Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

25Conduction thermique

Touchez un rail métallique et un banc de bois le même matin froid : le rail semble plus froid, alors qu’un thermomètre donne aux deux la même température. Posez une casserole sur la cuisinière et son manche ne chauffe qu’au bout d’un moment ; creusez deux mètres en été et la terre est encore froide de l’hiver ; un processeur qui dissipe cent watts sur un centimètre carré ne fond pas parce qu’un bloc d’aluminium à ailettes est posé sur lui. Tout cela est de la conduction thermique, le transport de l’énergie interne à travers la matière par l’agitation de ses molécules, sans aucun écoulement de matière — et tout cela obéit à une loi, celle de Fourier, et à une équation, l’équation de la chaleur, qui est l’équation de diffusion du chapitre précédent avec la température à la place de la densité. Ce chapitre pose la loi et l’équation à partir d’un bilan d’énergie, les résout dans les cas qui comptent (parois stationnaires et leurs résistances thermiques, chauffage périodique et onde thermique, ailettes de refroidissement), introduit l’échange avec un fluide (loi de Newton et nombre de Biot), et calcule l’entropie que la conduction crée — car la chaleur ne descend jamais que la pente.

Un dissipateur à ailettes sur un processeur : cent watts conduits hors d’un centimètre carré de silicium, étalés dans une embase métallique, et remis à l’air par des ailettes qui multiplient la surface par trente.

25.1 La loi de Fourier

Définition 25.1 (Densité de courant thermique)

La densité de courant thermique $\vect{j}_Q$ (en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) est le vecteur tel que l’énergie transférée par conduction à travers un élément de surface orienté $\dd\vect S$ pendant $\dd t$ vaut $\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S\,\dd t$ ; le flux thermique (une puissance, en watts) à travers une surface $S$ vaut $\Phi = \iint_S\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S$ .

Théorème 25.2 (Loi de Fourier)

Dans un milieu au repos dont la température n’est pas uniforme,

\vect{j}_Q = -\lambda\,\vect{\operatorname{grad}}\,T ,

où la conductivité thermique $\lambda > 0$ (en $\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) dépend du matériau et, faiblement, de la température. La chaleur descend le gradient de température, du chaud vers le froid — le second principe inscrit dans une loi linéaire.

Démonstration. Phénoménologique, comme la loi de Fick, et avec la même justification microscopique : les molécules (ou les électrons libres d’un métal, ou les vibrations du réseau) portent leur énergie sur une marche au hasard, et il en vient davantage du côté chaud. ∎

Exemple 25.3 (Conductivités)

Métaux (les électrons portent la chaleur comme le courant — les conductivités se suivent) : cuivre $400\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , aluminium $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , acier $50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ . Solides isolants : béton $1.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , verre $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , brique $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , bois $0.15\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ . Liquides : eau $0.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ . Gaz : air $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ — et les meilleurs isolants, laine de verre ou mousse à $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , sont surtout de l’air immobile, piégé pour qu’il ne puisse convecter. Quatre ordres de grandeur du cuivre à l’air.

25.2 Le bilan d’énergie et l’équation de la chaleur

Théorème 25.4 (Bilan local d’énergie)

Dans un solide (ou un fluide au repos) de masse volumique $\rho$ et de capacité thermique massique $c$ , avec une puissance $p$ libérée par unité de volume (effet Joule, une réaction chimique ou nucléaire, un rayonnement absorbé),

\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\operatorname{div}\vect{j}_Q + p , \qquad\text{à une dimension}\quad \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial j_Q}{\partial x} + p .

Démonstration. Premier principe pour la tranche entre $x$ et $x + \dd x$ (section $S$ , volume fixe, donc sans travail) : son énergie interne $\rho c\,T\,S\,\dd x$ varie pendant $\dd t$ de la chaleur reçue, $[j_Q(x) - j_Q(x+\dd x)]S\,\dd t = -\partial_x j_Q\,\dd x\,S\,\dd t$ , plus $p\,S\,\dd x\,\dd t$ . À trois dimensions la chaleur entrant dans un volume fixe par sa surface fermée vaut $-\iint\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S = -\iiint\operatorname{div}\vect{j}_Q\,\dd\tau$ . ∎

Théorème 25.5 (Équation de la chaleur)

Pour $\lambda$ , $\rho$ , $c$ uniformes,

\frac{\partial T}{\partial t} = a\,\Delta T + \frac{p}{\rho c}, \qquad a = \frac{\lambda}{\rho c} \quad\text{(la \emph{diffusivité thermique}, en $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)} .

Tout ce qui a été dit de l’équation de diffusion vaut ici : linéarité, irréversibilité, lissage, et les échelles $L \sim \sqrt{at}$ , $t \sim L^2/a$ .

Démonstration. Reportons la loi de Fourier dans le bilan : $\rho c\,\partial_t T = \lambda\Delta T + p$ . ∎

Exemple 25.6 (Diffusivités et temps)

Cuivre $a = 1.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , air $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , béton et brique $\approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , eau $1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , bois $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . La chaleur traverse un centimètre de cuivre en une seconde, un centimètre de brique en trois minutes, un mur de $20\,\mathrm{cm}$ en un jour (d’où le fait que les murs épais lissent le cycle jour–nuit), la demi-épaisseur de $1.5\,\mathrm{cm}$ d’un steak en un quart d’heure (les temps de cuisson varient comme le carré de l’épaisseur), et un kilomètre de roche en $10^{12}\,\mathrm{s}$ , trente mille ans — la Terre refroidit encore depuis sa formation.

25.3 Régime stationnaire : les résistances thermiques

Proposition 25.7 (Résistance thermique d’une lame)

En régime stationnaire sans sources, une lame d’épaisseur $e$ , d’aire $S$ , de conductivité $\lambda$ , entre les températures $T_1$ et $T_2$ , a un profil linéaire et porte le flux

\Phi = \frac{T_1 - T_2}{R_{\text{th}}}, \qquad R_{\text{th}} = \frac{e}{\lambda S}\quad\text{(en $\mathrm{K}/\mathrm{W}$)} :

sa résistance thermique. La température joue le rôle du potentiel, le flux celui du courant : les résistances en série (couches d’un mur) s’ajoutent, celles en parallèle (mur et fenêtre) ajoutent leurs inverses. Pour une coque cylindrique (l’isolant d’un tuyau) entre les rayons $r_1 < r_2$ et de longueur $\ell$ , $R_{\text{th}} = \ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$ ; pour une coque sphérique, $(1/r_1 - 1/r_2)/4\pi\lambda$ .

Démonstration. $\dd^2T/\dd x^2 = 0$ : profil affine, $j_Q = \lambda(T_1 - T_2)/e$ uniforme, $\Phi = j_QS$ . En géométrie cylindrique $\Phi = -\lambda\,2\pi r\ell\,\dd T/\dd r$ est le même pour tout $r$ (pas d’accumulation), donc $T = A - (\Phi/2\pi\lambda\ell)\ln r$ ; en géométrie sphérique, $\Phi = -4\pi r^2\lambda\,\dd T/\dd r$ donne $T = A + \Phi/4\pi\lambda r$ . ∎

Proposition 25.8 (Échange avec un fluide : la loi de Newton)

Une surface solide à $T_{\text{s}}$ au contact d’un fluide à $T_{\text{f}}$ (loin de la surface) perd la densité de flux

j_Q = h\,(T_{\text{s}} - T_{\text{f}}) ,

où le coefficient d’échange $h$ (en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ) résume la conduction à travers la mince couche de fluide qui adhère à la paroi et la convection qui la renouvelle : $h \approx 5$ – $25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ pour l’air en convection naturelle ou légère, $50$ – $500\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ pour l’air soufflé, $10^3$ – $10^4$ pour l’eau. La surface ajoute alors une résistance de film $1/hS$ en série avec la paroi.

Démonstration. Phénoménologique : le mouvement du fluide n’est pas calculé, il est résumé dans $h$ (mesuré, ou donné par les corrélations de la mécanique des fluides). ∎

Un mur composite et son circuit thermique : film, brique, laine, film en série. À droite : le profil de température — presque toute la chute se fait dans la couche de plus grande résistance, la laine, bien qu’elle soit la plus mince.

Exemple 25.9 (Un mur et une fenêtre)

Par mètre carré : brique de $20\,\mathrm{cm}$ à $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $R = 0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; les deux films, $1/8 + 1/25 = 0.165\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : total $0.415$ , soit $U = 1/R = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ et, pour un écart de $20\,\mathrm{K}$ , $48\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Ajoutons $10\,\mathrm{cm}$ de laine de verre, $R = 2.5\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : le total vaut $2.9$ , $U = 0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ — sept fois moins. Un simple vitrage, $4\,\mathrm{mm}$ à $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , n’est que du film : $R = 0.004 + 0.165$ , $U \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; une couche d’air immobile de $12\,\mathrm{mm}$ entre deux vitres ajoute $0.012/0.026 = 0.46\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ et divise la perte par plus de trois.

Définition 25.10 (Nombre de Biot)

Pour un solide de taille $L$ échangeant avec un fluide, le nombre de Biot

\mathrm{Bi} = \frac{hL}{\lambda} = \frac{\text{résistance interne } L/\lambda S}{\text{résistance de film } 1/hS}

compare les deux. Si $\mathrm{Bi} \ll 1$ le solide est uniforme en température à chaque instant et refroidit d’un bloc, exponentiellement avec la constante de temps $\tau = \rho c V/hS$ ; si $\mathrm{Bi} \gg 1$ la surface est à la température du fluide et l’intérieur conduit à son propre rythme $L^2/a$ .

25.4 Chauffage périodique : l’onde thermique

Proposition 25.11 (Onde thermique dans un demi-espace)

Si la surface $x = 0$ d’un demi-espace est maintenue à $T(0,t) = T_0 + \theta_0\cos\omega t$ , la température à l’intérieur vaut, en régime établi,

T(x,t) = T_0 + \theta_0\,\eu^{-x/\delta}\cos\Big(\omega t - \frac{x}{\delta}\Big), \qquad \delta = \sqrt{\frac{2a}{\omega}} :

une onde qui progresse vers l’intérieur à la vitesse $\omega\delta = \sqrt{2a\omega}$ et s’amortit sur une profondeur de pénétration $\delta$ par radian de phase — d’un facteur $\eu^{-2\pi} = 2 \times 10^{-3}$ par longueur d’onde. Les oscillations rapides pénètrent moins que les lentes.

Démonstration. Cherchons $\underline T = \theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline k x)}$ : $\iu\omega = -a\underline k^2$ , donc $\underline k^2 = -\iu\omega/a$ , $\underline k = (1 - \iu)\sqrt{\omega/2a} = (1 - \iu)/\delta$ (la racine qui décroît pour $x > 0$ ). Prendre la partie réelle. ∎

L’onde thermique à trois instants : l’oscillation de surface pénètre comme une onde amortie, son amplitude décroissant en -x/ (tiretés) et sa phase retardant de x/ — en x = π la température est opposée à celle de la surface. — L’onde thermique à trois instants : l’oscillation de surface pénètre comme une onde amortie, son amplitude décroissant en $\eu^{-x/\delta}$ (tiretés) et sa phase retardant de $x/\delta$ — en $x = \pi\delta$ la température est opposée à celle de la surface.

Exemple 25.12 (Le sol, la cave et le vin)

Sol, $a \approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . Cycle journalier, $\omega = 2\pi/86\,400\,\mathrm{s}$ : $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ — à un demi-mètre la journée a disparu. Cycle annuel : $\delta = 2.2\,\mathrm{m}$ ; à cette profondeur l’écart été–hiver de $10\,\mathrm{K}$ est tombé à $3.7\,\mathrm{K}$ et retarde d’un radian, deux mois : la cave est la plus froide en mars et la plus chaude en septembre, et à $5\,\mathrm{m}$ elle est à $1\,\mathrm{K}$ près constante — la cave qui garde le vin. La même mathématique donne l’épaisseur de peau de l’électromagnétisme (Chapitre 14) : même équation, même $\sqrt{2/(\text{diffusivité} \times\omega)}$ .

25.5 Ailettes

Proposition 25.13 (L’ailette de refroidissement)

Une tige ou une plaque mince (section $S$ , périmètre $p$ , conductivité $\lambda$ ) fixée en $x = 0$ à une paroi à $T_0$ , dans un fluide à $T_{\text{f}}$ avec le coefficient $h$ , a un excès de température $\theta = T - T_{\text{f}}$ qui obéit à

\frac{\dd^2\theta}{\dd x^2} = m^2\theta, \qquad m = \sqrt{\frac{hp}{\lambda S}} ;

pour une ailette longue, $\theta = \theta_0\eu^{-mx}$ et l’ailette évacue $\Phi = \sqrt{hp\lambda S}\,\theta_0$ — autant qu’une surface nue longue de $\sqrt{\lambda S/hp} = 1/m$ , avec une température tombée à $\theta_0/\eu$ en $x = 1/m$ . Pour une ailette de longueur finie $L$ (extrémité adiabatique), $\theta = \theta_0\cosh m(L-x)/\cosh mL$ et son efficacité — le flux rapporté à celui d’une ailette isotherme à $\theta_0$ — vaut $\eta = \tanh(mL)/mL$ .

Démonstration. Bilan stationnaire de la tranche $[x, x + \dd x]$ : conduit vers l’intérieur, $-\lambda S\theta'(x)$ ; sortant, $-\lambda S\theta'(x + \dd x)$ ; perdu vers le fluide, $hp\,\theta\,\dd x$ : $\lambda S\theta'' = hp\theta$ . Le flux à la base vaut $-\lambda S\theta'(0)$ : $\lambda Sm\theta_0$ pour l’ailette longue, $\lambda Sm\theta_0\tanh mL$ pour l’ailette finie, à comparer à $hpL\theta_0$ . Le nombre de Biot sur l’épaisseur de l’ailette, $ht/\lambda$ , doit être petit pour que le traitement à une dimension vaille. ∎

À gauche : la température le long d’une ailette, pour une ailette longue et deux ailettes finies (extrémité adiabatique) — au-delà de mx 2 une ailette n’apporte plus grand-chose. À droite : le bilan d’une tranche : conduction dans la longueur, convection vers l’extérieur par le périmètre. — À gauche : la température le long d’une ailette, pour une ailette longue et deux ailettes finies (extrémité adiabatique) — au-delà de $mx \approx 2$ une ailette n’apporte plus grand-chose. À droite : le bilan d’une tranche : conduction dans la longueur, convection vers l’extérieur par le périmètre.

Exemple 25.14 (Un dissipateur)

Ailettes d’aluminium de $1\,\mathrm{mm}$ d’épaisseur ( $p/S \approx 2/t = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ), hautes de $30\,\mathrm{mm}$ , dans de l’air soufflé $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ : $m = \sqrt{2h/\lambda t} = 20\,\mathrm{m}^{-1}$ , $mL = 0.6$ , $\eta = 0.89$ — les ailettes travaillent à $89\%$ de leur aire. Trente d’entre elles, larges de $60\,\mathrm{mm}$ , offrent $0.11\,\mathrm{m}^{2}$ là où le carré nu de $60\,\mathrm{mm}$ offrait $0.0036\,\mathrm{m}^{2}$ : une résistance $1/\eta hA = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ au lieu de $5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; $100\,\mathrm{W}$ élèvent l’embase de $20\,\mathrm{K}$ au lieu de $560\,\mathrm{K}$ . Des ailettes plus longues gagnent peu ( $\tanh$ sature), plus minces elles perdent en efficacité : $mL \approx 1$ est le compromis de l’ingénieur.

25.6 Entropie créée par la conduction

Proposition 25.15 (Production d’entropie)

Un flux $\Phi$ conduit d’un corps à $T_{\text{h}}$ vers un corps à $T_{\text{c}} < T_{\text{h}}$ à travers une paroi stationnaire crée de l’entropie au taux

\dot S_{\text{c}} = \Phi\Big(\frac{1}{T_{\text{c}}} - \frac{1}{T_{\text{h}}}\Big) > 0 ;

localement, la conduction crée $\sigma_s = \lambda\,(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2 \ge 0$ par unité de volume et de temps — nulle seulement là où la température est uniforme. La conduction thermique est irréversible : la même énergie, délivrée à plus basse température, peut fournir moins de travail.

Démonstration. L’état de la paroi ne change pas, donc son entropie est constante : le corps chaud perd $\Phi/T_{\text{h}}$ par unité de temps, le froid gagne $\Phi/T_{\text{c}}$ ; la différence est créée. Localement, le bilan d’entropie $\partial_t(\rho s) + \operatorname{div}(\vect{j}_Q/T) = \sigma_s$ avec $\rho T\partial_t s = -\operatorname{div}\vect{j}_Q$ donne $\sigma_s = \vect{j}_Q\cdot\vect{\operatorname{grad}}(1/T) = -\vect{j}_Q\cdot \vect{\operatorname{grad}}\,T/T^2 = \lambda(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2$ . ∎

Méthode 25.16 (Estimations de conduction)

(1) Stationnaire : bâtir le circuit thermique — lames $e/\lambda S$ , films $1/hS$ , coques $\ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$ ; série et parallèle. (2) Transitoire : $\mathrm{Bi} = hL/\lambda$ ; s’il est petit, $\tau = \rho cV/hS$ ; s’il est grand, $t \sim L^2/a$ . (3) Périodique : $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ , amortissement $\eu^{-x/\delta}$ , retard $x/\delta$ . (4) Sources : $p$ par unité de volume, profils paraboliques. (5) Ailettes : $m = \sqrt{hp/\lambda S}$ , $\eta = \tanh(mL)/mL$ . (6) Entropie : $\Phi(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ .

25.7 Exercices

Exercice 25.1 ★

Un mur de brique de $20\,\mathrm{cm}$ d’épaisseur ( $\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ), $100\,\mathrm{m}^{2}$ , entre $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à l’intérieur et $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à l’extérieur (surfaces à ces températures) : densité de flux, flux total ; avec $10\,\mathrm{cm}$ de laine de verre ( $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) en plus.

Solution

Solution de Exercice 25.1.

$j = \lambda\Delta T/e = 80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $8\,\mathrm{kW}$ ; avec la laine $R = 0.25 + 2.5 = 2.75\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $7.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $730\,\mathrm{W}$ .

Exercice 25.2 ★

Diffusivités : cuivre ( $\lambda = 400$ , $\rho = 8900$ , $c = 385\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ), béton ( $1.5$ , $2300$ , $900$ ), bois ( $0.15$ , $600$ , $2500$ ). Temps que met la chaleur à traverser $1\,\mathrm{cm}$ et $20\,\mathrm{cm}$ de chacun ; les $30\,\mathrm{km}$ de croûte de la Terre.

Solution

Solution de Exercice 25.2.

$a$ : $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $7 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . $1\,\mathrm{cm}$ : $0.9\,\mathrm{s}$ , $140\,\mathrm{s}$ , $1000\,\mathrm{s}$ ; $20\,\mathrm{cm}$ : $6\,\mathrm{min}$ , $15\,\mathrm{h}$ , $5\,\mathrm{jours}$ ; croûte ( $a \sim 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) : $10^{15}\,\mathrm{s}$ , trente millions d’années.

Exercice 25.3 ★

Simple vitrage ( $4\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) avec des films $h_{\text{i}} = 8$ , $h_{\text{o}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; double vitrage avec une couche de $12\,\mathrm{mm}$ d’air immobile ( $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) : valeurs de $U$ et flux pour $20\,\mathrm{K}$ . Pourquoi le vrai double vitrage est-il environ deux fois pire que cette estimation, et que font l’argon et les couches à basse émissivité ?

Solution

Solution de Exercice 25.3.

Simple : $R = 0.169$ , $U = 5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ , $118\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; double : $R = 0.63$ , $U = 1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ , $32\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . La lame d’air convecte et les vitres échangent par rayonnement (environ la moitié du transfert réel) ; l’argon conduit moins et convecte moins, une couche à basse émissivité supprime le rayonnement.

Exercice 25.4 ★

Cuisson : $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ pour la viande. Temps pour que le centre d’un steak de $3\,\mathrm{cm}$ sente la poêle ; d’un rôti de $12\,\mathrm{cm}$ . Une dinde deux fois plus lourde : combien de temps en plus (la dimension varie comme la racine cubique de la masse) ?

Solution

Solution de Exercice 25.4.

$L^2/a$ avec la demi-épaisseur : $27\,\mathrm{min}$ ; rôti : $16\times$ , $7\,\mathrm{h}$ ; $t \propto L^2 \propto m^{2/3}$ : $\times 1.6$ .

Exercice 25.5 ★★

Source interne. Un cylindre de rayon $R$ libère $p$ par unité de volume ; surface à $T_{\text{s}}$ . (a) Montrer que $T(r) = T_{\text{s}} + p(R^2 - r^2)/4\lambda$ . (b) Fil de cuivre, $R = 1\,\mathrm{mm}$ , $j = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ : $p$ et l’écart centre–surface. (c) Crayon de combustible nucléaire, $R = 5\,\mathrm{mm}$ , $p = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ , $\lambda = 3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ : même question. (d) Commenter.

Solution

Solution de Exercice 25.5.

(a) $(rT')'/r = -p/\lambda$ avec $T'(0) = 0$ . (b) $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ ; $pR^2/4\lambda = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}$ . (c) $625\,\mathrm{K}$ . (d) Un fil est isotherme ; le centre d’une pastille de combustible est à des centaines de kelvins au-dessus de sa surface — la densité de puissance d’un réacteur est limitée par la conduction dans le combustible.

Exercice 25.6 ★★

Le sol. (a) Établir $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ . (b) Sol, $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : profondeurs de pénétration journalière et annuelle. (c) Profondeur à laquelle l’amplitude annuelle vaut le dixième de celle de la surface ; retard de phase là. (d) Une conduite d’eau ne doit pas geler là où la température de surface hivernale descend à $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ autour d’une moyenne de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : profondeur minimale (onde annuelle).

Solution

Solution de Exercice 25.6.

(a) Proposition 25.11. (b) $12\,\mathrm{cm}$ ; $2.2\,\mathrm{m}$ . (c) $\delta\ln 10 = 5.2\,\mathrm{m}$ ; retard $2.3\,\mathrm{rad}$ , $130$ jours. (d) L’amplitude de $20\,\mathrm{K}$ doit être divisée par deux : $x = \delta\ln 2 = 1.5\,\mathrm{m}$ .

Exercice 25.7 ★★

Biot. (a) Sphère de cuivre, de rayon $1\,\mathrm{cm}$ , dans l’air ( $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ) : nombre de Biot, constante de temps de son refroidissement. (b) Une pomme de terre ( $\lambda = 0.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , de rayon $3\,\mathrm{cm}$ ) dans un four avec $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ : nombre de Biot ; quel temps gouverne sa cuisson ? (c) Pourquoi fait-on petite la soudure d’un thermocouple ? (d) Pourquoi une tasse de café refroidit-elle plus vite quand on la remue ou qu’on souffle dessus — quelle résistance change ?

Solution

Solution de Exercice 25.7.

(a) $\mathrm{Bi} = hR/3\lambda \approx 10^{-4}$ ; $\tau = \rho cR/3h = 1100\,\mathrm{s}$ . (b) $\mathrm{Bi} = 1.2$ : aucune des deux limites ; le temps interne $R^2/a \approx 6000\,\mathrm{s}$ gouverne. (c) $R$ petit : $\tau$ minuscule et petit nombre de Biot. (d) La résistance de film $1/h$ , la dominante, chute.

Exercice 25.8 ★★

Une ailette. (a) Établir $\theta'' = m^2\theta$ et la solution de l’ailette longue. (b) Ailette d’aluminium, $1\,\mathrm{mm}$ d’épaisseur, $30\,\mathrm{mm}$ de haut, convection naturelle $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ : $m$ , $mL$ , efficacité. (c) De quel facteur l’ailette multiplie-t-elle l’aire d’échange de son empreinte, et le flux ? (d) Pourquoi une ailette très longue ou très mince est-elle un gaspillage de métal ?

Solution

Solution de Exercice 25.8.

(a) Proposition 25.13. (b) $m = \sqrt{2h/\lambda t} = 13\,\mathrm{m}^{-1}$ , $mL = 0.39$ , $\eta = 0.95$ . (c) Aire $\times 2L/t = 60$ , flux $\times 57$ . (d) Au-delà de $mL \approx 2$ la longueur supplémentaire est à la température du fluide ; une ailette plus mince a un $m$ plus grand et une efficacité plus basse.

Exercice 25.9 ★★

Tuyaux. (a) Établir la résistance d’une coque cylindrique. (b) Un tuyau de vapeur, de rayon extérieur $5\,\mathrm{cm}$ à $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , enveloppé de $5\,\mathrm{cm}$ de laine de verre, air à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ avec $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ à l’extérieur : perte par mètre, comparée au tuyau nu. (c) Montrer que la résistance totale de l’isolant et du film a un minimum au rayon critique $r_{\text{c}} = \lambda/h$ . (d) Pour un fil électrique de rayon $1\,\mathrm{mm}$ sous une gaine plastique ( $\lambda = 0.2\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ), la gaine refroidit-elle ou réchauffe-t-elle le cuivre ?

Solution

Solution de Exercice 25.9.

(a) Proposition 25.7. (b) Laine $\ln 2/2\pi\lambda = 2.76\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{W}$ , film extérieur $1/2\pi r_2h = 0.16$ : $45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ; nu, $2\pi r_1h\Delta T = 410\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ . (c) $\dd/\dd r[\ln(r/r_1)/2\pi\lambda + 1/2\pi hr] = 0$ en $r = \lambda/h$ . (d) $r_{\text{c}} = 2\,\mathrm{cm} > 1\,\mathrm{mm}$ : la gaine augmente la perte — elle refroidit le cuivre.

Exercice 25.10 ★★★

Entropie. Le mur de l’Exercice 25.1 (nu) entre $293\,\mathrm{K}$ et $273\,\mathrm{K}$ . (a) Entropie créée par seconde. (b) Calculer $\int\sigma_s\,\dd V$ avec le profil linéaire et vérifier l’accord. (c) Entropie créée une fois isolé. (d) Le travail qu’un moteur réversible aurait pu extraire des $8\,\mathrm{kW}$ entre ces températures, et ce qu’il en reste après le mur.

Solution

Solution de Exercice 25.10.

(a) $8000(1/273 - 1/293) = 2.0\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ . (b) $\sigma_s = \lambda T'^2/T^2$ avec $T' = 100\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$ ; $\int\sigma_s\,\dd x = \lambda T'(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}}) = j(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ ; fois $100\,\mathrm{m}^{2}$ : le même. (c) $0.18\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ . (d) $\Phi(1 - T_{\text{c}}/T_{\text{h}}) = 550\,\mathrm{W}$ ; rien — la chaleur se tient désormais à $T_{\text{c}}$ ( $T_{\text{c}}\dot S_{\text{c}} = 550\,\mathrm{W}$ ).

Exercice 25.11 ★★★

Pourquoi le métal semble froid. (a) Pour l’onde thermique, calculer le flux de surface $j_Q(0,t)$ et montrer qu’il est en avance de $\pi/4$ sur la température de surface, avec l’amplitude $\sqrt{\lambda\rho c\,\omega}\,\theta_0$ . La grandeur $b = \sqrt{\lambda\rho c}$ est l’effusivité. (b) Deux demi-espaces à $T_1$ et $T_2$ sont mis en contact : en admettant que chacun suit alors un profil en erfc avec la température de surface commune $T_{\text{c}}$ , et en écrivant la continuité du flux au contact, montrer que $T_{\text{c}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$ . (c) La peau ( $b \approx 1000\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}/\mathrm{s}^{1/2}$ , $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) touchant du cuivre ( $b = 37000$ ) ou du bois ( $b = 400$ ) à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : températures de contact. (d) Pourquoi un carrelage semble-t-il plus froid qu’un tapis à la même température, et pourquoi la sensation n’est-elle que passagère ?

Solution

Solution de Exercice 25.11.

(a) $j_Q(0,t) = -\lambda\partial_xT = \lambda\theta_0\sqrt2/\delta\,\cos(\omega t + \pi/4) = \sqrt{\lambda\rho c\omega}\,\theta_0\cos(\omega t + \pi/4)$ . (b) Le flux de chaque côté au contact vaut $b_i|T_i - T_{\text{c}}|/\sqrt{\pi t}$ ; en égalant : $T_{\text{c}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$ . (c) Cuivre $20.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , bois $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (d) Carrelage $b \approx 1500$ , tapis $\approx 100$ ; la formule vaut tant que les deux corps paraissent semi-infinis ; une fois que les fronts de chaleur atteignent l’irrigation sanguine et la face lointaine de l’objet, le régime permanent dépend de la chaleur réellement fournie.

Exercice 25.12 ★★★

Refroidir une lame. Une lame $-L < x < L$ à $T_0$ est plongée en $t = 0$ dans un bain à $T_{\text{f}}$ avec $h \to \infty$ . (a) Montrer que $\theta = T - T_{\text{f}}$ admet les solutions $\cos(k_nx)\,\eu^{-ak_n^2t}$ avec $k_n = (2n+1)\pi/2L$ . (b) Développer la condition initiale en série de Fourier sur ces modes et écrire la solution complète. (c) Passé les premiers instants, quel mode survit, et quelle est la constante de temps ? (d) Temps pour que le centre d’un steak de $3\,\mathrm{cm}$ ( $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) arrive à $1\%$ du bain.

Solution

Solution de Exercice 25.12.

(a) Substituer. $\theta(\pm L) = 0$ donne $\cos k_nL = 0$ . (b) $a_n = 4\theta_0(-1)^n/(2n+1)\pi$ ; $\theta = \sum a_n\cos(k_nx)\eu^{-ak_n^2t}$ . (c) $n = 0$ , $\tau = 4L^2/\pi^2a$ . (d) $\tau = 650\,\mathrm{s}$ ; centre $(4/\pi)\eu^{-t/\tau} = 0.01$ : $t = 4.8\tau \approx 52\,\mathrm{min}$ .

25.8 Problème : isoler une maison, refroidir un processeur

Problème 25.1

Problème du week-end — la conduction à l’échelle d’un bâtiment et d’une puce

Données : brique $\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $\rho = 1800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $c = 840\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; laine de verre $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; verre $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; air immobile $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; aluminium $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $c = 900\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; silicium $150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; pâte thermique $5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; sol $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; films $h_{\text{i}} = 8$ , $h_{\text{o}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ .

Partie I — La maison. Une maison a $100\,\mathrm{m}^{2}$ de murs (brique de $20\,\mathrm{cm}$ ) et $20\,\mathrm{m}^{2}$ de fenêtres en simple vitrage ( $4\,\mathrm{mm}$ ) ; intérieur $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , extérieur $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Résistance par mètre carré de la brique seule ; densité de flux si ses faces étaient aux deux températures.
Avec les deux films : $R$ et $U = 1/R$ par mètre carré ; de même avec $10\,\mathrm{cm}$ de laine de verre en plus.
$U$ du simple vitrage ; d’un double vitrage avec $12\,\mathrm{mm}$ d’air immobile.
Perte totale de la maison avant et après avoir isolé les murs et doublé les fenêtres.
Sur une saison de chauffe de $2500$ degrés-jours (l’intégrale de l’écart de température sur la saison, en $\mathrm{K}\,\mathrm{jour}$ ), énergie perdue avant et après, en kilowattheures.
Température de la face intérieure du mur, nu et isolé ; pourquoi un mur froid est-il inconfortable et fait-il des moisissures ?
Temps de diffusion à travers la brique ; qu’est-ce que cela fait au cycle jour–nuit ?

Partie II — Le sol sous la maison.

Établir la profondeur de pénétration $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ d’une onde thermique.
$\delta$ journalier et annuel dans le sol.
Profondeur à laquelle l’écart journalier est tombé à $1\%$ ; amplitude annuelle à $2.2\,\mathrm{m}$ et à $5\,\mathrm{m}$ pour un écart de surface de $10\,\mathrm{K}$ .
Retard de phase à $2.2\,\mathrm{m}$ , en jours : quand la cave est-elle la plus froide ?
Flux thermique de surface de l’onde annuelle (amplitude et phase) ; comparer son amplitude au flux géothermique $0.06\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .
Le gradient géothermique vaut $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : le vérifier avec le flux et $\lambda$ , et expliquer pourquoi il est invisible dans les saisons de la cave.

Partie III — Le processeur. Une puce dissipe $100\,\mathrm{W}$ dans une pastille de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ , épaisse de $0.5\,\mathrm{mm}$ ; une couche de pâte de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ sur $10\,\mathrm{cm}^{2}$ la lie à un dissipateur d’aluminium : embase $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $5\,\mathrm{mm}$ , trente ailettes larges de $60\,\mathrm{mm}$ , hautes de $30\,\mathrm{mm}$ , épaisses de $1\,\mathrm{mm}$ ; un ventilateur donne $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; ambiante $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Densité de flux à travers la pastille ; résistance de la pastille.
Résistance de la pâte ; et si un jeu d’air de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ la remplaçait.
Paramètre d’ailette $m$ , $mL$ , efficacité ; vérifier le nombre de Biot sur l’épaisseur de l’ailette.
Aire totale des ailettes et résistance des ailettes ; résistance de l’embase (conduction sur $5\,\mathrm{mm}$ ) ; température de jonction.
De même sans ailettes (carré nu de $60\,\mathrm{mm}$ ) : conclusion.
Le ventilateur s’arrête ( $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ) : température de jonction ; que fait le processeur à $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
Masse et capacité thermique du dissipateur ; sa constante de temps $RC$ ; et celle de la pastille seule ( $0.1\,\mathrm{g}$ , $700\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ).
Pourquoi les bons dissipateurs ont-ils une embase en cuivre ou des caloducs ?

Partie IV — Entropie.

Entropie créée par seconde par l’enveloppe nue de la maison (question 4) entre $293\,\mathrm{K}$ et $273\,\mathrm{K}$ ; après isolation.
Entropie créée par les $100\,\mathrm{W}$ de la puce passant de la jonction à l’ambiante ; et par la conversion du travail électrique en chaleur dans la pastille.
Montrer que pour une lame $\int\sigma_s\,\dd V = \Phi(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ .
Résumer en cinq lignes ce qui gouverne un mur, une ailette, une cave et une puce.

Solution

Solution de Problème 25.1.

1. $0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; $80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

2. $R = 0.415$ , $U = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; isolé $R = 2.9$ , $U = 0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ .

3. $5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; $1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ .

4. $4800 + 2360 = 7.2\,\mathrm{kW}$ ; $680 + 640 = 1.3\,\mathrm{kW}$ .

5. $UA = 358\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : $358 \times 2500 \times 86400 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{J} = 21\,500\,\mathrm{kWh}$ ; après, $66\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : $4000\,\mathrm{kWh}$ .

6. $20 - 48/8 = 14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $20 - 6.8/8 = 19.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; un mur froid rayonne moins vers le corps et peut atteindre le point de rosée.

7. $a = 5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $e^2/a = 7.5 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 21\,\mathrm{h}$ : le mur moyenne la journée (la valeur journalière $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ est inférieure à son épaisseur).

8. Chercher $\theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline kx)}$ : $\underline k = (1 - \iu)/\delta$ .

9. $12\,\mathrm{cm}$ ; $2.2\,\mathrm{m}$ .

10. $4.6\delta = 54\,\mathrm{cm}$ ; $3.7\,\mathrm{K}$ ; $1.1\,\mathrm{K}$ .

11. Un radian, $58$ jours : mi-mars (le minimum de surface étant à la mi-janvier).

12. Amplitude $\lambda\theta_0\sqrt2/\delta = 6.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , en avance de $\pi/4$ ( $45$ jours) ; cent fois le flux géothermique.

13. $\lambda \times 0.03\,\mathrm{K}/\mathrm{m} \approx 0.03\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , le bon ordre ; cela fait un écart permanent de $0.1\,\mathrm{K}$ sur la hauteur de la cave, noyé dans l’oscillation saisonnière.

14. $1 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $R = 0.033\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ .

15. $0.01\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; air : $1.9\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ , $190\,\mathrm{K}$ .

16. $m = 20\,\mathrm{m}^{-1}$ , $mL = 0.61$ , $\eta = 0.89$ ; $\mathrm{Bi} = ht/2\lambda = 10^{-4}$ .

17. $A = 0.108\,\mathrm{m}^{2}$ ; $R_{\text{ail}} = 1/\eta hA = 0.21\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; embase $0.006\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; total $0.26\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $26\,\mathrm{K}$ , jonction à $51\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

18. $1/hS = 5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $560\,\mathrm{K}$ — impossible.

19. $R_{\text{ail}} \approx 0.94\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ , total $\approx 1\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $125\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — il s’étrangle, puis s’éteint.

20. $V = 7.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$ , $0.19\,\mathrm{kg}$ , $C = 175\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; $\tau = RC \approx 46\,\mathrm{s}$ ; pastille : $C = 0.07\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $\tau \approx 3\,\mathrm{ms}$ .

21. La chaleur doit s’étaler de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ à $36\,\mathrm{cm}^{2}$ : le cuivre divise par deux cette résistance d’étalement ; un caloduc déplace la chaleur par évaporation et condensation avec une conductivité effective cent fois celle du cuivre.

22. $7200(1/273 - 1/293) = 1.8\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; $0.33\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ .

23. $100(1/298 - 1/324) = 0.027\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; $100/324 = 0.31\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — dix fois plus : convertir du travail en chaleur est la grande irréversibilité.

24. $\int\lambda T'^2/T^2\,\dd x = \lambda T'\,[-1/T] = j(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ .

25. Mur : résistances en série, le plus mauvais conducteur commande. Ailette : $m = \sqrt{hp/\lambda S}$ , $mL \approx 1$ . Cave : $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ , amortissement et retard ensemble. Puce : une chaîne de résistances de la pastille à l’air, l’aire des ailettes faisant le travail. Partout : la chaleur descend, et crée de l’entropie ce faisant.

Termes définis dans ce chapitre

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