Física universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

4Cinemática relativística

Os raios cósmicos que atingem a alta atmosfera criam múons a quinze quilômetros de altura — partículas instáveis que vivem, em média, dois microssegundos. Dois microssegundos a quase a velocidade da luz são seiscentos metros; e, no entanto, os detectores de múons ao nível do mar disparam sem parar, contando partículas que percorreram vinte vezes o alcance que lhes cabia. A solução desse paradoxo não é um detalhe da física de partículas, mas uma revisão dos conceitos que sustentam toda a física: o tempo transcorre de modo diferente para o múon em movimento e para nós, e as distâncias encolhem ao longo do seu movimento. Este capítulo constrói essa revisão — a relatividade restrita (Einstein, 1905) — a partir de seus dois postulados: as leis da física são as mesmas em todo referencial inercial, e a luz no vácuo tem a mesma velocidade em todos eles. Todo o resto decorre de uma cinemática honesta: o enlace do espaço com o tempo na transformação de Lorentz, a dilatação do tempo, a contração dos comprimentos, a nova regra de composição de velocidades e a geometria — o espaço-tempo e seu intervalo invariante — em que tudo isso se torna tão natural quanto as rotações.

4.1 Dois postulados contra o tempo absoluto

Observação 4.1 (De onde vem o conflito)

A mecânica sempre teve um princípio de relatividade: dentro de um navio que navega suavemente, nenhum experimento com bolas e pêndulos denuncia o movimento (Galileu), e as leis de Newton valem em todo referencial inercial, isto é, nos referenciais em movimento retilíneo uniforme uns em relação aos outros. Mas o eletromagnetismo do volume do segundo ano deduz uma velocidade definida para a luz, $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , a partir de constantes da natureza, sem qualquer menção a quem a mede — e os experimentos concordam: a velocidade da luz das estrelas que chega à Terra em movimento, medida ao longo das estações, nunca varia (Michelson e Morley, 1887, e todos os seus sucessores). A cinemática galileana, em que as velocidades se somam, não consegue digerir uma velocidade que é a mesma para todos. Algo tem de ceder, e é a nossa suposição de que o tempo e a simultaneidade são absolutos.

Teorema 4.2 (Os postulados da relatividade restrita)

(i) Relatividade: as leis da física tomam a mesma forma em todo referencial inercial; nenhum experimento distingue o repouso do movimento uniforme. (ii) Luz: a luz no vácuo se propaga com a mesma velocidade $c$ em todo referencial inercial, qualquer que seja o movimento da fonte ou do observador.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Definição 4.3 (Eventos e simultaneidade)

Um evento é uma ocorrência pontual: um lugar definido e um instante definido — uma faísca, um disparo de detector, um decaimento. Cada referencial inercial atribui a um evento suas coordenadas $(t, x, y, z)$ , usando réguas em repouso no referencial e relógios sincronizados distribuídos por ele. Dois eventos são simultâneos num referencial quando os relógios desse referencial lhes atribuem o mesmo $t$ — e a primeira vítima dos postulados é que essa noção depende do referencial.

Exemplo 4.4 (O trem e os dois raios)

Dois raios atingem as duas extremidades de um trem veloz, deixando marcas no trem e nos trilhos. Para a observadora no solo, a meio caminho entre as marcas, os dois clarões chegam juntos: as descargas foram simultâneas para ela. O passageiro sentado no meio do trem, porém, move-se na direção de um clarão e afastando-se do outro; viajando a $c$ também no referencial dele, o clarão da frente o alcança primeiro — e, como ele está a igual distância das duas marcas no trem, deve concluir que a descarga da frente ocorreu antes. Nenhum dos dois está errado: a simultaneidade de eventos separados não é um fato sobre o mundo, mas sobre o referencial. Todo “paradoxo” relativístico se dissolve aqui.

Dois raios marcam ao mesmo tempo o trem e os trilhos. A observadora no solo, a meio caminho entre as marcas, recebe os clarões juntos: simultâneos para ela. O passageiro corre ao encontro do clarão B; ele o alcança primeiro e — estando a igual distância das marcas em seu próprio referencial — ele conclui que B veio antes. A simultaneidade é relativa.

4.2 A transformação de Lorentz

Teorema 4.5 (Transformação de Lorentz)

Seja o referencial $\mathcal R'$ em movimento com velocidade $v$ ao longo do eixo $x$ do referencial $\mathcal R$ , com as origens coincidindo em $t = t' = 0$ . Um evento $(t, x)$ de $\mathcal R$ tem em $\mathcal R'$ as coordenadas

x' = \gamma\,(x - vt) , \qquad t' = \gamma\Big(t - \frac{v\,x}{c^2}\Big) , \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} ,

com $y' = y$ , $z' = z$ ; a transformação inversa é a mesma com $v \to -v$ . Para $v \ll c$ , $\gamma \to 1$ e recupera-se o $x' = x - vt$ , $t' = t$ de Galileu. O fator $\gamma \ge 1$ — apenas $1$ nas velocidades cotidianas, $1.15$ a $c/2$ , $7.1$ a $0.99c$ — mede todos os efeitos relativísticos deste capítulo.

Demonstração parcial. A homogeneidade do espaço e do tempo obriga a transformação a ser linear; a simetria entre os referenciais e o postulado da relatividade a reduzem a $x' = \gamma(x - vt)$ , $x = \gamma(x' + vt')$ com uma única função incógnita $\gamma(v)$ . Acompanhe um clarão de luz emitido na origem comum: o postulado (ii) exige $x = ct$ e $x' = ct'$ . Substituindo, $ct' = \gamma t(c - v)$ e $ct = \gamma t'(c + v)$ ; multiplicando as duas equações, $c^2 = \gamma^2(c^2 - v^2)$ , que é o $\gamma$ enunciado. Eliminando $x'$ entre as duas relações lineares obtém-se a fórmula do tempo. (A passagem de “a luz concorda” a “a transformação está completamente fixada” — sem qualquer alongamento residual das direções transversais nem reescalonamento — usa os argumentos de simetria detalhados no Exercício 4.11.) ∎

Proposição 4.6 (Dilatação do tempo)

Um relógio em repouso em $\mathcal R'$ — que bate com $x'$ fixo — é visto de $\mathcal R$ andar devagar: entre dois de seus tiques separados pelo tempo próprio $\Delta\tau$ (o tempo do referencial em que o relógio repousa), o referencial $\mathcal R$ mede

\Delta t = \gamma\,\Delta\tau \ge \Delta\tau .

Os relógios em movimento andam devagar — todos eles, biológicos, atômicos ou subatômicos, porque o que se dilata é o tempo em si, e não um mecanismo.

Demonstração. Dois tiques no mesmo $x'$ : a transformação inversa dá $\Delta t = \gamma(\Delta t' + v\,\Delta x'/c^2) = \gamma\,\Delta\tau$ , pois $\Delta x' = 0$ . A imagem do relógio de luz (Exercício 4.2) dá o mesmo $\gamma$ só com Pitágoras. ∎

Proposição 4.7 (Contração dos comprimentos)

Uma haste de comprimento próprio $L_0$ (seu comprimento no referencial em que repousa), em movimento longitudinal com velocidade $v$ , mede no laboratório

L = \frac{L_0}{\gamma} \le L_0 .

As dimensões transversais não mudam. Medir uma haste em movimento significa localizar suas duas extremidades no mesmo instante do laboratório — e, como a simultaneidade depende do referencial, o comprimento também depende.

Demonstração. Marque as duas extremidades no mesmo tempo $t$ do laboratório: a transformação dá $\Delta x' = \gamma(\Delta x - v\Delta t) = \gamma\,\Delta x$ com $\Delta t = 0$ , e $\Delta x' = L_0$ : logo $\Delta x = L_0/\gamma$ . ∎

O relógio de luz: um fóton que ricocheteia entre dois espelhos. Visto do referencial em que o relógio se move, o fóton percorre um caminho mais longo e inclinado à mesma velocidade c: o tique demora mais, t = \,, só por Pitágoras. — O relógio de luz: um fóton que ricocheteia entre dois espelhos. Visto do referencial em que o relógio se move, o fóton percorre um caminho mais longo e inclinado à mesma velocidade $c$ : o tique demora mais, $\Delta t = \gamma\,\Delta\tau$ , só por Pitágoras.

Exemplo 4.8 (O múon, explicado duas vezes)

Um múon a $v = 0.995c$ tem $\gamma = 10$ . No nosso referencial, seu relógio interno anda dez vezes mais devagar: seus dois microssegundos de vida própria se esticam para vinte, e ele percorre seis quilômetros em vez de seiscentos metros. No referencial do múon, sua vida são os comuns $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ — mas a montanha que se precipita sobre ele está contraída dez vezes, e cabe no percurso. Os dois referenciais concordam sobre o único fato físico, se o múon chega ou não ao detector: a relatividade reembaralha tempos e comprimentos, jamais desfechos (Problema 4.1).

Método 4.9 (Como não confundir os efeitos)

(1) Identifique os eventos (emissão, chegada, tique, decaimento), e não “objetos”. (2) O tempo próprio $\Delta\tau$ pertence ao único relógio presente nos dois eventos: todo outro referencial mede mais, $\gamma\Delta\tau$ . (3) O comprimento próprio $L_0$ pertence ao referencial em que a haste repousa: todo outro referencial mede menos, $L_0/\gamma$ . (4) Quando um “paradoxo” aparecer, procure os dois eventos espacialmente separados que estão sendo silenciosamente chamados de simultâneos e pergunte: em qual referencial? (5) Verifique o limite $v/c \to 0$ e lembre que $\gamma - 1 \approx \tfrac12 v^2/c^2$ a baixas velocidades — o tamanho das correções relativísticas do dia a dia.

4.3 Composição de velocidades; efeito Doppler

Proposição 4.10 (Composição relativística de velocidades)

Se um corpo se move com velocidade $u'$ ao longo de $x'$ no referencial $\mathcal R'$ , ele próprio em movimento com velocidade $v$ em relação a $\mathcal R$ , então $\mathcal R$ não mede $u' + v$ , mas

u = \frac{u' + v}{1 + u'v/c^2} .

Para as velocidades cotidianas o denominador vale $1$ e Galileu retorna; para $u' = c$ a fórmula dá $u = c$ qualquer que seja $v$ — a luz está a $c$ para todos, como foi construído; e nenhuma composição de velocidades abaixo de $c$ jamais alcança $c$ .

Demonstração. $u = \dd x/\dd t$ com a transformação inversa: $\dd x = \gamma(\dd x' + v\,\dd t')$ , $\dd t = \gamma(\dd t' + v\,\dd x'/c^2)$ ; divida. ∎

Exemplo 4.11 (O coeficiente de Fresnel explicado)

A luz na água parada viaja a $c/n$ . Na água que escoa com velocidade $v$ , Fizeau mediu (1851) o intrigante $c/n + v(1 - 1/n^2)$ : não o arrasto completo $c/n + v$ . Componha $u' = c/n$ com $v$ :

u = \frac{c/n + v}{1 + v/nc} \approx \Big(\frac{c}{n} + v\Big)\Big(1 - \frac{v}{nc}\Big) \approx \frac{c}{n} + v\Big(1 - \frac{1}{n^2}\Big) ,

até primeira ordem em $v/c$ . Um resultado de bancada do século XIX, então inexplicável, é a lei de composição de velocidades lida em primeira ordem — uma das confirmações discretas que Einstein citou em 1905.

Proposição 4.12 (Efeito Doppler longitudinal)

Uma fonte de frequência própria $f_0$ que se afasta com velocidade $v = \beta c$ ao longo da linha de visada é recebida em

f = f_0\,\sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} \qquad \text{(aproximando-se: } \beta \to -\beta\text{)} .

Dois efeitos se compõem: o alongamento clássico dos tempos de chegada, porque cada crista parte de mais longe, e a lentidão relativística do relógio da fonte — o $\gamma$ que sobrevive mesmo a $90^\circ$ (o efeito Doppler transversal, pura dilatação do tempo).

Demonstração. No referencial do receptor, a fonte emite cristas a cada $\gamma/f_0$ (dilatação), cada uma partindo $v\gamma/f_0$ mais longe, de modo que as cristas chegam a cada $\gamma(1 + \beta)/f_0 = \sqrt{(1+\beta)/ (1-\beta)}\,/f_0$ . ∎

Exemplo 4.13 (O afastamento das galáxias)

A linha do hidrogênio emitida em $656.3\,\mathrm{nm}$ chega de uma galáxia distante em $689\,\mathrm{nm}$ : $f/f_0 = 0.953$ , logo $\beta \approx 0.048$ — a galáxia se afasta a $14\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Aplicada por todo o céu, essa única fórmula transformou espectros num mapa do universo em expansão; o último capítulo deste livro retoma a história.

4.4 O espaço-tempo e o intervalo invariante

Teorema 4.14 (O intervalo invariante)

Para dois eventos quaisquer, a combinação

\Delta s^2 = c^2\,\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2

tem o mesmo valor em todo referencial inercial — a grandeza que a relatividade conserva enquanto tempos e comprimentos se flexionam. Seu sinal classifica o par: do tipo tempo ( $\Delta s^2 > 0$ ): algum referencial leva os eventos ao mesmo lugar, e $\Delta s/c$ é o tempo próprio entre eles; do tipo espaço ( $\Delta s^2 < 0$ ): algum referencial os torna simultâneos, e nenhum sinal pode conectá-los; do tipo luz ( $\Delta s^2 = 0$ ): só a luz os conecta.

Demonstração. Substituição direta da transformação de Lorentz: $c^2t'^2 - x'^2 = \gamma^2\big[(ct - \beta x)^2 - (x - \beta ct)^2 \big] = \gamma^2(1 - \beta^2)(c^2t^2 - x^2) = c^2t^2 - x^2$ . Quanto à classificação: levar os eventos ao mesmo lugar exige um referencial de velocidade $v = \Delta x/\Delta t$ , o que é possível quando $|\Delta x| < c\,|\Delta t|$ (tipo tempo); torná-los simultâneos exige $v = c^2\Delta t/\Delta x$ , o que é possível quando $|\Delta x| > c\,|\Delta t|$ (tipo espaço). ∎

Observação 4.15 (A causalidade tem uma geometria)

Por cada evento passa o seu cone de luz: os eventos que ele pode influenciar (cone futuro), os que podem tê-lo influenciado (cone passado) e o “alhures” do tipo espaço, causalmente isolado. Como um par do tipo espaço tem ordem dependente do referencial — alguns referenciais veem A antes de B, outros B antes de A — qualquer sinal mais rápido que a luz permitiria a algum observador assistir a um efeito precedendo sua causa. O limite de velocidade da relatividade não diz respeito a motores; é o preço de uma história coerente.

O espaço-tempo em torno de um evento (o ponto na origem). Seu cone de luz separa o que ele pode afetar (futuro), o que pode tê-lo afetado (passado) e o alhures do tipo espaço. As linhas de universo materiais permanecem mais inclinadas que 45 — sempre dentro do cone. — O espaço-tempo em torno de um evento (o ponto na origem). Seu cone de luz separa o que ele pode afetar (futuro), o que pode tê-lo afetado (passado) e o alhures do tipo espaço. As linhas de universo materiais permanecem mais inclinadas que $45^\circ$ — sempre dentro do cone.

Exemplo 4.16 (A gêmea viajante)

Uma gêmea voa até uma estrela a $8$ anos-luz a $0.8c$ ( $\gamma = 5/3$ ) e volta. Tempo na Terra: $2 \times 8/0.8 = 20\,\mathrm{yr}$ . O tempo próprio da viajante: $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$ — oito anos mais jovem, e sem paradoxo algum: as situações das gêmeas não são simétricas, pois uma linha de universo é reta (inercial do início ao fim) e a outra tem um vinco na virada. Entre dois eventos fixos, a linha de universo reta é a de maior tempo próprio — na geometria do espaço-tempo, o desvio vive menos. O efeito é medido rotineiramente: relógios atômicos levados a dar a volta ao mundo discordam de seus irmãos que ficaram em casa exatamente pelos nanossegundos previstos (Problema 4.1).

Uma estação de raios cósmicos em altitude. Os múons que ela conta, nascidos dez quilômetros acima, chegam até ela apenas porque os relógios em movimento andam devagar — a dilatação do tempo, medida todas as noites em cumes de montanha.

4.5 Exercícios

Exercício 4.1 ★

Calcule $\gamma$ para $v/c = 0.1$ , $0.5$ , $0.9$ , $0.99$ , $0.999$ . Para a Estação Espacial Internacional ( $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), calcule $\gamma - 1$ pela aproximação de baixa velocidade e o tempo que sua tripulação “ganha” (ou perde?) por missão de seis meses em relação a um relógio no solo, ignorando a gravidade.

Solução

Solução de Exercício 4.1.

$\gamma = 1.005$ , $1.155$ , $2.294$ , $7.09$ , $22.4$ . Estação Espacial: $\beta = 2.57 \times 10^{-5}$ , $\gamma - 1 \approx \beta^2/2 = 3.3 \times 10^{-10}$ ; em seis meses ( $1.6 \times 10^{7}{}\,\mathrm{s}$ ) o relógio da tripulação atrasa devagar cerca de $\approx5\,\mathrm{ms}$ (só o efeito de velocidade; na baixa altitude da estação o efeito gravitacional reduz, mas não inverte, esse atraso).

Exercício 4.2 ★

O relógio de luz da figura: (a) escreva o tique $\Delta\tau = 2d/c$ do relógio em repouso ( $d$ é o espaçamento entre os espelhos); (b) a partir de Pitágoras no referencial em que ele se move com velocidade $v$ , deduza $\Delta t = \gamma\Delta\tau$ ; (c) por que o argumento exige que a distância transversal $d$ seja a mesma nos dois referenciais? (d) Dê o argumento (duas réguas idênticas passando uma pela outra) de que os comprimentos transversais não podem mudar.

Solução

Solução de Exercício 4.2.

(a) $\Delta\tau = 2d/c$ . (b) A cada meio tique, o fóton percorre a hipotenusa: $(c\Delta t/2)^2 = (v\Delta t/2)^2 + d^2$ com $d = c\Delta\tau/2$ ; resolvendo: $\Delta t = \Delta\tau/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ . (c) Se $d$ mudasse com o movimento, o passo de Pitágoras estaria errado. (d) Faça duas réguas idênticas passarem uma pela outra, cada uma com um pincel na ponta apontado para a outra. Se o movimento contraísse os comprimentos transversais, cada referencial preveria que a sua própria régua pinta uma marca além da ponta da outra — dois fatos contraditórios sobre as mesmas pinceladas no mesmo evento de cruzamento. Contradição num único evento não é permitida: os comprimentos transversais não podem mudar.

Exercício 4.3 ★

Um múon é criado a $15\,\mathrm{km}$ de altitude com $v = 0.999c$ . (a) Seu $\gamma$ e sua vida média no nosso referencial. (b) A distância média que percorre. (c) A espessura da atmosfera no referencial dele. (d) Que fração desses múons chega ao solo, com e sem relatividade (lei de decaimento $\eu^{-t/\tau}$ , $\tau = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ )?

Solução

Solução de Exercício 4.3.

$\gamma = 22.4$ . (a) $\gamma\tau = 49\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (b) $v\gamma \tau = 14.8\,\mathrm{km}$ . (c) $15/22.4 = 670\,\mathrm{m}$ . (d) Tempo de voo no laboratório, $50\,\text{µ}\mathrm{s}$ : sem relatividade, $\eu^{-50/2.2} \approx 10^{-10}$ — nenhum; com relatividade, o tempo próprio é $50/22.4 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ , e a fração vale $\eu^{-1} \approx 0.37$ .

Exercício 4.4 ★

Dois eventos sobre o eixo $x$ : A em $(t = 0, x = 0)$ , B em $(t = 2\,\text{µ}\mathrm{s}, x = 300\,\mathrm{m})$ . (a) Calcule $\Delta s^2$ : tipo tempo ou tipo espaço? (b) A pode causar B? (c) Encontre a velocidade do referencial em que A e B ocorrem no mesmo lugar, e o tempo próprio entre eles ali. (d) As mesmas três perguntas para B em $(1\,\text{µ}\mathrm{s}, 600\,\mathrm{m})$ — que referencial existe agora, e qual não existe?

Solução

Solução de Exercício 4.4.

(a) $c\Delta t = 600\,\mathrm{m}$ , $\Delta x = 300\,\mathrm{m}$ : $\Delta s^2 = (600^2 - 300^2)\,\mathrm{m}^{2} > 0$ , do tipo tempo. (b) Sim: basta um sinal a $\Delta x/\Delta t = c/2$ . (c) Essa mesma velocidade de referencial, $v = 0.5c$ ; tempo próprio $\Delta s/c = \sqrt{600^2 - 300^2}/c = 520/c = 1.73\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (d) Agora $c\Delta t = 300 < \Delta x = 600$ : do tipo espaço; nenhum vínculo causal é possível; nenhum referencial os leva ao mesmo lugar, mas o referencial a $v = c^2\Delta t/\Delta x = 0.5c$ os torna simultâneos.

Exercício 4.5 ★★

Os satélites do GPS orbitam a $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (a) Calcule $\gamma - 1$ . (b) De quanto o relógio de um satélite atrasa em relação a um relógio no solo por dia, só pela dilatação do tempo? (c) O posicionamento funciona cronometrando sinais que viajam a $c$ : que erro de posição corresponde a um dia de deriva relativística restrita não corrigida? (d) A correção completa (com a gravidade, tratada no espírito do último capítulo) é de $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia, com o desvio gravitacional para o azul vencendo a dilatação do tempo: o que o sinal lhe diz sobre qual efeito é maior a $20\,200\,\mathrm{km}$ de altitude?

Solução

Solução de Exercício 4.5.

(a) $\beta = 1.29 \times 10^{-5}$ : $\gamma - 1 = 8.3 \times 10^{-11}$ . (b) $86400\,\mathrm{s} \times 8.3 \times 10^{-11} = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia. (c) $c \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 2.2\,\mathrm{km}$ — a navegação morreria em um dia. (d) O saldo de $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ significa que o desvio gravitacional para o azul ( $+45.7$ ) supera a lentidão cinemática ( $-7.2$ ): a $20\,200\,\mathrm{km}$ , estar mais alto no potencial da Terra acelera um relógio mais do que a velocidade orbital o atrasa.

Exercício 4.6 ★★

(a) Uma nave a $0.8c$ lança uma sonda para a frente a $0.8c$ em relação a si mesma: qual é a velocidade da sonda para nós? (b) Duas naves se aproximam uma da outra, cada uma a $0.9c$ no nosso referencial: qual é a velocidade relativa delas? (c) Mostre, a partir da lei de composição, que $u' < c$ e $v < c$ implicam $u < c$ (fatore a expressão $c - u$ ). (d) Um ponteiro laser varrido sobre a face da Lua pode pintar uma mancha que se desloca mais rápido que $c$ : por que isso não viola lei alguma?

Solução

Solução de Exercício 4.6.

(a) $1.6c/1.64 = 0.976c$ . (b) $1.8c/1.81 = 0.994c$ . (c) $c - u = \dfrac{(c - u')(c - v)}{c\,(1 + u'v/c^2)}$ : os dois fatores são positivos, logo $u < c$ . (d) A mancha é um padrão em movimento, não uma coisa: nenhuma matéria, energia ou informação viaja de um ponto da face da Lua ao seguinte — cada fóton foi até a Lua a $c$ .

Exercício 4.7 ★★

O dubleto do sódio em $589.0\,\mathrm{nm}$ chega de uma estrela em $575.0\,\mathrm{nm}$ . (a) Ela se aproxima ou se afasta? Com que velocidade? (b) Com que velocidade a luz visível ( $550\,\mathrm{nm}$ ) seria deslocada para o infravermelho próximo ( $1100\,\mathrm{nm}$ )? (c) Para $\beta \ll 1$ , mostre que $\Delta\lambda/\lambda \approx \beta$ e dê a regra prática em km/s por $\text{Å}$ em $600\,\mathrm{nm}$ . (d) Uma fonte que circula a distância constante exibe um desvio mesmo sem movimento radial: que efeito é esse, e de que ordem em $\beta$ ?

Solução

Solução de Exercício 4.7.

(a) Comprimento de onda menor: aproximando-se. $f/f_0 = 589/575 = 1.024$ ; $(1+\beta)/(1-\beta) = 1.049$ : $\beta = 0.024$ , cerca de $7200\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (b) Razão $2$ : $(1+\beta)/(1-\beta) = 4$ , $\beta = 0.6$ . (c) Expandindo a raiz quadrada, $\Delta\lambda/\lambda \approx \beta$ ; em $600\,\mathrm{nm}$ , $1\,\text{Å} = 0.1\,\mathrm{nm}$ dá $\beta = 1.7 \times 10^{-4}$ : cerca de $50\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ por ångström — o reflexo do astrônomo. (d) O efeito Doppler transversal: pura dilatação do tempo, de ordem $\beta^2$ — mensurável apenas com precisão atômica.

Exercício 4.8 ★★

A vara e o celeiro. Uma vara de $20\,\mathrm{m}$ é levada a $\gamma = 2$ em direção a um celeiro de $10\,\mathrm{m}$ com duas portas. (a) O comprimento da vara no referencial do celeiro: ela cabe? (b) No referencial do corredor, o celeiro tem $5\,\mathrm{m}$ de comprimento: como ambos podem estar certos? Identifique os dois eventos (“a porta da frente se fecha”, “a porta de trás se abre”) e compare a ordem temporal deles nos dois referenciais. (c) Calcule o tempo entre esses eventos em cada referencial, supondo o fechamento simultâneo no celeiro. (d) Enuncie a moral numa frase (que suposição silenciosa o “paradoxo” fez?).

Solução

Solução de Exercício 4.8.

(a) $20/2 = 10\,\mathrm{m}$ : cabe, por pouco, e as duas portas podem ser fechadas simultaneamente (referencial do celeiro). (b) No referencial do corredor, os eventos “a porta da frente se fecha” e “a porta de trás se abre” não são simultâneos: a saída se abre antes de a entrada se fechar, e a vara de $20\,\mathrm{m}$ enfia-se num celeiro de $5\,\mathrm{m}$ sem jamais estar encerrada. (c) Referencial do celeiro: $\Delta t = 0$ ao longo de $\Delta x = 10\,\mathrm{m}$ . Referencial do corredor: $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 = 2 \times 0.866c \times 10/c^2 = 58\,\mathrm{ns}$ . (d) “A vara está encerrada” afirma silenciosamente que dois eventos separados (as duas portas fechadas) são simultâneos — um enunciado dependente do referencial, não um fato.

Exercício 4.9 ★★

Um foguete de comprimento próprio $100\,\mathrm{m}$ passa por uma estação espacial a $0.6c$ . (a) Quanto tempo marca o relógio da estação entre a passagem do nariz e a da cauda? (b) A mesma pergunta para um relógio do foguete que vê a estação (de comprimento próprio $300\,\mathrm{m}$ ) passar. (c) A estação dispara duas garras de acoplamento simultaneamente (no referencial dela), a $80\,\mathrm{m}$ de distância: qual é o tempo entre os dois disparos para o foguete, e qual dispara primeiro? (d) Verifique que $\Delta s^2$ coincide nos dois referenciais para o par de eventos das garras.

Solução

Solução de Exercício 4.9.

$\gamma = 1.25$ a $0.6c$ . (a) Comprimento em movimento $100/1.25 = 80\,\mathrm{m}$ a $1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $444\,\mathrm{ns}$ . (b) $240/1.8 \times 10^{8} = 1.33\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (c) $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 = 200\,\mathrm{ns}$ ; de $t' = \gamma(t - vx/c^2)$ , a garra de $x$ maior — a dianteira — dispara primeiro para o foguete. (d) Estação: $\Delta s^2 = 0 - 80^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$ . Foguete: $\Delta x' = \gamma\,\Delta x = 100\,\mathrm{m}$ , $c\Delta t' = 60\,\mathrm{m}$ : $60^2 - 100^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$ — invariante.

Exercício 4.10 ★★★

As gêmeas, por inteiro. Estela voa a $0.8c$ até uma estrela a $8\,\mathrm{ly}$ de distância (no referencial da Terra) e volta a $0.8c$ ; Terra fica. (a) Calcule o tempo decorrido para cada gêmea. (b) No referencial de ida de Estela, a que distância está a estrela e quanto tempo lhe toma a perna de ida? (c) Logo antes e logo depois da virada, o que Estela calcula para “a hora que é agora na Terra” (use o termo $vx/c^2$ )? Mostre que sua contabilidade salta anos no vinco — e que esse salto é exatamente o que reconcilia os totais. (d) Explique por que nenhum argumento simétrico pode ser feito do lado de Estela.

Solução

Solução de Exercício 4.10.

(a) Terra: $20\,\mathrm{yr}$ ; Estela: $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$ . (b) A distância se contrai a $8/\gamma = 4.8\,\mathrm{ly}$ , percorrida em $4.8/0.8 = 6\,\mathrm{yr}$ do tempo dela — coerente com os $12\,\mathrm{yr}$ da viagem de ida e volta. (c) Simultaneidade com o evento da virada $(t = 10\,\mathrm{yr},\ x = 8\,\mathrm{ly})$ : o referencial de ida atribui ao relógio da Terra $t - vx/c^2 = 10 - 6.4 = 3.6\,\mathrm{yr}$ ; o de volta, $10 + 6.4 = 16.4\,\mathrm{yr}$ . Seu “agora na Terra” salta $12.8\,\mathrm{yr}$ no vinco; sua contabilidade, $3.6 + 12.8 + 3.6 = 20\,\mathrm{yr}$ , bate exatamente com Terra. (d) Estela ocupa dois referenciais inerciais unidos por uma aceleração que ela sente; Terra ocupa um só. A linha de universo reta entre os eventos da partida e do reencontro carrega o maior tempo próprio; só a de Estela é dobrada.

Exercício 4.11 ★★★

Deduzir Lorentz honestamente. (a) Argumente, a partir da homogeneidade, que a transformação deve ser linear. (b) Supondo $x' = \gamma(x - vt)$ e, pelo princípio da relatividade, $x = \gamma(x' + vt')$ , deduza $t'$ em função de $t$ e $x$ sem usar a luz. (c) Mostre que exigir $x = ct \Rightarrow x' = ct'$ fixa $\gamma$ no valor enunciado. (d) Onde exatamente o argumento usou cada postulado?

Solução

Solução de Exercício 4.11.

(a) Se a aplicação fosse não linear, um movimento uniforme não pareceria uniforme no outro referencial, o que distinguiria pontos de um espaço e de um tempo homogêneos. (b) Substituindo uma relação na outra: $t' = \gamma t + (1 - \gamma^2)x/\gamma v$ . (c) Impondo $x = ct$ , $x' = ct'$ : $\gamma(c - v)t = c\gamma t + c(1 - \gamma^2)ct/\gamma v$ , que se resolve em $\gamma^2 = 1/(1 - v^2/c^2)$ . (d) A relatividade deu o mesmo $\gamma$ para os dois sentidos (nenhum referencial privilegiado); o postulado da luz transformou a função livre restante no $\gamma(v)$ definido.

Exercício 4.12 ★★★

Rapidez. Defina $\varphi$ por $\tanh\varphi = \beta$ . (a) Mostre que a transformação de Lorentz se lê $ct' = ct\cosh\varphi - x\sinh\varphi$ , $x' = x\cosh\varphi - ct\sinh\varphi$ : uma “rotação” por um ângulo imaginário, que preserva $c^2t^2 - x^2$ como as rotações preservam $x^2 + y^2$ . (b) Mostre que compor velocidades soma as rapidezes: $\varphi = \varphi_1 + \varphi_2$ , e recupere a lei de composição a partir de $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2)$ . (c) Um foguete acelera a $g$ no seu próprio referencial: admitindo que sua rapidez cresce como $\dd\varphi = g\, \dd\tau/c$ , encontre $\beta(\tau)$ e quanto tempo próprio ele leva para chegar a $0.99c$ . (d) Por que a rapidez pode crescer para sempre, enquanto $\beta$ não pode?

Solução

Solução de Exercício 4.12.

(a) Com $\cosh\varphi = \gamma$ e $\sinh\varphi = \gamma\beta$ , a transformação é exatamente a rotação hiperbólica enunciada, e $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$ preserva $c^2t^2 - x^2$ . (b) $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2) = (\tanh\varphi_1 + \tanh\varphi_2)/(1 + \tanh\varphi_1\tanh\varphi_2)$ : precisamente a lei de composição — as velocidades não se somam, as rapidezes sim. (c) $\varphi = g\tau/c$ , logo $\beta = \tanh(g\tau/c)$ ; $\operatorname{artanh}(0.99) = 2.65$ dá $\tau = 2.65c/g \approx 8.1 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.6$ anos de tempo de bordo. (d) $\varphi$ percorre todos os reais, enquanto $\tanh\varphi$ satura em $1$ : pode-se acelerar para sempre, ganhando rapidez linearmente, ao passo que a velocidade apenas se arrasta rumo a $c$ .

Albert Einstein (fotografia de Orren Jack Turner, 1947, domínio público). O artigo de 1905 sobre a relatividade reconstruiu a cinemática a partir de dois postulados — este capítulo, essencialmente inalterado, é aquele artigo com exercícios.

4.6 Problema: O experimento no céu

Problema 4.1

Problema de fim de semana — múons, relógios de montanha e a prova de que o tempo se dilata

O teste inicial mais limpo da dilatação do tempo não usou aparelho de laboratório algum: a natureza fornece relógios relativísticos aos milhares, que chovem sobre todas as montanhas. Este problema reconstrói o experimento de Frisch e Smith (1963) e depois traz a mesma física para os aviões de linha e os satélites de navegação. Dados: vida média própria do múon $\tau = 2.20\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; o decaimento é exponencial, com uma fração $\eu^{-t/\tau}$ dos múons sobrevivendo a um tempo próprio $t$ ; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; monte Washington: diferença de altitude $h = 1907\,\mathrm{m}$ entre os dois detectores.

Parte I — Relógios que chovem do céu.

Prótons cósmicos atingem núcleos no alto da atmosfera e os destroços decaem em múons por volta de $15\,\mathrm{km}$ de altura. Por que uma população de partículas instáveis idênticas é um relógio?
Calcule $c\tau$ , o alcance natural de uma vida média de múon.
Sem relatividade, que fração dos múons nascidos a $15\,\mathrm{km}$ e viajando essencialmente a $c$ chegaria ao solo? (Dê o expoente; o número em si é absurdo.)
Os detectores ao nível do mar contam múons em abundância: enuncie a contradição numa frase.
O fluxo ao nível do mar é de cerca de um múon por centímetro quadrado por minuto: estime quantos múons atravessam sua mão estendida a cada segundo, e seu corpo entre duas batidas do coração.
O experimento selecionou múons de velocidade $0.995c$ : calcule o $\gamma$ deles.
Frisch e Smith contaram $563 \pm 10$ múons por hora no cume. Por que medir em duas altitudes do mesmo chuveiro em vez de confiar na história da criação a $15\,\mathrm{km}$ ?

Parte II — A medida na montanha.

Quanto tempo dura a viagem de $1907\,\mathrm{m}$ a $0.995c$ no referencial da montanha?
Sem dilatação do tempo, que fração sobrevive a essa viagem, e quantos múons por hora deveriam chegar ao detector de baixo?
Com a dilatação do tempo, quanto tempo próprio transcorre para o múon durante a viagem?
Preveja a fração sobrevivente e a contagem por hora com a relatividade.
A contagem medida embaixo foi de $408 \pm 9$ por hora. Compare as duas previsões com os dados e diga qual teoria sobrevive ao encontro com a montanha.
A partir da razão medida $408/563$ , extraia o fator de dilatação experimental e compare-o com $\gamma = 10$ . (Os múons desaceleram um pouco na blindagem rochosa, de modo que o $\gamma$ efetivo fica um pouco abaixo do valor do cume — Frisch e Smith encontraram $8.8 \pm 0.8$ .)

Parte III — A versão do próprio múon.

No referencial do múon, qual é a altura do monte Washington?
Quanto tempo a montanha leva para desfilar por ele, e que fração dos múons decai nesse tempo? Verifique que coincide com a previsão da Parte II.
Os dois referenciais discordam sobre o que se dilatou (o nosso tempo? a montanha dele?), mas concordam sobre a contagem: que tipo de grandeza é a contagem, e por que todos os referenciais devem concordar sobre ela?
Calcule o intervalo $\Delta s^2$ entre a criação no cume e a chegada embaixo, no referencial da montanha, e verifique que $\Delta s/c$ é igual ao tempo próprio do múon da Parte II.
Um cético objeta: “talvez seja a altitude, e não a velocidade, que muda as taxas de decaimento”. Que controle a dependência medida em $\gamma$ (múons mais lentos dilatam menos) oferece?
Os anéis de armazenamento modernos mantêm múons a $\gamma = 29.3$ e medem vidas médias com precisão de $10^{-3}$ : o que eles encontram, e o que uma órbita circular acrescenta ao teste (qual das gêmeas é o múon)?

Parte IV — De volta à Terra: aviões e satélites.

Um avião de linha voa a $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ num voo de $40\,\mathrm{h}$ ao redor do mundo. Usando $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$ , calcule o atraso relativístico restrito do seu relógio, em nanossegundos.
Os relógios de césio resolvem nanossegundos com facilidade; os voos de 1971 confirmaram a previsão (uma vez incluído o empurrão contrário da gravidade, maior em altitude). Por que os dois efeitos precisam ser separados voando tanto para leste quanto para oeste?
Um satélite do GPS ( $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) acumula que atraso de relógio relativístico restrito por dia, em microssegundos?
Sem correção, quantos quilômetros de erro de distância uma semana dessa deriva sozinha produziria?
A correção completa do GPS, de $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia com a gravidade incluída, é embutida nos relógios dos satélites antes do lançamento: o que um navegador observaria em poucas horas se ela não existisse?
Resuma o resultado central: uma montanha, dois contadores e relógios de $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ mediram a dilatação do tempo em $\gamma \approx 9$ com $10\%$ de precisão em 1963 — e a mesma física é corrigida, a cada segundo, em todo telefone que sabe onde está.

Solução

Solução de Problema 4.1.

1. Todos os múons são rigorosamente idênticos e decaem a uma taxa estatística fixa: a fração sobrevivente de uma população mede o tempo próprio decorrido tão bem quanto um ponteiro de relógio. 2. $c\tau = 3.00 \times 10^{8}\, \times 2.2 \times 10^{-6}\, = 660\,\mathrm{m}$ . 3. $t = 15\,\mathrm{km}/c = 50\,\text{µ}\mathrm{s}$ : fração $\eu^{-50/2.2} = \eu^{-22.7} \approx 1.4 \times 10^{-10}$ . 4. Partículas que “não podem” percorrer mais de um quilômetro atravessam quinze deles e chegam em quantidade. 5. Uma mão de $\sim100\,\mathrm{cm}^{2}$ : alguns múons por segundo; um corpo de seção horizontal $\sim10^{3}\,\mathrm{cm}^{2}$ : uns quinze entre duas batidas do coração — a relatividade chove sobre todo mundo, sempre. 6. $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.995^2} = 10.0$ . 7. Comparar duas contagens da mesma população selecionada ao longo de uma diferença de altura conhecida elimina toda suposição sobre onde e quantos múons nascem. 8. $t = 1907/(0.995 \times 3 \times 10^{8}) = 6.39\,\text{µ}\mathrm{s}$ . 9. $\eu^{-6.39/2.2} = 0.055$ : cerca de $31$ por hora. 10. $t/\gamma = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$ . 11. $\eu^{-0.64/2.2} = 0.75$ : cerca de $420$ por hora. 12. Medidos $408 \pm 9$ : os $\approx 420$ da relatividade concordam, dentro da ligeira desaceleração dos múons no absorvedor dos detectores; os $31$ da física clássica erram por um fator treze. A montanha decide. 13. $408/563 = 0.725 = \eu^{-t_{\text{próprio}}/\tau}$ : $t_{\text{próprio}} = 0.71\,\text{µ}\mathrm{s}$ , logo $\gamma_{\exp} = 6.39/0.71 = 9.0$ — bem dentro dos $8.8 \pm 0.8$ de Frisch e Smith. 14. $1907/10 = 191\,\mathrm{m}$ . 15. $191/(0.995c) = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$ : os mesmos $25\%$ de decaimento — a versão do múon para a mesma contagem. 16. Uma contagem de disparos é um conjunto de eventos locais de coincidência; os eventos e suas somas são invariantes por mudança de referencial — os referenciais podem discordar sobre tempos e comprimentos, jamais sobre o que um contador registrou. 17. $\Delta s^2 = (c \times 6.39\,\text{µ}\mathrm{s})^2 - (1907\,\mathrm{m})^2 = (1917^2 - 1907^2)\,\mathrm{m}^{2} = (196\,\mathrm{m})^2$ : $\Delta s/c = 0.65\,\text{µ}\mathrm{s}$ — o tempo próprio, calculado sem jamais sair do referencial da montanha. 18. As taxas de decaimento dependeriam da altitude do mesmo modo para toda velocidade; em vez disso, a sobrevivência acompanha $\gamma$ — seleções mais lentas dilatam menos, exatamente como $\gamma(v)$ prescreve. 19. Vidas médias de $\gamma\tau$ com precisão de uma parte em mil (anéis de armazenamento de múons do CERN); o anel faz do múon um viajante perpetuamente acelerado — a “gêmea viajante” continua jovem mesmo quando a viagem é uma virada sem fim. 20. $\beta = 8.3 \times 10^{-7}$ : $\Delta t = \tfrac12\beta^2 \times 144\,000\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{ns}$ . 21. A velocidade da aeronave se soma à da Terra em rotação ou dela se subtrai, ao passo que o efeito da altitude (gravitacional) é o mesmo nos dois sentidos: os voos para leste e para oeste separam limpamente as duas contribuições (o resultado de 1971 bateu com ambas). 22. Do Exercício 4.5: $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia. 23. $7 \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} \times c \approx 15\,\mathrm{km}.$ 24. As posições derivariam centenas de metros em poucas horas e quilômetros em um dia — a navegação quebraria visivelmente na primeira manhã. 25. Em 1963, uma montanha, dois contadores e relógios de $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ mediram $\gamma_{\exp} = 9.0$ contra um valor previsto de $10$ (com a desaceleração, $8.8 \pm 0.8$ ): a dilatação do tempo confirmada com $10\%$ de precisão — e a física idêntica é corrigida em silêncio, a cada segundo, em todo satélite de navegação acima da sua cabeça.

Termos definidos neste capítulo

Eventos e simultaneidade

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