Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

17Rayonnement dipolaire et diffusion

Pourquoi le ciel est-il bleu, et pourquoi l’est-il le plus à angle droit du Soleil — et polarisé en ce point, comme le savent les abeilles et les photographes ? Pourquoi un mât radio doit-il faire des dizaines de mètres, et pourquoi ne rayonne-t-il rien à la verticale ? Les deux questions ont la même réponse : une charge électrique oscillante rayonne des ondes électromagnétiques, avec une puissance qui croît comme la quatrième puissance de la fréquence et un diagramme qui s’annule selon l’axe d’oscillation. Ce chapitre énonce le champ du dipôle oscillant, le plus simple des systèmes rayonnants, en tire l’antenne et le rayonnement d’une charge accélérée, et l’applique aux molécules de l’air, chacune une minuscule antenne qui réémet la lumière solaire : la diffusion Rayleigh.

Un mât d’émission sous un ciel bleu : un dipôle vertical de plusieurs dizaines de mètres qui rayonne vers l’horizon, et au-dessus de lui le ciel éclairé par des milliards de dipôles moléculaires qui réémettent le Soleil.

17.1 Le champ d’un dipôle oscillant

Théorème 17.1 (Champ de rayonnement d’un dipôle électrique)

Un dipôle de moment $\vect p(t) = p_0\cos\omega t\,\vect e_z$ , de taille $a$ , placé à l’origine, rayonne. Dans la zone de rayonnement — aux distances $r \gg \lambda = 2\pi c/\omega \gg a$ — son champ, en coordonnées sphériques $(r, \theta, \varphi)$ d’axe celui du dipôle, vaut

\vect E(M, t) = -\frac{\mu_0\,\omega^2p_0}{4\pi}\,\frac{\sin\theta}r\,\cos\bigl(\omega(t - r/c)\bigr)\,\vect e_\theta , \qquad \vect B = \frac{\vect e_r\wedge\vect E}c :

une onde sphérique, localement plane — $(\vect E, \vect B, \vect e_r)$ trièdre direct avec $B = E/c$ — retardée du temps de propagation $r/c$ , d’amplitude décroissant en $1/r$ , proportionnelle à l’accélération $\ddot p = -\omega^2p$ du dipôle et à $\sin\theta$ : maximale dans le plan équatorial, nulle selon l’axe ; polarisée dans le plan contenant l’axe.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 17.2 (Lire la formule)

La solution exacte des équations de Maxwell (issue des potentiels retardés, hors de ce volume) contient aussi des termes en $1/r^2$ et $1/r^3$ ; le dernier est le champ dipolaire quasi statique du volume de première année, $\vect E \propto p/4\pi\varepsilon_0r^3$ , qui domine dans la zone proche $r \ll \lambda$ ; vers $r \sim \lambda/2\pi$ les deux sont comparables, au-delà seul le terme en $1/r$ subsiste. Chaque facteur a sa raison. $1/r$ : la puissance à travers une sphère, $\propto E^2r^2$ , ne doit pas dépendre de $r$ . $\omega^2p_0$ : le champ d’une charge au repos ou en mouvement uniforme n’est pas rayonnant ; c’est l’accélération qui rayonne. $\sin\theta$ : un observateur placé sur l’axe voit la charge aller et venir selon la ligne de visée, sans accélération transversale ; dans le plan équatorial toute l’accélération est transversale. Retard : le champ en $M$ à l’instant $t$ reflète ce que faisait le dipôle en $t - r/c$ .

À gauche : le champ de rayonnement d’un dipôle en un point lointain M — transversal, selon e_, avec B orthoradial ; rien n’est rayonné selon l’axe. À droite : le diagramme de rayonnement, un tore 2 dont on trace la section. — À gauche : le champ de rayonnement d’un dipôle en un point lointain $M$ — transversal, selon $\vect e_\theta$ , avec $\vect B$ orthoradial ; rien n’est rayonné selon l’axe. À droite : le diagramme de rayonnement, un tore $\propto\sin^2\theta$ dont on trace la section.

17.2 Puissance rayonnée

Proposition 17.3 (Puissance d’un dipôle ; formule de Larmor)

Le vecteur de Poynting moyen du champ du dipôle est radial,

\langle\vect\Pi\rangle = \frac{\mu_0\,\omega^4p_0^2}{32\pi^2c}\,\frac{\sin^2\theta}{r^2}\,\vect e_r ,

et la puissance moyenne totale rayonnée vaut

\mathcal P = \frac{\mu_0\,\omega^4p_0^2}{12\pi c} = \frac{p_0^2\omega^4}{12\pi\varepsilon_0c^3} .

Pour une charge unique $q$ d’accélération $a$ (non relativiste), la puissance instantanée vaut $\mathcal P = q^2a^2/6\pi\varepsilon_0c^3$ (Larmor).

Démonstration. $\langle\Pi\rangle = \langle E^2\rangle/\mu_0c$ avec $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$ ; on intègre sur la sphère :

\int\sin^2\theta\,r^2\dd\Omega = 2\pi r^2\int_0^\pi\sin^3\theta\,\dd\theta = \tfrac83\pi r^2 , \qquad \mathcal P = \frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{32\pi^2c}\cdot\frac{8\pi}3 = \frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{12\pi c} .

Larmor : $p = qz$ , donc $\ddot p = qa$ ; en remplaçant la moyenne $\tfrac12\omega^4p_0^2 = \langle\ddot p^2\rangle$ par la valeur instantanée $q^2a^2$ on obtient $\mathcal P = \mu_0q^2a^2/6\pi c$ . ∎

Exemple 17.4 (Une antenne et un fil)

Un fil court de longueur $\ell \ll \lambda$ parcouru par le courant $I_0\cos\omega t$ est un dipôle avec $\dot p = I_0\ell\cos\omega t$ , soit $p_0 = I_0\ell/\omega$ : il rayonne $\mathcal P = \mu_0\omega^2I_0^2\ell^2/12\pi c = \tfrac12R_{\text{ray}}I_0^2$ avec la résistance de rayonnement $R_{\text{ray}} = \dfrac{2\pi}3\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \Bigl(\dfrac\ell\lambda\Bigr)^2 \approx 790\,(\ell/\lambda)^2\ \Omega$ — la puissance quitte le circuit comme à travers une résistance, sans rien échauffer. Un fil de $1\,\mathrm{m}$ à $1\,\mathrm{MHz}$ ( $\lambda = 300\,\mathrm{m}$ ) : $R_{\text{ray}} = 9\,\mathrm{m}\Omega$ , moins que sa résistance de cuivre, une mauvaise antenne ; à $100\,\mathrm{MHz}$ : $88\,\Omega$ (la formule du dipôle court est ici poussée à sa limite), une bonne. Le dipôle demi-onde, $\ell = \lambda/2$ avec une répartition sinusoïdale du courant, a $R_{\text{ray}} = 73\,\Omega$ (admis) et un diagramme proche de celui du dipôle élémentaire — l’antenne de référence, des mâts radio aux oreilles de lapin des vieilles télévisions. Un fil du secteur de $1\,\mathrm{m}$ à $50\,\mathrm{Hz}$ : $R_{\text{ray}} \approx 2 \times 10^{-11}\,\Omega$ — les circuits quasi stationnaires du Chapitre 11 ne rayonnent rien.

À gauche : la répartition du courant sur un dipôle demi-onde, maximale à l’alimentation et nulle aux extrémités. À droite : la résistance de rayonnement d’un dipôle court, 790( / )2 ohms, et les 73\, du dipôle demi-onde. — À gauche : la répartition du courant sur un dipôle demi-onde, maximale à l’alimentation et nulle aux extrémités. À droite : la résistance de rayonnement d’un dipôle court, $790(\ell/\lambda)^2$ ohms, et les $73\,\Omega$ du dipôle demi-onde.

Exemple 17.5 (Un électron qui rayonne)

Dans un tube à rayons X un électron de $50\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) s’arrête en $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ de tungstène : $a \sim v^2/2d = 7 \times 10^{21}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , puissance de Larmor $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}$ pendant $1.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : $2 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ , soit environ $0.02\%$ de son énergie rayonnée en « rayonnement de freinage » (bremsstrahlung) du tube — le reste est de la chaleur, et l’anode est refroidie. L’électron classique d’un atome d’hydrogène, accéléré de $v^2/r = 9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , rayonnerait $5 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ et spiralerait vers le noyau en $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ : la physique classique interdit les atomes, et le Chapitre 30 les sauve.

17.3 La diffusion Rayleigh : le ciel bleu

Proposition 17.6 (Diffusion par un électron lié)

Une onde d’amplitude $E_0$ et de pulsation $\omega$ tombe sur un atome modélisé par un électron élastiquement lié de résonance $\omega_0 \gg \omega$ (Chapitre 14) : l’électron oscille avec l’amplitude $eE_0/m\omega_0^2$ , l’atome devient un dipôle $p_0 = e^2E_0/m\omega_0^2$ en phase avec le champ, et réémet la puissance $\mathcal P = p_0^2\omega^4/12\pi \varepsilon_0c^3$ . Le rapport de cette puissance à l’intensité incidente est la section efficace de diffusion

\sigma = \frac{\mathcal P}{\varepsilon_0cE_0^2/2} = \frac{8\pi}3\,r_e^2\Bigl(\frac\omega{\omega_0}\Bigr)^4 , \qquad r_e = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2} = 2.8 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} :

c’est la loi de Rayleigh, $\sigma \propto \omega^4 \propto 1/\lambda^4$ . Pour un électron libre ( $\omega_0 = 0$ ) la section efficace vaut $\sigma_T = 8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ , indépendante de la fréquence (diffusion Thomson).

Démonstration. Du modèle de Lorentz avec $\omega \ll \omega_0$ et un amortissement négligeable, $\underline{\vect r} = -e\underline{\vect E}/m\omega_0^2$ ; on reporte $p_0$ dans la puissance et on divise par $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ ; $r_e$ rassemble les constantes. Pour l’électron libre, $\vect r = e\vect E/m\omega^2$ (en opposition de phase), $p_0 = e^2E_0/m\omega^2$ , et les $\omega^4$ se simplifient. ∎

Exemple 17.7 (Ciel bleu, coucher rouge, nuages blancs)

La lumière violette ( $400\,\mathrm{nm}$ ) est diffusée $(700/400)^4 = 9.4$ fois plus que la rouge : le ciel, éclairé par la lumière solaire diffusée, est bleu (et non violet : le Soleil émet moins de violet et l’œil le voit mal). Au couchant la lumière directe traverse quarante fois plus d’air qu’à midi et perd son bleu au profit du ciel d’ailleurs : elle rougit. Chaque molécule d’air diffuse avec $\sigma \approx 5 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ à $550\,\mathrm{nm}$ ; avec $n = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ le libre parcours moyen $1/n\sigma$ vaut $80\,\mathrm{km}$ : un dixième de la lumière verte est diffusé en descendant l’atmosphère, un tiers du violet. Les gouttelettes des nuages, bien plus grandes que $\lambda$ , ne sont pas des diffuseurs de Rayleigh : elles diffusent toutes les couleurs pareillement — du blanc.

Proposition 17.8 (Polarisation par diffusion)

Une lumière naturelle se propageant selon $x$ induit des dipôles dans le plan $yz$ . Un observateur regardant selon $y$ (à $90{}^{\circ}$ du faisceau) ne reçoit aucun rayonnement des composantes du dipôle selon $y$ (sa ligne de visée) et le rayonnement complet de celles selon $z$ : la lumière diffusée est polarisée rectilignement selon $z$ , perpendiculairement au plan contenant le faisceau et la ligne de visée. Sous d’autres angles elle est partiellement polarisée, au taux $(1 - \cos^2\chi)/(1 + \cos^2\chi)$ pour l’angle de diffusion $\chi$ .

Démonstration. La lumière naturelle incidente a un $\vect E$ dont les composantes moyennes selon $y$ et $z$ sont égales ; le dipôle selon $y$ ne rayonne pas vers $y$ ( $\sin \theta = 0$ ), celui selon $z$ rayonne $\propto\sin\theta = 1$ . Sous l’angle $\chi$ la contribution de la composante $y$ est réduite de $\cos^2\chi$ en intensité. ∎

La lumière solaire diffusée par une molécule d’air : le dipôle induit a des composantes perpendiculaires au faisceau ; un observateur à 90 ne reçoit que la composante perpendiculaire à sa ligne de visée — une lumière polarisée rectilignement. C’est là que le ciel est le plus bleu et le plus polarisé. — La lumière solaire diffusée par une molécule d’air : le dipôle induit a des composantes perpendiculaires au faisceau ; un observateur à $90{}^{\circ}$ ne reçoit que la composante perpendiculaire à sa ligne de visée — une lumière polarisée rectilignement. C’est là que le ciel est le plus bleu et le plus polarisé.

Remarque 17.9 (Pourquoi la lumière bleue nous parvient tout de même)

Dans un milieu parfaitement uniforme les ondes diffusées par des molécules voisines interféreraient destructivement dans toutes les directions sauf vers l’avant (l’indice de réfraction est cette onde diffusée vers l’avant). Ce sont les fluctuations de la densité de l’air — les molécules ne sont pas sur un réseau — qui laissent subsister une intensité diffusée nette, proportionnelle au nombre de molécules, telle qu’elle a été calculée plus haut pour une seule (Einstein, 1910). Le même désordre rend la lumière du ciel incohérente d’un point à l’autre.

Méthode 17.10 (Estimations de rayonnement)

(1) Identifier le dipôle : $p_0 = q\,\times$ amplitude, ou $I_0\ell/\omega$ pour un fil. (2) Champ à la distance $r$ : $E \approx \mu_0\omega^2p_0\sin\theta/4\pi r$ ; puissance : $\mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c$ . (3) Pour une charge accélérée, utiliser Larmor ; pour une antenne, la résistance de rayonnement. (4) Pour la diffusion, calculer le dipôle induit à partir de la réponse du milieu (modèle de Lorentz) et diviser la puissance rayonnée par l’intensité incidente. (5) Se souvenir des zéros : rien selon l’axe d’oscillation, d’où la polarisation à $90{}^{\circ}$ et l’angle de Brewster du Chapitre 15.

17.4 Exercices

Exercice 17.1 ★

Une antenne courte de $1.0\,\mathrm{m}$ porte $2.0\,\mathrm{A}$ (en amplitude) à $100\,\mathrm{MHz}$ . Amplitude du dipôle $p_0$ ; amplitude du champ à $1\,\mathrm{km}$ dans le plan équatorial et à $30{}^{\circ}$ de l’axe ; puissance rayonnée ; résistance de rayonnement.

Solution

Solution de Exercice 17.1.

$p_0 = I_0\ell/\omega = 3.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ; $E = \mu_0\omega^2p_0\sin\theta/4\pi r$ : $0.13\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ en $\theta = 90^\circ$ , $0.063\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ à $30{}^{\circ}$ ; $\mathcal P = \mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c = 175\,\mathrm{W}$ ; $R_{\text{ray}} = 2\mathcal P/I_0^2 = 88\,\Omega$ .

Exercice 17.2 ★

Résistance de rayonnement d’un fil de $1\,\mathrm{m}$ à $100\,\mathrm{kHz}$ , $1\,\mathrm{MHz}$ , $10\,\mathrm{MHz}$ , $100\,\mathrm{MHz}$ ; comparer à sa résistance de cuivre ( $1\,\mathrm{mm}$ de diamètre, avec l’effet de peau aux fréquences les plus élevées, $\delta = 0.2\,\mathrm{mm}$ à $100\,\mathrm{kHz}$ ) ; rendement (rayonné sur total) dans chaque cas. Pourquoi les émetteurs grandes ondes ont-ils des mâts de plusieurs centaines de mètres ?

Solution

Solution de Exercice 17.2.

$790(\ell/\lambda)^2$ : $8.8 \times 10^{-5}\,\Omega$ , $8.8 \times 10^{-3}\,\Omega$ , $0.88\,\Omega$ , $88\,\Omega$ . Cuivre : $0.026$ , $0.084$ , $0.27$ , $0.84\,\Omega$ (effet de peau) : rendements $0.3\%$ , $10\%$ , $77\%$ , $99\%$ . Aux grandes longueurs d’onde, seul un mât qui représente une fraction notable de $\lambda$ a une résistance de rayonnement supérieure à ses pertes.

Exercice 17.3 ★

Rapport des diffusions Rayleigh des lumières à $400\,\mathrm{nm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ et $700\,\mathrm{nm}$ ; des longueurs d’onde radar de $3\,\mathrm{cm}$ et $10\,\mathrm{cm}$ par les gouttes de pluie (si elles étaient assez petites — elles ne le sont pas tout à fait) ; pourquoi un radar météorologique utilise-t-il les courtes longueurs d’onde pour voir la pluie et les longues pour voir au travers ?

Solution

Solution de Exercice 17.3.

$400 : 550 : 700 = 9.4 : 2.6 : 1$ . $(10/3)^4 = 120$ : le radar à $3\,\mathrm{cm}$ voit les petites gouttes cent fois mieux ; celui à $10\,\mathrm{cm}$ regarde à travers la pluie ce qui se trouve derrière.

Exercice 17.4 ★

Taux de polarisation de la lumière du ciel à $30{}^{\circ}$ , $60{}^{\circ}$ , $90{}^{\circ}$ , $120{}^{\circ}$ du Soleil ; vers quelle région du ciel un photographe doit-il pointer un polariseur pour le bleu le plus sombre, et que se passe-t-il quand le Soleil est au zénith ? Pourquoi le maximum réel n’est-il que d’environ $75\%$ (penser à la diffusion multiple et à ce que réfléchit le sol) ?

Solution

Solution de Exercice 17.4.

$\sin^2\chi/(1 + \cos^2\chi)$ : $0.14$ , $0.60$ , $1$ , $0.60$ . Viser à $90{}^{\circ}$ du Soleil (un grand cercle en travers du ciel) ; avec le Soleil au zénith, tout l’horizon est à $90{}^{\circ}$ et polarisé selon lui. La diffusion multiple, la réflexion du sol et l’anisotropie des molécules ajoutent de la lumière non polarisée : environ $75\%$ au mieux.

Exercice 17.5 ★★

(a) Intégrer le vecteur de Poynting du dipôle sur une sphère et vérifier $\mathcal P = \mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c$ . (b) Fraction de la puissance rayonnée à moins de $30{}^{\circ}$ du plan équatorial. (c) Angle à mi-puissance : pour quel $\theta$ l’intensité vaut-elle la moitié de son maximum ? (d) Le « gain » du dipôle, intensité maximale rapportée à la moyenne isotrope : montrer qu’il vaut $1.5$ .

Solution

Solution de Exercice 17.5.

(a) $\int\sin^2\theta\,\dd\Omega = 8\pi/3$ . (b) $\int_{60^\circ}^{120^\circ}\sin^3\theta\,\dd\theta/ (4/3) = 0.917/1.333 = 69\%$ . (c) $\sin^2\theta = \tfrac12$ : $\theta = 45{}^{\circ}$ , un faisceau large de $90{}^{\circ}$ . (d) Maximum $1$ contre une moyenne de $2/3$ : $1.5$ .

Exercice 17.6 ★★

Proche et lointain. (a) Écrire le champ quasi statique d’un dipôle à $\theta = 90^\circ$ , $E_{\text{ns}} = p/4\pi\varepsilon_0r^3$ , et le champ rayonné ; à quelle distance $r_0$ leurs amplitudes sont-elles égales ? Exprimer $r_0$ en fonction de $\lambda$ . (b) Pour une antenne à $1\,\mathrm{MHz}$ , $r_0$ ; quel champ un récepteur ressent-il à $10\,\mathrm{m}$ , à $10\,\mathrm{km}$ ? (c) Un téléphone mobile à $1\,\mathrm{GHz}$ tenu à $2\,\mathrm{cm}$ de la tête : zone proche ou lointaine ? (d) Pourquoi le champ proche n’emporte-t-il aucune puissance nette ?

Solution

Solution de Exercice 17.6.

(a) $p/4\pi\varepsilon_0r^3 = \omega^2p/4\pi\varepsilon_0c^2r$ en $r_0 = c/\omega = \lambda/2\pi$ . (b) $48\,\mathrm{m}$ : à $10\,\mathrm{m}$ le champ quasi statique, à $10\,\mathrm{km}$ le champ rayonné. (c) $r_0 = 4.8\,\mathrm{cm}$ : la tête est en zone proche. (d) En zone proche $\vect E$ et $\vect B$ sont en quadrature : le vecteur de Poynting est de moyenne nulle, l’énergie est emmagasinée puis rendue, comme dans un condensateur.

Exercice 17.7 ★★

Thomson et la couronne. (a) Calculer $\sigma_T$ . (b) La couronne solaire a $n_e \approx 1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-3}$ sur $10^9$ m : fraction de la lumière photosphérique diffusée vers nous ; pourquoi la couronne est-elle blanche et visible seulement pendant les éclipses ? (c) Des rayons X de $10\,\mathrm{keV}$ sur un atome de carbone ( $6$ électrons, énergies de liaison inférieures à $300\,\mathrm{eV}$ ) : pourquoi les électrons diffusent-ils comme s’ils étaient libres, et quelle est la section efficace de l’atome ? (d) Pourquoi une radiographie médicale distingue-t-elle l’os de la chair surtout par l’absorption, et non par la diffusion Thomson ?

Solution

Solution de Exercice 17.7.

(a) $8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ . (b) $n_e\sigma_TL = 10^{14} \times 6.65 \times 10^{-29} \times 10^9 = 7 \times 10^{-6}$ : un millionième de la photosphère, sans couleur puisque la diffusion Thomson n’en a pas, et noyée par la lumière solaire diffusée du ciel sauf pendant une éclipse. (c) $10\,\mathrm{keV}$ $\gg$ $300\,\mathrm{eV}$ : les électrons répondent comme s’ils étaient libres, $6\sigma_T = 4 \times 10^{-28}\,\mathrm{m}^{2}$ . (d) L’absorption photoélectrique croît en $Z^4$ et distingue le calcium ; la diffusion est la même par électron dans l’os et dans la chair.

Exercice 17.8 ★★

Coucher de soleil. L’épaisseur optique de l’atmosphère pour la diffusion Rayleigh au zénith vaut $\tau(\lambda) = 0.1\,(550\,\text{nm}/\lambda)^4$ (la lumière directe est atténuée d’un facteur $\eu^{-\tau}$ ). (a) Transmission au zénith pour $400\,\mathrm{nm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ , $700\,\mathrm{nm}$ . (b) Au couchant le trajet est $38$ fois plus long : transmissions ; rapport rouge sur bleu. (c) Pourquoi la Lune devient-elle rouge pendant une éclipse de Lune ? (d) Pourquoi le ciel près de l’horizon est-il blanchâtre plutôt que d’un bleu profond ?

Solution

Solution de Exercice 17.8.

(a) $\tau = 0.36$ , $0.10$ , $0.038$ : $T = 0.70$ , $0.90$ , $0.96$ . (b) $\tau \times 38 = 13.6$ , $3.8$ , $1.45$ : $T = 1 \times 10^{-6}$ , $0.02$ , $0.23$ ; rouge sur bleu $\sim 2 \times 10^5$ . (c) L’atmosphère terrestre courbe la lumière du couchant jusque dans l’ombre, rougie par la même diffusion. (d) Près de l’horizon le trajet est long : le bleu est diffusé hors de la lumière diffusée elle-même, et la diffusion multiple ajoute du blanc.

Exercice 17.9 ★★

Deux antennes. Deux dipôles verticaux distants de $d$ selon $x$ sont alimentés avec la même amplitude. (a) En phase, $d = \lambda/2$ : dans quelles directions horizontales leurs champs lointains s’ajoutent-ils, dans lesquelles s’annulent-ils ? (réseau transversal). (b) En opposition de phase, $d = \lambda/2$ : même question (réseau longitudinal). (c) En quadrature, $d = \lambda/4$ : montrer que le réseau ne rayonne que d’un côté. (d) Pourquoi les stations AM utilisent-elles plusieurs mâts, et comment un radar à réseau phasé oriente-t-il son faisceau sans bouger ?

Solution

Solution de Exercice 17.9.

(a) Selon la ligne des deux dipôles la différence de marche $\lambda/2$ donne l’annulation ; transversalement, l’addition. (b) En opposition de phase : l’inverse — rayonnement selon la ligne (longitudinal), rien transversalement. (c) Vers $+x$ : retard de trajet $-\pi/2$ plus phase d’alimentation $+\pi/2$ , en phase ; vers $-x$ : $-\pi$ , annulation : un cardioïde, unilatéral. (d) Les mâts façonnent la couverture et protègent les voisins ; un réseau phasé oriente en changeant les phases d’alimentation, en quelques microsecondes.

Exercice 17.10 ★★★

Amortissement par rayonnement. L’électron de Lorentz (Chapitre 14) qui oscille à $\omega_0$ avec l’amplitude $x_0$ rayonne selon la formule de Larmor. (a) Puissance moyenne rayonnée ; énergie de l’oscillateur $\tfrac12m\omega_0^2x_0^2$ ; montrer que l’énergie décroît au taux $\Gamma = e^2\omega_0^2/6\pi\varepsilon_0mc^3$ . (b) Valeur de $\Gamma$ pour la raie du sodium ( $589\,\mathrm{nm}$ ) : comparer au $\Gamma$ utilisé à l’Exercice 14.9. (c) Durée de vie $1/\Gamma$ et largeur naturelle de la raie, $\Delta\lambda = \lambda^2\Gamma/2\pi c$ . (d) Facteur de qualité $\omega_0/\Gamma$ de l’oscillateur atomique.

Solution

Solution de Exercice 17.10.

(a) $\langle\mathcal P\rangle = e^2\omega_0^4x_0^2/12\pi\varepsilon_0c^3$ , $W = \tfrac12m\omega_0^2x_0^2$ : $\Gamma = \mathcal P/W = e^2\omega_0^2/6\pi\varepsilon_0mc^3$ . (b) $\omega_0 = 3.2 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $\Gamma = 6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$ — la valeur utilisée. (c) $16\,\mathrm{ns}$ ; $\Delta\lambda = \lambda^2\Gamma/2\pi c = 1.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ , un centième de picomètre ( $10\,\mathrm{MHz}$ ). (d) $Q = 5 \times 10^7$ .

Exercice 17.11 ★★★

Le mât. Une station AM rayonne $50\,\mathrm{kW}$ à $1\,\mathrm{MHz}$ depuis un mât vertical de hauteur $\lambda/4$ sur un sol conducteur (qui joue le rôle de miroir, faisant du mât la moitié d’un dipôle demi-onde : $R_{\text{ray}} \approx 36\,\Omega$ , et la puissance ne part que dans le demi-espace supérieur). (a) Hauteur ; courant à la base. (b) Amplitude du champ à $10\,\mathrm{km}$ dans le plan horizontal (utiliser le diagramme du dipôle, $\mathcal P$ sur l’hémisphère supérieur $= \int\langle\Pi\rangle\dd S$ ; prendre $\langle\Pi\rangle = 1.5\, \mathcal P/2\pi r^2$ à l’horizon comme estimation raisonnable). (c) Force électromotrice dans un brin récepteur de $1\,\mathrm{m}$ en ce point. (d) Pourquoi la conductivité du sol importe-t-elle, et pourquoi enterre-t-on des fils de cuivre radiaux sous le mât ?

Solution

Solution de Exercice 17.11.

(a) $75\,\mathrm{m}$ ; $I_0 = \sqrt{2\mathcal P/R} = 53\,\mathrm{A}$ . (b) $\langle\Pi\rangle = 1.5 \times 5 \times 10^4/2\pi \times 10^8 = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = \sqrt{2\Pi/\varepsilon_0c} = 0.30\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ . (c) $0.30\,\mathrm{V}$ . (d) Les courants de retour circulent dans le sol ; un sol résistif ajoute des pertes et gâte le miroir ; des radiales enterrées leur offrent un chemin de cuivre.

Exercice 17.12 ★★★

Diffusion et indice. Pour un gaz dilué les ondes diffusées vers l’avant par toutes les molécules s’ajoutent en phase et construisent l’indice de réfraction, $n - 1 = N\alpha/2\varepsilon_0$ avec $\alpha = e^2/m\omega_0^2$ la polarisabilité ; la section efficace de Rayleigh vaut $\sigma = (8\pi/3)r_e^2(\omega/\omega_0)^4$ . (a) Exprimer $\sigma$ en fonction de $n$ , $N$ et $\lambda$ : $\sigma = 8\pi^3(n^2 - 1)^2/3N^2\lambda^4$ . (b) Pour l’air ( $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}$ , $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) à $550\,\mathrm{nm}$ : $\sigma$ et le libre parcours moyen $1/N\sigma$ . (c) Épaisseur optique verticale de l’atmosphère (hauteur équivalente $8\,\mathrm{km}$ ) ; comparer au $0.1$ de l’Exercice 17.8. (d) Pourquoi cette relation (Rayleigh, 1899) a-t-elle donné une valeur du nombre d’Avogadro ?

Solution

Solution de Exercice 17.12.

(a) $p_0 = \alpha E_0$ donne $\sigma = \alpha^2\omega^4/6\pi\varepsilon_0^2c^4$ ; avec $\alpha = \varepsilon_0(n^2 - 1)/N$ et $\omega = 2\pi c/\lambda$ : $\sigma = 8\pi^3(n^2 - 1)^2/3N^2\lambda^4$ . (b) $n^2 - 1 = 5.8 \times 10^{-4}$ : $\sigma = 4.9 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ , libre parcours moyen $1/N\sigma = 80\,\mathrm{km}$ . (c) $8/80 = 0.1$ . (d) $\sigma$ se mesure par l’atténuation du ciel, $n$ est connu : $N$ s’en déduit, donc le nombre d’Avogadro.

17.5 Problème : le mât, le ciel et l’électron

Problème 17.1

Problème du week-end — trois antennes : un mât d’émission, une molécule d’air au soleil, et un électron libre

Partie I — Le mât. Une station en ondes moyennes à $f = 1.0\,\mathrm{MHz}$ rayonne $\mathcal P = 100\,\mathrm{kW}$ depuis un mât quart d’onde sur un sol conducteur ( $R_{\text{ray}} = 36\,\Omega$ , diagramme d’un dipôle vertical sur le demi-espace supérieur, comme à l’Exercice 17.11).

Longueur d’onde et hauteur du mât ; amplitude du courant à sa base ; tension aux bornes de $R_{\text{ray}}$ .
Amplitude du moment dipolaire équivalent, en traitant le mât comme un dipôle court avec $p_0 = I_0\ell_{\text{eff}}/\omega$ , $\ell_{\text{eff}} \approx \lambda/2\pi$ pour le mât quart d’onde (admis).
Intensité moyenne à $10\,\mathrm{km}$ et $100\,\mathrm{km}$ dans le plan horizontal (prendre le diagramme sur l’hémisphère supérieur, maximal à l’horizon, $\langle\Pi\rangle = 1.5\mathcal P/2\pi r^2$ ) ; amplitudes du champ.
Force électromotrice dans un brin vertical de $1\,\mathrm{m}$ à $100\,\mathrm{km}$ ; dans une antenne à bâtonnet de ferrite (une bobine de $N = 100$ spires, $1\,\mathrm{cm}^{2}$ , perméabilité effective $100$ ) face au $\vect B$ de l’onde : comparer.
Puissance reçue par un récepteur adapté doté d’une antenne de surface effective $A = 1.5\lambda^2/4\pi$ (celle du dipôle) à $100\,\mathrm{km}$ .
Les conducteurs du mât ont une résistance de pertes totale de $2\,\Omega$ : rendement ; puissance perdue en chaleur.
Un récepteur à $10\,\mathrm{km}$ est-il dans la zone de rayonnement ? Et un à $100\,\mathrm{m}$ du mât ?
Pourquoi les signaux en ondes moyennes portent-ils plus loin la nuit ? (Rappel : la couche D du Chapitre 14.)

Partie II — Le ciel. Air au niveau de la mer : $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ , section efficace Rayleigh $\sigma = 4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}\,(550\,\text{nm}/\lambda)^4$ ; lumière solaire $1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ au sol ; l’épaisseur équivalente de l’atmosphère à la densité du niveau de la mer vaut $8\,\mathrm{km}$ .

Section efficace à $450\,\mathrm{nm}$ et $650\,\mathrm{nm}$ ; rapport.
Libre parcours moyen des trois couleurs ; épaisseur optique verticale $\tau = N\sigma H$ ; fraction de chaque couleur diffusée hors du faisceau direct au zénith.
Puissance diffusée par mètre cube d’air au sol par la lumière verte (prendre $300\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de lumière solaire autour de $550\,\mathrm{nm}$ ) ; dans quel angle solide, avec quel diagramme ?
Une colonne d’air de $1\,\mathrm{m}^{2}$ de section vue à $90{}^{\circ}$ du Soleil : estimer l’intensité de la lumière du ciel qui parvient à l’observateur depuis cette colonne (puissance diffusée vers lui par unité d’angle solide, sur les $8\,\mathrm{km}$ ), et comparer au Soleil direct ; la luminosité du ciel est-elle du bon ordre (environ $1 \times 10^{-5}\,$ de celle du Soleil) ?
Taux de polarisation de la lumière issue de cette colonne ; pourquoi est-il plus faible en réalité, et comment certains insectes s’en servent-ils ?
Au couchant le trajet vaut $38$ atmosphères : fractions transmises du bleu et du rouge ; couleur du Soleil ; pourquoi le ciel au zénith reste bleu.
Pourquoi le ciel est-il noir sur la Lune même en plein jour ?
Sur Mars l’air est cent fois plus ténu mais chargé de poussière fine (grains d’un micromètre) : pourquoi le ciel martien est-il caramel et son coucher de soleil bleu ?

Partie III — L’électron.

Section efficace de Thomson à partir de $r_e$ .
Dans un tube à rayons X un électron de $100\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , traité non relativistement) est arrêté sur $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ de tungstène : accélération, puissance de Larmor, durée, énergie rayonnée et sa fraction de l’énergie cinétique.
Longueur d’onde la plus courte que le tube puisse émettre (un photon prenant toute l’énergie de l’électron).
Le tube fonctionne à $20\,\mathrm{mA}$ : puissance rayonnée ; chaleur dans l’anode ; pourquoi l’anode tourne.
Un électron classique tournant autour d’un proton au rayon de Bohr ( $5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ , vitesse $2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : accélération, puissance de Larmor, et temps pour rayonner ses $13.6\,\mathrm{eV}$ — la durée de vie de l’atome classique.
Les atomes réels durent toujours : nommer ce que la physique classique manque ici, et ce que dira le Chapitre 30 d’un état stationnaire.
Un électron dans un synchrotron de rayon $100\,\mathrm{m}$ à $v \approx c$ : quelle puissance donne la formule de Larmor non relativiste ? (La puissance vraie est $\gamma^4$ fois plus grande, avec $\gamma \sim 10^4$ : c’est la source de lumière synchrotron.)
Le même électron au repos dans les $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ de la lumière solaire : puissance qu’il réémet (Thomson) ; nombre de tels électrons nécessaires pour diffuser un watt.
Récapituler les trois antennes en un tableau : moment dipolaire, fréquence, puissance, diagramme.

Solution

Solution de Problème 17.1.

1. $\lambda = 300\,\mathrm{m}$ , $h = 75\,\mathrm{m}$ ; $I_0 = \sqrt{2 \times 10^5/36} = 75\,\mathrm{A}$ ; $V = RI_0 = 2.7\,\mathrm{kV}$ .

2. $\ell_{\text{eff}} = 48\,\mathrm{m}$ : $p_0 = 75 \times 48/6.3 \times 10^6 = 5.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ .

3. $\langle\Pi\rangle = 1.5 \times 10^5/2\pi r^2$ : $2.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ et $2.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $E_0 = 0.42\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ et $0.042\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .

4. Brin : $42\,\mathrm{mV}$ . Bâtonnet : $N\mu_{\text{eff}}A\omega B_0 = 10^4 \times 10^{-4} \times 6.3 \times 10^6 \times 1.4 \times 10^{-10} = 0.9\,\mathrm{mV}$ — moins, mais compact et sélectif.

5. $A = 1.5\lambda^2/4\pi = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $P = \Pi A = 26\,\mathrm{mW}$ .

6. $36/38 = 95\%$ ; $5\,\mathrm{kW}$ de chaleur.

7. $r/\lambda = 33$ à $10\,\mathrm{km}$ : zone de rayonnement ; à $100\,\mathrm{m}$ , $r \approx \lambda/3$ : la zone de transition, où le champ quasi statique compte encore.

8. Le jour la couche D absorbe l’onde qui atteindrait sinon les couches réfléchissantes ; la nuit elle a disparu et l’onde d’espace porte la station à des centaines de kilomètres.

9. $\sigma(450) = 1.0 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{2}$ , $\sigma(650) = 2.4 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ : rapport $4.4$ .

10. Libres parcours moyens $39$ , $87$ , $170\,\mathrm{km}$ ; $\tau = 0.21$ , $0.09$ , $0.05$ : $19\%$ , $9\%$ , $5\%$ diffusés.

11. $N\sigma I = 2.5 \times 10^{25} \times 4.6 \times 10^{-31} \times 300 = 3.5\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{3}$ , dans $4\pi$ avec le diagramme $(1 + \cos^2\chi)$ pour une lumière naturelle.

12. La colonne diffuse $3.5 \times 10^{-3} \times 8000 = 28\,\mathrm{W}$ de ses $300\,\mathrm{W}$ ( $9\%$ ) ; répartis sur l’hémisphère, le ciel délivre quelque $4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}$ , contre les $300/6.8 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{6}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}$ du Soleil : un millionième par stéradian — le bon ordre.

13. Totalement polarisée à $90{}^{\circ}$ en diffusion simple ; la diffusion multiple et le sol la ramènent à quelque $75\%$ ; abeilles et fourmis lisent le motif pour retrouver le Soleil derrière les nuages.

14. $\tau \times 38$ : bleu $8$ ( $T = 3 \times 10^{-4}$ ), rouge $1.8$ ( $T = 0.17$ ) : un Soleil rouge sombre ; au zénith, la lumière arrive après un trajet court et reste bleue.

15. Pas d’atmosphère, rien pour diffuser : le ciel est noir à côté du Soleil.

16. La poussière micrométrique diffuse comme des particules de Mie : vers l’avant et dans le rouge, d’où un ciel caramel ; près du Soleil couchant la lumière diffusée vers l’avant est bleue.

17. $8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ .

18. $a = v^2/2d = 6.4 \times 10^{21}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $\mathcal P = e^2a^2/6\pi\varepsilon_0c^3 = 2 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}$ pendant $2d/v = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : $6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}$ , soit $10^{-10}$ des $100\,\mathrm{keV}$ — le rendement réel est proche de $1\%$ , car le freinage se produit lors de rencontres violentes et rapprochées avec les noyaux, non par une décélération uniforme et douce.

19. $hc/E = 12.4\,\mathrm{pm}$ .

20. $2\,\mathrm{kW}$ dans le faisceau, environ $20\,\mathrm{W}$ de rayons X ; deux kilowatts de chaleur sur une tache — l’anode tourne pour l’étaler.

21. $a = v^2/r = 9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\mathcal P = 5 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ ; les $13.6\,\mathrm{eV}$ partis en $5 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ .

22. Les charges classiques en mouvement lié rayonnent continûment ; la mécanique quantique possède des états stationnaires qui ne rayonnent pas, et un état le plus bas au-dessous duquel il n’y a rien.

23. $a = c^2/R = 9 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $5 \times 10^{-24}\,\mathrm{W}$ par Larmor, $\gamma^4 \sim 10^{16}$ fois plus en réalité : des dizaines de kilowatts de lumière synchrotron issus d’un faisceau stocké.

24. $\sigma_TI = 6.7 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ ; $1.5 \times 10^{25}$ électrons pour un watt.

25. Mât : $5.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ à $1\,\mathrm{MHz}$ , $100\,\mathrm{kW}$ , un tore vertical. Molécule : $\sim$ $1 \times 10^{-35}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ à $500\,\mathrm{THz}$ , $1 \times 10^{-28}\,\mathrm{W}$ , un tore autour du champ. Électron libre : Thomson, $1 \times 10^{-25}\,\mathrm{W}$ sous la lumière solaire, le même diagramme.