Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

1Mécanique du solide

Regardez une roue de bicyclette depuis le trottoir : les rayons proches du sol sont presque immobiles et nets, ceux du haut ne sont qu’un flou filant à deux fois la vitesse du cycliste. Chaque point de la roue a une vitesse différente, et pourtant la roue est un seul objet — ses points gardent leurs distances mutuelles, et cette seule contrainte organise tous leurs mouvements en deux vecteurs, une translation et une rotation. Le volume de première année traitait le cas particulier d’un solide tournant autour d’un axe fixe ; ce chapitre donne la cinématique générale d’un solide, son énergie cinétique et son moment cinétique, les lois de son mouvement, et la loi qui gouverne toute roue, tout pneu, tout frein et toute échelle : la loi de Coulomb du frottement sec.

1.1 Cinématique du solide

Définition 1.1 (Solide)

Un solide (ou corps rigide) est un système de points dont les distances mutuelles restent constantes : $\|\vect{AB}\|$ est indépendant du temps pour tout couple $A$ , $B$ de ses points. Un référentiel dans lequel tout point du solide est au repos est un référentiel lié au solide.

Théorème 1.2 (Champ des vitesses d’un solide)

À chaque instant il existe un vecteur $\vect\Omega$ , le vecteur rotation du solide (unité $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ), tel que les vitesses de deux quelconques de ses points $A$ et $M$ dans un référentiel $\mathcal R$ vérifient

\vect v_M = \vect v_A + \vect\Omega\wedge\vect{AM} .

$\vect\Omega$ ne dépend pas du choix de $A$ ; un vecteur $\vect u$ lié au solide évolue selon $\dd\vect u/\dd t = \vect\Omega\wedge\vect u$ .

Démonstration. Soit $(\vect e_1, \vect e_2, \vect e_3)$ une base orthonormée liée au solide. De $\vect e_i\cdot\vect e_j = \delta_{ij}$ , les coefficients $a_{ij} = \dot{\vect e}_i\cdot\vect e_j$ vérifient $a_{ij} + a_{ji} = 0$ : la matrice de l’application $\vect u \mapsto \dot{\vect u}$ (pour $\vect u$ lié au solide, $\vect u = \sum u_i\vect e_i$ avec des $u_i$ constants) est antisymétrique, et une matrice antisymétrique $3\times3$ est la matrice de $\vect u \mapsto \vect\Omega\wedge\vect u$ avec $\Omega_1 = a_{23}$ , $\Omega_2 = a_{31}$ , $\Omega_3 = a_{12}$ . Appliquons-la à $\vect u = \vect{AM}$ : $\vect v_M - \vect v_A = \vect\Omega\wedge\vect{AM}$ . Si $\vect\Omega'$ convenait aussi, $(\vect\Omega - \vect\Omega')\wedge \vect{AM} = \vect 0$ pour tout $M$ , donc $\vect\Omega' = \vect\Omega$ . ∎

Remarque 1.3 (Trois mouvements)

Translation : $\vect\Omega = \vect 0$ , tous les points ont la même vitesse (le mouvement n’est pas nécessairement rectiligne : une nacelle de grande roue est en translation sur un cercle). Rotation autour d’un axe fixe $\Delta$ : les points de $\Delta$ sont au repos, $\vect\Omega = \omega\,\vect e_\Delta$ , et un point situé à la distance $r$ de l’axe décrit un cercle à la vitesse $r|\omega|$ — le cas du volume de première année. Le mouvement général combine les deux : $\vect v_M = \vect v_G + \vect\Omega\wedge\vect{GM}$ , une translation à la vitesse du centre de masse plus une rotation autour de $G$ .

Définition 1.4 (Roulement sans glissement)

Deux solides $S_1$ et $S_2$ sont en contact en un point $I$ . La vitesse de glissement de $S_1$ sur $S_2$ est $\vect v_{\text{gl}} = \vect v_{I \in S_1} - \vect v_{I \in S_2}$ , différence des vitesses des deux points matériels qui coïncident en $I$ à cet instant. $S_1$ roule sans glisser sur $S_2$ lorsque $\vect v_{\text{gl}} = \vect 0$ . Pour une roue de rayon $R$ qui roule sans glisser sur un sol fixe, de vitesse du centre $v_G$ et de vitesse angulaire $\omega$ , la condition s’écrit $v_G = R\omega$ (avec des signes tels qu’une roue qui roule vers la droite tourne dans le sens horaire).

Démonstration. Appliquons le Théorème 1.2 à la roue entre $G$ et le point de contact $I$ : $\vect v_{I\in S_1} = \vect v_G + \vect\Omega \wedge\vect{GI}$ ; avec $\vect v_G = v_G\vect e_x$ , $\vect\Omega = -\omega \vect e_z$ et $\vect{GI} = -R\vect e_y$ , cela vaut $(v_G - R\omega)\vect e_x$ , qui doit s’annuler. ∎

Exemple 1.5 (Champ des vitesses d’une roue qui roule)

Pour la roue qui roule, $\vect v_M = \vect\Omega\wedge\vect{IM}$ : à chaque instant la roue tourne autour de son point de contact. Le point de contact est au repos, le centre avance à $v = R\omega$ , le sommet à $2v$ , et un point de la jante à la hauteur $h$ va à $\omega\sqrt{2Rh}$ , perpendiculairement à $\vect{IM}$ . Une valve décrit une cycloïde ; un caillou projeté par la bande de roulement part à la vitesse du point de la jante, jusqu’à $2v$ — d’où l’utilité des bavettes d’un camion.

Une roue saisie à obturateur lent : les rayons proches du sol, presque au repos, restent nets ; ceux du haut, qui vont à deux fois la vitesse de la bicyclette, sont flous.

Une roue qui roule sans glisser. À gauche : les vitesses de quelques points — nulle au point de contact I, v_G = R au centre, 2v_G au sommet. À droite : chaque vitesse est perpendiculaire au segment joignant le point à I et proportionnelle à sa longueur : à chaque instant la roue tourne autour de son point de contact. — Une roue qui roule sans glisser. À gauche : les vitesses de quelques points — nulle au point de contact $I$ , $v_G = R\omega$ au centre, $2v_G$ au sommet. À droite : chaque vitesse est perpendiculaire au segment joignant le point à $I$ et proportionnelle à sa longueur : à chaque instant la roue tourne autour de son point de contact.

1.2 Grandeurs cinétiques d’un solide

Proposition 1.6 (Quantité de mouvement, moment cinétique, énergie cinétique)

Pour un solide de masse $M$ , de centre de masse $G$ , dans un référentiel $\mathcal R$ :

sa quantité de mouvement vaut $\vect p = M\vect v_G$ ;
s’il tourne autour d’un axe $\Delta$ (fixe dans $\mathcal R$ , ou passant par $G$ et de direction fixe) à la vitesse angulaire $\omega$ , son moment cinétique selon cet axe vaut $L_\Delta = J_\Delta\,\omega$ , où

$J_\Delta = \sum_i m_i r_i^2 = \int r^2\,\dd m$

est son moment d’inertie par rapport à $\Delta$ ( $r$ étant la distance à l’axe ; unité $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ) ;
son énergie cinétique vaut (König) $E_k = \tfrac12Mv_G^2 + E_k^*$ , où l’énergie cinétique dans le référentiel barycentrique est $E_k^* = \tfrac12J_{G}\omega^2$ pour une rotation à $\omega$ autour d’un axe passant par $G$ — et $E_k = \tfrac12J_\Delta\omega^2$ pour une rotation autour d’un axe fixe $\Delta$ .

Démonstration. Les théorèmes de la quantité de mouvement et de König ont été démontrés dans le volume de première année pour un système quelconque. Pour la rotation autour de $\Delta$ passant par $O$ , un point situé à la distance $r_i$ de l’axe a la vitesse $r_i\omega$ sur un cercle autour de l’axe ; son moment cinétique en $O$ projeté sur $\vect e_\Delta$ vaut $m_ir_i^2\omega$ (les autres composantes, qui se compensent pour un solide symétrique, ne servent pas ici) ; on somme. Énergie cinétique : $\sum\tfrac12m_ir_i^2 \omega^2$ . ∎

Remarque 1.7 (Ce qui est admis)

Pour une rotation $\vect\Omega$ quelconque, le vecteur complet $\vect L_G$ n’est pas parallèle à $\vect\Omega$ en général : $\vect L_G = \mathbf J\,\vect\Omega$ où $\mathbf J$ est le tenseur d’inertie, matrice symétrique dont les vecteurs propres sont les axes principaux. Tous les solides de ce chapitre tournent autour d’un axe fixe ou d’un axe de symétrie passant par $G$ , pour lesquels $\vect L = J\vect\Omega$ exactement ; le cas général relève du volume de troisième année.

Proposition 1.8 (Moments d’inertie)

Pour des solides homogènes de masse $M$ , par rapport à un axe passant par $G$ : tige mince de longueur $\ell$ (axe perpendiculaire), $J = \tfrac1{12}M\ell^2$ ; cerceau mince ou cylindre creux de rayon $R$ (son axe), $J = MR^2$ ; disque ou cylindre plein, $J = \tfrac12MR^2$ ; boule pleine, $J = \tfrac25MR^2$ ; sphère creuse, $J = \tfrac23MR^2$ . Théorème de Huygens (axes parallèles) : par rapport à un axe $\Delta$ parallèle à un axe $\Delta_G$ passant par $G$ à la distance $d$ ,

J_\Delta = J_{\Delta_G} + Md^2 .

Démonstration. Tige : $\int_{-\ell/2}^{\ell/2}x^2\,(M/\ell)\dd x = M\ell^2/12$ . Disque : anneaux de masse $(2M/R^2)r\,\dd r$ , $\int_0^R r^2(2M/R^2)r\,\dd r = MR^2/2$ . Boule : par symétrie $J = \tfrac23\int r^2\dd m$ ( $r$ étant la distance au centre, puisque $x^2 + y^2 = \tfrac23(x^2 + y^2 + z^2)$ en moyenne sur les trois axes) et $\int r^2\dd m = \int_0^R r^2(3M/R^3)r^2\dd r = \tfrac35MR^2$ . Huygens : avec $\vect r_i$ le vecteur allant de $\Delta$ à $m_i$ perpendiculairement à l’axe et $\vect r_i = \vect d + \vect r_i^*$ , $\sum m_ir_i^2 = Md^2 + 2\vect d\cdot\sum m_i\vect r_i^* + \sum m_ir_i^{*2}$ , et la somme du milieu s’annule par définition de $G$ . ∎

Exemple 1.9 (Un volant d’inertie)

Un disque d’acier de $50\,\mathrm{kg}$ et de rayon $30\,\mathrm{cm}$ : $J = \tfrac12 \times 50 \times 0.09 = 2.25\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; à $3000\,\mathrm{rpm}$ ( $\omega = 314\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ) il emmagasine $\tfrac12J\omega^2 = 111\,\mathrm{kJ}$ , l’énergie cinétique d’une petite voiture à $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Les volants de stockage font tourner des rotors en fibre de carbone à $50\,000\,\mathrm{rpm}$ sous vide sur des paliers magnétiques : l’énergie croît comme $\omega^2$ , la limite est la résistance à la traction de la jante.

1.3 Dynamique du solide

Théorème 1.10 (Lois du mouvement d’un solide)

Dans un référentiel galiléen, pour un solide soumis à des forces extérieures $\vect F_i$ appliquées aux points $A_i$ :

(quantité de mouvement) $M\,\dd\vect v_G/\dd t = \sum\vect F_i$ ;
(moment cinétique en $G$ , ou en un point fixe $O$ ) $\dd\vect L_G/\dd t = \sum\vect{GA_i}\wedge\vect F_i$ ; projeté sur un axe fixe $\Delta$ , ou sur un axe passant par $G$ et de direction fixe autour duquel le solide tourne à $\omega$ : $J_\Delta\,\dd\omega/\dd t = \mathcal M_\Delta$ , somme des moments des forces extérieures par rapport à l’axe ;
(puissance) la puissance d’un ensemble de forces sur un solide vaut $\mathcal P = \vect R\cdot\vect v_A + \vect{\mathcal M}_A\cdot \vect\Omega$ pour tout point $A$ du solide, où $\vect R$ est la somme des forces et $\vect{\mathcal M}_A$ leur moment total en $A$ ; les forces intérieures d’un solide ont une puissance nulle, et $\dd E_k/\dd t = \mathcal P_{\text{ext}}$ .

Démonstration. (1) et (2) sont les théorèmes du volume de première année pour les systèmes de points (le théorème du moment cinétique en $G$ vaut même lorsque $G$ accélère, car les forces d’inertie du référentiel barycentrique ont un moment nul en $G$ ). (3) Avec $\vect v_{A_i} = \vect v_A + \vect\Omega \wedge\vect{AA_i}$ : $\sum\vect F_i\cdot\vect v_{A_i} = \vect R\cdot\vect v_A + \sum\vect F_i\cdot(\vect\Omega\wedge\vect{AA_i}) = \vect R\cdot\vect v_A + \vect\Omega\cdot\sum\vect{AA_i}\wedge\vect F_i$ (produit mixte). Forces intérieures : leur somme et leur moment total sont nuls (action–réaction, même droite d’action), d’où une puissance nulle sur un solide — pas sur un système déformable. Le théorème de l’énergie cinétique ne garde alors que la puissance extérieure. ∎

Définition 1.11 (Liaison pivot parfaite)

Un solide tourne autour d’un axe fixe $\Delta$ dans une liaison pivot parfaite (un palier idéal) lorsque les forces de contact du palier ont un moment nul par rapport à $\Delta$ ; elles ne développent alors aucune puissance ( $\vect v_A = \vect 0$ sur l’axe, $\mathcal M_\Delta = 0$ ). Un palier réel ajoute un couple de frottement $-\Gamma_f\operatorname{sgn}\omega$ , ou un couple visqueux $-h\omega$ .

Proposition 1.12 (Le pendule pesant)

Un solide de masse $M$ oscille autour d’un axe fixe horizontal $\Delta$ dans une liaison pivot parfaite, son centre de masse étant à la distance $d$ de l’axe. Avec $\theta$ l’angle de $\vect{OG}$ avec la verticale descendante,

J_\Delta\ddot\theta = -Mgd\sin\theta ,

si bien que les petites oscillations ont pour période $T = 2\pi\sqrt{J_\Delta/Mgd}$ — celle d’un pendule simple de longueur $\ell_{\text{eq}} = J_\Delta/Md$ .

Démonstration. Théorème du moment cinétique par rapport à $\Delta$ : le moment du poids vaut $-Mgd\sin\theta$ , celui du pivot est nul. On linéarise. ∎

Exemple 1.13 (La règle d’un mètre)

Une règle d’un mètre pivotant à une extrémité : $J = \tfrac13M\ell^2$ (Huygens à partir de $\tfrac1{12}M\ell^2$ ), $d = \ell/2$ , $\ell_{\text{eq}} = \tfrac23\ell = 0.667\,\mathrm{m}$ et $T = 1.64\,\mathrm{s}$ — un pendule formé de toute la règle bat plus lentement qu’une masse ponctuelle suspendue en son centre ( $1.42\,\mathrm{s}$ ) et plus vite qu’une masse à son extrémité ( $2.0\,\mathrm{s}$ ).

À gauche : le pendule pesant — le moment du poids par rapport au pivot entraîne la rotation, la force du pivot n’a pas de moment. À droite : les forces sur une roue qui roule sur un sol horizontal : poids, réaction normale N et frottement tangentiel T au point de contact, dont la norme est bornée par la loi de Coulomb. — À gauche : le pendule pesant — le moment du poids par rapport au pivot entraîne la rotation, la force du pivot n’a pas de moment. À droite : les forces sur une roue qui roule sur un sol horizontal : poids, réaction normale $\vect N$ et frottement tangentiel $\vect T$ au point de contact, dont la norme est bornée par la loi de Coulomb.

1.4 Forces de contact et frottement de Coulomb

Définition 1.14 (Force de contact, composantes normale et tangentielle)

La force exercée par un support sur un solide en un point de contact $I$ se décompose en une réaction normale $\vect N$ , perpendiculaire au plan tangent commun et dirigée vers le solide ( $N \ge 0$ : un support ne peut que pousser), et une composante tangentielle $\vect T$ dans le plan tangent, la force de frottement.

Théorème 1.15 (Lois de Coulomb du frottement sec)

Pour deux solides secs en contact, avec un coefficient de frottement $f$ qui dépend des matériaux et de leur état de surface, mais ni de l’aire de contact ni (en bonne approximation) de la vitesse :

si les solides glissent l’un sur l’autre ( $\vect v_{\text{gl}} \ne \vect 0$ ), la force de frottement est opposée à la vitesse de glissement et de norme $\|\vect T\| = f\|\vect N\|$ (frottement dynamique) ;
s’ils ne glissent pas, $\|\vect T\| \le f\|\vect N\|$ (frottement statique) : la force de frottement vaut alors ce qu’exigent les autres lois du mouvement, dans cette limite, et sa direction n’est pas connue d’avance.

Un contact parfait est l’idéalisation $f = 0$ : $\vect T = \vect 0$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 1.16 (Comment lire les lois de Coulomb)

La première loi est une égalité, la seconde une inégalité — et c’est là toute la difficulté des problèmes de frottement. La méthode consiste à supposer le non-glissement, à résoudre en $\vect T$ et $\vect N$ , puis à vérifier $\|\vect T\| \le f\|\vect N\|$ ; si la vérification échoue, le solide glisse, $\|\vect T\| = f\|\vect N\|$ en sens opposé au glissement, et le problème est résolu de nouveau. Géométriquement, la force de contact doit rester à l’intérieur du cône de frottement de demi-angle $\varphi$ avec $\tan\varphi = f$ . Valeurs typiques : caoutchouc sur asphalte sec $f \approx 0.8$ – $1$ , sur asphalte mouillé $0.4$ – $0.6$ , sur glace $0.1$ ; acier sur acier $0.15$ à sec, $0.05$ graissé ; le coefficient statique est en réalité un peu plus grand que le coefficient dynamique, ce qui explique qu’un dérapage soit difficile à arrêter une fois amorcé.

Proposition 1.17 (Puissance des forces de contact ; roulement sans glissement)

La puissance des forces de contact sur un solide en mouvement sur un support fixe vaut $\mathcal P = \vect T\cdot\vect v_{I\in S}$ (la force normale est perpendiculaire à la vitesse du point de contact, qui est dans le plan tangent). Dans le roulement sans glissement cette puissance est nulle : le frottement ne travaille alors pas, même s’il peut être essentiel au mouvement. En glissement elle vaut $-f N v_{\text{gl}} < 0$ : de la chaleur.

Démonstration. $\mathcal P = (\vect N + \vect T)\cdot\vect v_{I\in S}$ et $\vect v_{I\in S} = \vect v_{\text{gl}}$ est dans le plan tangent, de sorte que seul $\vect T$ contribue ; elle est nulle quand la vitesse de glissement est nulle, et vaut $-fNv_{\text{gl}}$ quand les solides glissent ( $\vect T$ opposée à $\vect v_{\text{gl}}$ ). Le roulement réel dissipe un peu par la déformation du pneu et du sol (résistance au roulement, modélisée par un petit couple $\Gamma_r = \mu_rNR$ ou une force équivalente $\mu_rN$ , avec $\mu_r \approx 0.01$ pour un pneu sur une route) : un effet différent, bien plus petit. ∎

Méthode 1.18 (Un solide qui dévale un plan incliné)

Un solide homogène de rayon $R$ , de masse $M$ et de moment d’inertie $J = kMR^2$ par rapport à son axe ( $k = 1$ cerceau, $\tfrac12$ disque, $\tfrac25$ boule) est lâché sur un plan incliné d’angle $\alpha$ , de coefficient de frottement $f$ . Supposons le roulement sans glissement :

quantité de mouvement le long de la pente : $M\dot v = Mg\sin\alpha - T$ ; normale : $N = Mg\cos\alpha$ ;
moment cinétique en $G$ : $kMR^2\dot\omega = TR$ ;
non-glissement : $v = R\omega$ , d’où $T = kM\dot v$ et

$\dot v = \frac{g\sin\alpha}{1 + k} , \qquad T = \frac{k}{1 + k}\, Mg\sin\alpha ;$
vérification : $T \le fN \iff \tan\alpha \le f\,\dfrac{1 + k}{k}$ . Au-delà de cette pente le solide glisse, $T = fMg\cos\alpha$ , $\dot v = g(\sin\alpha - f\cos\alpha)$ et $\dot\omega = fg\cos\alpha/kR$ .

Vérification énergétique (sans glissement, le frottement ne travaille pas) : $\tfrac12(1 + k)Mv^2 = Mgh$ donne $v = \sqrt{2gh/(1 + k)}$ — une boule bat un disque, qui bat un cerceau, indépendamment de la masse et du rayon.

À gauche : les forces sur un solide qui dévale un plan incliné — poids en G, réaction normale et frottement au point de contact. À droite : l’accélération d’un disque (k = 1/2) en fonction de la pente pour f = 0.5 : il roule sans glisser tant que 3f, puis glisse et son accélération suit g( - f ), toujours inférieure au g sans frottement. — À gauche : les forces sur un solide qui dévale un plan incliné — poids en $G$ , réaction normale et frottement au point de contact. À droite : l’accélération d’un disque ( $k = \tfrac12$ ) en fonction de la pente pour $f = 0.5$ : il roule sans glisser tant que $\tan\alpha \le 3f$ , puis glisse et son accélération suit $g(\sin\alpha - f\cos\alpha)$ , toujours inférieure au $g\sin\alpha$ sans frottement.

Exemple 1.19 (Pourquoi une voiture a besoin du frottement pour accélérer)

Une voiture à traction avant : le moteur applique un couple aux roues avant ; la seule force horizontale extérieure sur la voiture est le frottement de la route sur les pneus, et c’est cette force qui accélère la voiture. Tout le poids reposant sur les roues motrices, l’accélération maximale vaut $fg \approx 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ sur asphalte sec — et la moitié si seule la moitié du poids porte sur l’essieu moteur ; sur la glace, $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Le travail du moteur n’est pas fourni par la route (dont le point de contact est au repos) : c’est un travail intérieur, converti par la transmission en énergie cinétique — de la même façon que les forces intérieures des muscles d’un marcheur, et non le sol, fournissent l’énergie du marcheur.

Exemple 1.20 (La transition glissement–roulement)

Une boule de bowling est lâchée en glissant à $v_0$ sans rotation. Le frottement dynamique $fMg$ freine le centre ( $\dot v = -fg$ ) et met la boule en rotation ( $\tfrac25MR^2\dot\omega = fMgR$ , $\dot\omega = 5fg/2R$ ) jusqu’à $v = R\omega$ : à $t_1 = 2v_0/7fg$ , avec $v_1 = \tfrac57v_0$ . Ensuite elle roule sans glisser à vitesse constante. Deux septièmes de la vitesse, et $1 - (\tfrac57)^2\tfrac75 = \tfrac27$ de l’énergie cinétique, sont perdus en chaleur pendant le glissement — quel que soit $f$ ; $f$ ne fixe que la rapidité.

Une boule lâchée en glissant sans rotation : le frottement dynamique freine le centre et met la boule en rotation, linéairement en temps, jusqu’à ce que R rattrape v_G à 5/7v_0 ; ensuite la boule roule sans glisser et le frottement cesse d’agir. — Une boule lâchée en glissant sans rotation : le frottement dynamique freine le centre et met la boule en rotation, linéairement en temps, jusqu’à ce que $R\omega$ rattrape $v_G$ à $\tfrac57v_0$ ; ensuite la boule roule sans glisser et le frottement cesse d’agir.

1.5 Exercices

Exercice 1.1 ★

Moments d’inertie : (a) une tige de $1.0\,\mathrm{m}$ et $0.50\,\mathrm{kg}$ par rapport à un axe perpendiculaire passant par son centre, puis par une extrémité ; (b) un disque de $2.0\,\mathrm{kg}$ et de rayon $20\,\mathrm{cm}$ par rapport à son axe, puis à un axe parallèle passant par sa jante ; (c) une bille de billard de $0.16\,\mathrm{kg}$ et de diamètre $57\,\mathrm{mm}$ . (d) Un cerceau mince et un disque plein de même masse et même rayon : lequel résiste le plus à la mise en rotation, et dans quel rapport ?

Solution

Solution de Exercice 1.1.

(a) $\tfrac1{12}M\ell^2 = 4.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; par une extrémité (Huygens, $d = \ell/2$ ) : $\tfrac13M\ell^2 = 0.167\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ . (b) $\tfrac12MR^2 = 4.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; à la jante $\tfrac32MR^2 = 0.12\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ . (c) $\tfrac25 \times 0.16 \times (0.0285)^2 = 5.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ . (d) Le cerceau, $MR^2$ contre $\tfrac12MR^2$ : le double.

Exercice 1.2 ★

Une bicyclette roule à $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ sur des roues de diamètre $70\,\mathrm{cm}$ . Vitesse angulaire des roues ; vitesse, dans le référentiel du sol, de la valve lorsqu’elle est en haut, en bas, à l’avant de la roue (hauteur du moyeu) ; vitesse de la bande de roulement par rapport au cadre de la bicyclette. Un caillou coincé dans la bande de roulement se détache au sommet : à quelle vitesse part-il ?

Solution

Solution de Exercice 1.2.

$v = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = v/R = 5/0.35 = 14.3\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . Sommet : $2v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers l’avant ; bas : $0$ ; avant : $\vect v_G + \vect\Omega \wedge\vect{GM} = (v, -v)$ , soit $v\sqrt2 = 7.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $45{}^{\circ}$ vers le bas. Par rapport à la bicyclette la bande de roulement va à $R\omega = v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ partout. Le caillou part à $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , horizontalement vers l’avant.

Exercice 1.3 ★

Un volant d’inertie est un disque d’acier de $40\,\mathrm{kg}$ et de rayon $25\,\mathrm{cm}$ . (a) Énergie emmagasinée à $6000\,\mathrm{rpm}$ . (b) Couple constant nécessaire pour le lancer depuis le repos en $2.0\,\mathrm{min}$ ; puissance à la fin du lancement. (c) Dans un autobus, il doit fournir $20\,\mathrm{kW}$ pendant $10\,\mathrm{s}$ : jusqu’à quelle vitesse ralentit-il ? (d) Pourquoi fait-on tourner sous vide les volants rapides ?

Solution

Solution de Exercice 1.3.

$J = \tfrac12 \times 40 \times 0.25^2 = 1.25\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $\omega = 628\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . (a) $E = \tfrac12J\omega^2 = 246\,\mathrm{kJ}$ . (b) $\Gamma = J\omega/\Delta t = 1.25 \times 628/120 = 6.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; $P = \Gamma\omega = 4.1\,\mathrm{kW}$ à la fin. (c) $200\,\mathrm{kJ}$ prélevés laissent $46\,\mathrm{kJ}$ : $\omega = \sqrt{2 \times 46\,000/1.25} = 271\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 2600\,\mathrm{rpm}$ . (d) La traînée de l’air sur la jante croît comme $\omega^2$ (la puissance comme $\omega^3$ ) et échaufferait et freinerait le rotor ; sous vide et sur paliers magnétiques les pertes tombent à quelques watts.

Exercice 1.4 ★

Un disque homogène de rayon $R$ oscille dans un plan vertical autour d’un axe horizontal passant par un point de sa jante. Moment d’inertie par rapport à l’axe ; période des petites oscillations pour $R = 20\,\mathrm{cm}$ ; longueur du pendule simple équivalent. Mêmes questions pour l’axe situé à une distance $R/2$ du centre. Où faut-il placer l’axe pour que la période soit la plus courte ?

Solution

Solution de Exercice 1.4.

$J = \tfrac12MR^2 + MR^2 = \tfrac32MR^2$ , $d = R$ : $\ell_{\text{eq}} = \tfrac32R = 0.30\,\mathrm{m}$ , $T = 2\pi\sqrt{0.30/9.81} = 1.10\,\mathrm{s}$ . En $R/2$ : $J = \tfrac12MR^2 + \tfrac14MR^2 = \tfrac34MR^2$ , $d = R/2$ , $\ell_{\text{eq}} = \tfrac32R$ de nouveau, même période. En général $\ell_{\text{eq}}(d) = (R^2/2 + d^2)/d$ , minimal en $d = R/\sqrt2$ : $\ell_{\text{eq}} = R\sqrt2 = 0.283\,\mathrm{m}$ , $T = 1.07\,\mathrm{s}$ .

Exercice 1.5 ★★

Un cerceau, un disque et une boule de même rayon sont lâchés ensemble au sommet d’un plan incliné de $2.0\,\mathrm{m}$ de haut et de pente $20{}^{\circ}$ , $f = 0.30$ . (a) Vérifier que tous trois roulent sans glisser. (b) Vitesse en bas pour chacun ; ordre d’arrivée. (c) Durée du trajet pour chacun. (d) Montrer que la force de frottement sur la boule vaut $\tfrac27Mg\sin\alpha$ et qu’elle ne travaille pas. (e) À partir de quelle pente le cerceau se mettrait-il à glisser ? Et la boule ?

Solution

Solution de Exercice 1.5.

(a) $\tan20^\circ = 0.36 \le f(1 + k)/k$ , soit $\le 0.6$ (cerceau), $0.9$ (disque), $1.05$ (boule) : tous roulent. (b) $v = \sqrt{2gh/(1 + k)}$ : cerceau $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , disque $5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , boule $5.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; la boule d’abord, le cerceau en dernier. (c) Longueur $h/\sin\alpha = 5.85\,\mathrm{m}$ , $a = g\sin\alpha/(1 + k) = 1.68$ , $2.24$ , $2.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $t = \sqrt{2d/a} = 2.6$ , $2.3$ , $2.2\,\mathrm{s}$ . (d) $T = \dfrac{k}{1 + k}Mg\sin\alpha = \tfrac27Mg\sin\alpha$ ; le point de contact est au repos, donc $\vect T\cdot\vect v_I = 0$ . (e) Cerceau : $\tan\alpha > 2f = 0.6$ , $\alpha > 31{}^{\circ}$ ; boule : $\tan\alpha > 3.5f = 1.05$ , $\alpha > 46{}^{\circ}$ .

Exercice 1.6 ★★

Frein à disque. Une roue et son disque de frein ont $J = 1.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ et tournent à $900\,\mathrm{rpm}$ ; deux plaquettes serrent le disque à un rayon moyen de $12\,\mathrm{cm}$ , chacune avec une force normale de $800\,\mathrm{N}$ , $f = 0.40$ . Couple de freinage ; décélération angulaire ; temps et nombre de tours jusqu’à l’arrêt ; chaleur dégagée, et élévation de température du disque d’acier de $1.5\,\mathrm{kg}$ ( $c = 470\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) s’il la garde entièrement.

Solution

Solution de Exercice 1.6.

$\Gamma = 2fNr = 2 \times 0.4 \times 800 \times 0.12 = 77\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; $\dot\omega = \Gamma/J = 64\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}$ ; $\omega_0 = 94\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $t = 1.5\,\mathrm{s}$ ; $\theta = \omega_0^2/2\dot\omega = 69\,\mathrm{rad} = 11$ tours ; chaleur $= \tfrac12J \omega_0^2 = 5.3\,\mathrm{kJ}$ , $\Delta T = 5300/(1.5 \times 470) = 7.6\,\mathrm{K}$ .

Exercice 1.7 ★★

Machine d’Atwood à poulie réelle. Des masses $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ et $m_2 = 1.5\,\mathrm{kg}$ pendent à une corde passant sur une poulie de rayon $R = 10\,\mathrm{cm}$ et de moment d’inertie $J = 5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ sur une liaison pivot parfaite ; la corde ne glisse pas sur la poulie. (a) Pourquoi les deux tensions de la corde diffèrent-elles ? (b) Équations pour les deux masses et la poulie ; accélération. (c) Les deux tensions. (d) Comparer avec la poulie sans masse ; par l’énergie, retrouver l’accélération.

Solution

Solution de Exercice 1.7.

(a) La corde doit exercer un couple non nul pour lancer la poulie : $T_1 \ne T_2$ . (b) $m_1a = m_1g - T_1$ , $m_2a = T_2 - m_2g$ , $J\dot\omega = (T_1 - T_2)R$ avec $a = R\dot\omega$ : $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2 + J/R^2) = 0.5 \times 9.81/4.0 = 1.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) $T_1 = m_1(g - a) = 17.2\,\mathrm{N}$ , $T_2 = m_2(g + a) = 16.6\,\mathrm{N}$ . (d) Sans masse : $1.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Énergie : $(m_1 - m_2)gx = \tfrac12(m_1 + m_2 + J/R^2)v^2$ ; on dérive.

Exercice 1.8 ★★

L’échelle. Une échelle homogène de longueur $\ell$ et de masse $m$ s’appuie à l’angle $\theta$ avec l’horizontale contre un mur vertical lisse ; le sol a un coefficient de frottement $f$ . (a) Forces et leurs moments par rapport au pied ; équations d’équilibre. (b) Montrer que l’équilibre exige $\tan\theta \ge 1/2f$ . (c) Angle minimal pour $f = 0.40$ . (d) Une personne de masse $3m$ monte à l’échelle placée à $60{}^{\circ}$ : jusqu’à quelle hauteur (fraction de $\ell$ ) peut-elle aller ?

Solution

Solution de Exercice 1.8.

(a) Poids $mg$ au milieu ; mur : horizontale $N_w$ en haut ; sol : verticale $N = mg$ et frottement horizontal $T = N_w$ . Moments par rapport au pied : $mg\,\tfrac{\ell}2\cos\theta = N_w\ell\sin\theta$ . (b) $T = N_w = mg/(2\tan\theta) \le fmg \iff \tan\theta \ge 1/2f$ . (c) $\tan\theta \ge 1.25$ , $\theta \ge 51{}^{\circ}$ . (d) Personne en $x$ : $N = 4mg$ , $N_w = mg(\tfrac12 + 3x/\ell)/\tan60^\circ \le 4fmg = 1.6mg$ : $x/\ell \le (2.77 - 0.5)/3 = 0.76$ .

Exercice 1.9 ★★

Effet rétro. Une bille de billard est frappée de sorte qu’elle parte avec une vitesse du centre $v_0$ et une rotation rétrograde $\omega_0$ (rotation opposée au roulement). Coefficient de frottement $f$ . (a) Équations pour $v$ et $\omega$ pendant le glissement. (b) Instant où elle se met à rouler sans glisser et sa vitesse alors, en fonction de $v_0$ , $R\omega_0$ . (c) Condition sur $R\omega_0$ pour que la bille revienne vers le joueur. (d) Applications numériques : $v_0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $R\omega_0 = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $f = 0.2$ , $R = 2.9\,\mathrm{cm}$ .

Solution

Solution de Exercice 1.9.

(a) Le point de contact avance à $v + R\omega$ ( $\omega > 0$ pour un effet rétro) : frottement $-fmg$ sur le centre, $\dot v = -fg$ ; couple $-fmgR$ sur la rotation : $\dot\omega = -5fg/2R$ . (b) Le glissement $v + R\omega = v_0 + R\omega_0 - \tfrac72fgt$ s’annule en $t_1 = 2(v_0 + R\omega_0)/7fg$ , puis $v_1 = v_0 - fgt_1 = (5v_0 - 2R\omega_0)/7$ . (c) $v_1 < 0 \iff R\omega_0 > \tfrac52v_0$ . (d) $t_1 = 16/(7 \times 1.96) = 1.2\,\mathrm{s}$ ; $v_1 = (10 - 12)/7 = -0.29\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : elle revient.

Exercice 1.10 ★★★

Le touret. Un touret (masse $M$ , moment d’inertie $J = kMR^2$ par rapport à son axe, rayon extérieur $R$ ) repose sur une table horizontale ; un fil enroulé sur son moyeu intérieur de rayon $r < R$ est tiré horizontalement avec une force $F$ , le fil sortant par le bas du moyeu. (a) En supposant le roulement sans glissement, écrire les équations de la quantité de mouvement et du moment cinétique et trouver l’accélération du centre ; dans quel sens le touret roule-t-il ? (b) Force de frottement nécessaire, et condition sur $F$ pour qu’il n’y ait pas glissement. (c) Mêmes questions si le fil est tiré sous un angle $\beta$ au-dessus de l’horizontale ; montrer que le touret reste immobile quand $\cos\beta = r/R$ , et l’expliquer géométriquement (axe instantané passant par le point de contact). (d) Que se passe-t-il pour $\cos\beta < r/R$ ?

Solution

Solution de Exercice 1.10.

(a) Avec $x$ dans le sens de la traction, frottement $T$ selon $x$ : $Ma = F + T$ ; moments en $G$ (sens trigonométrique) : $rF + RT = -kMRa$ (roulement, $\omega_z = -a/R$ ). D’où $a = F(R - r)/(1 + k)MR > 0$ : le touret roule vers la traction, en enroulant le fil. (b) $T = -F(kR + r)/(1 + k)R$ (vers l’arrière) ; pas de glissement si $F \le fMg(1 + k)R/(kR + r)$ . (c) La droite d’action du fil est tangente au moyeu ; son moment par rapport au point de contact $I$ vaut $F(r - R\cos\beta)$ , horaire (roulement vers l’avant) quand $\cos\beta > r/R$ , nul quand la droite passe par $I$ — l’axe instantané — et alors $a = F(R\cos\beta - r)/(1 + k)MR$ , $T = -F(kR\cos\beta + r)/(1 + k)R$ , $N = Mg - F\sin\beta$ . (d) Pour $\cos\beta < r/R$ le moment par rapport à $I$ est trigonométrique : le touret roule en s’éloignant de celui qui tire.

Exercice 1.11 ★★★

Où frapper une bille de billard. Une queue communique une impulsion horizontale $P$ (force très brève) à une bille de rayon $R$ au repos, à la hauteur $h$ au-dessus du tapis. (a) Quantité de mouvement et moment cinétique juste après le choc (frottement négligeable pendant le choc). (b) Montrer que la bille roule sans glisser aussitôt si $h = \tfrac75R$ , a un effet avant au-dessus, un effet rétro en dessous. (c) Pour $h = R$ (frappe au centre), sur quelle distance la bille glisse-t-elle avant de rouler, avec $f = 0.2$ et $v_0 = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ? (d) Pourquoi la bande d’un billard est-elle placée à la hauteur $\tfrac75R$ ?

Solution

Solution de Exercice 1.11.

(a) $Mv_0 = P$ ; en $G$ : $\tfrac25MR^2\omega_0 = P(h - R)$ (sens de l’effet avant pour $h > R$ ). (b) $v_0 = R\omega_0 \iff 2R = 5(h - R) \iff h = \tfrac75R$ ; au-dessus $R\omega_0 > v_0$ (effet avant), en dessous effet rétro ou sous-rotation. (c) $\omega_0 = 0$ : glisse pendant $t_1 = 2v_0/7fg = 0.44\,\mathrm{s}$ , distance $v_0t_1 - \tfrac12fgt_1^2 = 1.1\,\mathrm{m}$ . (d) Une bande placée à $\tfrac75R$ renvoie la bille en roulement sans glissement : pas de phase de glissement, pas de vitesse perdue dans le tapis, un rebond prévisible.

Exercice 1.12 ★★★

Cylindre dans une gouttière. Un cylindre plein de rayon $r$ roule sans glisser à l’intérieur d’une surface cylindrique fixe de rayon $R > r$ , les axes horizontaux et parallèles. Soit $\theta$ l’angle de la ligne des centres avec la verticale. (a) Exprimer la vitesse angulaire du cylindre autour de son propre axe en fonction de $\dot\theta$ (indication : le point de contact est au repos). (b) Énergie cinétique et énergie potentielle ; montrer que la période des petites oscillations vaut $T = 2\pi\sqrt{3(R - r)/2g}$ . (c) Comparer avec un point qui glisse sans frottement dans la gouttière. (d) Coefficient de frottement minimal pour rouler sans glisser à l’amplitude $\theta_0$ (petits angles).

Solution

Solution de Exercice 1.12.

(a) $v_G = (R - r)\dot\theta$ ; le point de contact est au repos, donc le cylindre tourne à $\omega = v_G/r = (R - r)\dot\theta/r$ autour de son axe. (b) $E_k = \tfrac12Mv_G^2 + \tfrac12\cdot\tfrac12Mr^2\omega^2 = \tfrac34M(R - r)^2 \dot\theta^2$ , $E_p = -Mg(R - r)\cos\theta$ ; $\dd E/\dd t = 0$ donne $\ddot\theta + \dfrac{2g}{3(R - r)}\sin\theta = 0$ , $T = 2\pi\sqrt{3(R - r)/2g}$ . (c) Un point qui glisse : $2\pi\sqrt{(R - r)/g}$ — le roulement est plus lent d’un facteur $\sqrt{3/2}$ , un tiers de l’énergie étant de rotation. (d) Tangentiellement : $M(R - r)\ddot\theta = -Mg\sin\theta + T$ , donc $T = \tfrac13Mg\sin\theta$ ; au point de rebroussement $N = Mg\cos\theta_0$ : $f \ge \tfrac13\tan\theta_0 \approx \theta_0/3$ .

1.6 Problème : un véhicule sur roues

Problème 1.1

Problème du week-end — ce qu’une voiture demande à ses pneus : rouler, accélérer, freiner, et l’unique force qui fait tout

Une voiture de masse $M = 1200\,\mathrm{kg}$ a un empattement $L = 2.6\,\mathrm{m}$ ; son centre de masse est à la hauteur $h = 0.55\,\mathrm{m}$ et aux distances horizontales $a = 1.1\,\mathrm{m}$ de l’essieu avant et $b = 1.5\,\mathrm{m}$ de l’essieu arrière. Chacune des quatre roues a un rayon $R = 0.31\,\mathrm{m}$ , une masse $m = 15\,\mathrm{kg}$ et un moment d’inertie $J = 1.0\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ par rapport à son axe. Coefficient de frottement pneu–route $f = 0.80$ (sec) ; coefficient de résistance au roulement $\mu_r = 0.012$ . $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Partie I — Rouler.

La voiture roule à $v = 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Vitesse angulaire des roues ; vitesse, dans le référentiel de la route, des points supérieur, inférieur et avant d’un pneu.
Énergie cinétique totale de la voiture, en séparant la translation de l’ensemble et la rotation des quatre roues ; quelle fraction les rotations des roues représentent-elles ?
Au repos sur sol horizontal, forces normales $N_f$ (les deux roues avant ensemble) et $N_r$ (les deux arrière) par les équations de la quantité de mouvement et du moment cinétique — quel essieu porte le plus ?
Le couple de résistance au roulement sur chaque roue vaut $\mu_rNR$ . Puissance dissipée par la résistance au roulement à $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; comparer avec la traînée aérodynamique $\tfrac12\rho C_xSv^2$ avec $C_xS = 0.70\,\mathrm{m}^{2}$ , $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .
Le moteur est coupé et la voiture roule en roue libre sur sol horizontal : écrire l’équation de $v(t)$ (en incluant l’inertie des roues comme une masse effective) et estimer la distance pour ralentir de $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ à $45\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , en négligeant la traînée ; puis avec la traînée seule.

Partie II — Accélérer. La voiture est à traction avant ; le moteur applique un couple $\Gamma$ aux deux roues avant ensemble. On néglige ici la traînée et la résistance au roulement.

Représenter les forces extérieures sur l’ensemble de la voiture. Quelle force l’accélère ? Quelle est la puissance de la route sur la voiture, et d’où vient l’énergie cinétique ?
Écrire l’équation de la quantité de mouvement de la voiture, l’équation du moment cinétique des roues avant par rapport à leur axe, et la condition de non-glissement ; montrer que l’accélération vaut $\dot v = \Gamma/R\,/\,(M + 4J/R^2)$ et calculer la masse effective.
Moment cinétique au centre de masse pour l’ensemble de la voiture (les moments cinétiques des roues sont négligés) : montrer que le transfert de charge sous l’accélération $\dot v$ vaut $N_r - N_r^0 = Mh\dot v/L$ — l’essieu avant se déleste, l’arrière se charge.
Accélération maximale sans que les roues motrices (avant) patinent : montrer que $\dot v_{\max} = fgb/(L + fh)$ et la calculer ; de même pour une voiture à propulsion arrière, $\dot v_{\max} = fga/(L - fh)$ . Quelle architecture accélère le mieux, et pourquoi les dragsters placent-ils la masse à l’arrière ?
Couple moteur aux roues nécessaire pour $\dot v_{\max}$ ; la puissance correspondante à $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
La même voiture sur la glace ( $f = 0.10$ ) : accélération maximale et temps pour atteindre $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Que fait la force de frottement sur les pneus avant au pneu — glissement ou non — et pourquoi une roue qui patine sur la glace accélère-t-elle la voiture moins qu’une roue qui adhère ?

Partie III — Freiner.

Les freins appliquent un couple à chaque roue. Montrer que, pour une roue qui continue de rouler, la force de freinage sur la voiture est le frottement de la route sur le pneu, et que le couple de freinage est limité par $fN_iR$ par roue.
Transfert de charge sous la décélération $\gamma$ : charge de l’essieu avant $N_f = Mg\,b/L + Mh\gamma/L$ ; valeurs à $\gamma = fg$ .
Décélération maximale avec les quatre roues à la limite du glissement ; distance d’arrêt depuis $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ sur route sèche, et sur route mouillée ( $f = 0.45$ ).
Si les freins sont réglés pour que les couples avant et arrière soient égaux, quel essieu se bloque le premier lors d’un freinage appuyé ? Pourquoi un essieu arrière bloqué est-il dangereux (penser à la direction de la force de frottement sur un pneu qui glisse) ?
Une roue se bloque et glisse : décélération due à la route, et quelle fraction du freinage maximal est perdue avec $f_{\text{cin}} = 0.7$ contre $f_{\text{stat}} = 0.8$ . Expliquer ce que fait un système antiblocage et pourquoi il module le freinage.
Chaleur dégagée dans les freins depuis $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; élévation de température des quatre disques d’acier de $6\,\mathrm{kg}$ ( $c = 470\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) ; pourquoi les routes de montagne ont-elles des lits d’arrêt ?
Une voiture électrique récupère l’énergie de freinage par son moteur avec un rendement de $70\,\%$ : énergie récupérée par arrêt depuis $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; nombre de tels arrêts que vaut une batterie de $50\,\mathrm{kWh}$ .

Partie IV — Virer, et une roue en l’air.

La voiture tourne sur route plane sur un cercle de rayon $\rho = 50\,\mathrm{m}$ à la vitesse $v$ : les forces de frottement doivent fournir $Mv^2/\rho$ . Vitesse maximale en virage sur route sèche et mouillée.
Moment cinétique au centre de masse selon la direction du mouvement : montrer que les roues extérieures sont chargées de $\Delta N = Mv^2h/\rho w$ où $w = 1.5\,\mathrm{m}$ est la voie ; vitesse à laquelle les roues intérieures décollent ( $\Delta N = Mg/2$ ), et comparer avec la vitesse de dérapage : cette voiture se retourne-t-elle ou dérape-t-elle d’abord ?
Le virage est relevé d’un angle $\beta$ . Montrer qu’à la vitesse $v = \sqrt{g\rho\tan\beta}$ aucun frottement n’est nécessaire ; valeur pour $\beta = 10{}^{\circ}$ .
Une roue est soulevée par un cric et lancée à la main à $60\,\mathrm{rpm}$ ; son palier exerce un couple de frottement de $0.05\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . Combien de temps tourne-t-elle ? Énergie cinétique perdue.
La roue en rotation est posée sur la route (voiture à l’arrêt, roue à $60\,\mathrm{rpm}$ , $N = 3\,\mathrm{kN}$ ) : durée du glissement avant l’arrêt, et distance dont la voiture serait poussée si elle était libre de rouler (traiter la voiture comme une masse $M$ sur roues libres, en négligeant l’inertie des autres roues).
Résumer en un tableau : les quatre régimes (rouler, accélérer, freiner, virer), la force qui agit dans chacun et la borne de Coulomb qu’elle doit respecter.

Solution

Solution de Problème 1.1.

1. $v = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 80.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; sommet $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , bas $0$ , avant $(25, -25)$ : $35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $45{}^{\circ}$ vers le bas.

2. $\tfrac12Mv^2 = 375\,\mathrm{kJ}$ ; $4 \times \tfrac12J\omega^2 = 13\,\mathrm{kJ}$ ; total $388\,\mathrm{kJ}$ , roues $3.3\%$ .

3. $N_f + N_r = Mg = 11.8\,\mathrm{kN}$ , $N_fa = N_rb$ : $N_f = Mgb/L = 6.8\,\mathrm{kN}$ , $N_r = Mga/L = 5.0\,\mathrm{kN}$ — l’essieu avant (moteur).

4. $P_r = \sum\mu_rN_iR\omega = \mu_rMgv = 0.012 \times 11772 \times 25 = 3.5\,\mathrm{kW}$ ; traînée $\tfrac12 \times 1.2 \times 0.7 \times 625 = 262\,\mathrm{N}$ , $6.6\,\mathrm{kW}$ .

5. $(M + 4J/R^2)\dot v = -\mu_rMg - \tfrac12\rho C_xSv^2$ , $M_{\text{eff}} = 1200 + 41.6 = 1242\,\mathrm{kg}$ . Roulement seul : $\dot v = -0.114\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $d = (25^2 - 12.5^2)/0.228 = 2.1\,\mathrm{km}$ . Traînée seule : $v = v_0\eu^{-x/\lambda}$ , $\lambda = M_{\text{eff}}/\tfrac12\rho C_xS = 2.96\,\mathrm{km}$ , $d = \lambda\ln2 = 2.0\,\mathrm{km}$ (les deux ensemble : $1.0\,\mathrm{km}$ ).

6. Le poids, les réactions normales, le frottement de la route sur les pneus. Le frottement vers l’avant sur les pneus avant est la seule force horizontale extérieure, c’est donc lui qui accélère la voiture ; sa puissance est nulle (point de contact au repos) ; l’énergie cinétique vient du moteur — travail intérieur.

7. $M\dot v = T_f - T_r$ ; roues avant $2J\dot v/R = \Gamma - T_fR$ ; roues arrière $2J\dot v/R = T_rR$ . En additionnant : $(M + 4J/R^2)\dot v = \Gamma/R$ ; $M_{\text{eff}} = 1242\,\mathrm{kg}$ .

8. Moments en $G$ (forces horizontales du sol à la profondeur $h$ , de somme $M\dot v$ ) : $aN_f - bN_r + hM\dot v = 0$ avec $N_f + N_r = Mg$ , donc $N_r = Mga/L + Mh\dot v/L$ : l’arrière gagne $Mh\dot v/L$ , l’avant le perd.

9. Traction avant : $M\dot v \le fN_f = f(Mgb/L - Mh\dot v/L)$ , donc $\dot v_{\max} = fgb/(L + fh) = 11.77/3.04 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Propulsion arrière : $M\dot v \le f(Mga/L + Mh\dot v/L)$ , $\dot v_{\max} = fga/(L - fh) = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Le transfert de charge favorise l’essieu arrière : la propulsion, et la masse à l’arrière, accélèrent mieux.

10. $\Gamma = RM_{\text{eff}}\dot v_{\max} = 0.31 \times 1242 \times 3.87 = 1.5\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$ ; $P = \Gamma v/R = 1490 \times 13.9/0.31 = 67\,\mathrm{kW}$ .

11. $\dot v_{\max} = 0.1 \times 9.81 \times 1.5/2.655 = 0.55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $25\,\mathrm{s}$ pour atteindre $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

12. Adhérence : frottement statique, pas de glissement, aucune dissipation au contact. Patinage : frottement dynamique (coefficient un peu plus faible), son travail échauffe le pneu et polit ou fait fondre la glace, et la puissance du moteur sert à faire tourner la roue, non à déplacer la voiture.

13. Le couple de freinage est intérieur (roue–caisse) ; la voiture n’est freinée que par le frottement de la route vers l’arrière sur le pneu. Pour la roue ( $J\dot\omega$ négligeable) : $\Gamma_b \approx T_iR \le fN_iR$ .

14. Même bilan avec $\dot v = -\gamma$ : $N_f = Mgb/L + Mh\gamma/L$ ; à $\gamma = fg = 7.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $N_f = 6792 + 1992 = 8.8\,\mathrm{kN}$ , $N_r = 3.0\,\mathrm{kN}$ .

15. $\gamma_{\max} = fg = 7.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $d = v^2/2\gamma = 40\,\mathrm{m}$ ; sur route mouillée $f = 0.45$ : $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $71\,\mathrm{m}$ .

16. Des couples égaux donnent des forces égales, mais l’essieu arrière ne porte que $3.0\,\mathrm{kN}$ : il se bloque le premier. Le frottement d’un pneu qui glisse est opposé à sa vitesse de glissement et ne peut plus fournir de force latérale : un essieu arrière bloqué perd la stabilité de trajectoire et la voiture part en tête-à-queue.

17. Bloquée : $\gamma = 0.7g = 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $12\%$ de moins, distance d’arrêt $45\,\mathrm{m}$ au lieu de $40\,\mathrm{m}$ — et plus de direction. Un système antiblocage détecte une roue qui décélère vers le blocage, relâche et réapplique le frein plusieurs fois par seconde, gardant le pneu près du maximum statique et en roulement.

18. $388\,\mathrm{kJ}$ dans $4 \times 6 \times 470 = 11.3\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ : $\Delta T = 34\,\mathrm{K}$ par arrêt. Un camion de $40\,\mathrm{t}$ qui descend $1000\,\mathrm{m}$ doit dissiper $Mgh = 390\,\mathrm{MJ}$ : les freins surchauffent et s’effacent ; un lit d’arrêt en gravier arrête le camion par le frottement du gravier.

19. $0.7 \times 388 = 272\,\mathrm{kJ} = 0.075\,\mathrm{kWh}$ ; une batterie de $50\,\mathrm{kWh}$ vaut environ $660$ arrêts de ce type.

20. $Mv^2/\rho \le fMg$ : $v \le \sqrt{fg\rho} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; sur route mouillée $53\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

21. Frottement latéral $Mv^2/\rho$ à la profondeur $h$ , forces normales en $\pm w/2$ : $(N_{\text{ext}} - N_{\text{int}})\,w/2 = Mv^2h/\rho$ , donc $\Delta N = Mv^2h/\rho w$ . Les roues intérieures décollent pour $\Delta N = Mg/2$ : $v = \sqrt{g\rho w/2h} = 25.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 93\,\mathrm{km}/\mathrm{h} > 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : elle dérape d’abord (puisque $f < w/2h = 1.36$ ).

22. Sur un devers d’angle $\beta$ sans frottement, $N\sin\beta = Mv^2/\rho$ et $N\cos\beta = Mg$ : $v = \sqrt{g\rho\tan\beta} = 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ pour $10{}^{\circ}$ .

23. $\omega_0 = 6.28\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $J\dot\omega = -0.05\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ : $t = 126\,\mathrm{s}$ ; $\tfrac12J\omega_0^2 = 20\,\mathrm{J}$ perdus.

24. Le frottement dynamique $fN = 2.4\,\mathrm{kN}$ pousse la voiture en avant : $\dot v = 2400/1200 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; sur la roue $J\dot\omega = -fNR$ , $\dot\omega = -744\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}$ . Le glissement $R\omega - v$ part de $1.95\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et décroît de $233\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : il s’annule en $8.4\,\mathrm{ms}$ , la voiture ayant gagné $1.7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ et parcouru $70\,\text{µ}\mathrm{m}$ — une secousse, non une poussée.

25. Rouler : frottement $\approx 0$ , résistance au roulement $\mu_rN$ , $|T| \le fN$ trivialement. Accélérer : frottement vers l’avant sur les pneus moteurs, $T \le fN_{\text{mot}}$ , $\dot v \le fgb/(L + fh)$ . Freiner : frottement vers l’arrière sur tous les pneus, $T_i \le fN_i$ , $\gamma \le fg$ . Virer : frottement latéral $Mv^2/\rho \le fMg$ . Dans tous les cas une seule force — le frottement de la route, borné par la loi de Coulomb — fait tout le travail.

Termes définis dans ce chapitre

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