Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

20L’interféromètre de Michelson

En 1887 Michelson et Morley divisèrent un faisceau de lumière en deux, envoyèrent les moitiés le long de bras perpendiculaires, les recombinèrent et guettèrent dans les franges le décalage que le mouvement de la Terre dans l’éther devait produire : rien ne bougea, et la physique changea. En 2015 le même instrument — deux bras, longs désormais de quatre kilomètres et repliés d’un facteur mille — a enregistré une onde gravitationnelle qui changeait leur longueur d’un millième de diamètre de proton. Entre ces deux dates l’interféromètre de Michelson a mesuré le mètre en longueurs d’onde, résolu des raies spectrales et est devenu l’outil de référence de l’optique de précision. Ce chapitre le décrit dans ses deux configurations — le coin d’air et la lame à faces parallèles — et montre comment ses franges mesurent longueurs, indices et spectres.

20.1 L’instrument

Définition 20.1 (L’interféromètre de Michelson)

Une séparatrice $Sp$ — une lame de verre à face semi-réfléchissante — inclinée à $45{}^{\circ}$ divise un faisceau incident en deux : l’un va au miroir $M_1$ , l’autre à $M_2$ , tous deux perpendiculaires à leur faisceau ; après réflexion chacun revient sur $Sp$ , qui en envoie la moitié vers l’observateur, où les deux moitiés interfèrent. Une compensatrice $C$ , identique à la séparatrice et parallèle à elle, est placée dans le bras qui, sinon, ne traverserait qu’une fois le verre de la séparatrice, afin que les deux faisceaux traversent la même épaisseur de verre : la différence de marche est alors une pure différence de trajets dans l’air, la même pour toutes les longueurs d’onde — ce qu’exigent les franges en lumière blanche. Les distances des miroirs à $Sp$ valent $d_1$ et $d_2$ ; un miroir est monté sur une vis micrométrique et sur des vis de réglage d’inclinaison.

Proposition 20.2 (Montage équivalent)

Vu de l’observateur, l’interféromètre équivaut au miroir $M_2$ et à l’image $M_1'$ de $M_1$ dans la séparatrice : une mince couche d’air entre deux surfaces réfléchissantes, d’épaisseur $e = |d_1 - d_2|$ , dont les deux réflexions interfèrent (division d’amplitude) :

$M_1' \parallel M_2$ : une lame d’air d’épaisseur $e$ — anneaux d’égale inclinaison, localisés à l’infini, $\delta = 2e\cos i$ ;
$M_1'$ légèrement incliné de $\alpha$ par rapport à $M_2$ : un coin d’air — franges rectilignes d’égale épaisseur, localisées sur les miroirs (près du coin), $\delta = 2\alpha x$ sous incidence normale, d’interfrange $\lambda/2\alpha$ .

Au contact ( $e = 0$ , $\alpha = 0$ ) le champ est uniforme, et pour la lumière blanche c’est le seul endroit où les couleurs s’accordent : la « frange blanche ».

Démonstration. En rabattant le bras de $M_1$ sur celui de $M_2$ par réflexion dans $Sp$ on ramène les deux faisceaux sur une même ligne avec deux miroirs distants de $e$ ; les deux ondes de retour sont celles que réfléchissent les deux faces de la lame d’air (sans $\lambda/2$ supplémentaire : toutes deux se réfléchissent sur du métal, et la séparatrice les traite symétriquement, à une phase constante près qui décale le motif entier). Les résultats sur les lames minces du Chapitre 19 s’appliquent alors avec $n = 1$ . ∎

À gauche : l’interféromètre de Michelson — séparatrice, compensatrice, deux miroirs, un faisceau recombiné vers l’observateur. À droite : la lame d’air équivalente entre M_2 et l’image M_1' de M_1, parallèle (anneaux) ou inclinée (franges rectilignes). — À gauche : l’interféromètre de Michelson — séparatrice, compensatrice, deux miroirs, un faisceau recombiné vers l’observateur. À droite : la lame d’air équivalente entre $M_2$ et l’image $M_1'$ de $M_1$ , parallèle (anneaux) ou inclinée (franges rectilignes).

20.2 Les deux systèmes de franges

Proposition 20.3 (Anneaux de la lame d’air)

Avec $M_1' \parallel M_2$ et une source étendue, l’observateur (ou une lentille de distance focale $f$ et un écran dans son plan focal) voit des anneaux concentriques ; l’anneau vu sous l’angle $i$ a pour ordre $p = 2e\cos i/\lambda$ ; les anneaux sont brillants quand $p$ est entier. Le centre a l’ordre le plus élevé, $p_0 = 2e/\lambda$ ; près de lui, $\cos i \approx 1 - i^2/2$ , de sorte que le $k$ -ième anneau brillant depuis le centre (compté à partir du premier, situé $\varepsilon = p_0 - \lfloor p_0\rfloor$ sous l’ordre du centre) a pour rayon

r_k = f\,i_k = f\sqrt{\frac{(k - 1 + \varepsilon)\lambda}e} :

des anneaux d’autant plus serrés que $e$ est grand (plus nombreux et plus fins), s’élargissant quand $e \to 0$ jusqu’à donner, au contact, un champ uniforme. Déplacer un miroir de $\lambda/2$ change $p_0$ d’une unité : un anneau naît au centre (ou y est englouti) à chaque demi-longueur d’onde de déplacement.

Démonstration. $\delta = 2e\cos i$ pour la lame à faces parallèles (Chapitre 19, $n = 1$ , sans $\lambda/2$ supplémentaire pour deux réflexions métalliques) ; $2e(1 - i^2/2) = (p_0 - k + 1 - \varepsilon)\lambda$ avec $2e = p_0\lambda$ donne $ei^2 = (k - 1 + \varepsilon)\lambda$ . ∎

Proposition 20.4 (Franges du coin d’air)

Avec $M_1'$ incliné d’un petit angle $\alpha$ et sous incidence quasi normale, la différence de marche au point des miroirs situé à la distance $x$ de l’arête de contact vaut $\delta = 2\alpha x$ : des franges rectilignes parallèles à cette arête, espacées de $\lambda/2\alpha$ , localisées sur les miroirs (on les observe en faisant la mise au point sur $M_2$ , ou en les projetant sur un écran avec une lentille conjuguant $M_2$ et l’écran). La frange d’ordre zéro est sur l’arête de contact, la même pour toutes les longueurs d’onde : en lumière blanche elle est blanche (ou noire, selon les phases de la séparatrice), flanquée de quelques franges colorées — la signature qui permet de trouver le contact.

Démonstration. Franges d’égale épaisseur d’un coin d’air, $e(x) = \alpha x$ . Localisation : pour une source étendue, les rayons qui passent par un point donné du coin s’y recombinent, avec le même $\delta$ sous incidence quasi normale. ∎

Les deux systèmes de franges du Michelson, et le contraste des franges du doublet du sodium en fonction de l’épaisseur de la lame : il s’annule tous les 0.29\, mm (la première fois à 0.145\, mm), lorsque les franges des deux raies sont en opposition. — Les deux systèmes de franges du Michelson, et le contraste des franges du doublet du sodium en fonction de l’épaisseur de la lame : il s’annule tous les $0.29\,\mathrm{mm}$ (la première fois à $0.145\,\mathrm{mm}$ ), lorsque les franges des deux raies sont en opposition.

20.3 Mesurer avec le Michelson

Proposition 20.5 (Longueurs, indices, spectres)

Compter $N$ franges défilant au centre pendant qu’un miroir se déplace de $\Delta e$ donne $\Delta e = N\lambda/2$ : des longueurs en longueurs d’onde (une vis micrométrique graduée au $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; le mètre lui-même a été ainsi mesuré). Une lame transparente d’épaisseur $\ell$ et d’indice $n$ insérée dans un bras ajoute $2(n - 1)\ell$ à $\delta$ et décale le motif de $2(n - 1)\ell/\lambda$ franges : des indices (et leurs variations avec la pression ou la température, dans une cuve à gaz). Avec un doublet de longueurs d’onde $\lambda$ et $\lambda + \Delta\lambda$ , les deux systèmes de franges se déphasent puis se rephasent à mesure que $e$ croît, le contraste s’annulant tous les

\Delta e = \frac{\lambda^2}{2\Delta\lambda} :

c’est la mesure de l’écart de deux raies voisines. Plus généralement le contraste en fonction de $e$ dessine le spectre de la source (le contraste décroît sur $e \sim \ell_c/2$ ) : enregistrer l’intensité au centre pendant que $e$ balaie, c’est la spectroscopie par transformée de Fourier, la méthode des spectromètres infrarouges.

Démonstration. L’ordre au centre vaut $2e/\lambda$ ; chaque raie a le sien. Les deux systèmes coïncident de nouveau quand $2e/\lambda - 2e/(\lambda + \Delta\lambda) = 1$ , soit $2e\Delta\lambda /\lambda^2 = 1$ ; ils sont en opposition à mi-chemin. L’énoncé général est la formule de contraste de l’Exercice 18.10. ∎

Exemple 20.6 (Le sodium, et le mètre)

Le doublet du sodium ( $\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm}$ à $589\,\mathrm{nm}$ ) : les anneaux se brouillent et se rétablissent tous les $\Delta e = 589^2/(2 \times 0.6)$ nm $= 0.29\,\mathrm{mm}$ — une mesure classique de $\Delta\lambda$ à quelques pour cent avec une vis. Michelson (1892) compta les franges de la raie rouge du cadmium sur la longueur du mètre étalon : $1\,553\,163.5$ longueurs d’onde, le premier lien entre le mètre et un atome ; aujourd’hui le mètre est défini par $c$ et la seconde, et des interféromètres contrôlent les cales étalons en production au nanomètre.

L’intensité au centre des anneaux à mesure que l’épaisseur de la lame croît, pour une source de longueur de cohérence finie : les franges s’effacent sur e _c/2 ; l’enveloppe est la transformée de Fourier du spectre. — L’intensité au centre des anneaux à mesure que l’épaisseur de la lame croît, pour une source de longueur de cohérence finie : les franges s’effacent sur $e \sim \ell_c/2$ ; l’enveloppe est la transformée de Fourier du spectre.

Remarque 20.7 (Les bras qui ne mesurèrent rien, et ceux qui mesurèrent une onde)

Michelson et Morley s’attendaient à ce que la vitesse $v$ de la Terre dans l’éther change le temps d’aller-retour du bras parallèle à celle-ci de $(L/c)(v/c)^2$ par rapport au bras perpendiculaire, soit un décalage de $2L(v/c)^2/\lambda \approx 0.4$ frange pour $L = 11\,\mathrm{m}$ et $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; faire tourner l’appareil devait faire basculer le motif d’autant. Ils savaient voir $0.01$ frange ; ils ne virent rien. Les détecteurs d’ondes gravitationnelles d’aujourd’hui sont des Michelson aux bras de $4\,\mathrm{km}$ , où la lumière rebondit quelque trois cents fois dans chacun, avec un laser assez stable pour lire un changement de longueur de bras $\Delta L/L \sim 10^{-21}$ — $10^{-18}$ m, un millième de proton — contre le bruit sismique et celui des photons eux-mêmes.

Méthode 20.8 (Utiliser un Michelson)

(1) Repérer la configuration : lame à faces parallèles (anneaux à l’infini ; observer avec une lentille ou l’œil réglé à l’infini) ou coin (franges sur les miroirs ; mise au point sur $M_2$ ). (2) Écrire $\delta = 2e\cos i$ ou $2\alpha x$ et l’ordre. (3) Traduire chaque mesure en franges : $\Delta e = N\lambda/2$ , $2(n - 1)\ell$ pour une lame, $\lambda^2/2\Delta\lambda$ pour un doublet. (4) Utiliser la position de contact ( $e = 0$ , frange blanche) comme référence absolue ; noter que le rayon des anneaux diminue quand $e$ croît. (5) Limites de cohérence : les anneaux sont visibles tant que $2e < \ell_c$ ; le coin exige une incidence quasi normale.

20.4 Exercices

Exercice 20.1 ★

Un Michelson en lumière de sodium ( $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ ) : on déplace le miroir de $0.10\,\mathrm{mm}$ : nombre d’anneaux défilant au centre ; déplacement correspondant à $250$ franges ; précision sur $e$ si l’on sait lire un dixième de frange.

Solution

Solution de Exercice 20.1.

$N = 2\Delta e/\lambda = 340$ ; $250$ franges : $\Delta e = 125\lambda = 74\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; un dixième de frange vaut $\lambda/20 = 30\,\mathrm{nm}$ .

Exercice 20.2 ★

Lame à faces parallèles d’épaisseur $e = 0.50\,\mathrm{mm}$ , lentille $f = 1.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ : ordre au centre ; le centre est-il brillant ? Rayons des trois premiers anneaux brillants ; qu’advient-il des anneaux quand on réduit $e$ à $0.05\,\mathrm{mm}$ ?

Solution

Solution de Exercice 20.2.

$p_0 = 2e/\lambda = 1697.8$ : pas entier, le centre n’est pas brillant ( $\varepsilon = 0.8$ ). $r_k = f\sqrt{(k - 1 + \varepsilon)\lambda/e}$ : $3.1$ , $4.6$ , $5.7\,\mathrm{cm}$ . À $0.05\,\mathrm{mm}$ les rayons croissent de $\sqrt{10}$ : peu d’anneaux, larges.

Exercice 20.3 ★

Coin d’air d’angle $\alpha = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : interfrange ; nombre de franges sur $2\,\mathrm{cm}$ de miroir ; on double l’angle du coin : qu’arrive-t-il ? Comment trouve-t-on le contact avec de la lumière blanche ?

Solution

Solution de Exercice 20.3.

$\lambda/2\alpha = 3.2\,\mathrm{mm}$ ; six franges sur $2\,\mathrm{cm}$ ; doubler $\alpha$ divise l’interfrange par deux. Contact : translater le miroir jusqu’à voir apparaître les franges en lumière blanche (une blanche flanquée de colorées) — elles n’existent qu’à moins d’un micromètre de $\delta = 0$ .

Exercice 20.4 ★

Une lame de verre de $0.10\,\mathrm{mm}$ d’épaisseur est insérée dans un bras : décalage des franges pour $n = 1.52$ à $589\,\mathrm{nm}$ ; le décalage est mesuré à $0.2$ frange près : précision sur $n$ . Pourquoi la même mesure serait-elle impossible en lumière blanche si la lame faisait $1\,\mathrm{cm}$ ?

Solution

Solution de Exercice 20.4.

$2(n - 1)e/\lambda = 177$ franges ; $0.2$ frange donne $\Delta n = 0.2\lambda/2e = 6 \times 10^{-4}\,$ . Un centimètre de verre ajoute des millimètres de chemin dispersif : les couleurs ne s’accordent plus nulle part, plus de frange blanche.

Exercice 20.5 ★★

Doublet du sodium. (a) Épaisseur $e$ entre deux disparitions successives des anneaux, pour $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$ . (b) Un étudiant mesure $17$ disparitions sur $5.00\,\mathrm{mm}$ : $\Delta\lambda$ et sa précision. (c) Ordres des deux raies en $e = 0.29\,\mathrm{mm}$ : vérifier qu’ils diffèrent de $\tfrac12$ . (d) Pourquoi le contraste n’est-il jamais exactement nul (les deux raies ont des intensités dans le rapport $2 : 1$ ) : contraste minimal.

Solution

Solution de Exercice 20.5.

(a) $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$ . (b) $5.00/17 = 0.294\,\mathrm{mm}$ : $\Delta\lambda = \lambda^2/2\Delta e = 0.590\,\mathrm{nm}$ ; à $0.1\%$ : $\pm0.0006\,\mathrm{nm}$ . (c) En $e = 0.145\,\mathrm{mm}$ (la première disparition) : $p_1 = 492.4$ , $p_2 = 491.9$ — un demi-ordre d’écart ; à $0.29\,\mathrm{mm}$ ils diffèrent d’un ordre. (d) Les franges de la raie faible subsistent : $V_{\min} = (I_1 - I_2)/(I_1 + I_2) = 1/3$ .

Exercice 20.6 ★★

Indice de l’air. Une cuve de $10.0\,\mathrm{cm}$ placée dans un bras est vidée, puis lentement remplie d’air à $1\,\mathrm{bar}$ ; $94$ franges défilent ( $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ ). (a) $n - 1$ pour l’air. (b) Franges défilant pour une variation de $1\,\%$ de pression ; coefficient de température si $n - 1 \propto \rho$ . (c) Pourquoi cela importe-t-il pour la stabilité de tout interféromètre dans l’air ? (d) Précision sur $n - 1$ à partir d’un dixième de frange.

Solution

Solution de Exercice 20.6.

(a) $2(n - 1)\ell = 94\lambda$ : $n - 1 = 2.77 \times 10^{-4}\,$ . (b) $0.94$ frange par pour cent ; $\dd(n - 1)/\dd T = -(n - 1)/T = -9.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{K}^{-1}$ . (c) Quelques millibars ou un degré dans un bras déplacent les franges : d’où le vide ou l’égalité des bras. (d) $0.1/94$ : $\pm3 \times 10^{-7}\,$ .

Exercice 20.7 ★★

Longueur de cohérence. Avec une lampe à vapeur de mercure basse pression (raie verte, $546\,\mathrm{nm}$ , de largeur $0.01\,\mathrm{nm}$ ) les anneaux s’effacent quand $e$ croît. (a) Longueur de cohérence ; épaisseur $e$ à laquelle le contraste devient négligeable. (b) Idem avec une lampe haute pression ( $\Delta\lambda = 1\,\mathrm{nm}$ ). (c) Avec un laser He–Ne ( $\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$ ) : peut-on encore voir des anneaux avec $e = 10\,\mathrm{m}$ ? (d) Qu’est-ce qui limite les franges en lumière blanche à $\pm2$ ordres autour du contact ?

Solution

Solution de Exercice 20.7.

(a) $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 3\,\mathrm{cm}$ : les anneaux s’effacent au-delà de $e \approx 1.5\,\mathrm{cm}$ . (b) $0.3\,\mathrm{mm}$ , $e \approx 0.15\,\mathrm{mm}$ . (c) $\ell_c = 300\,\mathrm{m}$ : oui. (d) $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2e < 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , deux ordres environ.

Exercice 20.8 ★★

Compensatrice. Sans $C$ , un faisceau traverse trois fois le verre de la séparatrice ( $e_g = 5\,\mathrm{mm}$ , $n = 1.52$ ) et l’autre une fois. (a) Chemin optique supplémentaire ; peut-on le compenser en déplaçant un miroir pour une lumière monochromatique ? (b) Pourquoi pas en lumière blanche (dispersion : $n$ varie de $0.01$ sur le visible) ? (c) Quelle tolérance sur le parallélisme de $C$ et $Sp$ conserve la frange blanche (prendre une différence résiduelle d’épaisseur $< 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) ? (d) Les séparatrices modernes sont des pellicules minces ou des cubes : pourquoi $C$ devient-elle alors inutile ?

Solution

Solution de Exercice 20.8.

(a) $2(n - 1)e_g = 5.2\,\mathrm{mm}$ ; oui, par $2.6\,\mathrm{mm}$ de course du miroir. (b) Le chemin dans le verre varie avec $\lambda$ de $2e_g\Delta n = 100\,\text{µ}\mathrm{m} \gg \ell_c$ : aucun zéro indépendant de la longueur d’onde. (c) $2(n - 1)\Delta e_g < 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $\Delta e_g < 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ — une inclinaison relative inférieure à $1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ sur $2\,\mathrm{cm}$ . (d) Une pellicule fait quelques micromètres ; un cube est symétrique : les deux faisceaux voient le même verre.

Exercice 20.9 ★★

Michelson–Morley. Bras de $L = 11\,\mathrm{m}$ (repliés), $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ , vitesse orbitale de la Terre $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (a) Dans la théorie de l’éther l’aller-retour du bras parallèle à $\vect v$ dure $2L/c(1 - v^2/c^2)$ et celui du bras perpendiculaire $2L/c\sqrt{1 - v^2/c^2}$ : différence, au plus bas ordre. (b) Décalage des franges attendu en tournant l’appareil de $90{}^{\circ}$ (les rôles des bras s’échangent). (c) Ils savaient détecter $0.01$ frange : borne supérieure sur $v$ . (d) Que dit un résultat nul, et qu’en conclut Einstein ?

Solution

Solution de Exercice 20.9.

(a) $\Delta t \approx Lv^2/c^3 = 4.1 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$ , soit un chemin de $1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) L’échange des bras le double : $2Lv^2/c^2\lambda = 0.4$ frange. (c) $v < 30\sqrt{0.01/0.4} = 4.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (d) Aucun mouvement dans un éther n’est décelé ; la vitesse de la lumière est la même dans les deux bras — c’est le postulat de la relativité.

Exercice 20.10 ★★★

Spectroscopie de Fourier. L’intensité au centre des anneaux vaut $I(e) = \int S(\nu)[1 + \cos(4\pi\nu e/c)]\dd\nu$ pour une source de spectre $S(\nu)$ . (a) Pour une raie unique : $I(e)$ ; période en $e$ . (b) Pour une raie gaussienne de largeur $\Delta\nu$ : montrer que les franges ont une enveloppe gaussienne de largeur $\sim c/2\Delta\nu$ en $e$ (admettre que la transformée de Fourier d’une gaussienne est une gaussienne). (c) Résolution : deux raies distantes de $\Delta\nu$ sont séparées si le balayage atteint $e_{\max} \approx c/2\Delta\nu$ ; pour $e_{\max} = 10\,\mathrm{cm}$ , le pouvoir de résolution $\lambda/\Delta\lambda$ à $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Pourquoi cette méthode est-elle préférée dans l’infrarouge (signal, avantage « multiplex ») ?

Solution

Solution de Exercice 20.10.

(a) $I = S_0[1 + \cos(4\pi\nu_0e/c)]$ , de période $\lambda/2$ en $e$ . (b) Chaque fréquence donne une frange de période légèrement différente ; une bande gaussienne de largeur $\Delta\nu$ se somme en franges à enveloppe gaussienne de largeur $\sim c/2\Delta\nu$ . (c) $R = \nu/\Delta\nu = 2e_{\max}/\lambda = 2 \times 10^5$ . (d) Toutes les longueurs d’onde tombent sur un seul détecteur à la fois (Fellgett) à travers une large ouverture (Jacquinot) : bien plus de signal qu’un spectromètre à fente dans l’infrarouge, pauvre en photons.

Exercice 20.11 ★★★

Détecteur d’ondes gravitationnelles. Bras $L = 4\,\mathrm{km}$ , lumière recyclée sur $N = 300$ aller-retours, $\lambda = 1064\,\mathrm{nm}$ , l’onde change les bras de $\Delta L/L = 10^{-21}$ en sens opposés. (a) Variation de la différence de marche ; déphasage. (b) L’instrument est maintenu sur une frange sombre et mesure la faible intensité $I = I_0\sin^2(\Delta\varphi/2)$ : variation d’intensité due au signal. (c) Avec $100\,\mathrm{W}$ de lumière en circulation à $1064\,\mathrm{nm}$ , photons par seconde ; le bruit de photons en $1\,\mathrm{ms}$ ( $\sqrt N$ ) comparé au signal : est-il détectable ? Qu’apporte plus de puissance ? (d) Pourquoi les bras font-ils des kilomètres, et pourquoi les miroirs sont-ils suspendus ?

Solution

Solution de Exercice 20.11.

(a) Le chemin de chaque bras change de $2N\Delta L$ , en sens opposés : $\Delta\delta = 4N\Delta L = 4.8 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ , $\Delta\varphi = 2\pi\Delta\delta/\lambda = 2.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$ . (b) Près d’une frange sombre le détecteur voit une intensité proportionnelle à $\Delta\varphi^2$ — ou, avec un léger décalage, à $\Delta\varphi$ : une variation relative de l’ordre de $10^{-8}$ . (c) $5 \times 10^{20}$ photons par seconde, $5 \times 10^{17}$ par milliseconde, bruit relatif $1.4 \times 10^{-9}$ : le signal vaut vingt fois le bruit ; plus de puissance abaisse le bruit en $1/\sqrt P$ . (d) $\Delta L \propto L$ ; les suspensions pendulaires filtrent le mouvement du sol au-dessus de leur résonance.

Exercice 20.12 ★★★

Localisation. (a) Montrer que pour le coin les deux rayons issus d’un point $P$ de $M_2$ pour un observateur à l’infini (incidence $i$ ) ont la différence de marche $2e(P)\cos i$ plus un terme $\propto\alpha i$ qui s’annule pour $i = 0$ : les franges ne sont sur les miroirs que sous incidence normale. (b) Une source étendue éclaire le coin avec des incidences allant jusqu’à $i_{\max}$ : que doit vérifier $i_{\max}$ pour que les franges restent nettes ( $2e\,i_{\max}^2/2 < \lambda/4$ au bord du champ, $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) ? (c) Pour la lame à faces parallèles les anneaux ne bougent pas quand l’œil se déplace : pourquoi ? (d) Une étudiante voit des franges qui dérivent quand elle bouge la tête : dans quelle configuration est-elle, et que doit-elle régler ?

Solution

Solution de Exercice 20.12.

(a) Pour un point $P$ à la profondeur $e(P)$ sous l’incidence $i$ , $\delta = 2e(P)\cos i$ plus un terme $\propto\alpha i$ dû à la seconde réflexion inclinée, qui s’annule sous incidence normale : c’est là seulement que les deux rayons issus de $P$ atteignent l’œil — localisation sur les miroirs. (b) $ei^2 < \lambda/4$ : $i_{\max} < \sqrt{\lambda/4e} = 0.09\,\mathrm{rad}$ . (c) Les anneaux ne dépendent que de $i$ : toute position de l’œil voit le même motif angulaire. (d) Le coin observé hors des miroirs ; faire la mise au point sur $M_2$ ou réduire l’inclinaison.

Un interféromètre de Michelson sur un banc d’enseignement : laser, cube séparateur, deux miroirs, et sur l’écran les anneaux d’égale inclinaison de la lame d’air.

L’interféromètre LIGO de Hanford : un interféromètre de Michelson aux bras longs de quatre kilomètres, qui a enregistré en 2015 une variation de longueur de bras d’un millième de diamètre de proton — le passage d’une onde gravitationnelle (LIGO Laboratory).

20.5 Problème : le doublet du sodium et l’indice de l’air

Problème 20.1

Problème du week-end — une séance complète de mesures sur un interféromètre de Michelson : trouver le contact, lire des longueurs, séparer la raie jaune, peser l’air

L’interféromètre possède une vis micrométrique qui se lit au $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; la lampe au sodium donne $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ et $\lambda_2 = 589.6\,\mathrm{nm}$ avec des intensités $2 : 1$ ; on dispose aussi d’une lampe blanche et d’un laser He–Ne ( $632.8\,\mathrm{nm}$ ).

Partie I — La mise en route.

Avec le laser, l’étudiante voit sur un carton deux taches issues des deux bras ; elle les superpose avec les vis d’inclinaison puis voit des franges rectilignes : de quelle configuration s’agit-il, et que dit leur interfrange de l’inclinaison résiduelle (interfrange $2\,\mathrm{mm}$ ) ?
En tournant les vis d’inclinaison, les franges se courbent puis deviennent des anneaux : pourquoi des anneaux apparaissent-ils, et où est $M_1'$ désormais ?
Elle translate le miroir et compte $158$ anneaux engloutis par le centre : déplacement ; dans quel sens $e$ varie-t-il ?
En poursuivant, les anneaux s’élargissent et la tache centrale grandit jusqu’à remplir le champ : qu’a-t-elle atteint ? La lampe au sodium remplace le laser et elle ne voit rien de particulier : pourquoi, et pourquoi la lumière blanche montre-t-elle en ce point une frange centrale brillante flanquée de franges colorées ?
Elle incline très légèrement $M_1$ au contact et voit, en lumière blanche, des franges rectilignes colorées : expliquer, et dire combien elle peut en attendre de chaque côté de la blanche.
Les taches du laser font $10\,\mathrm{mm}$ de large et elle veut dix anneaux dans le champ d’une lentille de $f = 20\,\mathrm{cm}$ ( $\lambda = 632.8\,\mathrm{nm}$ ) : épaisseur $e$ nécessaire (utiliser le rayon du $k$ -ième anneau).
Pourquoi la compensatrice doit-elle être parallèle à la séparatrice, et que verrait-elle en lumière blanche si on l’ôtait ?

Partie II — Le doublet.

Partant du contact avec la lampe au sodium, elle augmente $e$ : le contraste des anneaux baisse, s’annule, revient. Épaisseur de la première disparition ; de la $n$ -ième.
Elle relève $12$ disparitions entre $e = 0.15\,\mathrm{mm}$ et $e = 3.35\,\mathrm{mm}$ (la première et la dernière lues sur la vis) : $\Delta\lambda$ ; précision si chaque lecture est bonne à $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ .
Ordres $p_1$ et $p_2$ des deux raies à la première disparition ; au premier retour du contraste maximal.
Contraste minimal à une disparition, compte tenu du rapport d’intensités $2 : 1$ (les franges de la raie faible subsistent).
Combien de disparitions peut-elle compter avant que la largeur naturelle des raies ( $0.02\,\mathrm{nm}$ chacune) ne brouille tout ?
Que montrerait une lampe à trois raies également espacées ?

Partie III — L’air. Une cuve de longueur $\ell = 5.00\,\mathrm{cm}$ à fenêtres de verre est placée dans un bras et mise sous vide ; on y laisse entrer lentement de l’air pendant qu’on compte les franges du laser.

Différence de marche créée par le remplissage de la cuve à $1\,\mathrm{atm}$ si $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}\,$ ; nombre de franges.
Elle compte $46$ franges : sa valeur de $n - 1$ .
Elle ne laisse entrer que $0.20\,\mathrm{bar}$ : franges attendues ( $n - 1 \propto$ pression).
La pièce se réchauffe de $3\,\mathrm{K}$ pendant la mesure, et les $40\,\mathrm{cm}$ de trajet à l’air libre de chaque bras changent d’indice de $-1 \times 10^{-6}\,$ par kelvin : dérive des franges ; est-ce gênant pour la partie II, pour la partie III ?
Pourquoi les fenêtres de la cuve ne faussent-elles pas la mesure (elles sont présentes pendant tout le comptage) ?
L’expérience est reprise avec du CO $_2$ ( $n - 1 = 4.5 \times 10^{-4}\,$ ) : franges pour une cuve pleine ; comment identifier le gaz à partir du seul comptage ?

Partie IV — Les limites.

La vis se lit au $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : précision d’une longueur mesurée par comptage de franges sur $1\,\mathrm{cm}$ , comparée à celle de la vis seule.
Une vibration d’amplitude $50\,\mathrm{nm}$ à $100\,\mathrm{Hz}$ secoue un miroir : mouvement des franges ; que voit l’œil, que voit une caméra à $25$ images par seconde ?
La fréquence du laser dérive de $1 \times 10^{-8}\,$ en valeur relative pendant un comptage sur $e = 1\,\mathrm{cm}$ : erreur en franges.
Une cale étalon de $10\,\mathrm{mm}$ est certifiée à $\lambda/20$ par interférométrie : précision absolue et relative.
Pourquoi le Michelson est-il l’instrument de choix pour les longueurs, et le réseau (chapitre suivant) pour les spectres ?
Récapituler les quatre grandeurs mesurées (une longueur, l’écart d’un doublet, un indice, une longueur de cohérence) et l’observation de franges qui a donné chacune.

Solution

Solution de Problème 20.1.

1. Des franges de coin ; $\lambda/2\alpha = 2\,\mathrm{mm}$ : $\alpha = 1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ .

2. $M_1'$ est devenu parallèle à $M_2$ : la lame d’air, dont les franges d’égale inclinaison sont des anneaux.

3. $158\lambda/2 = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; anneaux engloutis au centre : $e$ décroît.

4. Le contact, $e = 0$ . La lumière de sodium n’y montre rien de particulier (une seule longueur d’onde, champ uniforme dans les deux cas) ; la lumière blanche montre l’unique position où toutes les couleurs ont $\delta = 0$ , flanquée de couleurs à mesure que les ordres se séparent.

5. $\delta = 2\alpha x$ : une frange blanche sur l’arête de contact et une ou deux colorées de chaque côté ( $2\alpha x < \ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ).

6. $r_{10} = f\sqrt{10\lambda/e} = 5\,\mathrm{mm}$ : $e = 10\lambda f^2/r^2 = 1.0\,\mathrm{cm}$ .

7. Parallèle, les deux faisceaux traversent la même épaisseur de verre à toute longueur d’onde ; sans $C$ , la dispersion de $5\,\mathrm{mm}$ de verre ne laisse aucun zéro commun : pas de frange blanche.

8. $\lambda^2/4\Delta\lambda = 0.145\,\mathrm{mm}$ ; puis tous les $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$ .

9. $11$ intervalles sur $3.20\,\mathrm{mm}$ : $0.291\,\mathrm{mm}$ , $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$ ; $\pm10\,\text{µ}\mathrm{m}$ sur $3.2\,\mathrm{mm}$ : $\pm0.002\,\mathrm{nm}$ .

10. $492.4$ et $491.9$ (un demi-ordre d’écart) ; au retour, $984.7$ et $983.7$ .

11. $1/3$ .

12. $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 1.7\,\mathrm{cm}$ : $2e < 1.7\,\mathrm{cm}$ , soit environ $29$ .

13. Trois systèmes de franges : contraste maximal tous les $\lambda^2/2\Delta\lambda$ , avec deux creux partiels entre — le motif de trois fentes.

14. $2(n - 1)\ell = 29\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $46$ franges.

15. $n - 1 = 46\lambda/2\ell = 2.91 \times 10^{-4}\,$ .

16. $9.2$ franges.

17. Bras égaux : la dérive est commune aux deux et se compense ; une inégalité de $1\,\mathrm{cm}$ donne $2 \times 0.01 \times 3 \times 10^{-6} = 0.1\,\mathrm{frange}$ — sans conséquence pour les deux parties.

18. Elles sont présentes, inchangées, pendant tout le comptage : un décalage constant.

19. $71$ franges ; le comptage donne $n - 1$ , signature du gaz.

20. $31\,600$ franges sur un centimètre, lues au dixième : $30\,\mathrm{nm}$ , soit $3 \times 10^{-6}$ ; la vis donne le micromètre.

21. $\delta$ oscille de $\pm100\,\mathrm{nm}$ , soit $\pm0.16$ frange à $100\,\mathrm{Hz}$ : l’œil voit un contraste abaissé ; à $25$ images par seconde la caméra échantillonne quatre périodes par image et voit un motif figé ou lentement battant.

22. $10^{-8} \times 31\,600 = 3 \times 10^{-4}$ frange : rien.

23. $\lambda/20 = 32\,\mathrm{nm}$ sur $10\,\mathrm{mm}$ : $3 \times 10^{-6}$ .

24. Il compare directement une longueur à une longueur d’onde, frange par frange ; le réseau étale toutes les longueurs d’onde à la fois sur un large domaine.

25. Longueur : anneaux comptés au centre. Doublet : la perte périodique de contraste. Indice : franges défilant pendant le remplissage de la cuve. Longueur de cohérence : l’épaisseur à laquelle les anneaux s’effacent.

Termes définis dans ce chapitre

L’interféromètre de Michelson

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