Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

19Interférences à deux ondes

Une bulle de savon est faite d’un liquide incolore, et pourtant elle chatoie de couleurs ; un film d’huile sur une route mouillée montre les mêmes bandes irisées ; les ailes d’une libellule jettent des éclats verts et violets. Aucune de ces couleurs ne vient d’un pigment : elles viennent de deux copies d’une même onde lumineuse, réfléchies sur les deux faces d’une lame mince, arrivant avec un retard et se renforçant ou s’annulant l’une l’autre — c’est l’interférence de deux ondes. Young en fit la preuve que la lumière est une onde en 1801, avec deux fentes et une bougie ; ce chapitre établit la formule, la géométrie des franges d’Young, les deux conditions — cohérences temporelle et spatiale — sous lesquelles les franges survivent, et les couleurs des lames minces.

Un film d’huile sur une route mouillée : deux réflexions, une par face, et une épaisseur qui varie d’un endroit à l’autre — chaque couleur brillante là où 2ne prend la bonne valeur. — Un film d’huile sur une route mouillée : deux réflexions, une par face, et une épaisseur qui varie d’un endroit à l’autre — chaque couleur brillante là où $2ne$ prend la bonne valeur.

19.1 La formule des interférences

Théorème 19.1 (Interférences à deux ondes)

Deux ondes monochromatiques cohérentes d’intensités $I_1$ , $I_2$ et de différence de phase $\Delta\varphi$ en un point $M$ y donnent l’intensité

I(M) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\,\cos\Delta\varphi(M) , \qquad \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,\delta(M) ,

où $\delta$ est la différence de marche optique entre les deux trajets de la source à $M$ . L’intensité est maximale ( $I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}$ ) là où $\delta = p\lambda_0$ , $p$ entier — l’ordre d’interférence — et minimale ( $I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}$ ) là où $\delta = (p + \tfrac12)\lambda_0$ . Le contraste (ou visibilité) des franges vaut

V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1 + I_2} ,

égal à $1$ pour des intensités égales, cas où les minima sont parfaitement noirs : $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi) = 4I_0\cos^2(\Delta\varphi/2)$ .

Démonstration. $s = a_1\cos(\omega t - \varphi_1) + a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ ; $\langle s^2\rangle$ comme au Chapitre 18, avec $\Delta\varphi$ fixe pendant la détection ; $I_i = \tfrac12Ka_i^2$ . La différence de phase de deux ondes parties ensemble de la source et ayant parcouru les chemins optiques $L_1$ , $L_2$ vaut $2\pi(L_2 - L_1)/\lambda_0$ (plus $\pi$ pour chaque réflexion qui inverse le signe, Chapitre 15). ∎

Remarque 19.2 (Les trois conditions)

Des franges n’existent que si (1) les deux ondes viennent de la même source (deux copies d’une même vibration, sinon $\Delta\varphi$ est aléatoire) ; (2) la différence de marche est inférieure à la longueur de cohérence, $|\delta| < \ell_c$ (cohérence temporelle : au-delà les copies appartiennent à des trains d’ondes différents) ; (3) la source est assez petite pour que ses différents points ne produisent pas des systèmes de franges décalés qui se brouillent mutuellement (cohérence spatiale, ci-dessous). Et une quatrième, généralement satisfaite : les deux ondes ne doivent pas avoir des polarisations perpendiculaires (elles s’ajouteraient en intensité, comme les lampes de poche).

19.2 Les fentes d’Young

Proposition 19.3 (Division du front d’onde : l’expérience d’Young)

Une source ponctuelle $S$ (ou une fente) éclaire deux fentes parallèles étroites $S_1$ , $S_2$ distantes de $a$ , équidistantes de $S$ ; un écran est placé à la distance $D \gg a$ . Au point de l’écran de hauteur $x$ (parallèlement à $a$ ) la différence de marche vaut

\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{ax}D ,

et l’écran montre des franges rectilignes équidistantes, brillantes en $x_p = p\lambda D/a$ , avec l’interfrange

i = \frac{\lambda D}a .

Les franges existent partout derrière les fentes (elles ne sont pas localisées) ; avec une lentille de distance focale $f$ après les fentes, on les observe dans son plan focal avec $i = \lambda f/a$ (franges « à l’infini »). L’intensité vaut $4I_0\cos^2(\pi ax/\lambda D)$ .

Démonstration. $S_2M^2 - S_1M^2 = [(x + a/2)^2 - (x - a/2)^2] = 2ax$ et $S_2M + S_1M \approx 2D$ , donc $\delta \approx 2ax/2D$ . Deux ordres diffèrent de $\lambda$ , c’est-à-dire de $\Delta x = \lambda D/a$ . Avec une lentille, les deux ondes qui quittent les fentes sous l’angle $\theta$ avec l’axe ont la différence de marche $a\sin\theta \approx a\theta$ et se rejoignent en $x = f\theta$ . ∎

À gauche : les fentes d’Young — deux copies de l’onde de la source se rencontrent sur l’écran avec la différence de marche ax/D ; frange brillante tous les D/a. À droite : le profil d’intensité, 4I_0 2(π x/i) pour des ondes égales (trait plein) et avec un contraste réduit (tirets). — À gauche : les fentes d’Young — deux copies de l’onde de la source se rencontrent sur l’écran avec la différence de marche $ax/D$ ; frange brillante tous les $\lambda D/a$ . À droite : le profil d’intensité, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ pour des ondes égales (trait plein) et avec un contraste réduit (tirets).

Exemple 19.4 (Applications numériques, et lumière blanche)

$a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $D = 2\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ : $i = 2.4\,\mathrm{mm}$ — assez grand pour être vu, ce qui explique que les fentes d’Young doivent être proches et l’écran lointain. En lumière blanche chaque couleur fait ses propres franges, toutes coïncidant au centre ( $\delta = 0$ ) : une frange centrale blanche, puis des franges colorées à mesure que les ordres se séparent (l’interfrange $i$ du rouge vaut $1.8$ fois celui du violet), et après quelques ordres un champ blanchâtre uniforme — la longueur de cohérence de la lumière blanche est le micromètre, deux ou trois longueurs d’onde. Un spectromètre braqué sur ce champ « blanc » y voit encore des bandes sombres aux longueurs d’onde pour lesquelles $\delta = (p + \tfrac12)\lambda$ : un spectre cannelé.

Proposition 19.5 (Cohérence spatiale : la source doit être petite)

Chaque point d’une source étendue produit son propre système de franges ; un point source décalé transversalement de $b$ à la distance $L$ avant les fentes décale les franges de $x = bD/L$ (la différence de marche gagne $ab/L$ ). Une source de largeur $b$ étale les franges sur un interfrange, et le contraste s’annule, lorsque

\frac{ab}L \approx \lambda , \qquad\text{c'est-à-dire lorsque les fentes voient la source sous un angle } \frac bL \gtrsim \frac\lambda a .

Les deux fentes doivent se trouver dans l’aire de cohérence de la lumière — la région sur laquelle l’onde issue de la source a une phase bien définie, de largeur $\lambda L/b$ . La lumière solaire ( $b/L = 0.5{}^{\circ} = 9\,\mathrm{mrad}$ ) donne une largeur de cohérence $\lambda/0.009 \approx 60\,\text{µ}\mathrm{m}$ : il fallut à Young un trou d’épingle pour l’élargir.

Démonstration. Pour un point source de hauteur $b$ , le chemin supplémentaire $SS_2 - SS_1 \approx -ab/L$ s’ajoute à $ax/D$ : le motif se décale de $x = bD/L$ . En intégrant les motifs en $\cos^2$ décalés sur une source de largeur $b$ on obtient un contraste $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$ , nul pour $ab/L = \lambda$ . ∎

Cohérence spatiale : le haut et le bas d’une source étendue envoient des systèmes de franges décalés l’un par rapport à l’autre ; quand le décalage atteint un interfrange le motif est brouillé.

19.3 Lames minces : division d’amplitude

Proposition 19.6 (Interférences dans une lame mince)

Une lame d’indice $n$ et d’épaisseur $e$ dans l’air, éclairée sous l’incidence $i$ (angle de réfraction $r$ ), renvoie deux ondes réfléchies sur ses deux faces, avec la différence de marche

\delta = 2ne\cos r \ (+\tfrac{\lambda_0}2) ,

la demi-longueur d’onde supplémentaire comptant l’inversion de signe de la réflexion sur le milieu le plus dense à la première face et non à la seconde (Chapitre 15). Les franges sont brillantes pour $2ne\cos r = (p + \tfrac12)\lambda_0$ , sombres pour $2ne\cos r = p\lambda_0$ — une lame d’épaisseur nulle ne réfléchit rien (le sommet noir d’un film de savon qui s’écoule). Pour une lame d’épaisseur uniforme les franges ne dépendent que de $i$ et s’observent à l’infini (anneaux d’égale inclinaison) ; pour un coin d’épaisseur lentement variable observé sous incidence quasi normale elles suivent les lignes de niveau de $e$ et sont localisées sur la lame (franges d’égale épaisseur) : un coin d’air d’angle $\alpha$ montre des franges rectilignes espacées de $\lambda_0/2\alpha$ ; une lentille de rayon $R$ posée sur un plan donne les anneaux de Newton, sombres en $r_p = \sqrt{p\lambda_0R}$ .

Démonstration. Géométrie : l’onde réfractée à la première face traverse deux fois la lame ( $2e/\cos r$ dans le verre, chemin optique $2ne/\cos r$ ) tandis que l’onde réfléchie sur la première face avance de $2e\tan r\sin i$ dans l’air ; la différence vaut $2ne/\cos r - 2e\tan r\sin i = 2ne\cos r$ avec $\sin i = n\sin r$ . Pour le coin, $e = \alpha x$ et les franges sombres successives en $2\alpha x = p\lambda$ ; pour la lentille, $e \approx r^2/2R$ . ∎

À gauche : les deux réflexions sur une lame mince — une par face, la seconde retardée par la double traversée. À droite : un coin d’air entre deux lames montre des franges rectilignes d’égale épaisseur, une par demi-longueur d’onde d’épaisseur supplémentaire.

Exemple 19.7 (Savon, huile, libellules)

Un film de savon ( $n = 1.33$ ) de $300\,\mathrm{nm}$ d’épaisseur vu sous incidence normale : brillant pour $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ , c’est-à-dire $\lambda = 798/(p + \tfrac12)$ nm : $532\,\mathrm{nm}$ (vert, $p = 1$ ) dans le visible, et une bande sombre à $400\,\mathrm{nm}$ ; le film paraît vert. À mesure qu’il s’écoule et s’amincit, la couleur parcourt la séquence et finit noire. Un film d’huile ( $400\,\mathrm{nm}$ , $n = 1.45$ ) sur l’eau ( $1.33$ ) : la seconde réflexion, vers un indice plus bas, n’inverse pas le signe, de sorte qu’ici encore $\delta = 2ne + \lambda/2$ et que le film est brillant pour $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ : $464\,\mathrm{nm}$ ( $p = 2$ ), du bleu. L’irisation d’une aile de papillon, d’une carapace de scarabée ou d’un disque compact sont des interférences de même nature (celle du disque, à ondes multiples : Chapitre 21), ce qui explique qu’elles changent avec l’angle — $\delta$ dépend de $\cos r$ — alors que la couleur d’un pigment, non.

Méthode 19.8 (Résoudre un problème d’interférences)

(1) Repérer les deux trajets de la source à $M$ et calculer la différence de marche optique $\delta(M)$ , en ajoutant $\lambda/2$ pour chaque réflexion avec inversion de signe. (2) $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(2\pi\delta/\lambda)$ ; brillant en $\delta = p\lambda$ . (3) L’interfrange par $\delta(M + \Delta M) - \delta(M) = \lambda$ . (4) Vérifier la cohérence temporelle ( $\delta_{\max} < \ell_c$ , nombre de franges visibles $\sim\lambda/\Delta\lambda$ ) et la cohérence spatiale (angle de la source $< \lambda/a$ ). (5) Dire où les franges sont localisées (partout pour deux sources ponctuelles ; sur la lame pour les franges d’égale épaisseur ; à l’infini pour celles d’égale inclinaison).

19.4 Exercices

Exercice 19.1 ★

Fentes d’Young distantes de $a = 0.40\,\mathrm{mm}$ , écran à $D = 1.5\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : interfrange ; ordre de la frange en $x = 1.0\,\mathrm{cm}$ ; position de la dixième frange sombre ; interfrange avec des fentes distantes de $2\,\mathrm{mm}$ , et dans l’eau ( $n = 1.33$ ).

Solution

Solution de Exercice 19.1.

$i = \lambda D/a = 2.4\,\mathrm{mm}$ ; $x/i = 4.2$ ; dixième frange sombre en $9.5i = 22.5\,\mathrm{mm}$ ; $a = 2\,\mathrm{mm}$ : $0.47\,\mathrm{mm}$ ; dans l’eau $\lambda/n$ : $1.8\,\mathrm{mm}$ .

Exercice 19.2 ★

Deux ondes d’intensités $I_0$ et $I_0/4$ interfèrent : $I_{\max}$ , $I_{\min}$ , contraste. Idem pour $I_0$ et $I_0/100$ : pourquoi les franges restent-elles visibles avec des faisceaux aussi inégaux ? Une des deux fentes d’Young est recouverte d’un filtre gris transmettant $50\%$ : nouveau contraste.

Solution

Solution de Exercice 19.2.

$1.25I_0 \pm I_0$ : $V = 0.8$ . $1.01I_0 \pm 0.2I_0$ : $V = 0.2$ — le terme d’interférence va comme le rapport des amplitudes, $1/10$ , non celui des intensités. Filtre : $V = 2\sqrt{0.5}/1.5 = 0.94$ .

Exercice 19.3 ★

Un film de savon de $250\,\mathrm{nm}$ d’épaisseur ( $n = 1.33$ ) vu sous incidence normale : longueurs d’onde visibles les plus et les moins réfléchies ; sa couleur. Un film de $1.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ : combien de longueurs d’onde brillantes dans le visible, et que voit l’œil ?

Solution

Solution de Exercice 19.3.

$2ne = 665\,\mathrm{nm}$ : brillant en $665/(p + \tfrac12)$ : $443\,\mathrm{nm}$ (bleu-violet) ; sombre en $665/p$ : $665\,\mathrm{nm}$ (rouge) : un film bleu. $e = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2ne = 2660\,\mathrm{nm}$ , brillant en $760$ , $591$ , $484$ , $409\,\mathrm{nm}$ — quatre couleurs à la fois, un blanc rosé délavé.

Exercice 19.4 ★

Anneaux de Newton entre une lentille de rayon $R = 2.0\,\mathrm{m}$ et un plan, en lumière de sodium : rayons des trois premiers anneaux sombres ; nombre d’anneaux dans un rayon de $1\,\mathrm{cm}$ ; le centre est-il brillant ou sombre, et pourquoi ? Qu’est-ce qui change si l’on remplit l’intervalle d’eau ?

Solution

Solution de Exercice 19.4.

$r_p = \sqrt{p\lambda R}$ : $1.09$ , $1.53$ , $1.88\,\mathrm{mm}$ ; $p = r^2/\lambda R = 85$ anneaux dans $1\,\mathrm{cm}$ ; le centre est sombre : épaisseur nulle et une inversion de signe. Eau : rayons divisés par $\sqrt n$ , $98$ anneaux.

Exercice 19.5 ★★

Lumière blanche. Fentes d’Young en lumière blanche ( $400$ à $700\,\mathrm{nm}$ ), $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $D = 1\,\mathrm{m}$ . (a) Interfrange pour le violet et pour le rouge ; position des deuxième frange brillante rouge et troisième violette. (b) Au-delà de quel ordre les franges rouge et violette d’ordres successifs se recouvrent-elles ? (c) En $x = 5\,\mathrm{mm}$ , quelles longueurs d’onde manquent (spectre cannelé) ? (d) Expliquer la suite des couleurs vues du centre vers l’extérieur.

Solution

Solution de Exercice 19.5.

(a) $i = 0.8$ et $1.4\,\mathrm{mm}$ ; deuxième rouge $2.8\,\mathrm{mm}$ , troisième violette $2.4\,\mathrm{mm}$ . (b) L’ordre $p$ du rouge, en $1.4p$ mm, rencontre l’ordre $p + 1$ du violet en $0.8(p + 1)$ : dès $p = 2$ les ordres se recouvrent. (c) $\delta = ax/D = 2.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : manquent les $\lambda = \delta/(p + \tfrac12)$ : $714$ , $556$ , $455\,\mathrm{nm}$ . (d) Centre blanc ; puis des franges à bord intérieur bleu et bord extérieur rouge ; dès le troisième ordre les couleurs se mêlent en blanc.

Exercice 19.6 ★★

Taille de la source. Une lampe au sodium éclaire des fentes d’Young ( $a = 1.0\,\mathrm{mm}$ ) à travers une fente source placée à $L = 40\,\mathrm{cm}$ . (a) Largeur maximale de la fente source pour un bon contraste (prendre $ab/L < \lambda/4$ ). (b) La fente source est élargie à $0.5\,\mathrm{mm}$ : contraste (utiliser $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$ ). (c) Pourquoi ne peut-on pas simplement utiliser la lampe nue (largeur $1\,\mathrm{cm}$ ) ? (d) Le Soleil comme source, de $9\,\mathrm{mrad}$ de diamètre apparent : écartement maximal des fentes qui donne des franges.

Solution

Solution de Exercice 19.6.

(a) $b < \lambda L/4a = 59\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $\pi ab/\lambda L = 6.7$ : contraste $|\sin6.7|/6.7 = 0.06$ . (c) Une source large d’un centimètre couvre des centaines d’interfranges de décalage : pas de franges. (d) $a < \lambda/\theta = 61\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Exercice 19.7 ★★

Miroir de Lloyd. Une source ponctuelle à la hauteur $h = 0.2\,\mathrm{mm}$ au-dessus d’un miroir plan, écran à $D = 1.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ : l’onde directe interfère avec celle que réfléchit le miroir (une source virtuelle en $-h$ ). (a) Interfrange. (b) La frange située au bord du miroir ( $x = 0$ ) est sombre : qu’est-ce que cela apprend sur la réflexion ? (c) Nombre de franges visibles si la longueur de cohérence de la source vaut $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Pourquoi ce montage est-il l’« interféromètre marin » du radioastronome pour une étoile qui se lève ?

Solution

Solution de Exercice 19.7.

(a) $a = 2h = 0.4\,\mathrm{mm}$ : $i = \lambda D/a = 1.25\,\mathrm{mm}$ . (b) En $x = 0$ les chemins sont égaux et pourtant la frange est sombre : la réflexion ajoute $\pi$ (inversion de signe en incidence rasante sur le milieu le plus dense). (c) $\delta = ax/D < 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $100$ franges. (d) La mer est le miroir, l’antenne du haut de la falaise l’écran : à mesure que la source monte, les franges défilent et donnent son élévation.

Exercice 19.8 ★★

Coin d’air. Deux lames de verre de $10\,\mathrm{cm}$ de long se touchent à une extrémité et sont écartées à l’autre par un cheveu de diamètre $d$ ; en lumière de sodium on compte $42$ franges sombres. (a) $d$ . (b) Interfrange. (c) L’intervalle est rempli d’eau : nombre de franges. (d) On presse légèrement les lames à l’extrémité écartée : que font les franges, et quelle précision sur $d$ donne le comptage d’un quart de frange ?

Solution

Solution de Exercice 19.8.

(a) $2d = 42\lambda$ : $d = 12.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $100/42 = 2.4\,\mathrm{mm}$ . (c) $2nd = p\lambda$ : $56$ franges. (d) Les franges migrent vers l’extrémité écartée et s’espacent quand $d$ diminue ; un quart de frange vaut $\lambda/8 = 74\,\mathrm{nm}$ sur $d$ .

Exercice 19.9 ★★

Huile sur eau. Un film d’huile ( $n = 1.45$ ) d’épaisseur $e$ flotte sur de l’eau ( $n = 1.33$ ). (a) Laquelle des deux réflexions inverse le signe ? Différence de marche. (b) Pour $e = 400\,\mathrm{nm}$ sous incidence normale : longueurs d’onde réfléchies renforcées et annulées ; couleur. (c) Film le plus mince qui paraisse violet ( $420\,\mathrm{nm}$ ). (d) Pourquoi les couleurs se déplacent-elles vers le bleu quand on regarde le film obliquement ? (e) Qu’est-ce qui change pour un film dont l’indice se situe entre ceux des deux milieux (un traitement sur du verre) ?

Solution

Solution de Exercice 19.9.

(a) Seule la première (air $\to$ huile, plus dense) ; huile $\to$ eau va vers un indice plus bas : $\delta = 2ne + \lambda/2$ , brillant pour $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ . (b) $2ne = 1160\,\mathrm{nm}$ : renforcées $773$ (limite du visible), $464\,\mathrm{nm}$ (bleu) ; annulées $1160/p$ : $580\,\mathrm{nm}$ (jaune) : du bleu. (c) $2ne = \lambda/2$ : $e = 72\,\mathrm{nm}$ . (d) $\delta = 2ne\cos r$ diminue avec l’angle : les longueurs d’onde renforcées se déplacent vers le bleu. (e) Les deux réflexions inversent alors le signe, sans $\lambda/2$ supplémentaire : brillant pour $2ne = p\lambda$ , sombre pour $(p + \tfrac12)\lambda$ — c’est la couche antireflet quart d’onde.

Exercice 19.10 ★★★

Une lame sur une fente. Une lame de verre d’épaisseur $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ et d’indice $1.5$ recouvre la fente $S_1$ d’une paire d’Young ( $a = 1\,\mathrm{mm}$ , $D = 2\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ ). (a) Chemin optique supplémentaire ; de combien de franges et dans quel sens le motif se décale-t-il ? (b) En lumière blanche, où va la frange centrale blanche (désormais déplacée) — est-elle encore visible ? Longueur de cohérence $1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (c) Utiliser le motif en lumière blanche pour mesurer $e$ : comment ? (d) On incline la lame : le décalage croît — montrer qu’au premier ordre il croît comme $e(n - 1)\theta^2/2 \times (1 + 1/n)$ et l’estimer pour $5{}^{\circ}$ .

Solution

Solution de Exercice 19.10.

(a) $(n - 1)e = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $20$ franges, vers la fente recouverte (où le chemin géométrique doit raccourcir de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ pour rétablir $\delta = 0$ ) : $x = (n - 1)eD/a = 2\,\mathrm{cm}$ . (b) La frange blanche s’y trouve ; la dispersion du verre ( $\Delta n \approx 0.01$ sur le visible, soit $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ de chemin) reste sous $\ell_c$ : encore visible, légèrement colorée. (c) Mesurer le décalage de la frange blanche : $e = (\text{décalage})\,a/(n - 1)D$ . (d) $e(n - 1)\theta^2 (1 + 1/n)/2 = 63\,\mathrm{nm}$ à $5{}^{\circ}$ : un huitième de frange.

Exercice 19.11 ★★★

L’interféromètre stellaire. Deux miroirs distants de $a$ recueillent la lumière d’une étoile et la font interférer. L’étoile est un disque uniforme de diamètre angulaire $\theta$ ; chaque point du disque décale les franges, et le contraste s’annule pour $a = 1.22\lambda/\theta$ (admis, version pour un disque de $ab/L = \lambda$ ). (a) Bételgeuse, $\theta = 0.047''$ (secondes d’arc), $\lambda = 570\,\mathrm{nm}$ : base pour laquelle les franges disparaissent (Michelson, 1920, au mont Wilson). (b) Pourquoi un unique télescope de $2.5\,\mathrm{m}$ ne résout-il pas le disque (sa limite vaut $1.22\lambda/d$ ) ? (c) Les interféromètres modernes relient des télescopes distants de $100\,\mathrm{m}$ : plus petit diamètre mesurable. (d) Pourquoi les deux trajets doivent-ils être égaux à mieux que la longueur de cohérence, et combien vaut celle-ci pour un filtre de $10\,\mathrm{nm}$ ?

Solution

Solution de Exercice 19.11.

(a) $\theta = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ : $a = 1.22\lambda/\theta = 3.1\,\mathrm{m}$ . (b) Sa limite $1.22\lambda/d = 0.057''$ dépasse le diamètre de l’étoile, et l’atmosphère brouille jusqu’à $1''$ . (c) $1.22\lambda/100 = 7 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad} = 1.4\,\mathrm{mas}$ . (d) Les franges exigent $\delta < \ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 32\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Exercice 19.12 ★★★

Anneaux d’égale inclinaison. Une lame à faces parallèles d’épaisseur $e = 2.0\,\mathrm{mm}$ et d’indice $1.5$ est éclairée par une large source au sodium ; la lumière réfléchie est focalisée par une lentille de $f = 50\,\mathrm{cm}$ . (a) Montrer que les anneaux se trouvent aux angles $i_p$ vérifiant $2ne\cos r_p = (p + \tfrac12)\lambda$ (brillants) et qu’au voisinage du centre $\cos r \approx 1 - i^2/2n^2$ . (b) Ordre au centre ; le centre est-il brillant ? (c) Rayons des trois premiers anneaux brillants dans le plan focal. (d) Pourquoi ces anneaux s’observent-ils avec une source étendue alors que les franges d’Young exigent une source étroite ? (Localisation à l’infini.)

Solution

Solution de Exercice 19.12.

(a) $\delta = 2ne\cos r + \lambda/2$ ; $\cos r = \sqrt{1 - \sin^2i/n^2} \approx 1 - i^2/2n^2$ . (b) $2ne/\lambda = 10186.8$ : le centre, avec $p + \tfrac12$ compris entre $10186.5$ et $10187.5$ , n’est ni brillant ni sombre. (c) $i_p^2 = 2n^2[1 - (p + \tfrac12)\lambda/ 2ne]$ pour $p = 10186$ , $10185$ , $10184$ : $i = 0.011$ , $0.024$ , $0.032\,\mathrm{rad}$ , $r = fi = 5.4$ , $11.8$ , $15.8\,\mathrm{mm}$ . (d) Le seul angle $i$ fixe l’ordre : chaque point source alimente le même anneau sous le même angle, de sorte que les anneaux, vus à l’infini, survivent à une source large.

Franges d’égale épaisseur entre un plan optique et une surface d’acier à contrôler, sur une photographie d’ajusteur des années 1915 : franges rectilignes sur une surface plane, incurvées là où elle est usée — chaque frange une marche d’une demi-longueur d’onde.

19.5 Problème : les miroirs de Fresnel et un film d’huile

Problème 19.1

Problème du week-end — un interféromètre de 1816 et un arc-en-ciel sur une flaque : deux façons de diviser une onde et les deux cohérences qui limitent les deux

Partie I — Les miroirs de Fresnel. Deux miroirs plans se touchant selon une arête font un très petit angle $\alpha = 5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ ; une fente source $S$ , parallèle à cette arête, est à $d = 20\,\mathrm{cm}$ de celle-ci, et l’écran à $D = 1.5\,\mathrm{m}$ au-delà. $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ (sodium).

Montrer que les deux miroirs donnent deux images virtuelles $S_1$ , $S_2$ de $S$ sur un cercle de rayon $d$ centré sur l’arête de contact, distantes de $a = 2\alpha d$ ; valeur.
Pourquoi les ondes issues de $S_1$ et $S_2$ interfèrent-elles, alors que celles de deux lampes distinctes ne le feraient pas ?
Interfrange sur l’écran (distance des sources à l’écran $\approx d + D$ ) ; nombre de franges sur la zone large de $5\,\mathrm{mm}$ où les deux faisceaux réfléchis se recouvrent.
Ordre d’interférence au bord de cette zone ; est-il en deçà de la limite fixée par la longueur de cohérence de la lampe ( $2\,\mathrm{cm}$ ) ?
La fente source fait $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ de large : décalage des franges produites par ses deux bords (chaque point source est imagé en deux points virtuels ; le système de franges se décale de $bD'/d$ avec $D' = d + D$ ) ; le contraste est-il conservé (comparer à $i$ ) ?
La fente est élargie à $0.1\,\mathrm{mm}$ : contraste, à l’aide de $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)|$ .
Les deux miroirs réfléchissent $90\%$ et $80\%$ de la lumière : contraste des franges.
Une lame de verre de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’épaisseur ( $n = 1.5$ ) est placée devant un des miroirs : décalage du motif, en franges ; peut-on le suivre en lumière de sodium ? En lumière blanche ?
On remplace la lampe au sodium par de la lumière blanche : décrire l’écran ; combien de franges colorées de chaque côté du centre ?

Partie II — Le film d’huile. Un film d’huile ( $n = 1.45$ ) s’étale sur une route mouillée ( $n_{\text{eau}} = 1.33$ ), éclairé par un ciel couvert et observé sous incidence quasi normale.

Réflexions sur les deux faces : laquelle inverse le signe ? Différence de marche ; condition pour une couleur brillante.
Épaisseur de la région la plus mince qui paraisse rouge ( $\lambda = 650\,\mathrm{nm}$ ) ; verte ( $550\,\mathrm{nm}$ ) ; violette ( $420\,\mathrm{nm}$ ).
Une région de $600\,\mathrm{nm}$ d’épaisseur : quelles longueurs d’onde visibles sont renforcées, lesquelles annulées ; sa couleur.
Pourquoi le film montre-t-il des bandes colorées (qu’est-ce qui varie le long de la route), et pourquoi les bandes suivent-elles les lignes de niveau d’épaisseur ?
Le film s’amincit par évaporation : décrire l’évolution de la couleur en un point donné ; que voit-on quand $e \to 0$ ici — brillant ou sombre ? Comparer avec un film de savon dans l’air.
Le sommet d’un film de savon qui s’écoule devient noir juste avant d’éclater : épaisseur en ce point (quelques nanomètres) et pourquoi noir.
Vu sous $60{}^{\circ}$ d’incidence : angle de réfraction dans l’huile, et décalage des longueurs d’onde brillantes de la question 11.
Au-delà de quelle épaisseur les couleurs s’estompent-elles en un gris uniforme, pour une lumière du jour de longueur de cohérence voisine de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
La lumière du ciel n’est pas polarisée et arrive de nombreuses directions : pourquoi le motif ne se brouille-t-il pas comme une source étendue brouille les franges d’Young ? (Localisation sur la lame.)

Partie III — Les deux cohérences.

Cohérence temporelle : pour les miroirs de Fresnel en lumière de sodium, l’ordre maximal visible ; avec un laser ( $\ell_c = 10\,\mathrm{m}$ ).
Cohérence spatiale : la largeur maximale de source pour les miroirs (d’après $ab/d < \lambda/4$ ) et pour les fentes d’Young avec $a = 1\,\mathrm{mm}$ à $L = 40\,\mathrm{cm}$ .
Expliquer pourquoi la lame mince tolère une source étendue alors que les fentes d’Young ne le font pas : tracer les deux rayons de la lame pour deux points sources différents et montrer qu’ils se rejoignent encore sur la lame.
La raie du sodium fait elle-même $0.02\,\mathrm{nm}$ de large : combien de franges les miroirs peuvent-ils montrer au plus (utiliser $N \approx \lambda/\Delta\lambda$ ) ?
Un étudiant remplace la lampe au sodium par une DEL verte ( $\Delta\lambda = 30\,\mathrm{nm}$ ) : nombre de franges visibles avec les miroirs.
Avec un laser les franges couvrent toute la zone de recouvrement avec un contraste maximal, mais l’écran est « granuleux » : pourquoi ?
En un tableau, pour les miroirs et la lame : comment l’onde est divisée, où les franges sont localisées, ce qui limite leur nombre, et ce que fait une source plus large.

Solution

Solution de Problème 19.1.

1. Chaque miroir image $S$ par symétrie à la distance $d$ de l’arête de contact ; les deux images sont sur le cercle de rayon $d$ , à l’angle $2\alpha$ l’une de l’autre : $a = 2\alpha d = 2\,\mathrm{mm}$ .

2. $S_1$ et $S_2$ sont deux images de la même vibration : leurs sauts de phase sont les mêmes.

3. $i = \lambda(d + D)/a = 589 \times 10^{-9} \times 1.7/2 \times 10^{-3} = 0.50\,\mathrm{mm}$ : dix franges sur $5\,\mathrm{mm}$ .

4. $\delta = ax/(d + D) = 2.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ au bord, $p = 5$ : très en deçà de $\ell_c/\lambda = 34\,000$ .

5. Décalage $bD'/d = 20 \times 10^{-6} \times 1.7/0.2 = 0.17\,\mathrm{mm}$ , soit un tiers de $i$ : contraste $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)| = \operatorname{sinc}(1.07) = 0.82$ .

6. $\pi ab/\lambda d = 5.3$ : $|\sin5.3|/5.3 = 0.16$ .

7. Amplitudes $\sqrt{0.9}$ , $\sqrt{0.8}$ : $V = 2\sqrt{0.72}/1.7 = 0.998$ .

8. $(n - 1)e = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $8.5$ franges ; suivies sans peine en lumière de sodium ; en lumière blanche la frange blanche se déplace de $8.5i = 4.2\,\mathrm{mm}$ et reste visible (la dispersion du verre ne coûte qu’une fraction de micromètre).

9. Une frange centrale blanche, deux ou trois franges colorées de chaque côté, puis un blanc uniforme.

10. Air $\to$ huile inverse, huile $\to$ eau (indice plus bas) non : $\delta = 2ne + \lambda/2$ ; brillant pour $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ .

11. $e = \lambda/4n$ : rouge $112\,\mathrm{nm}$ , vert $95\,\mathrm{nm}$ , violet $72\,\mathrm{nm}$ .

12. $2ne = 1740\,\mathrm{nm}$ : renforcées $1740/(p + \tfrac12)$ : $696$ (rouge), $497$ (bleu-vert), $387\,\mathrm{nm}$ ; annulées $1740/p$ : $580$ (jaune), $435\,\mathrm{nm}$ : un mélange pourpre de rouge et de bleu-vert.

13. L’épaisseur varie le long de la route ; chaque couleur est brillante là où $2ne$ prend la bonne valeur, si bien que les bandes sont des lignes de niveau d’épaisseur.

14. Les ordres diminuent : les couleurs parcourent la séquence vers le bord mince ; quand $e \to 0$ l’unique inversion de signe laisse $\delta = \lambda/2$ pour toutes les couleurs : sombre — comme pour un film de savon dans l’air.

15. Quelques nanomètres : $2ne \ll \lambda$ pour toutes les couleurs, les deux réflexions sont en opposition de phase et s’annulent : noir.

16. $\sin r = \sin60^\circ/1.45$ , $r = 37{}^{\circ}$ , $\cos r = 0.80$ : $2ne\cos r = 1390\,\mathrm{nm}$ , brillant en $928$ , $557$ , $398\,\mathrm{nm}$ : le rouge de la question 12 a viré au vert-jaune — vers le bleu.

17. Lorsque $2ne$ dépasse $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , c’est-à-dire au-delà de $0.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’huile environ, les ordres se recouvrent et les couleurs virent au gris.

18. Les deux rayons réfléchis par la lame se rejoignent sur la lame quelle que soit la direction de la source : les franges y sont localisées et une source large et multidirectionnelle ne fait qu’ajouter des motifs identiques.

19. $\ell_c/\lambda$ : $34\,000$ avec le sodium, $1.7 \times 10^7$ avec le laser.

20. $b < \lambda d/4a$ : $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ pour les miroirs, $59\,\text{µ}\mathrm{m}$ pour les fentes.

21. Tracer deux points sources : pour chacun, les deux rayons réfléchis se recombinent au même point de la lame, avec le même $\delta = 2ne\cos r$ sous incidence quasi normale ; le motif de la lame ne bouge pas, celui d’Young si.

22. $\lambda/\Delta\lambda = 589/0.02 \approx 30\,000$ .

23. $550/30 \approx 18$ franges.

24. La lumière cohérente diffusée par les grains de l’écran interfère avec des phases aléatoires à l’œil : c’est le tavelage.

25. Miroirs : division du front d’onde, franges partout (non localisées), nombre limité par $\ell_c/\lambda$ , une source large les brouille. Lame : division d’amplitude, franges sur la lame, couleurs limitées par $\ell_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , une source large est sans effet.