Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

26Rayonnement thermique

Tout ce qui est chaud rayonne. Une main, un mur, un verre d’eau à température ambiante rayonnent invisiblement, à des longueurs d’onde voisines de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , quelques centaines de watts par mètre carré ; chauffez un tisonnier et à $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ il rougeoie sourdement, à $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ il est orange, à $2500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — le filament d’une ampoule — blanc ; la surface du Soleil à $5800\,\mathrm{K}$ rayonne d’un blanc jaune, soixante mégawatts par mètre carré, et cette lumière, après huit minutes de voyage, est ce qui maintient la Terre à une température où l’eau est liquide. Le rayonnement est le troisième mode de transfert de chaleur et le seul qui traverse le vide ; c’est aussi le lieu où la physique classique a échoué et où Planck, en 1900, a dû introduire le quantum. Ce chapitre énonce la loi qu’il a trouvée, en tire les deux résultats dont on se sert constamment — le déplacement de Wien et la loi de Stefan–Boltzmann — et les applique aux échanges entre corps, au Soleil et à la Terre, et au modèle à une couche de l’effet de serre qui fixe notre climat.

L’acier à la forge : la couleur de l’incandescence — rouge sombre, orange, jaune, blanc — est un thermomètre, parce que le spectre du rayonnement thermique ne dépend que de la température.

26.1 Rayonnement thermique et corps noir

Définition 26.1 (Rayonnement thermique, absorptivité, corps noir)

Tout corps à la température $T$ émet un rayonnement électromagnétique dû à l’agitation thermique de ses charges : son rayonnement thermique. Sa surface reçoit aussi du rayonnement de son entourage et en absorbe une fraction $\alpha$ (l’absorptivité, entre $0$ et $1$ , dépendant en général de la longueur d’onde), réfléchissant ou transmettant le reste. Un corps noir absorbe tout ( $\alpha = 1$ à toute longueur d’onde). Un petit trou dans la paroi d’une cavité fermée est le corps noir pratique : le rayonnement qui y entre est absorbé par les parois avant d’avoir pu retrouver la sortie.

Proposition 26.2 (Rayonnement d’équilibre et loi de Kirchhoff)

À l’intérieur d’une cavité fermée dont les parois sont à $T$ , le rayonnement est en équilibre avec les parois et est universel : isotrope, non polarisé, de densité spectrale d’énergie $u_\nu(T)$ (énergie par unité de volume et de fréquence) qui ne dépend que de $T$ et de $\nu$ , non du matériau ni de la forme de la cavité. Le rayonnement qui sort d’un petit trou dans une telle cavité est le rayonnement du corps noir à $T$ . Une surface qui absorbe la fraction $\alpha_\nu$ du rayonnement qu’elle reçoit à la fréquence $\nu$ émet, à cette fréquence, la fraction $\varepsilon_\nu = \alpha_\nu$ de ce qu’émettrait un corps noir à la même température (son émissivité) : les bons absorbeurs sont de bons émetteurs.

Démonstration. Universalité : reliez deux cavités à la même $T$ par un trou muni d’un filtre laissant passer une fréquence ; si les densités différaient, l’énergie s’écoulerait de l’une à l’autre à températures égales, en violation du second principe. Kirchhoff : placez la surface dans la cavité à sa propre $T$ ; à l’équilibre elle doit émettre à chaque fréquence exactement ce qu’elle absorbe, $\varepsilon_\nu u_\nu = \alpha_\nu u_\nu$ . ∎

26.2 La loi de Planck

Théorème 26.3 (Loi de Planck)

La densité spectrale d’énergie du rayonnement du corps noir à la température $T$ vaut

u_\nu(T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\,\frac{1}{\eu^{h\nu/k_BT} - 1},

et la puissance rayonnée par une surface noire par unité d’aire et par unité de longueur d’onde (son exitance spectrale) vaut

M_\lambda(T) = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\,\frac{1}{\eu^{hc/\lambda k_BT} - 1}.

Deux limites : pour $h\nu \ll k_BT$ , $u_\nu \approx 8\pi\nu^2 k_BT/c^3$ (Rayleigh–Jeans : chaque mode de la cavité porte l’énergie classique $k_BT$ — une loi dont l’intégrale diverge, la « catastrophe ultraviolette ») ; pour $h\nu \gg k_BT$ , $u_\nu \approx (8\pi h\nu^3/c^3) \eu^{-h\nu/k_BT}$ (Wien : le facteur de Boltzmann d’un photon d’énergie $h\nu$ , Chapitre 29).

Démonstration. Admis : le dénombrement des modes de la cavité ( $8\pi\nu^2/c^3$ par unité de volume et de fréquence, deux polarisations) appartient au volume de troisième année, et l’énergie moyenne d’un mode, $h\nu/(\eu^{h\nu/k_BT} - 1)$ au lieu du $k_BT$ classique, est l’hypothèse quantique : l’énergie est échangée avec le mode par quanta $h\nu$ , de sorte que les modes à $h\nu \gg k_BT$ sont gelés. La relation $M_\lambda\,\dd\lambda = (c/4)\,u_\nu\,\dd\nu$ est le facteur géométrique calculé dans le Théorème 26.5. ∎

Le spectre de Planck à trois températures : le maximum se déplace vers les courtes longueurs d’onde en 1/T (Wien) et l’aire croît en T4 (Stefan). Seule la courbe la plus chaude met une part notable de sa puissance dans la bande visible. — Le spectre de Planck à trois températures : le maximum se déplace vers les courtes longueurs d’onde en $1/T$ (Wien) et l’aire croît en $T^4$ (Stefan). Seule la courbe la plus chaude met une part notable de sa puissance dans la bande visible.

La fonction de Planck et ses deux limites : équipartition classique à basse fréquence, coupure exponentielle de Boltzmann à haute fréquence ; le maximum se situe en x = 2.82 (par unité de fréquence). — La fonction de Planck et ses deux limites : équipartition classique à basse fréquence, coupure exponentielle de Boltzmann à haute fréquence ; le maximum se situe en $x = 2.82$ (par unité de fréquence).

Proposition 26.4 (Loi du déplacement de Wien)

L’exitance spectrale $M_\lambda$ est maximale en

\lambda_{\max}\,T = \frac{hc}{4.965\,k_B} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} .

Un corps à $300\,\mathrm{K}$ rayonne surtout vers $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; le Soleil ( $5800\,\mathrm{K}$ ) vers $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , dans le vert, là où l’œil est le plus sensible — ce n’est pas un hasard.

Démonstration. Avec $x = hc/\lambda k_BT$ , $M_\lambda \propto x^5/(\eu^x - 1)$ ; $\dd/\dd x = 0$ donne $5(\eu^x - 1) = x\eu^x$ , c’est-à-dire $x = 5(1 - \eu^{-x})$ , dont la racine non nulle vaut $x = 4.965$ . ∎

Théorème 26.5 (Loi de Stefan–Boltzmann)

Une surface noire à $T$ rayonne, par unité d’aire, la puissance totale

M = \int_0^\infty M_\lambda\,\dd\lambda = \sigma T^4, \qquad \sigma = \frac{2\pi^5k_B^4}{15h^3c^2} = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4} ;

la densité d’énergie du rayonnement d’équilibre vaut $u = (4\sigma/c)T^4$ et sa pression $P = u/3$ . Une surface grise d’émissivité $\varepsilon$ rayonne $\varepsilon\sigma T^4$ .

Démonstration. Intégrons la densité de Planck : $u = \int u_\nu\,\dd\nu = (8\pi h/c^3)(k_BT/h)^4 \int_0^\infty x^3\,\dd x/(\eu^x - 1)$ et l’intégrale vaut $\pi^4/15$ (admis de l’analyse) : $u = (8\pi^5k_B^4/15h^3c^3)\,T^4$ . La puissance qui sort d’un trou d’aire unité dans la paroi de la cavité vaut $cu/4$ : le rayonnement est isotrope, les photons se dirigeant vers le trou dans l’angle solide $\dd\Omega$ sous l’angle $\theta$ à sa normale portent le flux $c\,u\,(\dd\Omega/4\pi)\cos\theta$ , et $\int\cos\theta\,\dd\Omega/4\pi$ sur l’hémisphère sortant vaut $1/4$ . D’où $M = cu/4 = \sigma T^4$ . La pression, comme pour tout gaz isotrope de particules allant à $c$ , vaut $u/3$ . ∎

Exemple 26.6 (Ordres de grandeur)

À $300\,\mathrm{K}$ : $\sigma T^4 = 460\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — une personne de $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ rayonne $800\,\mathrm{W}$ , mais en reçoit presque autant des murs à $293\,\mathrm{K}$ ; la perte nette, $\sigma A(T^4 - T_0^4) \approx 100\,\mathrm{W}$ , est toute la production métabolique du corps, d’où le fait qu’on a besoin de vêtements dans une pièce qui semble douce. La surface du Soleil : $\sigma (5800)^4 = 6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , au total $3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ . Le filament d’une ampoule à $2800\,\mathrm{K}$ : $3.5 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $60\,\mathrm{W}$ pour un demi-centimètre carré de tungstène. Le fond diffus cosmologique, $2.7\,\mathrm{K}$ : maximum à $1\,\mathrm{mm}$ , $3 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , et $400$ photons par centimètre cube d’univers.

26.3 Échanges radiatifs

Proposition 26.7 (Échange net et coefficient radiatif)

Un petit corps gris (émissivité $\varepsilon$ , aire $S$ , température $T$ ) dans un vaste entourage à $T_0$ perd la puissance nette

P = \varepsilon\sigma S\,(T^4 - T_0^4) \ \approx\ 4\varepsilon\sigma T_0^3\,S\,(T - T_0) = h_{\text{r}}S(T - T_0) \quad\text{pour } |T - T_0| \ll T_0 ,

où $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T_0^3 \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ à température ambiante — comparable à la convection naturelle : dans une pièce, le rayonnement emporte environ la moitié de la chaleur qui quitte un corps ou un radiateur. Entre deux grandes plaques noires parallèles la densité de flux nette vaut $\sigma(T_1^4 - T_2^4)$ ; pour des plaques grises d’émissivités $\varepsilon_1$ , $\varepsilon_2$ elle vaut $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(1/\varepsilon_1 + 1/\varepsilon_2 - 1)$ , et chaque mince écran radiatif intercalé la divise encore — le principe du vase Dewar et de la feuille d’or sur les satellites.

Démonstration. Le corps émet $\varepsilon\sigma T^4$ et absorbe la fraction $\alpha = \varepsilon$ du rayonnement noir $\sigma T_0^4$ qui emplit l’enceinte (Kirchhoff). Linéariser $T^4 - T_0^4 \approx 4T_0^3(T - T_0)$ . Pour les plaques grises, sommer les réflexions multiples (une série géométrique). ∎

Exemple 26.8 (Gelée sous un ciel clair, et la caméra thermique)

Par nuit claire le ciel rayonne comme un corps à environ $250\,\mathrm{K}$ (la haute atmosphère sèche), tandis que l’air près du sol est à $278\,\mathrm{K}$ . Une feuille ou un toit de voiture ( $\varepsilon = 0.95$ ) équilibre sa perte radiative vers le ciel par la convection venue de l’air ( $h = 5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ) : $\varepsilon\sigma(T^4 - 250^4) = h(278 - T)$ donne $T \approx 266\,\mathrm{K}$ — de la gelée à $-7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sur l’herbe alors que le thermomètre indique $+5$ . Un nuage (rayonnant à $275\,\mathrm{K}$ ) relève $T$ à $277\,\mathrm{K}$ : pas de gelée. Une caméra thermique mesure la luminance vers $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ et la convertit en température en supposant $\varepsilon \approx 0.95$ ; un métal poli ( $\varepsilon = 0.1$ ) réfléchit surtout la pièce et apparaît à la température de la pièce quelle que soit la sienne — d’où le ruban noir que les thermographes collent sur les pièces brillantes.

26.4 Le Soleil, la Terre et la serre

Proposition 26.9 (Constante solaire et température effective)

Le Soleil (rayon $R_\odot$ , température de surface $T_\odot$ ) délivre à la distance $d$ la densité de flux $S = \sigma T_\odot^4 (R_\odot/d)^2 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ au-dessus de l’atmosphère terrestre (la constante solaire). Une planète d’albédo $A$ (la fraction réfléchie) absorbe $(1 - A)S\pi R^2$ et, en régime permanent, le rayonne depuis toute sa surface $4\pi R^2$ comme un corps noir à sa température effective

T_{\text{e}} = \Big(\frac{(1 - A)S}{4\sigma}\Big)^{1/4} = 255\,\mathrm{K} \quad\text{pour la Terre } (A = 0.30) .

Démonstration. Conservation de l’énergie : absorbé $=$ émis, la section $\pi R^2$ pour le faisceau intercepté, la sphère entière pour l’émission (jour et nuit, étalés par la rotation et la circulation). ∎

La serre à une couche : la lumière du Soleil traverse l’atmosphère et réchauffe le sol ; l’infrarouge du sol est absorbé par la couche, qui rayonne moitié vers le haut et moitié vers le bas — la surface doit alors rayonner deux fois ce qu’elle reçoit du Soleil.

Proposition 26.10 (Modèle de serre à une couche)

Entourons la planète d’une mince couche d’atmosphère transparente à la lumière du Soleil mais absorbant tout l’infrarouge émis par la surface, et rayonnant comme un corps noir à $T_{\text{a}}$ vers le haut comme vers le bas. En régime permanent,

T_{\text{a}} = T_{\text{e}}, \qquad T_{\text{s}} = 2^{1/4}\,T_{\text{e}} = 303\,\mathrm{K} .

Si la couche n’absorbe que la fraction $\varepsilon$ de l’infrarouge, $T_{\text{s}}^4 = T_{\text{e}}^4/(1 - \varepsilon/2)$ ; les $288\,\mathrm{K}$ observés correspondent à $\varepsilon \approx 0.78$ . La surface est plus chaude que la température effective parce qu’elle reçoit, en plus du Soleil, l’infrarouge que l’atmosphère lui renvoie — l’effet de serre, $33\,\mathrm{K}$ sur Terre, sans lequel les océans seraient gelés.

Démonstration. Bilan de la couche : elle absorbe $\sigma T_{\text{s}}^4$ , émet $2\sigma T_{\text{a}}^4$ . Bilan de la planète vue de l’espace : elle émet $\sigma T_{\text{a}}^4 = (1 - A)S/4 = \sigma T_{\text{e}}^4$ . Bilan de la surface : elle reçoit $(1 - A)S/4 + \sigma T_{\text{a}}^4 = 2\sigma T_{\text{e}}^4$ , elle émet $\sigma T_{\text{s}}^4$ . Pour la couche partielle, remplacer l’infrarouge absorbé et émis par $\varepsilon\sigma T_{\text{s}}^4$ et $\varepsilon\sigma T_{\text{a}}^4$ et laisser la fraction $1 - \varepsilon$ du rayonnement de surface s’échapper directement. ∎

Les spectres du Soleil et de la Terre (chacun normalisé à son maximum) se recouvrent à peine : l’atmosphère peut être transparente à l’un et opaque à l’autre. En grisé : les principales bandes d’absorption infrarouge de la vapeur d’eau et du dioxyde de carbone ; entre elles la fenêtre 8\,–13\, µ m par laquelle la surface rayonne directement vers l’espace. — Les spectres du Soleil et de la Terre (chacun normalisé à son maximum) se recouvrent à peine : l’atmosphère peut être transparente à l’un et opaque à l’autre. En grisé : les principales bandes d’absorption infrarouge de la vapeur d’eau et du dioxyde de carbone ; entre elles la fenêtre $8\,$ – $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ par laquelle la surface rayonne directement vers l’espace.

Remarque 26.11 (Pourquoi la serre est sélective)

La lumière solaire culmine à $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , le rayonnement de la Terre à $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : les deux spectres ne se recouvrent guère, si bien qu’un gaz peut être transparent au premier et absorbant pour le second. L’azote et l’oxygène n’absorbent ni l’un ni l’autre ; la vapeur d’eau, le dioxyde de carbone, le méthane et l’ozone ont des bandes de vibration dans l’infrarouge et sont les gaz à effet de serre. La fenêtre entre $8\,$ et $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ est celle que la caméra thermique regarde, celle à laquelle se rapportent les $250\,\mathrm{K}$ du ciel nocturne, et celle qu’exploitent les peintures à refroidissement radiatif. Le verre d’une vraie serre fait de même (transparent à $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , opaque à $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ), mais surtout il bloque la convection — le nom est un peu injuste.

Méthode 26.12 (Estimations de rayonnement)

(1) $\lambda_{\max} = 2900\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}/T$ dit où se situe le spectre ; (2) $\varepsilon\sigma T^4$ par unité d’aire ; (3) échanges : émis moins absorbé, linéarisé en $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T^3$ près de la température ambiante ; (4) une planète : $(1 - A)S/4 = \sigma T_{\text{e}}^4$ , puis les couches ; (5) comparer à la conduction et à la convection — le rayonnement l’emporte à haute température ( $T^4$ ) et dans le vide ; (6) attention aux émissivités : métaux brillants $0.05\,$ , peintures, peau, eau, sol $\approx 0.9$ – $0.98$ dans l’infrarouge quelle que soit leur couleur visible.

26.5 Exercices

Exercice 26.1 ★

$\lambda_{\max}$ et $\sigma T^4$ pour : le Soleil ( $5800\,\mathrm{K}$ ), un humain ( $310\,\mathrm{K}$ ), le filament d’une ampoule ( $2800\,\mathrm{K}$ ), le fond diffus cosmologique ( $2.73\,\mathrm{K}$ ), l’azote liquide ( $77\,\mathrm{K}$ ), un tisonnier chauffé au rouge ( $900\,\mathrm{K}$ ). Lesquels sont visibles ?

Solution

Solution de Exercice 26.1.

$\lambda_{\max}$ : $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $1.04\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $1.06\,\mathrm{mm}$ , $38\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $\sigma T^4$ : $6.4 \times 10^{7}\,$ , $520\,$ , $3.5 \times 10^{6}\,$ , $3.1 \times 10^{-6}\,$ , $2.0\,$ , $3.7 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Visibles : le Soleil et le filament ; le tisonnier rougeoie sourdement grâce à la queue de courtes longueurs d’onde, un dix-millième de sa puissance.

Exercice 26.2 ★

À partir de $T_\odot = 5772\,\mathrm{K}$ , $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $d = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ : la constante solaire, la luminosité du Soleil, la puissance interceptée par la Terre ( $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ), et la même divisée entre $8 \times 10^9$ personnes. Comparer à la consommation mondiale de puissance ( $2 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ ).

Solution

Solution de Exercice 26.2.

$S = \sigma T_\odot^4(R_\odot/d)^2 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $L = 4\pi d^2S = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ ; $\pi R^2S = 1.7 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$ ; $2 \times 10^{7}\,\mathrm{W}$ par personne — neuf mille fois la consommation mondiale.

Exercice 26.3 ★

Une personne : peau à $306\,\mathrm{K}$ , $\varepsilon = 0.98$ , $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ , dans une pièce à $293\,\mathrm{K}$ . Puissance émise, puissance absorbée, perte nette ; le coefficient radiatif $h_{\text{r}}$ ; comparer aux $100\,\mathrm{W}$ du métabolisme et conclure sur les vêtements et sur une pièce à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aux murs froids.

Solution

Solution de Exercice 26.3.

Émis $830\,\mathrm{W}$ , absorbés $700\,\mathrm{W}$ , net $130\,\mathrm{W}$ ; $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T_0^3 = 5.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ . Plus que le métabolisme : les vêtements le réduisent ; des murs à $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ajoutent quelque $50\,\mathrm{W}$ de perte — on a froid dans de l’air chaud entre des murs froids.

Exercice 26.4 ★

Une ampoule de $60\,\mathrm{W}$ : filament de tungstène à $2800\,\mathrm{K}$ , $\varepsilon = 0.35$ . Aire rayonnante ; longueur d’un fil de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ayant cette aire ; environ $8\%$ de la puissance est visible : puissance lumineuse ; une LED donnant la même lumière avec un rendement de $30\%$ .

Solution

Solution de Exercice 26.4.

$A = P/\varepsilon\sigma T^4 = 49\,\mathrm{mm}^{2}$ ; $\ell = A/\pi d = 31\,\mathrm{cm}$ ; $4.8\,\mathrm{W}$ de lumière ; une LED de $16\,\mathrm{W}$ .

Exercice 26.5 ★★

Les deux limites. (a) Développer le $u_\nu$ de Planck pour $h\nu \ll k_BT$ et identifier l’énergie par mode. (b) Montrer que la loi de Rayleigh–Jeans donne une énergie totale infinie. (c) À $300\,\mathrm{K}$ , la fréquence où $h\nu = k_BT$ ; en conclure que le rayonnement thermique radio et micro-onde est classique. (d) Dans la limite de Wien, interpréter $\eu^{-h\nu/k_BT}$ .

Solution

Solution de Exercice 26.5.

(a) $\eu^x - 1 \approx x$ : $u_\nu = (8\pi\nu^2/c^3)\,k_BT$ — $k_BT$ par mode. (b) $\int\nu^2\dd\nu$ diverge. (c) $\nu = k_BT/h = 6 \times 10^{12}\,\mathrm{Hz}$ ( $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) : les radiofréquences et les micro-ondes à $300\,\mathrm{K}$ sont bien dans le régime classique (le bruit d’une résistance vaut $k_BT$ par unité de bande). (d) La probabilité de trouver le quantum $h\nu$ excité à $T$ : un facteur de Boltzmann.

Exercice 26.6 ★★

Wien. (a) Établir $x = 5(1 - \eu^{-x})$ et le résoudre numériquement à trois chiffres. (b) Valeur de $\lambda_{\max}T$ . (c) Montrer que $u_\nu$ est maximal en $h\nu = 2.82\,k_BT$ , et que cela ne correspond pas à $c/\lambda_{\max}$ : pourquoi ? (d) Température d’une étoile dont le spectre culmine à $290\,\mathrm{nm}$ ; sa couleur à l’œil.

Solution

Solution de Exercice 26.6.

(a) $x = 4.965$ . (b) $hc/4.965k_B = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ . (c) $x^3/(\eu^x - 1)$ est maximal là où $3(1 - \eu^{-x}) = x$ : $2.82$ ; les densités par unité de fréquence et par unité de longueur d’onde sont des fonctions différentes ( $\dd\nu = c\,\dd\lambda/\lambda^2$ ) et culminent en des points différents. (d) $10\,000\,\mathrm{K}$ ; blanc bleuté.

Exercice 26.7 ★★

Stefan. (a) Mener l’intégration de la loi de Planck, sachant que $\int_0^\infty x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$ , et la valeur de $\sigma$ . (b) Justifier le facteur $c/4$ entre la densité et l’exitance. (c) Sachant que $\int_0^\infty x^2\dd x/(\eu^x - 1) = 2.404$ , le nombre de photons par unité de volume à $T$ , et l’énergie moyenne d’un photon en unités de $k_BT$ . (d) Photons par centimètre cube à $300\,\mathrm{K}$ et à $2.73\,\mathrm{K}$ .

Solution

Solution de Exercice 26.7.

(a) $u = (8\pi^5k_B^4/15h^3c^3)T^4$ , $\sigma = cu/4T^4 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4}$ . (b) L’isotropie et la projection en $\cos\theta$ : $\int\cos\theta\,\dd\Omega/4\pi = 1/4$ sur un hémisphère. (c) $n = 8\pi \times 2.404\,(k_BT/hc)^3 = 60.4\,(k_BT/hc)^3$ ; énergie moyenne $(\pi^4/15)/2.404 = 2.70\,k_BT$ . (d) $5 \times 10^8$ et $400$ par centimètre cube.

Exercice 26.8 ★★

Écrans. Deux grandes plaques noires à $T_1$ , $T_2$ . (a) Flux net. (b) On place entre elles une feuille noire mince : sa température et le flux nouveau. (c) $n$ feuilles. (d) Plaques grises d’émissivité $\varepsilon$ : montrer que le flux vaut $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(2/\varepsilon - 1)$ et le calculer pour des surfaces polies ( $\varepsilon = 0.05$ ) à $300\,\mathrm{K}$ et $77\,\mathrm{K}$ — le vase Dewar.

Solution

Solution de Exercice 26.8.

(a) $\sigma(T_1^4 - T_2^4)$ . (b) $T_{\text{s}}^4 = (T_1^4 + T_2^4)/2$ ; moitié moins. (c) $1/(n + 1)$ . (d) En sommant les réflexions, $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(2/\varepsilon - 1)$ ; $\varepsilon = 0.05$ : $460\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/39 = 12\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — un vase de $0.05\,\mathrm{m}^{2}$ perd $0.6\,\mathrm{W}$ , évaporant un quart de kilogramme d’azote par jour.

Exercice 26.9 ★★

Gelée nocturne. Surface $\varepsilon = 0.95$ , ciel à $250\,\mathrm{K}$ , air à $278\,\mathrm{K}$ avec $h = 5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ . (a) Écrire le bilan et le résoudre pour la température de surface. (b) Sous un nuage à $275\,\mathrm{K}$ . (c) Pourquoi le vent empêche-t-il la gelée ? (d) Pourquoi une voiture garée sous un arbre y échappe-t-elle ?

Solution

Solution de Exercice 26.9.

(a) $\varepsilon\sigma(T^4 - 250^4) = h(278 - T)$ : $T \approx 266\,\mathrm{K}$ . (b) $277\,\mathrm{K}$ . (c) Un $h$ plus grand fixe la surface à l’air. (d) Le feuillage à $278\,\mathrm{K}$ remplace le ciel à $250\,\mathrm{K}$ .

Exercice 26.10 ★★★

Planètes. (a) Températures effectives de Vénus ( $S = 2600\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $A = 0.75$ ), de la Terre, de Mars ( $S = 590\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $A = 0.25$ ). (b) Leurs températures de surface valent $737\,\mathrm{K}$ , $288\,\mathrm{K}$ , $215\,\mathrm{K}$ : réchauffement de serre de chacune. (c) Dans le modèle à $n$ couches opaques, montrer $T_{\text{s}}^4 = (n + 1)T_{\text{e}}^4$ ; combien de couches pour Vénus ? (d) La Lune : $A = 0.12$ , pas d’atmosphère, rotation lente — température du point subsolaire, et pourquoi la face nocturne tombe à $100\,\mathrm{K}$ .

Solution

Solution de Exercice 26.10.

(a) $231\,\mathrm{K}$ , $255\,\mathrm{K}$ , $210\,\mathrm{K}$ . (b) $506\,\mathrm{K}$ , $33\,\mathrm{K}$ , $5\,\mathrm{K}$ . (c) Chaque couche opaque rayonne vers le haut et vers le bas ; les bilans donnent $T_k^4 = (k + 1)T_{\text{e}}^4$ depuis le sommet : $n \approx 100$ pour Vénus. (d) $((1 - A)S/\sigma)^{1/4} = 381\,\mathrm{K}$ ; sans atmosphère rien ne porte la chaleur vers la face nocturne, et le régolithe emmagasine peu : la surface rayonne la chaleur de sa journée en un jour environ et se stabilise vers $100\,\mathrm{K}$ .

Exercice 26.11 ★★★

Sensibilité climatique sans rétroactions. (a) Linéariser le bilan planétaire : un petit forçage supplémentaire $\Delta F$ (en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) au sommet de l’atmosphère élève la température effective de $\Delta T = \Delta F/4\sigma T_{\text{e}}^3$ . Calculer $4\sigma T_{\text{e}}^3$ . (b) Doubler le dioxyde de carbone est un forçage d’environ $3.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ : $\Delta T$ dans ce modèle. (c) La couche de mélange de l’océan ( $50\,\mathrm{m}$ d’eau) emmagasine la chaleur : constante de temps de la réponse. (d) Pourquoi les rétroactions de la vapeur d’eau et de l’albédo de la glace rendent-elles la sensibilité réelle plus grande que celle de (b) ?

Solution

Solution de Exercice 26.11.

(a) $4\sigma T_{\text{e}}^3 = 3.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ . (b) $1.0\,\mathrm{K}$ . (c) $C = 2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ , $\tau = C/4\sigma T_{\text{e}}^3 \approx 5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , deux ans. (d) Un air plus chaud contient plus de vapeur d’eau (un gaz à effet de serre) et fait fondre la glace (albédo plus bas) : les deux amplifient le réchauffement initial.

Exercice 26.12 ★★★

Pyrométrie. (a) Dans la limite de Wien, montrer que le rapport des luminances à deux longueurs d’onde, $\lambda_1$ et $\lambda_2$ , donne $T$ indépendamment d’une émissivité grise. (b) Une barre d’acier : $M_{0.65}/M_{0.9} = 0.10$ : température. (c) Une caméra thermique à $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ suppose $\varepsilon = 0.95$ ; elle regarde de l’aluminium poli ( $\varepsilon = 0.1$ ) à $350\,\mathrm{K}$ dans une pièce à $293\,\mathrm{K}$ : en régime linéarisé, quelle température annonce-t-elle ? (d) Pourquoi une surface peinte à côté de l’aluminium, à la même $350\,\mathrm{K}$ , se lit-elle correctement ?

Solution

Solution de Exercice 26.12.

(a)

\frac{M_1}{M_2} = \Big(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\Big)^5\exp\Big[-\frac{hc}{k_BT}\Big(\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\Big)\Big] :

$\varepsilon$ se simplifie. (b) $T = 14\,388\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K} \times 0.427/(5\ln 1.385 + \ln 10) = 1570\,\mathrm{K}$ . (c) Reçu $\propto 0.1 \times 350 + 0.9 \times 293 = 299$ ; annoncé $(299 - 0.05 \times 293)/0.95 \approx 299\,\mathrm{K}$ : elle manque les $350\,\mathrm{K}$ . (d) Son émissivité est celle qu’on a supposée.

Les deux corps noirs de ce chapitre : le Soleil, à 5800\, K, vu par le Solar Dynamics Observatory dans l’ultraviolet extrême, et la Terre, à 288\, K, photographiée par l’équipage d’Apollo 17 — maxima à 0.5\, µ m et à 10\, µ m (NASA). — Les deux corps noirs de ce chapitre : le Soleil, à $5800\,\mathrm{K}$ , vu par le Solar Dynamics Observatory dans l’ultraviolet extrême, et la Terre, à $288\,\mathrm{K}$ , photographiée par l’équipage d’Apollo 17 — maxima à $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ et à $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ (NASA).

26.6 Problème : le bilan énergétique de la Terre et l’ampoule à incandescence

Problème 26.1

Problème du week-end — des corps noirs, du Soleil au filament

Données : $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4}$ , $\lambda_{\max}T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; Soleil : $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $d = 1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ; Terre : $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , albédo $0.30$ .

Partie I — Le Soleil comme corps noir.

Le spectre solaire culmine à $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : température de surface.
Exitance de la surface et luminosité totale.
Constante solaire à la Terre ; densité d’énergie et pression de la lumière solaire là-bas.
Énergie moyenne d’un photon ( $\approx 2.7\,k_BT$ ) et nombre de photons solaires par seconde et par mètre carré à la Terre.
Le Soleil rayonne à ce rythme depuis $4.5 \times 10^9$ ans : énergie émise ; comparer à $Mc^2$ pour $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ .

Partie II — La Terre sans atmosphère.

Puissance absorbée par la Terre ; température effective.
Pourquoi le bilan divise-t-il par $4$ ? Quelle serait la température au point subsolaire d’une Terre sans air et sans rotation ( $A = 0.30$ ) ?
La Lune ( $A = 0.12$ ) : température subsolaire ; et pourquoi sa face nocturne descend à $100\,\mathrm{K}$ (penser à la chaleur emmagasinée dans le régolithe pendant les deux semaines de jour, $1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ en effectif).
Longueur d’onde du maximum d’émission de la Terre ; comparer à celle du Soleil.
Si davantage de glace ou de nuages portait l’albédo à $0.35$ , de combien la température effective baisserait-elle ?

Partie III — La serre.

Écrire les trois bilans (espace, couche, surface) du modèle à une couche et obtenir $T_{\text{s}} = 2^{1/4}T_{\text{e}}$ .
Avec une couche absorbant la fraction $\varepsilon$ de l’infrarouge : $T_{\text{s}}(\varepsilon)$ ; la valeur de $\varepsilon$ donnant $288\,\mathrm{K}$ .
Quels gaz absorbent, lesquels non, et dans quelle bande de longueurs d’onde ; qu’est-ce que la fenêtre atmosphérique ?
L’infrarouge renvoyé au sol par l’atmosphère, en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , dans le modèle à $\varepsilon = 0.78$ ; comparer à la lumière solaire absorbée.
Un forçage de $3.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ (dioxyde de carbone doublé) : variation de température $\Delta T = \Delta F/4\sigma T_{\text{e}}^3$ sans rétroactions.
Capacité thermique d’une couche de mélange océanique de $50\,\mathrm{m}$ par mètre carré et constante de temps de la réponse.
Pourquoi les nuages refroidissent-ils (albédo) et réchauffent-ils (infrarouge) à la fois la surface ; quel effet l’emporte la nuit ?

Partie IV — L’ampoule à incandescence. Une ampoule de $60\,\mathrm{W}$ a un filament de tungstène à $2800\,\mathrm{K}$ , $\varepsilon = 0.35$ ; la fraction de la puissance d’un corps noir qui tombe dans le visible ( $0.4$ – $0.7\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) vaut $0.08$ à $2800\,\mathrm{K}$ et $0.14$ à $3200\,\mathrm{K}$ .

Aire rayonnante du filament ; longueur d’un fil de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ qui l’a ; pourquoi est-il enroulé ?
Longueur d’onde du maximum ; puissance visible ; rendement lumineux.
Résistance du filament en fonctionnement sous $230\,\mathrm{V}$ ; la résistivité du tungstène est environ dix fois plus faible à température ambiante : courant à l’allumage, et une conséquence.
À $3200\,\mathrm{K}$ : l’aire nécessaire pour les mêmes $60\,\mathrm{W}$ et la puissance visible ; pourquoi ne pas faire fonctionner toute ampoule à $3200\,\mathrm{K}$ (le taux d’évaporation du tungstène double à peu près tous les $50\,\mathrm{K}$ ) ?
Que fait le cycle halogène, et pourquoi permet-il un filament plus chaud ?
Où passe le reste des $60\,\mathrm{W}$ , et pourquoi le verre de l’ampoule atteint-il $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
Temps de refroidissement du filament une fois éteint : l’estimer à partir de sa masse ( $20\,\mathrm{mg}$ , $c = 140\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ) et de sa puissance rayonnée.
Résumer : ce que fixe la température d’un corps noir, et ce que le filament, le Soleil et la Terre ont en commun.

Solution

Solution de Problème 26.1.

1. $5800\,\mathrm{K}$ .

2. $6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ .

3. $L/4\pi d^2 = 1.37 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $u = S/c = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P = S/c = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{Pa}$ si absorbée, le double si réfléchie.

4. $2.7k_BT = 2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ( $1.35\,\mathrm{eV}$ ) ; $6 \times 10^{21}$ photons par seconde et par mètre carré.

5. $3.9 \times 10^{26} \times 1.4 \times 10^{17} = 5.5 \times 10^{43}\,\mathrm{J}$ ; $Mc^2 = 1.8 \times 10^{47}\,\mathrm{J}$ : trois dix-millièmes de sa masse.

6. $1.2 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$ ; $T_{\text{e}} = 255\,\mathrm{K}$ .

7. Intercepté sur $\pi R^2$ , émis depuis $4\pi R^2$ grâce à la rotation et aux vents ; le seul point subsolaire : $((1 - A)S/\sigma)^{1/4} = 360\,\mathrm{K}$ .

8. $381\,\mathrm{K}$ ; la nuit la chaleur emmagasinée ( $\sim C\Delta T$ ) s’écoule par rayonnement avec la constante de temps $C/4\sigma T^3 \approx 1\,\mathrm{jour}$ , courte devant la quinzaine d’obscurité : le sol tombe là où son rayonnement égale le filet venu d’en dessous, $100\,\mathrm{K}$ .

9. $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , vingt fois celle du Soleil.

10. $(0.65/0.70)^{1/4} = 0.982$ : $4.7\,\mathrm{K}$ de moins, $250\,\mathrm{K}$ .

11. Espace : $\sigma T_{\text{a}}^4 = \sigma T_{\text{e}}^4$ ; couche : $\sigma T_{\text{s}}^4 = 2\sigma T_{\text{a}}^4$ ; surface : $\sigma T_{\text{s}}^4 = \sigma T_{\text{e}}^4 + \sigma T_{\text{a}}^4$ . D’où $T_{\text{s}} = 2^{1/4}T_{\text{e}} = 303\,\mathrm{K}$ .

12. $T_{\text{s}}^4 = T_{\text{e}}^4/(1 - \varepsilon/2)$ ; $(288/255)^4 = 1.63$ donne $\varepsilon = 0.77$ .

13. La vapeur d’eau, le dioxyde de carbone, le méthane et l’ozone absorbent dans l’infrarouge (bandes de vibration : H $_2$ O vers $6\,\text{µ}\mathrm{m}$ et au-delà de $17\,\text{µ}\mathrm{m}$ , CO $_2$ à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) ; N $_2$ et O $_2$ non (pas de dipôle) ; la fenêtre est $8\,$ – $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

14. $T_{\text{a}}^4 = T_{\text{s}}^4/2$ : $\varepsilon\sigma T_{\text{a}}^4 \approx 150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , contre $238\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de lumière solaire absorbée (une atmosphère à plusieurs couches en renvoie davantage, quelque $330\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ).

15. $3.7/3.8 \approx 1\,\mathrm{K}$ .

16. $2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; $\tau \approx 5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , deux ans.

17. Ils réfléchissent la lumière solaire et rayonnent de l’infrarouge vers le bas ; la nuit seul le second agit : les nuits nuageuses sont plus douces.

18. $49\,\mathrm{mm}^{2}$ ; $31\,\mathrm{cm}$ ; enroulé pour tenir dans l’ampoule et pour réduire les pertes par convection vers le gaz de remplissage.

19. $1.04\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $4.8\,\mathrm{W}$ ; $8\%$ .

20. $R = V^2/P = 880\,\Omega$ ; à froid $88\,\Omega$ : $2.6\,\mathrm{A}$ au lieu de $0.26\,\mathrm{A}$ — les ampoules lâchent à l’allumage.

21. $49 \times (2800/3200)^4 = 29\,\mathrm{mm}^{2}$ ; $8.4\,\mathrm{W}$ de visible ; huit doublements de l’évaporation, une durée de vie $250$ fois plus courte — des heures.

22. Le tungstène évaporé se lie à l’halogène et est rendu au filament chaud au lieu de noircir le verre : un filament plus chaud à durée de vie normale, dans une petite enveloppe de quartz.

23. $55\,\mathrm{W}$ d’infrarouge et de conduction par le gaz ; le verre absorbe une part de l’infrarouge.

24. $C = 2.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; avec $P \propto T^4$ , le temps pour que $T$ soit divisée par deux vaut $7CT_0/3P \approx 0.3\,\mathrm{s}$ — et l’incandescence suit le secteur avec un retard de $0.04\,\mathrm{s}$ , d’où le fait qu’elle ne papillote guère.

25. La température fixe la forme et le maximum du spectre ( $\lambda_{\max}T$ ), et le total ( $\sigma T^4$ ) ; le filament, le Soleil et la Terre sont trois corps noirs, à $2800\,$ , $5800\,$ et $288\,\mathrm{K}$ , chacun équilibrant ce qu’il reçoit par $\sigma T^4$ .

Termes définis dans ce chapitre

Rayonnement thermique, absorptivité, corps noir

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