Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

22Diffraction de Fraunhofer et filtrage spatial

Plissez les yeux vers un réverbère à travers l’interstice entre deux doigts et le lampadaire s’étire en une bande de franges ; regardez une étoile dans la meilleure lunette et vous ne voyez pas un point mais un petit disque cerné de cercles pâles. La lumière qui passe par une ouverture s’étale — plus l’ouverture est étroite, plus l’étalement est large — et aucune lentille ne peut la focaliser plus serré que cet étalement ne l’autorise. C’est la diffraction, la raison pour laquelle un microscope ne peut voir un virus, le pouvoir de résolution d’une lunette croît avec son diamètre, et un faisceau laser ne peut rester parallèle. Ce chapitre calcule la figure de diffraction d’une ouverture en champ lointain, la limite qu’elle impose à tout instrument d’optique, la façon dont elle se combine à l’interférence, et l’idée — celle d’Abbe — qui fait du plan focal d’une lentille un lieu où l’on peut filtrer une image.

22.1 Le principe de Huygens–Fresnel et le régime de Fraunhofer

Définition 22.1 (Principe de Huygens–Fresnel)

Tout point d’un front d’onde (ou d’une ouverture éclairée par une onde) agit comme une source secondaire émettant une ondelette sphérique, en phase avec l’onde en ce point ; l’onde au-delà est la somme cohérente des ondelettes. Pour une ouverture $\Sigma$ éclairée par une onde plane d’amplitude $a$ , l’amplitude parvenant en un point lointain vaut $\underline s(M) = K\iint_\Sigma\eu^{-\iu\varphi(P, M)}\dd S$ , avec $\varphi(P, M)$ la phase du trajet du point $P$ de l’ouverture jusqu’à $M$ ( $K$ une constante). La diffraction de Fraunhofer (champ lointain) est le cas où $M$ est à l’infini — ou dans le plan focal d’une lentille — de sorte que les rayons issus de tous les points de l’ouverture vers $M$ sont parallèles, dans la direction $\vect u$ , et

\varphi(P, M) = \varphi_0 - \frac{2\pi}\lambda\,\vect{OP}\cdot\vect u , \qquad \underline s(\vect u) \propto \iint_\Sigma\eu^{\iu(2\pi/\lambda)\vect{OP}\cdot\vect u}\dd S .

La figure s’observe à l’infini, ou au foyer $F'$ d’une lentille, où la direction $\vect u$ de petits angles $(\alpha, \beta)$ correspond au point $(f\alpha, f\beta)$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 22.2 (Assez loin ?)

Pour une ouverture de taille $D$ vue à la distance $L$ sans lentille, les rayons sont assez parallèles quand le terme quadratique de l’Exercice 18.12 est négligeable, $D^2/L \ll \lambda$ — le nombre de Fresnel $D^2/\lambda L \ll 1$ . Une fente de $0.1\,\mathrm{mm}$ à $500\,\mathrm{nm}$ demande $L \gg 2\,\mathrm{cm}$ ; une ouverture de $1\,\mathrm{cm}$ , $L \gg 200\,\mathrm{m}$ — d’où la lentille, qui ramène l’infini dans son plan focal. Plus près (diffraction de Fresnel) les figures sont plus complexes ; l’ombre d’un bord droit, par exemple, porte des franges du côté éclairé.

22.2 La fente unique et l’ouverture circulaire

Proposition 22.3 (Diffraction par une fente)

Une fente de largeur $b$ (longue selon $y$ ) éclairée sous incidence normale envoie dans la direction $\theta$ (dans le plan perpendiculaire à la fente) l’intensité

I(\theta) = I_0\,\operatorname{sinc}^2\Bigl(\frac{\pi b\sin\theta}\lambda\Bigr) , \qquad \operatorname{sinc}x = \frac{\sin x}x :

un maximum central brillant de demi-largeur angulaire $\lambda/b$ (premiers zéros en $\sin\theta = \pm\lambda/b$ ), contenant $90\%$ de la lumière, et des maxima secondaires vers $\sin\theta = \pm1.43\lambda/b$ , $\pm2.46\lambda/b$ , …, d’intensités relatives $4.7\%$ , $1.6\%$ , …— plus la fente est étroite, plus la figure est large. Dans le plan focal d’une lentille de distance focale $f$ , le maximum central est large de $2\lambda f/b$ .

Démonstration. $\underline s(\theta) \propto \int_{-b/2}^{b/2}\eu^{\iu kx\sin\theta}\dd x = b\,\operatorname{sinc}(kb\sin\theta/2)$ avec $k = 2\pi/\lambda$ ; élever au carré. Zéros là où $b\sin\theta = m\lambda$ , $m \ne 0$ : les ondelettes des deux moitiés de la fente s’annulent alors deux à deux. ∎

À gauche : les ondelettes issues de toute la fente, sommées dans la direction . À droite : la figure de Fraunhofer de la fente, en sinc2 : un lobe central deux fois plus large que les autres et bien plus brillant. — À gauche : les ondelettes issues de toute la fente, sommées dans la direction $\theta$ . À droite : la figure de Fraunhofer de la fente, en $\operatorname{sinc}^2$ : un lobe central deux fois plus large que les autres et bien plus brillant.

Proposition 22.4 (Ouverture circulaire ; la tache d’Airy)

Une ouverture circulaire de diamètre $D$ donne un disque central brillant, la tache d’Airy, entourée d’anneaux pâles ; le premier anneau sombre est en

\sin\theta = 1.22\,\frac\lambda D ,

et la tache retient $84\%$ de la lumière. Tout instrument dont la pupille d’entrée a le diamètre $D$ — œil, appareil photo, télescope, objectif de microscope — transforme une source ponctuelle en une tache d’Airy de ce rayon angulaire ; deux points sont résolus (critère de Rayleigh) si leur séparation angulaire dépasse $1.22\lambda/D$ : c’est le pouvoir de résolution de l’instrument.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 22.5 (Œil, télescope, microscope)

L’œil ( $D = 3\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ) : $1.22\lambda/D = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , environ $45''$ — un détail de $1\,\mathrm{mm}$ à $4\,\mathrm{m}$ , ce qui est bien à peu près l’acuité d’un bon œil : l’évolution a accordé les cellules de la rétine à la limite de diffraction. Un télescope de $2.4\,\mathrm{m}$ : $0.06''$ , mille fois mieux, si l’atmosphère le permet (elle ne le permet pas, depuis le sol : $1''$ de « seeing », d’où les télescopes spatiaux et l’optique adaptative). Une antenne radio de $100\,\mathrm{m}$ à $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$ : $9'$ , moins bien que l’œil ; les interféromètres à l’échelle des continents restaurent la résolution. Un objectif de microscope d’angle d’ouverture $\alpha$ résout $0.61\lambda/n\sin\alpha$ — environ $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ dans le visible, quel que soit le grandissement : la limite qui a poussé la microscopie vers les électrons et les rayons X.

À gauche et au milieu : la tache d’Airy d’une source ponctuelle, et deux sources à la limite de Rayleigh — le centre de l’une sur le premier anneau sombre de l’autre. À droite : leurs profils (esquissés par des formes en sinc2), séparés de 1.22 /D. — À gauche et au milieu : la tache d’Airy d’une source ponctuelle, et deux sources à la limite de Rayleigh — le centre de l’une sur le premier anneau sombre de l’autre. À droite : leurs profils (esquissés par des formes en $\operatorname{sinc}^2$ ), séparés de $1.22\lambda/D$ .

22.3 Diffraction et interférence ensemble

Proposition 22.6 (Fentes d’Young de largeur finie ; l’enveloppe du réseau)

Deux fentes de largeur $b$ dont les centres sont distants de $a$ donnent

I(\theta) = 4I_0\,\operatorname{sinc}^2\Bigl(\frac{\pi b\sin\theta}\lambda\Bigr)\cos^2\Bigl(\frac{\pi a\sin\theta}\lambda\Bigr) :

les franges d’Young (de pas $\lambda/a$ en $\sin\theta$ ) sous l’enveloppe de la fente seule (de largeur $2\lambda/b$ ) ; $a/b$ franges remplissent le lobe central, et les franges en $a\sin\theta = p\lambda$ qui tombent sur un zéro de l’enveloppe ( $b\sin\theta = m\lambda$ ) sont manquantes. Un réseau de $N$ fentes de largeur $b$ a de même ses maxima principaux modulés par la même enveloppe — que le blaze du Chapitre 21 incline vers l’ordre utilisé.

Démonstration. L’intégrale sur l’ouverture se scinde en une somme, sur les deux fentes, de la même intégrale décalée de $\pm a/2$ : $\underline s \propto b\,\operatorname{sinc}(\pi b\sin\theta/\lambda) \times2\cos(\pi a\sin\theta/\lambda)$ . Pour $N$ fentes le second facteur est la somme à $N$ ondes. ∎

Deux fentes avec a = 4b : les franges d’Young sous l’enveloppe de la fente seule (tiretée) ; les franges du quatrième ordre tombent sur les zéros de l’enveloppe et manquent. — Deux fentes avec $a = 4b$ : les franges d’Young sous l’enveloppe de la fente seule (tiretée) ; les franges du quatrième ordre tombent sur les zéros de l’enveloppe et manquent.

22.4 Le plan de Fourier et le filtrage spatial

Proposition 22.7 (La lentille comme analyseur de Fourier)

Un transparent de transmittance $t(x, y)$ dans le plan focal objet d’une lentille, éclairé par une onde plane, produit dans le plan focal image l’amplitude

\underline s(X, Y) \propto \iint t(x, y)\,\eu^{-\iu2\pi(xX + yY)/\lambda f}\dd x\,\dd y

— sa transformée de Fourier à deux dimensions, chaque point $(X, Y)$ du plan de Fourier recueillant la lumière diffractée sous les angles $(X/f, Y/f)$ , c’est-à-dire les fréquences spatiales $(X/\lambda f, Y/\lambda f)$ de l’objet : les détails fins (hautes fréquences) loin de l’axe, les grossiers près de lui. Une seconde lentille reforme l’image à partir de ce plan ; tout ce qui y est bloqué ou modifié est filtré hors de l’image (filtrage spatial, théorie d’Abbe du microscope) : un trou d’aiguille sur l’axe ne garde que les basses fréquences (lissage, « nettoyage » d’un faisceau laser) ; un cache sur l’axe supprime le fond uniforme et garde les bords (fond noir, strioscopie) ; une lame quart d’onde sur l’axe transforme les objets de phase, invisibles autrement, en contraste d’intensité (contraste de phase, Zernike).

Justification. Dans l’intégrale de Fraunhofer, $\vect{OP}\cdot\vect u = x\alpha + y\beta$ avec la direction associée à $(X, Y) = (f\alpha, f\beta)$ ; la transmittance pondère chaque source secondaire. (La transformation de Fourier elle-même est étudiée dans le volume de mathématiques de troisième année ; ici, ce n’est que le nom de cette intégrale.) Pour un objet périodique de période $d$ , la transformée est l’ensemble des ordres du réseau en $X = p\lambda f/d$ : l’image ne peut montrer la période que si au moins les ordres $\pm1$ traversent la lentille — la condition d’Abbe, qui est de nouveau la limite de résolution du microscope. ∎

Le montage 4f : la première lentille forme la transformée de Fourier de l’objet dans son plan focal (un objet périodique y donne des ordres discrets), la seconde reforme l’image ; un masque dans le plan de Fourier filtre l’image. — Le montage $4f$ : la première lentille forme la transformée de Fourier de l’objet dans son plan focal (un objet périodique y donne des ordres discrets), la seconde reforme l’image ; un masque dans le plan de Fourier filtre l’image.

Exemple 22.8 (Nettoyer un faisceau, voir l’invisible)

Un faisceau laser porte poussières et rides : focalisez-le à travers un trou de quelques micromètres — la taille de la tache d’Airy centrale du faisceau gaussien propre — et tout le reste, qui tombe à l’extérieur, est bloqué ; le faisceau recollimaté est lisse : c’est un filtre spatial. Une cellule vivante est transparente ; elle ne change que la phase de la lumière. Bloquer la tache axiale rend ses bords brillants sur fond noir ; la lame de Zernike décale la lumière non diffractée d’un quart d’onde afin qu’elle interfère en intensité avec la lumière diffractée : l’intérieur de la cellule apparaît, et la biologie a eu son microscope (prix Nobel 1953).

Méthode 22.9 (Estimations de diffraction)

(1) Étalement angulaire $\sim\lambda/b$ pour une ouverture de taille $b$ ( $1.22\lambda/D$ pour un cercle) ; la taille de la figure à la distance $L$ ou à la distance focale $f$ vaut $\lambda L/b$ , $\lambda f/b$ . (2) Vérifier la condition de Fraunhofer $b^2/\lambda L \ll 1$ ou utiliser une lentille. (3) Combiner : enveloppe de diffraction $\times$ franges d’interférence. (4) Résolution : deux points demandent $\Delta\theta > 1.22\lambda/D$ ; un objet périodique demande que ses premiers ordres entrent dans la pupille. (5) L’image du plan de Fourier : quoi bloquer pour ôter quel détail.

22.5 Exercices

Exercice 22.1 ★

Une fente de $0.10\,\mathrm{mm}$ éclairée par un laser He–Ne ( $633\,\mathrm{nm}$ ) ; écran à $2.0\,\mathrm{m}$ . Largeur du maximum central ; position des deux premiers maxima secondaires ; nombre de Fresnel — l’écran est-il assez loin ? Même fente avec une lentille de $f = 50\,\mathrm{cm}$ .

Solution

Solution de Exercice 22.1.

$2\lambda L/b = 25\,\mathrm{mm}$ ; maxima secondaires en $1.43\lambda L/b = 18\,\mathrm{mm}$ et $2.46\lambda L/b = 31\,\mathrm{mm}$ ; nombre de Fresnel $b^2/\lambda L = 8 \times 10^{-3}$ : assez loin. Avec la lentille, $2\lambda f/b = 6.3\,\mathrm{mm}$ .

Exercice 22.2 ★

Pouvoir de résolution (Rayleigh) de : l’œil ( $3\,\mathrm{mm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ ) ; une lunette d’amateur de $10\,\mathrm{cm}$ ; le miroir de $2.4\,\mathrm{m}$ de Hubble ; une antenne radio de $64\,\mathrm{m}$ à $6\,\mathrm{cm}$ ; un objectif photo de $50\,\mathrm{mm}$ à $f/8$ (pupille $6\,\mathrm{mm}$ ) : taille de la tache d’Airy sur le capteur, comparée à un pixel de $4\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Solution

Solution de Exercice 22.2.

$1.22\lambda/D$ : œil $2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ( $46''$ ) ; $10\,\mathrm{cm}$ : $1.4''$ ; Hubble $0.058''$ ; antenne $1.22 \times 0.06/64 = 1.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad} = 3.9'$ ; appareil photo : $1.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} \times 50\,\mathrm{mm} = 5.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ de rayon, un disque de $11\,\text{µ}\mathrm{m}$ — trois pixels : la diffraction limite déjà un capteur à $f/8$ .

Exercice 22.3 ★

Deux fentes de largeur $b = 0.05\,\mathrm{mm}$ , centres distants de $a = 0.25\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ , lentille $f = 1\,\mathrm{m}$ : interfrange ; largeur de l’enveloppe centrale ; nombre de franges qu’elle contient ; quels ordres manquent ?

Solution

Solution de Exercice 22.3.

$\lambda f/a = 2\,\mathrm{mm}$ ; enveloppe $2\lambda f/b = 20\,\mathrm{mm}$ ; dix franges ; ordres $p = 5, 10, \dots$ ( $a/b = 5$ ) manquants.

Exercice 22.4 ★

Un faisceau laser de $2\,\mathrm{mm}$ de diamètre à $633\,\mathrm{nm}$ se propage jusqu’à la Lune ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ) : angle de diffraction $\sim1.22\lambda/D$ , diamètre de la tache ; avec un télescope de $3.5\,\mathrm{m}$ comme émetteur ; pourquoi les retours de télémétrie lunaire sont-ils si faibles (le rétroréflecteur, $1\,\mathrm{m}$ , renvoie la lumière avec sa propre diffraction) ?

Solution

Solution de Exercice 22.4.

$\theta = 1.22\lambda/D = 3.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ : une tache de $290\,\mathrm{km}$ de large ; avec $3.5\,\mathrm{m}$ , $170\,\mathrm{m}$ . La diffraction propre du réflecteur, $\lambda/1\,\mathrm{m}$ , étale le retour sur $600\,\mathrm{m}$ : sur $10^{17}$ photons envoyés, une poignée revient.

Exercice 22.5 ★★

La fente en détail. (a) Mener l’intégrale de Fraunhofer pour la fente et obtenir $\operatorname{sinc}^2$ . (b) Montrer que les maxima secondaires sont en $\tan x = x$ ( $x = \pi b\sin\theta/\lambda$ ), le premier près de $x = 1.43\pi$ , et calculer son intensité relative. (c) Fraction de l’énergie dans le lobe central (on admet $\int_{-\pi}^\pi\operatorname{sinc}^2 = 0.903\pi$ et $\int_{-\infty}^\infty\operatorname{sinc}^2 = \pi$ ). (d) La fente est éclairée sous l’incidence $\theta_0$ : montrer que la figure est la même, centrée sur la direction $\theta_0$ .

Solution

Solution de Exercice 22.5.

(a) $\int_{-b/2}^{b/2}\eu^{\iu kx\sin\theta}\dd x = b\,\operatorname{sinc}(kb\sin\theta/2)$ . (b) $\dd(\sin x/x)/\dd x = 0$ donne $\tan x = x$ ; $x = 4.49 = 1.43\pi$ , $\operatorname{sinc}^2 = 0.047$ . (c) $0.903$ . (d) La phase devient $kx(\sin\theta - \sin\theta_0)$ : la même figure autour de $\theta_0$ .

Exercice 22.6 ★★

Microscope. Un objectif d’ouverture numérique $n\sin\alpha = 1.4$ (immersion à huile) à $500\,\mathrm{nm}$ : plus petite distance résolue $0.61\lambda/n\sin \alpha$ ; en lumière bleue ( $400\,\mathrm{nm}$ ) ; dans l’ultraviolet ( $250\,\mathrm{nm}$ ) ; pourquoi un oculaire $1000\times$ n’aide-t-il pas (la limite propre de l’œil à $25\,\mathrm{cm}$ est $0.1\,\mathrm{mm}$ ) ? Que changent les microscopes électroniques ( $\lambda = 4\,\mathrm{pm}$ à $100\,\mathrm{keV}$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 22.6.

$0.61\lambda/\mathrm{NA}$ : $220\,\mathrm{nm}$ ; $170\,\mathrm{nm}$ ; $110\,\mathrm{nm}$ . Au-delà de $500\times$ environ l’oculaire ne fait qu’agrandir le flou (grandissement vide). Les électrons à $4\,\mathrm{pm}$ avec $\mathrm{NA} \approx 0.01$ : $0.2\,\mathrm{nm}$ — des atomes.

Exercice 22.7 ★★

Rectangulaire et circulaire. (a) Une ouverture rectangulaire $b \times h$ : montrer que la figure est $\operatorname{sinc}^2(\pi b\sin\theta_x/\lambda)\operatorname{sinc}^2(\pi h \sin\theta_y/\lambda)$ : une croix, plus large selon le côté le plus étroit. (b) Un carré de $0.2\,\mathrm{mm}$ avec $f = 1\,\mathrm{m}$ : taille du carré central. (c) Pour un cercle de même largeur le premier zéro est en $1.22\lambda/D$ au lieu de $\lambda/b$ : pourquoi plus loin (penser à la lumière concentrée près du centre d’un disque) ? (d) Le miroir secondaire d’un télescope est tenu par quatre bras : qu’ajoutent-ils à l’image d’une étoile brillante ?

Solution

Solution de Exercice 22.7.

(a) L’intégrale se factorise en $x$ et $y$ . (b) $2\lambda f/b = 5\,\mathrm{mm}$ . (c) Les cordes d’un disque sont plus courtes que son diamètre loin du centre : sa largeur effective est plus petite, sa figure plus large. (d) Quatre aigrettes de diffraction en croix.

Exercice 22.8 ★★

Abbe. Un réseau de pas $d = 2\,\text{µ}\mathrm{m}$ est observé avec un objectif de microscope d’angle d’ouverture $\alpha$ dans l’air, $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ . (a) Angles de ses ordres $\pm1$ , $\pm2$ . (b) $\sin\alpha$ minimal pour que l’image montre la période (les ordres $\pm1$ doivent entrer). (c) Avec $\sin\alpha = 0.4$ : que montre l’image — est-ce un réseau fidèle ? (d) L’éclairage oblique laisse passer l’ordre zéro et un premier ordre : $\sin\alpha$ minimal alors, et le gain.

Solution

Solution de Exercice 22.8.

(a) $\sin\theta = \pm0.275$ ( $16{}^{\circ}$ ), $\pm0.55$ ( $33{}^{\circ}$ ). (b) $\sin\alpha \ge 0.275$ . (c) Ordres $0$ , $\pm1$ seulement : une image sinusoïdale de la bonne période, non les barres nettes. (d) $\sin\alpha \ge \lambda/2d = 0.14$ : deux fois la résolution.

Exercice 22.9 ★★

Filtre spatial. Un faisceau laser de $2\,\mathrm{mm}$ ( $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ ) est focalisé par une lentille de $f = 20\,\mathrm{mm}$ à travers un trou. (a) Diamètre de la tache d’Airy centrale au foyer ; diamètre du trou pour la laisser passer (prendre $1.5\times$ ). (b) Une poussière de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ sur le faisceau diffracte la lumière sous quel angle, et où cette lumière tombe-t-elle dans le plan focal — à travers le trou ou non ? (c) Puissance perdue si le faisceau est gaussien et que le trou en laisse passer $99\%$ ; pourquoi le faisceau émergent est-il lisse ? (d) Pourquoi le trou doit-il être centré à quelques micromètres près ?

Solution

Solution de Exercice 22.9.

(a) $2.44\lambda f/D = 15\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; trou $23\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $\lambda/50\,\text{µ}\mathrm{m} = 1.3 \times 10^{-2}\,\mathrm{rad}$ : $0.25\,\mathrm{mm}$ hors de l’axe, bloquée. (c) $1\%$ ; le trou ne garde que les basses fréquences spatiales. (d) Décalé de quelques micromètres, le trou rogne la tache elle-même.

Exercice 22.10 ★★★

Babinet. Deux écrans complémentaires (une fente, et une bande opaque de même largeur) sont éclairés par une onde plane. (a) Montrer que, hors de la direction du faisceau incident, leurs figures de Fraunhofer sont identiques (la somme des deux amplitudes est celle de l’onde libre, nulle hors de l’axe). (b) La figure d’un cheveu de diamètre $80\,\text{µ}\mathrm{m}$ à $2\,\mathrm{m}$ avec un laser : interfrange, et le diamètre du cheveu qu’on en tire — une mesure classique. (c) Que voit-on sur l’axe même ? (d) Pourquoi de fines gouttelettes dans un nuage mince produisent-elles une couronne d’anneaux colorés autour de la Lune, et que donne le rayon des anneaux ?

Solution

Solution de Exercice 22.10.

(a) Les amplitudes s’ajoutent en l’onde libre, nulle hors de l’axe : $|\underline s_{\text{fente}}| = |\underline s_{\text{bande}}|$ là. (b) Franges distantes de $\lambda L/b = 16\,\mathrm{mm}$ ; mesurer l’interfrange donne $b$ . (c) L’ombre de la bande se tient dans le faisceau brillant non diffracté. (d) Des gouttelettes de diamètre $d$ diffractent comme des trous : anneaux en $1.22\lambda/d$ , le rouge à l’extérieur ; le rayon donne $d$ .

Exercice 22.11 ★★★

Fond noir et contraste de phase. Un objet transparent a $t(x) = \eu^{\iu\varphi(x)} \approx 1 + \iu\varphi(x)$ avec $|\varphi| \ll 1$ . (a) Intensité de son image ordinaire : montrer qu’elle est uniforme au premier ordre — invisible. (b) Dans le plan de Fourier le « 1 » est la tache axiale et $\iu\varphi$ la lumière diffractée autour d’elle : si un cache bloque la tache axiale, l’intensité de l’image est $\propto\varphi^2$ — fond noir ; sa faiblesse. (c) Si au contraire la tache axiale est retardée de $\pi/2$ (multipliée par $\iu$ ) : image $\propto|1 + \varphi|^2 \approx 1 + 2\varphi$ — contraste de phase, linéaire en $\varphi$ . (d) Pourquoi la lame de Zernike est-elle souvent aussi absorbante (elle atténue la tache axiale) ?

Solution

Solution de Exercice 22.11.

(a) $|1 + \iu\varphi|^2 = 1 + \varphi^2$ : uniforme au premier ordre. (b) Sans la lumière axiale, $|\iu\varphi|^2 = \varphi^2$ : second ordre, faible. (c) $|\iu + \iu\varphi|^2 = 1 + 2\varphi + \dots$ : linéaire. (d) La tache axiale éclipse la lumière diffractée ; l’atténuer égalise les deux amplitudes et relève le contraste.

Exercice 22.12 ★★★

Résolution de l’image de fente d’un spectrographe et du réseau. Un réseau de largeur $W$ est l’ouverture du spectrographe : montrer que la figure de diffraction de cette ouverture, $\operatorname{sinc}^2(\pi W\sin\theta/\lambda)$ (pour le faisceau sortant en $\theta \approx 0$ ), a la demi-largeur angulaire $\lambda/W$ , et que, convertie en longueur d’onde par la dispersion $p/a\cos \theta$ , cela donne $\Delta\lambda = \lambda/pN$ — le pouvoir de résolution du Chapitre 21, vu comme une diffraction. (b) Un télescope de diamètre $D$ et un réseau de largeur $W$ : le réseau doit être plus large que $D\,f_{\text{coll}}/f_{\text{tél}}$ : pourquoi ? (c) Expliquer en une phrase pourquoi tout « pouvoir de résolution » en optique vaut $\sim$ (taille de l’ouverture)/ $\lambda$ . (d) Qu’ajoute la fente, et quand domine-t-elle ?

Solution

Solution de Exercice 22.12.

(a) Demi-largeur $\lambda/W$ ; divisée par $p/a\cos\theta$ : $\Delta\lambda = \lambda a\cos\theta/pW \approx \lambda/pN$ . (b) Le faisceau collimaté a le diamètre $Df_{\text{coll}}/f_{\text{tél}}$ ; un réseau plus petit gaspillerait lumière et pouvoir de résolution. (c) Une résolution est toujours l’angle sur lequel la phase à travers l’ouverture change d’une longueur d’onde, $\lambda/(\text{taille})$ . (d) Sa largeur d’image, qui domine dès qu’elle dépasse la largeur de diffraction du réseau — le cas usuel.

Un faisceau laser à travers une fente étroite : sur l’écran lointain, la large bande centrale brillante et les maxima latéraux plus faibles et plus étroits de la figure de Fraunhofer.

22.6 Problème : ce que l’on peut résoudre

Problème 22.1

Problème du week-end — la limite de diffraction à quatre échelles : l’œil, un télescope, un microscope, et le faisceau laser qu’il faut nettoyer avant de s’en servir

Partie I — L’œil. Pupille $D = 3\,\mathrm{mm}$ le jour, $7\,\mathrm{mm}$ la nuit ; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ; les cônes de la rétine sont distants de $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ à la fovéa, la distance focale de l’œil vaut $17\,\mathrm{mm}$ .

Rayon angulaire de la tache d’Airy le jour ; son rayon linéaire sur la rétine ; comparer à l’espacement des cônes — la rétine est-elle accordée à l’optique ?
Plus petite séparation de deux points résolus à $25\,\mathrm{cm}$ ; à $10\,\mathrm{m}$ ; peut-on lire un texte de $1\,\mathrm{mm}$ à bout de bras ?
La nuit la pupille s’ouvre à $7\,\mathrm{mm}$ : limite de diffraction alors ; pourquoi la vision se dégrade-t-elle néanmoins (aberrations du cristallin à pleine ouverture, bâtonnets plus grossiers que les cônes) ?
Deux phares d’automobile distants de $1.5\,\mathrm{m}$ : distance à laquelle ils se fondent en une seule lumière.
Un trou de $1\,\mathrm{mm}$ tenu devant l’œil : que fait la diffraction, et pourquoi un trou d’épingle aide-t-il néanmoins un œil myope (profondeur de champ) ?

Partie II — Le télescope. Un télescope de $1\,\mathrm{m}$ , $f = 10\,\mathrm{m}$ , avec une caméra à pixels de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ .

Limite de diffraction en secondes d’arc ; rayon d’Airy sur le détecteur ; nombre de pixels par tache d’Airy.
L’atmosphère brouille les images à $1''$ : quelle part de la résolution du télescope est perdue ? Diamètre de télescope pour lequel la limite de diffraction égale le seeing.
L’optique adaptative corrige l’atmosphère à $2.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ : limite de diffraction là ; pourquoi est-ce plus facile dans l’infrarouge ?
Une étoile double dont les composantes sont distantes de $0.15''$ : résolue avec l’optique adaptative à $2.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ? À $550\,\mathrm{nm}$ depuis l’espace ?
La Lune est à $3.8 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ : plus petit cratère que ce télescope pourrait résoudre (diffraction seule) ; et l’empreinte d’un module lunaire ( $4\,\mathrm{m}$ ) ?
Pouvoir collecteur du télescope relativement à l’œil nocturne ( $7\,\mathrm{mm}$ ) ; qu’achète-t-il, et quoi non ?
La lumière d’une étoile à travers les quatre bras tenant le miroir secondaire : décrire l’image.

Partie III — Le microscope. Objectif d’ouverture numérique $\mathrm{NA} = n\sin\alpha = 0.9$ (à sec) ou $1.4$ (à huile), $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ; la distance résolue vaut $0.61\lambda/\mathrm{NA}$ .

Distance résolue avec chaque objectif ; nombre de paires de traits par millimètre.
Une bactérie de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ à structure interne de $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ : que voit-on avec chacun ? Un virus de $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
Abbe : une structure périodique de pas $d$ n’est imagée que si ses premiers ordres en $\sin\theta = \lambda/d$ entrent dans l’objectif : $d$ minimal pour $\mathrm{NA} = 1.4$ ; comparer à $0.61\lambda/\mathrm{NA}$ .
Pourquoi l’huile entre la lame et l’objectif améliore-t-elle la résolution ?
L’ultraviolet à $250\,\mathrm{nm}$ et un microscope électronique à $4\,\mathrm{pm}$ : distances résolues par la même formule (pour les électrons l’ouverture numérique pratique vaut $0.01\,$ ) : comparer.
Une cellule est transparente : en fond clair son image est vide. Expliquer en deux phrases ce que fait la lame de contraste de phase placée dans le plan de Fourier de l’objectif.

Partie IV — Le faisceau. Un laser à $532\,\mathrm{nm}$ , faisceau de $1.5\,\mathrm{mm}$ de diamètre, doit être élargi à $30\,\mathrm{mm}$ et nettoyé.

Demi-angle de diffraction du faisceau brut ( $\sim1.22\lambda/D$ ) ; son diamètre après $100\,\mathrm{m}$ sans optique.
Une lentille de $f_1 = 10\,\mathrm{mm}$ le focalise : diamètre de la tache focale ; diamètre du trou choisi ( $1.5\times$ la tache).
Une seconde lentille de $f_2$ recollimate à $30\,\mathrm{mm}$ : $f_2$ ; nouvel angle de diffraction ; diamètre après $1\,\mathrm{km}$ .
Une poussière de $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ sur la première lentille diffracte sous quel angle ; où cette lumière tombe-t-elle dans le plan du trou, et que lui arrive-t-il ?
Le trou laisse passer $99\%$ d’un faisceau gaussien : puissance perdue, et où elle va.
Pourquoi le faisceau élargi doit-il être plus large pour rester parallèle (relier $\lambda/D$ à la distance sur laquelle le faisceau double, $\sim D^2/\lambda$ ) ?
Résumer les quatre limites de ce problème en un tableau : ouverture, longueur d’onde, $\lambda/D$ , ce qu’elle limite.

Solution

Solution de Problème 22.1.

1. $1.22\lambda/D = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $\times17\,\mathrm{mm} = 3.8\,\text{µ}\mathrm{m}$ : deux espacements de cônes — la rétine échantillonne à la limite de l’optique.

2. $56\,\text{µ}\mathrm{m}$ à $25\,\mathrm{cm}$ , $2.2\,\mathrm{mm}$ à $10\,\mathrm{m}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ à $50\,\mathrm{cm}$ font dix fois la limite : aisément.

3. $9.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ; les aberrations du cristallin à pleine ouverture et les bâtonnets plus grossiers, regroupés, annulent le gain.

4. $1.5/2.2 \times 10^{-4} = 7\,\mathrm{km}$ .

5. La diffraction s’aggrave jusqu’à $6.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , mais le cercle de flou d’un œil défocalisé rétrécit avec l’ouverture : la profondeur de champ l’emporte.

6. $6.7 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ ( $0.14''$ ) ; $\times10\,\mathrm{m} = 6.7\,\text{µ}\mathrm{m}$ de rayon : un disque de $1.3$ pixel.

7. $1''$ $= 4.9 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ , sept fois la limite ; $D = 1.22\lambda/4.9 \times 10^{-6} = 14\,\mathrm{cm}$ atteint déjà le seeing.

8. $2.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ( $0.55''$ ) ; les erreurs de phase de l’atmosphère sont une plus petite fraction d’une longueur d’onde plus grande : moins de corrections, plus lentes.

9. $0.15 < 0.55$ : non ; à $550\,\mathrm{nm}$ depuis l’espace, $0.14''$ : tout juste.

10. $6.7 \times 10^{-7} \times 3.8 \times 10^8 = 250\,\mathrm{m}$ ; le module, non.

11. Une croix de quatre aigrettes de diffraction.

12. $(1000/7)^2 = 2 \times 10^4$ : des objets plus faibles, non plus fins.

13. $370\,\mathrm{nm}$ et $240\,\mathrm{nm}$ : $2700$ et $4200$ paires de traits par millimètre.

14. La bactérie, oui ; sa structure de $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ à la limite avec l’huile, non à sec ; le virus, non.

15. $d \ge \lambda/\mathrm{NA} = 390\,\mathrm{nm}$ sous éclairage normal, $200\,\mathrm{nm}$ en lumière oblique — le $0.61\lambda/\mathrm{NA}$ de deux points se situe entre les deux.

16. L’indice de l’huile relève $n\sin\alpha$ et supprime la réflexion totale qui piégerait les rayons rasants dans la lamelle.

17. $110\,\mathrm{nm}$ ; électrons : $0.61 \times 4\,\text{pm}/0.01 = 0.24\,\mathrm{nm}$ .

18. La lame retarde d’un quart d’onde la lumière non diffractée afin qu’elle interfère avec la lumière diffractée par la structure de phase de la cellule ; le motif de phase devient un motif d’intensité.

19. $4.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $1.5 + 2 \times 43 = 88\,\mathrm{mm}$ .

20. $2.44\lambda f_1/D = 8.7\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; trou $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

21. $f_2 = 20f_1 = 200\,\mathrm{mm}$ ; $2.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ; $30 + 44 = 74\,\mathrm{mm}$ après un kilomètre.

22. $\lambda/100\,\text{µ}\mathrm{m} = 5.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ : $53\,\text{µ}\mathrm{m}$ hors de l’axe au trou — bloquée.

23. $1\%$ , absorbé par la plaque du trou.

24. Un faisceau de diamètre $D$ double sur $\sim D^2/\lambda$ : $4\,\mathrm{m}$ pour $1.5\,\mathrm{mm}$ , $1.7\,\mathrm{km}$ pour $30\,\mathrm{mm}$ .

25. Œil $3\,\mathrm{mm}$ , télescope $1\,\mathrm{m}$ , objectif (ON $1.4$ ), faisceau $30\,\mathrm{mm}$ : dans chaque cas, $\lambda/D$ fixe le plus petit angle, le détail le plus fin, l’étalement le plus lent.

Termes définis dans ce chapitre

Principe de Huygens–Fresnel

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