29Le facteur de Boltzmann

Exercice 29.1 ★

Hauteur d’échelle de l’air à $288\,\mathrm{K}$ ($M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$) ; pression à $3000\,\mathrm{m}$, à $8849\,\mathrm{m}$, à $10\,\mathrm{km}$ (comparer aux $0.26\,\mathrm{bar}$ mesurés) ; hauteur d’échelle de l’hélium seul ; de l’atmosphère martienne (CO$_2$, $210\,\mathrm{K}$, $g = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

Exercice 29.2 ★

Populations : le niveau $n = 2$ de l’hydrogène ($10.2\,\mathrm{eV}$, dégénérescence $4$ contre $1$) à $300\,\mathrm{K}$, $6000\,\mathrm{K}$, $10\,000\,\mathrm{K}$ ; le niveau à $2.1\,\mathrm{eV}$ du sodium dans une flamme à $2500\,\mathrm{K}$ ; un niveau de rotation moléculaire à $1 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}$ à $300\,\mathrm{K}$ ; un niveau de spin nucléaire écarté de $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ dans un aimant à $300\,\mathrm{K}$.

Exercice 29.3 ★

Vitesses de Maxwell ($v_{\text{p}}$, $\langle v\rangle$, $v_{\text{rms}}$) pour N$_2$ à $300\,\mathrm{K}$ et $77\,\mathrm{K}$, H$_2$ à $300\,\mathrm{K}$, et pour une particule de fumée de $1 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}$. Fraction de molécules plus rapides que $2v_{\text{p}}$ (environ $4.6\%$) et que $3v_{\text{p}}$ (environ $4 \times 10^{-4}$) : commenter la queue.

Exercice 29.4 ★

Moments de spin 1/2, $\mu = \mu_B$, $n = 1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, $B = 1\,\mathrm{T}$ : $x = \mu B/k_BT$ à $300\,\mathrm{K}$ et $1\,\mathrm{K}$ ; $M/M_{\text{sat}}$ ; $M_{\text{sat}}$ ; la susceptibilité à $300\,\mathrm{K}$. Comparer à l’aimantation à saturation du fer ($1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$).

Exercice 29.5 ★★

Deux niveaux. (a) Tirer $p_1$, $p_2$, $\langle E\rangle$ de $Z$. (b) Montrer que $N_2 < N_1$ à toute température positive ; que signifierait $N_2 > N_1$ pour $T$ ? (c) Entropie $S = -Nk_B\sum p_i\ln p_i$ du système quand $T \to 0$ et $T \to \infty$. (d) Un défaut dans un cristal peut occuper deux positions distantes de $0.05\,\mathrm{eV}$ : occupation de la plus haute à $300\,\mathrm{K}$ et à $77\,\mathrm{K}$.

Exercice 29.6 ★★

Schottky. (a) Établir $C(T)$ du système à deux niveaux. (b) Localiser son maximum numériquement ($x = 2.40$) et sa valeur. (c) Limites à basse et à haute $T$, avec leur sens physique. (d) Les spins nucléaires du cuivre sous $1\,\mathrm{T}$ ont $\varepsilon \approx 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ : à quelle température se situe leur pic de Schottky, et pourquoi cela importe-t-il pour les cryostats les plus froids ?

Exercice 29.7 ★★

Équipartition et son échec. (a) Établir $\langle aq^2\rangle = k_BT/2$ avec l’intégrale gaussienne. (b) $C_V$ d’un gaz monoatomique et d’un gaz diatomique rigide. (c) La vibration de l’azote a $h\nu/k_B = 3400\,\mathrm{K}$ : en utilisant l’énergie moyenne de l’oscillateur, $C_V$ à $300\,\mathrm{K}$, $1000\,\mathrm{K}$, $3000\,\mathrm{K}$. (d) Solide d’Einstein : $C$ en $T = \theta_{\text{E}}$, $\theta_{\text{E}}/4$, $4\theta_{\text{E}}$ en unités de $3R$ ; le diamant à température ambiante.

Exercice 29.8 ★★

Maxwell en détail. (a) Montrer que les composantes de la vitesse sont des gaussiennes indépendantes et en tirer $f(v)$. (b) Calculer $v_{\text{p}}$, $\langle v\rangle$, $v_{\text{rms}}$. (c) Énergie cinétique moyenne : vérifier avec l’équipartition. (d) Le flux de molécules frappant une paroi vaut $\tfrac14n\langle v\rangle$ par unité d’aire et de temps (admis) : nombre de molécules de N$_2$ frappant $1\,\mathrm{cm}^{2}$ par seconde à $1\,\mathrm{bar}$, $300\,\mathrm{K}$ ; et le débit auquel un trou de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ laisse entrer l’air dans une enceinte à vide (effusion).

Exercice 29.9 ★★

Échappement. (a) Fraction d’un gaz de Maxwell plus rapide que $v$ : montrer qu’elle vaut environ $(2/\sqrt\pi)\,x\,\eu^{-x^2}$ pour $x = v/v_{\text{p}} \gg 1$. (b) L’hélium à $1000\,\mathrm{K}$ au-dessus de $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; l’azote. (c) La Lune, $v_{\text{lib}} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $400\,\mathrm{K}$ : l’azote, et quelle température le retiendrait sur l’âge du système solaire (prendre $10^{17}$ temps de collision : fraction d’échappement sous $10^{-17}$). (d) Pourquoi Titan ($2.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $94\,\mathrm{K}$) garde-t-il une épaisse atmosphère d’azote ?

Exercice 29.10 ★★★

D’autres potentiels. (a) Dans une centrifugeuse tournant à $\omega$, l’énergie potentielle effective vaut $-\tfrac12m\omega^2r^2$ : profil de densité $n(r)$. (b) Hexafluorure d’uranium, deux isotopes $\Delta m = 3\,\mathrm{u}$, $\omega = 2\pi \times 1000\,\mathrm{Hz}$, $r = 10\,\mathrm{cm}$, $300\,\mathrm{K}$ : facteur d’enrichissement d’un étage. (c) Sphères colloïdales (masse apparente $m' = 2.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$) dans l’eau à $293\,\mathrm{K}$ : hauteur d’échelle de leur équilibre de sédimentation ; comment cela a-t-il donné le nombre d’Avogadro ? (d) Un gaz d’électrons dans un champ $E$ : pourquoi le profil de Boltzmann $\eu^{eEx/k_BT}$ est-il à la base de la longueur d’écran de Debye $\lambda_{\text{D}} = \sqrt{\varepsilon_0k_BT/ne^2}$ d’un plasma (esquisser l’argument) ?

Exercice 29.11 ★★★

Planck à partir de Boltzmann. (a) Calculer $Z$ et $\langle E\rangle$ pour des niveaux $nh\nu$. (b) Les deux limites et leur sens. (c) Multiplier par la densité de modes $8\pi\nu^2/c^3$ (donnée) et retrouver la loi de Planck ; montrer que la loi de Rayleigh–Jeans est l’équipartition appliquée à chaque mode. (d) Pourquoi le décompte classique échoue-t-il, en une phrase ?

Exercice 29.12 ★★★

Désaimantation adiabatique. L’entropie de $N$ spins 1/2 vaut $S = Nk_B[\ln(2\cosh x) - x\tanh x]$, $x = \mu B/k_BT$. (a) Montrer qu’elle ne dépend que de $B/T$, avec $S \to Nk_B\ln 2$ quand $B/T \to 0$ et $S \to 0$ quand $B/T \to \infty$. (b) Un sel à $1\,\mathrm{K}$ est aimanté isothermiquement de $0$ à $1\,\mathrm{T}$ : entropie retirée (par spin, avec $\mu = \mu_B$). (c) Le champ est ensuite ramené adiabatiquement à $0.01\,\mathrm{T}$ : température finale. (d) Qu’est-ce qui limite la méthode, et comment la même courbe en $\tanh$ sert-elle de thermomètre ?