Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

7Ondes sonores dans les fluides

Comptez les secondes entre l’éclair et le tonnerre et divisez par trois : c’est la distance en kilomètres. Le son traverse l’air à un tiers de kilomètre par seconde, l’eau à un kilomètre et demi, et un échographe chronomètre au millionième de seconde les échos venus de l’intérieur du corps pour en dessiner l’image. Ce chapitre applique la mécanique des fluides des Chapitres 3 et 2 à un fluide au repos troublé par une petite ondulation de pression, et y retrouve l’équation de d’Alembert : la célérité du son, ce qui transporte l’énergie, ce que veut dire « fort », comment le son se répand dans l’espace, et pourquoi une sirène change de hauteur en passant.

7.1 L’approximation acoustique

Définition 7.1 (Perturbation acoustique)

Un fluide au repos, de pression uniforme $P_0$ et de masse volumique $\rho_0$ , est perturbé : $P = P_0 + p(M, t)$ , $\rho = \rho_0 + \rho_1(M, t)$ , vitesse $\vect v(M, t)$ . L’approximation acoustique ne garde que le premier ordre en les petites grandeurs $p$ (la surpression, ou pression acoustique), $\rho_1$ et $\vect v$ : $|p| \ll P_0$ , $|\rho_1| \ll \rho_0$ , $v \ll c$ , et la transformation subie par chaque particule de fluide est si rapide qu’elle n’échange aucune chaleur : elle est isentropique, avec la compressibilité $\chi_S = \frac1\rho\bigl(\frac{\partial\rho}{\partial P}\bigr)_S$ . La pesanteur est négligée.

Théorème 7.2 (Ondes sonores)

Au premier ordre, l’équation d’Euler, la conservation de la masse et la loi isentropique s’écrivent

\rho_0\frac{\partial\vect v}{\partial t} = -\operatorname{\vect{grad}}p , \qquad \frac{\partial\rho_1}{\partial t} + \rho_0\operatorname{div}\vect v = 0 , \qquad \rho_1 = \rho_0\chi_Sp ,

et ensemble elles donnent l’équation d’onde pour la surpression,

\Delta p = \frac1{c^2}\frac{\partial^2p}{\partial t^2} , \qquad c = \frac1{\sqrt{\rho_0\chi_S}} ,

(la même pour $\rho_1$ et pour $\vect v$ ). Pour un gaz parfait, $\chi_S = 1/\gamma P_0$ et

c = \sqrt{\frac{\gamma P_0}{\rho_0}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}} :

$343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’air à $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ , en hausse de $0.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par kelvin ; $1000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’hélium ; $1480\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’eau ( $\chi_S = 4.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ ).

Démonstration. Euler : le terme convectif $\rho(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v$ est du second ordre, $\rho\,\partial_t\vect v \approx \rho_0\,\partial_t\vect v$ , et $\operatorname{\vect{grad}}P = \operatorname{\vect{grad}}p$ . Masse : $\partial_t\rho + \operatorname{div}(\rho\vect v) \approx \partial_t\rho_1 + \rho_0\operatorname{div}\vect v$ . Loi isentropique : $\dd\rho = \rho\chi_S\,\dd P$ au premier ordre. Prenons la divergence de la première équation et la dérivée temporelle de la seconde : $\rho_0\partial_t\operatorname{div}\vect v = -\Delta p = -\partial_t^2\rho_1 = -\rho_0\chi_S \partial_t^2p$ . Pour le gaz parfait, $PV^\gamma$ constant le long d’une transformation isentropique donne $\dd\rho/\rho = \dd P/\gamma P$ , d’où $\chi_S = 1/\gamma P$ , et $P_0/\rho_0 = RT/M$ . ∎

Remarque 7.3 (Pourquoi isentropique)

Newton avait calculé la célérité du son avec la compressibilité isotherme, $\sqrt{P_0/\rho_0} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $15\%$ trop bas ; Laplace vit que les compressions sont trop rapides pour que la chaleur passe des crêtes chaudes aux creux froids — sur une période, la chaleur ne diffuse que de quelques micromètres (Chapitre 25), rien au regard d’une longueur d’onde — si bien que la transformation est adiabatique et réversible, et que $\gamma$ apparaît. La célérité du son est ainsi une mesure directe de $\gamma$ : $1.40$ pour l’air, $1.67$ pour l’argon.

À gauche : une tranche de fluide déplacée de (x, t) et poussée par les pressions sur ses faces ; sa compression fixe la surpression. À droite : une onde sonore plane — des zones alternées de compression et de dilatation se propageant à c, le fluide lui-même oscillant d’avant en arrière selon la direction de propagation (une onde longitudinale). — À gauche : une tranche de fluide déplacée de $\xi(x, t)$ et poussée par les pressions sur ses faces ; sa compression fixe la surpression. À droite : une onde sonore plane — des zones alternées de compression et de dilatation se propageant à $c$ , le fluide lui-même oscillant d’avant en arrière selon la direction de propagation (une onde longitudinale).

7.2 Ondes planes, impédance, intensité

Proposition 7.4 (Onde sonore plane progressive)

Pour une onde plane $p = f(x - ct)$ se propageant vers les $+x$ , la vitesse du fluide est selon $x$ , en phase avec la surpression, et

p = Z\,v , \qquad Z = \rho_0c = \sqrt{\rho_0/\chi_S} ,

où $Z$ est l’impédance acoustique du milieu ( $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) : $410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ pour l’air, $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ pour l’eau, $\sim1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ pour les tissus mous, $4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ pour l’acier. L’onde transporte la densité d’énergie et l’intensité (puissance par unité d’aire, vers les $+x$ )

e = \tfrac12\rho_0v^2 + \tfrac12\chi_Sp^2 , \qquad I = p\,v ,

qui vérifient $\partial_te + \partial_xI = 0$ ; pour l’onde progressive les deux moitiés de $e$ sont égales et $I = p^2/Z = Zv^2$ . Une onde sinusoïdale d’amplitude de pression $p_m$ a l’intensité moyenne $\langle I\rangle = p_m^2/2Z$ .

Démonstration. Pour $p = f(x - ct)$ , $\rho_0\partial_tv = -\partial_xp = f'/c\cdot c\dots$ : précisément, $\rho_0\partial_tv = -f'(x - ct)$ , et $v = f(x - ct)/\rho_0c$ convient. Le terme potentiel de $e$ est le travail emmagasiné en comprimant le fluide (une compression isentropique d’un volume unité de $\dd V/V = -\chi_S\,\dd p$ emmagasine $\int p\,\chi_S\dd p = \tfrac12\chi_Sp^2$ ) ; $I$ est la puissance de la force de pression $pS$ sur le fluide qui précède, animé de $v$ , par unité d’aire. Bilan : $\partial_te = \rho_0v\partial_tv + \chi_Sp\partial_tp = -v\partial_xp - p\partial_xv = -\partial_x(pv)$ d’après les deux équations linéarisées. ∎

Définition 7.5 (Niveau sonore)

Le niveau sonore d’une onde d’intensité moyenne $I$ vaut

L = 10\log_{10}\frac I{I_0} \ \text{dB} , \qquad I_0 = 1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}

— le seuil d’audition à $1\,\mathrm{kHz}$ , qui correspond dans l’air à une amplitude de pression $p_0 \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$ (efficace) $= 2 \times 10^{-10}$ atmosphère. Doubler l’intensité ajoute $3\,\mathrm{dB}$ ; la multiplier par dix, $10\,\mathrm{dB}$ ; multiplier par cent l’amplitude de pression, $40\,\mathrm{dB}$ . Pièce calme $30\,\mathrm{dB}$ , conversation $60\,\mathrm{dB}$ , rue passante $80\,\mathrm{dB}$ , concert de rock $110\,\mathrm{dB}$ , douleur $120\,\mathrm{dB}$ ( $I = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $p_m = 29\,\mathrm{Pa}$ ).

Exemple 7.6 (Combien un son est petit)

Au seuil, à $1\,\mathrm{kHz}$ : $p_m = 2.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$ , $v_m = p_m/Z = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , et l’amplitude de déplacement $\xi_m = v_m/\omega = 1 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ — le dixième d’un diamètre atomique : le tympan détecte des mouvements plus petits qu’un atome. À $120\,\mathrm{dB}$ , $\xi_m = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ , encore invisible, et $p_m/P_0 = 3 \times 10^{-4}$ : même les sons les plus intenses sont de minuscules perturbations, d’où l’excellence de la théorie linéaire.

À gauche : dans une onde sonore plane progressive la surpression et la vitesse du fluide sont en phase, et le déplacement est en retard d’un quart de période. À droite : l’échelle des décibels — chaque marche de 20\, dB multiplie l’intensité par cent et l’amplitude de pression par dix. — À gauche : dans une onde sonore plane progressive la surpression et la vitesse du fluide sont en phase, et le déplacement est en retard d’un quart de période. À droite : l’échelle des décibels — chaque marche de $20\,\mathrm{dB}$ multiplie l’intensité par cent et l’amplitude de pression par dix.

7.3 Ondes sphériques

Proposition 7.7 (Ondes sphériques et loi en carré inverse)

Une petite source rayonnant également dans toutes les directions produit l’onde sphérique

p(r, t) = \frac{A}{r}\,f\Bigl(t - \frac rc\Bigr) ,

dont l’amplitude décroît en $1/r$ et l’intensité en $1/r^2$ : pour une source de puissance acoustique $\mathcal P$ , $I = \mathcal P/4\pi r^2$ , soit $-6\,\mathrm{dB}$ chaque fois que la distance double. Loin de la source, l’onde est localement plane, avec $v = p/Z$ radiale.

Démonstration. En coordonnées sphériques, pour une fonction de $r$ seul, $\Delta p = \frac1r\frac{\partial^2(rp)}{\partial r^2}$ (admis ; Chapitre 11), de sorte que $u = rp$ obéit à l’équation d’onde unidimensionnelle $\partial_r^2u = \partial_t^2u/c^2$ , d’où $u = Af(t - r/c)$ pour l’onde sortante. La puissance qui traverse une sphère de rayon $r$ vaut $4\pi r^2I$ , constante si rien n’est absorbé. ∎

Exemple 7.8 (Une sirène, une conversation)

Une sirène de $10\,\mathrm{W}$ : $I = 10/4\pi r^2$ , $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ à $1\,\mathrm{m}$ ( $119\,\mathrm{dB}$ , douleur), $79\,\mathrm{dB}$ à $100\,\mathrm{m}$ , $59\,\mathrm{dB}$ à $1\,\mathrm{km}$ — encore audible dans la ville. Une voix rayonne environ $10\,\text{µ}\mathrm{W}$ : $60\,\mathrm{dB}$ à $1\,\mathrm{m}$ , et $40\,\mathrm{dB}$ à $10\,\mathrm{m}$ . L’air absorbe aussi le son (davantage aux hautes fréquences, quelques décibels par centaine de mètres à $10\,\mathrm{kHz}$ ), d’où le grondement grave du tonnerre lointain.

7.4 L’effet Doppler

Théorème 7.9 (Effet Doppler)

Une source émet à la fréquence $f$ et se déplace à la vitesse $v_s$ selon la droite qui la joint à un observateur se déplaçant à $v_o$ , les deux vitesses étant comptées positivement quand ils se rapprochent ; le son se propage à $c$ dans l’air au repos. L’observateur reçoit la fréquence

f' = f\,\frac{c + v_o}{c - v_s} .

Une source en mouvement resserre ses fronts d’onde devant elle ( $\lambda' = (c - v_s)/f$ ) et les écarte derrière ; un observateur en mouvement rencontre les fronts d’onde au rythme $(c + v_o)/\lambda$ . Pour $v_s, v_o \ll c$ les deux donnent $\Delta f/f \approx (v_s + v_o)/c$ .

Démonstration. Source en mouvement : les fronts émis en $t$ et en $t + 1/f$ sont séparés de $c/f - v_s/f$ dans la direction du mouvement, si bien que la longueur d’onde en avant vaut $\lambda' = (c - v_s)/f$ et que la fréquence reçue par un observateur fixe vaut $c/\lambda'$ . Observateur en mouvement : la longueur d’onde vaut $\lambda = c/f$ mais les fronts passent à la vitesse relative $c + v_o$ . On combine. ∎

À gauche : les fronts d’onde d’une source en mouvement se resserrent en avant et s’écartent en arrière — son plus aigu à l’approche, plus grave à l’éloignement. À droite : une source plus rapide que le son laisse ses fronts d’onde derrière elle ; leur enveloppe est le cône de Mach, entendu au sol comme un bang.

Exemple 7.10 (Sirènes, cinémomètres, globules rouges)

Une sirène d’ambulance à $700\,\mathrm{Hz}$ qui passe à $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $755\,\mathrm{Hz}$ à l’approche, $651\,\mathrm{Hz}$ à l’éloignement — une chute d’un sixième d’octave, le familier « pin-pon ». Un cinémomètre de police mesure le même effet sur une onde radio de $24\,\mathrm{GHz}$ réfléchie par une voiture (l’onde est décalée deux fois, à la réception et à la réémission par la voiture) : $\Delta f = 2fv/c = 4.8\,\mathrm{kHz}$ à $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Une sonde à ultrasons de $5\,\mathrm{MHz}$ braquée sur une artère entend les globules à $\Delta f = 2fv\cos\theta/c \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ pour $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $60{}^{\circ}$ : un sifflement audible dont la hauteur donne la vitesse du sang. Et les raies spectrales d’une galaxie qui s’éloigne sont décalées vers le rouge de $\Delta\lambda/\lambda = v/c$ — la formule vaut pour la lumière à faible vitesse, la correction relativiste prenant le relais au-delà.

Remarque 7.11 (Supersonique)

Lorsque $v_s > c$ la formule tombe en défaut ( $f' < 0$ en avant) : aucun son ne précède la source. Les fronts d’onde émis le long de la trajectoire ont une enveloppe conique de demi-angle $\theta$ avec $\sin\theta = c/v_s$ (le cône de Mach) ; le saut de pression porté par le cône est le bang supersonique, qui n’atteint un auditeur au sol qu’après le passage de l’avion — à Mach $2$ et $10\,\mathrm{km}$ d’altitude, $\theta = 30{}^{\circ}$ et le bang arrive $10\,\text{km}/\tan\theta/v_s \approx 25\,\mathrm{s}$ après le passage à la verticale. Le claquement d’une balle et la pointe d’un fouet forment le même cône.

Méthode 7.12 (Ordres de grandeur en acoustique)

Étant donné un niveau sonore $L$ : $I = I_0\,10^{L/10}$ ; puis $p_m = \sqrt{2ZI}$ , $v_m = p_m/Z$ , $\xi_m = v_m/\omega$ ; la puissance d’une source vaut $4\pi r^2I$ si elle rayonne dans toutes les directions (deux fois moins au-dessus d’un sol dur, qui réfléchit dans un demi-espace). Passer de $r_1$ à $r_2$ change $L$ de $20\log_{10}(r_1/r_2)$ . Ajouter $n$ sources égales incohérentes ajoute $10\log_{10}n$ ; deux sources cohérentes en phase en un point ajoutent $6\,\mathrm{dB}$ .

7.5 Exercices

Exercice 7.1 ★

Célérité du son dans l’air ( $\gamma = 1.40$ , $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) à $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ et à $-50{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $10\,\mathrm{km}$ d’altitude) ; dans l’hélium ( $\gamma = 1.67$ , $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) et le dioxyde de carbone ( $\gamma = 1.30$ , $M = 44\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) à $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Pourquoi une voix devient-elle aiguë après avoir respiré de l’hélium ?

Solution

Solution de Exercice 7.1.

$c = \sqrt{\gamma RT/M}$ : $331\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $299\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; hélium $1010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; CO $_2$ $268\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Les cordes vocales vibrent à la même fréquence, mais les résonances du conduit vocal (qui façonnent le timbre) varient comme $c$ et montent d’un facteur trois : la voix paraît aiguë.

Exercice 7.2 ★

Une conversation à $60\,\mathrm{dB}$ , $500\,\mathrm{Hz}$ : intensité, amplitude de pression, amplitude de vitesse et amplitude de déplacement dans l’air ( $Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ). Idem pour $120\,\mathrm{dB}$ . Niveau de deux personnes parlant en même temps ; de cent.

Solution

Solution de Exercice 7.2.

$60\,\mathrm{dB}$ : $I = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $p_m = \sqrt{2ZI} = 29\,\mathrm{mPa}$ , $v_m = p_m/Z = 7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\xi_m = v_m/\omega = 22\,\mathrm{nm}$ . $120\,\mathrm{dB}$ : $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $29\,\mathrm{Pa}$ , $7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , $22\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Deux : $63\,\mathrm{dB}$ ; cent : $80\,\mathrm{dB}$ .

Exercice 7.3 ★

Un haut-parleur rayonne $1.0\,\mathrm{W}$ de son également dans toutes les directions. Intensité et niveau à $1\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ , $100\,\mathrm{m}$ ; distance à laquelle le niveau tombe à $60\,\mathrm{dB}$ ; puissance nécessaire pour $100\,\mathrm{dB}$ à $30\,\mathrm{m}$ (un concert en plein air).

Solution

Solution de Exercice 7.3.

$I = 1/4\pi r^2$ : $0.080\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $109\,\mathrm{dB}$ ), $89\,\mathrm{dB}$ , $69\,\mathrm{dB}$ ; $I = 10^{-6}$ en $r = \sqrt{1/4\pi10^{-6}} = 280\,\mathrm{m}$ ; $100\,\mathrm{dB}$ à $30\,\mathrm{m}$ exige $4\pi \times 900 \times 10^{-2} = 110\,\mathrm{W}$ acoustiques.

Exercice 7.4 ★

Le tonnerre s’entend $4.5\,\mathrm{s}$ après l’éclair : distance. La corne d’un navire renvoie un écho d’une falaise après $3.0\,\mathrm{s}$ : distance. Sonar : un écho du fond marin revient après $2.4\,\mathrm{s}$ ( $c = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : profondeur. Un écho ultrasonore de $5\,\mathrm{MHz}$ revient après $130\,\text{µ}\mathrm{s}$ dans les tissus ( $1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : profondeur.

Solution

Solution de Exercice 7.4.

$4.5 \times 340 = 1.5\,\mathrm{km}$ ; $340 \times 1.5 = 510\,\mathrm{m}$ ; $1500 \times 1.2 = 1.8\,\mathrm{km}$ ; $1540 \times 65 \times 10^{-6} = 10\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 7.5 ★★

La corne d’un train à $500\,\mathrm{Hz}$ ; $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Fréquence entendue par une personne sur le quai à l’approche du train à $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , puis après son passage. (b) La personne est dans un train qui se dirige vers la corne à $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , la corne étant au repos ; puis les deux vont l’un vers l’autre à $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : comparer avec une vitesse relative de $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et un corps au repos. (c) Fréquence entendue par le conducteur du train porteur de la corne dans l’écho renvoyé par un mur situé devant.

Solution

Solution de Exercice 7.5.

(a) $500 \times 340/300 = 567\,\mathrm{Hz}$ ; $500 \times 340/380 = 447\,\mathrm{Hz}$ . (b) $500 \times 380/340 = 559\,\mathrm{Hz}$ ; les deux : $500 \times 380/300 = 633\,\mathrm{Hz}$ , contre $654\,\mathrm{Hz}$ (source seule à $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) ou $618\,\mathrm{Hz}$ (observateur seul) : c’est l’air, et non la vitesse relative, qui fixe le résultat. (c) Le mur reçoit $567\,\mathrm{Hz}$ et les réémet au repos ; le conducteur s’en approche à $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $567 \times 380/340 = 633\,\mathrm{Hz}$ .

Exercice 7.6 ★★

Pour une amplitude de pression de $1.0\,\mathrm{Pa}$ à $1\,\mathrm{kHz}$ , calculer les amplitudes de vitesse et de déplacement, l’intensité et le niveau dans l’air, dans l’eau ( $Z = 1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) et dans l’acier ( $4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ). Même pression, intensités très différentes : commenter. (Sous l’eau les niveaux sont rapportés à $1\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ : que vaut $1\,\mathrm{Pa}$ sur cette échelle ?)

Solution

Solution de Exercice 7.6.

$v_m = p_m/Z$ : $2.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $0.67\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $25\,\mathrm{nm}/\mathrm{s}$ ; $\xi_m = v_m/\omega$ : $390\,\mathrm{nm}$ , $0.11\,\mathrm{nm}$ , $4\,\mathrm{pm}$ ; $I = p_m^2/2Z$ : $1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $91\,\mathrm{dB}$ ), $3.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $55\,\mathrm{dB}$ ), $1.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $41\,\mathrm{dB}$ ). Un milieu raide bouge à peine sous une pression donnée et transporte peu de puissance. $1\,\mathrm{Pa}$ vaut $120\,\mathrm{dB}$ par rapport à $1\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ .

Exercice 7.7 ★★

(a) Célérité isotherme de Newton $\sqrt{P_0/\rho_0}$ pour l’air à $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $\rho_0 = 1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) et correction de Laplace. (b) Mesures : $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’air, $323\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’argon ( $M = 40\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) à $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : en déduire $\gamma$ pour chacun ; interpréter avec le nombre de degrés de liberté. (c) Estimer sur quelle distance la chaleur diffuse en une période à $1\,\mathrm{kHz}$ (diffusivité thermique de l’air $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) et comparer à la longueur d’onde.

Solution

Solution de Exercice 7.7.

(a) $\sqrt{1.013 \times 10^5/1.2} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\times\sqrt{1.4}$ : $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $\gamma = c^2M/RT$ : $1.40$ pour l’air, $1.71$ pour l’argon ( $5/3$ aux arrondis près) : trois degrés de liberté de translation ( $\gamma = 1 + 2/3$ ) contre cinq pour un gaz diatomique ( $1 + 2/5$ ). (c) $\sqrt{D/f} = \sqrt{2 \times 10^{-8}} = 0.14\,\mathrm{mm} \ll \lambda = 34\,\mathrm{cm}$ : aucune chaleur ne passe des crêtes aux creux.

Exercice 7.8 ★★

Tuyaux d’orgue. Dans un tuyau la surpression est nulle à une extrémité ouverte et la vitesse est nulle à une extrémité fermée. (a) Ondes stationnaires dans un tuyau ouvert aux deux bouts : montrer que les modes sont $f_n = nc/2L$ ; dans un tuyau fermé à une extrémité, $f_n = (2n - 1)c/4L$ . (b) Longueurs pour un fondamental à $440\,\mathrm{Hz}$ dans chaque cas. (c) Quelles harmoniques chaque tuyau contient-il ? (d) L’extrémité ouverte réelle se situe environ $0.6$ rayon au-delà du tuyau (correction d’extrémité) : pour un tuyau de $4\,\mathrm{cm}$ , la correction sur $L$ et sur $f$ .

Solution

Solution de Exercice 7.8.

(a) Ouvert–ouvert : $p = p_m\sin kx\cos\omega t$ avec $kL = n\pi$ ; fermé–ouvert : $p = p_m\cos kx\cos\omega t$ (nœud de vitesse, ventre de pression à l’extrémité fermée) avec $kL = (2n - 1)\pi/2$ . (b) $L = c/2f = 39\,\mathrm{cm}$ ; $c/4f = 19.5\,\mathrm{cm}$ . (c) Toutes les harmoniques ; les harmoniques impaires seulement (le son creux de la clarinette). (d) $0.6 \times 2 = 1.2\,\mathrm{cm}$ par extrémité ouverte : $L_{\text{eff}} = 41.4\,\mathrm{cm}$ , $f = 414\,\mathrm{Hz}$ , $6\%$ trop bas — le tuyau doit être coupé à $36.6\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 7.9 ★★

Une sirène électrique de $2.0\,\mathrm{kW}$ convertit $20\%$ de sa puissance en son rayonné dans un demi-espace (elle est posée sur un toit). (a) Intensité, niveau et amplitude de pression à $100\,\mathrm{m}$ . (b) Distance du seuil de douleur ( $120\,\mathrm{dB}$ ) ; du contour $70\,\mathrm{dB}$ où elle cesse d’alerter. (c) L’absorption de l’air ajoute $1\,\mathrm{dB}$ par $100\,\mathrm{m}$ à sa fréquence : distance du contour $70\,\mathrm{dB}$ désormais (à résoudre numériquement). (d) Combien de telles sirènes couvrent une ville de $10\,\mathrm{km}$ de rayon ?

Solution

Solution de Exercice 7.9.

$\mathcal P = 400\,\mathrm{W}$ , $I = \mathcal P/2\pi r^2$ . (a) $6.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $98\,\mathrm{dB}$ , $p_m = 2.3\,\mathrm{Pa}$ . (b) $r = \sqrt{400/2\pi} = 8\,\mathrm{m}$ ; $70\,\mathrm{dB}$ à $2.5\,\mathrm{km}$ . (c) $98 - 20\log(r/100) - (r - 100)/100 = 70$ : $r \approx 950\,\mathrm{m}$ . (d) $\pi(10)^2/\pi(0.95)^2 \approx 110$ sirènes.

Exercice 7.10 ★★★

Énergie d’une onde sonore stationnaire. Dans un tube fermé de longueur $L$ la surpression vaut $p = p_m\cos(kx)\cos(\omega t)$ , $k = n\pi/L$ . (a) Trouver $v(x, t)$ par l’équation d’Euler linéarisée. (b) Densités d’énergie cinétique et potentielle ; montrer qu’elles oscillent en quadrature dans le temps et sont décalées d’un quart de longueur d’onde dans l’espace. (c) Énergie totale du tube (section $S$ ) ; vérifier qu’elle est constante. (d) Intensité moyenne : nulle partout — et pourtant l’énergie se déplace : décrire comment.

Solution

Solution de Exercice 7.10.

(a) $\rho_0\partial_tv = p_mk\sin kx\cos\omega t$ : $v = (p_m/Z)\sin kx\sin\omega t$ . (b) $e_k = \tfrac12\chi_Sp_m^2\sin^2kx\sin^2\omega t$ , $e_p = \tfrac12\chi_Sp_m^2\cos^2kx\cos^2\omega t$ : l’une est maximale quand l’autre s’annule, dans le temps comme dans l’espace. (c) $E = S\int_0^L(e_k + e_p)\dd x = \tfrac14\chi_Sp_m^2SL$ , constante. (d) $I = pv = (p_m^2/4Z)\sin2kx\sin2\omega t$ : de moyenne nulle, mais deux fois par période l’énergie va des ventres de pression aux ventres de vitesse et revient.

Exercice 7.11 ★★★

Bang supersonique. Un avion vole horizontalement à $v = 1.6\,c$ à l’altitude $h = 12\,\mathrm{km}$ , où $c = 300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Établir l’angle de Mach à partir de l’enveloppe des fronts d’onde sphériques. (b) Temps entre le passage à la verticale et le bang au sol (négliger la variation de $c$ avec l’altitude). (c) Largeur au sol de la bande qui entend le bang au passage de l’avion, si la trace du cône s’entend à $\pm30\,\mathrm{km}$ de la route : pourquoi le vol supersonique au-dessus des terres est-il interdit ? (d) Une balle de fusil à $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : angle de Mach ; ce qu’entend un observateur placé à $10\,\mathrm{m}$ de la trajectoire, et dans quel ordre.

Solution

Solution de Exercice 7.11.

(a) Le front émis en $t = 0$ a le rayon $ct$ lorsque la source est à $vt$ : le cône tangent a $\sin\theta = c/v$ . (b) $\theta = 39{}^{\circ}$ ; le cône atteint le sol sous l’avion lorsque celui-ci s’est éloigné de $h/\tan\theta = 15\,\mathrm{km}$ : $15000/480 = 31\,\mathrm{s}$ après le passage à la verticale. (c) Un tapis large de $60\,\mathrm{km}$ le long de toute la route entend le bang. (d) $\sin\theta = 340/800$ , $\theta = 25{}^{\circ}$ ; le claquement du cône arrive d’abord, la détonation de la bouche du canon, qui voyage à $c$ depuis l’arme, ensuite.

Exercice 7.12 ★★★

Doppler ultrasonore. Une sonde émet à $f = 5.0\,\mathrm{MHz}$ dans les tissus ( $c = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) ; les globules rouges se déplacent à $v$ le long d’un vaisseau faisant l’angle $\theta$ avec le faisceau. (a) Fréquence reçue par un globule (observateur en mouvement). (b) Il réémet (diffuse) cette fréquence en source mobile : fréquence de retour à la sonde ; montrer que $\Delta f = 2fv\cos\theta/c$ pour $v \ll c$ . (c) $\Delta f$ pour $v = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\theta = 60{}^{\circ}$ ; pour $\theta = 90{}^{\circ}$ — que fait alors l’opérateur ? (d) La sonde résout $50\,\mathrm{Hz}$ : résolution en vitesse. Pourquoi rend-on le signal Doppler audible au lieu de l’afficher seulement ?

Solution

Solution de Exercice 7.12.

(a) $f_1 = f(c + v\cos\theta)/c$ . (b) $f_2 = f_1c/(c - v\cos\theta) = f(c + v\cos\theta) /(c - v\cos\theta) \approx f(1 + 2v\cos\theta/c)$ . (c) $2 \times 5 \times 10^6 \times 0.5 \times 0.5/1540 = 1.6\,\mathrm{kHz}$ ; nul à $90{}^{\circ}$ : incliner la sonde. (d) $\Delta v = 50 \times 1540/ (2 \times 5 \times 10^6 \times 0.5) = 1.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . L’oreille suit la hauteur et le timbre en temps réel : un sifflement régulier signale un écoulement laminaire, un souffle de la turbulence derrière un rétrécissement.

Un échographe : quelques mégahertz de son, des échos chronométrés et les ruptures d’impédance entre tissus dessinent l’image ; le gel supprime le film d’air qui réfléchirait tout.

7.6 Problème : du tonnerre à l’échographe

Problème 7.1

Problème du week-end — le son en plein air, dans une salle de concert, à l’intérieur du corps et venant d’une sirène qui passe

Air : $\gamma = 1.40$ , $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , $Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $R = 8.31\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ .

Partie I — L’orage.

Célérité du son à $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ et à $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; justifier la règle des « trois secondes par kilomètre ».
Le tonnerre arrive $4.0\,\mathrm{s}$ après l’éclair : distance de l’impact. Le tonnerre dure plusieurs secondes alors que l’éclair est instantané : pourquoi ?
Près de l’impact le niveau atteint $120\,\mathrm{dB}$ : amplitude de pression et amplitude de vitesse de l’air.
Énergie reçue par mètre carré de mur pendant un coup de tonnerre de $2\,\mathrm{s}$ à $120\,\mathrm{dB}$ .
Par nuit claire le sol se refroidit et l’air est plus froid en bas qu’en haut. Les rayons sonores obéissent à la loi de Descartes entre couches, $\sin i/c =$ const : les rayons lancés vers le haut s’incurvent-ils vers le bas ou vers le haut ? Pourquoi entend-on si bien les bruits lointains la nuit et au-dessus de l’eau ?
Le jour, l’inverse : un auditeur à $3\,\mathrm{km}$ n’entend rien. Estimer l’angle dont un rayon horizontal s’est incurvé après $3\,\mathrm{km}$ si $c$ décroît de $1\,\%$ par $500\,\mathrm{m}$ d’altitude (traiter la courbure comme uniforme : le rayon est un cercle).
L’air absorbe les hautes fréquences bien plus que les basses : pourquoi le tonnerre lointain gronde-t-il alors qu’un impact proche claque ?

Partie II — Le concert. Un haut-parleur reçoit $100\,\mathrm{W}$ de puissance électrique et en convertit $2\%$ en son, rayonné également dans le demi-espace situé devant lui.

Puissance acoustique ; intensité et niveau à $10\,\mathrm{m}$ .
Amplitude de pression en ce point ; amplitudes de vitesse et de déplacement à $100\,\mathrm{Hz}$ .
Niveau à $1\,\mathrm{m}$ (est-ce sans danger ?) et distance à laquelle la musique tombe à $60\,\mathrm{dB}$ .
Dix haut-parleurs identiques répartis autour de la scène, non en phase : niveau à $10\,\mathrm{m}$ . Deux haut-parleurs alimentés en phase, à la même distance d’un auditeur placé sur leur axe : niveau en ce point.
La salle (volume $10\,000\,\mathrm{m}^{3}$ ) présente $2000\,\mathrm{m}^{2}$ de parois et de public qui absorbent $30\%$ du son qui les frappe : estimer l’énergie acoustique emmagasinée dans la salle à l’équilibre et le temps de réverbération (temps que met le niveau pour chuter de $60\,\mathrm{dB}$ après l’arrêt de la musique), à l’aide du bilan entre la puissance émise et la puissance absorbée ( $I_{\text{paroi}} \approx ce/4$ pour un champ diffus, admis).

Partie III — L’échographe. Tissus mous : $c = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $Z = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; os $Z = 7 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; air $400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Sous incidence normale l’amplitude de pression réfléchie à une interface vaut $r = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$ fois l’amplitude incidente (établi au Chapitre 15) ; les tissus atténuent le son d’environ $0.5\,\mathrm{dB}$ par centimètre et par mégahertz.

Longueur d’onde dans les tissus à $3\,\mathrm{MHz}$ , $5\,\mathrm{MHz}$ , $10\,\mathrm{MHz}$ ; le plus petit détail que chacune résout vaut environ une longueur d’onde.
Retard de l’écho d’un organe situé à $12\,\mathrm{cm}$ de profondeur ; cadence maximale à laquelle on peut envoyer des impulsions sans confondre les échos ; temps pour former une image de $200$ lignes.
Fraction de la pression, puis de l’énergie, réfléchie à une interface tissu–air ; à une interface tissu–os ; entre la graisse ( $Z = 1.38 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) et le muscle ( $1.70 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ). Pourquoi le gel, et pourquoi les os projettent-ils des ombres ?
À $5\,\mathrm{MHz}$ le faisceau traverse $2\,\mathrm{cm}$ de graisse avant de rencontrer le muscle : fraction de l’énergie émise qui revient à la sonde depuis cette interface (réflexion et atténuation aller-retour), en décibels.
Atténuation aller-retour en décibels pour l’organe de la question 12 à chacune des trois fréquences ; si l’appareil supporte $80\,\mathrm{dB}$ de perte, quelles fréquences conviennent ? Énoncer le compromis entre résolution et profondeur.
La sonde émet des impulsions de $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ à $5\,\mathrm{MHz}$ : combien de longueurs d’onde dure une impulsion, et en quoi cela limite-t-il la résolution en profondeur ?
Mode Doppler à $5\,\mathrm{MHz}$ sur une artère à $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , faisceau à $60{}^{\circ}$ : décalage ; ce qu’entend l’opérateur.

Partie IV — La sirène.

Une ambulance passe à $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ avec une sirène à $700\,\mathrm{Hz}$ : fréquences entendues à l’approche et à l’éloignement ; l’intervalle qui les sépare en demi-tons (un demi-ton est un rapport $2^{1/12}$ ).
L’auditeur est dans une voiture qui roule à $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers l’ambulance qui approche : fréquence entendue.
À quel instant un auditeur sur le trottoir entend-il exactement $700\,\mathrm{Hz}$ ?
Les fronts d’onde de l’ambulance devant elle : longueur d’onde ; vitesse du son par rapport à l’ambulance, devant et derrière.
Un cinémomètre à $24\,\mathrm{GHz}$ relève un décalage de $3.2\,\mathrm{kHz}$ sur une voiture : vitesse de la voiture (l’onde est décalée deux fois).
Récapituler : les six vitesses de ce problème (son dans l’air, dans les tissus, l’ambulance, la voiture, les globules rouges, la lumière) et la formule unique qui les traite toutes.

Solution

Solution de Problème 7.1.

1. $c = \sqrt{1.4 \times 8.31 \times 288/0.029} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $349\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ . $1\,\mathrm{km}$ en $2.9\,\mathrm{s}$ .

2. $1.4\,\mathrm{km}$ . Le canal fait plusieurs kilomètres ; le son de ses différentes parties arrive sur plusieurs secondes, avec des échos sur les nuages et le sol.

3. $I = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ : $p_m = \sqrt{2ZI} = 29\,\mathrm{Pa}$ , $v_m = 7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ .

4. $It = 2\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ .

5. $c$ croît vers le haut ; $\sin i/c$ constant fait croître $i$ , de sorte que le rayon s’incurve vers l’horizontale puis redescend : le son est canalisé le long du sol et porte loin. Au-dessus de l’eau l’air le plus bas est refroidi par l’eau : même effet.

6. Les rayons s’incurvent vers le haut, laissant une zone d’ombre. Rayon de courbure $R = c/(\dd c/\dd z) = 50\,\mathrm{km}$ : après $3\,\mathrm{km}$ le rayon a tourné de $3/50 = 0.06\,\mathrm{rad} = 3.4{}^{\circ}$ et s’est élevé de $90\,\mathrm{m}$ : l’auditeur est en dessous.

7. L’absorption croît comme $f^2$ : les hautes fréquences du claquement ont disparu après quelques kilomètres, le grondement grave subsiste.

8. $\mathcal P = 2\,\mathrm{W}$ ; $I = 2/2\pi r^2 = 3.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ à $10\,\mathrm{m}$ : $95\,\mathrm{dB}$ .

9. $p_m = \sqrt{2 \times 410 \times 3.2 \times 10^{-3}} = 1.6\,\mathrm{Pa}$ ; $v_m = 3.9\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\xi_m = v_m/2\pi f = 6\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

10. $+20\,\mathrm{dB}$ : $115\,\mathrm{dB}$ à $1\,\mathrm{m}$ — nocif en quelques minutes. $60\,\mathrm{dB}$ : $r = \sqrt{2/2\pi10^{-6}} = 560\,\mathrm{m}$ .

11. Dix incohérents : $+10\,\mathrm{dB}$ , $105\,\mathrm{dB}$ . Deux en phase : la pression double, $+6\,\mathrm{dB}$ , $101\,\mathrm{dB}$ .

12. Bilan $\mathcal P = \alpha A\,ce/4$ : $e = 8/(0.3 \times 2000 \times 340) = 3.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $E = eV = 0.4\,\mathrm{J}$ . Après l’arrêt, $\dd E/\dd t = -(\alpha Ac /4V)E$ : $\tau = 4V/\alpha Ac = 0.20\,\mathrm{s}$ , et $60\,\mathrm{dB}$ demandent $\tau\ln10^6 = 2.7\,\mathrm{s}$ (temps de réverbération de Sabine).

13. $\lambda = c/f$ : $0.51\,\mathrm{mm}$ , $0.31\,\mathrm{mm}$ , $0.15\,\mathrm{mm}$ .

14. $2 \times 0.12/1540 = 156\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; $6.4\,\mathrm{kHz}$ ; $200$ lignes en $31\,\mathrm{ms}$ (trente images par seconde).

15. Tissu–air : $r = -0.9995$ , $99.9\%$ de l’énergie réfléchie — d’où le gel, qui supprime le film d’air. Tissu–os : $r = 0.63$ , $40\%$ de l’énergie ; le reste est absorbé par l’os, qui projette une ombre. Graisse–muscle : $r = 0.10$ , $1\%$ de l’énergie : les échos ténus dont l’image est faite.

16. Fraction réfléchie $1.1\%$ ( $-20\,\mathrm{dB}$ ) ; aller-retour de $4\,\mathrm{cm}$ à $5\,\mathrm{MHz}$ : $-10\,\mathrm{dB}$ ; au total $-30\,\mathrm{dB}$ , un millième.

17. Aller-retour de $24\,\mathrm{cm}$ : $36\,\mathrm{dB}$ , $60\,\mathrm{dB}$ , $120\,\mathrm{dB}$ : $3\,\mathrm{MHz}$ et $5\,\mathrm{MHz}$ conviennent, $10\,\mathrm{MHz}$ non — les organes profonds sont imagés à basse fréquence avec une résolution grossière, les organes superficiels à haute fréquence avec finesse.

18. Cinq longueurs d’onde, soit $1.5\,\mathrm{mm}$ : deux interfaces plus proches que $0.8\,\mathrm{mm}$ environ (la moitié de l’impulsion) donnent des échos qui se recouvrent.

19. $2 \times 5 \times 10^6 \times 0.4 \times 0.5/1540 = 1.3\,\mathrm{kHz}$ : un sifflement dont la hauteur monte et descend à chaque battement de cœur.

20. $v = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $700 \times 340/315 = 756\,\mathrm{Hz}$ , $700 \times 340/365 = 652\,\mathrm{Hz}$ ; rapport $1.16$ , soit $12\log_21.16 = 2.6$ demi-tons.

21. $700 \times 355/315 = 789\,\mathrm{Hz}$ .

22. Au plus court passage, lorsque la vitesse de l’ambulance est perpendiculaire à la ligne de visée (rigoureusement, lorsque le son qui arrive maintenant a été émis en ce point).

23. $\lambda' = (340 - 25)/700 = 0.45\,\mathrm{m}$ (contre $0.49\,\mathrm{m}$ ) ; le son s’éloigne de l’ambulance à $315\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ devant et à $365\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ derrière.

24. $v = c\,\Delta f/2f = 3 \times 10^8 \times 3200/4.8 \times 10^{10} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

25. $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $0.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $f' = f(c + v_o)/(c - v_s)$ , appliquée une ou deux fois, et pour la lumière à faible vitesse.

Termes définis dans ce chapitre

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