la fibre optique (Chapitre 16).

Méthode 23.16 (Estimations sur les lasers)

(1) Énergie du photon $h\nu = hc/\lambda$ et débit de photons $P/h\nu$ . (2) Seuil : $g_{\text{th}}\ell \approx \tfrac12(T_2 + \text{pertes})$ ; comparer au gain petit signal $g_0\ell$ du milieu. (3) Modes : $c/2L$ contre la largeur de gain ; compter les modes qui oscillent. (4) Puissance : le gain se verrouille au seuil ; sortie $\propto$ (pompage $-$ pompage de seuil). (5) Faisceau : $z_{\text{R}} = \pi w_0^2/\lambda$ , $\theta = \lambda/\pi w_0$ , tache focale $\lambda f/\pi w$ , éclairement maximal $2P/\pi w_0^2$ . (6) Sécurité : comparer l’éclairement rétinien à celui du Soleil.

23.5 Exercices

Exercice 23.1 ★

Un laser He–Ne émet $1\,\mathrm{mW}$ à $632.8\,\mathrm{nm}$ . Fréquence, énergie du photon en joules et en électronvolts, photons par seconde. Cavité de $30\,\mathrm{cm}$ : espacement des modes ; combien de modes tiennent sous une courbe de gain large de $1.5\,\mathrm{GHz}$ ?

Solution

Solution de Exercice 23.1.

$\nu = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $h\nu = 3.14 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.96\,\mathrm{eV}$ ; $3.2 \times 10^{15}\,$ photons par seconde ; $c/2L = 500\,\mathrm{MHz}$ ; trois modes.

Exercice 23.2 ★

Deux niveaux distants de $2\,\mathrm{eV}$ à $300\,\mathrm{K}$ : rapport $N_2/N_1$ (utiliser $k_BT = 0.025\,\mathrm{eV}$ ). À quelle température les populations seraient-elles égales ? Montrer qu’une inversion correspond à une température formellement négative dans le rapport de Boltzmann. Même rapport pour une transition micro-onde à $24\,\mathrm{GHz}$ .

Solution

Solution de Exercice 23.2.

$\eu^{-80} \approx 2 \times 10^{-35}$ ; égalité seulement quand $T \to \infty$ ; $N_2 > N_1$ exige $\eu^{-h\nu/k_BT} > 1$ , c’est-à-dire $T < 0$ formellement. À $24\,\mathrm{GHz}$ , $h\nu = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ : $N_2/N_1 = 0.996$ .

Exercice 23.3 ★

Faisceau gaussien, $w_0 = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : longueur de Rayleigh, divergence, rayon après $100\,\mathrm{m}$ et à la Lune ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ). Même faisceau après un élargisseur $\times 20$ .

Solution

Solution de Exercice 23.3.

$z_{\text{R}} = 1.24\,\mathrm{m}$ ; $\theta = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $w(100\,\mathrm{m}) = 40\,\mathrm{mm}$ ; à la Lune $150\,\mathrm{km}$ . Après $\times 20$ : $w_0 = 10\,\mathrm{mm}$ , $\theta = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ , $z_{\text{R}} = 500\,\mathrm{m}$ , $10.2\,\mathrm{mm}$ à $100\,\mathrm{m}$ , $7.7\,\mathrm{km}$ à la Lune.

Exercice 23.4 ★

Cavité avec $R_1 = 1$ , $R_2 = 0.98$ , milieu long de $20\,\mathrm{cm}$ , autres pertes $0.5\%$ par passage. Coefficient de gain au seuil. Le gain petit signal du milieu vaut $0.2\,\mathrm{m}^{-1}$ : y a-t-il effet laser ? Avec $R_2 = 0.90$ ?

Solution

Solution de Exercice 23.4.

$g_{\text{th}} = (0.005 + 0.0101)/0.2 = 0.076\,\mathrm{m}^{-1} < 0.2$ : il y a effet laser. Avec $R_2 = 0.90$ : $(0.005 + 0.053)/0.2 = 0.29\,\mathrm{m}^{-1}$ : il n’y en a pas.

Exercice 23.5 ★★

Relations d’Einstein. (a) Écrire le bilan d’une population à deux niveaux en équilibre avec le rayonnement $u(\nu)$ et en tirer les deux relations à partir de la loi de Planck (donnée). (b) Calculer $A_{21}/B_{21}u = \eu^{h\nu/k_BT} - 1$ à $300\,\mathrm{K}$ pour $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ et pour $\lambda = 1\,\mathrm{cm}$ . (c) Pourquoi les masers ont-ils été inventés avant les lasers ? (d) La durée de vie d’un niveau vaut $\tau = 1/A_{21}$ ; si $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ à $600\,\mathrm{nm}$ , que vaut $\tau$ pour une transition de même $B$ à $6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?

Solution

Solution de Exercice 23.5.

(a) Voir la Proposition 23.2. (b) $600\,\mathrm{nm}$ : $h\nu/k_BT = 80$ , rapport $5 \times 10^{34}$ ; $1\,\mathrm{cm}$ : $4.8 \times 10^{-3}$ — l’émission stimulée domine. (c) Aux fréquences micro-ondes, l’émission spontanée est négligeable et une faible inversion donne déjà du gain ; la technologie (cavités, guides d’ondes) existait. (d) $A \propto \nu^3$ , donc $\tau \propto \lambda^3$ : $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Exercice 23.6 ★★

Saturation et puissance de sortie. Milieu à quatre niveaux, $\sigma = 3 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}$ , $\tau = 100\,\mathrm{ns}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ . (a) Intensité de saturation. (b) Taux de pompage $R$ pour un gain petit signal $g_0 = 0.1\,\mathrm{m}^{-1}$ . (c) Le seuil de la cavité vaut $g_{\text{th}} = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$ : intensité intracavité en régime permanent ; sortie à travers $T_2 = 1\%$ d’un faisceau d’aire $1\,\mathrm{mm}^{2}$ . (d) Montrer que la puissance de sortie est linéaire en $R$ au-dessus du seuil.

Solution

Solution de Exercice 23.6.

(a) $I_{\text{s}} = h\nu/\sigma\tau = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (b) $R = g_0/\sigma\tau = 3.3 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (c) $I = I_{\text{s}}(5 - 1) = 4.2 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $P_{\text{out}} = 0.01 \times 4.2 \times 10^5 \times 10^{-6} = 4.2\,\mathrm{mW}$ . (d) $I = I_{\text{s}}(\sigma R\tau/g_{\text{th}} - 1) = (h\nu/g_{\text{th}})(R - g_{\text{th}}/\sigma\tau)$ : linéaire en $R$ au-dessus de $R_{\text{th}} = g_{\text{th}}/\sigma\tau$ .

Exercice 23.7 ★★

Modes et stabilité. (a) Longueur de cavité pour un fonctionnement monomode sous une courbe de gain de $1.5\,\mathrm{GHz}$ . (b) Une cavité de $30\,\mathrm{cm}$ s’allonge de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : décalage de la fréquence d’un mode, comparé à l’espacement des modes et à la largeur de gain. (c) Pourquoi les He–Ne stabilisés du commerce verrouillent-ils la longueur du tube en le chauffant ? (d) La largeur propre du mode est de quelques kilohertz : longueur de cohérence ?

Solution

Solution de Exercice 23.7.

(a) $c/2L > 1.5\,\mathrm{GHz}$ : $L < 10\,\mathrm{cm}$ . (b) $\delta\nu = \nu\,\delta L/L = 1.6\,\mathrm{GHz}$ : trois espacements de modes, toute la largeur de gain — le mode balaie la courbe de gain et passe la main à son voisin. (c) Un chauffage tient la longueur à une petite fraction de $\lambda$ , en utilisant l’équilibre de deux modes comme signal d’erreur. (d) $c/\delta\nu \approx 100\,\mathrm{km}$ .

Exercice 23.8 ★★

Focalisation. (a) Faisceau $w = 1\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $f = 50\,\mathrm{mm}$ : col, longueur de Rayleigh, éclairement maximal pour $1\,\mathrm{mW}$ . (b) Le même faisceau dans un œil (focale $17\,\mathrm{mm}$ ) : tache et éclairement rétiniens ; comparer à l’image du Soleil ( $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ à travers une pupille de $3\,\mathrm{mm}$ en une image de $0.15\,\mathrm{mm}$ ). (c) Pourquoi un pointeur vert de $5\,\mathrm{mW}$ est-il plus dangereux qu’une ampoule de $100\,\mathrm{W}$ ? (d) Profondeur de foyer de la lentille de $50\,\mathrm{mm}$ .

Solution

Solution de Exercice 23.8.

(a) $w_0' = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $z_{\text{R}} = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $I = 2P/\pi w_0'^2 = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (b) $w_0' = 3.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $I = 5.5 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; l’image du Soleil : $10^3 \times (3/0.15)^2 = 4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — le pointeur est cent fois pire. (c) La puissance de l’ampoule s’étale sur $4\pi$ et son image sur la rétine est étendue ; toute la puissance du pointeur tombe sur quelques micromètres, à la longueur d’onde de sensibilité maximale. (d) $2z_{\text{R}} = 1\,\mathrm{mm}$ .

Exercice 23.9 ★★

Trois niveaux contre quatre. Rubis : $N = 1.6 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ions chrome, durée de vie du niveau supérieur $3\,\mathrm{ms}$ , $\lambda = 694\,\mathrm{nm}$ . (a) Puissance de pompage minimale par unité de volume pour tenir la moitié des ions dans le niveau supérieur. (b) Pour un barreau de $1\,\mathrm{cm}^{3}$ . (c) Un milieu à quatre niveaux ne demande que $\Delta N = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ avec $\tau = 230\,\text{µ}\mathrm{s}$ à $1064\,\mathrm{nm}$ : puissance de pompage par unité de volume. (d) Commenter la lampe flash du laser à rubis face au pompage par diode d’un Nd:YAG.

Solution

Solution de Exercice 23.9.

(a) $(N/2)\,h\nu/\tau = 7.6 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ . (b) $760\,\mathrm{W}$ — le régime continu est hors de question : une lampe flash. (c) $10^{22} \times 1.87 \times 10^{-19}/2.3 \times 10^{-4} = 8 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ : $8\,\mathrm{W}$ par centimètre cube. (d) Cent fois moins, et en continu : quelques watts de lumière de diode suffisent.

Exercice 23.10 ★★★

La diode laser. La région émettrice d’une diode laser fait environ $3\,\text{µ}\mathrm{m}$ sur $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $\lambda = 780\,\mathrm{nm}$ . (a) Demi-angles de divergence dans les deux directions. (b) Quelle direction diverge le plus, et pourquoi le faisceau est-il elliptique ? (c) Une lentille de $f = 5\,\mathrm{mm}$ le collimate : tailles du faisceau dans les deux directions. (d) Comment rendre l’ellipse ronde (deux idées) ?

Solution

Solution de Exercice 23.10.

(a) $\lambda/\pi w_0$ : $0.17\,\mathrm{rad}$ ( $9.5{}^{\circ}$ ) et $0.5\,\mathrm{rad}$ ( $28{}^{\circ}$ ). (b) La direction étroite diverge le plus : l’ellipse en champ lointain est perpendiculaire à l’émetteur. (c) $f\theta$ : $0.8\,\mathrm{mm}$ et $2.5\,\mathrm{mm}$ . (d) Une paire de prismes anamorphoseurs ou une lentille cylindrique ; ou un couplage dans une fibre monomode.

Exercice 23.11 ★★★

Démarrage. (a) Écrire la condition d’amplitude sur un aller-retour avec un gain net $G = \eu^{2(g_0 - g_{\text{th}})\ell} = 1.04$ par aller-retour et un temps d’aller-retour $2L/c$ avec $L = 30\,\mathrm{cm}$ . (b) D’un seul photon spontané au régime permanent de $100\,\mathrm{mW}$ intracavité (nombre de photons dans la cavité ?), combien d’allers-retours et combien de temps ? (c) Qu’est-ce qui limite la croissance, et qu’arrive-t-il à un mode dont $g_0 < g_{\text{th}}$ ? (d) Dans un laser multimode les modes se disputent les mêmes atomes : expliquer le saut de mode.

Solution

Solution de Exercice 23.11.

(a) Intensité $\times 1.04$ toutes les $2\,\mathrm{ns}$ . (b) $N = P\,(2L/c)/h\nu = 6.4 \times 10^8$ photons ; $\ln(6.4 \times 10^8)/\ln 1.04 \approx 520$ allers-retours, environ $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (c) La saturation du gain ; un mode sous le seuil perd plus par aller-retour qu’il ne gagne et reste au niveau spontané. (d) Les modes se partagent une seule inversion ; le plus fort la sature et affame les autres ; les dérives de longueur et de gain changent le vainqueur — la sortie saute de mode en mode.

Exercice 23.12 ★★★

Télémétrie lunaire. Impulsions de $100\,\mathrm{mJ}$ à $532\,\mathrm{nm}$ , longues de $100\,\mathrm{ps}$ , envoyées par un télescope de $1\,\mathrm{m}$ ( $w_0 = 0.5\,\mathrm{m}$ ). (a) Photons par impulsion, puissance crête. (b) Divergence de diffraction et rayon de la tache sur la Lune ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ) ; l’atmosphère élargit plutôt le faisceau à $1''$ : rayon de la tache. (c) Un réseau de réflecteurs de $0.1\,\mathrm{m}^{2}$ sur la Lune renvoie la lumière avec sa propre diffraction ( $\lambda/d$ avec des coins de cube $d = 4\,\mathrm{cm}$ ) : tache sur Terre, fraction captée par le télescope, photons détectés par impulsion. (d) Datation à $100\,\mathrm{ps}$ près : précision en distance par impulsion, et après $10^4$ impulsions.

Solution

Solution de Exercice 23.12.

(a) $2.7 \times 10^{17}$ photons ; $1\,\mathrm{GW}$ . (b) $\theta = 3.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ , $130\,\mathrm{m}$ ; avec le seeing $1.8\,\mathrm{km}$ . (c) Fraction $0.1/\pi(1800)^2 = 10^{-8}$ : $2.6 \times 10^9$ photons ; étalement du retour $1.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ , rayon $5\,\mathrm{km}$ ; le télescope capte $(0.5/5000)^2 = 10^{-8}$ : environ $25$ photons, quelques-uns après l’optique. (d) $c \times 100\,\mathrm{ps}/2 = 1.5\,\mathrm{cm}$ ; $\times 1/\sqrt{10^4}$ : $0.15\,\mathrm{mm}$ .

Un tube laser hélium–néon émettant sur sa raie jaune à 594\, nm : la lueur de la décharge dans le tube, et le faisceau sortant par le miroir de sortie. Photo : Telementor, CC BY 4.0. — Un tube laser hélium–néon émettant sur sa raie jaune à $594\,\mathrm{nm}$ : la lueur de la décharge dans le tube, et le faisceau sortant par le miroir de sortie. Photo : Telementor, CC BY 4.0.

23.6 Problème : un laser hélium–néon, du tube à la Lune

Problème 23.1

Problème du week-end — un laser construit, caractérisé et utilisé

Le laser sur la paillasse : tube de verre $L = 30\,\mathrm{cm}$ , alésage de diamètre $1\,\mathrm{mm}$ , mélange hélium–néon, décharge de $5\,\mathrm{mA}$ sous $1.5\,\mathrm{kV}$ ; miroirs $R_1 = 0.999$ , $R_2 = 0.99$ ; longueur d’onde $632.8\,\mathrm{nm}$ ; sortie $1\,\mathrm{mW}$ . Données : le niveau métastable de He se situe à $20.61\,\mathrm{eV}$ , le niveau laser supérieur de Ne à $20.66\,\mathrm{eV}$ avec une durée de vie de $100\,\mathrm{ns}$ , le niveau laser inférieur à $18.70\,\mathrm{eV}$ avec une durée de vie de $10\,\mathrm{ns}$ ; température du gaz $400\,\mathrm{K}$ ; masse molaire du néon $20\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; section efficace $\sigma = 3 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $k_BT$ à $400\,\mathrm{K}$ $= 0.0345\,\mathrm{eV}$ .

Partie I — Le milieu.

Énergie du photon et fréquence de la raie laser.
Les niveaux de He et de Ne diffèrent de $0.05\,\mathrm{eV}$ : comparer à $k_BT$ et expliquer pourquoi le transfert par collision He $\to$ Ne est efficace.
Rapport de Boltzmann du niveau supérieur du Ne au fondamental à $400\,\mathrm{K}$ sans la décharge : commenter.
Expliquer, à partir des deux durées de vie, pourquoi une inversion entre les niveaux du Ne est facile à maintenir dès que le niveau supérieur est alimenté.
Largeur Doppler de la raie : vitesse la plus probable du néon à $400\,\mathrm{K}$ et $\Delta\nu \approx \nu\,v/c$ en ordre de grandeur (précisément $\Delta\nu = 2\nu\sqrt{2k_BT\ln2/Mc^2}$ ).
Avec $\Delta N = N_2 - N_1 = 3 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-3}$ : coefficient de gain petit signal et gain par passage sur $30\,\mathrm{cm}$ .

Partie II — La cavité.

Coefficient de gain au seuil ; marge par rapport à la question 6.
Espacement des modes ; nombre de modes susceptibles d’osciller.
Puissance intracavité et éclairement intracavité dans l’alésage.
Qu’est-ce qui fixe le gain en régime permanent, et où passe l’excédent d’énergie de pompage ?
Puissance électrique consommée et puissance optique sortie : rendement ; deux raisons de sa faiblesse.
Démarrage : gain net par aller-retour $2(g_0 - g_{\text{th}})L$ , nombre de photons dans la cavité en régime permanent, nombre d’allers-retours depuis un photon, et durée du démarrage.
Le tube s’échauffe et s’allonge de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : décalage en fréquence d’un mode ; conséquence pour un laser monomode.
Le tube est fermé par des fenêtres à l’angle de Brewster : qu’est-ce que cela fait à la polarisation de la sortie, et pourquoi cela n’ajoute-t-il pas de perte ?

Partie III — Le faisceau.

La cavité produit un col $w_0 = 0.3\,\mathrm{mm}$ : longueur de Rayleigh, divergence, diamètre du faisceau à $10\,\mathrm{m}$ .
Éclairement maximal à la sortie ; comparer à la lumière solaire ( $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ).
Une lentille de $f = 50\,\mathrm{mm}$ : col et éclairement maximal au foyer.
Le faisceau entre dans un œil (focale $17\,\mathrm{mm}$ ) : tache et éclairement rétiniens ; pourquoi un clignement n’est pas trop lent pour $1\,\mathrm{mW}$ , et ce que signifie « classe 2 ».
Un élargisseur $\times 10$ : nouvelle divergence et diamètre de tache à $1\,\mathrm{km}$ .
Longueur de cohérence si le laser fonctionne sur un seul mode de largeur $1\,\mathrm{MHz}$ ; s’il fonctionne sur trois modes couvrant $1\,\mathrm{GHz}$ .

Partie IV — Jusqu’à la Lune. Une station de télémétrie tire des impulsions de $100\,\mathrm{mJ}$ de $100\,\mathrm{ps}$ à $532\,\mathrm{nm}$ par un télescope de $1\,\mathrm{m}$ ; l’atmosphère élargit le faisceau sortant à $1''$ ( $4.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ).

Photons par impulsion et puissance crête.
Rayon de la tache sur la Lune ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ) ; comparer à la tache limitée par la diffraction.
Un réseau de réflecteurs de $0.1\,\mathrm{m}^{2}$ intercepte quelle fraction de l’impulsion, combien de photons ?
Les coins de cube de $4\,\mathrm{cm}$ du réseau renvoient la lumière avec l’étalement $\lambda/d$ : rayon de la tache sur Terre, fraction captée par le télescope, photons détectés par impulsion (prendre un rendement optique global de $0.1$ ).
Le temps d’aller-retour vaut environ $2.56\,\mathrm{s}$ , mesuré à $100\,\mathrm{ps}$ près : précision en distance par impulsion ; après $10^4$ retours ; comparer aux $3.8\,\mathrm{cm}$ par an dont la Lune s’éloigne.

Solution

Solution de Problème 23.1.

1. $1.96\,\mathrm{eV}$ , $4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ .

2. $0.05\,\mathrm{eV} \approx 1.5\,k_BT$ : l’agitation thermique fournit le petit déficit ; le transfert est quasi résonnant, donc efficace.

3. $\eu^{-20.66/0.0345} = \eu^{-600} \approx 10^{-260}$ : aucun ; seule la décharge alimente le niveau.

4. Le niveau inférieur se vide dix fois plus vite que le supérieur ne se désexcite : il est toujours presque vide — un schéma à quatre niveaux.

5. $v^* = \sqrt{2k_BT/m} = 580\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\nu v^*/c \approx 0.9\,\mathrm{GHz}$ ; la formule exacte donne $1.5\,\mathrm{GHz}$ .

6. $g_0 = 0.09\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\eu^{0.027}$ : $2.7\%$ par passage.

7. $g_{\text{th}} = -\ln(0.999 \times 0.99)/0.6 = 0.018\,\mathrm{m}^{-1}$ ; marge $5$ .

8. $500\,\mathrm{MHz}$ ; trois.

9. $P_{\text{in}} = 1\,\mathrm{mW}/0.01 = 100\,\mathrm{mW}$ ; $1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

10. Le gain sature à $g_{\text{th}}$ ; l’excédent devient des photons de sortie (et de l’émission spontanée, de la chaleur).

11. $1\,\mathrm{mW}/7.5\,\mathrm{W} = 1.3 \times 10^{-4}$ : l’essentiel de l’énergie des électrons va ailleurs que vers le métastable de l’hélium, et le photon emporte $1.96\,\mathrm{eV}$ des $20.66\,\mathrm{eV}$ investis.

12. $2 \times 0.072 \times 0.3 = 0.043$ ; $N = 0.1 \times 2 \times 10^{-9}/3.14 \times 10^{-19} = 6.4 \times 10^8$ ; $20.3/0.043 \approx 470$ allers-retours ; $0.9\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

13. $\delta\nu = \nu\,\delta L/L = 1.6\,\mathrm{GHz}$ : le mode traverse toute la courbe de gain — le laser saute sur un autre mode à moins que la longueur ne soit stabilisée.

14. La polarisation $p$ traverse une surface de Brewster sans réflexion ; la polarisation $s$ perd quelque $15\%$ par surface et n’atteint jamais le seuil : sortie polarisée rectilignement sans frais.

15. $z_{\text{R}} = 0.45\,\mathrm{m}$ ; $\theta = 6.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $w(10\,\mathrm{m}) = 6.7\,\mathrm{mm}$ : $13\,\mathrm{mm}$ de diamètre.

16. $2P/\pi w_0^2 = 7\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : sept soleils.

17. $w_0' = 34\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $5.6 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

18. $w_0' = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $5 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; la rétine supporte $1\,\mathrm{mW}$ pendant les $0.25\,\mathrm{s}$ du réflexe de défense — classe 2 : visible, $\le 1\,\mathrm{mW}$ , sans danger parce qu’on cligne.

19. $6.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ; $w_0 = 3\,\mathrm{mm}$ , $z_{\text{R}} = 45\,\mathrm{m}$ , $w(1\,\mathrm{km}) = 67\,\mathrm{mm}$ : $13\,\mathrm{cm}$ .

20. $c/\Delta\nu$ : $300\,\mathrm{m}$ ; $30\,\mathrm{cm}$ .

21. $2.7 \times 10^{17}$ ; $1\,\mathrm{GW}$ .

22. $1.8\,\mathrm{km}$ ; diffraction seule : $130\,\mathrm{m}$ .

23. $0.1/\pi(1800)^2 = 10^{-8}$ ; $2.6 \times 10^9$ photons.

24. $\lambda/d = 1.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ , $5\,\mathrm{km}$ ; $(0.5/5000)^2 = 10^{-8}$ : $25$ photons, deux ou trois détectés.

25. $1.5\,\mathrm{cm}$ ; $0.15\,\mathrm{mm}$ ; le recul se mesure en quelques semaines.

Termes définis dans ce chapitre

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