Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

9Électronique : rétroaction, oscillateurs et acquisition du signal

Approchez trop un microphone du haut-parleur qu’il alimente et la salle s’emplit d’un hurlement : l’amplificateur s’entend lui-même, et un bruit minuscule croît jusqu’au cri, sur une hauteur bien précise. Domestiquée, cette même boucle est le cœur de toute horloge, de toute radio et de tout synthétiseur — un oscillateur qui fabrique une sinusoïde à partir d’un simple gain et d’un filtre. Le volume de première année construisait amplificateurs, filtres et comparateurs avec l’amplificateur opérationnel ; ce chapitre referme la boucle autour d’eux, demande quand une boucle est stable et quand elle oscille, construit deux oscillateurs — l’un sinusoïdal, l’autre carré — puis passe aux deux opérations par lesquelles un signal mesuré parvient à un ordinateur : l’échantillonnage et l’extraction hors du bruit par détection synchrone.

Une plaque d’essai, un générateur de fonctions et un oscilloscope : la paillasse sur laquelle on referme une boucle de rétroaction — et sur laquelle on découvre, lorsque l’amplificateur se met à chanter, qu’il est devenu un oscillateur.

9.1 Rétroaction et stabilité

Définition 9.1 (Boucle fermée ; gain de boucle)

Un amplificateur de fonction de transfert $\underline A(\jmath\omega)$ reçoit l’entrée $\underline e$ augmentée d’une fraction $\underline\beta(\jmath\omega)\,\underline s$ de sa propre sortie $\underline s$ (rétroaction positive ; pour une rétroaction négative, changer le signe de $\beta$ ). La fonction de transfert en boucle fermée et le gain de boucle valent

\underline H = \frac{\underline s}{\underline e} = \frac{\underline A}{1 - \underline A\,\underline\beta} , \qquad \underline T = \underline A\,\underline\beta .

Théorème 9.2 (Stabilité d’une boucle linéaire ; condition d’oscillation)

En remplaçant $\jmath\omega$ par la variable complexe $p$ , l’évolution libre de la boucle est gouvernée par les racines de son équation caractéristique $1 - \underline A(p)\underline\beta(p) = 0$ (les pôles de $\underline H$ ) : chaque racine $p_i$ apporte un mode $\eu^{p_it}$ . La boucle est stable lorsque toutes les racines sont de partie réelle négative (tout mode s’éteint) ; elle oscille, en amplitude croissante, lorsqu’une racine a une partie réelle positive. La frontière — une paire de racines imaginaires pures $\pm\jmath \omega_0$ , c’est-à-dire une sinusoïde entretenue — est atteinte lorsque

\underline A(\jmath\omega_0)\,\underline\beta(\jmath\omega_0) = 1

(condition de Barkhausen : gain de boucle de module un et de phase nulle à $\omega_0$ ). Pour un dénominateur du second degré $ap^2 + bp + c$ la boucle est stable si et seulement si $a$ , $b$ , $c$ sont de même signe.

Démonstration. L’équation différentielle de la boucle s’obtient à partir de $\underline s(1 - \underline A\underline\beta) = \underline A\underline e$ en lisant chaque puissance de $\jmath\omega$ comme une dérivée temporelle ; ses solutions homogènes sont les $\eu^{p_it}$ où les $p_i$ sont les racines du polynôme. La croissance ou la décroissance suit le signe de $\operatorname{Re}p_i$ ; pour un polynôme du second degré les racines sont de partie réelle négative exactement lorsque les coefficients sont de même signe (leur somme vaut $-b/a$ et leur produit $c/a$ ). La condition de Barkhausen exprime l’existence d’une racine en $p = \jmath\omega_0$ . ∎

Remarque 9.3 (Comment un oscillateur démarre et s’arrête)

Un oscillateur se conçoit avec un gain de boucle légèrement supérieur à un en $\omega_0$ : le bruit présent à la mise sous tension contient cette fréquence, qui croît exponentiellement tandis que toutes les autres s’éteignent. La théorie linéaire prévoit alors une amplitude infinie ; en réalité une non-linéarité — la saturation de l’amplificateur, ou un élément volontairement non linéaire — abaisse le gain effectif à mesure que l’amplitude croît, jusqu’à ce que le gain de boucle vaille en moyenne exactement un : l’amplitude se stabilise. Tout oscillateur réel est ainsi une boucle linéaire pour la fréquence et non linéaire pour l’amplitude ; plus la limitation est douce, plus la sinusoïde est pure.

9.2 L’oscillateur à pont de Wien

Proposition 9.4 (Oscillateur à pont de Wien)

Un amplificateur opérationnel monté en non-inverseur de gain $K = 1 + R_2/R_1$ ramène sa sortie sur son entrée $+$ à travers le réseau de Wien : $R$ et $C$ en série, puis $R$ et $C$ en parallèle vers la masse. La fonction de transfert du réseau vaut

\underline\beta(\jmath\omega) = \frac1{3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)} ,

réelle et maximale ( $= 1/3$ ) en $\omega_0 = 1/RC$ . Le gain de boucle $K\underline\beta$ vaut un en $\omega_0$ lorsque $K = 3$ : le circuit entretient alors une sinusoïde à

f_0 = \frac1{2\pi RC} .

La tension $v$ à l’entrée $+$ obéit à

\frac{\dd^2v}{\dd t^2} + \frac{3 - K}{RC}\,\frac{\dd v}{\dd t} + \frac{v}{R^2C^2} = 0 :

pour $K < 3$ l’oscillation s’éteint, pour $K > 3$ elle croît (amortissement négatif) avec la constante de temps $2RC/(K - 3)$ , jusqu’à ce que la saturation de l’amplificateur la limite.

Démonstration. Diviseur de tension : la branche série $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$ , la branche parallèle $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$ ; $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$ , qui se simplifie sous la forme donnée. Boucle : $\underline v = \underline\beta K\underline v$ , soit $[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]\underline v = K\underline v$ ; multiplions par $\jmath\omega RC$ et lisons $\jmath\omega \to \dd/\dd t$ : $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$ . Son coefficient d’amortissement change de signe en $K = 3$ . ∎

À gauche : une boucle de rétroaction — la sortie est ramenée, à travers , à l’entrée de l’amplificateur. À droite : l’oscillateur à pont de Wien — un amplificateur non inverseur de gain 1 + R_2/R_1 dont la sortie revient sur son entrée + par le réseau RC série–parallèle ; il oscille à 1/2π RC lorsque le gain atteint 3. — À gauche : une boucle de rétroaction — la sortie est ramenée, à travers $\underline\beta$ , à l’entrée de l’amplificateur. À droite : l’oscillateur à pont de Wien — un amplificateur non inverseur de gain $1 + R_2/R_1$ dont la sortie revient sur son entrée $+$ par le réseau $RC$ série–parallèle ; il oscille à $1/2\pi RC$ lorsque le gain atteint 3.

Exemple 9.5 (Une source à 1 kHz)

$R = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 10\,\mathrm{nF}$ : $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ . Avec $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ et $R_2 = 21\,\mathrm{k}\Omega$ , $K = 3.1$ : l’amplitude croît d’un facteur $\eu$ tous les $2RC/0.1 = 3.2\,\mathrm{ms}$ à partir du bruit de mise sous tension, et atteint la saturation en quelques dizaines de millisecondes ; la sinusoïde écrêtée est alors riche en harmoniques. En remplaçant $R_1$ par une petite lampe à incandescence, dont la résistance croît quand elle chauffe, on ramène $K$ exactement à $3$ pour une amplitude modérée : une sinusoïde à moins de $0.1\%$ de distorsion, le circuit des premiers générateurs de signaux de laboratoire.

9.3 Comparateurs à hystérésis ; le multivibrateur astable

Proposition 9.6 (Comparateur à hystérésis)

Un amplificateur opérationnel à rétroaction positive — sortie ramenée sur l’entrée $+$ par un diviseur $R_1$ , $R_2$ (l’entrée $+$ est alors à $\beta s$ avec $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ lorsque le signal $e$ est appliqué à l’entrée $-$ ) — n’a aucun régime linéaire stable : sa sortie vaut $+V_{\text{sat}}$ ou $-V_{\text{sat}}$ et bascule

\begin{align*} &\text{de } +V_{\text{sat}} \text{ à } -V_{\text{sat}} \text{ quand } e \text{ dépasse } +\beta V_{\text{sat}} ,\\ &\text{de } -V_{\text{sat}} \text{ à } +V_{\text{sat}} \text{ quand } e \text{ passe sous } -\beta V_{\text{sat}} . \end{align*}

Les deux seuils diffèrent : l’hystérésis $2\beta V_{\text{sat}}$ rend le comparateur insensible à un bruit plus petit qu’elle, et son cycle dans le plan $(e, s)$ est un rectangle parcouru dans le sens horaire.

Démonstration. Avec $s = +V_{\text{sat}}$ l’entrée $+$ est à $+\beta V_{\text{sat}}$ ; la sortie reste positive tant que $e < \beta V_{\text{sat}}$ , et bascule lorsque $e$ franchit ce seuil — après quoi l’entrée $+$ est à $-\beta V_{\text{sat}}$ , de sorte que $e$ doit passer sous cette valeur pour la faire rebasculer. (En régime linéaire la rétroaction positive ferait croître tout écart : il est instable.) ∎

Proposition 9.7 (Multivibrateur astable)

Ramenons la sortie du comparateur à hystérésis sur sa propre entrée $-$ à travers un circuit $RC$ ( $R$ de $s$ vers l’entrée $-$ , $C$ de là vers la masse). Le condensateur se charge vers $\pm V_{\text{sat}}$ et fait basculer le comparateur chaque fois qu’il atteint un seuil : un signal carré en $s$ , un signal quasi triangulaire sur $C$ , de période

T = 2RC\,\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta} .

Pour $\beta = 1/2$ , $T = 2RC\ln3 \approx 2.2RC$ . De tels oscillateurs à relaxation cadencent les microcontrôleurs, font clignoter les témoins et engendrent les signaux triangulaires et carrés des générateurs de fonctions.

Démonstration. Avec $s = +V_{\text{sat}}$ , la tension du condensateur $v_C$ va de $-\beta V_{\text{sat}}$ vers $+V_{\text{sat}}$ selon $v_C = V_{\text{sat}} - (1 + \beta) V_{\text{sat}}\eu^{-t/RC}$ , et atteint $+\beta V_{\text{sat}}$ au bout de $RC\ln[(1 + \beta) /(1 - \beta)]$ ; le comparateur bascule et la demi-période symétrique suit. ∎

À gauche : le cycle d’un comparateur à hystérésis — deux seuils, un rectangle parcouru dans le sens horaire. À droite : le multivibrateur astable — la tension du condensateur fait la navette entre les seuils et la sortie est un signal carré.

9.4 Échantillonner un signal

Théorème 9.8 (Échantillonnage ; critère de Nyquist–Shannon)

Un signal est échantillonné lorsque seules ses valeurs $s(nT_s)$ aux instants $nT_s$ sont conservées, $f_s = 1/T_s$ étant la fréquence d’échantillonnage. Le spectre du signal échantillonné est le spectre de $s$ répété autour de chaque multiple de $f_s$ . Un signal dont le spectre est confiné sous $f_{\max}$ peut être reconstruit exactement à partir de ses échantillons si et seulement si

f_s > 2f_{\max} ;

sinon les copies se recouvrent et une composante à $f > f_s/2$ réapparaît à la fréquence repliée $|f - nf_s|$ (pour l’entier $n$ qui la ramène sous $f_s/2$ ), indiscernable d’une véritable composante de basse fréquence. D’où le filtre anti-repliement placé avant tout échantillonneur : un passe-bas qui supprime tout au-dessus de $f_s/2$ .

Démonstration. Échantillonner, c’est multiplier $s(t)$ par un train périodique d’impulsions étroites de période $T_s$ , dont la série de Fourier contient toutes les harmoniques $nf_s$ (volume de mathématiques de cette année) ; multiplier $s$ par $\cos(2\pi nf_st)$ décale son spectre de $\pm nf_s$ — d’où les copies. Elles ne se recouvrent pas si et seulement si $f_{\max} < f_s - f_{\max}$ ; un passe-bas de coupure $f_s/2$ restitue alors exactement le spectre d’origine (admis). Repliement : les échantillons de $\cos(2\pi ft)$ et de $\cos(2\pi(f - nf_s)t)$ pris en $t = mT_s$ coïncident, puisque $2\pi nf_smT_s = 2\pi nm$ . ∎

Exemple 9.9 (Roues de chariot, disques compacts et oscilloscopes)

Un film à $24$ images par seconde échantillonne le monde à $24\,\mathrm{Hz}$ : une roue à $12$ rayons tournant à $2.1$ tours par seconde présente un rayon $25.2$ fois par seconde, soit $1.2$ au-delà de $f_s$ — elle semble tourner lentement vers l’avant, et à $1.9$ tour par seconde vers l’arrière. Un disque compact échantillonne à $44.1\,\mathrm{kHz}$ pour restituer le son jusqu’à $20\,\mathrm{kHz}$ , avec un filtre anti-repliement raide entre $20$ et $22\,\mathrm{kHz}$ . Un oscilloscope numérique réglé sur $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ affiche une sinusoïde de $999\,\mathrm{kHz}$ comme une sinusoïde de $1\,\mathrm{kHz}$ — le premier piège de la mesure numérique.

Repliement : une sinusoïde à 0.9f_s et une autre à 0.1f_s passent par les mêmes échantillons ; une fois échantillonnées, on ne peut plus les distinguer — d’où le critère f_s > 2f_. — Repliement : une sinusoïde à $0.9f_s$ et une autre à $0.1f_s$ passent par les mêmes échantillons ; une fois échantillonnées, on ne peut plus les distinguer — d’où le critère $f_s > 2f_{\max}$ .

Remarque 9.10 (Quantification)

Le convertisseur analogique-numérique arrondit aussi chaque échantillon à l’un de $2^N$ niveaux ( $N$ bits) : l’erreur d’arrondi, au plus la moitié d’un pas, agit comme un bruit de valeur efficace $\Delta/\sqrt{12}$ pour un pas $\Delta$ , et la dynamique (la plus grande sinusoïde rapportée à ce bruit) vaut environ $6N + 2$ dB — $98\,\mathrm{dB}$ pour les $16$ bits d’un disque compact, $74\,\mathrm{dB}$ pour un oscilloscope de $12$ bits. Fréquence d’échantillonnage et résolution sont les deux nombres inscrits sur l’étiquette de tout numériseur.

9.5 La détection synchrone

Proposition 9.11 (Détection synchrone)

Un signal de fréquence connue, $s(t) = A\cos(\omega_0t + \varphi)$ , enfoui dans un bruit $n(t)$ d’amplitude bien plus grande étalé sur une large bande, est multiplié par une référence $r(t) = \cos\omega_0t$ de même fréquence puis passé dans un filtre passe-bas de coupure $f_c \ll f_0$ :

s(t)r(t) = \tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi) \ \xrightarrow{\ \text{passe-bas}\ }\ \tfrac12A\cos\varphi .

La sortie est une tension continue proportionnelle à l’amplitude du signal (et au cosinus de sa phase par rapport à la référence), tandis que le bruit se réduit à la part de son spectre située à $\pm f_c$ de $f_0$ — une bande de largeur $2f_c$ que l’on peut rendre aussi étroite qu’on veut (une fraction de hertz pour une constante de temps de filtre de quelques secondes). Les composantes à d’autres fréquences $f$ sont décalées en $f \pm f_0$ et rejetées par le filtre.

Démonstration. $\cos a\cos b = \tfrac12[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$ ; le filtre garde le terme de différence pour le signal, le terme en $2\omega_0$ et toute composante de bruit à $f$ étant décalés en $|f - f_0|$ et $f + f_0$ — seul le bruit initialement à moins de $f_c$ de $f_0$ retombe sous $f_c$ . ∎

Détection synchrone : la sortie du capteur, signal plus large bruit, est multipliée par une référence à la fréquence propre du signal et filtrée en passe-bas ; seul survit le bruit contenu dans une bande étroite autour de f_0 (grisée), et le signal ressort comme un niveau continu. — Détection synchrone : la sortie du capteur, signal plus large bruit, est multipliée par une référence à la fréquence propre du signal et filtrée en passe-bas ; seul survit le bruit contenu dans une bande étroite autour de $f_0$ (grisée), et le signal ressort comme un niveau continu.

Exemple 9.12 (Trouver un microvolt)

Une photodiode délivre $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ de signal lorsque sa lumière est hachée à $1\,\mathrm{kHz}$ , par-dessus $50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ de bruit blanc sur $100\,\mathrm{kHz}$ ( $16\,\text{µ}\mathrm{V}$ efficaces : plus que le signal). Après détection synchrone avec un filtre de constante de temps $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (bande de bruit $1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$ ) le bruit tombe à $50\,\text{nV} \times \sqrt{0.25} = 25\,\mathrm{nV}$ : un rapport signal sur bruit de $400$ — au prix de quelques secondes d’attente par point. Le même procédé, sous le nom de démodulation, extrait la musique d’une porteuse radio AM et les données d’un modem.

Méthode 9.13 (Concevoir une chaîne de mesure)

(1) Moduler la grandeur à mesurer à une fréquence $f_0$ éloignée du bruit (hacheur, pont alternatif). (2) Amplifier avec une bande passante couvrant $f_0$ . (3) Détecter en synchrone avec un filtre dont la constante de temps est la plus longue que la mesure autorise : le bruit décroît en $1/\sqrt\tau$ . (4) Échantillonner la sortie lente à une cadence supérieure au double de sa bande, après un filtre anti-repliement, avec assez de bits pour la résolution voulue. (5) Vérifier la chaîne avec un signal connu, et s’assurer que rien n’y oscille : tout amplificateur rebouclé est un oscillateur en puissance.

9.6 Exercices

Exercice 9.1 ★

Un oscillateur à pont de Wien avec $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 10\,\mathrm{nF}$ : fréquence ; gain nécessaire ; valeurs de $R_1$ , $R_2$ pour $K = 3.05$ avec $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ; constante de temps de la croissance de l’amplitude. Quels composants fixent la fréquence, lesquels le démarrage ?

Solution

Solution de Exercice 9.1.

$f_0 = 1/2\pi RC = 1.59\,\mathrm{kHz}$ ; $K = 3$ ; $R_2 = 2.05R_1 = 20.5\,\mathrm{k}\Omega$ ; $\tau = 2RC/(K - 3) = 4\,\mathrm{ms}$ . $R$ et $C$ fixent la fréquence ; $R_1$ et $R_2$ le démarrage (et la limitation d’amplitude).

Exercice 9.2 ★

Comparateur à hystérésis avec $V_{\text{sat}} = \pm 13\,\mathrm{V}$ , $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 4.0\,\mathrm{k}\Omega$ : seuils, largeur de l’hystérésis. Un signal bruité qui franchit zéro avec $2\,\mathrm{V}$ de bruit : combien de fois la sortie bascule-t-elle par franchissement, avec et sans hystérésis ?

Solution

Solution de Exercice 9.2.

$\beta = 0.2$ : seuils $\pm2.6\,\mathrm{V}$ , hystérésis $5.2\,\mathrm{V}$ . Un bruit de $2\,\mathrm{V}$ ne peut pas refranchir un seuil distant de $5.2\,\mathrm{V}$ : un seul basculement par franchissement ; sans hystérésis la sortie hache plusieurs fois.

Exercice 9.3 ★

Multivibrateur astable avec $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $\beta = 0.5$ : période et fréquence ; $R$ pour $1.0\,\mathrm{kHz}$ ; amplitude du signal triangulaire sur le condensateur ; qu’advient-il de $T$ si l’on porte $\beta$ à $0.9$ ?

Solution

Solution de Exercice 9.3.

$T = 2RC\ln3 = 2.2\,\mathrm{ms}$ , soit $455\,\mathrm{Hz}$ ; $R = 4.55\,\mathrm{k}\Omega$ pour $1\,\mathrm{kHz}$ ; triangle entre $\pm\beta V_{\text{sat}}$ ; $\beta = 0.9$ : $T = 2RC\ln19 = 5.9\,\mathrm{ms}$ , soit $2.7$ fois plus long.

Exercice 9.4 ★

(a) Un disque compact échantillonne à $44.1\,\mathrm{kHz}$ : fréquence maximale restituée. (b) Un ultrason de $30\,\mathrm{kHz}$ s’infiltre dans l’enregistrement : à quelle fréquence apparaît-il ? (c) Une roue à $8$ rayons filmée à $25\,\mathrm{images}/\mathrm{s}$ tourne à $3.2$ tours/s : mouvement apparent. (d) Un oscilloscope à $10\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ montre une belle sinusoïde à $100\,\mathrm{kHz}$ ; quelles autres fréquences le signal vrai pourrait-il avoir ?

Solution

Solution de Exercice 9.4.

(a) $22.05\,\mathrm{kHz}$ . (b) $|30 - 44.1| = 14.1\,\mathrm{kHz}$ . (c) Les rayons défilent à $8 \times 3.2 = 25.6\,\mathrm{Hz}$ , alias $0.6\,\mathrm{Hz}$ : la roue semble avancer lentement à $0.075$ tour/s. (d) $100\,\mathrm{kHz} + n \times 10\,\mathrm{MHz}$ , ou $n \times 10\,\mathrm{MHz} - 100\,\mathrm{kHz}$ : $9.9$ , $10.1$ , $19.9$ , $20.1\,\mathrm{MHz}$ , …

Exercice 9.5 ★★

Boucles de polynômes caractéristiques (a) $p^2 + 3p + 2$ , (b) $p^2 - p + 4$ , (c) $p^2 + 4$ , (d) $p^3 + 2p^2 + 2p + 1$ , (e) $p^3 + p + 1$ : trouver ou discuter les racines ; quelles boucles sont stables, lesquelles oscillent, lesquelles divergent ? (Pour les cubiques, raisonner sur le signe des parties réelles : par exemple, montrer que (e) a une racine réelle négative et deux racines complexes de partie réelle positive, en utilisant le produit et la somme des racines.)

Solution

Solution de Exercice 9.5.

(a) $-1$ , $-2$ : stable. (b) $(1 \pm \iu\sqrt{15})/2$ : oscillation croissante. (c) $\pm2\iu$ : oscillation entretenue. (d) $(p + 1)(p^2 + p + 1)$ : $-1$ et $(-1 \pm \iu\sqrt3)/2$ : stable. (e) Une racine réelle voisine de $-0.68$ (le polynôme est monotone) ; la somme des trois racines vaut $0$ , donc la paire complexe a pour partie réelle $+0.34$ : instable.

Exercice 9.6 ★★

Réseau de Wien. (a) Établir $\underline\beta(\jmath\omega)$ à partir du diviseur. (b) Tracer (à main levée) son module et sa phase ; montrer que la phase n’est nulle qu’en $\omega_0$ et que le module y vaut $1/3$ . (c) Écrire l’équation différentielle de la boucle pour un gain $K$ et discuter $K < 3$ , $K = 3$ , $K > 3$ . (d) Avec $K = 3.2$ , partant d’un bruit de $1\,\mathrm{mV}$ , au bout de combien de temps l’amplitude atteint-elle $10\,\mathrm{V}$ ? Pourquoi l’amplitude finale ne dépend-elle pas du bruit initial ?

Solution

Solution de Exercice 9.6.

(a) $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$ avec $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$ , $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$ : $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$ . (b) Module $1/\sqrt{9 + (RC\omega - 1/RC\omega)^2}$ , maximal à $1/3$ en $\omega_0$ ; phase $-\arctan [(RC\omega - 1/RC\omega)/3]$ , nulle seulement en $\omega_0$ . (c) $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC \dot v + v = 0$ : amortie, entretenue, croissante. (d) Constante de temps de croissance $2RC/0.2 = 10RC = 1.6\,\mathrm{ms}$ ; $\ln10^4 = 9.2$ constantes : $15\,\mathrm{ms}$ . L’amplitude finale est fixée par la non-linéarité (la saturation), non par le germe, qui ne fixe que le délai.

Exercice 9.7 ★★

Générateur de triangles. Un intégrateur (amplificateur opérationnel, $R$ , $C$ ) est attaqué par la sortie carrée $\pm V_{\text{sat}}$ d’un comparateur à hystérésis dont l’entrée est la sortie de l’intégrateur ; les seuils du comparateur valent $\pm V_{\text{sat}}R_1/R_2$ . (a) Montrer que la sortie de l’intégrateur est un triangle ; sa pente. (b) Période $T = 4RCR_1/R_2$ . (c) Applications numériques : $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 10\,\mathrm{nF}$ , $R_1/R_2 = 0.5$ . (d) Avantage sur l’astable simple pour un générateur de fonctions.

Solution

Solution de Exercice 9.7.

(a) La sortie de l’intégrateur a pour pente $\mp V_{\text{sat}}/RC$ : c’est un triangle. (b) Chaque rampe parcourt $2V_{\text{sat}}R_1/R_2$ à la pente $V_{\text{sat}}/RC$ : $T = 4RCR_1/R_2$ . (c) $4 \times 10^{-4} \times 0.5 = 0.2\,\mathrm{ms}$ , $5\,\mathrm{kHz}$ . (d) Un triangle exactement linéaire, une fréquence proportionnelle à $1/R$ (facile à balayer), et des sorties carrée et triangulaire tirées d’un seul circuit.

Exercice 9.8 ★★

Quantification. (a) Un convertisseur $16$ bits sur $\pm1\,\mathrm{V}$ : pas, bruit de quantification efficace, dynamique en dB. (b) $12$ bits à $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ : débit binaire ; idem pour $8$ bits à $1\,\mathrm{GS}/\mathrm{s}$ (un oscilloscope rapide). (c) Un signal de $1\,\mathrm{mV}$ sur le convertisseur $16$ bits : combien de pas ? Que faire avant le convertisseur ? (d) Pourquoi un bon système audio ajoute-t-il un léger bruit (dither) avant de quantifier ?

Solution

Solution de Exercice 9.8.

(a) $\Delta = 2/65536 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ , bruit $\Delta/\sqrt{12} = 8.8\,\text{µ}\mathrm{V}$ , $98\,\mathrm{dB}$ . (b) $12\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ; $8\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ . (c) $33$ pas : amplifier d’abord par $100$ ou plus. (d) Le dither transforme l’erreur d’arrondi, corrélée au signal (donc distorsion), en un bruit décorrélé inoffensif.

Exercice 9.9 ★★

Un signal contient des composantes à $1.0\,\mathrm{kHz}$ et $9.0\,\mathrm{kHz}$ et est échantillonné à $10\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ . (a) Où apparaît chacune ? (b) On ajoute un filtre anti-repliement $RC$ du premier ordre de $f_c = 2\,\mathrm{kHz}$ : atténuation à $9\,\mathrm{kHz}$ en dB ; suffisante si l’on veut $40\,\mathrm{dB}$ ? (c) Ordre du filtre nécessaire (atténuation $\approx 20n$ dB par décade) ; ou bien, en variante, fréquence d’échantillonnage nécessaire avec le filtre du premier ordre. (d) Pourquoi les convertisseurs modernes suréchantillonnent-ils et filtrent-ils numériquement ?

Solution

Solution de Exercice 9.9.

(a) Toutes deux à $1\,\mathrm{kHz}$ . (b) $|H| = 1/\sqrt{1 + 4.5^2} = 0.22$ , $-13\,\mathrm{dB}$ : non. (c) $13\,\mathrm{dB} \times n \ge 40$ : troisième ou quatrième ordre ; ou bien une cadence telle que le filtre du premier ordre donne $40\,\mathrm{dB}$ en $f_s - 1\,\mathrm{kHz}$ , c’est-à-dire en $100f_c = 200\,\mathrm{kHz}$ : $f_s \approx 400\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ . (d) Le suréchantillonnage repousse la bande repliée très haut, là où un filtre analogique doux suffit ; le filtrage raide se fait ensuite numériquement avant décimation.

Exercice 9.10 ★★★

Détection synchrone. Entrée $A\cos(\omega_0t + \varphi) + n(t)$ multipliée par $\cos\omega_0t$ et filtrée par un passe-bas du premier ordre de constante de temps $\tau$ . (a) Sortie continue. (b) Montrer qu’une composante de bruit à $f = f_0 + \delta f$ donne, après le filtre, une amplitude réduite d’un facteur $1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$ ; en déduire la bande de bruit équivalente $B = 1/4\tau$ (admettre $\int_0^\infty \dd x/(1 + x^2) = \pi/2$ ). (c) Un signal de $1\,\text{µ}\mathrm{V}$ dans $1\,\mathrm{mV}$ efficaces de bruit blanc sur $10\,\mathrm{kHz}$ : densité de bruit ; $\tau$ pour un rapport signal sur bruit de $10$ ; durée de la mesure. (d) Un parasite secteur à $50\,\mathrm{Hz}$ de $1\,\mathrm{mV}$ pollue l’entrée, avec $f_0 = 1\,\mathrm{kHz}$ : où va-t-il, et de combien est-il atténué pour $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ?

Solution

Solution de Exercice 9.10.

(a) $\tfrac12A\cos\varphi$ . (b) La composante en $f_0 + \delta f$ retombe en $\delta f$ et traverse le filtre avec $|H| = 1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$ ; la transmission en puissance s’intègre en $\int_0^\infty\dd f/(1 + (2\pi f\tau)^2) = 1/4\tau$ . (c) $e_n = 1\,\text{mV}/\sqrt{10^4} = 10\,\text{µ}\mathrm{V}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ ; $e_n\sqrt B = 0.1\,\text{µ}\mathrm{V}$ exige $B = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{Hz}$ , $\tau = 2500\,\mathrm{s}$ : une heure par point. (d) En $950$ et $1050\,\mathrm{Hz}$ , atténué de $1/2\pi \times 950 \approx 1.7 \times 10^{-4}$ ( $-75\,\mathrm{dB}$ ).

Exercice 9.11 ★★★

Quartz. Un cristal de quartz se comporte, au voisinage de sa résonance, comme une branche série $L$ , $C$ , $r$ ( $L = 8000\,\mathrm{H}$ , $C = 3.0\,\mathrm{fF}$ , $r = 30\,\mathrm{k}\Omega$ ) en parallèle avec $C_0 = 1.5\,\mathrm{pF}$ . (a) Fréquence de résonance série et facteur de qualité $Q = L\omega_0/r$ . (b) Pourquoi un oscillateur construit autour de lui tient-il sa fréquence à une partie sur $10^6$ alors que le pont de Wien dérive de quelques pour cent (penser à la pente de phase $\dd\varphi/\dd\omega$ du réseau de rétroaction près de la résonance, $\sim 2Q/\omega_0$ ) ? (c) Un quartz de montre à $32\,768\,\mathrm{Hz}$ est divisé par $2^{15}$ : résultat ; sa fréquence varie en $-0.04\,\text{ppm}\,(T - 25{}^{\circ}\mathrm{C})^2$ : erreur par mois à $5{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (d) Pourquoi choisit-on $32\,768\,\mathrm{Hz}$ et non $1\,\mathrm{MHz}$ ?

Solution

Solution de Exercice 9.11.

(a) $f_0 = 1/2\pi\sqrt{LC} = 32.5\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = L\omega_0/r = 5.4 \times 10^{4}\,$ . (b) Près de la résonance la phase du réseau tourne de $2Q/\omega_0$ par unité de $\omega$ : un déphasage parasite $\delta\varphi$ déplace la fréquence de $\delta\omega/\omega_0 = \delta\varphi/2Q$ — $10^{-6}$ pour $Q = 10^5$ , un pour cent pour $Q = 1/3$ . (c) $1\,\mathrm{Hz}$ ; $-0.04 \times 400 = -16\,\mathrm{ppm}$ : $16 \times 10^{-6} \times 2.6 \times 10^6 = 41\,\mathrm{s}$ de retard par mois. (d) Une basse fréquence signifie une faible consommation dans la logique de division, $2^{15}$ divise exactement jusqu’à $1\,\mathrm{Hz}$ , et le minuscule quartz en diapason tient dans une montre.

Exercice 9.12 ★★★

Résistance négative. Un amplificateur opérationnel a $R_2$ de la sortie vers l’entrée $-$ , $R_1$ de l’entrée $-$ vers la masse, et $R$ de la sortie vers l’entrée $+$ ; on étudie le dipôle vu entre l’entrée $+$ et la masse (régime linéaire). (a) Montrer qu’il se comporte comme une résistance $-RR_1/R_2$ . (b) Ce dipôle est branché aux bornes d’un circuit $LC$ parallèle de résistance de pertes $R_p$ (en parallèle) : écrire l’équation de la tension et trouver la condition d’oscillation entretenue ainsi que la fréquence. (c) Applications numériques : $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R_p = 50\,\mathrm{k}\Omega$ ; choisir $R$ , avec $R_1 = R_2$ . (d) Qu’est-ce qui limite l’amplitude, et comment cet oscillateur se compare-t-il au pont de Wien ?

Solution

Solution de Exercice 9.12.

(a) $v_- = v_+ = v$ , $v_{\text{sortie}} = v(1 + R_2/R_1)$ ; le courant entrant dans le dipôle, $i = (v - v_{\text{sortie}})/R = -vR_2/RR_1$ : $v/i = -RR_1/R_2$ . (b) $C\dot v + v(1/R_p - R_2/RR_1) + \frac1L\int v\,\dd t = 0$ : entretenue lorsque $R = R_pR_2/R_1$ , à $\omega = 1/\sqrt{LC}$ (croissante pour $R$ plus petit). (c) $f = 5.0\,\mathrm{kHz}$ , $R \lesssim 50\,\mathrm{k}\Omega$ (par exemple $48\,\mathrm{k}\Omega$ ). (d) La saturation ; le $Q = R_p \sqrt{C/L} = 160$ du circuit bouchon donne une fréquence bien plus stable que le réseau de Wien.

9.7 Problème : une chaîne de mesure à détection synchrone

Problème 9.1

Problème du week-end — de l’oscillateur de référence au résultat numérisé : mesurer dix microvolts de signal lumineux sous un millivolt de bruit

On veut mesurer une lumière faible avec une photodiode. La lumière est hachée par une roue tournante à $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ , de sorte que la sortie de la photodiode est une sinusoïde d’amplitude $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ à $f_0$ (après un premier amplificateur), sur laquelle se superpose un bruit blanc de densité spectrale $e_n = 50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ sur une bande de $100\,\mathrm{kHz}$ , plus un parasite secteur de $50\,\mathrm{Hz}$ et $1.0\,\mathrm{mV}$ . La fréquence du hacheur est fixée par un oscillateur à pont de Wien.

Partie I — L’oscillateur de référence. Pont de Wien avec $C = 10\,\mathrm{nF}$ , amplificateur opérationnel saturant à $\pm12\,\mathrm{V}$ .

$R$ pour $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ .
Établir la fonction de transfert du réseau de Wien et vérifier que sa phase s’annule en $f_0$ avec un module de $1/3$ .
Écrire l’équation différentielle de la boucle pour un gain $K$ ; pour $K = 3.15$ , temps mis par l’amplitude pour croître d’un facteur $1000$ .
L’amplitude est finalement limitée par la saturation : décrire la forme d’onde, et pourquoi ses harmoniques importent pour une référence.
Une thermistance à la place de $R_1$ (résistance décroissant quand elle chauffe) ou une lampe (croissant) : laquelle stabilise le gain à 3, et comment ?
Les condensateurs dérivent de $+1\%$ avec la température : nouvelle fréquence. Pourquoi le hacheur convient-il encore pour la mesure (que doit faire la référence) ?
Le réseau de Wien a un facteur de qualité voisin de $1/3$ : qu’est-ce que cela implique pour la pureté de la fréquence, comparée à celle d’un quartz ( $Q \sim 10^5$ ) ?

Partie II — Le signal et le bruit.

Valeur efficace du bruit blanc sur les $100\,\mathrm{kHz}$ entiers ; rapport signal sur bruit en sortie de l’amplificateur.
On insère un filtre passe-bande de facteur de qualité $Q = 10$ centré sur $f_0$ (bande de bruit $\approx f_0/Q$ ) : bruit efficace et rapport signal sur bruit. Pourquoi cela ne suffit-il pas pour une mesure précise (penser aux dérives et au $50\,\mathrm{Hz}$ ) ?
Pourquoi hacher la lumière à $1\,\mathrm{kHz}$ au lieu de mesurer directement le photocourant continu ? (Les amplificateurs ont un bruit « en $1/f$ » qui croît en dessous de quelques centaines de hertz.)
Amplitude du signal si la roue du hacheur produit une modulation carrée au lieu d’une sinusoïde : quelle harmonique la détection synchrone garde-t-elle, et avec quelle amplitude (coefficient de Fourier $4/\pi$ pour le fondamental d’un carré d’amplitude unité) ?
La photodiode reçoit aussi la lumière de la pièce à $100\,\mathrm{Hz}$ (tubes fluorescents) : qu’en fait la chaîne ?

Partie III — La détection synchrone. Le signal amplifié est multiplié par la référence $\cos(2\pi f_0t)$ et filtré par un passe-bas du premier ordre de constante de temps $\tau$ .

Sortie du multiplieur pour le signal seul (phase $\varphi$ entre signal et référence) ; le terme continu.
Atténuation du terme en $2f_0$ par le filtre pour $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (en dB).
Bande de bruit équivalente $1/4\tau$ ; bruit efficace en sortie pour $\tau = 1\,\mathrm{s}$ et rapport signal sur bruit ; idem pour $\tau = 10\,\mathrm{s}$ .
Où aboutit le parasite secteur de $50\,\mathrm{Hz}$ , et avec quelle atténuation pour $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ?
La phase $\varphi$ est inconnue : que perd-on si $\varphi = 60{}^{\circ}$ ? Décrire la détection synchrone à deux voies (en phase et en quadrature) et comment elle restitue $A$ quel que soit $\varphi$ .
Temps de réponse de la mesure (temps pour atteindre $99\%$ de la valeur finale) pour $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ; le compromis qu’il exprime.
La référence dérive à $1001\,\mathrm{Hz}$ tandis que le hacheur reste à $1000\,\mathrm{Hz}$ : sortie de la détection synchrone ; pourquoi la référence doit être prise sur le hacheur lui-même.

Partie IV — Numériser.

La sortie de la détection synchrone est échantillonnée par un ordinateur : cadence minimale pour $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (prendre la bande de sortie égale à $1/2\pi\tau$ ) ; un choix confortable.
En variante, on numérise le signal brut à $1\,\mathrm{kHz}$ et la détection se fait par logiciel : cadence d’échantillonnage minimale ; le bruit s’étend jusqu’à $100\,\mathrm{kHz}$ — que faut-il faire avant d’échantillonner, et quelle atténuation à $100\,\mathrm{kHz}$ donne un échantillonnage à $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ avec un filtre du quatrième ordre coupant à $5\,\mathrm{kHz}$ ( $80\,\mathrm{dB}$ par décade) ?
Un convertisseur $16$ bits sur $\pm1\,\mathrm{V}$ : pas ; le signal de $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ amplifié $1000$ fois : combien de pas, et le bruit aide-t-il ou nuit-il ?
Détection synchrone numérique : l’ordinateur multiplie chaque échantillon par $\cos(2\pi f_0nT_s)$ et moyenne $N$ échantillons. À $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ , $N$ pour une moyenne de $1\,\mathrm{s}$ ; de quel facteur le bruit blanc est-il réduit, et est-ce le même que pour le filtre analogique ?
Un signal de $1\,\mathrm{kHz}$ échantillonné à $999\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ : que voit l’ordinateur ? Quel rapport avec le principe même de la détection synchrone ?
Résumer la chaîne en un tableau : chaque étage, ce qu’il fait au signal, ce qu’il fait au bruit.

Solution

Solution de Problème 9.1.

1. $R = 1/2\pi f_0C = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$ .

2. $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$ : réel, $= 1/3$ , en $\omega_0 = 1/RC$ .

3. $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$ ; constante de temps $2RC/0.15 = 2.1\,\mathrm{ms}$ ; $\ln1000 = 6.9$ : $15\,\mathrm{ms}$ .

4. Une sinusoïde à sommets aplatis : des harmoniques impaires. Une référence riche en harmoniques détecte aussi les harmoniques du signal (et le bruit qui s’y trouve) : le résultat ne mesure plus le seul fondamental.

5. La lampe : quand l’amplitude monte elle chauffe, $R_1$ croît et $K = 1 + R_2/R_1$ retombe à $3$ . Une thermistance à la place de $R_1$ ferait l’inverse (sa place est celle de $R_2$ ).

6. $f \propto 1/C$ : $990\,\mathrm{Hz}$ . La référence de la détection synchrone est prise sur le hacheur lui-même (un détecteur sur la roue), elle suit donc.

7. $Q \sim 1/3$ : un petit déphasage n’importe où dans la boucle déplace la fréquence de quelques pour cent ; le $10^5$ d’un quartz la tient à $10^{-6}$ .

8. $50\,\text{nV} \times \sqrt{10^5} = 16\,\text{µ}\mathrm{V}$ efficaces : rapport signal sur bruit $0.6$ .

9. $B = 100\,\mathrm{Hz}$ : $0.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ , rapport $20$ — mais le centre du filtre dérive avec ses composants, et le parasite à $50\,\mathrm{Hz}$ n’est atténué que de $\sim 1/[Q(f_0/f - f/f_0)] = 0.005$ : $5\,\text{µ}\mathrm{V}$ , la moitié du signal.

10. En dessous de quelques centaines de hertz le bruit en $1/f$ de l’amplificateur et les dérives dominent ; à $1\,\mathrm{kHz}$ le plancher de bruit est blanc et bas, et les décalages ne comptent pas.

11. Une modulation carrée entre $0$ et $A_0$ vaut $A_0/2 + (2A_0/\pi) \cos\omega_0t + \dots$ : la détection synchrone garde le fondamental, $0.64A_0$ .

12. Le $100\,\mathrm{Hz}$ est mélangé en $900$ et $1100\,\mathrm{Hz}$ et supprimé par le passe-bas.

13. $\tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)$ ; terme continu $\tfrac12A\cos\varphi$ .

14. $1/2\pi f\tau = 1/2\pi \times 2000 = 8 \times 10^{-5}$ : $-82\,\mathrm{dB}$ .

15. $B = 1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$ : $e_n\sqrt B = 25\,\mathrm{nV}$ contre $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : rapport $400$ ; $\tau = 10\,\mathrm{s}$ : $7.9\,\mathrm{nV}$ , rapport $1300$ .

16. En $950$ et $1050\,\mathrm{Hz}$ : atténué de $1/2\pi \times 950 = 1.7 \times 10^{-4}$ ( $-75\,\mathrm{dB}$ ) : $0.17\,\text{µ}\mathrm{V}$ d’ondulation, un dixième du signal — un filtre coupe-bande en amont reste utile.

17. $\cos60^\circ = 0.5$ : la moitié du signal. Un second multiplieur avec la référence décalée de $90{}^{\circ}$ donne $Y = \tfrac12A\sin\varphi$ ; avec $X = \tfrac12A\cos\varphi$ , $A = 2\sqrt{X^2 + Y^2}$ et $\varphi = \arctan(Y/X)$ , quel que soit $\varphi$ .

18. $\tau\ln100 = 4.6\,\mathrm{s}$ ; le bruit décroît en $1/\sqrt\tau$ , la durée de mesure croît comme $\tau$ .

19. Le terme de différence vaut $\tfrac12A\cos(2\pi \times 1\,\text{Hz}\,t + \varphi)$ , transmis par le filtre avec $1/\sqrt{1 + (2\pi)^2} = 0.16$ : une lente oscillation au lieu d’un niveau. La référence doit être cohérente avec le signal : on la prend sur le hacheur.

20. Bande passante $1/2\pi\tau = 0.16\,\mathrm{Hz}$ : au-dessus de $0.32\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ ; $10\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ est confortable.

21. Au moins $2\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ ; un filtre anti-repliement est obligatoire ; quatrième ordre à $5\,\mathrm{kHz}$ : $80\log_{10}(100/5) = 104\,\mathrm{dB}$ à $100\,\mathrm{kHz}$ (et $46\,\mathrm{dB}$ à $19\,\mathrm{kHz}$ , le bruit qui se replierait sur $1\,\mathrm{kHz}$ ).

22. Pas de $30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ ; $10\,\mathrm{mV}$ font $330$ pas ; le bruit amplifié ( $16\,\mathrm{mV}$ efficaces) couvre de nombreux pas et, moyenné, permet de résoudre la moyenne bien en dessous d’un pas : il aide.

23. $N = 20000$ ; le bruit blanc décroît de $\sqrt N = 140$ ; une moyenne rectangulaire de $1\,\mathrm{s}$ a une bande de bruit $1/2T = 0.5\,\mathrm{Hz}$ — le double de celle du $RC$ analogique, donc comparable.

24. Les échantillons parcourent lentement la sinusoïde : un alias à $1\,\mathrm{Hz}$ . La détection synchrone fait la même chose à dessein : échantillonner à la phase de la référence, c’est multiplier par la référence.

25. Hacheur : signal déplacé à $1\,\mathrm{kHz}$ , bruit inchangé (mais la part en $1/f$ évitée). Amplificateur : les deux $\times$ le gain. Multiplieur : signal ramené au continu, bruit étalé. Passe-bas : signal gardé, bruit ramené à $1/4\tau$ . Échantillonneur et convertisseur : signal numérisé, repliements et quantification maîtrisés par le filtre et le nombre de bits.

Termes définis dans ce chapitre

Boucle fermée ; gain de boucle

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