Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

4Écoulements visqueux

Penchez un pot de miel et il coule en un ruban lent et épais ; penchez un pot d’eau et elle a disparu. Traînez une cuillère dans chacun : le miel résiste, et résiste encore à toute vitesse ; l’eau y prend à peine garde tant que vous allez lentement, puis se met à tourbillonner. La différence est la viscosité — le frottement interne d’un fluide — et la lutte entre viscosité et inertie, résumée en un seul nombre, celui de Reynolds, décide si un écoulement rampe en couches ordonnées ou bascule dans la turbulence. Ce chapitre ajoute la force visqueuse à l’équation d’Euler, résout les deux écoulements laminaires dont se sert tout ingénieur, et explique pourquoi, à grand nombre de Reynolds, la viscosité se cache dans une mince couche à la paroi et coûte pourtant à chaque voiture, chaque navire et chaque avion l’essentiel de son carburant.

Le miel coule en un ruban mince et régulier qui s’enroule en arrivant : une viscosité dix mille fois celle de l’eau rend l’inertie sans objet — un écoulement rampant.

4.1 Viscosité et équation de Navier–Stokes

Définition 4.1 (Viscosité newtonienne)

Dans un écoulement de cisaillement plan $\vect v = v_x(y)\,\vect e_x$ , le fluide situé au-dessus d’une surface $y =$ const exerce sur le fluide situé au-dessous (à travers un élément de surface $\dd S$ ) la force tangentielle

\dd\vect F = \eta\,\frac{\dd v_x}{\dd y}\,\dd S\;\vect e_x ,

qui entraîne la couche la plus lente vers l’avant et est freinée en retour. La contrainte de cisaillement vaut $\tau = \eta\,\dd v_x/\dd y$ ; le coefficient $\eta$ (unité $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) est la viscosité dynamique du fluide, et $\nu = \eta/\rho$ ( $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) sa viscosité cinématique. Un fluide dont le $\eta$ ne dépend pas du taux de cisaillement est dit newtonien : l’eau, l’air, les huiles, l’alcool ; le sang, la peinture, le ketchup et les polymères fondus ne le sont pas. Ordres de grandeur à $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : air $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ( $\nu = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ), eau $1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ( $\nu = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ), huile d’olive $0.08\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , glycérol $1.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , miel $\sim10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ . Les liquides deviennent plus fluides quand on les chauffe, les gaz plus visqueux.

Proposition 4.2 (Densité de force visqueuse ; condition d’adhérence)

Dans l’écoulement de cisaillement plan, la force visqueuse résultante sur une tranche de fluide comprise entre $y$ et $y + \dd y$ vaut, par unité de volume, $\eta\,\dd^2v_x/\dd y^2$ : la viscosité agit comme une densité volumique de force $\eta\,\Delta\vect v$ (le laplacien pris composante par composante), résultat valable pour tout écoulement incompressible. À une paroi solide le fluide adhère : sa vitesse est celle de la paroi (la condition d’adhérence), ce qui explique que la poussière reste sur une pale de ventilateur et qu’une paroi subisse une traînée visqueuse.

Démonstration. La tranche est tirée par $\eta\,v_x'(y + \dd y)\dd S$ par le dessus et par $-\eta\,v_x'(y)\dd S$ par le dessous : au total $\eta v_x''\,\dd y\,\dd S$ . La forme générale est admise (elle résulte de l’écriture de la contrainte comme fonction linéaire symétrique des gradients de vitesse). La condition d’adhérence est expérimentale. ∎

Théorème 4.3 (Équation de Navier–Stokes)

Un fluide newtonien incompressible obéit à

\rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) \vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g + \eta\,\Delta\vect v , \qquad \operatorname{div}\vect v = 0 ,

avec la condition d’adhérence sur toute paroi. L’équation d’Euler en est le cas $\eta = 0$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

À gauche : l’écoulement de Couette plan entre une plaque fixe et une plaque qui se déplace à U — un profil linéaire, la même contrainte de cisaillement sur chaque couche. À droite : les forces visqueuses sur une tranche de fluide ; elles se compensent sauf si le profil de vitesse est courbe. — À gauche : l’écoulement de Couette plan entre une plaque fixe et une plaque qui se déplace à $U$ — un profil linéaire, la même contrainte de cisaillement sur chaque couche. À droite : les forces visqueuses sur une tranche de fluide ; elles se compensent sauf si le profil de vitesse est courbe.

Exemple 4.4 (Contrainte de cisaillement sur une table)

Un film d’huile de $0.1\,\mathrm{mm}$ ( $\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) entre une plaque et une table, la plaque glissant à $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\tau = \eta U/h = 1\,\mathrm{kPa}$ , soit une force de $100\,\mathrm{N}$ sur un dixième de mètre carré — c’est le principe du palier lubrifié, où la traînée visqueuse remplace un frottement sec cent fois plus grand. Du miel sur une cuillère, $10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , sur $1\,\mathrm{mm}$ d’épaisseur, qui s’écoule à $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : $\tau = 10\,\mathrm{Pa}$ , exactement le poids d’un millimètre de miel par unité d’aire — d’où cette vitesse d’écoulement.

4.2 Le nombre de Reynolds

Définition 4.5 (Nombre de Reynolds)

Pour un écoulement de vitesse caractéristique $U$ et de longueur caractéristique $L$ , le nombre de Reynolds

\mathrm{Re} = \frac{\rho UL}{\eta} = \frac{UL}{\nu}

est le rapport des ordres de grandeur du terme d’inertie $\rho(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v \sim \rho U^2/L$ et du terme visqueux $\eta\Delta\vect v \sim \eta U/L^2$ dans l’équation de Navier–Stokes. À $\mathrm{Re} \ll 1$ l’inertie est négligeable et l’écoulement est rampant (visqueux, réversible, régulier) ; à $\mathrm{Re} \gg 1$ la viscosité est négligeable sauf au voisinage des parois et l’écoulement est celui d’un fluide parfait — jusqu’à ce que, au-delà d’un seuil de l’ordre de $10^3$ (environ $2000$ à $3000$ dans une conduite, sur le diamètre), il devienne turbulent : non stationnaire, chaotique, plein de tourbillons à toutes les échelles. Entre les deux, un écoulement est laminaire : stationnaire et en couches.

Exemple 4.6 (Nombres de Reynolds d’écoulements courants)

Une bactérie ( $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dans l’eau) : $\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}$ — elle vit dans un monde sans inertie, où arrêter son flagelle l’arrête en un diamètre atomique. Le sang dans un capillaire : $10^{-3}$ ; un grain de poussière qui tombe : $10^{-2}$ ; un poisson rouge : $10^3$ ; un nageur : $10^6$ ; une voiture à $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $4\,\mathrm{m}$ ) : $8 \times 10^6$ ; un avion de ligne : $10^8$ ; le Gulf Stream : $10^{11}$ . Deux écoulements de même géométrie et de même nombre de Reynolds sont semblables : c’est ce qui permet d’essayer une maquette de $1\,\mathrm{m}$ de navire en bassin des carènes, ou un avion en soufflerie.

4.3 Écoulements laminaires : Couette, Poiseuille, Stokes

Proposition 4.7 (Écoulement de Poiseuille dans une conduite)

Dans une conduite cylindrique horizontale de rayon $R$ et de longueur $L$ , mise en mouvement par la différence de pression $\Delta P = P_1 - P_2$ entre ses extrémités, l’écoulement laminaire stationnaire est

v(r) = \frac{\Delta P}{4\eta L}\,(R^2 - r^2) , \qquad D_V = \frac{\pi R^4}{8\eta L}\,\Delta P :

un profil parabolique, maximal sur l’axe, de vitesse moyenne $\langle v\rangle = v_{\max}/2$ . Le débit est proportionnel à la chute de pression (loi de Poiseuille) avec la résistance hydraulique $R_h = \Delta P/D_V = 8\eta L/\pi R^4$ — et à la puissance quatrième du rayon. La contrainte de cisaillement à la paroi vaut $\tau_w = \Delta P\,R/2L = 4\eta\langle v \rangle/R$ . Valable tant que $\mathrm{Re} = 2R\langle v\rangle/\nu \lesssim 2000$ .

Démonstration. Stationnaire, $\vect v = v(r)\vect e_z$ (le terme convectif est donc nul : $\vect v \cdot\operatorname{\vect{grad}}$ agit selon $z$ , direction selon laquelle rien ne varie). Navier–Stokes selon $z$ : $0 = -\partial_zP + \eta\Delta v$ , et radialement $\partial_rP = 0$ : $P$ ne dépend que de $z$ , $\Delta v$ que de $r$ , donc les deux membres valent une constante, $\partial_zP = -\Delta P/L$ . En coordonnées cylindriques $\Delta v = \frac1r\frac{\dd}{\dd r}\bigl(r\frac{\dd v}{\dd r}\bigr)$ (énoncé ; c’est le bilan des forces visqueuses sur une coquille cylindrique, $2\pi rL\,\eta v'$ en $r$ et en $r + \dd r$ ). En intégrant deux fois avec $v$ fini sur l’axe et $v(R) = 0$ on obtient la parabole ; $D_V = \int_0^Rv\,2\pi r\,\dd r$ . La contrainte pariétale vaut $-\eta v'(R)$ ; de façon équivalente, la force de pression $\pi R^2\Delta P$ équilibre le frottement pariétal $2\pi RL\tau_w$ . ∎

À gauche : l’écoulement de Poiseuille — le profil parabolique dans une conduite, entretenu par la chute de pression P_1 - P_2. À droite : le bilan des forces sur une coquille cylindrique de fluide : la différence de pression sur ses bases est équilibrée par les contraintes visqueuses sur ses surfaces intérieure et extérieure. — À gauche : l’écoulement de Poiseuille — le profil parabolique dans une conduite, entretenu par la chute de pression $P_1 - P_2$ . À droite : le bilan des forces sur une coquille cylindrique de fluide : la différence de pression sur ses bases est équilibrée par les contraintes visqueuses sur ses surfaces intérieure et extérieure.

Exemple 4.8 (La puissance quatrième)

Une aiguille de seringue de diamètre intérieur $0.4\,\mathrm{mm}$ et de longueur $3\,\mathrm{cm}$ , de l’eau, une pression du pouce de $20\,\mathrm{kPa}$ : $D_V = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ ; une aiguille deux fois plus large en donne seize fois plus. Une artère rétrécie par une plaque à $70\%$ de son rayon offre $(1/0.7)^4 = 4.2$ fois sa résistance : le corps compense en élevant la pression en amont, ce qui explique en partie que l’athérosclérose et l’hypertension aillent de pair.

Proposition 4.9 (Force de Stokes)

Une sphère de rayon $R$ se déplaçant à la vitesse $v$ dans un fluide à $\mathrm{Re} = 2\rho vR/\eta \ll 1$ subit la traînée

F = 6\pi\eta Rv ,

opposée à sa vitesse. Une sphère de masse volumique $\rho_s$ tombant dans un fluide de masse volumique $\rho$ atteint la vitesse limite $v_\infty = \dfrac{2R^2(\rho_s - \rho)g}{9\eta}$ — c’est la loi de la sédimentation, des centrifugeuses et des gouttes d’huile de Millikan.

Démonstration. La traînée est admise (c’est la solution exacte des équations de l’écoulement rampant autour d’une sphère, aux deux tiers du frottement visqueux, au tiers de la pression). Vitesse limite : le poids diminué de la poussée d’Archimède, $\tfrac43\pi R^3(\rho_s - \rho)g$ , égale la traînée ; toujours vérifier $\mathrm{Re} \ll 1$ ensuite. ∎

Exemple 4.10 (Brouillard, pluie et poussière)

Une gouttelette de brouillard de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diamètre tombe dans l’air à $2 \times (5 \times 10^{-6})^2 \times 10^4/(9 \times 1.8 \times 10^{-5}) = 3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ( $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ) : le moindre courant ascendant la maintient en l’air, ce qui explique que les nuages flottent. Une goutte de pluie de $1\,\mathrm{mm}$ donnerait $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\mathrm{Re} \approx 2000$ : Stokes ne s’applique plus, et la traînée quadratique de la section suivante donne les $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ observés. Un grain de poussière de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $\rho_s = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) sédimente à $8\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , un mètre en deux minutes — une poussière plus fine reste en suspension des heures.

4.4 Grand nombre de Reynolds : couches limites et traînée

Proposition 4.11 (La couche limite)

À grand nombre de Reynolds, l’écoulement autour d’un corps est celui d’un fluide parfait partout, sauf dans une mince couche limite le long de la paroi, où la vitesse passe de sa valeur extérieure $U$ à zéro (adhérence). Le long d’une plaque plane son épaisseur croît comme

\delta(x) \sim \sqrt{\frac{\nu x}{U}} = \frac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}} , \qquad \mathrm{Re}_x = \frac{Ux}{\nu} ,

où $x$ est la distance au bord d’attaque ; la couche elle-même devient turbulente au-delà de $\mathrm{Re}_x \sim 5 \times 10^5$ . Le frottement visqueux sur la paroi, et le décollement de la couche derrière un corps émoussé (qui laisse un sillage turbulent de basse pression), sont les deux sources de traînée.

Démonstration. Ordre de grandeur : une particule de fluide met le temps $x/U$ à parcourir la plaque, pendant lequel l’influence de la paroi diffuse dans le fluide — le terme visqueux $\nu\,\partial^2v/\partial y^2$ est une diffusion de quantité de mouvement de diffusivité $\nu$ , qui atteint la distance $\sqrt{\nu t}$ en un temps $t$ (Chapitre 24). D’où $\delta \sim \sqrt{\nu x /U}$ . La théorie complète (celle de Prandtl) est admise. ∎

Proposition 4.12 (Traînée à grand nombre de Reynolds)

La traînée sur un corps de maître-couple $S$ se déplaçant à la vitesse $v$ dans un fluide s’écrit

F = \tfrac12\rho v^2\,S\,C_x ,

où le coefficient de traînée $C_x$ dépend de la forme et de $\mathrm{Re}$ . Pour une sphère, $C_x = 24/\mathrm{Re}$ à $\mathrm{Re} \ll 1$ (Stokes, avec $\mathrm{Re}$ construit sur le diamètre), puis environ $0.4$ – $0.5$ , presque constant, de $\mathrm{Re} \approx 10^3$ à $2 \times 10^5$ , où il chute brutalement à $0.1$ environ (la crise de traînée : la couche limite devient turbulente, adhère plus longtemps à la surface et le sillage se resserre — les alvéoles d’une balle de golf la déclenchent plus tôt). Les corps profilés ont $C_x \approx 0.05$ ; une voiture $0.3$ ; un cycliste $0.9$ ; une plaque plane face à l’écoulement $1.2$ . La puissance nécessaire pour aller à $v$ vaut $Fv \propto v^3$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

À gauche : le coefficient de traînée d’une sphère en fonction du nombre de Reynolds (échelles logarithmiques) : la loi de Stokes à faible Re, un plateau voisin de 0.45, et la crise de traînée vers Re = 2 × 105. À droite : la couche limite qui s’épaissit le long d’une plaque plane ; à l’extérieur l’écoulement est celui d’un fluide parfait. — À gauche : le coefficient de traînée d’une sphère en fonction du nombre de Reynolds (échelles logarithmiques) : la loi de Stokes à faible $\mathrm{Re}$ , un plateau voisin de $0.45$ , et la crise de traînée vers $\mathrm{Re} = 2 \times 10^5$ . À droite : la couche limite qui s’épaissit le long d’une plaque plane ; à l’extérieur l’écoulement est celui d’un fluide parfait.

Exemple 4.13 (Un cycliste, une voiture)

Un cycliste ( $SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$ ) à $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $F = 0.5 \times 1.2 \times 100 \times 0.35 = 21\,\mathrm{N}$ , $P = 210\,\mathrm{W}$ — un effort soutenable ; à $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) il faudrait $710\,\mathrm{W}$ , d’où l’intérêt de prendre la roue au sprint. Une voiture ( $SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$ ) à $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $550\,\mathrm{N}$ , $20\,\mathrm{kW}$ contre le seul air — la consommation sur autoroute est pour l’essentiel de la traînée.

Remarque 4.14 (Tension superficielle)

Une seconde force réside aux frontières d’un liquide : sa surface libre se comporte comme une membrane tendue de tension $\gamma$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; eau $0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ), parce qu’il manque aux molécules de surface la moitié de leurs voisines. La pression à l’intérieur d’une goutte de rayon $R$ dépasse la pression extérieure de la pression de Laplace $2\gamma/R$ ( $1.4\,\mathrm{kPa}$ dans une goutte de $0.1\,\mathrm{mm}$ , $14\,\mathrm{bar}$ dans une goutte de $10\,\mathrm{nm}$ ) ; la tension superficielle l’emporte sur la pesanteur en dessous de la longueur capillaire $\sqrt{\gamma/\rho g} = 2.7\,\mathrm{mm}$ pour l’eau — la taille des gouttes de rosée, du ménisque dans un verre, de l’ascension dans un tube capillaire ( $h = 2\gamma/\rho gr$ , loi de Jurin). C’est pourquoi de petits insectes marchent sur l’eau, pourquoi les poils d’un pinceau se collent quand il est mouillé, et pourquoi un jet liquide se brise en gouttes.

Méthode 4.15 (Quel régime ?)

Avant tout calcul d’écoulement visqueux, calculer $\mathrm{Re}$ . $\mathrm{Re} \ll 1$ : Stokes et écoulement rampant, traînée $\propto v$ , chutes de pression $\propto$ au débit. $\mathrm{Re}$ jusqu’à $\sim\!2000$ dans une conduite : laminaire, Poiseuille. Au-delà : turbulent — Poiseuille sous-estime gravement la perte ; utiliser la loi empirique $\Delta P = \lambda(L/D)\,\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$ avec $\lambda \approx 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$ pour les conduites lisses, et $F = \tfrac12\rho v^2SC_x$ pour les corps. Dans tous les cas, vérifier ensuite que le $\mathrm{Re}$ calculé à partir du résultat s’accorde avec le régime supposé.

4.5 Exercices

Exercice 4.1 ★

Une plaque de $0.50\,\mathrm{m}^{2}$ glisse à $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sur un film d’huile de $0.20\,\mathrm{mm}$ ( $\eta = 0.25\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ). Contrainte de cisaillement, force sur la plaque, puissance dissipée ; comparer au frottement sec ( $f = 0.3$ ) si la plaque pèse $10\,\mathrm{kg}$ .

Solution

Solution de Exercice 4.1.

$\tau = \eta U/h = 0.25 \times 2/2 \times 10^{-4} = 2.5\,\mathrm{kPa}$ ; $F = 1.25\,\mathrm{kN}$ ; $P = Fv = 2.5\,\mathrm{kW}$ . Frottement sec : $0.3 \times 98 = 29\,\mathrm{N}$ — ici le film mince, fortement cisaillé, résiste bien davantage ; la traînée visqueuse croît comme $U/h$ , de sorte que la lubrification est avantageuse aux vitesses plus faibles et avec des films plus épais (et elle ne grippe jamais).

Exercice 4.2 ★

Nombres de Reynolds de : (a) une bactérie de $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ à $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’eau ; (b) un nageur ( $1.8\,\mathrm{m}$ , $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) ; (c) une voiture ( $4\,\mathrm{m}$ , $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) dans l’air ; (d) le sang dans l’aorte ( $2.5\,\mathrm{cm}$ , $0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\nu = 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) ; (e) de l’huile ( $\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $\rho = 900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) à $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans une conduite de $1\,\mathrm{cm}$ . Régime de chacun.

Solution

Solution de Exercice 4.2.

(a) $2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-5}/10^{-6} = 6 \times 10^{-5}$ , rampant. (b) $1.8 \times 1.5/10^{-6} = 2.7 \times 10^6$ , turbulent. (c) $4 \times 30/1.5 \times 10^{-5} = 8 \times 10^6$ , turbulent. (d) $0.025 \times 0.33/3.3 \times 10^{-6} = 2500$ , laminaire à la limite. (e) $900 \times 0.5 \times 0.01/0.1 = 45$ , laminaire.

Exercice 4.3 ★

De l’eau est poussée à travers une aiguille de $0.40\,\mathrm{mm}$ (diamètre intérieur) et $3.0\,\mathrm{cm}$ sous $20\,\mathrm{kPa}$ . Débit ; temps pour injecter $5\,\mathrm{mL}$ ; vitesse maximale et nombre de Reynolds ; contrainte pariétale. Et avec une aiguille de $0.80\,\mathrm{mm}$ ?

Solution

Solution de Exercice 4.3.

$D_V = \pi R^4\Delta P/8\eta L = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ ; $12\,\mathrm{s}$ pour $5\,\mathrm{mL}$ . $v_{\max} = \Delta PR^2/ 4\eta L = 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\langle v\rangle = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 2R\langle v \rangle/\nu = 1300$ : laminaire. $\tau_w = \Delta PR/2L = 67\,\mathrm{Pa}$ . À $0.8\,\mathrm{mm}$ : seize fois le débit, $6.7\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ — mais $\mathrm{Re} \approx 10^4$ : l’écoulement devient turbulent et le gain est moindre.

Exercice 4.4 ★

Vitesses limites dans l’air ( $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) (a) d’un grain de pollen de $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $\rho_s = 1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), (b) d’une particule de fumée de $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $\rho_s = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), (c) d’une goutte de bruine de $0.2\,\mathrm{mm}$ . Vérifier $\mathrm{Re}$ dans chaque cas ; temps pour tomber de $1\,\mathrm{m}$ .

Solution

Solution de Exercice 4.4.

$v_\infty = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta$ . (a) $1.3\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 0.02$ , $75\,\mathrm{s}$ par mètre. (b) $0.24\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}$ , $70\,\mathrm{min}$ par mètre. (c) $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ mais $\mathrm{Re} = 16$ : Stokes surestime (vitesse réelle voisine de $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), environ une seconde par mètre.

Exercice 4.5 ★★

Une conduite d’eau de diamètre $30\,\mathrm{cm}$ transporte $0.10\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ sur $1.0\,\mathrm{km}$ . (a) Vitesse moyenne et nombre de Reynolds. (b) Chute de pression si la loi de Poiseuille s’appliquait. (c) Chute réelle avec $\lambda = 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$ ; rapport à (b) ; puissance de pompage. (d) Le même débit dans deux conduites parallèles de $21\,\mathrm{cm}$ (même section totale) : chute et puissance.

Solution

Solution de Exercice 4.5.

(a) $\langle v\rangle = 0.1/0.0707 = 1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 4.2 \times 10^5$ . (b) $8\eta LD_V/\pi R^4 = 500\,\mathrm{Pa}$ . (c) $\lambda = 0.3/25.5 = 0.0118$ , $\Delta P = 0.0118 \times 3333 \times 1000 = 39\,\mathrm{kPa}$ : $80$ fois plus ; $P = \Delta PD_V = 3.9\,\mathrm{kW}$ . (d) Même vitesse, $\mathrm{Re} = 3 \times 10^5$ , $\lambda = 0.0128$ , $\Delta P = 0.0128 \times 4717 \times 1000 = 60\,\mathrm{kPa}$ , $6\,\mathrm{kW}$ : plus de paroi par unité de débit, donc plus de perte.

Exercice 4.6 ★★

Des cellules de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diamètre et de masse volumique $1050\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ dans l’eau. (a) Vitesse de sédimentation sous la pesanteur ; temps pour parcourir $5\,\mathrm{cm}$ . (b) Dans une centrifugeuse à $1000\,g$ . (c) Vitesse de rotation minimale pour $1000\,g$ à $10\,\mathrm{cm}$ de rayon. (d) Pourquoi peut-on séparer d’abord les plus grosses particules ?

Solution

Solution de Exercice 4.6.

(a) $v = 2 \times 25 \times 10^{-12} \times 50 \times 9.81/(9 \times 10^{-3}) = 2.7\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $5\,\mathrm{cm}$ en $1.8 \times 10^4$ s, cinq heures. (b) $2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $18\,\mathrm{s}$ . (c) $\Omega = \sqrt{1000g/r} = 313\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3000\,\mathrm{rpm}$ . (d) $v \propto R^2$ : les grosses particules culottent les premières ; des passages successifs à vitesse croissante séparent les tailles.

Exercice 4.7 ★★

Un cycliste ( $SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$ , résistance au roulement $4\,\mathrm{N}$ ) roule à $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Traînée et puissance totale. (b) À $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) Contre un vent debout de $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de vitesse sol. (d) Prendre la roue réduit $C_x$ de $30\%$ : puissance économisée. (e) En descente à $5\%$ sans pédaler (masse $80\,\mathrm{kg}$ ) : vitesse limite.

Solution

Solution de Exercice 4.7.

(a) $F = 0.6 \times 144 \times 0.35 = 30\,\mathrm{N}$ , $+4\,\mathrm{N}$ : $P = 34 \times 12 = 410\,\mathrm{W}$ . (b) $47 + 4 = 51\,\mathrm{N}$ , $770\,\mathrm{W}$ . (c) Vitesse relative $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $61 + 4 = 65\,\mathrm{N}$ , multiplié par la vitesse sol : $780\,\mathrm{W}$ . (d) Traînée $21\,\mathrm{N}$ : $300\,\mathrm{W}$ , soit $110\,\mathrm{W}$ économisés. (e) $mg\sin\alpha = 39\,\mathrm{N} = 4 + 0.21v^2$ : $v = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Exercice 4.8 ★★

Traînée quadratique. (a) Vitesse limite d’une balle de golf ( $46\,\mathrm{g}$ , $43\,\mathrm{mm}$ , $C_x = 0.25$ ) et d’un parachutiste ( $80\,\mathrm{kg}$ , $SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$ , puis $25\,\mathrm{m}^{2}$ parachute ouvert). (b) Équation du mouvement pour une chute partant du repos avec traînée quadratique ; montrer que $v = v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$ . (c) Temps et distance pour que le parachutiste atteigne $90\%$ de $v_\infty$ .

Solution

Solution de Exercice 4.8.

(a) Golf : $\tfrac12\rho C_xS = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ , $v_\infty = \sqrt{0.45/2.2 \times 10^{-4}} = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; parachutiste $\sqrt{785/0.42} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; parachute $\sqrt{785/15} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $m\dot v = mg - kv^2$ , soit $\dot v = g(1 - v^2/v_\infty^2)$ , dont la solution partant du repos est $v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$ . (c) $\tanh x = 0.9$ pour $x = 1.47$ : $t = 1.47 \times 43/9.81 = 6.5\,\mathrm{s}$ ; $z = (v_\infty^2/g)\ln\cosh x = 190 \times 0.83 = 160\,\mathrm{m}$ .

Exercice 4.9 ★★

Viscosimètre de Couette. Un cylindre de rayon $5.0\,\mathrm{cm}$ et de hauteur $10\,\mathrm{cm}$ tourne à $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ à l’intérieur d’un cylindre fixe, l’entrefer de $1.0\,\mathrm{mm}$ étant rempli du liquide à étudier ; le couple nécessaire vaut $2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . (a) En traitant l’entrefer comme un écoulement de Couette plan, taux et contrainte de cisaillement. (b) Viscosité. (c) Nombre de Reynolds de l’écoulement dans l’entrefer ; l’écoulement est-il laminaire ? (d) Pourquoi fait-on l’entrefer mince ?

Solution

Solution de Exercice 4.9.

(a) Taux de cisaillement $\Omega R/e = 0.5/10^{-3} = 500\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\Gamma = \tau\cdot2\pi Rh \cdot R$ : $\tau = 0.02/(2\pi \times 2.5 \times 10^{-3} \times 0.1) = 12.7\,\mathrm{Pa}$ . (b) $\eta = 12.7/500 = 2.5 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ . (c) $\mathrm{Re} = \rho Ue/\eta \approx 1000 \times 0.5 \times 10^{-3}/0.025 = 20$ : laminaire. (d) Un entrefer mince rend le taux de cisaillement uniforme (approximation plane) et maintient l’écoulement laminaire.

Exercice 4.10 ★★★

Un réseau vasculaire. Le sang ( $\eta = 3.5\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$ ) s’écoule à $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ . (a) Résistance hydraulique de l’aorte (rayon $1.25\,\mathrm{cm}$ , longueur $40\,\mathrm{cm}$ ) et chute de pression le long de celle-ci. (b) Les $10^{10}$ capillaires (rayon $4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , longueur $1\,\mathrm{mm}$ ) sont en parallèle : résistance de l’un, de tous, et chute de pression aux bornes du lit capillaire. (c) Les artérioles ( $10^8$ , rayon $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , longueur $2\,\mathrm{mm}$ ) : mêmes questions ; où se situe la résistance de la circulation ? (d) La chute totale vaut $13\,\mathrm{kPa}$ : puissance du ventricule gauche, et quelle fraction des $100\,\mathrm{W}$ de l’organisme. (e) Un médicament dilate les artérioles de $10\%$ : effet sur la résistance totale.

Solution

Solution de Exercice 4.10.

$D_V = 8.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ . (a) $R_h = 8\eta L/\pi R^4 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 0.4/(\pi \times 2.4 \times 10^{-8}) = 1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ , $\Delta P = 12\,\mathrm{Pa}$ . (b) Un capillaire $3.5 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $10^{10}$ en parallèle : $3.5 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 290\,\mathrm{Pa}$ ( $2\,\mathrm{mmHg}$ ). (c) Une artériole $8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-3}/(\pi \times 10^{-20}) = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; l’ensemble : $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 1.5\,\mathrm{kPa}$ : les artérioles dominent les deux autres (c’est dans les petits vaisseaux, non dans les gros, que la pression chute). (d) $P = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$ , environ $1\%$ . (e) $(1/1.1)^4 = 0.68$ : un tiers de la résistance artériolaire supprimé — c’est ainsi que les vasodilatateurs abaissent la pression artérielle.

Exercice 4.11 ★★★

Couche limite et traînée de frottement. Une plaque plane de longueur $L$ et de largeur $b$ se déplace dans son plan à $U$ . En régime laminaire la contrainte pariétale vaut $\tau_w = 0.332\,\rho U^2/\sqrt{\mathrm{Re}_x}$ (Blasius). (a) Montrer que la force de frottement sur une face vaut $F = 0.664\,\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$ . (b) Épaisseur de couche limite au bord de fuite d’une plaque de $1\,\mathrm{m}$ dans l’eau à $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , et force sur une plaque de $1\,\mathrm{m}^{2}$ (les deux faces). (c) À $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\mathrm{Re}_L$ , et pourquoi la formule ne s’applique plus. (d) Coque d’un navire ( $100\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : estimation de l’épaisseur de couche limite à la poupe en admettant la loi turbulente $\delta \approx 0.37x/\mathrm{Re}_x^{1/5}$ .

Solution

Solution de Exercice 4.11.

(a) $F = b\int_0^L\tau_w\,\dd x = 0.332\rho U^2b\sqrt{\nu/U}\int_0^L\dd x/\sqrt x = 0.664\rho U^2b\sqrt{\nu L/U} = 0.664\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$ . (b) $\mathrm{Re}_L = 3 \times 10^5$ (laminaire) ; $\delta \approx 5\sqrt{\nu L/U} = 9\,\mathrm{mm}$ ; $F = 0.664 \times 1000 \times 0.09 \times 1/548 = 0.11\,\mathrm{N}$ par face, $0.22\,\mathrm{N}$ . (c) $\mathrm{Re}_L = 10^7$ : la couche est turbulente au-delà des premiers centimètres, la formule laminaire échoue (la traînée réelle est plusieurs fois plus grande). (d) $\mathrm{Re}_x = 10^9$ : $\delta \approx 0.37 \times 100/63 = 0.6\,\mathrm{m}$ .

Exercice 4.12 ★★★

Un film qui ruisselle. Un film liquide d’épaisseur $h$ s’écoule le long d’une paroi verticale sous la pesanteur, en régime stationnaire, l’air n’exerçant aucune contrainte sur sa surface libre. (a) Écrire Navier–Stokes pour $\vect v = v(y)\vect e_z$ ( $y$ étant la distance à la paroi, $z$ orienté vers le bas) et les conditions aux limites. (b) Montrer que $v(y) = \dfrac{\rho g}{2\eta}(2hy - y^2)$ et calculer le débit par unité de largeur $q = \rho gh^3/3\eta$ . (c) Une couche de peinture fraîche ( $\eta = 0.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $\rho = 1200\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) de $0.2\,\mathrm{mm}$ d’épaisseur : vitesse de surface et débit ; de combien la surface descend-elle en $10\,\mathrm{min}$ ? Pourquoi la peinture coule-t-elle si on l’applique trop épaisse ? (d) Du miel ( $\eta = 10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) sur $2\,\mathrm{mm}$ d’épaisseur sur une cuillère verticale : vitesse de surface.

Solution

Solution de Exercice 4.12.

(a) $0 = \rho g + \eta v''(y)$ , $v(0) = 0$ (adhérence), $v'(h) = 0$ (aucune contrainte à la surface libre). (b) On intègre deux fois : $v = (\rho g/2\eta)(2hy - y^2)$ ; $q = \int_0^hv\,\dd y = \rho gh^3/3\eta$ . (c) $v_s = \rho gh^2/2\eta = 1200 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-8}/1 = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $q = 6.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $28\,\mathrm{cm}$ en dix minutes — une peinture newtonienne de cette épaisseur coulerait entièrement ; les peintures réelles sont rhéofluidifiantes et thixotropes, et coulent malgré tout si elles sont trop épaisses puisque $v_s \propto h^2$ . (d) $1400 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-6}/20 = 2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ .

Une allée tourbillonnaire de von Kármán dans les nuages en aval d’une île, vue de l’espace : le sillage d’un cylindre à un nombre de Reynolds de quelques centaines, dessiné à l’échelle de la centaine de kilomètres (NASA).

4.6 Problème : le sang, le pétrole brut et la pluie

Problème 4.1

Problème du week-end — les mêmes lois visqueuses dans une artère, dans un oléoduc de mille kilomètres, et dans une goutte qui tombe

Partie I — Le sang. Sang : $\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 3.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ (traité comme newtonien) ; débit cardiaque $D_V = 5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ .

Aorte, rayon $1.25\,\mathrm{cm}$ : vitesse moyenne, nombre de Reynolds, régime.
Si l’écoulement dans l’aorte était celui de Poiseuille, que vaudraient la vitesse maximale et la contrainte pariétale ? (L’endothélium perçoit des contraintes de l’ordre de $1\,\mathrm{Pa}$ .)
Un capillaire, de rayon $4.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ , transporte le sang à $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : nombre de Reynolds ; chute de pression sur sa longueur de $1.0\,\mathrm{mm}$ , en pascals et en millimètres de mercure ( $1\,\mathrm{mmHg}$ = $133\,\mathrm{Pa}$ ).
Temps mis par un globule rouge pour traverser le capillaire ; pourquoi est-ce le bon ordre de grandeur pour les échanges gazeux ?
Artérioles (rayon $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , longueur $2.0\,\mathrm{mm}$ , $10^8$ en parallèle) : résistance de l’ensemble et chute de pression à ses bornes au débit cardiaque maximal.
La chute totale des artères aux veines vaut $13\,\mathrm{kPa}$ : puissance mécanique fournie par le ventricule gauche. Comparer à un organisme de $100\,\mathrm{W}$ .
Une sténose réduit de $40\%$ le rayon d’une artère coronaire sur une faible longueur : facteur d’augmentation de sa résistance ; pourquoi le muscle cardiaque en aval peut encore être alimenté au repos mais pas à l’effort.
Lors d’un effort intense le débit cardiaque atteint $25\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ : nombre de Reynolds dans l’aorte, et régime.
Le sang n’est pas newtonien : sa viscosité apparente diminue à fort taux de cisaillement et augmente à faible taux. Lequel des vaisseaux ci-dessus est le plus affecté, et dans quel sens ?

Partie II — L’oléoduc. Un oléoduc de pétrole brut : diamètre $D = 1.2\,\mathrm{m}$ , longueur $L = 1300\,\mathrm{km}$ , débit $D_V = 3.0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; pétrole $\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ maintenu chaud. Frottement turbulent : $\Delta P = \lambda (L/D)\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$ , $\lambda = 0.316/\mathrm{Re}^{1/4}$ .

Vitesse moyenne et nombre de Reynolds ; régime.
Chute de pression par kilomètre et sur toute la ligne.
La conduite supporte $80\,\mathrm{bar}$ : nombre minimal de stations de pompage le long de la ligne.
Puissance de pompage totale ; énergie par mètre cube de pétrole livré, comparée au contenu énergétique du pétrole ( $36\,\mathrm{GJ}/\mathrm{m}^{3}$ ).
Quelle chute la loi de Poiseuille prédirait-elle ? Commenter le coût de la turbulence (et pourquoi on injecte dans certains oléoducs des additifs polymères qui retardent la turbulence).
En hiver, non chauffé, le pétrole atteindrait $\eta = 2.0\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ : nouveau nombre de Reynolds et régime ; chute de pression sur la ligne avec la loi appropriée. Conclusion pour la conception (la ligne réelle est calorifugée et le pétrole maintenu chaud).
Temps de transit du pétrole d’un bout à l’autre.
Contrainte pariétale dans le cas chaud et turbulent, déduite de la chute de pression ; force de frottement totale sur la paroi.
Le même débit dans une conduite de $1.0\,\mathrm{m}$ : par quel facteur la chute de pression turbulente est-elle modifiée ?
Un grain de sable de $0.10\,\mathrm{mm}$ ( $\rho_s = 2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) est emporté par le pétrole chaud : vitesse de sédimentation de Stokes, nombre de Reynolds du grain, temps pour traverser la conduite. Comparer aux fluctuations turbulentes de vitesse, quelques pour cent de $\langle v \rangle$ : le sable sédimente-t-il dans l’oléoduc en service ? À l’arrêt ?

Partie III — Les gouttes. Air : $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ; eau $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

Gouttelette de nuage, diamètre $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : vitesse limite de Stokes, nombre de Reynolds, temps pour tomber de $1\,\mathrm{km}$ ; pourquoi le nuage subsiste.
Bruine, $0.20\,\mathrm{mm}$ : vitesse de Stokes et nombre de Reynolds ; Stokes est-il encore fiable ?
Goutte de pluie, $2.0\,\mathrm{mm}$ : montrer que Stokes échoue, et trouver la vitesse limite avec $C_x = 0.5$ . Temps pour tomber de $1\,\mathrm{km}$ .
Dans un courant ascendant de $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , la gouttelette de nuage monte-t-elle ou descend-elle ? Quel courant ascendant retiendrait la goutte de bruine ?
Pression de Laplace dans les trois gouttes ; comparer à la pression dynamique $\tfrac12\rho v_\infty^2$ pour chacune, et expliquer pourquoi les grosses gouttes de pluie s’aplatissent et se brisent au-delà de $5\,\mathrm{mm}$ environ.
Donner en un tableau, pour les huit écoulements de ce problème, le nombre de Reynolds et la loi qui le gouverne.

Solution

Solution de Problème 4.1.

1. $S = 4.9\,\mathrm{cm}^{2}$ , $\langle v\rangle = 83/4.9 = 0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1060 \times 0.17 \times 0.025/3.5 \times 10^{-3} = 1300$ : laminaire (les pointes pulsatiles atteignent $\sim 5000$ ).

2. $v_{\max} = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tau_w = 4\eta\langle v\rangle/R = 0.19\,\mathrm{Pa}$ .

3. $\mathrm{Re} = 1060 \times 3 \times 10^{-4} \times 8 \times 10^{-6}/3.5 \times 10^{-3} = 7 \times 10^{-4}$ ; $\Delta P = 8\eta L\langle v\rangle/R^2 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \times 3 \times 10^{-4}/1.6 \times 10^{-11} = 525\,\mathrm{Pa} = 3.9\,\mathrm{mmHg}$ .

4. $1/0.3 = 3.3\,\mathrm{s}$ : assez long pour que l’oxygène diffuse sur les quelques micromètres qui le séparent des tissus (Chapitre 24).

5. Une artériole $8\eta L/\pi R^4 = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $10^8$ en parallèle : $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 1.8 \times 10^7 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.5\,\mathrm{kPa} = 11\,\mathrm{mmHg}$ .

6. $P = \Delta P\,D_V = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$ , soit environ $1\%$ de la puissance de l’organisme.

7. $(1/0.6)^4 = 7.7$ . Au repos les vaisseaux en aval se dilatent et compensent ; à l’effort la demande quadruple ou quintuple et l’artère rétrécie ne peut la satisfaire : c’est l’angine de poitrine.

8. Cinq fois la vitesse : $\mathrm{Re} \approx 6500$ , turbulent — ce sont les souffles qu’entend un stéthoscope à l’effort.

9. Dans l’écoulement lent et peu cisaillé des petites veines et des capillaires les globules rouges s’agrègent et la viscosité apparente augmente (l’inverse dans l’aorte rapide) ; toutes les estimations de chute de pression pour les petits vaisseaux sont des bornes inférieures.

10. $\langle v\rangle = 3/1.13 = 2.65\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 850 \times 2.65 \times 1.2/0.02 = 1.35 \times 10^5$ : turbulent.

11. $\lambda = 0.316/19.2 = 0.0165$ ; $\Delta P/L = (0.0165/1.2) \times \tfrac12 \times 850 \times 7.0 = 41\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m} = 41\,\mathrm{kPa}/\mathrm{km}$ ; $534\,\mathrm{bar}$ sur la ligne.

12. $534/80 = 6.7$ : au moins sept stations.

13. $P = \Delta P\,D_V = 5.34 \times 10^7 \times 3 = 160\,\mathrm{MW}$ ; $53\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ , soit $0.15\%$ de l’énergie du pétrole.

14. $\Delta P = 32\eta L\langle v\rangle/D^2 = 32 \times 0.02 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 15\,\mathrm{bar}$ : trente-cinq fois moins. La turbulence coûte cher ; quelques parties par million de longs polymères la retardent et réduisent la chute de plusieurs dizaines de pour cent.

15. $\mathrm{Re} = 1350$ : laminaire ; Poiseuille : $\Delta P = 32 \times 2 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 1500\,\mathrm{bar}$ — impossible ; le pétrole doit être maintenu chaud, d’où le calorifugeage et le chauffage.

16. $1.3 \times 10^6/2.65 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.7\,\mathrm{jours}$ .

17. $\tau_w = (\Delta P/L)D/4 = 41 \times 0.3 = 12\,\mathrm{Pa}$ ; $F = \tau_w\pi DL = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{N}$ .

18. $\Delta P \propto \lambda\langle v\rangle^2/D \propto D^{-4.75}$ : $1.2^{4.75} = 2.4$ .

19. $v = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta = 2 \times 2.5 \times 10^{-9} \times 1800 \times 9.81/ 0.18 = 0.49\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ; $41\,\mathrm{min}$ pour traverser $1.2\,\mathrm{m}$ . Les fluctuations turbulentes de quelques centimètres par seconde le maintiennent en suspension tant que le pétrole circule ; à l’arrêt il sédimente en moins d’une heure.

20. $v = 2 \times 2.5 \times 10^{-11} \times 1000 \times 9.81/1.62 \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ; $1\,\mathrm{km}$ en $3.3 \times 10^5$ s, quatre jours : le moindre courant ascendant supérieur à quelques millimètres par seconde la maintient.

21. $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 16$ : Stokes surestime d’environ un facteur deux (réel : $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).

22. Stokes donnerait $120\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\mathrm{Re} \sim 10^4$ : absurde. Traînée quadratique, $\tfrac43\pi R^3\rho_wg = \tfrac12\rho v^2\pi R^2C_x$ : $v = \sqrt{8R \rho_wg/3\rho C_x} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\mathrm{Re} = 900$ , cohérent) ; $150\,\mathrm{s}$ depuis $1\,\mathrm{km}$ .

23. $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ $>$ $3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : la gouttelette monte ; la goutte de bruine demande environ $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , ce que fournissent les nuages convectifs.

24. $2\gamma/R$ : $29\,\mathrm{kPa}$ , $1.4\,\mathrm{kPa}$ , $144\,\mathrm{Pa}$ ; pressions dynamiques $\tfrac12\rho v^2$ : $5 \times 10^{-6}$ , $0.3$ et $26\,\mathrm{Pa}$ . Le rapport atteint $0.2$ à $2\,\mathrm{mm}$ ; à $5\,\mathrm{mm}$ ( $v \approx 9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\tfrac12\rho v^2 = 49\,\mathrm{Pa}$ contre $58\,\mathrm{Pa}$ ) la pression aérodynamique aplatit la goutte et la brise : aucune goutte de pluie ne dépasse $5\,\mathrm{mm}$ environ.

25. Aorte $10^3$ (laminaire, près de la transition) ; capillaire $10^{-3}$ (Poiseuille) ; artériole $10^{-2}$ (Poiseuille) ; oléoduc chaud $10^5$ (turbulent, $\lambda(\mathrm{Re})$ ) ; oléoduc froid $10^3$ (Poiseuille) ; sable dans le pétrole $10^{-3}$ (Stokes) ; gouttelette de nuage $10^{-3}$ (Stokes) ; goutte de pluie $10^3$ (traînée quadratique, $C_x \approx 0.5$ ).

Termes définis dans ce chapitre

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