Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

30L’équation de Schrödinger et les fonctions d’onde

Envoyez des électrons un par un sur une paire de fentes et notez où chacun atterrit : un point ici, un point là, apparemment au hasard — et après dix mille points, les franges de l’expérience d’Young, comme si chaque électron était passé par les deux fentes et avait interféré avec lui-même. Le dernier chapitre du volume de première année a rencontré cette étrangeté : la lumière vient par photons, la matière a une longueur d’onde $\lambda = h/p$ , et position et quantité de mouvement ne peuvent être nettes toutes deux. Ce qu’il n’a pas donné, c’est l’équation — la règle qui dit comment évolue l’onde associée à une particule, comme la loi de Newton dit comment évolue une trajectoire. Cette équation est celle de Schrödinger (1926), et avec elle la description quantique devient une théorie calculable : on écrit une fonction d’onde $\psi(x,t)$ , dont le module carré est la probabilité de trouver la particule, et on résout une équation aux dérivées partielles linéaire. Ce chapitre énonce l’équation, explique ce que $\psi$ signifie et ce qu’elle ne signifie pas, trouve ses états stationnaires et les paquets d’ondes de la particule libre, et montre où la mécanique de Newton réapparaît — pour tout ce qui est plus lourd qu’une molécule.

Un microscope électronique à transmission : des électrons accélérés sous cent kilovolts ont une longueur d’onde de quelques picomètres, et leur fonction d’onde, focalisée par des lentilles magnétiques, image les atomes d’un cristal.

30.1 Ce que le volume de première année nous a laissé

Proposition 30.1 (Les particules sont des ondes)

Un photon de fréquence $\nu$ a l’énergie $E = h\nu = \hbar\omega$ et la quantité de mouvement $p = h/\lambda = \hbar k$ ; une particule matérielle de quantité de mouvement $p$ se comporte comme une onde de longueur d’onde $\lambda = h/p$ (de Broglie), avec $E = \hbar\omega$ et $p = \hbar k$ également — la diffraction des électrons par les cristaux, l’interférométrie de neutrons et même de molécules le confirment ; et aucun état ne peut avoir une position et une quantité de mouvement plus nettes que $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ (Heisenberg). Avec $\hbar = h/2\pi = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ : un électron à $100\,\mathrm{eV}$ a $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$ , la taille d’un atome ; un grain de poussière de $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ à $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ a $\lambda = 7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ , plus petit qu’un noyau — il se comporte classiquement.

Démonstration. Rappelé du volume de première année ; la tâche est maintenant la dynamique de l’onde. ∎

Une figure de diffraction électronique enregistrée dans un microscope électronique (une figure de Kikuchi obtenue sur un cristal) : des électrons de quelques picomètres de longueur d’onde, diffractés par les plans atomiques — la matière se comportant comme une onde (NIST).

30.2 La fonction d’onde

Définition 30.2 (Fonction d’onde et règle de Born)

L’état d’une particule se déplaçant selon $x$ est décrit par une fonction d’onde complexe $\psi(x,t)$ telle que

\dd\mathcal P = |\psi(x,t)|^2\,\dd x

soit la probabilité de trouver la particule entre $x$ et $x + \dd x$ à l’instant $t$ (règle de Born) ; d’où la normalisation $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^2\dd x = 1$ , et les valeurs moyennes $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2\dd x$ , $\Delta x^2 = \langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2$ . Les fonctions d’onde obéissent au principe de superposition : si $\psi_1$ et $\psi_2$ sont des états possibles, $\alpha\psi_1 + \beta\psi_2$ l’est aussi (une fois normalisé), et les probabilités contiennent alors le terme d’interférence $2\operatorname{Re}(\alpha^*\beta\,\psi_1^*\psi_2)$ . Un facteur de phase global $\eu^{\iu\theta}$ ne change rien ; une phase relative entre deux composantes superposées change l’interférence.

Remarque 30.3 (Ce que $\psi$ n’est pas)

$\psi$ n’est pas un champ classique étalé dans l’espace comme $\vect E$ , ni un nuage de matière : l’électron est toujours trouvé entier, en un point. $\psi$ est une amplitude de probabilité, l’objet qui interfère ; seul $|\psi|^2$ s’observe, et seulement statistiquement, en répétant l’expérience sur des particules préparées à l’identique. Les points des fentes d’Young sont des électrons uniques ; les franges sont $|\psi_1 + \psi_2|^2$ .

30.3 L’équation de Schrödinger

Théorème 30.4 (Équation de Schrödinger)

Une particule de masse $m$ dans l’énergie potentielle $V(x)$ a une fonction d’onde qui obéit à

\iu\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi .

Elle est linéaire (superposition), du premier ordre en temps (la fonction d’onde à un instant la détermine à tout instant ultérieur), et complexe ( $\psi$ ne peut être réelle : le $\iu$ est essentiel). C’est un postulat, justifié par ses conséquences.

Démonstration. Une motivation plutôt qu’une démonstration. Une particule libre de quantité de mouvement nette $p = \hbar k$ et d’énergie $E = \hbar\omega$ devrait être une onde plane $\psi = A\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ , pour laquelle $\iu\hbar\partial_t\psi = \hbar\omega\psi = E\psi$ et $-(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi = (\hbar^2k^2/2m)\psi = (p^2/2m)\psi$ . La relation classique $E = p^2/2m$ est ainsi reproduite par l’équation $\iu\hbar\partial_t\psi = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi$ , et la généralisation naturelle pour $E = p^2/2m + V$ ajoute $V\psi$ . Remarquons que l’équation doit être linéaire pour valoir sur des superpositions d’ondes planes, et du premier ordre en temps avec un $\iu$ pour que $\eu^{-\iu\omega t}$ et non $\cos\omega t$ soit la dépendance temporelle — une équation d’onde réelle donnerait $E^2 \propto p^4$ . ∎

Proposition 30.5 (Conservation de la probabilité)

La densité de probabilité $\rho = |\psi|^2$ et le courant de probabilité

j = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big) = \frac{\hbar}{2\iu m}\Big(\psi^*\partial_x\psi - \psi\,\partial_x\psi^*\Big)

obéissent à $\partial_t\rho + \partial_xj = 0$ : la probabilité n’est ni créée ni détruite, et $\int|\psi|^2\dd x$ reste égal à $1$ . Pour une onde plane $A\eu^{\iu kx}$ , $j = |A|^2\hbar k/m = \rho v$ : densité fois vitesse, comme pour tout écoulement.

Démonstration. $\partial_t(\psi^*\psi) = \psi^*\partial_t\psi + \psi\,\partial_t\psi^*$ ; à partir de l’équation et de sa conjuguée, $\partial_t\psi = (\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi - (\iu/\hbar)V\psi$ , $\partial_t\psi^* = -(\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi^* + (\iu/\hbar)V\psi^*$ ; les termes en $V$ se compensent et le reste vaut $(\iu\hbar/2m)(\psi^* \partial_x^2\psi - \psi\,\partial_x^2\psi^*) = -\partial_xj$ . ∎

Proposition 30.6 (Quantité de mouvement, valeurs moyennes et limite classique)

La quantité de mouvement d’un état s’obtient par l’opérateur $\hat p = -\iu\hbar\,\partial_x$ (qui donne $\hbar k$ sur une onde plane) : $\langle p\rangle = \int\psi^*(-\iu\hbar\partial_x\psi)\dd x$ , et l’énergie par $\hat H = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2 + V$ . Les valeurs moyennes obéissent (Ehrenfest) à

\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t} = \frac{\langle p\rangle}{m}, \qquad \frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t} = -\Big\langle\frac{\dd V}{\dd x}\Big\rangle :

le centre du paquet d’ondes suit exactement la loi de Newton quand $V$ est au plus quadratique, et approximativement dès que le paquet est étroit devant l’échelle sur laquelle $V$ varie — la limite classique, valable pour tout objet macroscopique parce que $\hbar$ est si petit.

Démonstration. Dériver $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2$ , utiliser $\partial_t\rho = -\partial_xj$ et intégrer par parties : $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int j\,\dd x = \langle p\rangle/m$ . La seconde relation est le même calcul un ordre plus haut (admis ici). ∎

30.4 États stationnaires

Théorème 30.7 (États stationnaires)

Si $V$ ne dépend pas du temps, l’équation a des solutions de la forme séparée

\psi(x,t) = \varphi(x)\,\eu^{-\iu Et/\hbar}, \qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\,\varphi'' + V\varphi = E\varphi

(l’équation de Schrödinger indépendante du temps) : les états stationnaires, d’énergie bien définie $E$ , dont la densité de probabilité $|\varphi|^2$ ne bouge pas. Les énergies $E$ pour lesquelles $\varphi$ est acceptable (bornée, normalisable pour un état lié) sont les niveaux d’énergie ; la solution générale est une superposition $\psi = \sum_nc_n\varphi_n(x)\eu^{-\iu E_nt/\hbar}$ , et une superposition de deux niveaux a une densité qui oscille à la fréquence de Bohr $\nu_{21} = (E_2 - E_1)/h$ — la fréquence de la lumière que l’atome émet ou absorbe.

Démonstration. Insérons $\varphi(x)f(t)$ : $\iu\hbar f'/f = (-\hbar^2\varphi''/2m + V\varphi)/\varphi$ , une fonction de $t$ égale à une fonction de $x$ , donc une constante $E$ ; $f = \eu^{-\iu Et/\hbar}$ . Pour deux niveaux, $|c_1\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + c_2\varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar}|^2 = |c_1\varphi_1|^2 + |c_2\varphi_2|^2 + 2\operatorname{Re}(c_1^*c_2\varphi_1^*\varphi_2\eu^{-\iu(E_2 - E_1)t/\hbar})$ . La complétude des états stationnaires est admise. ∎

Un état stationnaire : le profil spatial (x) (ici l’état fondamental d’un puits) multiplié par un phaseur tournant au rythme E/ ; parties réelle et imaginaire tournent l’une dans l’autre tandis que | |2 reste immobile. — Un état stationnaire : le profil spatial $\varphi(x)$ (ici l’état fondamental d’un puits) multiplié par un phaseur tournant au rythme $E/\hbar$ ; parties réelle et imaginaire tournent l’une dans l’autre tandis que $|\psi|^2$ reste immobile.

Une superposition des deux états les plus bas d’un puits : la densité ballotte d’un côté à l’autre à la fréquence de Bohr (E_2 - E_1)/h — une charge oscillante, donc () un dipôle rayonnant exactement à la fréquence de la raie spectrale. — Une superposition des deux états les plus bas d’un puits : la densité ballotte d’un côté à l’autre à la fréquence de Bohr $(E_2 - E_1)/h$ — une charge oscillante, donc (Chapitre 17) un dipôle rayonnant exactement à la fréquence de la raie spectrale.

30.5 La particule libre : ondes planes et paquets d’ondes

Proposition 30.8 (Particule libre)

Pour $V = 0$ les états stationnaires sont les ondes planes $\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ avec

E = \hbar\omega = \frac{\hbar^2k^2}{2m}, \qquad v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m}, \qquad v_{\text{g}} = \frac{\dd\omega}{\dd k} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m} :

les ondes de matière sont dispersives ; la vitesse de phase n’a pas de sens physique, la vitesse de groupe est la vitesse de la particule. Une onde plane n’est pas normalisable — une particule de quantité de mouvement parfaitement nette est étalée sur tout l’espace — de sorte qu’une particule réelle est un paquet d’ondes, une superposition d’ondes planes sur une bande $\Delta k$ , localisée sur $\Delta x \sim 1/\Delta k$ , se déplaçant à $v_{\text{g}}$ et s’étalant : un paquet gaussien de largeur initiale $\sigma_0$ a à l’instant $t$ la largeur

\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \Big(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\Big)^2}, \qquad \tau = \frac{2m\sigma_0^2}{\hbar} ,

et vérifie $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ en $t = 0$ (le minimum permis) et davantage ensuite.

Démonstration. La relation de dispersion découle de l’équation ; $v_{\text{g}}$ comme au Chapitre 8. La formule d’étalement vient de la synthèse de Fourier du paquet — chaque composante $\eu^{\iu kx}$ prend la phase $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$ , et l’intégrale gaussienne à coefficient complexe donne une gaussienne de largeur croissante ; l’intégrale de Fourier est l’outil du volume de mathématiques de troisième année et nous en admettons le résultat. Physiquement : le paquet contient des quantités de mouvement étalées sur $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$ , donc des vitesses étalées sur $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ , et après $t$ les composantes rapides ont distancé les lentes de $\Delta v\,t$ — la formule dit exactement cela. ∎

À gauche : la courbe de dispersion de la particule libre, avec la vitesse de groupe (tangente) et la vitesse de phase (corde à l’origine), sa moitié. À droite : un paquet gaussien se déplaçant à v_ g et s’étalant — sa largeur √2 fois plus grande après = 2m _02/, son sommet plus bas, son aire constante. — À gauche : la courbe de dispersion de la particule libre, avec la vitesse de groupe (tangente) et la vitesse de phase (corde à l’origine), sa moitié. À droite : un paquet gaussien se déplaçant à $v_{\text{g}}$ et s’étalant — sa largeur $\sqrt2$ fois plus grande après $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ , son sommet plus bas, son aire constante.

Exemple 30.9 (Qui s’étale)

Un électron localisé dans $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — après une nanoseconde son paquet est large de $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ : un électron laissé seul ne reste pas en place ; lié dans un atome il ne s’étale pas parce que le potentiel le retient (un état stationnaire). Un grain de poussière de $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ localisé à $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $\tau = 2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , huit mois ; une balle de fusil : plus que l’âge de l’univers. L’étalement quantique est réel, et invisible pour tout ce qu’on peut voir.

Remarque 30.10 (Énergie et temps)

Un état qui n’existe que pendant $\Delta t$ — un atome excité de durée de vie $\tau$ , un train d’ondes de longueur $c\tau$ — est une superposition d’énergies étalées sur $\Delta E \sim \hbar/\Delta t$ : la relation de Fourier du Chapitre 18 entre la durée d’un train et sa largeur spectrale, appliquée maintenant à $E = \hbar\omega$ . Un niveau atomique de durée de vie $10\,\mathrm{ns}$ a une largeur $\Delta E = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ , une largeur naturelle de raie de $16\,\mathrm{MHz}$ ; la largeur Doppler du Chapitre 23 ( $1.5\,\mathrm{GHz}$ ) la masque dans un gaz, mais non dans un atome froid ou un ion au repos.

Méthode 30.11 (Travailler avec les fonctions d’onde)

(1) Normaliser ; les probabilités sont $\int|\psi|^2$ sur la région. (2) $V$ indépendant du temps : chercher $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ , résoudre l’équation stationnaire, imposer les conditions aux limites — les niveaux. (3) Superposer des états stationnaires pour l’évolution ; deux niveaux battent à $(E_2 - E_1)/h$ . (4) Mouvement libre : $v_{\text{g}} = p/m$ , temps d’étalement $2m\sigma_0^2/\hbar$ . (5) Courants : $j = (\hbar/m)\operatorname{Im}(\psi^*\psi')$ ; pour $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$ , $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (pas de terme croisé). (6) Limite classique : Ehrenfest, et $\lambda$ face à la taille du dispositif.

30.6 Exercices

Exercice 30.1 ★

Longueurs d’onde de de Broglie : un électron à $100\,\mathrm{eV}$ , $10\,\mathrm{keV}$ , $100\,\mathrm{keV}$ (utiliser $p = \sqrt{2mE}$ , puis dire pourquoi la dernière demande une correction) ; un neutron thermique ( $25\,\mathrm{meV}$ , $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ) ; une molécule de C $_{60}$ ( $m = 1.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}$ ) à $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; une balle de tennis. Lesquels montrent des interférences ?

Solution

Solution de Exercice 30.1.

$h/\sqrt{2mE}$ : $0.123\,\mathrm{nm}$ , $12.3\,\mathrm{pm}$ , $3.9\,\mathrm{pm}$ (à $100\,\mathrm{keV}$ l’énergie cinétique vaut le cinquième de $mc^2$ ; la quantité de mouvement relativiste donne $3.7\,\mathrm{pm}$ ) ; neutron $0.18\,\mathrm{nm}$ ; C $_{60}$ $2.8\,\mathrm{pm}$ ; balle de tennis $\sim 10^{-34}\,\mathrm{m}$ . Tous sauf la balle ont montré des interférences.

Exercice 30.2 ★

$\psi(x) = A\eu^{-x^2/2a^2}$ : $A$ (utiliser $\int\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$ ) ; $\langle x\rangle$ , $\Delta x$ ; probabilité de trouver la particule dans $|x| < a$ ( $\operatorname{erf}(1) = 0.84$ ) et dans $|x| < 2a$ ( $0.9995$ ).

Solution

Solution de Exercice 30.2.

$A = (\pi a^2)^{-1/4}$ ; $\langle x\rangle = 0$ , $\Delta x = a/\sqrt2$ ; $0.84$ ; $0.9995$ .

Exercice 30.3 ★

Vérifier que $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ résout l’équation quand $\varphi$ résout la stationnaire. Fréquence du phaseur pour $E = 1\,\mathrm{eV}$ ; pour une superposition de deux niveaux distants de $2\,\mathrm{eV}$ , fréquence et longueur d’onde de l’oscillation de $|\psi|^2$ — et de la lumière émise.

Solution

Solution de Exercice 30.3.

La substitution donne $E\varphi = -(\hbar^2/2m)\varphi'' + V\varphi$ . $E/h = 2.4 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $4.8 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $620\,\mathrm{nm}$ : la lumière rouge qu’émet la transition.

Exercice 30.4 ★

Temps d’étalement $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ et largeur après $1\,\mathrm{ns}$ et $1\,\mathrm{s}$ : un électron avec $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ et $\sigma_0 = 1\,\mathrm{mm}$ ; un proton avec $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ ; un grain de $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ avec $\sigma_0 = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Pourquoi les objets restent-ils là où on les pose ?

Solution

Solution de Exercice 30.4.

Électron, $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ après $1\,\mathrm{ns}$ , $60\,\mathrm{km}$ après $1\,\mathrm{s}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ : $\tau = 17\,\mathrm{s}$ , inchangé après $1\,\mathrm{ns}$ , $+0.2\%$ après $1\,\mathrm{s}$ ; proton, $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ , $30\,\mathrm{nm}$ , $30\,\mathrm{m}$ ; grain : $\tau = 600$ ans. Pour les objets visibles $\tau$ est astronomique — et leur entourage ne cesse de les localiser.

Exercice 30.5 ★★

Courant. (a) Établir l’équation de continuité. (b) $j$ pour $A\eu^{\iu kx}$ , pour $A\sin kx$ , pour $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$ . (c) Pourquoi l’absence de terme croisé dans le dernier cas revient-elle à dire que les flux réfléchi et incident se soustraient simplement ? (d) Montrer que pour une fonction d’onde réelle $j = 0$ : un état stationnaire lié ne porte aucun courant.

Solution

Solution de Exercice 30.5.

(a) Proposition 30.5. (b) $|A|^2\hbar k/m$ ; $0$ ; $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ . (c) Les flux incident et réfléchi se soustraient sans terme d’interférence : les coefficients de transmission et de réflexion se définissent à partir des flux. (d) $\psi^*\psi'$ est réel, sa partie imaginaire est nulle.

Exercice 30.6 ★★

Un paquet gaussien. $\psi(x,0) = A\eu^{\iu k_0x}\eu^{-x^2/4\sigma^2}$ . (a) $A$ , $\langle x\rangle$ , $\Delta x$ . (b) $\langle p\rangle$ avec $\hat p = -\iu\hbar\partial_x$ . (c) En admettant $\Delta p = \hbar/2\sigma$ , vérifier $\Delta x\Delta p = \hbar/2$ . (d) Démontrer $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m$ à partir de l’équation de continuité.

Solution

Solution de Exercice 30.6.

(a) $A = (2\pi\sigma^2)^{-1/4}$ , $\langle x\rangle = 0$ , $\Delta x = \sigma$ . (b) $\hbar k_0$ . (c) $\sigma \times \hbar/2\sigma = \hbar/2$ . (d) $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\, \partial_t\rho = -\int x\,\partial_xj = \int j = (\hbar/m)\operatorname{Im}\int\psi^* \psi' = \langle p\rangle/m$ .

Exercice 30.7 ★★

Des électrons dans un tube. Des électrons accélérés sous $100\,\mathrm{V}$ traversent $30\,\mathrm{cm}$ . (a) Vitesse, longueur d’onde, temps de vol. (b) Vitesses de phase et de groupe ; laquelle est celle de l’électron ? (c) Un paquet initialement large de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : temps d’étalement, largeur à l’arrivée. (d) Diffraction par une ouverture de $0.3\,\mathrm{mm}$ en chemin : étalement angulaire et tache sur l’écran. L’image des rayons est-elle valable ?

Solution

Solution de Exercice 30.7.

(a) $5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $0.123\,\mathrm{nm}$ , $51\,\mathrm{ns}$ . (b) $v_\varphi = 3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_{\text{g}} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : la seconde. (c) $\tau = 1.7\,\text{µ}\mathrm{s} \gg 51\,\mathrm{ns}$ : inchangé. (d) $\lambda/a = 4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ , $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : les rayons conviennent.

Exercice 30.8 ★★

Phases. (a) Montrer que $\psi$ et $\eu^{\iu\theta}\psi$ donnent les mêmes prédictions. (b) Pour $\psi = (\psi_1 + \eu^{\iu\alpha}\psi_2)/\sqrt2$ , écrire $|\psi|^2$ et montrer que $\alpha$ compte. (c) Dans les fentes d’Young, que sont $\psi_1$ et $\psi_2$ , et qu’est-ce qui fixe leur phase relative en un point de l’écran ? (d) Pourquoi détecter par quelle fente l’électron est passé détruit-il les franges (qualitativement) ?

Solution

Solution de Exercice 30.8.

(a) $|\psi|^2$ et toute valeur moyenne sont inchangés. (b) $\tfrac12(|\psi_1|^2 + |\psi_2|^2) + \operatorname{Re}(\eu^{\iu\alpha}\psi_1^*\psi_2)$ . (c) Les ondes issues des deux fentes ; leur phase relative vaut $k(r_2 - r_1)$ . (d) Le détecteur finit dans des états différents selon le chemin ; les deux composantes n’interfèrent plus, et la figure est la somme de deux figures de fente unique.

Exercice 30.9 ★★

Ehrenfest. (a) Pour $V = \tfrac12m\omega^2x^2$ , montrer que $\langle x\rangle$ obéit exactement à $\ddot{\langle x\rangle} = -\omega^2\langle x\rangle$ . (b) Pour $V = mgx$ , $\langle x\rangle$ tombe comme une pierre. (c) Pour un $V$ général, quand a-t-on $\langle V'(x)\rangle \approx V'(\langle x\rangle)$ ? (d) Une bille de $1\,\mathrm{g}$ dans une cuvette : estimer la taille de paquet qu’il lui faudrait pour être « quantique » et comparer à un atome.

Solution

Solution de Exercice 30.9.

(a) $\langle V'\rangle = m\omega^2\langle x\rangle$ : exact. (b) $\langle V'\rangle = mg$ : exact. (c) Quand le paquet est étroit devant l’échelle sur laquelle $V''$ varie. (d) Sa longueur d’onde à $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vaut $10^{-29}\,\mathrm{m}$ ; le paquet devrait être aussi large que la cuvette pour compter. La longueur d’onde thermique d’un atome, $0.1\,\mathrm{nm}$ , est sa propre taille.

Exercice 30.10 ★★★

Ballottement. Dans une boîte $0 < x < L$ à parois impénétrables les états stationnaires sont $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ , $E_n = n^2h^2/8mL^2$ (Chapitre 31). Prenons $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/\sqrt2$ . (a) $|\psi|^2$ en fonction du temps. (b) Montrer $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ (utiliser $\int_0^L x\sin(\pi x/L)\sin(2\pi x/L)\dd x = -8L^2/9\pi^2$ ). (c) Électron, $L = 1\,\mathrm{nm}$ : $E_2 - E_1$ , la fréquence et la longueur d’onde de l’oscillation. (d) Que fait une charge oscillante (Chapitre 17) ? Conclure sur les raies spectrales.

Solution

Solution de Exercice 30.10.

(a) $\tfrac12(\varphi_1^2 + \varphi_2^2) + \varphi_1\varphi_2\cos\omega_{21}t$ . (b) $L/2 + \cos\omega_{21}t\int x\varphi_1\varphi_2 = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ . (c) $3h^2/8mL^2 = 1.13\,\mathrm{eV}$ , $2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Il rayonne à $\nu_{21}$ : la raie ; un état stationnaire pur n’a pas de dipôle oscillant et ne rayonne pas.

Exercice 30.11 ★★★

L’étalement, établi. Le paquet $\psi(x,0) \propto \eu^{-x^2/4\sigma_0^2}$ est la superposition $\int g(k)\eu^{\iu kx}\dd k$ avec $g(k) \propto \eu^{-\sigma_0^2k^2}$ (admis : la transformée de Fourier d’une gaussienne est une gaussienne, de largeur $1/2\sigma_0$ en $k$ ). (a) Écrire $\psi(x,t)$ en donnant à chaque composante sa phase $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$ . (b) Compléter le carré dans l’exposant et admettre $\int\eu^{-\alpha k^2 + \beta k}\dd k = \sqrt{\pi/\alpha}\, \eu^{\beta^2/4\alpha}$ pour $\alpha$ complexe de partie réelle positive : montrer que $|\psi|^2$ est une gaussienne de largeur $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m \sigma_0^2)^2}$ . (c) Interpréter $\tau$ par $\Delta v = \Delta p/m$ . (d) Pourquoi un paquet de photons dans le vide ne s’étale-t-il pas ?

Solution

Solution de Exercice 30.11.

(a) $\psi \propto \int\eu^{-\sigma_0^2k^2}\eu^{\iu(kx - \hbar k^2t/2m)}\dd k$ . (b) $\alpha = \sigma_0^2 + \iu\hbar t/2m$ , $\beta = \iu x$ : $|\psi|^2 \propto \exp[-x^2/2\sigma_0^2(1 + (\hbar t/2m\sigma_0^2)^2)]$ . (c) $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ , et $\Delta v\,\tau = \sigma_0$ . (d) $\omega = ck$ : pas de dispersion, toutes les composantes à $c$ .

Exercice 30.12 ★★★

Énergie–temps. (a) Un état décroissant comme $\eu^{-t/2\tau}\eu^{-\iu E_0t/\hbar}$ (probabilité $\eu^{-t/\tau}$ ) est une superposition d’énergies : en admettant que sa distribution en énergie est une lorentzienne de largeur totale $\Gamma = \hbar/\tau$ , donner $\Gamma$ pour $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ (atome), $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ , $1 \times 10^{-23}\,\mathrm{s}$ (une résonance hadronique, en MeV). (b) Largeur naturelle du niveau de $10\,\mathrm{ns}$ en fréquence ; comparer à la largeur Doppler $1.5\,\mathrm{GHz}$ . (c) Comment voit-on la largeur naturelle (atomes froids, ions piégés) ? (d) La relier à la longueur de cohérence du train d’ondes émis.

Solution

Solution de Exercice 30.12.

(a) $\Gamma = \hbar/\tau$ : $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ; $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ; $66\,\mathrm{MeV}$ . (b) $1/2\pi\tau = 16\,\mathrm{MHz}$ , cent fois moins que le Doppler. (c) Dans les atomes froids et les ions piégés la largeur Doppler disparaît et la largeur naturelle est atteinte — la base des étalons de fréquence. (d) $c\tau = 3\,\mathrm{m}$ , la longueur du train.

30.7 Problème : l’électron dans un tube et l’étalement d’un paquet d’ondes

Problème 30.1

Problème du week-end — quand un électron est-il une particule, quand une onde

Données : $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ .

Partie I — Le tube cathodique. Des électrons quittent une cathode chaude avec une énergie négligeable, sont accélérés sous $U = 20\,\mathrm{kV}$ , passent une ouverture de $0.3\,\mathrm{mm}$ , et frappent un écran à $40\,\mathrm{cm}$ .

Vitesse et quantité de mouvement (non relativistes) ; longueur d’onde de de Broglie.
L’énergie cinétique vaut $4\%$ de $mc^2$ : le traitement non relativiste est-il acceptable pour ce problème ?
Temps de vol jusqu’à l’écran.
Diffraction par l’ouverture : étalement angulaire $\sim\lambda/a$ et tache produite sur l’écran ; comparer à un pixel ( $0.3\,\mathrm{mm}$ ).
Heisenberg à l’ouverture : $\Delta p_y \gtrsim \hbar/2a$ donne le même étalement — vérifier.
Un paquet large de $0.3\,\mathrm{mm}$ le long du faisceau : temps d’étalement $2m\sigma_0^2/\hbar$ et largeur à l’écran.
Des plaques de déviation appliquent une force transverse : d’après Ehrenfest, comment $\langle y\rangle$ se déplace-t-il ? Conclure que le tube est un dispositif classique.
Vitesse de phase de l’onde électronique ; pourquoi n’est-ce pas un paradoxe qu’elle diffère de la vitesse de l’électron ?

Partie II — Paquets d’ondes.

Pour un paquet gaussien de largeur $\sigma_0$ : $\Delta p$ et l’étalement en vitesse $\Delta v$ .
Temps d’étalement pour un électron avec $\sigma_0 = 0.1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; pour un proton avec $1\,\mathrm{nm}$ ; pour un virus ( $1 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$ ) avec $10\,\mathrm{nm}$ .
Un électron dans un atome d’hydrogène est localisé à $0.1\,\mathrm{nm}$ et ne s’étale pas : pourquoi ?
Un électron libre à $1\,\mathrm{eV}$ avec $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : quelle distance parcourt-il avant que sa largeur double ? Comparer à la longueur d’onde.
Dans un métal, les électrons de conduction sont des ondes de $\lambda \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ sur tout le cristal : en quel sens sont-ils « délocalisés » ?
Un microscope électronique à $100\,\mathrm{keV}$ a $\lambda \approx 4\,\mathrm{pm}$ , et pourtant il ne résout que $0.1\,\mathrm{nm}$ : pourquoi (ses lentilles magnétiques acceptent un demi-angle d’environ $10\,\mathrm{mrad}$ ) ?
Donner le critère qui décide si un objet doit être traité par une fonction d’onde ou par Newton.

Partie III — États stationnaires et transitions. Un électron est confiné dans $0 < x < L = 1\,\mathrm{nm}$ ; $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ , $E_n = n^2h^2/8mL^2$ .

$E_1$ , $E_2$ , $E_3$ en électronvolts ; les fréquences de Bohr $\nu_{21}$ , $\nu_{31}$ et les longueurs d’onde.
Vérifier que $|\varphi_n\eu^{-\iu E_nt/\hbar}|^2$ est indépendant du temps ; où l’électron est-il le plus probable dans l’état fondamental ?
Pour $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/ \sqrt2$ : $|\psi|^2$ en $t = 0$ et $t = T_{21}/2$ ; esquisser.
$\langle x\rangle(t)$ (avec $\int_0^Lx\varphi_1\varphi_2\dd x = -16L/9\pi^2$ ) : amplitude du ballottement.
Le dipôle oscillant $e\langle x\rangle$ rayonne : à quelle fréquence, et que cela dit-il des raies spectrales et de la stabilité des états stationnaires ?
Énergie de l’état $\psi$ : est-ce $E_1$ , $E_2$ , ou autre chose ? Que donne une mesure ?

Partie IV — Interprétation.

Dans l’expérience des fentes d’Young à un électron, qu’y a-t-il d’aléatoire et qu’y a-t-il qui ne l’est pas ?
Écrire le courant de probabilité de $A\eu^{\iu kx}$ et le relier à un faisceau de $n$ électrons par unité de longueur à la vitesse $v$ .
Pourquoi l’équation de Schrödinger doit-elle être complexe et du premier ordre en temps (deux raisons) ?
Résumer en cinq lignes : la fonction d’onde, l’équation, les états stationnaires, le paquet, la limite classique.

Solution

Solution de Problème 30.1.

1. $v = \sqrt{2eU/m} = 8.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $p = 7.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = 8.7\,\mathrm{pm}$ .

2. Des erreurs de quelques pour cent : acceptable pour des estimations ( $\lambda = 8.6\,\mathrm{pm}$ exactement).

3. $4.8\,\mathrm{ns}$ .

4. $\lambda/a = 3 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$ : $12\,\mathrm{nm}$ — $10^4$ fois plus petit qu’un pixel.

5. $\Delta\theta = \Delta p_y/p \sim \hbar/2ap = \lambda/4\pi a$ : le même ordre.

6. $\tau = 1.6\,\mathrm{ms} \gg 4.8\,\mathrm{ns}$ : inchangé.

7. $\dd\langle p_y\rangle/\dd t = eE$ exactement pour un champ uniforme : $\langle y\rangle$ suit la parabole classique ; le tube est un instrument classique.

8. $v/2 = 4.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; seule la vitesse de groupe est observable ; la phase d’une onde plane ne porte aucun signal (et dépend du zéro arbitraire de l’énergie).

9. $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$ , $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ .

10. $1.7 \times 10^{-16}\,\mathrm{s}$ , $1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ ; proton $3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ ; virus $20\,\mathrm{s}$ .

11. Il est dans un état stationnaire : le potentiel retient le paquet ; $|\varphi|^2$ ne bouge pas.

12. $v = 5.9 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; doublement en $t = \sqrt3\tau = 2.9 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : $17\,\mathrm{nm}$ , quelque quatorze longueurs d’onde.

13. Leurs fonctions d’onde s’étendent sur tout le cristal : une quantité de mouvement définie, aucune position définie.

14. Résolution $\sim\lambda/\alpha = 4\,\mathrm{pm}/0.01 = 0.4\,\mathrm{nm}$ : ce sont les aberrations des lentilles magnétiques qui limitent l’ouverture, non la longueur d’onde.

15. Comparer $\lambda$ aux dimensions en jeu (ouvertures, échelle de $V$ ), et le temps d’étalement au temps d’observation.

16. $0.38\,$ , $1.50\,$ , $3.38\,\mathrm{eV}$ ; $\nu_{21} = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ( $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ), $\nu_{31} = 7.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ( $410\,\mathrm{nm}$ ).

17. Le phaseur a pour module un ; en $x = L/2$ .

18. En $t = 0$ la densité s’entasse dans la moitié gauche, en $T_{21}/2$ dans la droite.

19. $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ : amplitude $0.18L = 0.18\,\mathrm{nm}$ .

20. À $\nu_{21}$ : la raie spectrale ; un état stationnaire n’a pas de dipôle oscillant et est stable ; la superposition rayonne et redescend jusqu’à $\varphi_1$ .

21. Pas définie : $\langle E\rangle = (E_1 + E_2)/2 = 0.94\,\mathrm{eV}$ ; une mesure donne $E_1$ ou $E_2$ , chacun avec la probabilité un demi.

22. Aléatoire : le point où atterrit chaque électron ; non aléatoire : la figure $|\psi|^2$ que les impacts construisent.

23. $j = |A|^2\hbar k/m$ : avec $|A|^2 = n$ électrons par unité de longueur, $nv$ électrons par seconde.

24. Du premier ordre pour que $\psi(x,0)$ soit une description complète qui fixe l’avenir ; complexe pour qu’une énergie définie ait la seule dépendance temporelle $\eu^{-\iu Et/\hbar}$ et que $E = p^2/2m$ en sorte.

25. $\psi$ est l’amplitude dont le carré est la probabilité ; elle obéit à l’équation linéaire de Schrödinger ; les états stationnaires portent un phaseur et des densités fixes ; un paquet libre se déplace à $p/m$ et s’étale en $2m\sigma_0^2/\hbar$ ; Ehrenfest rend Newton pour les grands objets.

Termes définis dans ce chapitre

Fonction d’onde et règle de Born

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