Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

27Bilans thermodynamiques et systèmes ouverts

La thermodynamique du volume de première année traitait de systèmes fermés — une masse fixe de gaz dans un cylindre, comprimée, chauffée, détendue. Mais les machines qui chauffent réellement nos maisons, refroidissent nos aliments et font notre électricité sont traversées par un écoulement : la vapeur file à travers la turbine d’une centrale à des centaines de kilogrammes par seconde, un fluide frigorigène circule dans le compresseur, le condenseur, le détendeur et l’évaporateur d’une pompe à chaleur, l’air traverse le compresseur et la chambre de combustion d’un réacteur. Chaque organe est un système ouvert, une région de l’espace où de la matière entre et sort, et les premier et second principes doivent être réécrits pour lui. La réécriture est brève — la clé est que le fluide poussé dans le système emporte, outre son énergie interne, le travail fourni pour l’y pousser, et c’est pourquoi l’enthalpie, et non l’énergie interne, est l’énergie naturelle d’un écoulement. Ce chapitre établit les bilans de masse, d’énergie et d’entropie pour les systèmes ouverts en régime permanent, les applique aux organes élémentaires — tuyère, détendeur, compresseur, turbine, échangeur — et assemble ces organes en les deux cycles que dimensionne le problème du week-end : une pompe à chaleur et une centrale à vapeur.

L’unité extérieure d’une pompe à chaleur par un matin d’hiver : un ventilateur tire l’air froid sur l’évaporateur, et à l’intérieur un compresseur, un condenseur et un détendeur transportent cette chaleur, multipliée par trois ou quatre, jusque dans la maison.

27.1 Systèmes ouverts et bilan de masse

Définition 27.1 (Système ouvert, volume de contrôle, régime permanent)

Un système ouvert est une région fixe de l’espace, le volume de contrôle $\Sigma$ , limité par une surface à travers laquelle du fluide entre et sort (sections d’entrée et de sortie) et à travers laquelle chaleur et travail peuvent être échangés avec l’extérieur ; le travail reçu par des pièces mobiles (un arbre, un piston) autres que l’écoulement lui-même est le travail utile $W_{\text{u}}$ (travail d’arbre). L’écoulement est permanent quand tout champ à l’intérieur de $\Sigma$ est indépendant du temps : la masse, l’énergie et l’entropie contenues dans $\Sigma$ sont alors constantes.

Proposition 27.2 (Bilan de masse)

À travers une section d’aire $S$ où le fluide de masse volumique $\rho$ se déplace à la vitesse moyenne $c$ normale à elle passe le débit massique $\dot m = \rho c S$ (en $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ). En régime permanent, ce qui entre sort : $\sum_{\text{e}}\dot m = \sum_{\text{s}} \dot m$ ; pour un écoulement unique, $\dot m$ est le même à l’entrée et à la sortie, $\rho_1c_1S_1 = \rho_2c_2S_2$ — l’équation de continuité du Chapitre 2 intégrée sur la section.

Démonstration. La masse dans $\Sigma$ est constante, donc les flux s’équilibrent. ∎

27.2 Le premier principe pour un système ouvert

Théorème 27.3 (Bilan d’énergie d’un écoulement permanent à une entrée et une sortie)

Pour un écoulement permanent de débit massique $\dot m$ entrant dans l’état 1 et sortant dans l’état 2, recevant la puissance utile (d’arbre) $P_{\text{u}}$ et la puissance thermique $P_{\text{th}}$ ,

\dot m\,\Big[(h_2 - h_1) + \tfrac12(c_2^2 - c_1^2) + g(z_2 - z_1)\Big] = P_{\text{u}} + P_{\text{th}} ,

ou, par unité de masse de fluide traversant le système,

\Delta h + \Delta\big(\tfrac12c^2\big) + g\,\Delta z = w_{\text{u}} + q .

L’enthalpie $h = u + Pv$ remplace l’énergie interne : $Pv$ est le travail de transvasement, le travail fourni par le fluide amont pour pousser une unité de masse à l’intérieur, moins celui fourni pour la pousser au-dehors.

Démonstration. Suivons le système fermé formé du fluide contenu dans $\Sigma$ à l’instant $t$ plus la tranche $\dd m = \dot m\,\dd t$ sur le point d’entrer ; à $t + \dd t$ il se compose du fluide contenu dans $\Sigma$ (même état, régime permanent) plus la tranche $\dd m$ qui est sortie. Son énergie a varié de $\dd m\,[(u_2 + \tfrac12c_2^2 + gz_2) - (u_1 + \tfrac12c_1^2 + gz_1)]$ . Il a reçu $P_{\text{u}}\dd t + P_{\text{th}}\dd t$ , plus le travail des forces de pression à l’entrée, $P_1S_1 \times c_1\dd t = P_1v_1\,\dd m$ (pour pousser la tranche à l’intérieur), moins celui à la sortie, $P_2v_2\,\dd m$ . Le premier principe pour ce système fermé, avec $u + Pv = h$ , donne le résultat. ∎

Le système ouvert permanent : le système fermé que l’on suit pendant t est le contenu de plus la tranche entrante, puis le contenu plus la tranche sortante ; le travail des pressions aux deux sections change u en h = u + Pv. — Le système ouvert permanent : le système fermé que l’on suit pendant $\dd t$ est le contenu de $\Sigma$ plus la tranche entrante, puis le contenu plus la tranche sortante ; le travail des pressions aux deux sections change $u$ en $h = u + Pv$ .

Remarque 27.4 (Se servir du premier principe)

Pour un gaz parfait $\Delta h = c_p\Delta T$ ; pour un liquide $\Delta h \approx c\,\Delta T + v\,\Delta P$ (le second terme est le travail de la pompe) ; pour une vapeur on lit $h$ dans des tables ou sur des diagrammes. Le terme cinétique est en général négligeable : à $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $c^2/2 = 50\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ , contre $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ pour un kelvin d’air — il ne compte que dans les tuyères et les aubes de turbine, où les vitesses atteignent des centaines de mètres par seconde. Le terme de pesanteur, $g\Delta z \approx 10\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ par mètre, compte pour l’eau d’un barrage, jamais dans un cycle à gaz. Avec plusieurs entrées et sorties le bilan s’écrit $\sum_{\text{s}}\dot m\,h - \sum_{\text{e}}\dot m\,h = P_{\text{u}} + P_{\text{th}}$ (termes cinétique et de pesanteur négligés).

27.3 Le second principe pour un système ouvert

Théorème 27.5 (Bilan d’entropie d’un écoulement permanent)

Pour un écoulement permanent à une entrée et une sortie échangeant les puissances thermiques $P_{\text{th},i}$ avec des sources aux températures $T_i$ ,

\dot m\,(s_2 - s_1) = \sum_i\frac{P_{\text{th},i}}{T_i} + \dot S_{\text{c}}, \qquad \dot S_{\text{c}} \ge 0 ;

par unité de masse, $\Delta s = s_{\text{éch}} + s_{\text{c}}$ . Un écoulement adiabatique réversible est isentropique ; un écoulement adiabatique réel a $s_2 > s_1$ . Le rendement isentropique d’une turbine vaut $\eta_{\text{T}} = w_{\text{réel}}/w_{\text{s}} = (h_1 - h_2)/(h_1 - h_{2s})$ et celui d’un compresseur $\eta_{\text{C}} = (h_{2s} - h_1)/(h_2 - h_1)$ , où $2s$ est l’état atteint isentropiquement à la même pression de sortie ; tous deux valent typiquement $0.8$ – $0.9$ . Le travail perdu par irréversibilité, rapporté à la température ambiante $T_0$ , vaut $T_0\,s_{\text{c}}$ par unité de masse.

Démonstration. Même système fermé que plus haut : son entropie varie de $\dd m\,(s_2 - s_1)$ , il reçoit $\sum P_{\text{th},i}\dd t/T_i$ des sources, et le reste est créé. ∎

27.4 Les organes élémentaires

Proposition 27.6 (Tuyère, détendeur, compresseur, turbine, échangeur)

Tous adiabatiques sauf mention contraire, en régime permanent, termes cinétique et de pesanteur négligés sauf s’ils sont l’objet même.

Tuyère (pas d’arbre, pas de chaleur) : $\tfrac12c_2^2 - \tfrac12c_1^2 = h_1 - h_2$ — l’enthalpie devient vitesse ; un diffuseur fait l’inverse.
Détendeur (vanne, bouchon poreux ; pas d’arbre, pas de chaleur, vitesses faibles) : $h_2 = h_1$ , isenthalpique. Pour un gaz parfait $T_2 = T_1$ ; pour un gaz réel la température baisse en général (effet Joule–Thomson) ; pour un liquide près de la saturation une fraction se vaporise brusquement — le détendeur de tout réfrigérateur.
Compresseur, pompe, turbine (machines adiabatiques) : $w_{\text{u}} = h_2 - h_1$ — positif pour un compresseur, négatif pour une turbine ; pour une pompe à liquide $w_{\text{u}} \approx v(P_2 - P_1)$ , minuscule parce que $v$ est petit.
Échangeur de chaleur (deux courants, pas d’arbre, adiabatique dans son ensemble) : $\dot m_{\text{a}}(h_{\text{a},2} - h_{\text{a},1}) = -\dot m_{\text{b}}(h_{\text{b},2} - h_{\text{b},1})$ — ce que l’un perd l’autre le gagne ; l’échange crée de l’entropie à moins que les courants ne soient partout à la même température (le contre-courant la réduit).
Chambre de mélange : $\sum\dot m_{\text{e}}h_{\text{e}} = \dot m_{\text{s}}h_{\text{s}}$ .

Démonstration. Chacun est le premier principe avec les termes voulus mis à zéro. ∎

Les systèmes ouverts élémentaires : chacun est le bilan d’énergie avec les termes sans objet rayés — pas d’arbre dans une tuyère ni un détendeur, pas de chaleur dans une turbine adiabatique, pas de chaleur nette pour un échangeur pris dans son ensemble.

Exemple 27.7 (Des nombres pour les organes)

De la vapeur entrant dans une tuyère de turbine à $h = 3000\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ et sortant à $2800\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ atteint $c = \sqrt{2 \times 200 \times 10^3} = 630\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De l’air comprimé adiabatiquement de $1\,\mathrm{bar}$ , $293\,\mathrm{K}$ à $8\,\mathrm{bar}$ : isentropiquement $T_2 = 293 \times 8^{0.286} = 531\,\mathrm{K}$ et $w = c_p\Delta T = 239\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; avec $\eta_{\text{C}} = 0.8$ , $299\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ et $590\,\mathrm{K}$ — d’où le refroidissement des compresseurs entre étages. Un radiateur d’automobile évacuant $42\,\mathrm{kW}$ d’une eau refroidie de $10\,\mathrm{K}$ ( $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ) réchauffe $2.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ d’air de $20\,\mathrm{K}$ . Du frigorigène liquide à $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ détendu à $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ arrive en brouillard avec $28\%$ de vapeur : cette vaporisation brusque est ce qui refroidit le liquide à la température de l’évaporateur.

27.5 Cycles

Proposition 27.8 (Machine frigorifique à compression de vapeur et pompe à chaleur)

Un frigorigène circule à travers : (1 $\to$ 2) un compresseur adiabatique qui porte la vapeur de la pression d’évaporation à la pression de condensation, $w = h_2 - h_1$ ; (2 $\to$ 3) un condenseur où il cède $q_{\text{cond}} = h_2 - h_3$ au côté chaud (la pièce pour une pompe à chaleur, la cuisine pour un réfrigérateur) et qu’il quitte à l’état liquide ; (3 $\to$ 4) un détendeur, $h_4 = h_3$ ; (4 $\to$ 1) un évaporateur où il absorbe $q_{\text{evap}} = h_1 - h_4$ au côté froid. Les coefficients de performance valent

\mathrm{COP}_{\text{froid}} = \frac{h_1 - h_4}{h_2 - h_1}, \qquad \mathrm{COP}_{\text{chaud}} = \frac{h_2 - h_3}{h_2 - h_1} = \mathrm{COP}_{\text{froid}} + 1 ,

majorés par ceux de Carnot $T_{\text{c}}/(T_{\text{h}} - T_{\text{c}})$ et $T_{\text{h}}/(T_{\text{h}} - T_{\text{c}})$ ; le cycle se lit le plus aisément sur le diagramme $(\log P, h)$ , où les deux échanges et le travail sont des segments horizontaux.

Démonstration. Les quatre bilans du premier principe ; le bilan d’énergie du cycle entier donne $q_{\text{cond}} = q_{\text{evap}} + w$ , d’où la relation entre les deux COP. ∎

Le cycle à compression de vapeur sur le diagramme ( P, h) : le condenseur et l’évaporateur sont des isobares dans la cloche, le détendeur une isenthalpe verticale, le compresseur une ligne oblique ; les longueurs des segments horizontaux sont les chaleurs et le travail par kilogramme. — Le cycle à compression de vapeur sur le diagramme $(\log P, h)$ : le condenseur et l’évaporateur sont des isobares dans la cloche, le détendeur une isenthalpe verticale, le compresseur une ligne oblique ; les longueurs des segments horizontaux sont les chaleurs et le travail par kilogramme.

Proposition 27.9 (Le cycle à vapeur (Rankine))

L’eau circule à travers : (1 $\to$ 2) une pompe, $w_{\text{p}} \approx v(P_2 - P_1)$ , quelques $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; (2 $\to$ 3) une chaudière à haute pression où elle est chauffée, vaporisée et surchauffée, $q_{\text{e}} = h_3 - h_2$ ; (3 $\to$ 4) une turbine qui détend la vapeur jusqu’à la pression du condenseur, $w_{\text{t}} = h_3 - h_4$ (un millier de $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ) ; (4 $\to$ 1) un condenseur à basse pression où la vapeur humide redevient liquide, rejetant $q_{\text{s}} = h_4 - h_1$ à l’eau de refroidissement. Le rendement vaut

\eta = \frac{w_{\text{t}} - w_{\text{p}}}{q_{\text{e}}} = 1 - \frac{q_{\text{s}}}{q_{\text{e}}} ,

environ $0.35$ – $0.45$ en pratique ; la chaleur est apportée à une température moyenne $\bar T = q_{\text{e}}/(s_3 - s_2)$ bien inférieure au maximum de la chaudière, d’où le fait que surchauffe, resurchauffe et hautes pressions relèvent $\eta$ , et que l’échappement doit rester assez sec ( $x_4 \gtrsim 0.88$ ) pour épargner aux derniers étages l’érosion par les gouttelettes.

Démonstration. Premier principe sur chaque organe, puis sur le cycle : $w_{\text{t}} - w_{\text{p}} = q_{\text{e}} - q_{\text{s}}$ . ∎

Le cycle de Rankine sur le diagramme (T,s) : pompe (invisible), chauffage le long de la courbe de liquide, vaporisation à la pression de la chaudière, surchauffe, détente (isentropique en tirets, réelle en trait plein, finissant plus humide ou plus sèche), condensation. C’est la température moyenne d’apport de chaleur, non le maximum, qui fixe le rendement. — Le cycle de Rankine sur le diagramme $(T,s)$ : pompe (invisible), chauffage le long de la courbe de liquide, vaporisation à la pression de la chaudière, surchauffe, détente (isentropique en tirets, réelle en trait plein, finissant plus humide ou plus sèche), condensation. C’est la température moyenne d’apport de chaleur, non le maximum, qui fixe le rendement.

Remarque 27.10 (D’autres cycles, et un régime transitoire)

La turbine à gaz (compresseur, chambre de combustion, turbine : le cycle de Brayton) a le rendement idéal $1 - r^{-(\gamma-1)/\gamma}$ pour le rapport de pression $r$ et rejette ses gaz à plusieurs centaines de degrés ; donner ces gaz à un cycle à vapeur (cycle combiné) atteint $60\%$ . Les systèmes ouverts ont aussi des transitoires : remplir un réservoir rigide vide depuis une conduite à $T_0$ finit à $T = \gamma T_0$ (le travail de transvasement $Pv$ devient énergie interne), $120\,\mathrm{K}$ de plus pour l’air — la raison pour laquelle une bouteille de plongée s’échauffe quand on la remplit.

Méthode 27.11 (Bilans en système ouvert)

(1) Tracer le volume de contrôle ; lister entrées, sorties, arbre et chaleur. (2) Masse : $\sum\dot m_{\text{e}} = \sum\dot m_{\text{s}}$ . (3) Énergie par unité de masse : $\Delta h + \Delta c^2/2 + g\Delta z = w_{\text{u}} + q$ , avec $\Delta h = c_p\Delta T$ pour les gaz, les tables pour les vapeurs, $v\Delta P$ pour les pompes. (4) Entropie : $\Delta s = \sum q_i/T_i + s_{\text{c}}$ , états de référence isentropiques, rendements, $T_0s_{\text{c}}$ perdu. (5) Cycles : lire le diagramme, sommer sur la boucle, comparer à Carnot.

27.6 Exercices

Exercice 27.1 ★

(a) Un tuyau d’arrosage débite $12\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ par une buse de $1\,\mathrm{cm}$ : vitesse de sortie. (b) De l’eau chaude à $60\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $0.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , se mélange à de l’eau froide à $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $0.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ : température de sortie. (c) Pourquoi le mélange est-il irréversible — calculer l’entropie créée par seconde.

Solution

Solution de Exercice 27.1.

(a) $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}/7.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2} = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $(0.1 \times 60 + 0.2 \times 10)/0.3 = 26.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (c) $\dot S_{\text{c}} = 0.1c\ln(299.8/333) + 0.2c\ln(299.8/283) = 4.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : de la chaleur est passée de l’eau chaude à la froide.

Exercice 27.2 ★

De la vapeur entre dans une tuyère à $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ avec $h = 3000\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ et sort à $2800\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : vitesse de sortie. De l’air à $300\,\mathrm{K}$ accéléré du repos à $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans une tuyère ( $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ) : baisse de température. Un diffuseur ralentit de l’air de $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ au repos : hausse.

Solution

Solution de Exercice 27.2.

$\sqrt{2 \times 200 \times 10^3 + 50^2} = 634\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $c^2/2c_p = 45\,\mathrm{K}$ ; $31\,\mathrm{K}$ .

Exercice 27.3 ★

Détente à travers une vanne. (a) Un gaz parfait : qu’advient-il de $T$ , de $s$ ? (b) De la vapeur humide à $10\,\mathrm{bar}$ ( $h_{\text{f}} = 763$ , $h_{\text{fg}} = 2015\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ), de titre $0.9$ , détendue à $1\,\mathrm{bar}$ ( $h_{\text{f}} = 417$ , $h_{\text{fg}} = 2258\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ) : titre final — le calorimètre à détente. (c) Du frigorigène liquide à $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $h = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ) détendu à $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $h_{\text{f}} = 200$ , $h_{\text{g}} = 399\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ) : fraction de vapeur.

Solution

Solution de Exercice 27.3.

(a) $T$ inchangée, $s$ croît de $r\ln(P_1/P_2)$ . (b) $h = 2576\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : $x = (2576 - 417)/2258 = 0.956$ — le titre se lit sur la température de la sortie surchauffée (ou tout juste sèche). (c) $(256 - 200)/199 = 0.28$ .

Exercice 27.4 ★

(a) Un radiateur refroidit $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ d’eau de $90\,$ à $80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; l’air ( $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ) s’échauffe de $20\,$ à $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : débit massique et débit volumique d’air. (b) Une turbine à vapeur, $10\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $h$ de $3400\,$ à $2400\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : puissance. (c) Une pompe porte l’eau de $1\,$ à $60\,\mathrm{bar}$ : travail par kilogramme, et puissance pour $500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

Solution

Solution de Exercice 27.4.

(a) $41.8\,\mathrm{kW}$ ; $41.8 \times 10^3/(1005 \times 20) = 2.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $1.7\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ . (b) $10\,\mathrm{MW}$ . (c) $v\Delta P = 5.9\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $3\,\mathrm{MW}$ .

Exercice 27.5 ★★

Le travail de transvasement. (a) Réétablir le premier principe en système ouvert et expliquer d’où vient $Pv$ . (b) Pourquoi l’énergie interne $u$ apparaît-elle en système fermé et $h$ dans un écoulement ? (c) Comparer $c^2/2$ à $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et à $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $c_p\Delta T$ pour $1\,\mathrm{K}$ d’air. (d) De l’eau chutant de $100\,\mathrm{m}$ dans une conduite forcée : $g\Delta z$ face à $c\,\Delta T$ pour $1\,\mathrm{K}$ ; en déduire de combien l’eau s’échauffe si la turbine est retirée.

Solution

Solution de Exercice 27.5.

(a) Théorème 27.3. (b) Un écoulement est poussé dedans et dehors par ses voisins : ce travail des pressions, $Pv$ par unité de masse, est réuni avec $u$ . (c) $50\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ et $45\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ contre $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (d) $981\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ contre $4180\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ : $0.23\,\mathrm{K}$ .

Exercice 27.6 ★★

Compresseurs. Air, $1\,\mathrm{bar}$ , $293\,\mathrm{K}$ , jusqu’à $8\,\mathrm{bar}$ ; $\gamma = 1.4$ , $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ , $r = 287\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . (a) Température et travail de sortie isentropiques. (b) Avec $\eta_{\text{C}} = 0.8$ : travail, température de sortie, entropie créée. (c) Deux étages de rapport $\sqrt8$ avec refroidissement à $293\,\mathrm{K}$ entre eux : travail économisé. (d) Limite isotherme $rT\ln 8$ ; pourquoi les compresseurs réels s’en approchent avec beaucoup d’étages.

Solution

Solution de Exercice 27.6.

(a) $531\,\mathrm{K}$ , $239\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $299\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $590\,\mathrm{K}$ , $c_p\ln(590/531) = 106\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . (c) Chaque étage finit à $393\,\mathrm{K}$ : $2 \times 1005 \times 100 = 201\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $16\%$ d’économie. (d) $rT\ln 8 = 175\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; avec un refroidissement entre de nombreux étages le chemin épouse l’isotherme.

Exercice 27.7 ★★

Turbine. Vapeur à $60\,\mathrm{bar}$ , $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_3 = 3422\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $s_3 = 6.88\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; condenseur $0.05\,\mathrm{bar}$ ( $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) : $s_{\text{f}} = 0.476$ , $s_{\text{g}} = 8.394\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ , $h_{\text{f}} = 138$ , $h_{\text{fg}} = 2423\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (a) Titre et enthalpie de sortie isentropiques, travail. (b) Avec $\eta_{\text{T}} = 0.85$ : travail, enthalpie et titre de sortie. (c) Entropie créée par kilogramme et travail perdu à $T_0 = 306\,\mathrm{K}$ . (d) Pourquoi un échappement trop humide est un problème.

Solution

Solution de Exercice 27.7.

(a) $x = (6.88 - 0.476)/7.918 = 0.81$ , $h_{4s} = 2098\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $w_{\text{s}} = 1324\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $1125\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $h_4 = 2297$ , $x_4 = 0.89$ . (c) $s_4 = 7.53\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ : $s_{\text{c}} = 0.65\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; perdu $T_0s_{\text{c}} = 200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (d) Des gouttelettes à des centaines de mètres par seconde érodent les derniers étages.

Exercice 27.8 ★★

Pompe à chaleur. Évaporateur $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , condenseur $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $h_1 = 399$ (vapeur saturée, $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), $h_{2s} = 426$ , $h_3 = 256$ , $h_4 = h_3$ ( $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ) ; $\eta_{\text{C}} = 0.8$ . (a) $h_2$ et le travail. (b) Chaleurs échangées, les deux COP. (c) COP de Carnot ; rapport. (d) Débit massique et puissance électrique pour $8\,\mathrm{kW}$ de chauffage ; pourquoi le COP chute quand l’air extérieur se refroidit.

Solution

Solution de Exercice 27.8.

(a) $h_2 = 399 + 27/0.8 = 433\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $w = 34\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $q_{\text{evap}} = 143$ , $q_{\text{cond}} = 177\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $\mathrm{COP}_{\text{froid}} = 4.2$ , $\mathrm{COP}_{\text{chaud}} = 5.2$ . (c) $6.8$ et $7.8$ ; deux tiers. (d) $0.045\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $1.5\,\mathrm{kW}$ ; un évaporateur plus froid signifie une pression plus basse, un rapport de pression plus grand (plus de travail par kilogramme) et une vapeur plus légère (moins de masse par course).

Exercice 27.9 ★★

Entropie dans un échangeur. De l’eau chaude, $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , passant de $90\,$ à $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , chauffe de l’eau froide, $2\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , depuis $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (a) Température de sortie du courant froid. (b) Entropie créée par seconde ( $c = 4180\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ). (c) Puissance perdue à $T_0 = 293\,\mathrm{K}$ , comparée aux $167\,\mathrm{kW}$ échangés. (d) Pourquoi une disposition à courants parallèles créerait-elle plus d’entropie que le contre-courant pour le même service ?

Solution

Solution de Exercice 27.9.

(a) $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (b) $4180[\ln(323/363) + 2\ln(303/283)] = 83\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ . (c) $24\,\mathrm{kW}$ sur $167\,\mathrm{kW}$ . (d) À courants parallèles les écarts de température sont plus grands et la sortie chaude ne peut descendre sous la sortie froide : plus d’entropie pour le même service.

Exercice 27.10 ★★★

Remplir un réservoir. Un réservoir rigide, vide et calorifugé est relié à une conduite portant un gaz parfait à $T_0$ , $P_0$ . (a) Écrire le bilan d’énergie du réservoir pendant le remplissage (non permanent : son énergie croît) et montrer que le gaz à l’intérieur finit à $T = \gamma T_0$ . (b) De l’air à $293\,\mathrm{K}$ : température finale. (c) Si le réservoir contenait au départ du gaz à $T_0$ et $P_1 < P_0$ , argumenter que la température finale est comprise entre $T_0$ et $\gamma T_0$ . (d) Pourquoi une bouteille de plongée s’échauffe-t-elle au remplissage, et pourquoi la remplit-on lentement dans l’eau ?

Solution

Solution de Exercice 27.10.

(a) $\dd(mu)/\dd t = \dot m h_0$ s’intègre en $mu = mh_0$ : $c_vT = c_pT_0$ , $T = \gamma T_0$ . (b) $410\,\mathrm{K}$ . (c) Le gaz final est un mélange du gaz initial à $T_0$ et du gaz entrant chauffé à $\gamma T_0$ , donc entre les deux. (d) Le travail de transvasement échauffe le gaz ; un remplissage lent dans un bain d’eau laisse sortir la chaleur pour que la pression à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ soit celle voulue.

Exercice 27.11 ★★★

Resurchauffe. La turbine de l’Exercice 27.7 est scindée : détente jusqu’à $10\,\mathrm{bar}$ (fin isentropique : $h = 2850\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ), resurchauffe à $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $h = 3478$ , $s = 7.76\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ), détente jusqu’à $0.05\,\mathrm{bar}$ , les deux étages isentropiques. Travail de pompe $6\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $h_2 = 144\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (a) Titre et enthalpie de sortie du second étage. (b) Travail et chaleur totaux ; rendement ; comparer à la détente unique ( $\eta = 0.40$ isentropique). (c) Pourquoi la resurchauffe aide-t-elle, en termes de température moyenne d’apport de chaleur ? (d) Que corrige-t-elle d’autre ?

Solution

Solution de Exercice 27.11.

(a) $x = (7.76 - 0.476)/7.918 = 0.92$ , $h = 2367\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $w = 572 + 1111 - 6 = 1677\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $q = 3278 + 628 = 3906\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $\eta = 0.43$ contre $0.40$ . (c) La resurchauffe apporte de la chaleur à haute température et relève la température moyenne d’apport. (d) L’échappement est plus sec ( $0.92$ au lieu de $0.81$ ).

Exercice 27.12 ★★★

Turbine à gaz et cycle combiné. De l’air comprimé isentropiquement de $1\,\mathrm{bar}$ , $293\,\mathrm{K}$ à $12\,\mathrm{bar}$ , chauffé à pression constante jusqu’à $1500\,\mathrm{K}$ , détendu isentropiquement jusqu’à $1\,\mathrm{bar}$ ; $\gamma = 1.4$ , $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . (a) Les quatre températures. (b) Travaux, chaleur, rendement ; montrer $\eta = 1 - r^{-(\gamma - 1)/\gamma}$ . (c) L’échappement à $T_4$ produit de la vapeur pour un cycle de Rankine de rendement $0.35$ qui récupère $70\%$ de la chaleur de l’échappement au-dessus de $373\,\mathrm{K}$ : rendement combiné. (d) Pourquoi le cycle combiné est-il la centrale thermique la plus efficace qui soit ?

Solution

Solution de Exercice 27.12.

(a) $293\,\mathrm{K}$ , $596\,\mathrm{K}$ , $1500\,\mathrm{K}$ , $737\,\mathrm{K}$ . (b) $w_{\text{c}} = 305$ , $w_{\text{t}} = 767$ , $q = 909\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $\eta = 0.51 = 1 - 12^{-0.286}$ . (c) Chaleur d’échappement au-dessus de $373\,\mathrm{K}$ : $366\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $0.7 \times 0.35 \times 366 = 90\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : $\eta = (462 + 90)/909 = 0.61$ . (d) Il prend la chaleur à $1500\,\mathrm{K}$ et la rejette à $306\,\mathrm{K}$ : le plus large écart qu’un fluide de travail permette.

27.7 Problème : une pompe à chaleur domestique et une centrale à vapeur

Problème 27.1

Problème du week-end — deux machines dimensionnées avec les bilans en système ouvert

Partie I — La pompe à chaleur. Données du frigorigène ( $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ) : vapeur saturée à $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $P = 2.9\,\mathrm{bar}$ ) : $h_1 = 399$ , $s_1 = 1.727$ ; liquide saturé à $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_{\text{f}} = 200$ , $s_{\text{f}} = 1.00$ ; à la pression de condensation $10.2\,\mathrm{bar}$ ( $T_{\text{sat}} = 40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) : fin de compression isentropique $h_{2s} = 426$ , liquide saturé $h_3 = 256$ , $s_3 = 1.19$ ; la vapeur y est surchauffée avec $c_p \approx 1.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . Compresseur $\eta_{\text{C}} = 0.8$ ; besoin de la maison $8\,\mathrm{kW}$ .

Esquisser le cycle sur un diagramme $(\log P, h)$ et nommer les quatre organes avec le processus que chacun réalise.
État 4 après le détendeur : enthalpie et fraction de vapeur.
Chaleur absorbée par kilogramme dans l’évaporateur.
Travail du compresseur, isentropique et réel ; $h_2$ et une estimation de $T_2$ .
Chaleur cédée au condenseur ; les deux COP ; vérifier leur relation.
COP de Carnot entre $0\,$ et $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; quelle fraction la machine en atteint-elle ?
Débit massique de frigorigène et puissance électrique (rendement du moteur $0.9$ ).
Entropie créée par kilogramme dans le compresseur et dans le détendeur ( $s_4 = s_{\text{f}} + x\,(s_1 - s_{\text{f}})$ ) ; lequel est le pire ?

Partie II — Le grand froid et les choix de conception.

À $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ au-dehors l’évaporateur travaille à $-15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : COP de Carnot en chauffage ; pourquoi le COP réel chute-t-il plus vite (penser au rapport de pression et à la masse volumique de la vapeur) ?
Pourquoi du givre se forme-t-il sur la batterie extérieure, et que coûte le cycle de dégivrage ?
Plancher chauffant à $35\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ contre radiateurs à $55\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : COP de Carnot avec l’évaporateur à $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; conclure.
Comparer, par kilowattheure de combustible brûlé dans une centrale de rendement $0.40$ , la chaleur délivrée par cette pompe à chaleur ( $\mathrm{COP} = 4$ ) et par une chaudière à gaz de rendement $0.9$ brûlant le combustible directement.

Partie III — La centrale à vapeur. Chaudière $60\,\mathrm{bar}$ , $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_3 = 3422$ , $s_3 = 6.88$ ; à $60\,\mathrm{bar}$ , $T_{\text{sat}} = 276\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $h_{\text{f}} = 1213$ , $h_{\text{g}} = 2784$ ; condenseur $0.05\,\mathrm{bar}$ , $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_{\text{f}} = 138$ , $h_{\text{fg}} = 2423$ , $s_{\text{f}} = 0.476$ , $s_{\text{g}} = 8.394$ ; liquide $v = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ; turbine $\eta_{\text{T}} = 0.85$ ; puissance électrique nette $600\,\mathrm{MW}$ .

Esquisser le cycle sur un diagramme $(T,s)$ et nommer les processus.
Travail de pompe et $h_2$ .
Chaleur apportée dans la chaudière, décomposée en préchauffage, vaporisation et surchauffe.
Détente isentropique : titre, enthalpie de sortie, travail.
Détente réelle : travail, enthalpie et titre de sortie ; pourquoi le titre importe.
Rendement du cycle ; Carnot entre $773\,$ et $306\,\mathrm{K}$ ; la température moyenne d’apport de chaleur $\bar T = q_{\text{e}}/(s_3 - s_2)$ et le rendement de Carnot qu’elle donnerait.
Débit massique de vapeur ; chaleur rejetée au condenseur ; débit d’eau de refroidissement pour une hausse de $10\,\mathrm{K}$ , ou masse d’eau qu’une tour aéroréfrigérante évapore par seconde ( $2.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ).
Entropie créée dans la turbine par kilogramme et par seconde ; le travail perdu à $306\,\mathrm{K}$ , en fraction du travail de la turbine.
Une resurchauffe à $10\,\mathrm{bar}$ jusqu’à $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ porte le rendement à environ $0.43$ et le titre de sortie à $0.92$ : expliquer qualitativement les deux effets.

Partie IV — Toute la chaîne.

Le foyer transfère sa chaleur à la vapeur depuis des fumées à environ $1500\,\mathrm{K}$ : entropie créée par seconde dans ce transfert (chaleur à $1500\,\mathrm{K}$ vers la vapeur à $\bar T$ ) ; comparer à celle de la turbine.
Le condenseur rejette sa chaleur à de l’eau à $306\,\mathrm{K}$ — qui finit par rejoindre l’environnement à $293\,\mathrm{K}$ : entropie créée par seconde là.
Classer les trois sources d’irréversibilité (foyer, turbine, condenseur) et dire où va l’effort des ingénieurs.
Résumer la méthode des systèmes ouverts en cinq lignes.

Solution

Solution de Problème 27.1.

1. Compresseur (adiabatique, $w = \Delta h$ ), condenseur (isobare, chaleur cédée), détendeur (isenthalpique), évaporateur (isobare, chaleur reçue).

2. $h_4 = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $x_4 = 0.28$ .

3. $143\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ .

4. $27\,$ et $34\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $h_2 = 433$ ; $T_2 \approx 45 + 7 \approx 52\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

5. $177\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $\mathrm{COP}_{\text{chaud}} = 5.2$ , $\mathrm{COP}_{\text{froid}} = 4.2$ ; $5.2 = 4.2 + 1$ .

6. $7.8$ et $6.8$ ; deux tiers.

7. $0.045\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $1.5\,\mathrm{kW}$ , $1.7\,\mathrm{kW}$ à la prise.

8. Compresseur : $c_p\ln(325/318) \approx 0.022\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; détendeur : $s_4 - s_3 = 1.204 - 1.19 = 0.014\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ — le compresseur.

9. $313/55 = 5.7$ ; le rapport de pression double presque (plus de travail par kilogramme) et la masse volumique de la vapeur est divisée par deux (moins de masse par course) : la puissance chute juste quand la maison en demande davantage.

10. La batterie est sous $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dans un air humide ; le givre l’isole ; le dégivrage inverse le cycle quelques minutes par heure et coûte quelques pour cent.

11. $308/35 = 8.8$ contre $328/55 = 6.0$ : plus la température du condenseur est basse, mieux c’est — le plancher chauffant.

12. $1\,\mathrm{kWh}$ de combustible $\to$ $0.4\,\mathrm{kWh}$ d’électricité $\to$ $1.6\,\mathrm{kWh}$ de chaleur, contre $0.9\,\mathrm{kWh}$ de la chaudière.

13. Pompe, chaudière (chauffage isobare, vaporisation, surchauffe), turbine, condenseur.

14. $6\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $h_2 = 144$ .

15. $3278 = 1069 + 1571 + 638$ ( $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ).

16. $x = 0.81$ , $h_{4s} = 2098$ , $w_{\text{s}} = 1324\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ .

17. $1125\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $h_4 = 2297$ , $x_4 = 0.89$ ; une vapeur plus humide érode les aubes et abaisse le rendement.

18. $\eta = 1119/3278 = 0.34$ ; Carnot $0.60$ ; $\bar T = 3278/6.40 = 512\,\mathrm{K}$ , donnant $0.40$ .

19. $536\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $1160\,\mathrm{MW}$ ; $28\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ d’eau de rivière, ou $480\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ évaporés.

20. $0.65\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ , $350\,\mathrm{kW}/\mathrm{K}$ ; $200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $18\%$ du travail de la turbine.

21. Le second apport de chaleur se fait à haute température ( $\bar T$ plus élevée), et la seconde détente part surchauffée et finit plus sèche.

22. $1757\,\mathrm{MW} \times (1/512 - 1/1500) = 2.3\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ — six fois celle de la turbine.

23. $1160\,\mathrm{MW} \times (1/293 - 1/306) = 0.17\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ .

24. Foyer $\gg$ turbine $>$ condenseur : d’où des températures et des pressions de vapeur plus élevées, la resurchauffe et la régénération ; puis de meilleures aubes ; le condenseur vient en dernier.

25. Tracer le volume de contrôle ; masse entrante égale masse sortante ; $\Delta h + \Delta c^2/2 + g\Delta z = w_{\text{u}} + q$ avec $h$ tiré de $c_p$ , des tables ou de $v\Delta P$ ; $\Delta s = \sum q/T + s_{\text{c}}$ avec références isentropiques et rendements ; assembler les organes et comparer à Carnot.

Termes définis dans ce chapitre

Système ouvert, volume de contrôle, régime permanent

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