Physics · Livre 4 · Bachelor Year 2

Physique universitaire — 2e année

Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

21Interférences à ondes multiples et réseaux

Inclinez un disque compact sous une lampe et il jette un arc-en-ciel : sa spirale de cuvettes, espacées d’un micromètre et demi, est un réseau — des milliers de bandelettes réfléchissantes, renvoyant chacune une copie de l’onde, toutes interférant. Deux ondes donnent les douces franges en cos⁡2\cos^2 des chapitres précédents ; mille ondes donnent des franges mille fois plus fines, assez étroites pour séparer deux longueurs d’onde qui diffèrent d’une partie sur cent mille. C’est l’instrument avec lequel on a lu la composition du Soleil et la vitesse des galaxies, et qui siège dans tout spectromètre. Ce chapitre somme NN ondes, en tire l’équation des réseaux, sa dispersion et son pouvoir de résolution, et rencontre l’autre dispositif à ondes multiples, la cavité de Fabry–Pérot qui deviendra le résonateur du laser.

Un disque compact au soleil : sa spirale de cuvettes, espacées de 1.6\, µ m, est un réseau par réflexion, et chaque ordre étale la lumière blanche en un spectre.
Un disque compact au soleil : sa spirale de cuvettes, espacées de 1.6 µm1.6\,\text{µ}\mathrm{m}, est un réseau par réflexion, et chaque ordre étale la lumière blanche en un spectre.

21.1 Interférence de NN ondes

Théorème 21.1 (NN ondes égales en progression arithmétique de phase)

NN ondes cohérentes de même amplitude aa, chacune en retard sur la précédente de la phase φ\varphi, se superposent en une onde d’amplitude A(φ)A(\varphi) et d’intensité

A=a sin⁡(Nφ/2)sin⁡(φ/2),I(φ)=I0 sin⁡2(Nφ/2)sin⁡2(φ/2):A = a\,\frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)} , \qquad I(\varphi) = I_0\,\frac{\sin^2(N\varphi/2)}{\sin^2(\varphi/2)} :

maxima principaux d’intensité N2I0N^2I_0 là où φ=2πp\varphi = 2\pi p (toutes les ondes en phase), de demi-largeur 2π/N2\pi/N en φ\varphi (les premiers zéros sont en φ=2πp±2π/N\varphi = 2\pi p \pm 2\pi/N), séparés par N−2N - 2 maxima secondaires ne dépassant pas environ 4.5%4.5\% des principaux pour NN grand. Plus il y a d’ondes, plus les pics sont fins et brillants : la largeur décroît en 1/N1/N, la hauteur croît en N2N^2, l’énergie (leur produit) en NN.

Démonstration. Amplitudes complexes aeikφa\eu^{\iu k\varphi}, k=0,…,N−1k = 0, \dots, N - 1 : une série géométrique, a(1−eiNφ)/(1−eiφ)=aei(N−1)φ/2sin⁡(Nφ/2)/sin⁡(φ/2)a(1 - \eu^{\iu N\varphi})/(1 - \eu^{\iu\varphi}) = a\eu^{\iu(N - 1)\varphi/2}\sin(N\varphi/2) /\sin(\varphi/2). Zéros là où sin⁡(Nφ/2)=0\sin(N\varphi/2) = 0 mais sin⁡(φ/2)≠0\sin(\varphi/2) \ne 0 : φ=2πm/N\varphi = 2\pi m/N, mm non multiple de NN. Dans l’image des phaseurs les NN flèches se referment en un polygone régulier aux zéros et s’alignent aux maxima principaux. ∎

À gauche : la somme phasorielle de cinq ondes égales — un éventail régulier dont la corde est la résultante ; il se referme en pentagone, et s’annule, en = 2π/5. À droite : l’intensité pour 2, 5 et 12 ondes, normalisée à son maximum : les maxima principaux s’affinent en 1/N.
À gauche : la somme phasorielle de cinq ondes égales — un éventail régulier dont la corde est la résultante ; il se referme en pentagone, et s’annule, en φ=2π/5\varphi = 2\pi/5. À droite : l’intensité pour 22, 55 et 1212 ondes, normalisée à son maximum : les maxima principaux s’affinent en 1/N1/N.

21.2 Le réseau de diffraction

Proposition 21.2 (Équation des réseaux)

Un réseau est un ensemble de NN fentes (ou traits) identiques, équidistantes et parallèles, de pas aa. Une onde plane incidente sous l’angle θ0\theta_0 par rapport à la normale est réémise par chaque fente ; dans la direction θ\theta les ondes issues de fentes voisines ont la différence de marche δ=a(sin⁡θ−sin⁡θ0)\delta = a(\sin\theta - \sin\theta_0), et elles se renforcent dans les directions

a (sin⁡θp−sin⁡θ0)=pλ,p=0,±1,±2,…a\,(\sin\theta_p - \sin\theta_0) = p\lambda , \qquad p = 0, \pm1, \pm2, \dots

— les ordres du réseau. L’ordre zéro est le faisceau non dévié pour toute longueur d’onde ; chacun des autres ordres étale les longueurs d’onde, avec la dispersion angulaire

 ⁣dθ ⁣dλ=pacos⁡θ,\frac{\dd\theta}{\dd\lambda} = \frac{p}{a\cos\theta} ,

d’autant plus grande que le réseau est fin et l’ordre élevé ; l’ordre maximal est ∣p∣≤a(1+∣sin⁡θ0∣)/λ|p| \le a(1 + |\sin\theta_0|)/\lambda. Un réseau par réflexion (traits gravés sur un miroir) obéit à la même équation avec les angles réfléchis.

Démonstration. La phase entre fentes successives vaut φ=2πδ/λ\varphi = 2\pi\delta/\lambda ; les maxima principaux du Théorème 21.1 sont en δ=pλ\delta = p\lambda. Différentier asin⁡θ=pλ+asin⁡θ0a\sin\theta = p\lambda + a\sin\theta_0 à pp, θ0\theta_0 fixés. ∎

À gauche : le réseau — des fentes voisines réémettent avec la différence de marche a sous incidence normale. À droite : sur un écran, l’ordre zéro blanc et les spectres des ordres ±1, ±2, le violet le plus près du centre, plus larges (et finissant par se recouvrir) à mesure que p croît.
À gauche : le réseau — des fentes voisines réémettent avec la différence de marche asin⁡θa\sin\theta sous incidence normale. À droite : sur un écran, l’ordre zéro blanc et les spectres des ordres ±1\pm1, ±2\pm2, le violet le plus près du centre, plus larges (et finissant par se recouvrir) à mesure que pp croît.

Exemple 21.3 (Un réseau de classe et un CD)

Un réseau de 600600 traits par millimètre (a=1.67 µma = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}) sous incidence normale envoie la lumière de 500 nm500\,\mathrm{nm} en sin⁡θ=0.3\sin\theta = 0.3, θ=17.5∘\theta = 17.5{}^{\circ} au premier ordre, 36.9∘36.9{}^{\circ} au second, et n’a pas de troisième ordre (3×0.3>13 \times 0.3 > 1) ; son spectre du premier ordre court de 13.9∘13.9{}^{\circ} (400 nm400\,\mathrm{nm}) à 24.8∘24.8{}^{\circ} (700 nm700\,\mathrm{nm}). Un disque compact, a=1.6 µma = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}, est un tel réseau en réflexion — d’où l’arc-en-ciel, et le fait qu’un DVD (a=0.74 µma = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}) l’étale davantage. Le rouge du second ordre (700 nm700\,\mathrm{nm} en sin⁡θ=0.84\sin\theta = 0.84) recouvre le violet du troisième : les ordres se recouvrent au-delà du premier, gêne que guérissent des filtres ou un prisme.

21.3 Pouvoir de résolution

Proposition 21.4 (Pouvoir de résolution d’un réseau)

Deux longueurs d’onde voisines λ\lambda et λ+Δλ\lambda + \Delta\lambda sont tout juste résolues à l’ordre pp quand le maximum principal de l’une tombe sur le premier zéro de l’autre (critère de Rayleigh), ce qui a lieu pour

λΔλ=pN:\frac\lambda{\Delta\lambda} = pN :

le pouvoir de résolution est l’ordre multiplié par le nombre de traits éclairés. Il s’écrit aussi W(sin⁡θ−sin⁡θ0)/λW(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda avec W=NaW = Na la largeur du réseau : la plus grande différence de marche à travers le réseau, en longueurs d’onde — d’où les réseaux de plusieurs dizaines de centimètres des grands spectrographes, utilisés sous incidence rasante.

Démonstration. Le maximum d’ordre pp pour λ+Δλ\lambda + \Delta\lambda est en φ=2πp\varphi = 2\pi p pour cette longueur d’onde, c’est-à-dire en δ=p(λ+Δλ)\delta = p(\lambda + \Delta\lambda) ; le premier zéro du maximum pour λ\lambda est en δ=pλ+λ/N\delta = p\lambda + \lambda/N. En égalant : pΔλ=λ/Np\Delta\lambda = \lambda/N. Puis pN=Na(sin⁡θ−sin⁡θ0)/λpN = Na(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda. ∎

Exemple 21.5 (Séparer les raies du sodium)

Le doublet, Δλ=0.6 nm\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm} à 589 nm589\,\mathrm{nm}, demande R=1000R = 1000 : mille traits au premier ordre, 2 mm2\,\mathrm{mm} d’un réseau à 600 traits/mm600\,\mathrm{traits}/\mathrm{mm}. Sa propre largeur de raie, 0.02 nm0.02\,\mathrm{nm}, demande R=30 000R = 30\,000 : un réseau de 5 cm5\,\mathrm{cm} au premier ordre, ou 2.5 cm2.5\,\mathrm{cm} au second — et un réseau de 10 cm10\,\mathrm{cm} à 1200 traits/mm1200\,\mathrm{traits}/\mathrm{mm} au second ordre atteint 240 000240\,000, résolvant 0.0025 nm0.0025\,\mathrm{nm} : la largeur d’une raie élargie par l’agitation thermique des atomes, et le décalage Doppler d’une étoile allant à 1 km/s1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.

Le critère de Rayleigh : le maximum d’une longueur d’onde sur le premier zéro de l’autre ; la somme (tiretée) montre un creux d’environ 20\% entre deux raies résolues.
Le critère de Rayleigh : le maximum d’une longueur d’onde sur le premier zéro de l’autre ; la somme (tiretée) montre un creux d’environ 20%20\% entre deux raies résolues.

21.4 La cavité de Fabry–Pérot

Proposition 21.6 (Interférences à ondes multiples par division d’amplitude)

Deux miroirs parallèles partiellement réfléchissants (réflectance en intensité RR) distants de LL ne transmettent une onde sous incidence normale que dans la mesure où les ondes ayant rebondi 0,1,2,…0, 1, 2, \dots fois entre eux s’ajoutent en phase : avec φ=4πL/λ\varphi = 4\pi L/\lambda la phase d’un aller-retour, l’intensité transmise vaut (fonction d’Airy)

ItI0=11+Fsin⁡2(φ/2),F=4R(1−R)2:\frac{I_t}{I_0} = \frac1{1 + F\sin^2(\varphi/2)} , \qquad F = \frac{4R}{(1 - R)^2} :

des pics étroits de transmission totale en 2L=pλ2L = p\lambda (les résonances de la cavité, espacées en fréquence de l’intervalle spectral libre c/2Lc/2L), de largeur relative 1/F1/\mathcal F avec la finesse F=πR/(1−R)\mathcal F = \pi \sqrt R/(1 - R) — 3030 pour R=0.9R = 0.9, 300300 pour R=0.99R = 0.99. Elle égale le réseau en pouvoir de résolution (pFp\mathcal F avec p=2L/λ∼105p = 2L/\lambda \sim 10^5, d’où R∼107R \sim 10^7) et, refermée sur elle-même, devient le résonateur du laser (Chapitre 23).

Démonstration. Chaque aller-retour multiplie l’amplitude par ReiφR\eu^{\iu\varphi} (à une phase constante près) ; l’amplitude transmise vaut t2a∑(Reiφ)k=t2a/(1−Reiφ)t^2a\sum(R\eu^{\iu\varphi})^k = t^2a/(1 - R\eu^{\iu\varphi}) avec t2=1−Rt^2 = 1 - R ; son module carré vaut (1−R)2/(1−2Rcos⁡φ+R2)=(1−R)2/[(1−R)2+4Rsin⁡2(φ/2)](1 - R)^2/ (1 - 2R\cos\varphi + R^2) = (1 - R)^2/[(1 - R)^2 + 4R\sin^2(\varphi/2)]. Pics en φ=2πp\varphi = 2\pi p ; mi-hauteur là où Fsin⁡2(φ/2)=1F\sin^2(\varphi/2) = 1, c’est-à-dire Δφ≈4/F=2(1−R)/R\Delta\varphi \approx 4/\sqrt F = 2(1 - R)/\sqrt R, à comparer aux 2π2\pi entre pics. ∎

La transmission d’Airy d’une cavité de Fabry–Pérot : transmission totale aux résonances 2L = p, pics d’autant plus étroits que la réflectance des miroirs est grande.
La transmission d’Airy d’une cavité de Fabry–Pérot : transmission totale aux résonances 2L=pλ2L = p\lambda, pics d’autant plus étroits que la réflectance des miroirs est grande.

Méthode 21.7 (Calculs de réseau)

(1) Pas a=1/(traits par mm)a = 1/(\text{traits par mm}) ; équation des réseaux avec les signes des angles. (2) Lister les ordres qui existent (∣sin⁡θ∣≤1|\sin\theta| \le 1) et vérifier leur recouvrement (pλmax⁡p\lambda_{\max} contre (p+1)λmin⁡(p + 1)\lambda_{\min}). (3) Dispersion p/acos⁡θp/a\cos\theta, convertie en position sur le détecteur avec la distance focale :  ⁣dx=f  ⁣dθ\dd x = f\,\dd\theta. (4) Pouvoir de résolution pNpN avec NN le nombre de traits réellement éclairés ; comparer λ/R\lambda/R à la structure à résoudre. (5) Pour un instrument réel, ajouter la largeur de la fente d’entrée (elle brouille les raies) et les pixels du détecteur.

21.5 Exercices

Exercice 21.1 ★

Un réseau de 500500 traits par millimètre sous incidence normale, λ=550 nm\lambda = 550\,\mathrm{nm} : angles des ordres ; ordre le plus élevé ; largeur angulaire du spectre visible du premier ordre (400400–700 nm700\,\mathrm{nm}) ; même réseau sous incidence de 30∘30{}^{\circ} : ordres de chaque côté.

Solution

Solution de Exercice 21.1.

a=2 µma = 2\,\text{µ}\mathrm{m}, sin⁡θp=0.275p\sin\theta_p = 0.275p : 16.0∘16.0{}^{\circ}, 33.4∘33.4{}^{\circ}, 55.6∘55.6{}^{\circ} ; pas de quatrième ordre. Visible du premier ordre de 11.5∘11.5{}^{\circ} à 20.5∘20.5{}^{\circ} : 9∘9{}^{\circ}. À 30∘30{}^{\circ} : sin⁡θ=0.5+0.275p\sin\theta = 0.5 + 0.275p : p=+1p = +1 (51∘51{}^{\circ}) d’un côté, p=−1p = -1 à −5-5 (13∘13^\circ, −3∘-3^\circ, −19∘-19^\circ, −37∘-37^\circ, −61∘-61^\circ) de l’autre.

Exercice 21.2 ★

Le doublet du sodium avec un réseau de 600600 traits/mm et une lentille de f=50 cmf = 50\,\mathrm{cm} : séparation angulaire et linéaire des deux raies sur le détecteur aux premier et second ordres ; taille de pixel nécessaire pour les distinguer.

Solution

Solution de Exercice 21.2.

a=1.67 µma = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}. Ordre 1 : θ=20.7∘\theta = 20.7{}^{\circ}, Δθ=Δλ/acos⁡θ=3.9×10−4 rad\Delta\theta = \Delta\lambda/a\cos\theta = 3.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}, 0.19 mm0.19\,\mathrm{mm} ; ordre 2 : θ=45∘\theta = 45{}^{\circ}, 1.0×10−3 rad1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}, 0.51 mm0.51\,\mathrm{mm}. Pixels de 50 µm50\,\text{µ}\mathrm{m} ou moins.

Exercice 21.3 ★

Pouvoir de résolution d’un réseau de 2 cm2\,\mathrm{cm} à 600600 traits/mm aux ordres 11, 22, 33 ; plus petit Δλ\Delta\lambda résolu à 550 nm550\,\mathrm{nm} ; sépare-t-il le doublet du sodium ? La raie Hα\alpha de l’hydrogène de sa jumelle du deutérium (distantes de 0.18 nm0.18\,\mathrm{nm}) ?

Solution

Solution de Exercice 21.3.

N=12 000N = 12\,000 : R=12 000R = 12\,000, 24 00024\,000, 36 00036\,000 ; Δλ=0.046\Delta\lambda = 0.046, 0.0230.023, 0.015 nm0.015\,\mathrm{nm} ; le doublet (0.6 nm0.6\,\mathrm{nm}) et la paire H/D (0.18 nm0.18\,\mathrm{nm}, exigeant R=3600R = 3600) sont aisément séparés.

Exercice 21.4 ★

Un disque compact (a=1.6 µma = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}) et un DVD (a=0.74 µma = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}) éclairés sous incidence normale : angles du violet et du rouge au premier ordre ; quels ordres existent pour chacun ; pourquoi le CD montre-t-il deux arcs-en-ciel et le DVD un seul ?

Solution

Solution de Exercice 21.4.

CD : violet 14.5∘14.5{}^{\circ}, rouge 25.9∘25.9{}^{\circ} ; le rouge existe jusqu’à l’ordre 2, le violet jusqu’à l’ordre 4 : deux arcs-en-ciel (partiellement recouverts). DVD : violet 32.7∘32.7{}^{\circ}, rouge 71∘71{}^{\circ} ; le rouge n’a que le premier ordre : un seul arc-en-ciel, plus large.

Exercice 21.5 ★★

Le motif à NN fentes. (a) Montrer qu’entre deux maxima principaux il y a N−1N - 1 zéros et N−2N - 2 maxima secondaires. (b) Pour NN grand, intensité du premier maximum secondaire relativement au principal (en Nφ/2≈3π/2N\varphi/2 \approx 3\pi/2) : environ 1/221/22. (c) Esquisser le motif pour N=3N = 3 et N=6N = 6 et donner les hauteurs des maxima secondaires pour N=3N = 3. (d) Fraction de l’énergie totale dans les maxima principaux pour NN grand (comparer les intégrales du pic, de largeur ∝1/N\propto 1/N et de hauteur ∝N2\propto N^2, au reste).

Solution

Solution de Exercice 21.5.

(a) Zéros en φ=2πm/N\varphi = 2\pi m/N, m=1,…,N−1m = 1, \dots, N - 1 : N−1N - 1 zéros, N−2N - 2 maxima entre eux. (b) En Nφ/2=3π/2N\varphi/2 = 3\pi/2, I≈I0/sin⁡2(3π/2N)≈I0(2N/3π)2I \approx I_0/\sin^2(3\pi/2N) \approx I_0(2N/3\pi)^2 : 4/9π2=0.0454/9\pi^2 = 0.045 de N2I0N^2I_0. (c) N=3N = 3 : un seul maximum secondaire en φ=π\varphi = \pi, de hauteur I0I_0, le neuvième du principal 9I09I_0 ; N=6N = 6 : quatre maxima secondaires de quelques pour cent. (d) Le lobe central de sin⁡2x/x2\sin^2x/x^2 retient 90%90\% de l’énergie.

Exercice 21.6 ★★

Recouvrement des ordres. (a) Montrer que l’ordre pp de λmax⁡\lambda_{\max} recouvre l’ordre p+1p + 1 de λmin⁡\lambda_{\min} quand pλmax⁡>(p+1)λmin⁡p\lambda_{\max} > (p + 1)\lambda_{\min} ; pour 400400–700 nm700\,\mathrm{nm}, à partir de quel ordre ? (b) Intervalle spectral libre à l’ordre pp : ΔλISL=λ/p\Delta\lambda_{\text{ISL}} = \lambda/p. (c) Un spectrographe travaille à l’ordre 2020 vers 500 nm500\,\mathrm{nm} (un réseau échelle) : intervalle spectral libre ; comment lève-t-on le recouvrement (disperseur croisé) ? (d) L’intervalle spectral libre du Fabry–Pérot vaut c/2Lc/2L : l’écrire en longueur d’onde et le comparer à celui du réseau.

Solution

Solution de Exercice 21.6.

(a) p>λmin⁡/(λmax⁡−λmin⁡)=1.33p > \lambda_{\min}/(\lambda_{\max} - \lambda_{\min}) = 1.33 : à partir de p=2p = 2. (b) λ/p\lambda/p. (c) 25 nm25\,\mathrm{nm} ; un prisme croisé avec le réseau empile les ordres les uns au-dessus des autres. (d) Δλ=λ2/2L\Delta\lambda = \lambda^2/2L, une fraction de nanomètre — des centaines de fois moins que pour un réseau.

Exercice 21.7 ★★

Réseau blazé. Un réseau par réflexion a ses traits inclinés de l’angle de blaze β\beta pour que chaque facette réfléchisse spéculairement dans la direction où l’on veut l’ordre pp. (a) Pour le montage de Littrow (θ=θ0=β\theta = \theta_0 = \beta) : montrer 2asin⁡β=pλ2a\sin\beta = p\lambda ; angle de blaze pour 500 nm500\,\mathrm{nm} au premier ordre avec 12001200 traits/mm. (b) Pourquoi le blaze envoie-t-il l’essentiel de la lumière dans un seul ordre (penser à l’enveloppe de la diffraction d’une seule facette, Chapitre 22) ? (c) Le même réseau est blazé pour 1 µm1\,\text{µ}\mathrm{m} : à quel ordre est-il efficace à 500 nm500\,\mathrm{nm} ? (d) Pouvoir de résolution d’un réseau de 10 cm10\,\mathrm{cm} en Littrow à β=64∘\beta = 64{}^{\circ}, λ=500 nm\lambda = 500\,\mathrm{nm} (utiliser R=2Wsin⁡β/λR = 2W\sin\beta/\lambda).

Solution

Solution de Exercice 21.7.

(a) sin⁡β=λ/2a=0.3\sin\beta = \lambda/2a = 0.3, β=17.5∘\beta = 17.5{}^{\circ}. (b) La facette seule diffracte en un large lobe centré sur sa direction spéculaire ; les ordres qui tombent dedans reçoivent la lumière. (c) Ordre 2 (2×500 nm=1 µm2 \times 500\,\mathrm{nm} = 1\,\text{µ}\mathrm{m} sous le même angle). (d) R=2Wsin⁡β/λ=3.6×105R = 2W\sin\beta/\lambda = 3.6 \times 10^5.

Exercice 21.8 ★★

La fente. La fente d’entrée d’un spectromètre, de largeur ss, est imagée sur le détecteur au grandissement 11 ; le réseau (600600 traits/mm, 5 cm5\,\mathrm{cm}, ordre 11, f=50 cmf = 50\,\mathrm{cm}) disperse. (a) Largeur d’une raie sur le détecteur due à la seule fente pour s=50 µms = 50\,\text{µ}\mathrm{m}, en nm. (b) Largeur due au pouvoir de résolution du réseau. (c) Laquelle domine ; largeur de fente pour laquelle les deux s’égalent. (d) Pourquoi ne pas fermer la fente davantage ?

Solution

Solution de Exercice 21.8.

(a)  ⁣dλ/ ⁣dx=acos⁡θ/pf=3.1 nm/mm\dd\lambda/\dd x = a\cos\theta/pf = 3.1\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm} : 50 µm50\,\text{µ}\mathrm{m} font 0.16 nm0.16\,\mathrm{nm}. (b) R=30 000R = 30\,000 : 0.018 nm0.018\,\mathrm{nm}. (c) La fente, par un facteur neuf ; égalité en s=6 µms = 6\,\text{µ}\mathrm{m}. (d) La diffraction à la fente et un détecteur affamé.

Exercice 21.9 ★★

Fabry–Pérot. Miroirs R=0.95R = 0.95, L=5 mmL = 5\,\mathrm{mm}, λ=600 nm\lambda = 600\,\mathrm{nm}. (a) Ordre pp, intervalle spectral libre en fréquence et en longueur d’onde. (b) Finesse ; largeur d’un pic de transmission en fréquence et en longueur d’onde. (c) Pouvoir de résolution pFp\mathcal F ; comparer au réseau de 10 cm10\,\mathrm{cm}. (d) Pourquoi un Fabry–Pérot est-il toujours employé avec un préfiltre ou un réseau ?

Solution

Solution de Exercice 21.9.

(a) p=2L/λ=16 700p = 2L/\lambda = 16\,700 ; ISL c/2L=30 GHzc/2L = 30\,\mathrm{GHz}, λ2/2L=0.036 nm\lambda^2/2L = 0.036\,\mathrm{nm}. (b) F=π0.95/0.05=61\mathcal F = \pi\sqrt{0.95}/0.05 = 61 ; 0.5 GHz0.5\,\mathrm{GHz}, 0.6 pm0.6\,\mathrm{pm}. (c) pF=106p\mathcal F = 10^6, quatre fois celui du réseau de 10 cm10\,\mathrm{cm}. (d) Son intervalle spectral libre est une fraction de nanomètre : les ordres se recouvrent à moins de préfiltrer la lumière sur l’un d’eux.

Exercice 21.10 ★★★

La limite d’un réseau. (a) Montrer que R=pN=W(sin⁡θ−sin⁡θ0)/λ≤2W/λR = pN = W(\sin\theta - \sin\theta_0) /\lambda \le 2W/\lambda : le pouvoir de résolution ne peut dépasser la largeur du réseau en longueurs d’onde, multipliée par deux. (b) Interpréter : la plus grande différence de marche entre les rayons extrêmes. (c) Un réseau de 30 cm30\,\mathrm{cm} à 500 nm500\,\mathrm{nm} : RR ultime ; plus petite vitesse décelable par décalage Doppler (Δλ/λ=v/c\Delta\lambda/\lambda = v/c). (d) Pourquoi les astronomes atteignent-ils néanmoins 1 m/s1\,\mathrm{m}/\mathrm{s} (penser à mesurer la position d’une raie à une fraction de sa largeur, sur de nombreuses raies) ?

Solution

Solution de Exercice 21.10.

(a) ∣sin⁡θ−sin⁡θ0∣≤2|\sin\theta - \sin\theta_0| \le 2. (b) Les rayons extrêmes diffèrent en marche de W(sin⁡θ−sin⁡θ0)W(\sin\theta - \sin\theta_0), au plus 2W2W. (c) 2×0.3/5×10−7=1.2×1062 \times 0.3/5 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^6 ; c/R=250 m/sc/R = 250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. (d) Le centre d’une raie se localise au centième de sa largeur, et mille raies moyennent en 1000\sqrt{1000} : des mètres par seconde, au prix d’une stabilité héroïque.

Exercice 21.11 ★★★

Bragg. Un cristal est un réseau à trois dimensions : des rayons X réfléchis par des plans atomiques successifs distants de dd, sous l’angle rasant θ\theta, interfèrent constructivement quand 2dsin⁡θ=pλ2d\sin\theta = p\lambda (Bragg). (a) L’établir à partir de la différence de marche entre deux plans. (b) Le rayonnement Kα\alpha du cuivre (0.154 nm0.154\,\mathrm{nm}) sur le sel gemme (d=0.282 nmd = 0.282\,\mathrm{nm}) : les angles de Bragg. (c) Pourquoi les longueurs d’onde visibles ne donnent-elles aucune réflexion de Bragg sur les cristaux, et que dit la réciproque (aucune diffraction des rayons X par le verre) du verre ? (d) Pourquoi faut-il λ<2d\lambda < 2d ?

Solution

Solution de Exercice 21.11.

(a) L’onde réfléchie par le plan inférieur parcourt 2dsin⁡θ2d\sin\theta de plus. (b) sin⁡θ=0.273p\sin\theta = 0.273p : 15.8∘15.8{}^{\circ}, 33.1∘33.1{}^{\circ}, 55.0∘55.0{}^{\circ}. (c) λ≫2d\lambda \gg 2d : aucun angle ne satisfait l’équation ; le verre n’a pas de plans réguliers, d’où seulement des anneaux diffus — il est amorphe. (d) sin⁡θ≤1\sin\theta \le 1.

Exercice 21.12 ★★★

Réseau phasé. NN antennes identiques en ligne, espacées de aa, alimentées avec la même amplitude et un saut de phase ψ\psi entre voisines. (a) Montrer que le champ rayonné dans la direction θ\theta est celui de la somme de NN ondes avec φ=2πasin⁡θ/λ−ψ\varphi = 2\pi a\sin\theta/\lambda - \psi : le faisceau principal pointe là où sin⁡θ=λψ/2πa\sin\theta = \lambda\psi/2\pi a. (b) Demi-largeur du faisceau principal, Δθ≈λ/Nacos⁡θ\Delta\theta \approx \lambda/Na\cos\theta. (c) Pourquoi faut-il a≤λ/2a \le \lambda/2 pour éviter un second faisceau principal (un lobe de réseau) lors du balayage ? (d) Un radar à 6464 éléments espacés de λ/2\lambda/2, λ=3 cm\lambda = 3\,\mathrm{cm} : largeur du faisceau ; temps pour balayer 90∘90^\circ par pas d’une largeur de faisceau si les phases commutent en 1 µs1\,\text{µ}\mathrm{s}.

Solution

Solution de Exercice 21.12.

(a) Les voisines diffèrent en phase de 2πasin⁡θ/λ2\pi a\sin\theta/\lambda par le trajet et de −ψ-\psi par l’alimentation ; le maximum principal en φ=0\varphi = 0. (b) Premier zéro en Δφ=2π/N\Delta\varphi = 2\pi/N : Δθ=λ/Nacos⁡θ\Delta\theta = \lambda/Na\cos\theta. (c) Un second maximum principal en φ=±2π\varphi = \pm2\pi exige ∣sin⁡θ±λ/a∣≤1|\sin\theta \pm \lambda/a| \le 1 : impossible pour tout angle de pointage seulement si a≤λ/2a \le \lambda/2. (d) Na=0.96 mNa = 0.96\,\mathrm{m} : 1.8∘1.8{}^{\circ} ; 5050 pas, 50 µs50\,\text{µ}\mathrm{s}.

21.6 Problème : un spectrographe pour une étoile

Problème 21.1

Problème du week-end — concevoir le spectrographe qui lit la lumière d’une étoile : le réseau, le détecteur, les raies de l’hydrogène, et le vacillement d’une planète

Un spectrographe : fente d’entrée, collimateur de distance focale f1=1.0 mf_1 = 1.0\,\mathrm{m}, un réseau par réflexion de 12001200 traits/mm et de largeur W=12 cmW = 12\,\mathrm{cm}, une caméra de f2=1.0 mf_2 = 1.0\,\mathrm{m}, un détecteur à pixels de 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m}. Il travaille au premier ordre, autour de 550 nm550\,\mathrm{nm}, avec le réseau sous incidence de 20∘20{}^{\circ}.

Partie I — Le réseau.

  1. Pas du réseau ; nombre de traits éclairés si le faisceau couvre toute la largeur.
  2. Angle de diffraction de 550 nm550\,\mathrm{nm} au premier ordre ; de 400 nm400\,\mathrm{nm} et 700 nm700\,\mathrm{nm} ; largeur angulaire du spectre visible.
  3. Dispersion angulaire à 550 nm550\,\mathrm{nm} ; dispersion linéaire sur le détecteur en nm par mm et en nm par pixel.
  4. Pouvoir de résolution ; plus petit Δλ\Delta\lambda résolu à 550 nm550\,\mathrm{nm} ; en pixels.
  5. Le violet du second ordre tombe-t-il sur le visible du premier ordre ? Quel filtre l’élimine ?
  6. Longueur de détecteur nécessaire pour tout le spectre visible au premier ordre.
  7. Le réseau est blazé à 17∘17{}^{\circ} : pour quelle longueur d’onde est-il le plus efficace au premier ordre sous cette incidence (utiliser l’estimation de Littrow 2asin⁡β=λ2a\sin\beta = \lambda) ?
  8. Le réseau renvoie 80%80\% de la lumière à la longueur d’onde de blaze et le télescope plus l’optique 40%40\% : fraction des photons de l’étoile qui atteignent le détecteur.

Partie II — Les raies.

  1. Les raies de Balmer de l’hydrogène de l’étoile : Hα\alpha 656.3 nm656.3\,\mathrm{nm}, Hβ\beta 486.1 nm486.1\,\mathrm{nm}, Hγ\gamma 434.0 nm434.0\,\mathrm{nm} : leurs positions sur le détecteur relativement à 550 nm550\,\mathrm{nm}.
  2. La raie Hα\alpha d’un atome de deutérium est plus courte de 0.18 nm0.18\,\mathrm{nm} : séparées ? De combien de pixels ?
  3. Le doublet du sodium dans le spectre de l’étoile : séparation en pixels ; et largeur de chaque raie si l’atmosphère de l’étoile les élargit à 0.05 nm0.05\,\mathrm{nm}.
  4. La fente d’entrée fait 100 µm100\,\text{µ}\mathrm{m} de large, imagée au grandissement f2/f1f_2/f_1 : sa largeur sur le détecteur en pixels et en nm ; le spectrographe est-il limité par la fente ou par le réseau ?
  5. La lumière du télescope arrive comme un disque de 1′′1'' sur le ciel, que le télescope (f=20 mf = 20\,\mathrm{m}) rend large de 100 µm100\,\text{µ}\mathrm{m} à la fente : fraction de lumière perdue si la fente est rétrécie à 50 µm50\,\text{µ}\mathrm{m} (prendre le disque uniforme).
  6. Pourquoi une fente plus étroite donne-t-elle des raies plus fines mais des spectres plus bruités ?

Partie III — L’étoile bouge.

  1. Une étoile s’éloigne à 30 km/s30\,\mathrm{km}/\mathrm{s} : décalage Doppler de Hα\alpha en nm et en pixels.
  2. Le mouvement orbital de la Terre ajoute ±30 km/s\pm30\,\mathrm{km}/\mathrm{s} sur l’année : pourquoi faut-il le soustraire, et à quelle précision si l’on veut 100 m/s100\,\mathrm{m}/\mathrm{s} ?
  3. Une planète fait vaciller son étoile à 10 m/s10\,\mathrm{m}/\mathrm{s} : décalage en nm et en pixels ; est-il sous la résolution ? Expliquer comment la mesure du centre d’une raie au centième de sa largeur, sur un millier de raies, le retrouve (gain statistique N\sqrt{N}).
  4. La température de l’instrument change de 1 K1\,\mathrm{K}, et le réseau (verre, dilatation 1×10−5 K−11 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}) se dilate : décalage des raies en pixels ; quelle stabilité faut-il pour 10 m/s10\,\mathrm{m}/\mathrm{s} ?
  5. Une lampe d’étalonnage (thorium–argon) pose des centaines de raies connues sur le même détecteur : expliquer son rôle.

Partie IV — Variantes.

  1. La même largeur de réseau gravée à 300300 traits/mm et utilisée au quatrième ordre (avec un disperseur croisé pour trier les ordres) : angle de diffraction, pouvoir de résolution, dispersion et intervalle spectral libre à 550 nm550\,\mathrm{nm} ; qu’est-ce qui change, qu’est-ce qui ne change pas ?
  2. Un étalon de Fabry–Pérot (L=1 mmL = 1\,\mathrm{mm}, R=0.9R = 0.9) placé avant la fente : intervalle spectral libre en nm, finesse, largeur des pics ; à quoi ressemble son peigne de pics de transmission sur le détecteur, et à quoi sert-il ?
  3. Un prisme de 60∘60{}^{\circ} en verre avec  ⁣dn/ ⁣dλ=−1×10−4 nm−1\dd n/\dd\lambda = -1 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}^{-1} a la dispersion angulaire  ⁣dD/ ⁣dλ≈2  ⁣dn/ ⁣dλ\dd D/\dd\lambda \approx 2\,\dd n/\dd\lambda près du minimum de déviation : comparer à celle du réseau ; pourquoi les réseaux ont-ils remplacé les prismes ?
  4. Pourquoi les plus grands spectrographes astronomiques sont-ils bâtis avec des réseaux d’un mètre de large et utilisés sous de grands angles (la limite 2W/λ2W/\lambda) ?
  5. Une étoile de magnitude 8 délivre 1×104 1 \times 10^{4}\, photons par seconde et par nanomètre au télescope : photons par pixel et par seconde sur le détecteur, et rapport signal sur bruit d’une pose de 100 s100\,\mathrm{s} (bruit de photons seul).
  6. Résumer : les trois nombres qui décrivent un spectrographe (dispersion, pouvoir de résolution, intervalle spectral libre) et ce qui fixe chacun.
Solution

Solution de Problème 21.1.

1. a=0.833 µma = 0.833\,\text{µ}\mathrm{m} ; N=144 000N = 144\,000.

2. sin⁡θ=sin⁡20∘−λ/a\sin\theta = \sin20^\circ - \lambda/a (l’ordre se trouve de l’autre côté de la normale) : 550 nm550\,\mathrm{nm} à 18.5∘18.5{}^{\circ}, 400 nm400\,\mathrm{nm} à 7.9∘7.9{}^{\circ}, 700 nm700\,\mathrm{nm} à 29.9∘29.9{}^{\circ} : 22∘22{}^{\circ} de spectre.

3. 1/acos⁡θ=1.27×10−3 rad/nm1/a\cos\theta = 1.27 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm} ; f2×f_2\times : 1.27 mm/nm1.27\,\mathrm{mm}/\mathrm{nm}, soit 0.79 nm/mm0.79\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}, 0.012 nm0.012\,\mathrm{nm} par pixel.

4. R=N=144 000R = N = 144\,000 : 0.0038 nm0.0038\,\mathrm{nm}, le tiers d’un pixel.

5. Le 400 nm400\,\mathrm{nm} du second ordre tombe là où le 800 nm800\,\mathrm{nm} du premier tomberait, au-delà du rouge : pas de recouvrement dans le visible ; il commencerait à 350 nm350\,\mathrm{nm}, qu’un filtre de verre élimine.

6. 22∘22{}^{\circ} ×\times 1 m1\,\mathrm{m} =38 cm= 38\,\mathrm{cm} : un détecteur en couvre une tranche ; on tourne le réseau pour la choisir.

7. λ=2asin⁡17∘=490 nm\lambda = 2a\sin17^\circ = 490\,\mathrm{nm}.

8. 0.8×0.4=32%0.8 \times 0.4 = 32\%.

9. Angles 26.5∘26.5{}^{\circ}, 14.0∘14.0{}^{\circ}, 10.3∘10.3{}^{\circ} : +14+14, −8-8 et −14 cm-14\,\mathrm{cm} de la position du 550 nm550\,\mathrm{nm}.

10. 0.18 nm0.18\,\mathrm{nm} font 1515 pixels : séparées.

11. 5050 pixels d’écart, chacune large de 44 pixels.

12. 100 µm100\,\text{µ}\mathrm{m}, 6.76.7 pixels, 0.08 nm0.08\,\mathrm{nm} — vingt fois la limite du réseau : limité par la fente.

13. L’image fait 97 µm97\,\text{µ}\mathrm{m} de large : une fente de 50 µm50\,\text{µ}\mathrm{m} laisse passer la moitié de la lumière.

14. Moins de lumière pour la même finesse : le bruit de photons croît.

15. Δλ=λv/c=0.066 nm\Delta\lambda = \lambda v/c = 0.066\,\mathrm{nm}, 5.55.5 pixels.

16. La vitesse de la Terre décale chaque raie de ±5.5\pm5.5 pixels au plus sur l’année ; les éphémérides la donnent bien mieux que les 0.3%0.3\% nécessaires pour 100 m/s100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

17. 2.2×10−5 nm2.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}, 0.0020.002 pixel — très en deçà de la largeur de raie. Un centroïde au centième d’une raie de 7 px7\,\mathrm{px} vaut 0.07 px0.07\,\mathrm{px} ; mille raies donnent 1000\sqrt{1000} : 0.0020.002 pixel — le signal, tout juste. Les instruments réels ajoutent du pouvoir de résolution et de la stabilité.

18. Δsin⁡θ=(λ/a)×10−5=6.6×10−6\Delta\sin\theta = (\lambda/a) \times 10^{-5} = 6.6 \times 10^{-6}, Δθ=7×10−6 rad\Delta\theta = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}, 7 µm7\,\text{µ}\mathrm{m} : un demi-pixel par kelvin — des millikelvins pour 10 m/s10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

19. Ses raies, enregistrées au même instant sur les mêmes pixels, donnent l’échelle des longueurs d’onde et suivent toute dérive.

20. a=3.33 µma = 3.33\,\text{µ}\mathrm{m}, N=36 000N = 36\,000, même angle (18.5∘18.5{}^{\circ}), R=4N=144 000R = 4N = 144\,000, même dispersion, ISL λ/4=137 nm\lambda/4 = 137\,\mathrm{nm} : pouvoir de résolution et dispersion ne dépendent que de WW et de l’angle ; l’intervalle spectral libre a rétréci.

21. ISL λ2/2L=0.15 nm\lambda^2/2L = 0.15\,\mathrm{nm} (1212 pixels) ; F=30\mathcal F = 30 ; pics larges de 0.005 nm0.005\,\mathrm{nm} : un peigne de raies fines en travers du détecteur, une règle à longueurs d’onde.

22. 2×10−42 \times 10^{-4} contre 1.3×10−3 rad/nm1.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm} : six fois moins, et le pouvoir de résolution d’un prisme (b  ⁣dn/ ⁣dλ∼104b\,\dd n/\dd\lambda \sim 10^4) comme son échelle non linéaire sont perdants aussi ; les réseaux fonctionnent en outre dans l’ultraviolet.

23. R≤2W/λR \le 2W/\lambda : 4×1064 \times 10^6 pour un mètre à 500 nm500\,\mathrm{nm} — largeur et angle sont les seules voies vers le haut.

24. 104×0.012×0.32=3810^4 \times 0.012 \times 0.32 = 38 photons par pixel et par seconde ; 38003800 en 100 s100\,\mathrm{s} : RSB ≈60\approx 60.

25. La dispersion, fixée par p/acos⁡θp/a\cos\theta et la distance focale de la caméra ; le pouvoir de résolution, par la largeur éclairée et les angles (pNpN) ; l’intervalle spectral libre, par l’ordre (λ/p\lambda/p).