Física universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

11O átomo de hidrogênio

Nove décimos dos átomos do universo são hidrogênio: um próton que segura um elétron, o único átomo que a física resolve exatamente — e a chave que abriu todos os outros. A velha teoria quântica do Capítulo 2 adivinhou suas energias; a maquinaria está agora pronta para deduzi-las: o potencial de Coulomb entra na equação radial do capítulo anterior, e de lá saem os níveis $-E_{\text{I}}/n^2$ , o raio de Bohr, as camadas e subcamadas da tabela periódica da química e as séries espectrais que os astrônomos leem em toda nebulosa. A mesma solução, reescalada, descreve o hélio ionizado, os átomos muônicos, o positrônio e os “átomos” de par elétron–buraco dentro dos semicondutores; esticada até $n \approx 100$ , ela descreve átomos de Rydberg de meio micrômetro de diâmetro, cujos sussurros de rádio mapeiam as nuvens ionizadas da Galáxia e cujas interações hoje movem computadores quânticos.

11.1 O problema de Coulomb resolvido

Teorema 11.1 (Níveis do hidrogênio)

Para $V(r) = -e^2/4\pi\varepsilon_0 r$ (escreva $k = e^2/4\pi \varepsilon_0$ ), os estados ligados são rotulados por $(n, l, m)$ com

E_n = -\frac{E_{\text{I}}}{n^2} , \qquad E_{\text{I}} = \frac{m_{\text{e}}k^2}{2\hbar^2} = 13.6\,\mathrm{eV} , \qquad n = 1, 2, 3, \dots

e, para cada $n$ , os números orbitais $l = 0, 1, \dots, n-1$ e $m = -l, \dots, l$ . O comprimento natural é o raio de Bohr $a_0 = \hbar^2/m_{\text{e}}k = 52.9\,\mathrm{pm}$ ; o estado fundamental é

\psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\;\eu^{-r/a_0} .

A energia depende apenas de $n$ : contando os $m$ e os $l$ , o nível $n$ tem degenerescência $n^2$ (dobrada pelo spin, Capítulo 12) — muito além da degenerescência $(2l+1)$ que a isotropia explica.

Demonstração parcial. Para o estado fundamental, tente $u = Cr\,\eu^{-r/a}$ na equação radial com $l = 0$ : $u'' = (1/a^2 - 2/ar)u$ , de modo que $-\tfrac{\hbar^2}{2m_{\text{e}}}u'' - \tfrac kr u = Eu$ exige $\hbar^2/m_{\text{e}}a = k$ (igualando os termos em $1/r$ ) — o que é $a = a_0$ — e $E = -\hbar^2/2m_{\text{e}}a_0^2 = -E_{\text{I}}$ . A solução geral (polinômios de Laguerre, com $n - l - 1$ nós radiais) é admitida; cada passo da construção é elementar, mas longo. A degenerescência “acidental” em $l$ espelha um segredo clássico da força $1/r$ pura — as elipses de Kepler não precessam, e um vetor conservado a mais (Laplace–Runge–Lenz) aponta ao longo do eixo maior fixo; sua versão quântica é o que amarra diferentes $l$ a uma mesma energia (Exercício 11.12). ∎

Os níveis do hidrogênio -E_ I/n2, distribuídos por l: todas as subcamadas de um mesmo n coincidem (o “acidente” de Coulomb). Os saltos para baixo que terminam em n = 1 formam a série ultravioleta de Lyman; os que terminam em n = 2, a série visível de Balmer, que tinge as nebulosas de vermelho. — Os níveis do hidrogênio $-E_{\text{I}}/n^2$ , distribuídos por $l$ : todas as subcamadas de um mesmo $n$ coincidem (o “acidente” de Coulomb). Os saltos para baixo que terminam em $n = 1$ formam a série ultravioleta de Lyman; os que terminam em $n = 2$ , a série visível de Balmer, que tinge as nebulosas de vermelho.

11.2 Onde está o elétron

Proposição 11.2 (Distribuições radiais)

A probabilidade de encontrar o elétron entre $r$ e $r + \dd r$ vale $P(r)\,\dd r$ , com $P(r) = |u(r)|^2$ , o quadrado da função radial normalizada do Teorema 10.6. Para os estados mais baixos: $P_{1s} \propto r^2\eu^{-2r/a_0}$ , com pico exatamente em $r = a_0$ e $\langle r\rangle = \tfrac32 a_0$ ; $P_{2s}$ mostra duas corcovas separadas por um nó esférico; $P_{2p} \propto r^4\eu^{-r/a_0}$ , com pico em $4a_0$ . Em geral, $\langle r\rangle \approx n^2a_0$ : os átomos crescem quadraticamente com a excitação, enquanto sua ligação encolhe como $1/n^2$ — a alavanca por trás dos gigantes de Rydberg do Problema 11.1.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Densidades de probabilidade radial. O pico do 1s fica exatamente em a_0; o estado 2s carrega um nó esférico e um lóbulo perto do núcleo — a “penetração” que ordenará a tabela periódica — ao passo que o 2p, murado pela barreira centrífuga, mantém distância. — Densidades de probabilidade radial. O pico do $1s$ fica exatamente em $a_0$ ; o estado $2s$ carrega um nó esférico e um lóbulo perto do núcleo — a “penetração” que ordenará a tabela periódica — ao passo que o $2p$ , murado pela barreira centrífuga, mantém distância.

Exemplo 11.3 (Ler os tamanhos)

Estado fundamental: $0.1\,\mathrm{nm}$ de diâmetro, $13.6\,\mathrm{eV}$ de profundidade — as escalas de toda a química. Em $n = 10$ : raio $\sim5\,\mathrm{nm}$ , ligação de $0.136\,\mathrm{eV}$ — frouxamente preso. Em $n = 100$ : um átomo de escala micrométrica ligado por $1.4\,\mathrm{meV}$ , destruído pelo mais débil dos campos — e, ainda assim, o espaço interestelar é vazio o bastante para que tais átomos vivam e transmitam (Problema 11.1).

11.3 O espectro

Proposição 11.4 (Séries e regras de seleção)

Um salto $n' \to n$ emite o comprimento de onda

\frac{1}{\lambda} = R_{\text{H}}\Big(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{n'^2}\Big) , \qquad R_{\text{H}} = \frac{E_{\text{I}}}{hc} = 1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1} ,

sujeito à regra de seleção dipolar $\Delta l = \pm1$ (o fóton carrega $\hbar$ ). A série de Lyman ( $\to n = 1$ ) fica no ultravioleta distante, a partir de $121.6\,\mathrm{nm}$ ; a série de Balmer ( $\to n = 2$ ) começa na linha vermelha $H\alpha$ , em $656.3\,\mathrm{nm}$ — a cor das nebulosas de emissão e das proeminências solares; as séries de Paschen e seguintes recuam para o infravermelho e, entre $n = 110$ e $109$ , a mesma fórmula aterrissa em $5.0\,\mathrm{GHz}$ : o hidrogênio fala do ultravioleta ao dial do rádio.

Demonstração. Conservação de energia com o Teorema 11.1; $R_{\text{H}}$ como no Problema 2.1, agora deduzido em vez de postulado. ∎

Exemplo 11.5 (Átomos hidrogenoides: uma solução, muitos átomos)

Substitua a carga do próton por $Ze$ e o elétron por qualquer massa $\mu$ em órbita: toda fórmula se reescala como

a \to a_0\,\frac{m_{\text{e}}}{\mu}\,\frac1Z , \qquad E_{\text{I}} \to E_{\text{I}}\,\frac{\mu}{m_{\text{e}}}\,Z^2 .

He $^+$ ( $Z = 2$ ): $54.4\,\mathrm{eV}$ . Elétrons internos de átomos pesados ( $Z \sim 30$ ): energias da camada K na faixa do keV — os raios X característicos com que Moseley ordenou os elementos (Exercício 11.5). Hidrogênio muônico ( $\mu = 207 m_{\text{e}}$ ): um átomo de escala femtométrica que sonda o próprio próton. Positrônio ( $e^+e^-$ , $\mu = m_{\text{e}}/2$ ): metade da ligação, o dobro do tamanho e uma vida curta que termina em fótons de aniquilação. E, num semicondutor, um elétron e um buraco orbitam um ao outro com massas efetivas pequenas num dielétrico que blinda a interação: um éxciton, o mesmo átomo crescido até dez nanômetros e milielétron-volts (Exercício 11.7) — o hidrogênio é menos um átomo do que um molde.

Uma solução, quatro “átomos”: reescalar massa, carga e vizinhança dielétrica transforma o hidrogênio em sondas do próton, em testes de eletrodinâmica quântica pura e nos quase átomos emissores de luz dos semicondutores.

Método 11.6 (Trabalhar com sistemas hidrogenoides)

(1) Reescale primeiro: $a \propto 1/\mu Z$ e $E \propto \mu Z^2$ transformam qualquer resposta do hidrogênio em qualquer resposta hidrogenoide. (2) Tamanhos: $\langle r\rangle \sim n^2a$ ; espaçamentos perto do nível $n$ : $\dd E/\dd n = 2E_{\text{I}}/n^3$ . (3) Espectros: fórmula de Rydberg mais $\Delta l = \pm1$ . (4) Penetração: os estados $s$ sentem o núcleo, os de $l$ alto orbitam por fora — a alavanca da química de vários elétrons. (5) Âncoras de sanidade: $13.6\,\mathrm{eV}$ , $52.9\,\mathrm{pm}$ , $121.6\,\mathrm{nm}$ e $656.3\,\mathrm{nm}$ — quatro números que vale a pena memorizar para a vida toda.

Um tubo de descarga de hidrogênio e um espectroscópio de bolso: o brilho rosado, decomposto, torna-se as linhas de Balmer — a impressão digital inteira que este capítulo deduz do potencial de Coulomb.

11.4 Exercícios

Exercício 11.1 ★

(a) Verifique por substituição que $u = Cr\eu^{-r/a_0}$ resolve a equação radial de $l = 0$ com $E = -E_{\text{I}}$ , desde que $a_0 = \hbar^2/m_{\text{e}}k$ . (b) Normalize-a ( $\int_0^\infty x^2\eu^{-x}\dd x = 2$ ). (c) Confira as dimensões de $a_0$ e de $E_{\text{I}}$ . (d) Por que não existe estado abaixo de $-E_{\text{I}}$ (argumente com o Exercício 7.12)?

Solução

Solução de Exercício 11.1.

(a) $u'' = (1/a^2 - 2/ar)u$ ; os termos em $1/r$ se igualam quando $\hbar^2/m_{\text{e}}a = k$ , isto é, $a = a_0$ , e os termos constantes dão $E = -\hbar^2/2m_{\text{e}}a_0^2 = -E_{\text{I}}$ . (b) $C = 2/a_0^{3/2}$ . (c) $[\hbar^2/mk] = \mathrm{m}$ ; $[mk^2/\hbar^2] = \mathrm{J}$ . (d) O argumento variacional do Exercício 7.12 mostra que $-E_{\text{I}}$ é a menor energia que qualquer estado normalizado consegue atingir: o princípio de incerteza põe um piso no átomo.

Exercício 11.2 ★

Calcule (a) os comprimentos de onda da Lyman $\alpha$ e do limite de Lyman; (b) as três primeiras linhas de Balmer e o limite de Balmer — quais são visíveis, e de que cores? (c) a faixa da série de Paschen; (d) a frequência da transição $n = 110 \to 109$ .

Solução

Solução de Exercício 11.2.

(a) $121.6\,\mathrm{nm}$ ; limite em $91.2\,\mathrm{nm}$ . (b) $656.3$ (vermelho), $486.1$ (azul-esverdeado), $434.0\,\mathrm{nm}$ (violeta); limite em $364.6\,\mathrm{nm}$ — as três primeiras são visíveis. (c) De $1875\,\mathrm{nm}$ até $820\,\mathrm{nm}$ : infravermelho próximo. (d) $R_{\text{H}}c\,(1/109^2 - 1/110^2) = 5.01\,\mathrm{GHz}$ .

Exercício 11.3 ★

Para o estado fundamental: (a) localize o máximo de $P_{1s}(r)$ ; (b) calcule $\langle r\rangle$ ; (c) calcule a probabilidade de encontrar o elétron além de $2a_0$ ( $\int_x^\infty t^2\eu^{-t}\dd t = (x^2 + 2x + 2)\eu^{-x}$ ); (d) por que as imagens de “órbita” de raio exatamente $a_0$ enganam?

Solução

Solução de Exercício 11.3.

(a) $\dd(r^2\eu^{-2r/a_0})/\dd r = 0$ em $r = a_0$ . (b) $\langle r\rangle = (4/a_0^3)\int_0^\infty r^3\eu^{-2r/a_0}\dd r = (4/a_0^3)\times 3!\,(a_0/2)^4 = \tfrac32 a_0$ . (c) Com $x = 4$ : $\tfrac12(16 + 8 + 2)\eu^{-4} = 0.24$ : um quarto do tempo o elétron está além de $2a_0$ . (d) O elétron não tem raio: $P(r)$ é uma distribuição com moda, média e caudas longas — o átomo é difuso na escala de um fator dois.

Exercício 11.4 ★

(a) Liste os pares $(l, m)$ de $n = 3$ e verifique a contagem $n^2 = 9$ . (b) Com o spin, quantos estados há nas camadas $n = 1, 2, 3$ ? (c) Relacione-os com os comprimentos $2, 8, 18$ das linhas da tabela periódica. (d) Que degenerescência (em $m$ ou em $l$ ) sobrevive no elétron externo do sódio, e por que a outra se quebra?

Solução

Solução de Exercício 11.4.

(a) $l = 0$ : um; $l = 1$ : três; $l = 2$ : cinco — nove. (b) $2$ , $8$ , $18$ . (c) Exatamente os comprimentos das três primeiras linhas: a tabela periódica é o registro do preenchimento dessas camadas. (d) A degenerescência em $m$ sobrevive (o espaço continua isotrópico); a degenerescência em $l$ se quebra porque o potencial blindado que o elétron de valência vê já não é $1/r$ puro — Exercício 11.8.

Exercício 11.5 ★★

A escada de Moseley. Um elétron interno (da camada K) de um elemento $Z$ se move num campo nuclear quase nu, blindado pelo único outro elétron K: carga efetiva $\approx Z - 1$ . (a) Mostre que a energia do raio X $2p \to 1s$ vale aproximadamente $\tfrac34(Z-1)^2E_{\text{I}}$ . (b) Avalie-a para o cobre ( $Z = 29$ ) e compare com a K $\alpha$ medida em $8.05\,\mathrm{keV}$ . (c) Moseley (1913) traçou $\sqrt{\nu}$ contra $Z$ e obteve retas: o que isso provou sobre o significado do número atômico? (d) Preveja a energia K $\alpha$ do elemento $Z = 43$ , então faltante.

Solução

Solução de Exercício 11.5.

(a) Hidrogenoide com $Z - 1$ : $h\nu = (Z-1)^2E_{\text{I}}(1 - \tfrac14)$ . (b) $784 \times 10.2\,\mathrm{eV} = 8.0\,\mathrm{keV}$ — coincidindo com a K $\alpha$ medida do cobre. (c) Que o inteiro que ordena os elementos é a carga nuclear, e não o peso atômico: as lacunas nas retas de Moseley localizaram elementos não descobertos. (d) $42^2 \times 10.2 = 18.0\,\mathrm{keV}$ — o tecnécio, encontrado décadas depois, obedeceu.

Exercício 11.6 ★★

Positrônio. (a) Justifique $\mu = m_{\text{e}}/2$ e dê sua energia de ligação e seu raio de Bohr. (b) Seu comprimento de onda Lyman $\alpha$ . (c) O para-positrônio se aniquila em dois fótons: as energias deles e as direções relativas (a partir do Capítulo 5). (d) Onde a medicina detecta exatamente essa assinatura todos os dias?

Solução

Solução de Exercício 11.6.

(a) Duas massas iguais: $\mu = m_{\text{e}}/2$ : ligação de $6.8\,\mathrm{eV}$ , raio $2a_0 = 0.106\,\mathrm{nm}$ . (b) $\tfrac34 \times 6.8 = 5.1\,\mathrm{eV}$ : $243\,\mathrm{nm}$ . (c) Dois fótons de $511\,\mathrm{keV}$ , em sentidos opostos (conservação do momento em repouso). (d) Na tomografia por emissão de pósitrons: o par de fótons colineares de $511\,\mathrm{keV}$ é o sinal que todo anel PET triangula.

Exercício 11.7 ★★

Éxcitons. No arseneto de gálio, $\varepsilon_{\text{r}} = 12.9$ e a massa efetiva reduzida vale $\mu = 0.058\,m_{\text{e}}$ . (a) Mostre que $a_{\text{ex}} = a_0\,\varepsilon_{\text{r}}\,m_{\text{e}}/\mu$ e avalie. (b) A energia de ligação do éxciton. (c) Compare $a_{\text{ex}}$ com os raios dos pontos quânticos do Problema 7.1 e justifique, enfim, o descarte do termo de Coulomb em pontos pequenos. (d) Por que as linhas excitônicas só aparecem em semicondutores puros e frios ( $k_{\text{B}}T$ contra a sua resposta de (b))?

Solução

Solução de Exercício 11.7.

(a) $a_{\text{ex}} = 0.0529 \times 12.9/0.058 = 11.8\,\mathrm{nm}$ . (b) $E = 13.6 \times 0.058/12.9^2 = 4.7\,\mathrm{meV}$ . (c) O tamanho natural do par excede o do ponto: é a parede, e não a atração, que dá forma ao estado — o $1/R^2$ vence o $1/R$ , como prometido. (d) O $k_{\text{B}}T$ à temperatura ambiente vale cinco vezes a ligação: os pares se ionizam; a física excitônica vive abaixo de $\sim50\,\mathrm{K}$ , em cristais limpos.

Exercício 11.8 ★★

Penetração e os metais alcalinos. O sódio é um elétron de valência hidrogenoide fora de um caroço fechado de carga efetiva $+e$ . (a) Qual dos estados $3s$ , $3p$ , $3d$ sente mais o núcleo incompletamente blindado, e por quê (lembre a figura radial)? (b) Os níveis medidos são $E_{3s} = -5.14\,\mathrm{eV}$ , $E_{3p} = -3.04\,\mathrm{eV}, E_{3d} = -1.52\,\mathrm{eV}$ : verifique que o $3d$ é quase hidrogenoide ( $n = 3$ ), enquanto o $3s$ é bem mais profundo, e explique. (c) Calcule o comprimento de onda de $3p \to 3s$ : que cor famosa é essa? (d) Escreva os níveis alcalinos como $-E_{\text{I}}/(n - \delta_l)^2$ e extraia os “defeitos quânticos” $\delta_s$ e $\delta_p$ do sódio.

Solução

Solução de Exercício 11.8.

(a) O $3s$ : seu lóbulo mais interno mergulha dentro do caroço, onde o $+11$ nuclear é mal blindado. (b) $-13.6/9 = -1.51\,\mathrm{eV}$ bate quase exatamente com o $3d$ : o $3d$ orbita fora do caroço e vê um $+1$ líquido; o $3s$ (e em parte o $3p$ ) prova o potencial profundo e afunda. (c) $\Delta E = 2.10\,\mathrm{eV}$ : $\lambda = 590\,\mathrm{nm}$ — o amarelo de sódio dos postes de rua. (d) $n_{\text{eff}} = \sqrt{13.6/|E|}$ : $1.63$ e $2.11$ , logo $\delta_s = 1.37$ e $\delta_p = 0.89$ .

Exercício 11.9 ★★

Um próton numa nebulosa captura um elétron em $n = 100$ . (a) Quanta energia é liberada no fóton de captura, se o elétron chegou quase livre? (b) O átomo desce em cascata, preferencialmente por passos $\Delta n = 1$ em $n$ alto: em que faixa caem esses fótons? (c) O último passo da cascata é a Lyman $\alpha$ ; a luz visível das nebulosas é dominada pela H $\alpha$ : identifique que passo da cascata é esse. (d) Explique por que as nebulosas de emissão brilham em vermelho, embora a linha mais forte do hidrogênio (a Lyman $\alpha$ ) seja ultravioleta.

Solução

Solução de Exercício 11.9.

(a) Aproximadamente a ligação de $n = 100$ , $\sim1.4\,\mathrm{meV}$ , mais a pequena energia térmica do elétron: um fóton de infravermelho distante ou de rádio. (b) Os passos $\Delta n = 1$ perto de $n \approx 100$ caem na faixa de rádio dos GHz — as linhas de recombinação. (c) A H $\alpha$ é o passo $3 \to 2$ , perto do fim da cascata. (d) A Lyman $\alpha$ , embora a mais forte, é ultravioleta e, numa nebulosa cheia de hidrogênio no estado fundamental, é espalhada de forma ressonante e fica aprisionada; a H $\alpha$ escapa livremente e pinta a nebulosa de vermelho.

Exercício 11.10 ★★★

Médias e o virial. Para o estado fundamental, calcule (a) $\langle 1/r\rangle$ e verifique $\langle E_p\rangle = -2E_{\text{I}} = 2E_1$ ; (b) $\langle E_k\rangle = +E_{\text{I}}$ , confirmando a razão do virial do Exercício 2.4; (c) a velocidade quadrática média do elétron e $v/c$ ; (d) a ordem de grandeza do campo magnético que o próton sente por causa do movimento do elétron (uma espira de corrente $ev/2\pi a_0$ vista à distância $a_0$ ) — um número de que a estrutura hiperfina precisará.

Solução

Solução de Exercício 11.10.

(a) $\langle 1/r\rangle = 1/a_0$ : $\langle E_p\rangle = -k/a_0 = -27.2\,\mathrm{eV} = 2E_1$ . (b) $\langle E_k\rangle = E_1 - \langle E_p\rangle = +13.6\,\mathrm{eV}$ : a razão do virial $-\tfrac12$ de toda órbita em $1/r$ . (c) $v = \sqrt{2E_k/m_{\text{e}}} = \alpha c = 2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) $I = ev/2\pi a_0 \approx 1\,\mathrm{mA}$ circulando a $53\,\mathrm{pm}$ : $B \sim \mu_0I/2a_0 \approx 12\,\mathrm{T}$ — o enorme campo interno de que a estrutura hiperfina vai se alimentar.

Exercício 11.11 ★★★

Quão fina é a estrutura fina. (a) Mostre que a escala de velocidade do estado fundamental é $\langle v^2\rangle^{1/2}/c = \alpha \approx 1/137$ e que, para um hidrogenoide de $Z$ , ela vale $Z\alpha/n$ . (b) As correções relativísticas entram em ordem relativa $(v/c)^2$ : estime a escala de estrutura fina $\alpha^2E_{\text{I}}$ em meV e a ordem do desdobramento para $n = 2$ em GHz. (c) Para o urânio hidrogenoide ( $Z = 92$ ): $v/c$ em $n = 1$ — o tratamento não relativístico se sustenta? (d) O que a divergência formal em $Z\alpha \to 1$ ( $Z \approx 137$ ) anuncia fisicamente?

Solução

Solução de Exercício 11.11.

(a) Do Exercício 11.10(c), $v/c = \alpha$ ; reescalando: $Z\alpha/n$ . (b) $\alpha^2E_{\text{I}} = 0.72\,\mathrm{meV}$ ; em $n = 2$ os desdobramentos saem em dezenas de $\text{µ}\mathrm{eV}$ — uns $10\,\mathrm{GHz}$ , mensuráveis por rádio (e medidos). (c) $Z\alpha = 0.67$ : dois terços da velocidade da luz — o tratamento de Schrödinger falha; a equação de Dirac assume. (d) Em $Z\alpha \to 1$ , a energia do estado fundamental mergulha formalmente abaixo de $-2m_{\text{e}}c^2$ : o próprio vácuo faria brotar pares elétron–pósitron — campos supercríticos, buscados em colisões de íons pesados.

Exercício 11.12 ★★★

A degenerescência desarrazoada. (a) Na mecânica clássica, mostre que, para $V = -k/r$ , a órbita se fecha (sem precessão), citando o vetor conservado de Laplace–Runge–Lenz $\vect A = \vect p\wedge\vect L - mk\,\vect e_r$ — verifique $\dd\vect A/\dd t = 0$ usando a lei de Newton. (b) Argumente: um vetor conservado que fixa o eixo da elipse é uma simetria a mais, além das rotações — e simetria a mais significa degenerescência a mais (lembre o Exercício 8.9). (c) Acrescente uma pequena correção em $1/r^2$ ao potencial e mostre que a elipse precessa: o eixo gira e $\vect A$ deixa de se conservar. (d) Conecte: nos átomos de vários elétrons, o potencial efetivo não é $1/r$ puro, e a degenerescência em $l$ se quebra (o sódio!); no próprio hidrogênio, é a relatividade que fornece a pequena correção — que característica observada do Exercício 11.11 é essa?

Solução

Solução de Exercício 11.12.

(a) Derive: $\dot{\vect p}\wedge\vect L = -(mk/r^3)\vect r\wedge(\vect r\wedge\dot{\vect r}\,m)$ ; expandir o duplo produto vetorial dá exatamente $mk\,\dd\vect e_r/\dd t$ : $\dot{\vect A} = \vect 0$ . (b) Um eixo conservado é uma simetria além da isotropia; a degenerescência é rotulagem incompleta, e o rótulo extra (a prima quântica de $\vect A$ ) conecta os $l$ dentro de um mesmo $n$ . (c) Com $V = -k/r + \epsilon/r^2$ , o momento angular efetivo se desloca, o período angular deixa de casar com o radial, e o eixo da elipse gira a uma taxa $\propto\epsilon$ . (d) As correções da relatividade fazem o papel de $\epsilon$ no próprio hidrogênio: a estrutura fina do Exercício 11.11 é precisamente a quebra da degenerescência em $l$ .

11.5 Problema: Átomos gigantes

Problema 11.1

Problema de fim de semana — átomos de Rydberg, do brilho de rádio da Galáxia aos computadores quânticos

Estique o hidrogênio até $n \approx 100$ e ele se torna um objeto de outra espécie: micrômetros de diâmetro, ligado por milielétron-volts, absurdamente sensível — e absurdamente útil. Este problema amplia a solução do hidrogênio, primeiro até as nuvens interestelares que transmitem em comprimentos de onda centimétricos, depois até os arranjos de laboratório em que tais gigantes se emaranham uns nos outros e formam processadores. Dados: $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ , $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $R_{\text{H}}c = 3.29 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ , e o $k_{\text{B}}T$ a $300\,\mathrm{K}$ vale $25.9\,\mathrm{meV}$ .

Parte I — As leis de escala.

Dê as quatro escalas básicas com $n$ : o tamanho $\langle r\rangle$ , a ligação $|E_n|$ , o espaçamento $E_{n+1} - E_n$ (para $n$ grande) e a frequência orbital clássica da órbita de Bohr correspondente.
Mostre que, para $n$ grande, a frequência de transição $n+1 \to n$ se aproxima de $2R_{\text{H}}c/n^3$ e verifique que ela é igual à frequência orbital clássica (o princípio da correspondência do Problema 2.1, completado).
Avalie o tamanho e a ligação em $n = 50$ e $n = 100$ .
O dipolo elétrico de um átomo de Rydberg escala como $n^2ea_0$ : avalie-o em $n = 50$ , em debyes ( $1\,\text{D} = 3.34 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ), e compare com os $1.85\,\mathrm{D}$ de uma molécula de água.
Estime o campo elétrico que despedaça o átomo de $n = 50$ , como $F \sim |E_n|/(e\,\langle r\rangle)$ , em V/cm.
Por que átomos assim não sobrevivem à química ordinária do vácuo de laboratório — e, no entanto, sobrevivem muito bem no espaço interestelar (compare as taxas de colisão)?

Parte II — As linhas de recombinação da Galáxia. Nas nebulosas ionizadas, os prótons capturam elétrons em $n$ alto; a cascata irradia um pente de “linhas de recombinação de rádio”.

Calcule a frequência da transição $n = 110 \to 109$ (chamada H109 $\alpha$ ).
Em que faixa ela cai, e que tipo de telescópio a recebe?
Calcule o comprimento de onda da H109 $\alpha$ e compare-o com o tamanho do átomo emissor: quantos átomos cabem num comprimento de onda?
Essas linhas medem a temperatura da nebulosa por sua largura Doppler: a $T = 10^{4}\,\mathrm{K}$ , a velocidade térmica do hidrogênio é $\sim12.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — calcule a largura relativa de linha $\Delta\nu/\nu$ e a largura da H109 $\alpha$ em kHz.
As ondas de rádio atravessam a poeira que enegrece o céu óptico: o que isso permite mapear aos astrônomos de linhas de recombinação que os astrônomos das linhas de Balmer não conseguem?
Acima de mais ou menos $n \sim 1000$ (átomos de $0.05$ milímetro de diâmetro!), os níveis se borram num contínuo mesmo no espaço: nomeie dois efeitos que alargam ou destroem tais estados.

Parte III — Gigantes no laboratório.

Lasers levam átomos de rubídio a $n \approx 70$ em arranjos de pinças ópticas espaçadas de micrômetros. Dois átomos desses, à distância $R$ um do outro, interagem por seus dipolos induzidos (lembre o Exercício 9.10): com dipolo $\propto n^2$ , mostre que a intensidade de van der Waals escala com um colossal $n^{11}$ (use $C_6 \propto d^4/\Delta E$ com espaçamento de níveis $\Delta E \propto n^{-3}$ ).
O “bloqueio”: dentro de um raio $R_{\text{b}}$ , a interação desloca o estado duplamente excitado para fora da ressonância do laser, de modo que dois átomos não podem ser excitados ao mesmo tempo. Explique numa frase por que isso realiza uma porta de dois qubits.
Os raios de bloqueio chegam a vários micrômetros — milhares de vezes o tamanho dos átomos no estado fundamental: por que esse longo alcance (compare com o alcance nanométrico da química) é exatamente o que um processador escalável quer?
Um estado de Rydberg em $n = 70$ vive $\sim100\,\text{µ}\mathrm{s}$ , enquanto uma porta leva $\sim0.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ : quantas operações cabem, grosso modo, numa vida média, e por que essa razão, e não a vida média sozinha, é o que importa?
A radiação de corpo negro à temperatura ambiente, com pico perto de $100\,\mathrm{meV}$ mas rica numa cauda de baixa energia, provoca transições entre níveis de Rydberg vizinhos separados por apenas $\sim0.1\,\mathrm{meV}$ : por que os experimentos de precisão precisam encerrar os átomos em blindagens frias?
Estime quantas transições dipolares do tipo antena ( $\propto n^2$ ) um banho de fótons a $300\,\mathrm{K}$ provoca por segundo, em comparação com um átomo de $n = 1$ : que lei de escala faz dos átomos de Rydberg sensores primorosos de campos de micro-ondas e de terahertz?

Parte IV — O quadro geral.

Uma fórmula, $E_n = -E_{\text{I}}\mu Z^2/m_{\text{e}}n^2$ , abrange quantas ordens de grandeza de energia de ligação, do urânio hidrogenoide ( $Z = 92$ , $n = 1$ ) até um estado de Rydberg com $n = 1000$ ? Calcule os dois extremos.
As vidas médias radiativas dos estados de $l$ baixo escalam como $n^3$ : a partir da vida média de $1.6\,\mathrm{ns}$ do $2p$ , estime a vida média de um estado $100p$ — e compare com o problema do corpo negro à temperatura ambiente da Parte III.
No CERN, anti-átomos de anti-hidrogênio já têm o intervalo $1s \to 2s$ medido com quinze algarismos: que simetria fundamental a concordância com o hidrogênio comum testa, e por que o hidrogênio é o átomo certo para essa comparação?
Em $n \sim 100$ , a onda de de Broglie do elétron envolve uma órbita quase clássica; em $n = 1$ não existe órbita alguma: numa frase, onde a imagem clássica se acende?
As constantes de Rydberg são medidas com quinze algarismos: por que o hidrogênio, entre todos os sistemas, é a âncora natural de precisão da física atômica?
O Prêmio Nobel de 2012 (Haroche) usou átomos de Rydberg como contadores de fótons que não destroem o fóton: que duas propriedades das Partes I e III fazem deles sondas ideais, não demolidoras, de campos de micro-ondas?
Resuma o resultado central: as leis de escala $n^2$ , $n^{-2}$ , $n^{-3}$ e $n^{11}$ de um único átomo resolvido exatamente esticam o hidrogênio de $52.9\,\mathrm{pm}$ a meio micrômetro, afinam sua voz de $121.6\,\mathrm{nm}$ a $6\,\mathrm{cm}$ e o transformam ao mesmo tempo no farol de rádio da Galáxia e na porta de dois qubits dos computadores quânticos de átomos neutros.

Solução

Solução de Problema 11.1.

1. $\langle r\rangle \sim n^2a_0$ ; $|E_n| = E_{\text{I}}/n^2$ ; espaçamento $\approx 2E_{\text{I}}/n^3$ ; frequência orbital $\propto 1/n^3$ (Kepler na órbita de Bohr). 2. $E_{n+1} - E_n \to 2E_{\text{I}}/n^3$ , e $h$ vezes a frequência clássica $v_n/2\pi r_n$ dá a mesma expressão (o cálculo do Problema 2.1, item 20). 3. $n = 50$ : $132\,\mathrm{nm}$ , $5.4\,\mathrm{meV}$ ; $n = 100$ : $0.53\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $1.4\,\mathrm{meV}$ . 4. $n^2ea_0 = 2.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m} \approx 6300\,\text{D}$ : o dipolo de três mil moléculas de água num só átomo. 5. $F \sim 5.4 \times 10^{-3}/1.32 \times 10^{-7} \approx 4 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m} = 400\,\mathrm{V}/\mathrm{cm}$ ; o limiar exato de ionização clássica é cerca de oito vezes menor ( $\sim50\,\mathrm{V}/\mathrm{cm}$ ): de um jeito ou de outro, um sussurro de campo. 6. Com seções de choque geométricas $\sim\pi n^4a_0^2$ , até o vácuo ultra-alto de laboratório faz um átomo desses colidir em microssegundos; as densidades interestelares ( $\sim10^{6}$ partículas por $\mathrm{m}^{3}$ ) lhe dão dias — o espaço é a melhor câmara de vácuo. 7. $\nu = R_{\text{H}}c\,(1/109^2 - 1/110^2) = 5.01\,\mathrm{GHz}$ . 8. Rádio centimétrico: um radiotelescópio — uma antena grande e um receptor silencioso. 9. $\lambda = 6.0\,\mathrm{cm}$ ; o átomo de $n = 110$ tem $\sim0.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ : cem mil átomos por comprimento de onda — confortavelmente um regime de “antena”. 10. $\Delta\nu/\nu \sim v/c = 4.3 \times 10^{-5}$ : cerca de $200\,\mathrm{kHz}$ sobre $5\,\mathrm{GHz}$ — e a largura medida devolve a temperatura nebular. 11. A Galáxia interna ionizada: regiões HII escondidas atrás da poeira que extingue todo fóton de Balmer — as linhas de recombinação de rádio mapearam a estrutura espiral que a astronomia óptica não conseguia ver. 12. Os microcampos elétricos dos íons vizinhos (alargamento Stark) borram os níveis, e a radiação de corpo negro e cósmica, mais as colisões, ionizam ou misturam em $l$ os frágeis estados. 13. $C_6 \sim d^4/\Delta E \propto (n^2)^4/n^{-3} = n^{11}$ : eleve $n$ de $1$ a $70$ e a interação cresce vinte ordens de grandeza. 14. Dentro de $R_{\text{b}}$ o estado do par sai da ressonância, de modo que a excitação de um átomo condiciona a resposta do vizinho: exatamente a lógica controlada de que uma porta de dois qubits precisa. 15. Interações de alcance micrométrico deixam cada átomo em sua própria pinça endereçável, muito afastados pelos padrões atômicos e ainda assim fortemente acoplados — alcance de interação casado com a resolução óptica. 16. $\sim 200$ portas por vida média: a razão limita a fidelidade alcançável, e é a razão, e não os microssegundos brutos, o que sustenta um processador. 17. A $300\,\mathrm{K}$ o banho de fótons é denso perto de $\sim0.1\,\mathrm{meV}$ : ele embaralha e ioniza os níveis de Rydberg dentro das vidas médias radiativas deles; blindagens frias ( $4\,\mathrm{K}$ ) matam essas transições de fome. 18. As taxas de transição escalam como $d^2 \propto n^4$ : em $n = 50$ , seis milhões de vezes o acoplamento de um átomo comum — e é por isso que uma célula de vapor de átomos de Rydberg é hoje um sensor calibrado de campos de micro-ondas e de terahertz. 19. De $92^2 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 115\,\mathrm{keV}$ até $13.6/10^6\,\mathrm{eV} = 13.6\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : dez ordens de grandeza a partir de uma só fórmula. 20. A classicalidade desponta onde o espaçamento se torna uma fração evanescente da energia, $n \gg 1$ — o limite de correspondência do próprio átomo. 21. É o único átomo calculável a partir de princípios primeiros até a precisão do experimento: qualquer discrepância é descoberta, e por isso o hidrogênio ancora as constantes fundamentais. 22. $\tau \approx 1.6\,\mathrm{ns} \times 50^3 = 0.2\,\mathrm{ms}$ — generoso, mas a redistribuição por corpo negro (Parte III) o corrói, outra razão para as blindagens frias. 23. A simetria CPT — os átomos de matéria e de antimatéria precisam coincidir linha a linha; o hidrogênio é a âncora porque só nele a teoria alcança o décimo quinto algarismo ao lado do experimento. 24. O dipolo $n^2$ faz o átomo sentir o campo de um único fóton de micro-ondas, ao passo que sua vida longa e sua estrutura de níveis lhe permitem adquirir uma fase mensurável sem absorver o fóton: sensoriamento quântico não demolidor. 25. As leis de escala $n^2$ , $n^{-2}$ , $n^{-3}$ , $n^{11}$ esticam o único átomo resolvido de $52.9\,\mathrm{pm}$ a meio micrômetro e de $121.6\,\mathrm{nm}$ a $6\,\mathrm{cm}$ — a mesma solução de Schrödinger transmitindo das regiões HII da Galáxia e cronometrando portas de dois qubits em arranjos de pinças.